Funktionens ekstreme
Definition 2
Et punkt $x_0$ kaldes et maksimumpunkt for en funktion $f(x)$, hvis der er et kvarter til dette punkt, således at for alle $x$ i dette kvarter er uligheden $f(x)\le f(x_0) $ holder.
Definition 3
Et punkt $x_0$ kaldes et maksimumpunkt for en funktion $f(x)$, hvis der er et kvarter til dette punkt, således at for alle $x$ i dette kvarter er uligheden $f(x)\ge f(x_0) $ holder.
Begrebet et ekstremum af en funktion er tæt forbundet med begrebet et kritisk punkt i en funktion. Lad os introducere dens definition.
Definition 4
$x_0$ kaldes et kritisk punkt for funktionen $f(x)$ hvis:
1) $x_0$ - indre punkt definitionsdomæner;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ eller eksisterer ikke.
For begrebet ekstremum kan vi formulere sætninger om tilstrækkelige og nødvendige forhold hans eksistens.
Sætning 2
Tilstrækkelig tilstand til et ekstremum
Lad punktet $x_0$ være kritisk for funktionen $y=f(x)$ og ligge i intervallet $(a,b)$. Lad den afledede $f"(x)$ eksistere på hvert interval $\left(a,x_0\right)\ og\ (x_0,b)$ og bevar permanent tegn. Derefter:
1) Hvis på intervallet $(a,x_0)$ er den afledede $f"\left(x\right)>0$, og på intervallet $(x_0,b)$ er den afledte $f"\left( x\right)
2) Hvis på intervallet $(a,x_0)$ den afledede $f"\left(x\right)0$, så er punktet $x_0$ minimumpunktet for denne funktion.
3) Hvis både på intervallet $(a,x_0)$ og på intervallet $(x_0,b)$ er den afledte $f"\left(x\right) >0$ eller den afledte $f"\left(x) \højre)
Denne sætning er illustreret i figur 1.
Figur 1. Tilstrækkelig betingelse for eksistensen af ekstrema
Eksempler på ekstremer (fig. 2).
Figur 2. Eksempler på ekstreme punkter
Regel for at studere en funktion for ekstremum
2) Find den afledte $f"(x)$;
7) Træk konklusioner om tilstedeværelsen af maksima og minima på hvert interval ved hjælp af sætning 2.
Stigende og faldende funktioner
Lad os først introducere definitionerne af stigende og faldende funktioner.
Definition 5
En funktion $y=f(x)$ defineret på intervallet $X$ siges at være stigende, hvis for nogle punkter $x_1,x_2\in X$ ved $x_1
Definition 6
En funktion $y=f(x)$ defineret på intervallet $X$ siges at være faldende, hvis for nogen punkter $x_1,x_2\in X$ for $x_1f(x_2)$.
At studere en funktion til at øge og falde
Du kan studere stigende og faldende funktioner ved at bruge den afledede.
For at undersøge en funktion for intervaller med stigende og faldende, skal du gøre følgende:
1) Find definitionsdomænet for funktionen $f(x)$;
2) Find den afledte $f"(x)$;
3) Find de punkter, hvor ligheden $f"\left(x\right)=0$ holder;
4) Find de punkter, hvor $f"(x)$ ikke eksisterer;
5) Marker på koordinatlinjen alle de fundne punkter og definitionsdomænet for denne funktion;
6) Bestem tegnet for den afledte $f"(x)$ på hvert resulterende interval;
7) Træk en konklusion: i intervaller hvor $f"\left(x\right)0$ øges funktionen.
Eksempler på problemer med at studere funktioner til stigende, faldende og tilstedeværelsen af ekstrema punkter
Eksempel 1
Undersøg funktionen for at øge og formindske, og tilstedeværelsen af maksimum- og minimumspoint: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Da de første 6 punkter er de samme, lad os udføre dem først.
1) Omfang - alt reelle tal;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ eksisterer på alle punkter i definitionsdomænet;
5) Koordinatlinje:
Figur 3.
6) Bestem tegnet for den afledede $f"(x)$ på hvert interval:
\ \; .
Lad os bestemme tegnet for funktionsværdierne i enderne af segmentet.
f(0) = 3, f(0) > 0
f(10) = , f(10) < 0.
Da funktionen falder på segmentet og fortegnet for funktionsværdierne ændres, så er der et nul af funktionen på dette segment.
Svar: funktionen f(x) øges med intervallerne: (-∞; 0]; ;
på intervallet har funktionen én funktion nul.
2. Funktionens ekstreme punkter: maksimumpunkter og minimumspunkter. Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for eksistensen af et ekstremum af en funktion. Regel for at studere en funktion for ekstremum .
Definition 1:De punkter, hvor den afledede er lig med nul, kaldes kritiske eller stationære.
Definition 2. Et punkt kaldes et minimum (maksimum) punkt for en funktion, hvis værdien af funktionen på dette tidspunkt er mindre (større end) de nærmeste værdier af funktionen.
Det skal huskes, at maksimum og minimum i I dette tilfælde er lokale.
I fig. 1. Lokale maksima og minima er vist.
Maksimums- og minimumsfunktionerne kombineres almindeligt navn: ekstremum af funktionen.Sætning 1.(et nødvendigt tegn på eksistensen af et ekstremum af en funktion). Hvis en funktion, der kan differentieres i et punkt, har et maksimum eller minimum på dette tidspunkt, så forsvinder dens afledte ved, .
Sætning 2.(et tilstrækkeligt tegn på eksistensen af et ekstremum af funktionen). Hvis kontinuerlig funktion har en afledt på alle punkter af et eller andet interval, der indeholder det kritiske punkt (med mulig undtagelse af dette punkt selv), og hvis den afledede, når argumentet går fra venstre mod højre gennem det kritiske punkt, skifter fortegn fra plus til minus, så har funktionen på dette tidspunkt et maksimum, og når fortegnet skifter fra minus til plus, har den et minimum.
"Øgende og faldende funktion"
Lektionens mål:
1. Lær at finde perioder med monotoni.
2. Udvikling af tænkeevner, der sikrer analyse af situationen og udvikling af passende handlemetoder (analyse, syntese, sammenligning).
3. At skabe interesse for emnet.
Under timerneI dag fortsætter vi med at studere anvendelsen af den afledte og overveje spørgsmålet om dens anvendelse til studiet af funktioner. Forarbejde
Lad os nu give nogle definitioner af egenskaberne for "Brainstorming"-funktionen.
1. Hvad kaldes en funktion?
2. Hvad er navnet på variablen X?
3. Hvad er navnet på variablen Y?
4. Hvad er domænet for en funktion?
5. Hvad er værdisættet for en funktion?
6. Hvilken funktion kaldes lige?
7. Hvilken funktion kaldes ulige?
8. Hvad kan du sige om grafen for en lige funktion?
9. Hvad kan du sige om grafen for en ulige funktion?
10. Hvilken funktion kaldes stigende?
11. Hvilken funktion kaldes aftagende?
12. Hvilken funktion kaldes periodisk?
Matematik er studiet af matematiske modeller. En af de vigtigste matematiske modeller er en funktion. Eksisterer forskellige veje beskrivelser af funktioner. Hvilken er den mest oplagte?
– Grafisk.
– Hvordan bygger man en graf?
- Punkt for punkt.
Denne metode er velegnet, hvis du på forhånd ved, hvordan grafen cirka ser ud. For eksempel, hvad er en graf kvadratisk funktion, lineær funktion, omvendt proportionalitet, funktioner y = sinx? (De tilsvarende formler er demonstreret, eleverne navngiver kurverne, der er grafer.)
Men hvad nu hvis du har brug for at plotte en graf af en funktion eller endnu mere kompleks en? Du kan finde flere punkter, men hvordan opfører funktionen sig mellem disse punkter?
Placer to prikker på tavlen, og bed eleverne om at vise, hvordan grafen "mellem dem" kan se ud:
Dens afledte hjælper dig med at finde ud af, hvordan en funktion opfører sig.
Åbn dine notesbøger, skriv nummeret ned, godt arbejde.
Formålet med lektionen: lær hvordan grafen for en funktion er relateret til grafen for dens afledte, og lær at løse to typer problemer:
1. Ved hjælp af den afledte graf, find intervallerne for stigning og fald for selve funktionen, samt funktionens ekstremumpunkter;
2. Ved hjælp af skemaet med afledte tegn på intervaller, find intervallerne for stigning og fald for selve funktionen, såvel som ekstremumpunkterne for funktionen.
Lignende opgaver findes ikke i vores lærebøger, men findes i test af samme statslig eksamen(del A og B).
I dag i lektionen vil vi se på et lille element af arbejdet i anden fase af at studere processen, studiet af en af funktionens egenskaber - bestemmelse af intervallerne for monotoni
For at løse dette problem skal vi huske nogle problemer, der er diskuteret tidligere.
Så lad os nedskrive emnet for dagens lektion: Tegn på stigende og faldende funktioner.
Tegn på stigende og faldende funktion:
Hvis den afledede af en given funktion er positiv for alle værdier af x i intervallet (a; b), dvs. f"(x) > 0, så stiger funktionen i dette interval.
Hvis den afledede af en given funktion er negativ for alle værdier af x i intervallet (a; b), dvs. f"(x)< 0, то функция в этом интервале убывает
Rækkefølgen for at finde intervaller for monotoni:
Find funktionens definitionsdomæne.
1. Find den første afledede af funktionen.
2. bestemme selv i bestyrelsen
Find kritiske punkter, undersøg fortegnet for den første afledede i de intervaller, hvori de fundne kritiske punkter deler funktionens definitionsdomæne. Find intervaller for monotoni af funktioner:
a) definitionsdomæne,
b) find den første afledede:
c) find de kritiske punkter: ; , Og
3. Lad os undersøge fortegnet for den afledede i de resulterende intervaller og præsentere løsningen i form af en tabel.
pege på ekstreme punkter
Lad os se på flere eksempler på at studere funktioner til at øge og falde.
En tilstrækkelig betingelse for eksistensen af et maksimum er at ændre fortegn for den afledte, når man passerer gennem det kritiske punkt fra "+" til "-", og for et minimum fra "-" til "+". Hvis fortegnet for den afledte ikke ændres, når man passerer gennem det kritiske punkt, er der ikke noget ekstremum på dette tidspunkt
1. Find D(f).
2. Find f"(x).
3. Find stationære punkter, dvs. punkter, hvor f"(x) = 0 eller f"(x) ikke eksisterer.
(Den afledte er 0 ved tællerens nuller, den afledte findes ikke ved nævnerens nuller)
4. Placer D(f) og disse punkter på koordinatlinjen.
5. Bestem fortegnene for den afledede på hvert af intervallerne
6. Påfør skilte.
7. Skriv svaret ned.
Konsolidering af nyt materiale.
Eleverne arbejder to og to og skriver løsningen ned i deres notesbøger.
a) y = x3 - 6 x2 + 9 x - 9;
b) y = 3 x² - 5x + 4.
To personer arbejder i bestyrelsen.
a) y = 2 x³ – 3 x² – 36 x + 40
b) y = x4-2 x3
3. Lektionsopsummering
Hjemmearbejde: test (differentieret)
Afledte. Hvis den afledede af en funktion er positiv for et hvilket som helst punkt i intervallet, så stiger funktionen; hvis den er negativ, falder den.
For at finde intervallerne for stigning og fald for en funktion, skal du finde dens definitionsdomæne, afledet, løse uligheder på formen F'(x) > 0 og F'(x)
Løsning.
3. Løs ulighederne y’ > 0 og y’ 0;
(4 - x)/x³
Løsning.
1. Lad os finde definitionsdomænet for funktionen. Det er klart, at udtrykket i nævneren altid skal være forskelligt fra nul. Derfor er 0 udelukket fra definitionsdomænet: funktionen er defineret for x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).
2. Beregn den afledede af funktionen:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x²) + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 - x)/x³.
3. Løs ulighederne y’ > 0 og y’ 0;
(4 - x)/x³
4. Venstre side ulighed har én reel x = 4 og bliver ved x = 0. Derfor indgår værdien x = 4 i både intervallet og det faldende interval, og punktet 0 er ikke inkluderet.
Så den nødvendige funktion øges med intervallet x ∈ (-∞; 0) ∪ .
4. Venstre side af uligheden har en reel x = 4 og vender til ved x = 0. Derfor indgår værdien x = 4 i både intervallet og det faldende interval, og punkt 0 er ikke inkluderet.
Så den nødvendige funktion øges med intervallet x ∈ (-∞; 0) ∪ .
Kilder:
- hvordan man finder faldende intervaller på en funktion
En funktion repræsenterer en streng afhængighed af et tal af et andet, eller værdien af en funktion (y) på et argument (x). Hver proces (ikke kun i matematik) kan beskrives ved sin egen funktion, som vil have egenskaber: intervaller for faldende og stigende, punkter med minimum og maksimum, og så videre.
Du får brug for
- - papir;
- - pen.
Instruktioner
Eksempel 2.
Find intervallerne for aftagende f(x)=sinx +x.
Den afledte af denne funktion vil være lig med: f'(x)=cosx+1.
Løsning af uligheden cosx+1
Interval monotoni en funktion kan kaldes et interval, hvor funktionen enten kun stiger eller kun falder. Række visse handlinger vil hjælpe dig med at finde sådanne områder for en funktion, som ofte er påkrævet i algebraiske problemer af denne art.
Instruktioner
Det første trin i løsningen af problemet med at bestemme de intervaller, hvori en funktion monotont stiger eller falder, er at beregne denne funktion. For at gøre dette skal du finde ud af alle argumentværdierne (værdier langs x-aksen), som du kan finde værdien af funktionen for. Marker de punkter, hvor der observeres diskontinuiteter. Find den afledede af funktionen. Når du har bestemt det udtryk, der repræsenterer den afledte, skal du sætte det lig med nul. Efter dette skal du finde rødderne til det resulterende . Ikke om det tilladte område.
De punkter, hvor funktionen eller dens afledte er lig med nul repræsenterer grænserne for intervallerne monotoni. Disse områder, såvel som de punkter, der adskiller dem, skal indtastes sekventielt i tabellen. Find tegnet for den afledede af funktionen i de resulterende intervaller. For at gøre dette skal du erstatte ethvert argument fra intervallet med det udtryk, der svarer til den afledede. Hvis resultatet er positivt, øges funktionen i dette område, ellers falder den. Resultaterne indtastes i tabellen.
I linjen, der angiver den afledede af funktionen f'(x), er de tilsvarende værdier af argumenterne skrevet: "+" - hvis den afledede er positiv, "-" - negativ eller "0" - lig med nul. I den næste linje skal du bemærke monotonien i selve det oprindelige udtryk. En pil op svarer til en stigning, og en pil ned svarer til en nedgang. Tjek funktionerne. Det er de punkter, hvor den afledede er nul. Et ekstremum kan enten være et maksimumpunkt eller et minimumspunkt. Hvis det forrige afsnit af funktionen er steget og det nuværende faldt, er dette maksimumpunktet. I det tilfælde, hvor funktionen var faldende før et givet punkt, og den nu er stigende, er dette minimumspunktet. Indtast værdierne for funktionen ved ekstremumpunkterne i tabellen.
Kilder:
- hvad er definitionen af monotoni
Opførslen af en funktion, der har en kompleks afhængighed af et argument, studeres ved hjælp af den afledede. Af arten af ændringen i den afledte kan du finde kritiske punkter og områder med vækst eller fald af funktionen.
For at bestemme karakteren af en funktion og tale om dens adfærd, er det nødvendigt at finde intervaller for stigning og fald. Denne proces kaldes funktionsforskning og graftegning. Ekstrempunktet bruges til at finde de største og mindste værdier af en funktion, da funktionen ved dem stiger eller falder fra intervallet.
Denne artikel afslører definitionerne, formulerer et tilstrækkeligt tegn på stigning og fald på intervallet og en betingelse for eksistensen af et ekstremum. Det gælder løsning af eksempler og problemer. Afsnittet om differentierende funktioner bør gentages, fordi løsningen skal bruge at finde den afledede.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1
Funktionen y = f (x) vil stige på intervallet x, når uligheden f (x 2) > f (x 1) er opfyldt for enhver x 1 ∈ X og x 2 ∈ X, x 2 > x 1. Med andre ord, højere værdi argumentet svarer til den større værdi af funktionen.
Definition 2
Funktionen y = f (x) anses for at være aftagende på intervallet x, når, for enhver x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, ligheden f (x 2) > f (x 1) anses for sandt. Med andre ord svarer en større funktionsværdi til en mindre argumentværdi. Overvej figuren nedenfor.
Kommentar: Når funktionen er bestemt og kontinuert i enderne af intervallet med stigende og faldende, det vil sige (a; b), hvor x = a, x = b, indgår punkterne i intervallet med stigende og faldende. Dette er ikke i modstrid med definitionen; det betyder, at det foregår i intervallet x.
Grundlæggende egenskaber elementære funktioner type y = sin x – sikkerhed og kontinuitet ved reelle værdier argumenter. Herfra får vi, at sinus stiger over intervallet - π 2; π 2, så har stigningen på segmentet formen - π 2; π 2.
Definition 3Punktet x 0 kaldes maksimum point for funktionen y = f (x), når for alle værdier af x er uligheden f (x 0) ≥ f (x) gyldig. Maksimal funktion er værdien af funktionen i et punkt, og er angivet med y m a x .
Punktet x 0 kaldes minimumspunktet for funktionen y = f (x), når for alle værdier af x er uligheden f (x 0) ≤ f (x) gyldig. Minimum funktioner er værdien af funktionen i et punkt, og har en betegnelse på formen y m i n .
Kvarter til punktet x 0 tages i betragtning ekstreme punkter, og værdien af den funktion, der svarer til ekstremumpunkterne. Overvej figuren nedenfor.
Extrema af funktionen med den største og med laveste værdi funktioner. Overvej figuren nedenfor.
Det første billede viser, hvad du skal finde højeste værdi funktioner fra segmentet [a; b]. Den findes ved at bruge maksimumpoint og lig maksimal værdi funktion, og den anden figur er mere som at finde maksimumpunktet ved x = b.
Tilstrækkelige betingelser for, at en funktion kan øges og falde
For at finde maksima og minima for en funktion er det nødvendigt at anvende tegn på ekstremum i det tilfælde, hvor funktionen opfylder disse betingelser. Det første tegn anses for at være det mest brugte.
Den første tilstrækkelige betingelse for et ekstremum
Definition 4Lad en funktion y = f (x) være givet, som er differentierbar i et ε-kvarter til punktet x 0 og har kontinuitet i det givne punkt x 0. Det får vi herfra
- når f " (x) > 0 med x ∈ (x 0 - ε ; x 0) og f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
- når f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 for x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), så er x 0 minimumspunktet.
Med andre ord får vi deres betingelser for at sætte skiltet:
- når funktionen er kontinuert i punktet x 0, så har den en afledet med et skiftende fortegn, det vil sige fra + til -, hvilket betyder, at punktet kaldes et maksimum;
- når funktionen er kontinuert i punktet x 0, så har den en afledet med et skiftende fortegn fra - til +, hvilket betyder, at punktet kaldes et minimum.
For korrekt at bestemme maksimum- og minimumpunkterne for en funktion skal du følge algoritmen for at finde dem:
- find definitionsdomænet;
- find den afledede af funktionen på dette område;
- identificere nuller og punkter, hvor funktionen ikke eksisterer;
- bestemmelse af fortegn for den afledte på intervaller;
- vælg punkter, hvor funktionen skifter fortegn.
Lad os overveje algoritmen ved at løse flere eksempler på at finde ekstrema af en funktion.
Eksempel 1
Find maksimum og minimum point givet funktion y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .
Løsning
Definitionsdomænet for denne funktion er alle reelle tal undtagen x = 2. Lad os først finde den afledede af funktionen og få:
y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2
Herfra ser vi, at funktionens nuller er x = - 1, x = 5, x = 2, det vil sige, at hver parentes skal være lig med nul. Lad os markere det på talaksen og få:
Nu bestemmer vi fortegnene for den afledte fra hvert interval. Det er nødvendigt at vælge et punkt inkluderet i intervallet og erstatte det i udtrykket. For eksempel punkt x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.
Det forstår vi
y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, hvilket betyder, at intervallet - ∞ ; - 1 har en positiv afledet. Ligeledes finder vi, at
y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0
Da det andet interval viste sig at være mindre end nul, betyder det, at den afledede på intervallet vil være negativ. Den tredje med minus, den fjerde med plus. For at bestemme kontinuitet skal du være opmærksom på den afledte fortegn; hvis det ændrer sig, er dette et ekstremumpunkt.
Vi finder, at i punktet x = - 1 vil funktionen være kontinuert, hvilket betyder, at den afledede vil skifte fortegn fra + til -. Ifølge det første tegn har vi, at x = - 1 er et maksimumpunkt, hvilket betyder, at vi får
y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0
Punktet x = 5 angiver, at funktionen er kontinuert, og den afledede vil skifte fortegn fra – til +. Dette betyder, at x = -1 er minimumspunktet, og dets bestemmelse har formen
y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24
Grafisk billede
Svar: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.
Det er værd at være opmærksom på, at brugen af det første tilstrækkelige kriterium for et ekstremum ikke kræver differentiabiliteten af funktionen i punktet x 0, dette forenkler beregningen.
Eksempel 2
Find maksimum- og minimumpunkterne for funktionen y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.
Løsning.
En funktions domæne er alle reelle tal. Dette kan skrives som et ligningssystem af formen:
1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0
Så skal du finde den afledede:
y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 ", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0
Punktet x = 0 har ikke en afledt, fordi værdierne af de ensidige grænser er forskellige. Vi får det:
lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3
Det følger, at funktionen er kontinuert i punktet x = 0, så regner vi
lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 år (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8
Det er nødvendigt at lave beregninger for at finde værdien af argumentet, når den afledte bliver lig med nul:
1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0
1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0
Alle opnåede punkter skal markeres på en lige linje for at bestemme tegnet for hvert interval. Derfor er det nødvendigt at beregne den afledte i vilkårlige punkter ved hvert interval. For eksempel kan vi tage point med værdierne x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Det forstår vi
y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0
Billedet på den lige linje ser ud
Det betyder, at vi kommer til den konklusion, at det er nødvendigt at ty til det første tegn på et ekstremum. Lad os regne ud og finde det
x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , herfra har de maksimale point værdierne x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3
Lad os gå videre til at beregne minimumsværdierne:
y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3
Lad os beregne funktionens maksima. Det forstår vi
y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Grafisk billede
Svar:
y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 y a x 3 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Hvis en funktion f " (x 0) = 0 er givet, så hvis f "" (x 0) > 0, får vi, at x 0 er et minimumspunkt, hvis f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .
Eksempel 3
Find maksima og minima for funktionen y = 8 x x + 1.
Løsning
Først finder vi definitionsdomænet. Det forstår vi
D(y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0
Det er nødvendigt at differentiere funktionen, hvorefter vi får
y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x
Ved x = 1 bliver den afledede nul, hvilket betyder, at punktet er et muligt ekstremum. For at afklare, er det nødvendigt at finde den anden afledede og beregne værdien ved x = 1. Vi får:
y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0
Det betyder, at ved at bruge 2 tilstrækkelig betingelse for et ekstremum, opnår vi, at x = 1 er et maksimumspunkt. Ellers ser indtastningen ud som y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.
Grafisk billede
Svar: y m a x = y (1) = 4 ..
Definition 5Funktionen y = f (x) har sin afledede op til n. orden i ε-kvarteret givet point x 0 og aflede op til n + 1. orden ved punkt x 0 . Så f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .
Det følger heraf, at når n er et lige tal, så betragtes x 0 som et bøjningspunkt, når n er et ulige tal, så er x 0 et ekstremumpunkt, og f (n + 1) (x 0) > 0, så x 0 er et minimumspunkt, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.
Eksempel 4
Find maksimum- og minimumpunkterne for funktionen y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.
Løsning
Den oprindelige funktion er en rationel hel funktion, hvilket betyder, at definitionsdomænet alle er reelle tal. Det er nødvendigt at differentiere funktionen. Det forstår vi
y " = 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)
Denne afledte vil gå til nul ved x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Det vil sige, at punkterne kan være mulige ekstremumpunkter. Det er nødvendigt at anvende den tredje tilstrækkelige betingelse for ekstremum. At finde den anden afledede giver dig mulighed for nøjagtigt at bestemme tilstedeværelsen af et maksimum og minimum af en funktion. Den anden afledede beregnes ved punkterne af dens mulige ekstremum. Det forstår vi
y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0
Det betyder, at x 2 = 5 7 er maksimumpunktet. Ved at anvende det 3. tilstrækkelige kriterium opnår vi, at for n = 1 og f (n + 1) 5 7< 0 .
Det er nødvendigt at bestemme karakteren af punkterne x 1 = - 1, x 3 = 3. For at gøre dette skal du finde den tredje afledede og beregne værdierne på disse punkter. Det forstår vi
y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0
Det betyder, at x 1 = - 1 er funktionens bøjningspunkt, da for n = 2 og f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Det er nødvendigt at undersøge punktet x 3 = 3. For at gøre dette finder vi den 4. afledede og udfører beregninger på dette tidspunkt:
y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0
Ud fra det, der blev besluttet ovenfor, konkluderer vi, at x 3 = 3 er minimumspunktet for funktionen.
Grafisk billede
Svar: x 2 = 5 7 er maksimumpunktet, x 3 = 3 er minimumspunktet for den givne funktion.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter