Generel ligning af et plan gennem 3 punkter. Planligning

For at et enkelt plan kan trækkes gennem tre punkter i rummet, er det nødvendigt, at disse punkter ikke ligger på den samme lige linje.

Overvej punkterne M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) generelt Kartesisk system koordinater

For at et vilkårligt punkt M(x, y, z) skal ligge i samme plan med punkterne M 1, M 2, M 3, er det nødvendigt, at vektorerne er koplanære.

Definition 2.1.

To linjer i rummet kaldes parallelle, hvis de ligger i samme plan og ikke har fælles punkter.

Hvis to linjer a og b er parallelle, så skriv som i planimetri a || b. I rummet kan linjer placeres, så de ikke skærer hinanden eller er parallelle. Denne sag er speciel til stereometri.

Definition 2.2.

Linjer, der ikke har fælles punkter og ikke er parallelle, kaldes skærende.

Sætning 2.1.

Gennem et punkt uden for en given linje kan man tegne en linje parallelt med den givne, og kun én.

Tegn på parallelle linjer

To linjer i rummet kaldes parallelle, hvis de ligger i samme plan og ikke skærer hinanden. Gennem et punkt uden for en given linje kan du tegne en ret linje parallelt med denne rette linje, og kun én. Denne erklæring reducerer til aksiomet for paralleller i et plan. Sætning. To linjer parallelle med en tredje linje er parallelle. Lad linjerne b og c være parallelle med linje a. Lad os bevise, at b || Med. Tilfældet, når rette linjer a, b og ligger på samme plan, betragtes i planimetri, vi udelader det. Lad os antage, at a, b og c ikke ligger i samme plan. Men da to parallelle linjer er placeret i samme plan, kan vi antage, at a og b er placeret i planet, og a b og c er i planet (fig. 61). På linie c markerer vi et punkt (enhver) M og gennem linie b og punkt M tegner vi en plan . Hun, , skærer i en lige linje l. Den rette linie l skærer ikke planet, da hvis l skæres, så skal punktet for deres skæringspunkt ligge på a (a og l er i samme plan) og på b (b og l er i samme plan). Således skal ét skæringspunkt l og ligge på både linie a og linie b, hvilket er umuligt: ​​a || b. Derfor er en || , l || a, l || b. Da a og l ligger i samme plan, falder l sammen med linjen c (ved parallelismeaksiomet), og derfor med || b. Sætningen er blevet bevist.

25.Tegn på parallelitet mellem en linje og et plan

Sætning

Hvis en linje, der ikke hører til et plan, er parallel med en linje i dette plan, så er den parallel med selve planet.

Bevis

Lad α være en plan, a en linje der ikke ligger i den, og a1 en linje i α-planet parallel med linje a. Lad os tegne planet α1 gennem linjerne a og a1. Planerne α og α1 skærer hinanden langs den rette linje a1. Hvis linje et skæret plan α, så ville skæringspunktet tilhøre linje a1. Men dette er umuligt, da linjerne a og a1 er parallelle. Følgelig skærer linje a ikke planen α og er derfor parallel med planen α. Sætningen er blevet bevist.

27.Eksistensen af ​​et plan parallelt med et givet plan

Sætning

Gennem et punkt uden for et givet plan er det muligt at tegne et plan parallelt med det givne, og kun det ene.

Bevis

Lad os tegne i denne plan α hvilke som helst to skærende linjer a og b. igennem dette punkt Lad os tegne linjerne a1 og b1 parallelt med dem. Planet β, der går gennem linjerne a1 og b1, er ifølge sætningen om planers parallelitet parallel med planet α.

Antag, at et andet plan β1 også passerer gennem punkt A parallelt med flyetα. Lad os markere et punkt C på β1-planet, som ikke ligger i β-planet. Lad os tegne planet γ gennem punkterne A, C og et punkt B i planen α. Dette plan vil skære planerne α, β og β1 langs rette linjer b, a og c. Linjerne a og c skærer ikke linie b, da de ikke skærer planen α. Derfor er de parallelle med linje b. Men i γ-planet kan kun én linje parallel med linje b passere gennem punkt A. hvilket modsiger antagelsen. Sætningen er blevet bevist.

28.Egenskaber ved parallelle planer th

29.

Vinkelrette linjer i rummet. To rette linjer i rummet kaldes vinkelrette, hvis vinklen mellem dem er 90 grader. c. m. k. k. m. c. k. Skærende. Krydsning.

Sætning 1 TEGN PÅ PERPEDIKULARITET AF EN LINJE OG ET FLY. Hvis en linje, der skærer et plan, er vinkelret på to linjer i dette plan, der passerer gennem skæringspunktet mellem denne linje og planet, så er den vinkelret på planet.

Bevis: Lad a være en linje vinkelret på linje b og c i planet. Så går linje a gennem punktet A i skæringspunktet mellem linje b og c. Lad os bevise, at den rette linje a er vinkelret på planet. Lad os tegne en vilkårlig linje x gennem punkt A i planet og vise, at den er vinkelret på linje a. Lad os tegne en vilkårlig linje i planet, der ikke går gennem punkt A og skærer linjerne b, c og x. Lad skæringspunkterne være B, C og X. Lad os plotte a på den rette linje fra punkt A til forskellige sider lige store segmenter AA 1 og AA 2. Trekant A 1 CA 2 er ligebenet, da segment AC er højden ifølge sætningen og medianen ved konstruktion (AA 1 = AA 2 Af samme grund er trekant A 1 BA 2 også ligebenet). Derfor er trekanter A 1 BC og A 2 BC ens på tre sider. Af ligheden mellem trekanter A 1 BC og A 2 BC følger det, at vinklerne A 1 BC og A 2 BC er lige store, og derfor er trekanter A 1 BC og A 2 BC lige store på to sider og vinklen mellem dem . Fra ligheden mellem siderne A 1 X og A 2 X i disse trekanter konkluderer vi, at trekanten A 1 XA 2 er ligebenet. Derfor er dens median XA også dens højde. Og det betyder, at linje x er vinkelret på a. Per definition er en ret linje vinkelret på et plan. Sætningen er blevet bevist.

Sætning 2 1. EGENSKAB AF PERPERENDIKULÆRE LINIER OG FLY. Hvis et plan er vinkelret på en af ​​to parallelle linjer, så er det også vinkelret på den anden.
Bevis: Lad a 1 og a 2 - 2 være parallelle linjer og et plan vinkelret på linjen a 1. Lad os bevise, at dette plan er vinkelret på linjen a 2. Lad os tegne en vilkårlig ret linje x 2 i planet gennem punktet A 2 i skæringspunktet mellem den rette linje a 2 og planet. Lad os tegne i planet gennem punkt A 1 skæringspunktet mellem linje a 1 og linje x 1 parallelt med linje x 2. Da linje a 1 er vinkelret på planet, så er linje a 1 og x 1 vinkelrette. Og ved sætning 1 er de skærende linjer parallelt med dem, a 2 og x 2, også vinkelrette. Således er linje a 2 vinkelret på enhver linje x 2 i planet. Og dette betyder (per definition) at lige linje a 2 er vinkelret på planet. Sætningen er blevet bevist. Se også referenceproblem №2.
Sætning 3 2. EGENSKAB AF vinkelrette linier og plan. To linjer vinkelret på samme plan er parallelle.
Bevis: Lad a og b være 2 rette linjer, vinkelrette planer. Lad os antage, at linjerne a og b ikke er parallelle. Lad os vælge et punkt C på linie b, der ikke ligger i planet. Lad os tegne en linje b 1 gennem punkt C, parallel med linje a. Linje b 1 er vinkelret på planen ifølge sætning 2. Lad B og B 1 være skæringspunkterne for linjerne b og b 1 med planen. Så er den rette linje BB 1 vinkelret på de skærende linjer b og b 1. Og dette er umuligt. Vi er nået frem til en modsigelse. Sætningen er blevet bevist.

33.Vinkelret, sænket fra et givet punkt på et givet plan, er et segment, der forbinder et givet punkt med et punkt på planet og ligger på en ret linje vinkelret på planet. Enden af ​​dette segment, der ligger i planet, kaldes basen af ​​vinkelret.
Tilbøjelig tegnet fra et givet punkt til et givet plan er ethvert segment, der forbinder et givet punkt med et punkt på planet, der ikke er vinkelret på planet. Enden af ​​et segment, der ligger i et plan, kaldes skrå base. Et segment, der forbinder baserne af en vinkelret med en skrå trukket fra samme punkt kaldes skrå projektion.

AB er vinkelret på α-planet.
AC – skrå, CB – projektion.

Udtalelse af teoremet

Hvis en ret linje tegnet på et plan gennem bunden af ​​en skrå linje er vinkelret på dens projektion, så er den vinkelret på den skrå linje.

Bevis

Lade AB- vinkelret på plan α, A.C.- tilbøjelig og c- en ret linje i α-planet, der går gennem punktet C Og vinkelret på projektionen B.C.. Lad os lave en direkte CK parallelt med linjen AB. Lige CK er vinkelret på planet α (da det er parallelt AB), og derfor enhver ret linje i dette plan, derfor, CK vinkelret på en ret linje c. Lad os tegne gennem parallelle linjer AB Og CK plan β (parallelle linjer definerer et plan, og kun én). Lige c vinkelret på to skærende linjer, der ligger i β-planet, er dette B.C. efter tilstand og CK ved konstruktion betyder det, at den er vinkelret på enhver linje, der hører til dette plan, hvilket betyder, at den er vinkelret på linjen A.C..

Antag, at vi skal finde ligningen for et plan, der passerer gennem tre givne punkter, der ikke ligger på samme linje. Ved at angive deres radiusvektorer med og den aktuelle radiusvektor med , kan vi nemt få den nødvendige ligning i vektor form. Faktisk skal vektorerne være koplanære (de ligger alle i det ønskede plan). Derfor skal vektor-skalarproduktet af disse vektorer være lig med nul:

Dette er ligningen for et plan, der passerer gennem tre givne punkter, i vektorform.

Går vi videre til koordinaterne, får vi ligningen i koordinater:

Hvis tre givne punkter lå på samme linje, så ville vektorerne være kollineære. Derfor er de tilsvarende elementer af de to sidste linjer determinanten i ligning (18) ville være proportional, og determinanten er identisk lig med nul. Som følge heraf ville ligning (18) blive identisk for alle værdier af x, y og z. Geometrisk betyder det, at der gennem hvert punkt i rummet passerer et plan, hvori de tre givne punkter ligger.

Bemærkning 1. Det samme problem kan løses uden brug af vektorer.

Ved at angive koordinaterne for de tre givne punkter, vil vi skrive ligningen for ethvert plan, der passerer gennem det første punkt:

For at opnå ligningen for det ønskede plan er det nødvendigt at kræve, at ligning (17) opfyldes af koordinaterne for to andre punkter:

Fra ligning (19) er det nødvendigt at bestemme forholdet mellem to koefficienter til den tredje og indtaste de fundne værdier i ligning (17).

Eksempel 1. Skriv en ligning for et plan, der går gennem punkterne.

Ligningen for det fly, der passerer gennem det første af disse punkter, vil være:

Betingelserne for at flyet (17) kan passere gennem to andre punkter og det første punkt er:

Tilføjer vi den anden ligning til den første, finder vi:

Substituerer vi i den anden ligning, får vi:

Ved at indsætte i ligning (17) i stedet for henholdsvis A, B, C, 1, 5, -4 (tal proportionale med dem), får vi:

Eksempel 2. Skriv en ligning for et plan, der går gennem punkterne (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Ligningen for ethvert plan, der passerer gennem punktet (0, 0, 0), vil være]

Betingelserne for passage af dette plan gennem punkterne (1, 1, 1) og (2, 2, 2) er:

Reducerer vi den anden ligning med 2, ser vi, at for at bestemme to ubekendte, er der en ligning med

Herfra får vi. Når vi nu erstatter værdien af ​​planet i ligningen, finder vi:

Dette er ligningen for det ønskede plan; det afhænger af vilkårlig

størrelserne B, C (nemlig fra relationen, dvs. der er et uendeligt antal planer, der går gennem tre givne punkter (tre givne punkter ligger på den samme rette linje).

Bemærkning 2. Problemet med at trække et plan gennem tre givne punkter, der ikke ligger på samme linje, løses let i generel opfattelse, hvis vi bruger determinanter. Da koefficienterne A, B, C i ligning (17) og (19) ikke samtidigt kan være lig med nul, så betragter man disse ligninger som homogent system med tre ukendte A, B, C, skriv de nødvendige og tilstrækkelig stand eksistensen af ​​en anden løsning på dette system end nul (del 1, kapitel VI, § 6):

Efter at have udvidet denne determinant til elementerne i den første række, opnår vi en ligning af første grad i forhold til de aktuelle koordinater, som især vil blive opfyldt af koordinaterne for de tre givne punkter.

Du kan også verificere sidstnævnte direkte ved at erstatte koordinaterne for et hvilket som helst af disse punkter i stedet for . På venstre side får vi en determinant, hvor enten elementerne i den første række er nuller, eller der er to identiske rækker. Således repræsenterer den konstruerede ligning et plan, der passerer gennem de tre givne punkter.

13. Vinkel mellem planer, afstand fra et punkt til et plan.

Lad planerne α og β skære langs en ret linje c.
Vinklen mellem planer er vinklen mellem vinkelrette linjer på linjen i deres skæringspunkt tegnet i disse planer.

Med andre ord, i α-planet tegnede vi en ret linje a vinkelret på c. I β-planet - lige linje b, også vinkelret på c. Vinklen mellem planerne α og β lig med vinkel mellem linje a og b.

Bemærk, at når to planer skærer hinanden, dannes der faktisk fire vinkler. Kan du se dem på billedet? Som vinklen mellem flyene tager vi krydret hjørne.

Hvis vinklen mellem planerne er 90 grader, så er planerne vinkelret,

Dette er definitionen af ​​vinkelret på fly. Ved løsning af problemer i stereometri bruger vi også tegn på vinkelrethed af planer:

Hvis plan α passerer gennem vinkelret på plan β, så er plan α og β vinkelrette.

afstand fra punkt til plan

Overvej punkt T, defineret ved dets koordinater:

T = (x 0 , y 0 , z 0)

Vi betragter også planet α, givet af ligningen:

Axe + By + Cz + D = 0

Derefter kan afstanden L fra punkt T til plan α beregnes ved hjælp af formlen:

Med andre ord erstatter vi punktets koordinater i planens ligning og dividerer derefter denne ligning med længden af ​​normalvektoren n til planen:

Det resulterende tal er afstanden. Lad os se, hvordan dette teorem fungerer i praksis.

Vi har allerede udledt de parametriske ligninger for en ret linje på en plan, lad os få de parametriske ligninger for en ret linje, som er givet i rektangulært system koordinater i tredimensionelt rum.

Lad et rektangulært koordinatsystem fastgøres i tredimensionelt rum Oxyz. Lad os definere en ret linje i den -en(se afsnittet om metoder til at definere en linje i rummet), med angivelse af linjens retningsvektor og koordinaterne for et punkt på linjen . Vi vil tage udgangspunkt i disse data, når vi tegner parametriske ligninger for en ret linje i rummet.

Lad være et vilkårligt punkt i tredimensionelt rum. Hvis vi trækker fra punktets koordinater M tilsvarende punktkoordinater M 1, så får vi vektorens koordinater (se artiklen om at finde koordinaterne for en vektor ud fra koordinaterne for punkterne for dens ende og begyndelse), dvs. .

Det er klart, at sættet af punkter definerer en linje EN hvis og kun hvis vektorerne og er kollineære.

Lad os nedskrive den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for vektorers kollinearitet Og : , hvor - nogle reelle tal. Den resulterende ligning kaldes vektor-parametrisk ligning for linjen i et rektangulært koordinatsystem Oxyz i tredimensionelt rum. Den vektorparametriske ligning for en ret linje i koordinatform har formen og repræsenterer linjens parametriske ligninger -en. Navnet "parametrisk" er ikke tilfældigt, da koordinaterne for alle punkter på linjen er angivet ved hjælp af parameteren.

Lad os give et eksempel på parametriske ligninger for en ret linje i et rektangulært koordinatsystem Oxyz i rummet: . Her

15. Vinkel mellem en lige linje og et plan. Skæringspunktet for en linje med et plan.

Hver førstegradsligning med hensyn til koordinater x, y, z

Axe + By + Cz +D = 0 (3,1)

definerer en plan og omvendt: enhver plan kan repræsenteres ved ligning (3.1), som kaldes plan ligning.

Vektor n(A, B, C), ortogonalt i forhold til planet, hedder normal vektor fly. I ligning (3.1) er koefficienterne A, B, C ikke lig med 0 på samme tid.

Særlige tilfælde ligninger (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - planet passerer gennem origo.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - planet er parallelt med Oz-aksen.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - flyet passerer gennem Oz-aksen.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - planet er parallelt med Oyz-planet.

Ligninger koordinere fly: x = 0, y = 0, z = 0.

En ret linje i rummet kan angives:

1) som en skæringslinje mellem to planer, dvs. ligningssystem:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0; (3.2)

2) ved sine to punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2), så er den rette linje, der går gennem dem, givet ved ligningerne:

3) punktet M 1 (x 1, y 1, z 1), der hører til det, og vektoren -en(m, n, p), collineær til den. Så er den rette linje bestemt af ligningerne:

. (3.4)

Ligninger (3.4) kaldes linjens kanoniske ligninger.

Vektor -en hedder retningsvektor lige.

Parametriske ligninger vi opnår en ret linje ved at sidestille hver af relationerne (3.4) til parameteren t:

x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + rt. (3,5)

Løsningssystem (3.2) som et system lineære ligninger relativt ukendt x Og y, når vi frem til linjens ligninger i fremskrivninger eller til givne ligninger for den rette linje:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Fra ligning (3.6) kan vi gå til de kanoniske ligninger, finde z fra hver ligning og lig de resulterende værdier:

.

Fra generelle ligninger (3.2) kan du gå til kanoniske ligninger på en anden måde, hvis du finder et punkt på denne linje og dens retningsvektor n= [n 1 , n 2], hvor n 1 (Ai, B1, C1) og n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - normale vektorer af givne planer. Hvis en af ​​nævnerne m, n eller R i ligning (3.4) viser det sig lig med nul, så skal tælleren for den tilsvarende brøk sættes lig nul, dvs. system

svarer til systemet ; sådan en ret linje er vinkelret på Ox-aksen.

System er ækvivalent med systemet x = x 1, y = y 1; den rette linje er parallel med Oz-aksen.

Eksempel 1.15. Skriv en ligning for planet, vel vidende at punktet A(1,-1,3) tjener som basis for en vinkelret trukket fra origo til denne plan.

Løsning. Ifølge problemforholdene, vektoren OA(1,-1,3) er en normalvektor for planet, så kan dens ligning skrives som
x-y+3z+D=0. Ved at erstatte koordinaterne for punkt A(1,-1,3), der hører til flyet, finder vi D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Så x-y+3z-11=0.

Eksempel 1.16. Opret en ligning for et plan, der passerer gennem Oz-aksen og danner en vinkel på 60 grader med planet 2x+y-z-7=0.

Løsning. Planet, der passerer gennem Oz-aksen, er givet ved ligningen Ax+By=0, hvor A og B ikke forsvinder samtidigt. Lad B ikke
er lig med 0, A/Bx+y=0. Brug af cosinusformlen for vinklen mellem to planer

.

Beslutter andengradsligning 3m 2 + 8m - 3 = 0, find dens rødder
m 1 = 1/3, m 2 = -3, hvorfra vi får to planer 1/3x+y = 0 og -3x+y = 0.

Eksempel 1.17. Komponer linjens kanoniske ligninger:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Løsning.Kanoniske ligninger rette linjer har formen:

Hvor m, n, s- koordinater for den rette linjes retningsvektor, x 1 , y 1 , z 1- koordinater for ethvert punkt, der hører til en linje. En ret linje er defineret som skæringslinjen mellem to planer. For at finde et punkt, der hører til en linje, er en af ​​koordinaterne fastsat (den nemmeste måde er at sætte f.eks. x=0), og det resulterende system løses som et system af lineære ligninger med to ubekendte. Så lad x=0, så y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, derfor y=-1, z=1. Vi fandt koordinaterne for punktet M(x 1, y 1, z 1) tilhørende denne linje: M (0,-1,1). Retningsvektoren for en lige linje er let at finde, idet man kender normalvektorerne for de oprindelige planer n 1 (5,1,1) og n 2 (2,3,-2). Derefter

Linjens kanoniske ligninger har formen: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Eksempel 1.18. I strålen defineret af planerne 2x-y+5z-3=0 og x+y+2z+1=0, find to vinkelrette planer, hvoraf den ene går gennem punktet M(1,0,1).

Løsning. Ligningen for strålen defineret af disse planer har formen u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, hvor u og v ikke forsvinder samtidigt. Lad os omskrive stråleligningen på følgende måde:

(2u +v)x + (-u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

For at vælge et plan fra strålen, der passerer gennem punktet M, erstatter vi koordinaterne for punktet M i strålens ligning. Vi får:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, eller v = -u.

Så finder vi ligningen for planet, der indeholder M, ved at erstatte v = - u i stråleligningen:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Fordi u¹0 (ellers v=0, og dette modsiger definitionen af ​​en stråle), så har vi ligningen for planet x-2y+3z-4=0. Det andet plan, der hører til strålen, skal være vinkelret på det. Lad os nedskrive betingelsen for ortogonalitet af planer:

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, eller v = -19/5u.

Det betyder, at ligningen for det andet plan har formen:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 eller 9x +24y + 13z + 34 = 0

Du kan indstille forskellige veje(et punkt og en vektor, to punkter og en vektor, tre punkter osv.). Det er med dette i tankerne, at flyets ligning kan have forskellige slags. Under visse betingelser kan planer også være parallelle, vinkelrette, krydsende osv. Vi vil tale om dette i denne artikel. Vi vil lære, hvordan man laver en generel ligning af et fly og mere.

Normal form for ligning

Lad os sige, at der er et mellemrum R 3, der har et rektangulært XYZ-koordinatsystem. Lad os definere vektoren α, som vil blive frigivet fra startpunktet O. Gennem enden af ​​vektoren α tegner vi en plan P, som vil være vinkelret på den.

Lad os betegne et vilkårligt punkt på P som Q = (x, y, z). Lad os underskrive radiusvektoren for punkt Q med bogstavet p. I dette tilfælde er længden af ​​vektoren α lig med р=IαI og Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Det her enhedsvektor, som er rettet til siden, ligesom vektoren α. α, β og γ er de vinkler, der dannes mellem vektoren Ʋ og de positive retninger af henholdsvis rumakserne x, y, z. Projektionen af ​​ethvert punkt QϵП på vektoren Ʋ er konstant værdi, som er lig med p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Ovenstående ligning giver mening, når p=0. Det eneste er, at planet P i dette tilfælde vil skære punktet O (α=0), som er udgangspunktet for koordinaterne, og enhedsvektoren Ʋ frigivet fra punktet O vil være vinkelret på P, på trods af dens retning, hvilket betyder, at vektoren Ʋ er bestemt med nøjagtighed til tegnet. Den foregående ligning er ligningen for vores plan P, udtrykt i vektorform. Men i koordinater vil det se sådan ud:

P her er større end eller lig med 0. Vi har fundet ligningen for planet i rummet i normal form.

Generel ligning

Hvis vi multiplicerer ligningen i koordinater med et hvilket som helst tal, der ikke er lig med nul, får vi en ligning svarende til denne, der definerer netop den plan. Det vil se sådan ud:

Her er A, B, C tal, der samtidigt er forskellige fra nul. Denne ligning kaldes den generelle planligning.

Planernes ligninger. Særlige tilfælde

Ligningen i generel form kan ændres, hvis der er yderligere betingelser. Lad os se på nogle af dem.

Lad os antage, at koefficient A er 0. Det betyder det givet fly parallelt med den givne akse Ox. I dette tilfælde vil formen af ​​ligningen ændre sig: Ву+Cz+D=0.

Tilsvarende vil formen af ​​ligningen ændre sig under følgende forhold:

• For det første, hvis B = 0, så ændres ligningen til Ax + Cz + D = 0, hvilket vil indikere parallelitet til Oy-aksen.
• For det andet, hvis C=0, så vil ligningen blive transformeret til Ax+By+D=0, hvilket vil indikere parallelitet til den givne Oz-akse.
• For det tredje, hvis D=0, vil ligningen se ud som Ax+By+Cz=0, hvilket vil betyde, at planet skærer O (originalen).
• For det fjerde, hvis A=B=0, så ændres ligningen til Cz+D=0, hvilket vil vise sig parallelt med Oxy.
• For det femte, hvis B=C=0, så bliver ligningen Ax+D=0, hvilket betyder, at planet til Oyz er parallelt.
• For det sjette, hvis A=C=0, vil ligningen have formen Ву+D=0, det vil sige, at den vil rapportere parallelitet til Oxz.

Type af ligning i segmenter

I det tilfælde, hvor tallene A, B, C, D er forskellige fra nul, kan formen af ​​ligning (0) være som følger:

x/a + y/b + z/c = 1,

hvor a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Vi får som et resultat Det er værd at bemærke, at dette plan vil skære Ox-aksen i et punkt med koordinater (a,0,0), Oy - (0,b,0) og Oz - (0,0,c. ).

Når man tager ligningen x/a + y/b + z/c = 1 i betragtning, er det ikke svært visuelt at forestille sig planets placering i forhold til et givet koordinatsystem.

Normale vektorkoordinater

Normalvektoren n til planen P har koordinater, der er koefficienter generel ligning af et givet plan, det vil sige n (A, B, C).

For at bestemme koordinaterne for normalen n er det nok at kende den generelle ligning for en given plan.

Når du bruger en ligning i segmenter, som har formen x/a + y/b + z/c = 1, samt når du bruger en generel ligning, kan du skrive koordinaterne for enhver normalvektor i en given plan: (1 /a + 1/b + 1/ Med).

Det er værd at bemærke, at den normale vektor hjælper med at løse forskellige opgaver. De mest almindelige omfatter problemer, der involverer bevis for vinkelret eller parallelitet af planer, problemer med at finde vinkler mellem planer eller vinkler mellem planer og rette linjer.

Type af planligning ifølge koordinaterne for punktet og normalvektoren

En ikke-nul vektor n vinkelret på en given plan kaldes normal for en given plan.

Lad os antage, at der i koordinatrummet (rektangulært koordinatsystem) er givet Oxyz:

• punkt Mₒ med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ);
• nul vektor n=A*i+B*j+C*k.

Det er nødvendigt at lave en ligning for en plan, der vil passere gennem punktet Mₒ vinkelret på normalen n.

Vi vælger et hvilket som helst vilkårligt punkt i rummet og betegner det M (x y, z). Lad radiusvektoren for ethvert punkt M (x,y,z) være r=x*i+y*j+z*k, og radiusvektoren for punktet Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punkt M vil tilhøre et givet plan, hvis vektoren MₒM er vinkelret på vektor n. Lad os skrive ortogonalitetsbetingelsen ved hjælp af skalarproduktet:

[MₒM, n] = 0.

Da MₒM = r-rₒ, vil vektorligningen for planet se sådan ud:

Denne ligning kan have en anden form. For at gøre dette bruges egenskaberne for det skalære produkt, og transformationen er venstre side ligninger = - . Hvis vi betegner det som c, får vi følgende ligning: - c = 0 eller = c, som udtrykker konstansen af ​​projektionerne på normalvektoren af ​​radiusvektorerne af givne punkter, der hører til planet.

Nu kan du få koordinatvisningen af ​​posten vektorligning vores plan = 0. Da r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, og n = A*i+B*j+C*k, vi har:

Det viser sig, at vi har en ligning for et plan, der går gennem et punkt vinkelret på normalen n:

A*(x-x2)+B*(y-y2)C*(z-z2)=0.

Type af planligning ifølge koordinaterne for to punkter og en vektor kolineær til planet

Lad os definere to vilkårlige punkter M′ (x′,y′,z′) og M″ (x″,y″,z″) samt en vektor a (a′,a″,a‴).

Nu kan vi lave en ligning for en given plan, der vil passere gennem de eksisterende punkter M′ og M″, såvel som ethvert punkt M med koordinater (x, y, z) parallelt med den givne vektor a.

I dette tilfælde skal vektorerne M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) og M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) være koplanære med vektoren a=(a′,a″,a‴), hvilket betyder, at (M′M, M″M, a)=0.

Så vores planligning i rummet vil se sådan ud:

Type af ligning for et plan, der skærer tre punkter

Lad os sige, at vi har tre punkter: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), som ikke hører til den samme linje. Det er nødvendigt at skrive ligningen for et plan, der passerer gennem givet tre punkter. Teorien om geometri hævder, at denne slags fly virkelig eksisterer, men det er det eneste og unikke. Da dette plan skærer punktet (x′,y′,z′), vil formen af ​​dets ligning være som følger:

Her er A, B, C forskellige fra nul på samme tid. Desuden skærer det givne plan yderligere to punkter: (x″,y″,z″) og (x‴,y‴,z‴). I den forbindelse skal følgende betingelser være opfyldt:

Nu kan vi skabe et homogent system med ukendte u, v, w:

I vores tilfælde x,y eller z stikker ud vilkårligt punkt, som opfylder ligning (1). Givet ligning (1) og ligningssystemet (2) og (3), er ligningssystemet angivet i figuren ovenfor opfyldt af vektoren N (A,B,C), som er ikke-triviel. Derfor er determinanten for dette system lig nul.

Ligning (1), som vi har fået, er ligningen for planet. Den passerer gennem 3 punkter nøjagtigt, og det er nemt at kontrollere. For at gøre dette skal vi udvide vores determinant til elementerne i første række. Fra eksisterende ejendomme determinant følger det, at vores plan samtidig skærer tre oprindeligt givne punkter (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴). Det vil sige, at vi har løst den opgave, vi har fået tildelt.

Dihedral vinkel mellem planer

En dihedral vinkel repræsenterer et rumligt geometrisk figur, dannet af to halvplaner, der udgår fra én lige linje. Med andre ord er dette den del af rummet, der er begrænset af disse halvplaner.

Lad os sige, at vi har to planer med følgende ligninger:

Vi ved, at vektorerne N=(A,B,C) og N¹=(A¹,B¹,C¹) er vinkelrette iflg. givne fly. I denne henseende er vinklen φ mellem vektorerne N og N¹ lig med den vinkel (dihedral), der er placeret mellem disse planer. Skalært produkt har formen:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

netop fordi

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Det er nok at tage højde for, at 0≤φ≤π.

Faktisk danner to planer, der skærer hinanden, to vinkler (dihedral): φ 1 og φ 2. Deres sum er lig π (φ 1 + φ 2 = π). Hvad angår deres cosinus, er deres absolutte værdier ens, men de adskiller sig i fortegn, det vil sige cos φ 1 = -cos φ 2. Hvis vi i ligning (0) erstatter A, B og C med henholdsvis tallene -A, -B og -C, så vil ligningen, vi får, bestemme den samme plan, den eneste, vinklen φ i cos ligningφ=NN1/|N||N1 | vil blive erstattet af π-φ.

Ligning for et vinkelret plan

Planer, mellem hvilke vinklen er 90 grader, kaldes vinkelrette. Ved at bruge det ovenfor præsenterede materiale kan vi finde ligningen for et plan vinkelret på et andet. Lad os sige, at vi har to planer: Ax+By+Cz+D=0 og A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Vi kan sige, at de vil være vinkelrette, hvis cosφ=0. Det betyder, at NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallelplansligning

To planer, der ikke indeholder fælles punkter, kaldes parallelle.

Betingelse (deres ligninger er de samme som i forrige afsnit) er, at vektorerne N og N¹, som er vinkelrette på dem, er kollineære. Og det betyder, at de er opfyldt følgende forhold proportionalitet:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Hvis proportionalitetsbetingelserne udvides - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

dette indikerer, at disse fly falder sammen. Det betyder, at ligningerne Ax+By+Cz+D=0 og A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 beskriver én plan.

Afstand til fly fra punkt

Lad os sige, at vi har en plan P, som er givet ved ligning (0). Det er nødvendigt at finde afstanden til den fra et punkt med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. For at gøre dette skal du bringe ligningen for planet P i normal form:

(ρ,v)=р (р≥0).

I I dette tilfældeρ (x,y,z) er radiusvektoren for vores punkt Q placeret på P, p er længden af ​​den vinkelrette P, der blev frigivet fra nulpunkt, v er enhedsvektoren, som er placeret i retningen a.

Forskellen ρ-ρº radiusvektor for et punkt Q = (x, y, z), der tilhører P, såvel som radiusvektoren for et givet punkt Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) er sådan en vektor, absolut værdi hvis projektion på v er lig med afstanden d, som skal findes fra Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) til P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, men

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ0,v) =р-(ρ0,v).

Så det viser sig

d=|(ρ 0,v)-р|.

Så vi finder absolut værdi det resulterende udtryk, det vil sige det ønskede d.

Ved at bruge parametersproget får vi det åbenlyse:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Hvis sætpunkt Q 0 er på den anden side af planen P, ligesom koordinaternes oprindelse, så mellem vektoren ρ-ρ 0 og v er derfor placeret:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

I det tilfælde, hvor punktet Q 0, sammen med oprindelsen af ​​koordinater, er placeret på samme side af P, så er den skabte vinkel spids, det vil sige:

d=(ρ-ρ0,v)=р - (ρ0, v)>0.

Som et resultat viser det sig, at i det første tilfælde (ρ 0 ,v)>р, i det andet (ρ 0 ,v)<р.

Tangentplan og dets ligning

Tangentplanet til overfladen i kontaktpunktet Mº er et plan, der indeholder alle mulige tangenter til kurverne trukket gennem dette punkt på overfladen.

Med denne type overfladeligning F(x,y,z)=0, vil ligningen for tangentplanet ved tangentpunktet Mº(xº,yº,zº) se sådan ud:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Hvis du angiver overfladen i eksplicit form z=f (x,y), så vil tangentplanet blive beskrevet med ligningen:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Skæring af to planer

I koordinatsystemet (rektangulært) er Oxyz placeret, der er givet to planer П′ og П″, som skærer hinanden og ikke er sammenfaldende. Da enhver plan placeret i et rektangulært koordinatsystem er bestemt af en generel ligning, vil vi antage, at P′ og P″ er givet af ligningerne A′x+B′y+C′z+D′=0 og A″x +B″y+ С″z+D″=0. I dette tilfælde har vi normalen n′ (A′,B′,C′) for planen P′ og normalen n″ (A″,B″,C″) af planen P″. Da vores planer ikke er parallelle og ikke falder sammen, er disse vektorer ikke kollineære. Ved at bruge matematikkens sprog kan vi skrive denne betingelse som følger: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Lad den rette linje, der ligger i skæringspunktet mellem P′ og P″, betegnes med bogstavet a, i dette tilfælde a = P′ ∩ P″.

a er en ret linje, der består af mængden af ​​alle punkter i de (fælles) planer P′ og P″. Det betyder, at koordinaterne for ethvert punkt, der hører til linje a, samtidig skal opfylde ligningerne A′x+B′y+C′z+D′=0 og A″x+B″y+C″z+D″=0 . Dette betyder, at punktets koordinater vil være en delvis løsning af følgende ligningssystem:

Som et resultat viser det sig, at den (generelle) løsning af dette ligningssystem vil bestemme koordinaterne for hvert af punkterne på linjen, som vil fungere som skæringspunktet for P′ og P″ og bestemme den rette linje a i Oxyz (rektangulære) koordinatsystem i rummet.