I denne artikel betragtes metoden som en metode til løsning af systemer af lineære ligninger (SLAE'er). Metoden er analytisk, det vil sige, den giver dig mulighed for at skrive en løsningsalgoritme i en generel form og derefter erstatte værdier fra specifikke eksempler der. I modsætning til matrixmetoden eller Cramers formler kan man, når man løser et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden, også arbejde med dem, der har et uendeligt antal løsninger. Eller også har de det slet ikke.
Hvad vil det sige at løse ved hjælp af Gauss-metoden?
Først skal vi skrive vores ligningssystem i Det ser sådan ud. Tag systemet:
Koefficienterne er skrevet i form af en tabel, og de frie udtryk er skrevet i en separat kolonne til højre. Kolonnen med frie termer er adskilt for nemheds skyld. Matrixen, der indeholder denne kolonne, kaldes udvidet.
Dernæst skal hovedmatrixen med koefficienter reduceres til en øvre trekantet form. Dette er hovedpunktet for at løse systemet ved hjælp af Gauss-metoden. Kort sagt, efter visse manipulationer skal matrixen se ud, så dens nederste venstre del kun indeholder nuller:
Hvis du så skriver den nye matrix igen som et ligningssystem, vil du bemærke, at den sidste række allerede indeholder værdien af en af rødderne, som så substitueres i ligningen ovenfor, en anden rod findes, og så videre.
Dette er en beskrivelse af løsningen ved den Gaussiske metode i de mest generelle vendinger. Hvad sker der, hvis systemet pludselig ikke har nogen løsning? Eller er der uendeligt mange af dem? For at besvare disse og mange andre spørgsmål er det nødvendigt at overveje separat alle de elementer, der bruges til at løse den Gaussiske metode.
Matricer, deres egenskaber
Der er ingen skjult mening i matrixen. Dette er simpelthen en bekvem måde at registrere data til efterfølgende operationer med den. Selv skolebørn behøver ikke at være bange for dem.
Matrixen er altid rektangulær, fordi den er mere praktisk. Selv i Gauss-metoden, hvor alt går ud på at konstruere en matrix af en trekantet form, vises et rektangel i indgangen, kun med nuller på det sted, hvor der ikke er tal. Nuller kan ikke skrives, men de er underforstået.
Matrixen har en størrelse. Dens "bredde" er antallet af rækker (m), "længde" er antallet af kolonner (n). Så vil størrelsen af matricen A (store latinske bogstaver bruges normalt til at betegne dem) betegnes som A m×n. Hvis m=n, så er denne matrix kvadratisk, og m=n er dens rækkefølge. Følgelig kan ethvert element i matrix A betegnes med dets række- og kolonnenumre: a xy ; x - rækkenummer, ændringer, y - kolonnenummer, ændringer.
B er ikke hovedpunktet i afgørelsen. I princippet kan alle operationer udføres direkte med selve ligningerne, men notationen bliver meget mere besværlig, og det vil være meget nemmere at blive forvirret i den.
Determinant
Matrixen har også en determinant. Dette er en meget vigtig egenskab. Der er ingen grund til at finde ud af dens betydning nu; du kan blot vise, hvordan den beregnes, og så fortælle, hvilke egenskaber ved matrixen den bestemmer. Den nemmeste måde at finde determinanten på er gennem diagonaler. I matrixen tegnes imaginære diagonaler; elementerne placeret på hver af dem multipliceres, og derefter tilføjes de resulterende produkter: diagonaler med en hældning til højre - med et plustegn, med en hældning til venstre - med et minustegn.
Det er ekstremt vigtigt at bemærke, at determinanten kun kan beregnes for en kvadratisk matrix. For en rektangulær matrix kan du gøre følgende: Vælg den mindste fra antallet af rækker og antallet af kolonner (lad det være k), og marker derefter tilfældigt k kolonner og k rækker i matricen. Elementerne i skæringspunktet mellem de valgte kolonner og rækker vil danne en ny firkantet matrix. Hvis determinanten for en sådan matrix er et ikke-nul tal, kaldes det basis-minor af den oprindelige rektangulære matrix.
Før du begynder at løse et ligningssystem ved hjælp af Gauss-metoden, skader det ikke at beregne determinanten. Hvis det viser sig at være nul, så kan vi umiddelbart sige, at matricen enten har et uendeligt antal løsninger eller slet ingen. I sådan et trist tilfælde skal du gå længere og finde ud af matrixens rang.
System klassificering
Der er sådan noget som rangen af en matrix. Dette er den maksimale rækkefølge af dens ikke-nul determinant (hvis vi husker om basis-minor, kan vi sige, at rangen af en matrix er rækkefølgen af basis-minor).
Baseret på situationen med rang kan SLAE opdeles i:
- Samling. U I fælles systemer falder rangeringen af hovedmatricen (kun bestående af koefficienter) sammen med rangordenen for den udvidede matrix (med en kolonne med frie led). Sådanne systemer har en løsning, men ikke nødvendigvis en, derfor er fælles systemer desuden opdelt i:
- - bestemte- at have en enkelt løsning. I visse systemer er rangeringen af matrixen og antallet af ukendte (eller antallet af kolonner, som er det samme) lige store;
- - udefineret - med et uendeligt antal løsninger. Rangen af matricer i sådanne systemer er mindre end antallet af ukendte.
- Uforenelig. U I sådanne systemer falder rækkerne af hoved- og udvidede matricer ikke sammen. Inkompatible systemer har ingen løsning.
Gauss-metoden er god, fordi den under løsningen giver mulighed for enten at opnå et entydigt bevis for systemets inkonsistens (uden at beregne determinanterne for store matricer), eller en løsning i generel form for et system med et uendeligt antal løsninger.
Elementære transformationer
Før du går direkte videre til at løse systemet, kan du gøre det mindre besværligt og mere bekvemt til beregninger. Dette opnås gennem elementære transformationer - sådan at deres implementering ikke ændrer det endelige svar på nogen måde. Det skal bemærkes, at nogle af de givne elementære transformationer kun er gyldige for matricer, hvis kilde var SLAE. Her er en liste over disse transformationer:
- Omarrangering af linjer. Hvis du ændrer rækkefølgen af ligningerne i systemposten, vil dette naturligvis ikke påvirke løsningen på nogen måde. Følgelig kan rækker i matrixen af dette system også byttes, selvfølgelig ikke at glemme kolonnen med frie termer.
- Multiplicer alle elementer i en streng med en bestemt koefficient. Meget hjælpsom! Det kan bruges til at reducere store tal i en matrix eller fjerne nuller. Mange beslutninger vil som sædvanligt ikke ændre sig, men yderligere operationer bliver mere bekvemme. Det vigtigste er, at koefficienten ikke er lig med nul.
- Fjernelse af rækker med proportionale faktorer. Dette følger til dels af det foregående afsnit. Hvis to eller flere rækker i en matrix har proportionalkoefficienter, så når en af rækkerne multipliceres/divideres med proportionalitetskoefficienten, opnås to (eller igen flere) absolut identiske rækker, og de ekstra kan fjernes, hvilket efterlader kun en.
- Fjernelse af en nullinje. Hvis der under transformationen opnås en række et sted, hvor alle elementer, inklusive det frie led, er nul, så kan en sådan række kaldes nul og smidt ud af matricen.
- Tilføjelse til elementerne i en række af elementerne i en anden (i de tilsvarende kolonner), ganget med en bestemt koefficient. Den mest uoplagte og vigtigste transformation af alle. Det er værd at dvæle ved det mere detaljeret.
Tilføjelse af en streng ganget med en faktor
For at lette forståelsen er det værd at nedbryde denne proces trin for trin. To rækker er taget fra matrixen:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Lad os sige, at du skal lægge den første til den anden, ganget med koefficienten "-2".
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Derefter erstattes den anden række i matrixen med en ny, og den første forbliver uændret.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Det skal bemærkes, at multiplikationskoefficienten kan vælges på en sådan måde, at et af elementerne i den nye række, som et resultat af at tilføje to rækker, er lig nul. Det er derfor muligt at få en ligning i et system, hvor der vil være en mindre ukendt. Og hvis du får to sådanne ligninger, så kan operationen gøres igen og få en ligning, der vil indeholde to færre ukendte. Og hvis du hver gang drejer en koefficient af alle rækker, der er under den oprindelige, til nul, så kan du ligesom trapper gå ned til bunden af matricen og få en ligning med en ukendt. Dette kaldes at løse systemet ved hjælp af Gauss-metoden.
Generelt
Lad der være et system. Den har m ligninger og n ukendte rødder. Du kan skrive det som følger:
Hovedmatrixen er kompileret ud fra systemkoefficienterne. En kolonne med frie termer føjes til den udvidede matrix og adskilles for nemheds skyld med en linje.
- den første række af matrixen multipliceres med koefficienten k = (-a 21 /a 11);
- den første modificerede række og den anden række af matrixen tilføjes;
- i stedet for den anden række indsættes resultatet af tilføjelsen fra det foregående afsnit i matrixen;
- nu er den første koefficient i den nye anden række a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Nu udføres den samme serie af transformationer, kun den første og tredje række er involveret. Følgelig erstattes element a 21 ved hvert trin i algoritmen med en 31. Så gentages alt for en 41, ... en m1. Resultatet er en matrix, hvor det første element i rækkerne er nul. Nu skal du glemme alt om linje nummer et og udføre den samme algoritme, startende fra linje to:
- koefficient k = (-a32/a22);
- den anden ændrede linje føjes til den "aktuelle" linje;
- resultatet af tilføjelsen erstattes af den tredje, fjerde og så videre linje, mens den første og anden forbliver uændret;
- i matrixens rækker er de to første elementer allerede lig med nul.
Algoritmen skal gentages, indtil koefficienten k = (-a m,m-1 /a mm) vises. Det betyder, at sidste gang algoritmen blev udført, kun var for den nederste ligning. Nu ligner matrixen en trekant eller har en trinformet form. I den nederste linje er der ligheden a mn × x n = b m. Koefficienten og frileddet er kendt, og roden udtrykkes gennem dem: x n = b m /a mn. Den resulterende rod sættes ind i den øverste linje for at finde x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Og så videre analogt: I hver næste linje er der en ny rod, og efter at have nået "toppen" af systemet, kan du finde mange løsninger. Det bliver den eneste.
Når der ikke er løsninger
Hvis i en af matrixrækkerne alle elementer undtagen det frie led er lig med nul, så ser ligningen svarende til denne række ud som 0 = b. Det har ingen løsning. Og da en sådan ligning er inkluderet i systemet, så er løsningssættet for hele systemet tomt, det vil sige, det er degenereret.
Når der er et uendeligt antal løsninger
Det kan ske, at der i den givne trekantede matrix ikke er rækker med et koefficientelement i ligningen og et frit led. Der er kun linjer, der, når de omskrives, ville ligne en ligning med to eller flere variable. Det betyder, at systemet har et uendeligt antal løsninger. I dette tilfælde kan svaret gives i form af en generel løsning. Hvordan gør man det?
Alle variable i matricen er opdelt i grundlæggende og frie. Grundlæggende er dem, der står "på kanten" af rækkerne i trinmatricen. Resten er gratis. I den generelle løsning er de grundlæggende variabler skrevet gennem frie.
For nemheds skyld omskrives matrixen først tilbage til et ligningssystem. Så i den sidste af dem, hvor der kun er én grundlæggende variabel tilbage, forbliver den på den ene side, og alt andet overføres til den anden. Dette gøres for hver ligning med en grundlæggende variabel. Så, i de resterende ligninger, hvor det er muligt, erstattes udtrykket opnået for det i stedet for den grundlæggende variabel. Hvis resultatet igen er et udtryk, der kun indeholder én grundvariabel, udtrykkes det igen derfra, og så videre, indtil hver grundvariabel er skrevet som et udtryk med frie variable. Dette er den generelle løsning af SLAE.
Du kan også finde den grundlæggende løsning af systemet - giv de frie variable værdier, og beregn derefter værdierne af de grundlæggende variabler i dette specifikke tilfælde. Der er et uendeligt antal særlige løsninger, der kan gives.
Løsning med konkrete eksempler
Her er et ligningssystem.
For nemheds skyld er det bedre straks at oprette sin matrix
Det er kendt, at når den løses ved den Gaussiske metode, vil ligningen svarende til den første række forblive uændret ved slutningen af transformationerne. Derfor vil det være mere rentabelt, hvis det øverste venstre element i matrixen er det mindste - så bliver de første elementer i de resterende rækker efter operationerne til nul. Det betyder, at det i den kompilerede matrix vil være fordelagtigt at sætte den anden række i stedet for den første.
anden linie: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
tredje linje: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Nu, for ikke at blive forvirret, skal du nedskrive en matrix med de mellemliggende resultater af transformationerne.
Det er klart, at en sådan matrix kan gøres mere bekvem for perception ved brug af visse operationer. For eksempel kan du fjerne alle "minusser" fra den anden linje ved at gange hvert element med "-1".
Det er også værd at bemærke, at i den tredje linje er alle elementer multipla af tre. Derefter kan du forkorte strengen med dette tal og gange hvert element med "-1/3" (minus - på samme tid for at fjerne negative værdier).
Ser meget pænere ud. Nu skal vi lade den første linje være i fred og arbejde med den anden og tredje. Opgaven er at lægge den anden linje til den tredje linje, ganget med en sådan koefficient, at elementet a 32 bliver lig med nul.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (hvis svaret under nogle transformationer ikke viser sig at være et heltal, anbefales det at bevare nøjagtigheden af beregningerne for at forlade det "som det er", i form af en almindelig brøk, og først derefter, når svarene er modtaget, beslutte, om der skal afrundes og konverteres til en anden form for optagelse)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matrixen skrives igen med nye værdier.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Som du kan se, har den resulterende matrix allerede en trinform. Derfor er yderligere transformationer af systemet ved hjælp af Gauss-metoden ikke nødvendige. Hvad du kan gøre her er at fjerne den overordnede koefficient "-1/7" fra den tredje linje.
Nu er alt smukt. Det eneste, der er tilbage at gøre, er at skrive matricen igen i form af et ligningssystem og beregne rødderne
x + 2y + 4z = 12 (1)
7 år + 11z = 24 (2)
Algoritmen, hvormed rødderne nu vil blive fundet, kaldes det omvendte træk i den Gaussiske metode. Ligning (3) indeholder z-værdien:
y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9
Og den første ligning giver os mulighed for at finde x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Vi har ret til at kalde et sådant system fælles, og endda bestemt, det vil sige at have en unik løsning. Svaret er skrevet i følgende form:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Et eksempel på et usikkert system
Varianten med at løse et bestemt system ved hjælp af Gauss-metoden er blevet analyseret; nu er det nødvendigt at overveje sagen, hvis systemet er usikkert, det vil sige, at der kan findes uendeligt mange løsninger på det.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Selve systemets udseende er allerede alarmerende, fordi antallet af ukendte er n = 5, og rangeringen af systemmatricen er allerede nøjagtigt mindre end dette tal, fordi antallet af rækker er m = 4, det vil sige, den største rækkefølge af determinant-kvadraten er 4. Det betyder, at der er et uendeligt antal løsninger, og du skal kigge efter dets generelle udseende. Gauss-metoden til lineære ligninger giver dig mulighed for at gøre dette.
Først, som sædvanlig, kompileres en udvidet matrix.
Anden linje: koefficient k = (-a 21 /a 11) = -3. I den tredje linje er det første element før transformationerne, så du behøver ikke røre ved noget, du skal lade det være som det er. Fjerde linie: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Ved at gange elementerne i den første række med hver af deres koefficienter på skift og tilføje dem til de påkrævede rækker, får vi en matrix af følgende form:
Som du kan se, består den anden, tredje og fjerde række af elementer, der er proportionale med hinanden. Den anden og fjerde er generelt identiske, så en af dem kan fjernes med det samme, og den resterende kan ganges med koefficienten "-1" og få linje nummer 3. Og igen, ud af to identiske linjer, lad en.
Resultatet er en matrix som denne. Selvom systemet endnu ikke er skrevet ned, er det nødvendigt at bestemme de grundlæggende variable her - dem, der står ved koefficienterne a 11 = 1 og a 22 = 1, og frie - alle de andre.
I den anden ligning er der kun én grundvariabel - x 2. Det betyder, at det kan udtrykkes derfra ved at skrive det gennem variablerne x 3 , x 4 , x 5 , som er frie.
Vi erstatter det resulterende udtryk i den første ligning.
Resultatet er en ligning, hvor den eneste grundvariabel er x 1 . Lad os gøre det samme med det som med x 2.
Alle grundvariabler, hvoraf der er to, er udtrykt i form af tre frie; nu kan vi skrive svaret i generel form.
Du kan også angive en af systemets særlige løsninger. I sådanne tilfælde er nuller normalt valgt som værdier for frie variable. Så vil svaret være:
16, 23, 0, 0, 0.
Et eksempel på et ikke-samarbejdsvilligt system
Løsning af inkompatible ligningssystemer ved hjælp af Gauss-metoden er den hurtigste. Den slutter straks, så snart der på et af stadierne opnås en ligning, der ikke har nogen løsning. Det vil sige, at stadiet med at beregne rødderne, som er ret langt og kedeligt, elimineres. Følgende system tages i betragtning:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Som sædvanlig er matrixen kompileret:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Og det er reduceret til en trinvis form:
k1 = -2k2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Efter den første transformation indeholder den tredje linje en ligning af formen
uden en løsning. Som følge heraf er systemet inkonsekvent, og svaret vil være det tomme sæt.
Fordele og ulemper ved metoden
Hvis du vælger hvilken metode til at løse SLAE'er på papir med en pen, så ser den metode, der blev diskuteret i denne artikel, den mest attraktive ud. Det er meget sværere at blive forvirret i elementære transformationer, end hvis du manuelt skal søge efter en determinant eller en vanskelig invers matrix. Men hvis du bruger programmer til at arbejde med data af denne type, for eksempel regneark, så viser det sig, at sådanne programmer allerede indeholder algoritmer til beregning af hovedparametrene for matricer - determinant, minor, invers og så videre. Og hvis du er sikker på, at maskinen selv vil beregne disse værdier og ikke laver fejl, er det mere tilrådeligt at bruge matrixmetoden eller Cramers formler, fordi deres anvendelse begynder og slutter med beregningen af determinanter og inverse matricer .
Ansøgning
Da den Gaussiske løsning er en algoritme, og matrixen faktisk er en todimensional matrix, kan den bruges i programmering. Men da artiklen placerer sig som en guide "for dummies", skal det siges, at det nemmeste sted at sætte metoden ind er regneark, for eksempel Excel. Igen vil enhver SLAE, der er indtastet i en tabel i form af en matrix, blive betragtet af Excel som en todimensionel matrix. Og til operationer med dem er der mange gode kommandoer: addition (du kan kun tilføje matricer af samme størrelse!), multiplikation med et tal, multiplikation af matricer (også med visse begrænsninger), at finde de inverse og transponerede matricer og vigtigst af alt , beregner determinanten. Hvis denne tidskrævende opgave erstattes af en enkelt kommando, er det muligt at bestemme rangeringen af matrixen meget hurtigere og derfor fastslå dens kompatibilitet eller inkompatibilitet.
Lad et system af lineære algebraiske ligninger gives, som skal løses (find sådanne værdier af de ukendte xi, der gør hver ligning i systemet til en lighed).
Vi ved, at et system af lineære algebraiske ligninger kan:
1) Har ingen løsninger (vær ikke-fælles).
2) Har uendeligt mange løsninger.
3) Har en enkelt løsning.
Som vi husker, er Cramers regel og matrixmetoden ikke egnede i tilfælde, hvor systemet har uendeligt mange løsninger eller er inkonsistent. Gauss metode – det mest kraftfulde og alsidige værktøj til at finde løsninger på ethvert system af lineære ligninger, hvilken i alle tilfælde vil lede os til svaret! Selve metodealgoritmen fungerer ens i alle tre tilfælde. Hvis Cramer- og matrixmetoderne kræver kendskab til determinanter, så behøver man for at anvende Gauss-metoden kun kendskab til aritmetiske operationer, hvilket gør den tilgængelig selv for folkeskoleelever.
Augmented matrix transformationer ( dette er systemets matrix - en matrix kun sammensat af koefficienterne for de ukendte plus en kolonne med frie termer) systemer af lineære algebraiske ligninger i Gauss-metoden:
1) Med troki matricer Kan omarrangere nogle steder.
2) hvis der forekommer (eller findes) proportionale (som et specialtilfælde – identiske) rækker i matrixen, skal du slette Alle disse rækker er fra matrixen undtagen én.
3) hvis en nul-række vises i matricen under transformationer, så skal den også være det slette.
4) en række af matrixen kan være gange (dividere) til et hvilket som helst andet tal end nul.
5) til en række af matrixen kan du tilføje endnu en streng ganget med et tal, forskellig fra nul.
I Gauss-metoden ændrer elementære transformationer ikke løsningen af ligningssystemet.
Gauss-metoden består af to faser:
- "Direkte bevægelse" - ved hjælp af elementære transformationer, bring den udvidede matrix af et system af lineære algebraiske ligninger til en "trekant" trinform: elementerne i den udvidede matrix placeret under hoveddiagonalen er lig med nul (top-down bevægelse). For eksempel til denne type:
For at gøre dette skal du udføre følgende trin:
1) Lad os betragte den første ligning af et system af lineære algebraiske ligninger og koefficienten for x 1 er lig med K. Den anden, tredje osv. vi transformerer ligningerne som følger: vi dividerer hver ligning (koefficienter for de ukendte, inklusive frie led) med koefficienten for den ukendte x 1, som er i hver ligning, og gange med K. Herefter trækker vi den første fra anden ligning (koefficienter af ukendte og frie led). For x 1 i den anden ligning får vi koefficienten 0. Fra den tredje transformerede ligning trækker vi den første ligning, indtil alle ligninger undtagen den første, for ukendt x 1, har en koefficient 0.
2) Lad os gå videre til næste ligning. Lad dette være den anden ligning og koefficienten for x 2 lig med M. Vi fortsætter med alle "lavere" ligninger som beskrevet ovenfor. Således vil der "under" den ukendte x 2 være nuller i alle ligninger.
3) Gå videre til næste ligning og så videre, indtil en sidste ukendt og det transformerede frie led er tilbage.
- Gauss-metodens "omvendte træk" er at opnå en løsning på et system af lineære algebraiske ligninger ("bottom-up"-bevægelsen). Fra den sidste "nedre" ligning får vi en første løsning - den ukendte x n. For at gøre dette løser vi den elementære ligning A * x n = B. I eksemplet ovenfor er x 3 = 4. Vi erstatter den fundne værdi i den "øverste" næste ligning og løser den med hensyn til den næste ukendte. Eksempelvis x 2 – 4 = 1, dvs. x 2 = 5. Og så videre indtil vi finder alle de ukendte.
Eksempel.
Lad os løse systemet med lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden, som nogle forfattere anbefaler:
Lad os nedskrive den udvidede matrix af systemet og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form:
Vi ser på det øverste venstre "trin". Vi burde have en der. Problemet er, at der slet ikke er nogen enheder i den første kolonne, så en omarrangering af rækkerne løser ikke noget. I sådanne tilfælde skal enheden organiseres ved hjælp af en elementær transformation. Dette kan normalt gøres på flere måder. Lad os gøre det:
1 trin
. Til den første linje lægger vi den anden linje ganget med –1. Det vil sige, at vi mentalt gangede anden linje med –1 og tilføjede første og anden linje, mens den anden linje ikke ændrede sig.
Nu øverst til venstre er der “minus én”, hvilket passer os ret godt. Enhver, der ønsker at få +1, kan udføre en ekstra handling: gange den første linje med –1 (skift fortegn).
Trin 2 . Den første linje, ganget med 5, blev tilføjet til den anden linje. Den første linje, ganget med 3, blev tilføjet til den tredje linje.
Trin 3 . Den første linje blev ganget med –1, i princippet er dette for skønhed. Tegnet på den tredje linje blev også ændret, og det blev flyttet til andenpladsen, så vi på det andet "trin" havde den nødvendige enhed.
Trin 4 . Den tredje linje blev lagt til den anden linje, ganget med 2.
Trin 5 . Den tredje linje blev divideret med 3.
Et tegn, der angiver en fejl i beregninger (mer sjældent en tastefejl) er en "dårlig" bundlinje. Det vil sige, hvis vi fik noget i stil med (0 0 11 |23) nedenfor, og følgelig 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, så kan vi med en høj grad af sandsynlighed sige, at der blev lavet en fejl under elementær transformationer.
Lad os gøre det omvendte; i udformningen af eksempler bliver selve systemet ofte ikke omskrevet, men ligningerne er "taget direkte fra den givne matrix." Det omvendte træk, jeg minder dig om, virker nedefra og op. I dette eksempel var resultatet en gave:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, derfor x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Svar:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Lad os løse det samme system ved hjælp af den foreslåede algoritme. Vi får
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Divider den anden ligning med 5 og den tredje med 3. Vi får:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Hvis vi multiplicerer anden og tredje ligning med 4, får vi:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Træk den første ligning fra den anden og tredje ligning, vi har:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Divider den tredje ligning med 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Gang den tredje ligning med 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Hvis vi trækker den anden fra den tredje ligning, får vi en "trinnet" udvidet matrix:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Da fejlen akkumuleret under beregningerne, får vi x 3 = 0,96 eller cirka 1.
x 2 = 3 og x 1 = –1.
Ved at løse på denne måde bliver du aldrig forvirret i beregningerne og trods regnefejlene får du resultatet.
Denne metode til at løse et system af lineære algebraiske ligninger er let programmerbar og tager ikke højde for de specifikke egenskaber ved koefficienter for ukendte, fordi man i praksis (i økonomiske og tekniske beregninger) skal forholde sig til ikke-heltalskoefficienter.
Jeg ønsker dig succes! Vi ses i klassen! Lærer Dmitry Aystrakhanov.
hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.
Siden begyndelsen af det 16.-18. århundrede er matematikere intensivt begyndt at studere funktioner, takket være hvilke så meget i vores liv har ændret sig. Computerteknologi ville simpelthen ikke eksistere uden denne viden. Forskellige begreber, teoremer og løsningsteknikker er blevet skabt til at løse komplekse problemer, lineære ligninger og funktioner. En af sådanne universelle og rationelle metoder og teknikker til løsning af lineære ligninger og deres systemer var Gauss-metoden. Matricer, deres rang, determinant - alt kan beregnes uden at bruge komplekse operationer.
Hvad er SLAU
I matematik er der begrebet SLAE - et system af lineære algebraiske ligninger. Hvordan er hun? Dette er et sæt af m ligninger med de nødvendige n ukendte størrelser, normalt betegnet som x, y, z eller x 1, x 2 ... x n eller andre symboler. At løse et givet system ved hjælp af Gauss-metoden betyder at finde alle de ukendte ukendte. Hvis et system har det samme antal ubekendte og ligninger, så kaldes det et n. ordenssystem.
De mest populære metoder til at løse SLAE'er
I uddannelsesinstitutioner for sekundær uddannelse studeres forskellige metoder til løsning af sådanne systemer. Oftest er disse simple ligninger bestående af to ubekendte, så enhver eksisterende metode til at finde svaret på dem vil ikke tage meget tid. Dette kan være som en substitutionsmetode, når en anden er afledt af en ligning og substitueret i den oprindelige. Eller metoden med term-for-term subtraktion og addition. Men Gauss-metoden betragtes som den nemmeste og mest universelle. Det gør det muligt at løse ligninger med et vilkårligt antal ubekendte. Hvorfor anses denne særlige teknik for rationel? Det er simpelt. Det gode ved matrixmetoden er, at den ikke kræver omskrivning af unødvendige symboler flere gange som ukendte; det er nok at udføre aritmetiske operationer på koefficienterne - og du får et pålideligt resultat.
Hvor bruges SLAE'er i praksis?
Løsningen på SLAE'er er skæringspunkterne for linjer på graferne for funktioner. I vores højteknologiske computeralder skal folk, der er tæt forbundet med udviklingen af spil og andre programmer, vide, hvordan man løser sådanne systemer, hvad de repræsenterer, og hvordan man kontrollerer rigtigheden af det resulterende resultat. Oftest udvikler programmører specielle lineære algebra-beregnerprogrammer, som også omfatter et system af lineære ligninger. Gauss-metoden giver dig mulighed for at beregne alle eksisterende løsninger. Andre forenklede formler og teknikker bruges også.
SLAU-kompatibilitetskriterium
Et sådant system kan kun løses, hvis det er kompatibelt. For klarhedens skyld, lad os repræsentere SLAE i formen Ax=b. Den har en løsning, hvis rang(A) er lig med rang(A,b). I dette tilfælde er (A,b) en udvidet formmatrix, der kan fås fra matrix A ved at omskrive den med frie termer. Det viser sig, at det er ret nemt at løse lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden.
Måske er nogle af notationerne ikke helt klare, så det er nødvendigt at overveje alt med et eksempel. Lad os sige, at der er et system: x+y=1; 2x-3y=6. Den består kun af to ligninger, hvori der er 2 ubekendte. Systemet vil kun have en løsning, hvis rangeringen af dets matrix er lig med rangeringen af den udvidede matrix. Hvad er rang? Dette er antallet af uafhængige linjer i systemet. I vores tilfælde er rangeringen af matricen 2. Matrix A vil bestå af koefficienter placeret nær de ukendte, og koefficienterne placeret bag "=" tegnet passer også ind i den udvidede matrix.
Hvorfor kan SLAE'er repræsenteres i matrixform?
Baseret på kompatibilitetskriteriet ifølge den gennemprøvede Kronecker-Capelli-sætning kan et system af lineære algebraiske ligninger repræsenteres i matrixform. Ved hjælp af den Gaussiske kaskademetode kan du løse matrixen og få et enkelt pålideligt svar for hele systemet. Hvis rangeringen af en almindelig matrix er lig med rangeringen af dens udvidede matrix, men er mindre end antallet af ukendte, så har systemet et uendeligt antal svar.
Matrix transformationer
Før du går videre til at løse matricer, skal du vide, hvilke handlinger der kan udføres på deres elementer. Der er flere elementære transformationer:
- Ved at omskrive systemet i matrixform og løse det, kan du gange alle elementer i rækken med den samme koefficient.
- For at omdanne matrixen til kanonisk form, kan du bytte to parallelle rækker. Den kanoniske form indebærer, at alle matrixelementer, der er placeret langs hoveddiagonalen, bliver til enere, og de resterende bliver nuller.
- De tilsvarende elementer af parallelle rækker af matrixen kan tilføjes til hinanden.
Jordan-Gauss metode
Essensen af at løse systemer af lineære homogene og inhomogene ligninger ved hjælp af Gauss-metoden er gradvist at eliminere de ukendte. Lad os sige, at vi har et system af to ligninger, hvor der er to ubekendte. For at finde dem skal du tjekke systemet for kompatibilitet. Ligningen løses meget enkelt ved Gauss-metoden. Det er nødvendigt at nedskrive koefficienterne placeret nær hver ukendt i matrixform. For at løse systemet skal du skrive den udvidede matrix ud. Hvis en af ligningerne indeholder et mindre antal ubekendte, skal "0" sættes i stedet for det manglende element. Alle kendte transformationsmetoder anvendes på matrixen: multiplikation, division med et tal, tilføjelse af de tilsvarende elementer i serien til hinanden og andre. Det viser sig, at det i hver række er nødvendigt at efterlade en variabel med værdien "1", resten skal reduceres til nul. For en mere præcis forståelse er det nødvendigt at overveje Gauss-metoden med eksempler.
Et simpelt eksempel på løsning af et 2x2 system
Til at begynde med, lad os tage et simpelt system af algebraiske ligninger, hvor der vil være 2 ubekendte.
Lad os omskrive det til en udvidet matrix.
For at løse dette system af lineære ligninger kræves der kun to operationer. Vi skal bringe matricen til kanonisk form, så der er dem langs hoveddiagonalen. Så når vi overfører fra matrixformen tilbage til systemet, får vi ligningerne: 1x+0y=b1 og 0x+1y=b2, hvor b1 og b2 er de resulterende svar i løsningsprocessen.
- Den første handling ved løsning af en udvidet matrix vil være denne: den første række skal ganges med -7 og tilføjes tilsvarende elementer til den anden række for at slippe af med en ukendt i den anden ligning.
- Da løsning af ligninger ved hjælp af Gauss-metoden involverer at reducere matricen til kanonisk form, så er det nødvendigt at udføre de samme operationer med den første ligning og fjerne den anden variabel. For at gøre dette trækker vi den anden linje fra den første og får det krævede svar - løsningen af SLAE. Eller, som vist på figuren, multiplicerer vi den anden række med en faktor på -1 og tilføjer elementerne i den anden række til den første række. Det er det samme.
Som vi kan se, blev vores system løst ved Jordan-Gauss-metoden. Vi omskriver det i den påkrævede form: x=-5, y=7.
Et eksempel på en 3x3 SLAE-løsning
Antag, at vi har et mere komplekst system af lineære ligninger. Gauss-metoden gør det muligt at beregne svaret selv for det mest tilsyneladende forvirrende system. For at dykke dybere ned i beregningsmetoden kan du derfor gå videre til et mere komplekst eksempel med tre ubekendte.
Som i det foregående eksempel omskriver vi systemet i form af en udvidet matrix og begynder at bringe det til dets kanoniske form.
For at løse dette system skal du udføre meget flere handlinger end i det foregående eksempel.
- Først skal du lave den første kolonne til et enhedselement og resten nuller. For at gøre dette skal du gange den første ligning med -1 og lægge den anden ligning til den. Det er vigtigt at huske, at vi omskriver den første linje i sin oprindelige form, og den anden i en ændret form.
- Dernæst fjerner vi den samme første ukendte fra den tredje ligning. For at gøre dette skal du gange elementerne i den første række med -2 og tilføje dem til den tredje række. Nu er den første og anden linje omskrevet i deres oprindelige form, og den tredje - med ændringer. Som du kan se fra resultatet, fik vi den første i begyndelsen af matrixens hoveddiagonal og de resterende nuller. Et par trin mere, og ligningssystemet ved den Gaussiske metode vil blive løst pålideligt.
- Nu skal du udføre operationer på andre elementer i rækkerne. Den tredje og fjerde handling kan kombineres til én. Vi skal dividere anden og tredje linje med -1 for at slippe af med minuserne på diagonalen. Vi har allerede bragt den tredje linje til den ønskede form.
- Dernæst bringer vi den anden linje til kanonisk form. For at gøre dette multiplicerer vi elementerne i den tredje række med -3 og tilføjer dem til den anden række i matrixen. Af resultatet er det klart, at den anden linje også er reduceret til den form, vi har brug for. Det er tilbage at udføre et par flere operationer og fjerne koefficienterne for de ukendte fra den første linje.
- For at lave 0 fra det andet element i en række, skal du gange den tredje række med -3 og tilføje det til den første række.
- Det næste afgørende trin vil være at tilføje de nødvendige elementer fra den anden række til den første række. På denne måde får vi den kanoniske form af matricen, og dermed svaret.
Som du kan se, er det ret simpelt at løse ligninger ved hjælp af Gauss-metoden.
Et eksempel på løsning af et 4x4 ligningssystem
Nogle mere komplekse ligningssystemer kan løses ved hjælp af Gauss-metoden ved hjælp af computerprogrammer. Det er nødvendigt at indtaste koefficienterne for de ukendte i de eksisterende tomme celler, og selve programmet vil trin for trin beregne det krævede resultat og detaljeret beskrive hver handling.
Trin-for-trin instruktioner til løsning af et sådant eksempel er beskrevet nedenfor.
I det første trin indtastes frie koefficienter og tal for ukendte i tomme celler. Dermed får vi den samme udvidede matrix, som vi skriver manuelt.
Og alle de nødvendige aritmetiske operationer udføres for at bringe den udvidede matrix til sin kanoniske form. Det er nødvendigt at forstå, at svaret på et ligningssystem ikke altid er heltal. Nogle gange kan løsningen være fra brøktal.
Kontrol af rigtigheden af løsningen
Jordan-Gauss-metoden giver mulighed for at kontrollere rigtigheden af resultatet. For at finde ud af, om koefficienterne er beregnet korrekt, skal du blot erstatte resultatet i det oprindelige ligningssystem. Venstre side af ligningen skal matche højre side bag lighedstegnet. Hvis svarene ikke stemmer overens, skal du genberegne systemet eller prøve at anvende en anden metode til at løse SLAE'er, du kender, såsom substitution eller term-for-term subtraktion og addition. Matematik er jo en videnskab, der har et stort antal forskellige løsningsmetoder. Men husk: resultatet skal altid være det samme, uanset hvilken løsningsmetode du har brugt.
Gauss-metoden: de mest almindelige fejl ved løsning af SLAE'er
Ved løsning af lineære ligningssystemer opstår der oftest fejl såsom forkert overførsel af koefficienter til matrixform. Der er systemer, hvor nogle ubekendte mangler i en af ligningerne; så, når data overføres til en udvidet matrix, kan de gå tabt. Som et resultat, når du løser dette system, svarer resultatet muligvis ikke til det faktiske.
En anden stor fejl kan være at skrive det endelige resultat forkert. Det er nødvendigt klart at forstå, at den første koefficient svarer til den første ukendte fra systemet, den anden - til den anden og så videre.
Gauss-metoden beskriver i detaljer løsningen af lineære ligninger. Takket være det er det nemt at udføre de nødvendige operationer og finde det rigtige resultat. Derudover er dette et universelt værktøj til at finde et pålideligt svar på ligninger af enhver kompleksitet. Måske er det derfor, det så ofte bruges, når man løser SLAE'er.
Carl Friedrich Gauss, den største matematiker, tøvede længe med at vælge mellem filosofi og matematik. Måske var det netop denne tankegang, der gjorde det muligt for ham at skabe en så mærkbar "arv" i verdensvidenskaben. Især ved at skabe "Gauss-metoden" ...
I næsten 4 år omhandlede artikler på denne side skoleundervisning, hovedsageligt ud fra et filosofisk synspunkt, principperne om (mis)forståelse indført i børns sind. Tiden kommer til flere detaljer, eksempler og metoder... Jeg tror, at det netop er tilgangen til det velkendte, forvirrende og vigtig livsområder giver bedre resultater.
Vi mennesker er designet på en sådan måde, at uanset hvor meget vi taler om abstrakt tænkning, Men forståelse Altid sker gennem eksempler. Hvis der ikke er eksempler, så er det umuligt at fatte principperne... Ligesom det er umuligt at komme til toppen af et bjerg undtagen ved at gå hele skrænten fra foden.
Det samme med skolen: for nu levende historier Det er ikke nok, at vi instinktivt fortsætter med at betragte det som et sted, hvor børn lærer at forstå.
For eksempel at lære den Gaussiske metode...
Gauss-metoden i 5. klasse
Jeg vil reservere med det samme: Gauss-metoden har en meget bredere anvendelse, for eksempel ved løsning systemer af lineære ligninger. Det vi skal snakke om foregår i 5. klasse. Det her startede, efter at have forstået hvilken, er det meget lettere at forstå de mere "avancerede muligheder". I denne artikel taler vi om Gauss' metode (metode) til at finde summen af en række
Her er et eksempel, som min yngste søn, som går i 5. klasse på et gymnasium i Moskva, tog med fra skole.
Skoledemonstration af Gauss-metoden
En matematiklærer ved hjælp af en interaktiv tavle (moderne undervisningsmetoder) viste børn en præsentation af historien om "frembringelsen af metoden" af lille Gauss.
Skolelæreren piskede lille Karl (en forældet metode, som ikke bruges i skolerne i disse dage), fordi han
i stedet for sekventielt at tilføje tal fra 1 til 100, find deres sum bemærket at talpar med lige stor afstand fra kanterne af en aritmetisk progression lægger op til det samme tal. for eksempel 100 og 1, 99 og 2. Efter at have talt antallet af sådanne par, løste lille Gauss næsten øjeblikkeligt det problem, læreren havde foreslået. For hvilket han blev henrettet foran en forbløffet offentlighed. Så andre ville blive afskrækket fra at tænke.
Hvad lavede lille Gauss? udviklede sig talfornemmelse? Bemærket nogle funktioner talrækker med konstant trin (aritmetisk progression). OG præcis dette senere gjorde ham til en stor videnskabsmand, dem, der forstår at lægge mærke til, at have følelse, instinkt for forståelse.
Det er derfor, matematik er værdifuldt, udviklende evne til at se generelt i særdeleshed - abstrakt tænkning. Derfor er de fleste forældre og arbejdsgivere instinktivt betragter matematik som en vigtig disciplin ...
”Så skal du lære matematik, for det sætter tankerne i orden.
M.V.Lomonosov".
Tilhængerne af dem, der piskede fremtidige genier med stænger, forvandlede imidlertid Metoden til noget det modsatte. Som min vejleder sagde for 35 år siden: "Spørgsmålet er blevet lært." Eller som min yngste søn sagde i går om Gauss' metode: "Måske er det ikke værd at lave en stor videnskab ud af dette, hva?"
Konsekvenserne af "videnskabsmændenes" kreativitet er synlige på niveauet af den nuværende skolematematik, niveauet af dens undervisning og forståelsen af "Videnskabernes Dronning" af flertallet.
Men lad os fortsætte...
Metoder til at forklare Gauss-metoden i 5. klasse
En matematiklærer på et gymnasium i Moskva, der forklarede Gauss-metoden ifølge Vilenkin, komplicerede opgaven.
Hvad hvis forskellen (trinnet) af en aritmetisk progression ikke er et, men et andet tal? For eksempel 20.
Problemet han gav til femteklasserne:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Før vi stifter bekendtskab med gymnasiummetoden, lad os tage et kig på internettet: hvordan gør skolelærere og matematikvejledere det?..
Gaussisk metode: forklaring nr. 1
En velkendt underviser på sin YOUTUBE-kanal giver følgende begrundelse:
"Lad os skrive tallene fra 1 til 100 som følger:
først en række tal fra 1 til 50, og strengt under den en anden række af tal fra 50 til 100, men i omvendt rækkefølge"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Bemærk venligst: summen af hvert par tal fra den øverste og nederste række er den samme og er lig med 101! Lad os tælle antallet af par, det er 50 og gange summen af et par med antallet af par! Voila: The svaret er klar!"
“Hvis du ikke kunne forstå, så vær ikke ked af det!” gentog læreren tre gange under forklaringen. "Du vil tage denne metode i 9. klasse!"
Gaussisk metode: forklaring nr. 2
En anden underviser, mindre kendt (at dømme efter antallet af visninger), har en mere videnskabelig tilgang og tilbyder en løsningsalgoritme på 5 punkter, som skal udfyldes sekventielt.
For de uindviede er 5 et af de Fibonacci-tal, der traditionelt betragtes som magiske. En 5-trins metode er altid mere videnskabelig end en 6-trins metode, for eksempel. ...Og dette er næppe en ulykke, højst sandsynligt, forfatteren er en skjult tilhænger af Fibonacci-teorien
Givet en aritmetisk progression: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algoritme til at finde summen af tal i en serie ved hjælp af Gauss-metoden:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Samtidig skal du huske plus en regel : vi skal tilføje én til den resulterende kvotient: ellers får vi et resultat, der er mindre end én end det sande antal par: 42 + 1 = 43.
Dette er den nødvendige sum af den aritmetiske progression fra 4 til 256 med en forskel på 6!
Gauss-metoden: forklaring i 5. klasse på et gymnasium i Moskva
Sådan løser du problemet med at finde summen af en serie:
20+40+60+ ... +460+480+500
i 5. klasse på et gymnasium i Moskva, Vilenkins lærebog (ifølge min søn).
Efter at have vist præsentationen viste matematiklæreren et par eksempler ved hjælp af Gauss-metoden og gav klassen en opgave med at finde summen af tallene i en række i trin på 20.
Dette krævede følgende:
Som du kan se, er dette en mere kompakt og effektiv teknik: tallet 3 er også medlem af Fibonacci-sekvensen
Mine kommentarer til skoleversionen af Gauss-metoden
Den store matematiker ville helt sikkert have valgt filosofi, hvis han havde forudset, hvad hans "metode" ville blive forvandlet til af hans tilhængere tysk lærer, der piskede Karl med stænger. Han ville have set symbolikken, den dialektiske spiral og den udødelige dumhed hos "lærerne". forsøger at måle harmonien mellem levende matematiske tanker med misforståelsens algebra ....
Forresten: vidste du det. at vores uddannelsessystem er forankret i den tyske skole i det 18. og 19. århundrede?
Men Gauss valgte matematik.
Hvad er essensen af hans metode?
I forenkling. I observere og gribe simple talmønstre. I at gøre tør skoleregning til spændende og spændende aktivitet , aktiverer i hjernen ønsket om at fortsætte, i stedet for at blokere dyre mental aktivitet.
Er det muligt at bruge en af de givne "modifikationer af Gauss' metode" til at beregne summen af tallene for en aritmetisk progression næsten med det samme? Ifølge "algoritmerne" ville lille Karl med garanti undgå at smække, udvikle en modvilje mod matematik og undertrykke sine kreative impulser i opløbet.
Hvorfor rådede vejlederen så ihærdigt til femteklasser at "ikke at være bange for misforståelser" af metoden og overbeviste dem om, at de ville løse "sådanne" problemer allerede i 9. klasse? Psykologisk analfabet handling. Det var et godt træk at bemærke: "Vi ses allerede i 5. klasse kan du løse problemer, som du først vil fuldføre om 4 år! Hvor er du en fantastisk fyr!"
For at bruge den Gaussiske metode er et niveau på klasse 3 tilstrækkeligt, når normale børn allerede ved, hvordan man adderer, multiplicerer og dividerer 2-3-cifrede tal. Problemer opstår på grund af voksne læreres manglende evne til at forklare de enkleste ting på normalt menneskeligt sprog, for ikke at nævne matematisk... De er ude af stand til at få folk til at interessere sig for matematik og afskrækker fuldstændigt selv dem, der er " i stand til at."
Eller, som min søn sagde: "at gøre en stor videnskab ud af det."
Gauss-metoden, mine forklaringer
Min kone og jeg forklarede denne "metode" til vores barn, ser det ud til, selv før skolen...
Enkelhed i stedet for kompleksitet eller et spil med spørgsmål og svar
"Se, her er tallene fra 1 til 100. Hvad ser du?"
Pointen er ikke, hvad barnet præcist ser. Tricket er at få ham til at kigge.
"Hvordan kan du sætte dem sammen?" Sønnen indså, at sådanne spørgsmål ikke stilles "bare sådan", og du skal se på spørgsmålet "på en eller anden måde anderledes, anderledes end han plejer"
Det er lige meget om barnet ser løsningen med det samme, det er usandsynligt. Det er vigtigt, at han holdt op med at være bange for at se, eller som jeg siger: "flyttede opgaven". Dette er begyndelsen på rejsen til forståelse
"Hvad er nemmere: at tilføje f.eks. 5 og 6 eller 5 og 95?" Et ledende spørgsmål... Men enhver træning handler om at "guide" en person til "svaret" - på nogen måde, som er acceptabel for ham.
På dette stadium kan der allerede opstå gæt om, hvordan man "sparer" på beregninger.
Alt, hvad vi gjorde, var at antyde: Den "frontale, lineære" tællemetode er ikke den eneste mulige. Hvis et barn forstår dette, vil han senere komme med mange flere sådanne metoder, fordi det er interessant!!! Og han vil helt sikkert undgå at "misforstå" matematik og vil ikke føle sig væmmet ved det. Han fik sejren!
Hvis barn opdaget at tilføje par af tal, der summer op til hundrede er et stykke kage, så "aritmetisk progression med forskel 1"- en ret trist og uinteressant ting for et barn - pludselig fandt liv til ham . Orden opstod fra kaos, og det vækker altid entusiasme: sådan er vi lavet!
Et spørgsmål at besvare: hvorfor, efter den indsigt et barn har fået, skal det igen drives ind i rammerne af tørre algoritmer, som også er funktionelt ubrugelige i dette tilfælde?!
Hvorfor tvinge dumme omskrivninger? sekvensnumre i en notesbog: så selv de dygtige ikke har en eneste chance for at forstå? Statistisk, selvfølgelig, men masseundervisning er rettet mod "statistik"...
Hvor blev nullet af?
Og alligevel er det meget mere acceptabelt for sindet at tilføje tal, der lægger op til 100, end dem, der lægger op til 101...
"Gauss School Method" kræver præcis dette: bevidstløs fold par af tal lige langt fra midten af progressionen, På trods af alt.
Hvad hvis du kigger?
Alligevel er nul menneskehedens største opfindelse, som er mere end 2.000 år gammel. Og matematiklærere fortsætter med at ignorere ham.
Det er meget nemmere at omdanne en række tal, der begynder med 1, til en række, der begynder med 0. Summen vil ikke ændre sig, vel? Du skal stoppe med at "tænke i lærebøger" og begynde at kigge... Og se, at par med en sum på 101 helt kan erstattes af par med en sum på 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Hvordan afskaffes "plus 1-reglen"?
For at være ærlig hørte jeg først om sådan en regel fra den YouTube-vejleder...
Hvad gør jeg stadig, når jeg skal bestemme antallet af medlemmer af en serie?
Jeg ser på rækkefølgen:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
og når du er helt træt, så gå videre til en enklere række:
1, 2, 3, 4, 5
og jeg regner med: Hvis du trækker en fra 5, får du 4, men jeg er helt klar Jeg ser 5 numre! Derfor skal du tilføje en! Den talfornemmelse, der blev udviklet i folkeskolen, antyder: Selv hvis der er en hel Google af medlemmer af serien (10 til hundrede potens), vil mønsteret forblive det samme.
Hvad fanden er reglerne?..
Så du om et par eller tre år kan udfylde hele rummet mellem din pande og baghoved og stoppe med at tænke? Hvordan tjener man sit brød og smør? Vi bevæger os trods alt i lige rækker ind i den digitale økonomis æra!
Mere om Gauss' skolemetode: "hvorfor gøre videnskab ud af dette?.."
Det var ikke for ingenting, at jeg postede et skærmbillede fra min søns notesbog...
"Hvad skete der i klassen?"
"Nå, jeg talte med det samme, rakte hånden op, men hun spurgte ikke. Derfor, mens de andre talte, begyndte jeg at lave lektier på russisk for ikke at spilde tiden. Så, da de andre var færdige med at skrive (? ??), kaldte hun mig til bestyrelsen. Jeg sagde svaret."
"Det er rigtigt, vis mig, hvordan du løste det," sagde læreren. Jeg viste det. Hun sagde: "Forkert, du skal tælle, som jeg viste!"
"Det er godt, at hun ikke gav en dårlig karakter. Og hun fik mig til at skrive i deres notesbog "løsningens forløb" på deres egen måde. Hvorfor lave en stor videnskab ud af dette?..."
En matematiklærers hovedforbrydelse
Næppe efter den hændelse Carl Gauss oplevede en høj følelse af respekt for sin matematiklærer på skolen. Men hvis han vidste hvordan tilhængere af den lærer vil forvrænge selve essensen af metoden... han ville brøle af indignation og gennem World Intellectual Property Organization WIPO opnå et forbud mod brugen af sit gode navn i skolebøger!
I hvad den største fejl i skolens tilgang? Eller, som jeg udtrykte det, en forbrydelse af skolematematiklærere mod børn?
Algoritme for misforståelser
Hvad laver skolemetodologer, hvoraf langt de fleste ikke ved, hvordan de skal tænke?
De skaber metoder og algoritmer (se). Det her en defensiv reaktion, der beskytter lærere mod kritik ("Alt gøres efter...") og børn mod forståelse. Og dermed – af lysten til at kritisere lærere!(Den anden afledning af bureaukratisk "visdom", en videnskabelig tilgang til problemet). En person, der ikke fatter meningen, vil hellere skyde skylden på sin egen misforståelse, frem for skolesystemets dumhed.
Dette er, hvad der sker: forældre bebrejder deres børn, og lærere... gør det samme for børn, der "ikke forstår matematik!"
Er du smart?
Hvad lavede lille Karl?
En fuldstændig ukonventionel tilgang til en formelopgave. Dette er essensen af hans tilgang. Det her det vigtigste, der bør læres i skolen, er at tænke ikke med lærebøger, men med dit hoved. Selvfølgelig er der også en instrumentel komponent, som kan bruges... i jagten på enklere og mere effektive tællemetoder.
Gauss-metoden ifølge Vilenkin
I skolen lærer de, at Gauss' metode er at
Hvad, hvis antallet af elementer i serien er ulige, som i det problem, der blev tildelt min søn?..
"Fangsten" er det i dette tilfælde bør du finde et "ekstra" nummer i serien og læg det til summen af parrene. I vores eksempel er dette tal 260.
Hvordan opdager man? Kopiering af alle talpar til en notesbog!(Det er derfor, læreren fik børnene til at gøre dette dumme stykke arbejde med at forsøge at undervise i "kreativitet" ved hjælp af Gauss-metoden... Og det er derfor, en sådan "metode" er praktisk talt uanvendelig til store dataserier, OG det er derfor, det er ikke den Gaussiske metode.)
Lidt kreativitet i skolehverdagen...
Sønnen handlede anderledes.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Ikke svært, vel?
Men i praksis bliver det endnu nemmere, hvilket giver dig mulighed for at afsætte 2-3 minutter til fjernmåling på russisk, mens resten "tæller". Derudover bevarer den antallet af trin i metoden: 5, hvilket ikke tillader, at tilgangen bliver kritiseret for at være uvidenskabelig.
Denne tilgang er naturligvis enklere, hurtigere og mere universel i stil med metoden. Men... læreren roste ikke kun, men tvang mig også til at omskrive det "på den rigtige måde" (se skærmbillede). Det vil sige, at hun gjorde et desperat forsøg på at kvæle den kreative impuls og evnen til at forstå matematik ved roden! Tilsyneladende, så hun senere kunne blive ansat som tutor... Hun angreb den forkerte person...
Alt det, jeg beskrev så længe og kedeligt, kan forklares for et normalt barn på højst en halv time. Sammen med eksempler.
Og på en sådan måde, at han aldrig glemmer det.
Og det bliver det skridt mod forståelse...ikke kun matematikere.
Indrøm det: hvor mange gange i dit liv har du tilføjet ved hjælp af Gauss-metoden? Og det gjorde jeg aldrig!
Men forståelsesinstinkt, som udvikler sig (eller slukkes) i færd med at studere matematiske metoder i skolen... Åh!.. Dette er virkelig en uerstattelig ting!
Især i den universelle digitaliserings tidsalder, som vi stille og roligt er gået ind i under partiets og regeringens strenge ledelse.
Et par ord til forsvar for lærerne...
Det er uretfærdigt og forkert at lægge alt ansvar for denne undervisningsstil udelukkende på skolelærere. Systemet er i kraft.
Nogle lærere forstår det absurde i, hvad der sker, men hvad skal man gøre? Loven om uddannelse, Federal State Educational Standards, metoder, lektionsplaner... Alt skal gøres "i overensstemmelse og på grundlag", og alt skal dokumenteres. Træd til side - stod i kø for at blive fyret. Lad os ikke være hyklere: Moskva-lærernes løn er meget gode... Hvis de fyrer dig, hvor skal du så gå hen?
Derfor denne side ikke om uddannelse. Han er ca individuel uddannelse, den eneste mulige måde at komme ud af mængden på generation Z ...
En af de universelle og effektive metoder til løsning af lineære algebraiske systemer er Gaussisk metode , bestående i sekventiel eliminering af ukendte.
Husk, at de to systemer kaldes tilsvarende (ækvivalent), hvis mængderne af deres løsninger er sammenfaldende. Med andre ord er systemer ækvivalente, hvis hver løsning af den ene af dem er en løsning af den anden og omvendt. Tilsvarende systemer opnås når elementære transformationer systemets ligninger:
at gange begge sider af ligningen med et andet tal end nul;
tilføjelse til en ligning af de tilsvarende dele af en anden ligning, ganget med et andet tal end nul;
omarrangere to ligninger.
Lad et ligningssystem være givet
Processen med at løse dette system ved hjælp af Gauss-metoden består af to trin. I det første trin (direkte bevægelse) reduceres systemet ved hjælp af elementære transformationer til trinvist , eller trekantet form, og på det andet trin (omvendt) er der en sekventiel, startende fra det sidste variabeltal, bestemmelse af de ukendte fra det resulterende trinsystem.
Lad os antage, at koefficienten af dette system 
, ellers kan den første række i systemet byttes med en hvilken som helst anden række, så koefficienten kl 
var anderledes end nul.
Lad os transformere systemet ved at eliminere det ukendte 
i alle ligninger undtagen den første. For at gøre dette skal du gange begge sider af den første ligning med 
og tilføj led for led med systemets anden ligning. Gang derefter begge sider af den første ligning med 
og føj det til den tredje ligning i systemet. Ved at fortsætte denne proces opnår vi det tilsvarende system
Her 
– nye værdier af koefficienter og frie termer, der opnås efter det første trin.
Tilsvarende i betragtning af hovedelementet 
, udelukke det ukendte 
fra alle systemets ligninger undtagen den første og anden. Lad os fortsætte denne proces så længe som muligt, og som et resultat vil vi få et trinvist system
,
Hvor 
,
,…,
– hovedelementer i systemet 
.
Hvis der i processen med at reducere systemet til en trinvis form opstår ligninger, dvs. formens ligheder 
, de kasseres, da de er opfyldt af ethvert sæt tal 
. Hvis kl 
Hvis der vises en ligning af formen, som ikke har nogen løsninger, indikerer dette systemets inkompatibilitet.
Under det omvendte slag udtrykkes den første ukendte fra den sidste ligning af det transformerede trinsystem 
gennem alle de andre ubekendte 
som kaldes gratis
.
Derefter det variable udtryk 
fra den sidste ligning i systemet substitueres i den næstsidste ligning og variablen udtrykkes ud fra den 
. Variabler defineres sekventielt på en lignende måde 
. Variabler 
, udtrykt gennem frie variable, kaldes grundlæggende
(afhængig). Resultatet er en generel løsning til systemet af lineære ligninger.
At finde privat løsning
systemer, gratis ukendt 
i den generelle løsning tildeles vilkårlige værdier, og værdierne af variablerne beregnes 
.
Det er teknisk mere bekvemt at underkaste elementære transformationer ikke selve systemligningerne, men systemets udvidede matrix
.
Gauss-metoden er en universel metode, der giver dig mulighed for at løse ikke kun kvadratiske, men også rektangulære systemer, hvor antallet af ukendte 
ikke lig med antallet af ligninger 
.
Fordelen ved denne metode er også, at vi i processen med at løse samtidigt undersøger systemet for kompatibilitet, da vi har givet den udvidede matrix 
til trinvis form er det let at bestemme rækkerne af matrixen 
og udvidet matrix 
og ansøg Kronecker-Capelli teorem
.
Eksempel 2.1 Løs systemet ved hjælp af Gauss-metoden
Løsning. Antal ligninger 
og antallet af ukendte 
.
Lad os skabe en udvidet matrix af systemet ved at tildele koefficienter til højre for matricen 
gratis medlemmer kolonne 
.
Lad os præsentere matrixen 
til en trekantet visning; For at gøre dette får vi "0" under elementerne placeret på hoveddiagonalen ved hjælp af elementære transformationer.
For at få "0" i den anden position i den første kolonne skal du gange den første række med (-1) og tilføje den til den anden række.
Vi skriver denne transformation som tallet (-1) mod den første linje og angiver den med en pil, der går fra den første linje til den anden linje.
For at få "0" i den tredje position i den første kolonne skal du gange den første række med (-3) og lægge til den tredje række; Lad os vise denne handling ved hjælp af en pil, der går fra den første linje til den tredje.
.
I den resulterende matrix, skrevet på andenpladsen i kæden af matricer, får vi "0" i den anden kolonne i den tredje position. For at gøre dette multiplicerede vi den anden linje med (-4) og tilføjede den til den tredje. I den resulterende matrix skal du gange den anden række med (-1), og dividere den tredje med (-8). Alle elementer i denne matrix, der ligger under de diagonale elementer, er nuller.
Fordi , systemet er samarbejdende og defineret.
Ligningssystemet svarende til den sidste matrix har en trekantet form:
Fra den sidste (tredje) ligning 
. Sæt ind i den anden ligning og få 
.
Lad os erstatte 
Og 
ind i den første ligning, finder vi 
.