I klasse 7 og 8 studeres grafen over direkte proportionalitet.
Hvordan konstruerer man en direkte proportionalitetsgraf?
Lad os se på den direkte proportionalitetsgraf ved hjælp af eksempler.
Formel for direkte proportionalitetsgraf
En direkte proportionalitetsgraf repræsenterer en funktion.
Generelt har direkte proportionalitet formlen
Hældningsvinklen for den direkte proportionalitetsgraf i forhold til x-aksen afhænger af størrelsen og tegnet af koefficienten for direkte proportionalitet.
Direkte proportionalitetsgraf går igennem
En direkte proportionalitetsgraf går gennem oprindelsen.
En direkte proportionalitetsgraf er en ret linje. En ret linje er defineret af to punkter.
Når man konstruerer en graf med direkte proportionalitet, er det således nok at bestemme placeringen af to punkter.
Men vi kender altid en af dem - dette er oprindelsen til koordinaterne.
Tilbage er kun at finde den anden. Lad os se på et eksempel på at konstruere en graf med direkte proportionalitet.
Graf direkte proportionalitet y = 2x
Opgave .
Tegn en graf over direkte proportionalitet givet af formlen
Løsning .
Alle numre er der.
Tag et hvilket som helst tal fra domænet for direkte proportionalitet, lad det være 1.
Find værdien af funktionen, når x er lig med 1
Y=2x=
2 * 1 = 2
det vil sige, for x = 1 får vi y = 2. Punktet med disse koordinater hører til grafen for funktionen y = 2x.
Vi ved, at grafen for direkte proportionalitet er en ret linje, og en ret linje er defineret af to punkter.
Lineær funktion
Lineær funktion er en funktion, der kan specificeres med formlen y = kx + b,
hvor x er den uafhængige variabel, k og b er nogle tal.
Grafen for en lineær funktion er en ret linje.
Tallet k kaldes hældning af en lige linje– graf for funktionen y = kx + b.
Hvis k > 0, så er hældningsvinklen af den rette linje y = kx + b til aksen x krydret; hvis k< 0, то этот угол тупой.
Hvis hældningerne på de linjer, der er grafer for to lineære funktioner, er forskellige, så skærer disse linjer hinanden. Og hvis vinkelkoefficienterne er de samme, så er linjerne parallelle.
Graf over en funktion y =kx +b, hvor k ≠ 0, er en linje parallel med linjen y = kx.
Direkte proportionalitet.
Direkte proportionalitet er en funktion, der kan specificeres med formlen y = kx, hvor x er en uafhængig variabel, k er et ikke-nul tal. Tallet k kaldes koefficient for direkte proportionalitet.
Grafen for direkte proportionalitet er en ret linje, der går gennem koordinaternes oprindelse (se figur).
Direkte proportionalitet er et specialtilfælde af en lineær funktion.
Funktionsegenskabery =kx:
Omvendt proportionalitet
Omvendt proportionalitet kaldes en funktion, der kan specificeres med formlen:
k
y = -
x
Hvor x er den uafhængige variabel, og k– et ikke-nul tal.
Grafen for omvendt proportionalitet kaldes en kurve hyperbole(se billedet).
For en kurve, der er grafen for denne funktion, aksen x Og y fungere som asymptoter. Asymptote- dette er den lige linje, som kurvens punkter nærmer sig, når de bevæger sig væk til det uendelige.
k
Funktionsegenskabery = -:
x
De to mængder kaldes direkte proportional, hvis når en af dem stiger flere gange, stiger den anden med samme mængde. Følgelig, når en af dem falder flere gange, falder den anden med samme mængde.
Forholdet mellem sådanne mængder er et direkte proportionalt forhold. Eksempler på direkte proportional afhængighed:
1) ved konstant hastighed er den tilbagelagte afstand direkte proportional med tiden;
2) omkredsen af et kvadrat og dets side er direkte proportionale mængder;
3) prisen på et produkt købt til én pris er direkte proportional med dets mængde.
For at skelne et direkte proportionalt forhold fra et omvendt, kan du bruge ordsproget: "Jo længere ind i skoven, jo mere brænde."
Det er praktisk at løse problemer, der involverer direkte proportionale mængder ved hjælp af proportioner.
1) For at lave 10 dele skal du bruge 3,5 kg metal. Hvor meget metal skal der bruges til at lave 12 af disse dele?
(Vi begrunder sådan:
1. I den udfyldte kolonne placeres en pil i retningen fra det største tal til det mindste.
2. Jo flere dele, jo mere metal skal der til for at lave dem. Det betyder, at der er tale om et direkte proportionalt forhold.
Lad x kg metal være nødvendigt for at lave 12 dele. Vi udgør proportionen (i retningen fra begyndelsen af pilen til dens slutning):
12:10=x:3,5
For at finde skal du dividere produktet af de ekstreme udtryk med det kendte mellemled:
Det betyder, at der kræves 4,2 kg metal.
Svar: 4,2 kg.
2) For 15 meter stof betalte de 1680 rubler. Hvor meget koster 12 meter sådan stof?
(1. I den udfyldte kolonne placeres en pil i retningen fra det største tal til det mindste.
2. Jo mindre stof du køber, jo mindre skal du betale for det. Det betyder, at der er tale om et direkte proportionalt forhold.
3. Derfor er den anden pil i samme retning som den første).
Lad x rubler koste 12 meter stof. Vi laver en proportion (fra begyndelsen af pilen til dens slutning):
15:12=1680:x
For at finde det ukendte yderled af andelen skal du dividere produktet af mellemleddet med det kendte ekstreme led af andelen:
Det betyder, at 12 meter koster 1344 rubler.
Svar: 1344 rubler.
Afhængighedstyper
Lad os se på opladning af batteriet. Som den første mængde, lad os tage den tid, det tager at oplade. Den anden værdi er den tid, den vil virke efter opladning. Jo længere du oplader batteriet, jo længere holder det. Processen fortsætter, indtil batteriet er fuldt opladet.
Afhængighed af batteriets driftstid af den tid, det oplades
Note 1
Denne afhængighed kaldes lige:
Når en værdi stiger, stiger den anden også. Når en værdi falder, falder den anden værdi også.
Lad os se på et andet eksempel.
Jo flere bøger en elev læser, jo færre fejl begår han i diktatet. Eller jo højere du rejser dig i bjergene, jo lavere vil det atmosfæriske tryk være.
Note 2
Denne afhængighed kaldes baglæns:
Når en værdi stiger, falder den anden. Når en værdi falder, stiger den anden værdi.
Altså i tilfælde af direkte afhængighed begge mængder ændres ligeligt (både enten øges eller falde), og i tilfældet omvendt forhold– modsat (den ene øges og den anden mindskes, eller omvendt).
Bestemmelse af afhængigheder mellem mængder
Eksempel 1
Den tid det tager at besøge en ven er $20$ minutter. Hvis hastigheden (første værdi) stiger med $2$ gange, vil vi finde ud af, hvordan tiden (anden værdi), der vil blive brugt på stien til en ven, ændres.
Det er klart, at tiden vil falde med $2$ gange.
Note 3
Denne afhængighed kaldes proportional:
Antallet af gange, en mængde ændres, antallet af gange, den anden mængde ændres.
Eksempel 2
For $2$ brød i butikken skal du betale 80 rubler. Hvis du har brug for at købe brød til $4$ (mængden af brød stiger med $2$ gange), hvor mange gange mere skal du så betale?
Det er klart, at omkostningerne også vil stige $2$ gange. Vi har et eksempel på proportional afhængighed.
I begge eksempler blev proportionale afhængigheder taget i betragtning. Men i eksemplet med brød ændrer mængderne sig i én retning, derfor er afhængigheden lige. Og i eksemplet med at gå til en vens hus er forholdet mellem hastighed og tid baglæns. Således er der direkte proportional forhold Og omvendt proportional sammenhæng.
Direkte proportionalitet
Lad os overveje $2$ proportionale mængder: antallet af brød og deres omkostninger. Lad $2$ brød koste $80$ rubler. Hvis antallet af boller stiger med $4$ gange ($8$ boller), vil deres samlede pris være $320$ rubler.
Forholdet mellem antallet af boller: $\frac(8)(2)=4$.
Boldeprisforhold: $\frac(320)(80)=$4.
Som du kan se, er disse relationer lig med hinanden:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Definition 1
Ligheden mellem to forhold kaldes del.
Med en direkte proportional afhængighed opnås et forhold, når ændringen i den første og anden størrelse falder sammen:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Definition 2
De to mængder kaldes direkte proportional, hvis når en af dem ændres (stiger eller falder), ændres den anden værdi også (hhv. stiger eller falder) med samme mængde.
Eksempel 3
Bilen rejste $180$ km på $2$ timer. Find den tid, hvor han vil tilbagelægge $2$ gange distancen med samme hastighed.
Løsning.
Tiden er direkte proportional med afstanden:
$t=\frac(S)(v)$.
Hvor mange gange vil afstanden stige, med en konstant hastighed, med samme mængde vil tiden stige:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Bilen rejste $180$ km på $2$ timer
Bilen vil køre $180 \cdot 2=360$ km - på $x$ timer
Jo længere bilen kører, jo længere tid vil det tage. Følgelig er forholdet mellem mængderne direkte proportionalt.
Lad os lave en proportion:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Svar: Bilen skal bruge $4$ timer.
Omvendt proportionalitet
Definition 3
Løsning.
Tiden er omvendt proportional med hastigheden:
$t=\frac(S)(v)$.
Hvor mange gange stiger hastigheden, med den samme vej, falder tiden med samme mængde:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Lad os skrive problemtilstanden i form af en tabel:
Bilen rejste $60$ km - på $6$ timer
Bilen vil køre $120$ km – på $x$ timer
Jo hurtigere bilen kører, jo mindre tid tager det. Følgelig er forholdet mellem mængderne omvendt proportional.
Lad os lave en proportion.
Fordi proportionaliteten er omvendt, den anden relation i proportionen er omvendt:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Svar: Bilen skal bruge $3$ timer.
I dag vil vi se på, hvilke mængder der kaldes omvendt proportional, hvordan en omvendt proportionalitetsgraf ser ud, og hvordan alt dette kan være nyttigt for dig ikke kun i matematiktimerne, men også uden for skolen.
Så forskellige proportioner
Proportionalitet Nævn to størrelser, der er gensidigt afhængige af hinanden.
Afhængigheden kan være direkte og omvendt. Følgelig er forholdet mellem mængder beskrevet ved direkte og omvendt proportionalitet.
Direkte proportionalitet– dette er et sådant forhold mellem to størrelser, hvor en stigning eller et fald i den ene af dem fører til en stigning eller et fald i den anden. De der. deres holdning ændrer sig ikke.
For eksempel, jo mere kræfter du lægger i at læse til eksamen, jo højere karakterer. Eller jo flere ting du tager med dig på en vandretur, jo tungere bliver din rygsæk at bære. De der. Mængden af indsats, der bruges på at forberede sig til eksamen, er direkte proportional med de opnåede karakterer. Og antallet af ting pakket i en rygsæk er direkte proportional med dens vægt.
Omvendt proportionalitet– dette er en funktionel afhængighed, hvor et fald eller stigning flere gange i en uafhængig værdi (det kaldes et argument) forårsager en proportional (dvs. det samme antal gange) stigning eller fald i en afhængig værdi (det kaldes en fungere).
Lad os illustrere med et simpelt eksempel. Du vil købe æbler på markedet. Æblerne på disken og mængden af penge i din tegnebog er i omvendt proportion. De der. Jo flere æbler du køber, jo færre penge har du tilbage.
Funktion og dens graf
Den omvendte proportionalitetsfunktion kan beskrives som y = k/x. Hvori x≠ 0 og k≠ 0.
Denne funktion har følgende egenskaber:
- Dens definitionsdomæne er mængden af alle reelle tal undtagen x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Området er alle reelle tal undtagen y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Har ikke maksimum eller minimum værdier.
- Den er ulige, og dens graf er symmetrisk om oprindelsen.
- Ikke-periodisk.
- Dens graf skærer ikke koordinatakserne.
- Har ingen nuller.
- Hvis k> 0 (dvs. argumentet stiger), falder funktionen proportionalt på hvert af sine intervaller. Hvis k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Efterhånden som argumentet øges ( k> 0) negative værdier af funktionen er i intervallet (-∞; 0), og positive værdier er i intervallet (0; +∞). Når argumentet falder ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Grafen for en omvendt proportionalitetsfunktion kaldes en hyperbel. Vist som følger:
Omvendt proportionalitetsproblemer
For at gøre det klarere, lad os se på flere opgaver. De er ikke for komplicerede, og at løse dem vil hjælpe dig med at visualisere, hvad omvendt proportionalitet er, og hvordan denne viden kan være nyttig i din hverdag.
Opgave nr. 1. En bil kører med en hastighed på 60 km/t. Det tog ham 6 timer at nå til sin destination. Hvor lang tid vil det tage ham at tilbagelægge den samme afstand, hvis han bevæger sig med dobbelt hastighed?
Vi kan starte med at nedskrive en formel, der beskriver sammenhængen mellem tid, distance og hastighed: t = S/V. Enig, det minder os meget om den omvendte proportionalitetsfunktion. Og det indikerer, at den tid, en bil bruger på vejen, og den hastighed, den bevæger sig med, er i omvendt proportion.
For at verificere dette, lad os finde V 2, som ifølge betingelsen er 2 gange højere: V 2 = 60 * 2 = 120 km/t. Derefter beregner vi afstanden ved hjælp af formlen S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nu er det ikke svært at finde ud af den tid t 2, der kræves af os i henhold til betingelserne for problemet: t 2 = 360/120 = 3 timer.
Som du kan se, er rejsetid og hastighed faktisk omvendt proportional: Ved en hastighed, der er 2 gange højere end den oprindelige hastighed, vil bilen bruge 2 gange mindre tid på vejen.
Løsningen på dette problem kan også skrives som en proportion. Så lad os først oprette dette diagram:
↓ 60 km/t – 6 timer
↓120 km/t – x t
Pile angiver et omvendt proportionalt forhold. De foreslår også, at når man opstiller en proportion, skal højre side af posten vendes: 60/120 = x/6. Hvor får vi x = 60 * 6/120 = 3 timer.
Opgave nr. 2. Værkstedet beskæftiger 6 arbejdere, som kan udføre en given mængde arbejde på 4 timer. Hvis antallet af arbejdere halveres, hvor lang tid vil det så tage de resterende arbejdere at udføre den samme mængde arbejde?
Lad os nedskrive betingelserne for problemet i form af et visuelt diagram:
↓ 6 arbejdere – 4 timer
↓ 3 arbejdere – x t
Lad os skrive dette som en proportion: 6/3 = x/4. Og vi får x = 6 * 4/3 = 8 timer Hvis der er 2 gange færre arbejdere, vil de resterende bruge 2 gange mere tid på alt arbejdet.
Opgave nr. 3. Der er to rør, der fører ind i poolen. Gennem det ene rør strømmer vandet med en hastighed på 2 l/s og fylder bassinet på 45 minutter. Gennem et andet rør fyldes poolen på 75 minutter. Med hvilken hastighed kommer vandet ind i poolen gennem dette rør?
Til at begynde med, lad os reducere alle de mængder, der er givet os i henhold til problemets betingelser, til de samme måleenheder. For at gøre dette udtrykker vi hastigheden for at fylde poolen i liter pr. minut: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.
Da betingelsen indebærer, at bassinet fyldes langsommere gennem det andet rør, betyder det, at vandstrømningshastigheden er lavere. Proportionaliteten er omvendt. Lad os udtrykke den ukendte hastighed gennem x og tegne følgende diagram:
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 min
Og så laver vi forholdet: 120/x = 75/45, hvorfra x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
I opgaven er poolens fyldningshastighed udtrykt i liter pr. sekund; lad os reducere svaret, vi modtog, til samme form: 72/60 = 1,2 l/s.
Opgave nr. 4. Et lille privat trykkeri trykker visitkort. En trykkerimedarbejder arbejder med en hastighed på 42 visitkort i timen og arbejder en hel dag - 8 timer. Hvis han arbejdede hurtigere og printede 48 visitkort på en time, hvor meget tidligere kunne han så gå hjem?
Vi følger den gennemprøvede sti og tegner et diagram i henhold til problemets betingelser, og angiver den ønskede værdi som x:
↓ 42 visitkort/time – 8 timer
↓ 48 visitkort/t – x t
Vi har et omvendt proportionalt forhold: antallet af gange flere visitkort en medarbejder i et trykkeri udskriver i timen, det samme antal gange kortere tid, han skal bruge til at udføre det samme arbejde. Når vi ved dette, så lad os skabe en proportion:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 timer.
Efter at have udført arbejdet på 7 timer, kunne trykkeriets medarbejdere således gå hjem en time tidligere.
Konklusion
Det forekommer os, at disse omvendte proportionalitetsproblemer er virkelig simple. Vi håber, at du nu også tænker på dem på den måde. Og det vigtigste er, at viden om den omvendt proportionale afhængighed af mængder virkelig kan være nyttig for dig mere end én gang.
Ikke kun i matematiktimer og eksamener. Men selv da, når du gør dig klar til at tage på tur, shoppe, beslutter dig for at tjene lidt ekstra penge i ferien osv.
Fortæl os i kommentarerne, hvilke eksempler på omvendte og direkte proportionale forhold du bemærker omkring dig. Lad det være sådan et spil. Du vil se, hvor spændende det er. Glem ikke at dele denne artikel på sociale netværk, så dine venner og klassekammerater også kan spille.
hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.