Skæring i to lige store dele, del et
- Matematik
Skæreproblemer er et område inden for matematikken, hvor der, som man siger, ingen mammutter ligger rundt omkring. En masse individuelle problemer, men i det væsentlige nej generel teori. Ud over den velkendte Bolyai-Gerwin-sætning, andre grundlæggende resultater praktisk talt ingen på dette område. Usikkerhed - evig følgesvend skærende opgaver. Vi kan f.eks. skære regulær femkant i seks dele, hvorfra du kan folde en firkant; vi kan dog ikke bevise, at fem dele ikke ville være nok til dette.
Ved hjælp af snedig heuristik, fantasi og en halv liter lykkes det os nogle gange at finde specifik løsning, men som regel har vi ikke de passende værktøjer til at bevise minimaliteten af denne løsning eller dens ikke-eksistens (sidstnævnte gælder selvfølgelig i tilfældet, hvor vi ikke har fundet en løsning). Det er trist og uretfærdigt. Og en dag tog jeg en tom notesbog og besluttede mig for at genoprette retfærdighed på størrelse med én specifik opgave: skæring flad figur i to lige store (kongruente) dele. Som en del af denne serie af artikler (der vil i øvrigt være tre af dem), vil du og jeg, kammerater, se på denne sjove polygon vist nedenfor og forsøge upartisk at finde ud af, om det er muligt at skære den i to lige store tal eller ej.
Introduktion
Lad os først opdatere skoleforløb geometri og husk hvad det er lige tal. Yandex foreslår hjælpsomt:To figurer på et plan kaldes lige, hvis der er en bevægelse, der en-til-en forvandler den ene figur til den anden.
Lad os nu spørge Wikipedia om bevægelser. Hun vil for det første fortælle os, at bevægelse er en transformation af planet, der bevarer afstanden mellem punkter. For det andet er der endda en klassificering af bevægelser på et fly. De tilhører alle en af næste tre typer:
- Glidende symmetri (her inkluderer jeg for nemheds skyld og fordel spejlsymmetri, som et degenereret tilfælde, hvor parallel translation udføres til nulvektoren)
Lad os introducere noget notation. Vi vil kalde figuren, der skæres, figur A, og de to hypotetiske lige figurer, som vi angiveligt kan skære den ind i, vil hedde henholdsvis B og C. Vi vil kalde den del af planet, der ikke er optaget af figur A, for region D. I tilfælde, hvor en specifik polygon fra billedet betragtes som den afskårne figur, vil vi kalde det A 0 .
Så hvis figur A kan skæres i to lige store dele B og C, så er der en bevægelse, der transformerer B til C. Denne bevægelse kan enten være parallel overførsel, enten ved rotation eller glidesymmetri (fra nu af foreskriver jeg det ikke længere spejlsymmetri betragtes også som glidende). Vores beslutning vil blive bygget på dette enkle og, vil jeg endda sige, indlysende grundlag. I denne del vil vi se på det enkleste tilfælde - parallel overførsel. Rotation og glidesymmetri vil falde i henholdsvis anden og tredje del.
Case 1: parallel overførsel
Parallel overførsel er specificeret af en enkelt parameter - den vektor, hvormed skiftet sker. Lad os introducere et par flere udtryk. En ret linje parallel med forskydningsvektoren og indeholdende mindst ét punkt i figuren A vil blive kaldt sekant. Skæringspunktet mellem en sekantlinje og figur A vil blive kaldt tværsnit. En sekant med hensyn til hvilken figur A (minus snittet) ligger helt i det ene halvplan vil blive kaldt grænse.
Lemma 1. Et grænseafsnit skal indeholde mere end et punkt.
Bevis: indlysende. Nå, eller mere detaljeret: lad os bevise det ved modsigelse. Hvis dette punkt hører til figur B, så er det billede(dvs. det punkt, hvortil det vil gå under parallel oversættelse) hører til figur C => billedet tilhører figur A => billedet hører til sektionen. Modsigelse. Hvis dette punkt hører til figur C, så er det prototype(det punkt, der med parallel oversættelse vil gå ind i det) hører til figur B, og så tilsvarende. Det viser sig, at der skal være mindst to punkter i afsnittet.
Styret af dette enkle lemma er det let at forstå, at den ønskede parallelle transport kun kan forekomme langs lodret akse(i den aktuelle orientering af billedet) Hvis det var i en anden retning, ville mindst et af grænseafsnittene bestå af et enkelt punkt. Dette kan forstås ved mentalt at rotere skiftvektoren og se, hvad der sker med grænserne. For at eliminere tilfældet med vertikal parallel overførsel har vi brug for et mere sofistikeret værktøj.
Lemma 2. Det omvendte billede af et punkt placeret på grænsen til figur C er enten på grænsen af figur B og C eller på grænsen af figur B og område D.
Bevis: ikke indlysende, men vi ordner det nu. Lad mig minde dig om, at grænsepunktet for en figur er sådan et punkt, at der, uanset hvor tæt på det, er både punkter, der hører til figuren, og punkter, der ikke hører til. I overensstemmelse hermed vil der nær grænsepunktet (lad os kalde det O") af figur C være både punkter i figur C og andre punkter, der tilhører enten figur B eller område D. De omvendte billeder af punkterne i figur C kan kun være figurpunkter B. Følgelig er der vilkårligt tæt på det omvendte billede af punktet O" (det ville være logisk at kalde det punkt O) punkter i figur B. De omvendte billeder af punkterne i figur B kan være alle punkter, der gør ikke hører til B (det vil sige enten punkterne i figur C eller punkterne i regionen D). Tilsvarende for punkter i område D. Uanset hvor tæt på punkt O der er, er der følgelig enten punkter i figur C (og så vil punkt O være på grænsen mellem B og C) eller punkter i område D (og så vil det omvendte billede være på grænsen mellem B og D). Hvis du kan komme igennem alle disse breve, er du enig i, at lemmaet er bevist.
Sætning 1. Hvis tværsnittet af figur A er et segment, så er dets længde et multiplum af længden af forskydningsvektoren.
Bevis: overvej den "fjerne" ende af dette segment (dvs. den ende, hvis prototype også tilhører segmentet). Denne ende hører åbenbart til figur C og er dens grænsepunkt. Følgelig vil dets omvendte billede (i øvrigt også liggende på segmentet og adskilt fra billedet af længden af forskydningsvektoren) enten være på grænsen af B og C eller på grænsen af B og D. Hvis det er på grænsen mellem B og C, så tager vi også dets omvendte billede . Vi vil gentage denne operation, indtil det næste omvendte billede ophører med at være på grænsen C og ender på grænsen D - og det vil ske præcis i den anden ende af sektionen. Som et resultat får vi en kæde af præbilleder, der deler sektionen i et antal små segmenter, hvor længden af hver er lig med længden af skiftvektoren. Derfor er længden af sektionen et multiplum af længden af forskydningsvektoren osv.
En konsekvens af sætning 1. Alle to sektioner, der er segmenter, skal stå i forhold til hinanden.
Ved at bruge dette resultat er det let at vise, at vertikal parallel overførsel også forsvinder.
Faktisk har sektion et en længde på tre celler, og sektion to har en længde på tre minus roden af to i halvdelen. Det er klart, at disse værdier er usammenlignelige.
Konklusion
Hvis figur A 0 og kan skæres i to lige store figurer B og C, oversættes B ikke til C ved parallel translation. Fortsættes.7. klasses klub
Chef Varvara Alekseevna Kosorotova
akademisk år 2009/2010
Lektion 8. Klipning på et ternet ark papir
Når du løser problemer af denne type, er det nyttigt at anvende følgende overvejelser:
- Firkant. Hvis du skal dele en figur op i flere lige dele, skal du først finde området af figuren, der skæres, og derefter - hver af delene. På samme måde, hvis den oprindelige figur skal opdeles i flere figurer af en given type, er det værd først at beregne, hvor mange der skal være. De samme overvejelser kan hjælpe, når andre skæreproblemer skal løses. For at illustrere denne idé tilføjede forfatteren af disse linjer opgave 13 til listen, som ikke var blandt de problemer, der blev tilbudt i lektionen.
- Symmetri. Der skal lægges vægt på symmetriens egenskaber, for eksempel i tilfælde af, at det er nødvendigt at skære en figur i dele og samle en anden figur fra dem.
Del en 4x4 firkant i to lige store dele med fire forskellige veje så skærelinjen går langs siderne af cellerne. Flag - 1. Skær 6-stribet flaget i to stykker, så du kan folde dem til et 8-stribet flag.
Flag - 2. Skær flag A i fire stykker, så flag B kan foldes fra dem. 
Skær figuren i 4 lige store dele. 
Af de to - en. Klip firkanten med hullet i to lige linjer i 4 stykker, så du kan folde en ny firkant fra dem og en anden almindelig 5x5 firkant. 
11*.
Skarvet firkant. Vend en takket firkant til en almindelig firkant ved at skære den i 5 stykker. 
12*.
Maltesisk kors - 2. Skær “malteserkorset” (se opgave 8) i 5 stykker, så de kan foldes til en firkant. 13**. Dunno skære figuren vist på figuren i tre-celle og fire-celle hjørner (som på billedet). Hvor mange hjørnespark kunne Dunno få? Overvej alle mulige tilfælde! 
Løsning. Arealet af den originale figur er 22 (vi tager en celle som arealenhed). Lad n firecellede og k trecellede hjørner bruges til skæring. Derefter udtrykker vi arealet af den store figur som summen af arealerne af hjørnerne: 22 = 3 k + 4 n. Lad os omskrive denne lighed i denne form: 22 − 4 n =3 k. På venstre side af denne ligestilling er lige tal, som dog ikke er deleligt med 4. Det betyder, at 3 k også er et lige tal, der ikke er deleligt med 4, og derfor er tallet k i sig selv sådan. Derudover er der på højre side af ligheden et tal, der er et multiplum af 3, så 22 − 4 n er også et multiplum af 3. Således er 22 − 4 n et multiplum af 6. Gennemgang af værdierne af n fra 0 til 5 (for n ≥6 22 − 4 n<0<3 k , чего быть не может), получаем, что такое возможно лишь при n =1 и при n =4. В каждом из этих случаев несложно найти k . При n =1 имеем k =6, а при n =4 имеем k =2.
Bemærk, at vi endnu ikke har bevist, at begge disse tilfælde er realiseret. Når alt kommer til alt er lighed af områder kun en nødvendig betingelse for eksistensen af en skæremetode, men på ingen måde tilstrækkelig (for eksempel kan et rektangel på størrelse 1 × 6 naturligvis ikke skæres i to trecellede hjørner, selvom 3 2 = 6). For at fuldende beviset bør der gives eksempler på udskæringer af hver type. Dette kan gøres på mange forskellige måder. Billedet viser kun én af dem, og du kan prøve at finde på noget helt eget. Forresten ville det være interessant at besvare dette spørgsmål: hvor mange udskæringer af hver type er der? (Forfatteren af disse linjer kender f.eks. endnu ikke svaret på dette spørgsmål). 
Afslutningsvis understreger vi endnu en gang, at en komplet løsning på dette problem involverer to trin: at finde mulige sager og kontrollere, at alle er realiseret. Hvert af disse trin alene er ikke en løsning på problemet!
Tilbage frem
Opmærksomhed! Forhåndsvisninger af dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke alle funktionerne i præsentationen. Hvis du er interesseret i dette arbejde, bedes du downloade den fulde version.
Erfaring viser, at ved brug af praktiske undervisningsmetoder, er det muligt hos eleverne at danne en række mentale teknikker, der er nødvendige for korrekt at identificere væsentlige og ikke-essentielle træk, når de sætter sig ind i geometriske figurer. matematisk intuition, logisk og abstrakt tænkning udvikles, en kultur for matematisk tale dannes, matematiske og designmæssige evner udvikles, kognitiv aktivitet øges, kognitiv interesse dannes, intellektuelt og kreativt potentiale udvikles Artiklen giver en række praktiske opgaver om at skære geometriske former i stykker for at komponere disse dele skabe en ny figur. Eleverne arbejder med opgaver i grupper. Hver gruppe forsvarer derefter sit projekt.
To figurer kaldes lige sammensatte, hvis det ved at skære en af dem på en bestemt måde i et begrænset antal dele er muligt (ved at arrangere disse dele forskelligt) at danne en anden figur af dem. Så partitioneringsmetoden er baseret på det faktum, at to ens sammensatte polygoner er lige store. Det er naturligt at stille det modsatte spørgsmål: er to polygoner med samme areal lige store? Svaret på dette spørgsmål blev givet (næsten samtidigt) af den ungarske matematiker Farkas Bolyai (1832) og den tyske officer og matematikentusiast Gerwin (1833): to polygoner med lige store arealer er lige proportionale.
Bolyai-Gerwin-sætningen siger, at enhver polygon kan skæres i stykker, så stykkerne kan formes til en firkant.
Øvelse 1.
Klip rektanglet -en x 2a i stykker, så de kan laves til en firkant.
Vi skærer rektangel ABCD i tre dele langs linjerne MD og MC (M er midten af AB)
Billede 1
Vi flytter trekanten AMD, så toppunktet M falder sammen med toppunktet C, benet AM bevæger sig til segmentet DC. Vi flytter trekanten MVS til venstre og ned, så benet MV overlapper halvdelen af segmentet DC. (Billede 1)
Opgave 2.
Skær den ligesidede trekant i stykker, så de kan foldes til en firkant.
Lad os betegne denne regulære trekant ABC. Det er nødvendigt at skære trekant ABC i polygoner, så de kan foldes til en firkant. Så skal disse polygoner have mindst én ret vinkel.
Lad K være midtpunktet af CB, T være midtpunktet af AB, vælg punkterne M og E på siden AC, så ME=AT=TV=BK=SC= EN, AM=EC= EN/2.
Figur 2
Lad os tegne segmentet MK og segmenterne EP og TN vinkelret på det. Lad os skære trekanten i stykker langs de konstruerede linjer. Vi roterer firkanten KRES med uret i forhold til toppunktet K, så SC flugter med segmentet KV. Lad os dreje firkanten AMNT med uret i forhold til toppunktet T, så AT flugter med TV. Lad os flytte trekanten MEP, så resultatet er en firkant. (Figur 2)
Opgave 3.
Skær firkanten i stykker, så to firkanter kan foldes fra dem.
Lad os betegne det oprindelige kvadrat ABCD. Lad os markere midtpunkterne på siderne af kvadratet - punkterne M, N, K, H. Lad os tegne segmenterne MT, HE, KF og NP - dele af segmenterne henholdsvis MC, HB, KA og ND.
Ved at skære kvadratet ABCD langs de tegnede linjer får vi kvadratet PTEF og fire firkanter MDHT, HCKE, KBNF og NAMP.
Figur 3
PTEF er en færdiglavet firkant. Fra de resterende firkanter vil vi danne den anden firkant. Hjørnerne A, B, C og D er kompatible på ét punkt, segmenterne AM og BC, MD og KS, BN og CH, DH og AN er kompatible. Punkterne P, T, E og F bliver hjørnerne i den nye firkant. (Figur 3)
Opgave 4.
En ligesidet trekant og en firkant er skåret ud af tykt papir. Skær disse figurer i polygoner, så de kan foldes til én firkant, og delene skal fylde den helt ud og må ikke krydse hinanden.
Skær trekanten i stykker og lav en firkant af dem som vist i opgave 2. Længde på trekantens side – 2a. Nu skal du dele firkanten op i polygoner, så du af disse dele og firkanten, der kom ud af trekanten, laver en ny firkant. Tag en firkant med side 2 EN, lad os betegne det LRSD. Lad os tegne indbyrdes vinkelrette segmenter UG og VF, så DU=SF=RG=LV. Lad os skære firkanten ud i firkanter.
Figur 4
Lad os tage et kvadrat, der består af dele af en trekant. Lad os lægge firkanterne ud - dele af firkanten, som vist i figur 4.
Opgave 5.
Korset består af fem firkanter: en firkant i midten, og de andre fire støder op til dets sider. Skær den i stykker, så du kan lave en firkant af dem.
Lad os forbinde hjørnerne af firkanterne som vist i figur 5. Klip de "ydre" trekanter af og flyt dem til de frie rum inde i ABC-firkanten.
Figur 5
Opgave 6.
Tegn to vilkårlige firkanter om til én.
Figur 6 viser, hvordan man skærer og flytter de firkantede stykker.
Oplæg til en visuel geometritime i 5. klasse. Fokuseret på lærebogen for uddannelsesinstitutioner "Visuel Geometry", klasse 5-6 / I.F. Shaprygin, L.N. Erganzhieva - Udgiver: Bustard, 2015
Grundkoncept: lighed mellem tal. Emneresultater: afbilde lige tal og retfærdiggøre deres lighed; konstruer givne figurer ud fra flade geometriske former; skabe og manipulere et billede: skille ad, rotere, kombinere, overlejre. Meta-fag resultater: udvikling af fantasifuld tænkning, designevner, evne til at forudse resultater, dannelse af kommunikationsevner.
Personlige resultater: udvikling af kognitiv aktivitet; skabe smag for mentalt arbejde. Intrasubjekt- og intersubjektforbindelser: planimetri (figurernes lighed, symmetri, areal, lige størrelse og lige sammensætning), geometrisk kombinatorik, tegning, teknologi.
Denne lektion er den første af to om dette emne.
Denne lektion dækker problemer med at skære former. Målet med løseren er at skære den angivne figur i to eller flere lige store dele. For at forenkle denne figur er den ofte opdelt i celler. I disse problemer introduceres implicit begrebet figurernes lighed (figurer, der er sammenfaldende, når de overlejres, kaldes lige). Denne definition bruges også til at kontrollere ligheden af de resulterende tal.
Se dokumentets indhold
"Problemer med at skære og folde former. Lektion 1"
Skæreproblemer
og foldefigurer
Mål: at konsolidere evnen til at løse skæreproblemer.
Visuel geometri
5. klasse
Dette ordsprog advarer dig mod hastværk med at løse problemer.
Den givne figur, som er opdelt i lige store celler for nemheds skyld, skal skæres i to eller flere dele.
Hvis disse dele kan lægges oven på hinanden, så de falder sammen (og figurerne kan vendes), så er problemet løst korrekt.
Problemløsning
Lokal jordhandler
greb et stykke usædvanligt land ved lejlighed
former (han håbede at sælge det rentabelt i dele).
Men hver af de otte fandt
im købere, ønskede at have
grunden er ikke værre end naboens.
Hvor skal forhandleren installere
skille hegn,
for at gøre det 8
identiske områder?
Svar
Problemløsning
Et kvadrat består af 16 identiske celler,
4 af dem er overmalet. Skær firkanten ud i
4 lige store dele, så der i hver af dem
der var kun én farvet celle.
En celle kan optage et hvilket som helst sted i hver del.
Svar (4)
Problemløsning
Skær rektanglet i 4 lige store dele,
(brug så mange metoder som muligt).
1 vej
Præsentationen tilbyder kun 4 måder at løse dette problem på. Måske vil eleverne foreslå andre metoder - disse bør også overvejes i klassen.
Metode 2
3 vejs
Lav figurer ud af dem. Hvor mange af dem fik du?
Det resulterende
figurerne kaldes
TRIMINO .
Tag fire identiske firkanter. Lav figurer ud af dem.
- Hvor mange af dem fik du?
Fik fem
TETRAMINO tal.
Lav fem firkanter
alle mulige tal.
Hvor mange af dem fik du?
Total eksisterer 12 pentomino elementer
Til opmærksomhed fra matematikvejledere og lærere i forskellige valgfag og klubber tilbydes et udvalg af underholdende og lærerige geometriske klippeopgaver. Målet med en vejleder, der bruger sådanne problemer i sine klasser, er ikke kun at interessere eleven i interessante og effektive kombinationer af celler og figurer, men også at udvikle sin sans for linjer, vinkler og former. Opgavesættet henvender sig hovedsageligt til børn i 4-6 klassetrin, selvom det er muligt at bruge det selv med gymnasieelever. Øvelserne kræver, at eleverne har en høj og stabil opmærksomhedskoncentration og er perfekte til at udvikle og træne visuel hukommelse. Anbefales til matematikvejledere, der forbereder eleverne til adgangsprøver til matematikskoler og -klasser, der stiller særlige krav til barnets niveau af selvstændig tænkning og kreative evner. Opgaveniveauet svarer til niveauet for indgangsolympiader til Lyceum "anden skole" (anden matematisk skole), det lille fakultet for mekanik og matematik ved Moskva State University, Kurchatov-skolen osv.
Matematikvejleder Bemærk:
I nogle løsninger på problemer, som du kan se ved at klikke på den tilsvarende markør, er kun et af de mulige eksempler på skæring angivet. Jeg indrømmer fuldt ud, at du kan ende med en anden korrekt kombination - det behøver du ikke være bange for. Tjek din lilles løsning omhyggeligt, og hvis den opfylder betingelserne, så påtag gerne næste opgave.
1) Prøv at skære figuren vist på figuren i 3 ligeformede dele:
: Små former minder meget om bogstavet T
2) Skær nu denne figur i 4 ligeformede dele:
Matematikvejleder tip: Det er let at gætte, at små figurer vil bestå af 3 celler, men der er ikke mange figurer med tre celler. Der er kun to typer af dem: et hjørne og et 1×3 rektangel.
3) Skær denne figur i 5 ligeformede stykker:
Find antallet af celler, der udgør hver sådan figur. Disse tal ligner bogstavet G.
4) Nu skal du skære en figur på ti celler i 4 ulige rektangel (eller firkantet) til hinanden.
Vejledning i matematik: Vælg et rektangel, og prøv derefter at passe tre mere ind i de resterende celler. Hvis det ikke virker, så skift det første rektangel og prøv igen.
5) Opgaven bliver mere kompliceret: du skal skære figuren i 4 forskellig i form figurer (ikke nødvendigvis rektangler).
Matematikvejleder tip: Tegn først separat alle typer figurer af forskellige former (der vil være mere end fire af dem) og gentag metoden til at opregne muligheder som i den forrige opgave.
:
6) Skær denne figur til 5 figurer fra fire celler af forskellig form, så der kun er malet én grøn celle i hver af dem.
Matematikvejleder tip: Prøv at begynde at skære fra den øverste kant af denne figur, og du vil straks forstå, hvordan du fortsætter.
:
7) Baseret på den foregående opgave. Find hvor mange figurer af forskellige former der er, bestående af præcis fire celler? Figurerne kan drejes og drejes, men du kan ikke løfte bordet (fra dets overflade), som det ligger på. Det vil sige, at de to givne figurer ikke vil blive betragtet som ens, da de ikke kan opnås fra hinanden ved rotation.
Matematikvejleder tip: Studer løsningen på det foregående problem, og prøv at forestille dig de forskellige positioner af disse figurer, når de vender. Det er ikke svært at gætte, at svaret på vores problem vil være tallet 5 eller mere. (Faktisk endda mere end seks). Der er beskrevet 7 typer figurer.
8) Skær en firkant med 16 celler i 4 ligeformede stykker, så hver af de fire stykker indeholder præcis én grøn celle.
Matematikvejleder tip: Udseendet af de små figurer er ikke en firkant eller et rektangel, eller endda et hjørne af fire celler. Så hvilke former skal du prøve at skære i?
9) Skær den afbildede figur i to dele, så de resulterende dele kan foldes til en firkant.
Matematikvejleder tip: Der er 16 celler i alt, hvilket betyder, at firkanten bliver 4x4 i størrelse. Og på en eller anden måde skal du fylde vinduet i midten. Hvordan gør man det? Kan der være en form for skift? Da rektanglets længde er lig med et ulige antal celler, skal skæringen ikke udføres med et lodret snit, men langs en brudt linje. Således at den øverste del skæres af på den ene side af den midterste celle, og den nederste del på den anden.
10) Skær et 4x9 rektangel i to stykker, så de kan foldes til en firkant.
Matematikvejleder tip: Der er 36 celler i alt i rektanglet. Derfor bliver pladsen 6x6 i størrelse. Da langsiden består af ni celler, skal tre af dem skæres af. Hvordan vil denne nedskæring forløbe?
11) Krydset af fem celler vist på figuren skal skæres (du kan skære selve cellerne) i stykker, hvorfra en firkant kan foldes.
Matematikvejleder tip: Det er klart, at uanset hvordan vi skærer langs cellernes linjer, vil vi ikke få en firkant, da der kun er 5 celler. Dette er den eneste opgave, hvor det er tilladt at skære ikke af celler. Det ville dog stadig være godt at lade dem være en guide. for eksempel er det værd at bemærke, at vi på en eller anden måde er nødt til at fjerne de fordybninger, vi har - nemlig i de indre hjørner af vores kors. Hvordan gør man dette? For eksempel at skære nogle fremspringende trekanter af fra de ydre hjørner af korset...