En af vigtigste opgaver differentialregning er udviklingen almindelige eksempler undersøgelser af funktionsadfærd.
Hvis funktionen y=f(x) er kontinuert på intervallet, og dens afledte er positiv eller lig med 0 på intervallet (a,b), så stiger y=f(x) med (f"(x)0) Hvis funktionen y=f (x) er kontinuert på segmentet, og dens afledede er negativ eller lig med 0 på intervallet (a,b), så falder y=f(x) med (f"(x)0. )
Intervaller, hvor funktionen ikke falder eller øges, kaldes intervaller for funktionens monotoni. En funktions monotonitet kan kun ændre sig på de punkter af dens definitionsdomæne, hvor tegnet for den første afledte ændres. De punkter, hvor den første afledede af en funktion forsvinder eller har en diskontinuitet, kaldes kritiske.
Sætning 1 (1 tilstrækkelig stand eksistensen af et ekstremum).
Lad funktionen y=f(x) være defineret i punktet x 0 og lad der være et naboskab δ>0, således at funktionen er kontinuert på intervallet og differentierbar på intervallet (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ), og dets derivat bevarer permanent tegn ved hvert af disse intervaller. Så hvis på x 0 -δ,x 0) og (x 0, x 0 +δ) fortegnene for den afledte er forskellige, så er x 0 et ekstremumpunkt, og hvis de falder sammen, så er x 0 ikke et ekstremumpunkt . Desuden, hvis den afledte, når den passerer gennem punktet x0, skifter fortegn fra plus til minus (til venstre for x 0 f"(x)>0 er opfyldt, så er x 0 maksimumpunktet; hvis den afledede ændrer fortegn fra minus til plus (til højre for x 0 udført f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.
Maksimums- og minimumspunkterne kaldes funktionens ekstremumpunkter, og funktionens maksimum- og minimumspunkter kaldes dens ekstreme værdier.
Sætning 2 (et nødvendigt tegn på et lokalt ekstremum).
Hvis funktionen y=f(x) har et ekstremum ved den aktuelle x=x 0, så eksisterer enten f'(x 0)=0 eller f'(x 0) ikke.
Ved yderpunkterne for den differentiable funktion er tangenten til dens graf parallel med Ox-aksen.
Algoritme til at studere en funktion for et ekstremum:
1) Find den afledede af funktionen.
2) Find kritiske punkter, dvs. punkter, hvor funktionen er kontinuert, og den afledede er nul eller ikke eksisterer.
3) Overvej naboskabet til hvert punkt, og undersøg fortegnet for den afledede til venstre og højre for dette punkt.
4) Bestem koordinaterne for yderpunkterne for denne værdi kritiske punkter erstatte i denne funktion. Brug tilstrækkelige betingelser for ekstremumet, drag de passende konklusioner.
Eksempel 18. Undersøg funktionen y=x 3 -9x 2 +24x for et ekstremum
Løsning.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Ligger den afledede til nul, finder vi x 1 =2, x 2 =4. I I dette tilfælde derivatet er defineret overalt; Det betyder, at der udover de to fundne punkter ikke er andre kritiske punkter.
3) Tegnet for den afledte y"=3(x-2)(x-4) ændres afhængigt af intervallet som vist på figur 1. Når man passerer gennem punktet x=2, skifter den afledte fortegn fra plus til minus, og når man passerer gennem punktet x=4 - fra minus til plus.
4) I punktet x=2 har funktionen et maksimum y max =20, og i punktet x=4 - et minimum y min =16.
Sætning 3. (2. tilstrækkelig betingelse for eksistensen af et ekstremum).
Lad f"(x 0) og ved punktet x 0 eksisterer f""(x 0). Så hvis f""(x 0)>0, så er x 0 minimumspunktet, og hvis f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
På et segment kan funktionen y=f(x) nå den mindste (y den mindste) eller den største (y den højeste) værdi enten på de kritiske punkter af funktionen, der ligger i intervallet (a;b), eller ved enderne af segmentet.
Algoritme til at finde de største og mindste værdier af en kontinuerlig funktion y=f(x) på segmentet:
1) Find f"(x).
2) Find de punkter, hvor f"(x)=0 eller f"(x) ikke findes, og vælg blandt dem dem, der ligger inde i segmentet.
3) Beregn værdien af funktionen y=f(x) ved punkterne opnået i trin 2), såvel som i enderne af segmentet, og vælg den største og mindste fra dem: de er henholdsvis den største (y den største) og de mindste (y den mindste) værdier af funktionen på intervallet.
Eksempel 19. Find den største værdi af den kontinuerte funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 på segmentet.
1) Vi har y"=3x 2 -6x-45 på segmentet
2) Den afledte y" findes for alle x. Lad os finde de punkter, hvor y"=0; vi får:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x1 = -3; x 2 = 5
3) Beregn værdien af funktionen i punkterne x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Segmentet indeholder kun punktet x=5. Den største af funktionens fundne værdier er 225, og den mindste er tallet 50. Så y max = 225, y min = 50.
Undersøgelse af en funktion om konveksitet
Figuren viser grafer for to funktioner. Den første af dem er konveks opad, den anden er konveks nedad.
Funktionen y=f(x) er kontinuerlig på et interval og differentierbar i intervallet (a;b), kaldes konveks opad (nedad) på dette interval, hvis dens graf for axb ikke ligger højere (ikke lavere) end tangent tegnet i ethvert punkt M 0 (x 0 ;f(x 0)), hvor axb.
Sætning 4. Lad funktionen y=f(x) have en anden afledet i et hvilket som helst indre punkt x i segmentet og være kontinuert i enderne af dette segment. Så hvis uligheden f""(x)0 holder på intervallet (a;b), så er funktionen konveks nedad på intervallet ; hvis uligheden f""(x)0 holder på intervallet (a;b), så er funktionen konveks opad på .
Sætning 5. Hvis funktionen y=f(x) har en anden afledet på intervallet (a;b), og hvis den skifter fortegn, når den passerer gennem punktet x 0, så er M(x 0 ;f(x 0)) et bøjningspunkt.
Regel for at finde bøjningspunkter:
1) Find de punkter, hvor f""(x) ikke eksisterer eller forsvinder.
2) Undersøg tegnet f""(x) til venstre og højre for hvert punkt fundet i det første trin.
3) Ud fra sætning 4, drag en konklusion.
Eksempel 20. Find ekstremumpunkterne og bøjningspunkterne for grafen for funktionen y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.
Vi har f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Det er klart, f"(x)=0, når x 1 =0, x 2 =1. Når den passerer gennem punktet x=0, skifter den afledte fortegn fra minus til plus, men når den passerer gennem punktet x=1, skifter den ikke fortegn. Det betyder, at x=0 er minimumspunktet (y min =12), og der er intet ekstremum i punktet x=1. Dernæst finder vi 
. Den anden afledede forsvinder i punkterne x 1 =1, x 2 =1/3. Fortegnene for den anden afledede ændres som følger: På strålen (-∞;) har vi f""(x)>0, på intervallet (;1) har vi f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Derfor er x= bøjningspunktet for funktionsgrafen (overgang fra konveksitet ned til konveksitet opad), og x=1 er også bøjningspunktet (overgang fra konveksitet opad til konveksitet nedad). Hvis x=, så y=; hvis, så x=1, y=13.
Algoritme til at finde asymptoten af en graf
I. Hvis y=f(x) som x → a, så er x=a en lodret asymptote.
II. Hvis y=f(x) som x → ∞ eller x → -∞, så er y=A en vandret asymptote.
III. For at finde den skrå asymptote bruger vi følgende algoritme:
1) Beregn . Hvis grænsen eksisterer og er lig med b, så er y=b en vandret asymptote; hvis , så gå til andet trin.
2) Beregn . Hvis denne grænse ikke eksisterer, så er der ingen asymptote; hvis den eksisterer og er lig med k, så gå til det tredje trin.
3) Beregn . Hvis denne grænse ikke eksisterer, så er der ingen asymptote; hvis den eksisterer og er lig med b, så gå til det fjerde trin.
4) Nedskriv ligningen for den skrå asymptote y=kx+b.
Eksempel 21: Find asymptoten for en funktion 
1) 
2)
3)
4) Ligningen for den skrå asymptote har formen
Skema til at studere en funktion og konstruere dens graf
I. Find definitionsdomænet for funktionen.
II. Find skæringspunkterne for funktionens graf med koordinatakserne.
III. Find asymptoter.
IV. Find mulige ekstremum punkter.
V. Find kritiske punkter.
VI. Brug hjælpefiguren til at udforske tegnet for den første og anden afledede. Bestem områder med stigende og faldende funktion, find grafens konveksitetsretning, ekstreme punkter og bøjningspunkter.
VII. Konstruer en graf under hensyntagen til forskningen udført i afsnit 1-6.
Eksempel 22: Konstruer en graf over funktionen i henhold til ovenstående diagram
Løsning.
I. En funktions domæne er mængden af alle reelle tal undtagen x=1.
II. Da ligningen x 2 +1=0 ikke har nogen reelle rødder, har funktionens graf ingen skæringspunkter med Ox-aksen, men skærer Oy-aksen i punktet (0;-1).
III. Lad os afklare spørgsmålet om eksistensen af asymptoter. Lad os studere opførselen af funktionen nær diskontinuitetspunktet x=1. Da y → ∞ som x → -∞, y → +∞ som x → 1+, så er den rette linje x=1 den lodrette asymptote på grafen for funktionen.
Hvis x → +∞(x → -∞), så y → +∞(y → -∞); derfor har grafen ikke en vandret asymptote. Yderligere fra eksistensen af grænser
Ved at løse ligningen x 2 -2x-1=0 får vi to mulige ekstremumpunkter:
x 1 =1-√2 og x 2 =1+√2
V. For at finde de kritiske punkter, beregner vi den anden afledede:
Da f""(x) ikke forsvinder, er der ingen kritiske punkter.
VI. Lad os undersøge fortegnet for den første og anden afledte. Mulige ekstremumpunkter, der skal tages i betragtning: x 1 =1-√2 og x 2 =1+√2, opdel funktionens eksistensdomæne i intervaller (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) og (1+√2;+∞).
I hvert af disse intervaller bevarer den afledte sit fortegn: i det første - plus, i det andet - minus, i det tredje - plus. Tegnsekvensen for den første afledede vil blive skrevet som følger: +,-,+.
Vi finder, at funktionen stiger ved (-∞;1-√2), falder ved (1-√2;1+√2), og stiger igen ved (1+√2;+∞). Ekstrempunkter: maksimum ved x=1-√2, og f(1-√2)=2-2√2 minimum ved x=1+√2, og f(1+√2)=2+2√2. Ved (-∞;1) er grafen konveks opad, og ved (1;+∞) er den konveks nedad.
VII Lad os lave en tabel over de opnåede værdier
VIII Ud fra de opnåede data konstruerer vi en skitse af grafen for funktionen 
Hvis opgaven kræver fuld forskning funktion f (x) = x 2 4 x 2 - 1 med konstruktionen af dens graf, så vil vi overveje dette princip i detaljer.
For at løse et problem af denne type, bør du bruge egenskaberne og graferne for hovedet elementære funktioner. Forskningsalgoritmen omfatter følgende trin:
Yandex.RTB R-A-339285-1
At finde definitionsdomænet
Da der forskes i funktionens definitionsdomæne, er det nødvendigt at starte med dette trin.
Eksempel 1
Bag dette eksempel involverer at finde nullerne i nævneren for at udelukke dem fra ODZ.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
Som et resultat kan du få rødder, logaritmer og så videre. Derefter kan ODZ søges efter en rod af en lige grad af typen g (x) 4 ved uligheden g (x) ≥ 0, for logaritmen log a g (x) ved uligheden g (x) > 0.
At studere grænserne for ODZ og finde lodrette asymptoter
Der er lodrette asymptoter ved funktionens grænser, når de ensidige grænser i sådanne punkter er uendelige.
Eksempel 2
Betragt f.eks. grænsepunkterne lig med x = ± 1 2.
Så er det nødvendigt at studere funktionen for at finde den ensidige grænse. Så får vi det: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞
Dette viser, at de ensidede grænser er uendelige, hvilket betyder, at de rette linjer x = ± 1 2 er grafens lodrette asymptoter.
Undersøgelse af en funktion og om den er lige eller ulige
Når betingelsen y (- x) = y (x) er opfyldt, betragtes funktionen som lige. Dette tyder på, at grafen er placeret symmetrisk i forhold til Oy. Når betingelsen y (- x) = - y (x) er opfyldt, betragtes funktionen som ulige. Det betyder, at symmetrien er i forhold til oprindelsen af koordinater. Hvis mindst én ulighed ikke er opfyldt, får vi en funktion af generel form.
Ligheden y (- x) = y (x) angiver, at funktionen er lige. Ved konstruktion er det nødvendigt at tage højde for, at der vil være symmetri med hensyn til Oy.
For at løse uligheden anvendes intervaller med stigende og faldende med betingelserne henholdsvis f " (x) ≥ 0 og f " (x) ≤ 0.
Definition 1
Stationære punkter- det er de punkter, der vender den afledte til nul.
Kritiske punkter- disse er interne punkter fra definitionsdomænet, hvor den afledede af funktionen er lig med nul eller ikke eksisterer.
Når du træffer en beslutning, skal følgende bemærkninger tages i betragtning:
- for eksisterende intervaller med stigende og faldende uligheder af formen f " (x) > 0, er kritiske punkter ikke inkluderet i løsningen;
- punkter, hvor funktionen er defineret uden en endelig afledt, skal inkluderes i intervallerne for stigende og faldende (f.eks. y = x 3, hvor punktet x = 0 gør funktionen defineret, den afledede har værdien uendeligt ved denne punkt, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 er inkluderet i det stigende interval);
- For at undgå tvister anbefales det at bruge matematisk litteratur, som anbefales af Undervisningsministeriet.
Inkludering af kritiske punkter i intervaller med stigende og faldende, hvis de opfylder funktionens definitionsdomæne.
Definition 2
Til at bestemme intervallerne for stigning og fald af en funktion, er det nødvendigt at finde:
- afledte;
- kritiske punkter;
- opdel definitionsdomænet i intervaller ved hjælp af kritiske punkter;
- bestem fortegnet for den afledede på hvert af intervallerne, hvor + er en stigning og - er et fald.
Eksempel 3
Find den afledede på definitionsdomænet f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.
Løsning
For at løse skal du:
- Find stationære punkter, dette eksempel har x = 0;
- find nullerne i nævneren, tager eksemplet værdien nul ved x = ± 1 2.
Vi placerer punkter på tallinjen for at bestemme den afledede på hvert interval. For at gøre dette er det nok at tage ethvert punkt fra intervallet og udføre en beregning. På positivt resultat På grafen viser vi +, hvilket betyder, at funktionen er stigende, og - betyder, at den er faldende.
For eksempel f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, hvilket betyder, at det første interval til venstre har et +-tegn. Overvej på tallinjen.
Svar:
- funktionen øges med intervallet - ∞; - 1 2 og (- 1 2 ; 0 ];
- der er et fald i intervallet [0; 12) og 12; + ∞ .
I diagrammet, ved hjælp af + og -, er positiviteten og negativiteten af funktionen afbildet, og pilene angiver fald og stigning.
Ekstrempunkter for en funktion er punkter, hvor funktionen er defineret, og hvorigennem den afledede skifter fortegn.
Eksempel 4
Hvis vi betragter et eksempel, hvor x = 0, så er værdien af funktionen i det lig med f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Når fortegnet for den afledede ændres fra + til - og går gennem punktet x = 0, så betragtes punktet med koordinaterne (0; 0) som maksimumpunktet. Når tegnet skifter fra - til +, opnår vi et minimumspunkt.
Konveksitet og konkavitet bestemmes ved at løse uligheder på formen f "" (x) ≥ 0 og f "" (x) ≤ 0. Mindre almindeligt brugt er navnet konveksitet ned i stedet for konveksitet og konveksitet opad i stedet for konveksitet.
Definition 3
Til at bestemme intervallerne for konkavitet og konveksitet nødvendig:
- find den anden afledede;
- find nullerne for den anden afledede funktion;
- opdel definitionsområdet i intervaller med de fremkomne punkter;
- bestemme tegnet for intervallet.
Eksempel 5
Find den anden afledede fra definitionsdomænet.
Løsning
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Vi finder nulpunkterne i tælleren og nævneren, hvor vi i vores eksempel har, at nulpunkterne i nævneren x = ± 1 2
Nu skal du plotte punkterne på tallinjen og bestemme tegnet for den anden afledede fra hvert interval. Det forstår vi
Svar:
- funktionen er konveks fra intervallet - 1 2 ; 12;
- funktionen er konkav fra intervallerne - ∞; - 12 og 12; + ∞ .
Definition 4
Bøjningspunkt– dette er et punkt på formen x 0 ; f (x 0). Når den har en tangent til funktionens graf, så skifter funktionen fortegn til det modsatte, når den passerer gennem x 0.
Med andre ord er dette et punkt, hvorigennem den anden afledede passerer og skifter fortegn, og i selve punkterne er den lig med nul eller eksisterer ikke. Alle punkter anses for at være funktionens domæne.
I eksemplet var det tydeligt, at der ikke er nogen bøjningspunkter, da den anden afledede ændrer fortegn, mens den passerer gennem punkterne x = ± 1 2. De er til gengæld ikke omfattet af definitionens anvendelsesområde.
Find vandrette og skrå asymptoter
Når du definerer en funktion ved uendelig, skal du kigge efter vandrette og skrå asymptoter.
Definition 5
Skrå asymptoter er afbildet ved hjælp af lige linjer, givet af ligningen y = k x + b, hvor k = lim x → ∞ f (x) x og b = lim x → ∞ f (x) - k x.
For k = 0 og b ikke lig med uendelig, finder vi, at den skrå asymptote bliver vandret.
Med andre ord anses asymptoter for at være linjer, som grafen for en funktion nærmer sig uendeligt. Dette letter hurtig konstruktion af en funktionsgraf.
Hvis der ikke er nogen asymptoter, men funktionen er defineret ved begge uendeligheder, er det nødvendigt at beregne grænsen for funktionen ved disse uendeligheder for at forstå, hvordan grafen for funktionen vil opføre sig.
Eksempel 6
Lad os betragte det som et eksempel
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
er en vandret asymptote. Efter at have undersøgt funktionen, kan du begynde at konstruere den.
Beregning af værdien af en funktion ved mellemliggende punkter
For at gøre grafen mere nøjagtig, anbefales det at finde flere funktionsværdier på mellemliggende punkter.
Eksempel 7
Fra det eksempel, vi betragtede, er det nødvendigt at finde værdierne af funktionen i punkterne x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Da funktionen er lige, får vi, at værdierne falder sammen med værdierne på disse punkter, det vil sige, vi får x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.
Lad os skrive og løse:
F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
For at bestemme maksima og minima for funktionen, bøjningspunkter og mellempunkter er det nødvendigt at konstruere asymptoter. For praktisk betegnelse registreres intervaller for stigende, faldende, konveksitet og konkavitet. Lad os se på billedet nedenfor.
Det er nødvendigt at tegne graflinjer gennem de markerede punkter, som giver dig mulighed for at nærme dig asymptoterne ved at følge pilene.
Dette afslutter den fulde udforskning af funktionen. Der er tilfælde af at konstruere nogle elementære funktioner, som geometriske transformationer bruges til.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter