Fysiske anvendelser af en bestemt integreret lærebog. Mekaniske anvendelser af det bestemte integral

41,1. Ordninger til anvendelse af et bestemt integral

Lad det være nødvendigt at finde værdien af ​​en eller anden geometrisk eller fysisk størrelse A (areal af en figur, volumen af ​​et legeme, væsketryk på en lodret plade osv.) forbundet med et segment af ændring i den uafhængige variabel x. Det antages, at denne mængde A er additiv, dvs. sådan, at ved opdeling af segmentet [a; b] punkt med є (a; b) på delen [a; s] og [s; b] værdien af ​​A svarende til hele segmentet [a; b], lig med summen af ​​dets værdier svarende til [a; s] og [s; b].

For at finde denne værdi A kan du blive guidet af et af to skemaer: I-skema (eller metoden med integrale summer) og II-skema (eller differentialmetoden).

Den første ordning er baseret på definitionen af ​​et bestemt integral.

1. Brug punkterne x 0 = a, x 1 ,..., x n = b, opdel segmentet [a;b] i n dele. I overensstemmelse hermed vil den mængde A, der interesserer os, blive opdelt i n "elementære led" ΔAi (i = 1,...,n): A = ΔA 1 +ΔA 2 +...+ ΔA n.

2. Præsenter hvert "elementært led" som et produkt af en eller anden funktion (defineret ud fra problembetingelserne) beregnet ved et vilkårligt punkt i det tilsvarende segment ved dets længde: ΔA i ≈ ƒ(c i)Δx i.

Når man finder den omtrentlige værdi af ΔA i, er nogle forenklinger tilladte: buen i et lille område kan erstattes af en korde, der trækker enderne sammen; variabel hastighed over et lille område kan tilnærmelsesvis betragtes som konstant osv.

Vi får en omtrentlig værdi af mængde A i form af en integral sum:

3. Den nødvendige værdi A er lig med grænsen for integralsummen, dvs.

Den angivne "metode for summer", som vi ser, er baseret på repræsentationen af ​​integralet som summen af ​​et uendeligt stort antal infinitesimale led.

Skema I blev brugt til at tydeliggøre den geometriske og fysiske betydning af det bestemte integral.

Det andet skema er et let modificeret skema I og kaldes "differentialmetoden" eller "metoden til at kassere infinitesimale højere ordener":

1) på segmentet [a;b] vælger vi en vilkårlig værdi x og betragter det variable segment [a; X]. På dette segment bliver størrelsen A en funktion af x: A = A(x), dvs. vi antager, at en del af den ønskede størrelse A er en ukendt funktion A(x), hvor x є er en af ​​parametrene for mængde A;

2) vi finder hoveddelen af ​​inkrementet ΔA, når x ændres med en lille mængde Δx = dx, dvs. vi finder differentialet dA for funktionen A = A(x): dA = ƒ(x) dx, hvor ƒ(x) ), bestemt ud fra problemforholdene , en funktion af variablen x (forskellige forenklinger er også mulige her);

3) hvis vi antager, at dA ≈ ΔA for Δx → 0, finder vi den ønskede værdi ved at integrere dA i området fra a til b:

41,2. Beregning af arealer af plane figurer

Rektangulære koordinater

Som det allerede er blevet fastslået (se "geometrisk betydning af et bestemt integral"), er arealet af en buet trapez placeret "over" x-aksen (ƒ(x) ≥ 0) lig med det tilsvarende bestemte integral:

Formel (41.1) blev opnået ved at anvende skema I - metoden for summer. Lad os begrunde formel (41.1) ved hjælp af skema II. Lad den buede trapez være afgrænset af linjerne y = ƒ(x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 (se fig. 174).

For at finde området S af denne trapezoid udfører vi følgende operationer:

1. Tag en vilkårlig x О [a; b] og vi vil antage, at S = S(x).

2. Lad os give argumentet x et trin Δx = dx (x + Δx є [a; b]). Funktionen S = S(x) vil modtage en stigning ΔS, som er arealet af den "elementære krumlineære trapez" (det er fremhævet i figuren).

Arealdifferensen dS er hoveddelen af ​​stigningen ΔS ved Δx → 0, og det er naturligvis lig med arealet af et rektangel med basis dx og højde y: dS = y dx.

3. Ved at integrere den resulterende lighed i området fra x = a til x = b, får vi

Bemærk, at hvis en buet trapez er placeret "under" Ox-aksen (ƒ(x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Formler (41.1) og (41.2) kan kombineres til én:

Arealet af en figur afgrænset af kurver y = fι(x) og y = ƒг(x), rette linjer x = a og x = b (forudsat ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) (se fig. 175), kan findes ved hjælp af formlen

Hvis en flad figur har en "kompleks" form (se fig. 176), så skal den opdeles i dele med lige linjer parallelt med Oy-aksen, så allerede kendte formler kan anvendes.

Hvis et krumt trapez er begrænset af rette linjer y = c og y = d, Oy-aksen og en kontinuert kurve x = φ(y) ≥ 0 (se fig. 177), så findes dens areal ved formlen

Og endelig, hvis en buet trapez er begrænset af en kurve defineret parametrisk

rette linjer x = aix = b og Ox-aksen, så findes dens areal ved formlen

hvor a og β bestemmes ud fra lighederne x(a) = a og x(β) = b.

Eksempel 41.1. Find arealet af figuren afgrænset af Ox-aksen og grafen for funktionen y = x 2 - 2x for x є.

Løsning: Figuren har formen vist i figur 178. Find dens areal S:

Eksempel 41.2. Beregn arealet af figuren afgrænset af ellipsen x = a cos t, y = b sin t.

Løsning: Lad os først finde 1/4 af arealet S. Her skifter x fra 0 til a, derfor ændres t fra til 0 (se fig. 179). Vi finder:

Dermed . Dette betyder S = π аВ.

Polære koordinater

Lad os finde arealet S af en kurvelineær sektor, dvs. en flad figur afgrænset af en kontinuerlig linje r=r(φ) og to stråler φ=a og φ=β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - differentiel metode.

1. Vi vil betragte en del af det ønskede areal S som funktion af vinklen φ, dvs. S = S(φ), hvor en ≤ φ ≤ β (hvis φ = a, så S(a) = 0, hvis φ=β, så S(β) = S).

2. Hvis den aktuelle polære vinkel φ modtager en stigning Δφ = dφ, så er stigningen i området AS lig med arealet af den "elementære krumlineære sektor" OAB.

Differentialet dS repræsenterer hoveddelen af ​​stigningen ΔS ved dφ → 0 og er lig med arealet af den cirkulære sektor O AC (skraveret i figuren) med radius r med midtervinkel dφ. Derfor

3. Ved at integrere den resulterende lighed i området fra φ = a til φ = β, opnår vi det nødvendige areal

Eksempel 41.3. Find arealet af figuren afgrænset af den "trebladede rose" r=acos3φ (se fig. 181).

Løsning: Lad os først finde arealet af halvdelen af ​​et kronblad af "rosen", dvs. 1/6 af det samlede areal af figuren:

dvs. derfor

Hvis en flad figur har en "kompleks" form, skal strålerne, der kommer fra polen, opdele den i krumlinjede sektorer, hvorpå den resulterende formel skal anvendes for at finde området. Så for figuren vist i figur 182 har vi:

41,3. Beregning af buelængden af ​​en plan kurve

Rektangulære koordinater

Lad en plan kurve AB angives i rektangulære koordinater, hvis ligning er y=ƒ(x), hvor a≤x≤ b.

Længden af ​​buen AB forstås som den grænse, til hvilken længden af ​​en stiplet linie, der er indskrevet i denne bue, tenderer, når antallet af led af den stiplede linie stiger uendeligt, og længden af ​​dens største led har en tendens til nul. Lad os vise, at hvis funktionen y=ƒ(x) og dens afledte y" = ƒ"(x) er kontinuerte på intervallet [a; b], så har kurven AB en længde lig med

Lad os anvende skema I (summetode).

1. Punkter x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =

2. Længden af ​​en akkord (eller et led af en brudt linje) ΔL 1 kan findes ved hjælp af Pythagoras sætning fra en trekant med benene Δx i og Δу i:

Ifølge Lagranges sætning om den endelige tilvækst af funktionen Δу i =ƒ"(с i) Δх i, hvor ci є (x i-1;x i). Derfor

og længden af ​​hele den stiplede linje M 0 M 1 ... M n er lig med

3.Længde l kurve AB er per definition lig med

.

Bemærk, at for ΔL i → 0 også Δx i → 0 ΔLi = og derfor |Δx i |<ΔL i).

Fungere er kontinuerlig i intervallet [a; b], da funktionen ƒ"(x) efter betingelse er kontinuert. Følgelig er der en grænse for integralsummen (41.4), når max Δx i → 0 :

Dermed, eller i forkortet form l =

Hvis ligningen for AB-kurven er givet i parametrisk form

hvor x(t) og y(t) er kontinuerte funktioner med kontinuerte afledte og x(a) = a, x(β) = b, så er længden l kurve AB findes ved formlen

Formel (41.5) kan fås fra formel (41.3) ved at erstatte x = x(t),dx = x"(t)dt,

Eksempel 41.4. Find omkredsen af ​​en cirkel med radius R.

Løsning: Lad os finde 1/4 af dens længde fra punkt (0;R) til punkt (R;0) (se fig. 184). Fordi At

Midler, l= 2π R. Hvis ligningen for en cirkel er skrevet i parametrisk form x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π ), så

Beregningen af ​​buelængden kan baseres på anvendelsen af ​​differentialmetoden. Lad os vise, hvordan formel (41.3) kan opnås ved at anvende skema II (differentiel metode).

1. Tag en vilkårlig værdi x є [a; b] og overvej det variable segment [a;x]. Størrelsen på den l bliver en funktion af x, dvs. l = l(X) ( l(a) = 0 og l(b) = l).

2. Find differentialet dl funktioner l = l(x) når x ændres med en lille mængde Δх = dx: dl = l"(x)dx. Lad os finde l"(x), der erstatter den infinitesimale bue MN med akkorden Δ l, sammentrækning af denne bue (se fig. 185):

3. Ved at integrere dl i området fra a til b får vi

Lighed kaldes buedifferentialformlen i rektangulære koordinater.

Da y" x = -dy/dx, så

Den sidste formel er Pythagoras sætning for den infinitesimale trekant MST (se fig. 186).

Polære koordinater

Lad kurven AB være givet ved ligningen i polære koordinater r = r(φ), a≤φ≤β. Lad os antage, at r(φ) og r"(φ) er kontinuerte i intervallet [a;β].

Hvis i lighederne x = rcosφ, y = rsinφ, der forbinder polære og kartesiske koordinater, betragtes vinklen φ som en parameter, så kan AB-kurven specificeres parametrisk

Ved at anvende formel (41.5), opnår vi

Eksempel 41.5. Find længden af ​​kardioiden r = = a(1 + cosφ).

Løsning: Kardioide r = a(1 + cosφ) har formen vist i figur 187. Den er symmetrisk om polaksen. Lad os finde halvdelen af ​​længden af ​​cardioid:

Således er 1/2l = 4a. Dette betyder l= 8a.

41,4. Beregning af kropsvolumen

Beregning af et legemes volumen fra kendte områder med parallelle snit

Lad det være nødvendigt at finde volumenet V af et legeme, og arealet S af sektioner af dette legeme ved planer vinkelret på en eller anden akse, for eksempel Ox-aksen, er kendt: S = S(x), a ≤ x ≤ b .

1. Gennem et vilkårligt punkt x є tegner vi et plan ¸ vinkelret på Ox-aksen (se fig. 188). Lad os betegne med S(x) kroppens tværsnitsareal ved dette plan; S(x) betragtes som kendt og ændres løbende, når x ændres. Lad v(x) betegne volumenet af den del af kroppen, der ligger til venstre for planet P. Vi antager, at på segmentet [a; x] værdien v er en funktion af x, dvs. v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Find differentialet dV for funktionen v = v(x). Det repræsenterer et "elementært lag" af kroppen, indesluttet mellem parallelle planer, der skærer Ox-aksen i punkterne x og x+Δx, hvilket omtrent kan tages som en cylinder med en base S(x) og en højde dx. Derfor er volumenforskellen dV = S(x) dx.

3. Find den ønskede værdi V ved at integrere dA i området fra a til B:

Den resulterende formel kaldes formlen for volumenet af et legeme efter arealet af parallelle sektioner.

Eksempel 41.6. Find volumen af ​​ellipsoiden

Løsning: Skæring af ellipsoiden med et plan parallelt med Oyz-planet og i en afstand x fra det (-a ≤х≤ a), får vi en ellipse (se fig. 189):

Området af denne ellipse er

Derfor har vi ifølge formel (41.6).

Volumen af ​​et rotationslegeme

Lad en buet trapez rotere rundt om Ox-aksen, afgrænset af en kontinuerlig linje y = ƒ(x) 0, et segment a ≤ x ≤ b, og rette linjer x = a og x = b (se fig. 190). Figuren opnået fra rotationen kaldes et omdrejningslegeme. Udsnit af dette legeme i et plan vinkelret på Ox-aksen, trukket gennem et vilkårligt punkt x på Ox-aksen (x Î [EN; b]), er der en cirkel med radius y= ƒ(x). Derfor S(x)= π y 2.

Ved at anvende formel (41.6) for volumenet af en krop baseret på arealet af parallelle sektioner, opnår vi

Hvis et krumt trapez er begrænset af grafen for en kontinuert funktion x = φ(y) ≥ 0 og rette linjer x = 0, y = c,

y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Eksempel 41.7. Find kroppens volumen dannet ved rotationen af ​​en figur afgrænset af linjer omkring Oy-aksen (se fig. 191).

Løsning: Ved hjælp af formel (41.8) finder vi:

41,5. Beregning af revolutionens overfladeareal

Lad kurven AB være en graf for funktionen y = ƒ(x) ≥ 0, hvor x є [a;b], og funktionen y = ƒ(x) og dens afledte y"=ƒ"(x) er kontinuerte på dette segment.

Lad os finde arealet S af overfladen dannet ved at dreje kurven AB omkring Ox-aksen.

Lad os anvende skema II (differentiel metode).

1. Gennem et vilkårligt punkt x є [a; b] tegn et plan ¸ vinkelret på Ox-aksen. Planet ∏ skærer omdrejningsfladen langs en cirkel med radius y = ƒ(x) (se fig. 192). Værdien S af overfladen af ​​den del af omdrejningsfiguren, der ligger til venstre for planet, er en funktion af x, altså s=s(x) (s(a)=0 og s(b)=S).

2. Lad os give argumentet x en stigning Δх = dx. Gennem punktet x + dx є [a; b] tegner vi også en plan vinkelret på Ox-aksen. Funktionen s=s(x) vil modtage stigningen Az, vist i figuren som et "bælte".

Lad os finde forskellen på arealet ds ved at erstatte figuren dannet mellem sektionerne med en keglestub, hvis generatrix er lig med dl, og basernes radier er lig med y og y + dy. Arealet af dens laterale overflade er ds= π (y+y+ D y) dl=2π på dl + π dydl. Ved at afvise produktet dydl som en infinitesimal af højere orden end ds, opnår vi ds=2 π på dl, eller siden

3. Ved at integrere den resulterende lighed i området fra x = a til x = b, får vi

Hvis AB-kurven er givet ved de parametriske ligninger x = x(t),y=y(t), t 1 ≤ t ≤ t 2, så antager formlen (41.9) for arealet af rotationsoverfladen formen

Eksempel 41.8. Find overfladearealet af en kugle med radius R.

Eksempel 41.9. Givet en cycloid

Find overfladearealet dannet ved at rotere det omkring Ox-aksen.

Løsning: Når halvdelen af ​​cykloidbuen roterer omkring Ox-aksen, er rotationsoverfladen lig med

41,6. Mekaniske anvendelser af det bestemte integral

Variabelt styrkearbejde

Lad materialepunktet M bevæge sig langs Ox-aksen under påvirkning af en variabel kraft F = F(x), rettet parallelt med denne akse. Arbejdet udført af en kraft, når punktet M flyttes fra position x = a til position x = b (a< b), находится по формуле (см. п. 36).

Eksempel 41.10 Hvor meget arbejde skal der gøres for at strække en fjeder med 0,05 m, hvis en kraft på 100 N strækker fjederen med 0,01 m?

Løsning: Ifølge Hookes lov er den elastiske kraft, der strækker fjederen, proportional med denne strækning x, dvs. F = kx, hvor k er proportionalitetskoefficienten. Ifølge problemets betingelser strækker en kraft F = 100 N fjederen med x = 0,01 m; derfor er 100 = k*0,01, derfor k = 10000; derfor er F = 10000x.

Det påkrævede arbejde baseret på formel (41.10) er lig med

Eksempel 41.11. Find det nødvendige arbejde for at pumpe væske over kanten fra en lodret cylindrisk tank med højde N m og basisradius R m.

Løsning: Det nødvendige arbejde for at løfte en krop med vægt p til en højde h er lig med p h. Men forskellige lag af væske i reservoiret er i forskellige dybder, og højden af ​​stigningen (til kanten af ​​reservoiret) af de forskellige lag er ikke den samme.

For at løse problemet anvender vi skema II (differentiel metode). Lad os introducere et koordinatsystem som vist i figur 193.

1. Arbejdet brugt på at pumpe et lag væske ud af tykkelsen x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).

2. Vi finder hoveddelen af ​​stigningen ΔA, når x ændres med mængden Δx = dx, dvs. vi finder differentialet dA for funktionen A(x).

På grund af den lille størrelse af dx, antager vi, at det "elementære" lag af væske er placeret i samme dybde x (fra kanten af ​​reservoiret) (se fig. 193). Så er dA = dp*x, hvor dp er vægten af ​​dette lag; det er lig med g *g dv, hvor g er tyngdeaccelerationen, g er væskens massefylde, dv er volumenet af det "elementære" væskelag (det er fremhævet på figuren), dvs. dp = gg dv. Volumenet af det angivne væskelag er åbenbart lig med π R 2 dx, hvor dx er højden af ​​cylinderen (laget), π R 2 er arealet af dens base, dvs. dv= π R 2 dx.

Så dp=gg π R2dx og dA = gg π R 2 dx*x.

3) Ved at integrere den resulterende lighed i området fra x = 0 til x = H, finder vi

Vejen tilbagelagt af kroppen

Lad et materialepunkt bevæge sig i en ret linje med variabel hastighed v=v(t). Lad os finde stien S tilbagelagt af den i tidsintervallet fra t 1 til t 2.

Løsning: Fra den fysiske betydning af den afledede vides det, at når et punkt bevæger sig i én retning, "er hastigheden af ​​retlinet bevægelse lig med den tidsafledede af stien", dvs. det følger, at dS = v(t)dt. Ved at integrere den resulterende lighed i området fra t 1 til t 2 opnår vi

Bemærk, at den samme formel kan opnås ved at bruge skema I eller II til at anvende et bestemt integral.

Eksempel 41.12. Find den vej som kroppen har tilbagelagt på 4 sekunder fra starten af ​​bevægelsen, hvis kroppens hastighed er v(t) = 10t + 2 (m/s).

Løsning: Hvis v(t)=10t+2 (m/s), så er vejen tilbagelagt af kroppen fra begyndelsen af ​​bevægelsen (t=0) til slutningen af ​​det 4. sekund lig med

Væsketryk på en lodret plade

Ifølge Pascals lov er trykket af en væske på en vandret plade lig med vægten af ​​søjlen af ​​denne væske, som har pladen som sin base, og dens højde er dybden af ​​dens nedsænkning fra væskens frie overflade. , dvs. P = g*g* S* h, hvor g er tyngdeaccelerationen, g er væskens tæthed, S er pladens areal, h er dybden af ​​dens nedsænkning.

Ved at bruge denne formel er det umuligt at se efter væsketrykket på en lodret nedsænket plade, da dens forskellige punkter ligger i forskellige dybder.

Lad en plade være lodret nedsænket i en væske, afgrænset af linjerne x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) og y 2 = ƒ 2 (x); koordinatsystemet er valgt som angivet i figur 194. For at finde væsketrykket P på denne plade anvender vi skema II (differentiel metode).

1. Lad en del af den ønskede værdi P være en funktion af x: p=p(x), dvs. p=p(x) er trykket på en del af pladen svarende til segmentet [a; x] værdier af variablen x, hvor x є [a; b] (p(a)=0,p(b) = P).

2. Lad os give argumentet x en stigning Δх = dx. Funktionen p(x) vil modtage en stigning Δр (i figuren er der et strimmellag med tykkelsen dx). Lad os finde differentialet dp for denne funktion. På grund af dx's lillehed vil vi tilnærmelsesvis betragte strimlen som et rektangel, hvor alle punkter er i samme dybde x, dvs. denne plade er vandret.

Så efter Pascals lov

3. Ved at integrere den resulterende lighed i området fra x = a til x = B, får vi

Eksempel 41.13. Bestem mængden af ​​vandtryk på en halvcirkel lodret nedsænket i væske, hvis dens radius er R, og dens centrum O er på den frie overflade af vandet (se fig. 195).

Det statiske moment S y af dette system i forhold til aksen bestemmes tilsvarende

Hvis masserne er fordelt kontinuerligt langs en eller anden kurve, vil der være behov for integration for at udtrykke det statiske moment.

Lad y = ƒ(x) (a≤ x≤ b) være ligningen for materialekurven AB. Vi vil betragte det som homogent med konstant lineær tæthed g (g = const).

For vilkårlig x є [a; b] på kurven AB er der et punkt med koordinater (x;y). Lad os vælge et elementært snit med længden dl på kurven, der indeholder punktet (x;y). Så er massen af ​​dette afsnit lig med g dl. Lad os tage dette afsnit dl omtrent som et punkt placeret i en afstand y fra Ox-aksen. Så vil differentialet for det statiske moment dS x ("elementært moment") være lig med g dly, dvs. dS x = g dlу (se fig. 196).

Det følger heraf, at det statiske moment S x af AB-kurven i forhold til Ox-aksen er lig

På samme måde finder vi S y:

De statiske momenter S x og S y af kurven gør det let at bestemme positionen af ​​dens tyngdepunkt (massecentrum).

Tyngdepunktet for en materialeplankurve y = ƒ(x), x Î er et punkt på planet, der har følgende egenskab: hvis hele massen m af en given kurve er koncentreret på dette punkt, så er det statiske moment af dette punkt i forhold til enhver koordinatakse vil være lig med det statiske moment af hele kurven y = ƒ (x) i forhold til den samme akse. Lad os betegne med C(x c;y c) tyngdepunktet for kurven AB.

Ud fra definitionen af ​​tyngdepunktet følger lighederne Herfra

Beregning af statiske momenter og koordinater for tyngdepunktet for en plan figur

Lad en materiale flad figur (plade) angives, afgrænset af kurven y = ƒ(x) 0 og de rette linjer y = 0, x = a, x = b (se fig. 198).

Vi vil antage, at pladens overfladetæthed er konstant (g = const). Så er massen af ​​hele pladen lig med g * S, dvs. Lad os vælge en elementær sektion af pladen i form af en uendelig smal lodret strimmel og omtrent betragte det som et rektangel.

Så er dens masse lig med g ydx. Tyngdepunktet C i et rektangel ligger i skæringspunktet mellem rektanglets diagonaler. Dette punkt C er placeret 1/2*y fra Ox-aksen og x fra Oy-aksen (ca.; mere præcist, i en afstand x+ 1/2 ∆x). Så for elementære statiske momenter i forhold til Ox- og Oy-akserne er følgende relationer opfyldt:

Så tyngdepunktet har koordinater

1. Arealet af en flad figur.

Arealet af en buet trapez afgrænset af en ikke-negativ funktion f(x), x-akse og rette linjer x = a, x = b, er defineret som S = ∫ a b f x d x .

Arealet af en buet trapez

Arealet af en figur afgrænset af en funktion f(x), der skærer abscisseaksen, er bestemt af formlen S = ∑ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - ∑ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x i– nuller af funktionen. Med andre ord, for at beregne arealet af denne figur, skal du opdele segmentet funktion nuller f(x) i dele, integrere funktionen f for hvert af de resulterende intervaller med konstant fortegn skal du separat sammenlægge integralerne over de segmenter, hvor funktionen f tager forskellige tegn og trækker det andet fra det første.

2. Areal af den buede sektor.

Areal af en buet sektor Overvej kurven ρ = ρ (φ) i det polære koordinatsystem, hvor ρ (φ) – kontinuerlig og ikke-negativ på [α; β] fungere. Figur afgrænset af en kurve ρ (φ) og stråler φ = α , φ = β , kaldes en kurvelineær sektor. Arealet af den kurvelineære sektor er S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ .

3. Volumen af ​​et rotationslegeme.

Volumen af ​​et rotationslegeme

Lad legemet dannes ved rotation omkring OX-aksen af ​​en kurvelineær trapez afgrænset af en kontinuerlig linje på segmentet fungere f(x). Dens volumen er udtrykt ved formlen V = π ∫ a b f 2 x d x.

Til problemet med at finde volumen af ​​et legeme ud fra dets tværsnitsareal

Lad kroppen være indelukket mellem planer x = a Og x = b, og arealet af dets snit ved det fly, der passerer gennem punktet x, – løbende på segmentet fungere σ(x). Så er dens volumen lig med V = ∫ a b σ x d x .

4. Længde af kurvens bue.

Lad kurven r → t = x t , y t , z t være givet. Derefter er længden af ​​dens snit begrænset af værdierne t = α Og t = β er udtrykt ved formlen S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt .

Buelængde af en plan kurve Især længden af ​​en plan kurve defineret på koordinatplanet OXY ligning y = f(x), a ≤ x ≤ b, er udtrykt ved formlen S = ∫ a b 1 + f ′ x 2 dx .

5. Overfladeareal af rotation.

Omdrejningsfladeareal Lad overfladen defineres ved rotation i forhold til OX-aksen på grafen for funktionen y = f(x), a ≤ x ≤ b, og funktion f har en kontinuerlig afledt på dette interval. Så er arealet af omdrejningsfladen bestemt af formlen Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x .

Forelæsning 21 Anvendelser af et bestemt integral (2 timer)

Geometriske applikationer

EN) Arealet af figuren

Som allerede bemærket i forelæsning 19, er numerisk lig med arealet af en buet trapez afgrænset af kurven på = f(x), lige x = EN, x = b og segmentet [ -en, b] OX-akse. Desuden, hvis f(x) £ 0 på [ -en, b], så skal integralet tages med et minustegn.

Hvis funktionen på et givet interval på = f(x) skifter fortegn, så for at beregne arealet af figuren, der er indesluttet mellem grafen for denne funktion og OX-aksen, skal du opdele segmentet i dele, på hvilke funktionen hver beholder sit fortegn, og finde arealet af ​hver del af figuren. Det nødvendige areal i dette tilfælde er den algebraiske sum af integraler over disse segmenter, og integralerne svarende til negative værdier af funktionen tages i denne sum med et minustegn.

Hvis en figur er afgrænset af to kurver på = f 1 (x) Og på = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x 9, så er dens areal lig med forskellen i arealer af kurvelineære trapezoider EN Sol b Og EN AD b, som hver er numerisk lig med integralet. Midler,

Bemærk, at arealet af figuren vist i figur 10a findes ved hjælp af samme formel: S = (bevis det!). Tænk på, hvordan man beregner arealet af figuren vist i figur 10b?

Vi talte kun om kurvelineære trapezoider, der støder op til OX-aksen. Men lignende formler er også gyldige for figurer, der støder op til OU-aksen. For eksempel findes arealet af figuren vist i figur 11 af formlen

Lad stregen y=f(x), der afgrænser en buet trapez, kan gives ved parametriske ligninger, tО, og j(a)= EN j(b) = b, dvs. på= . Så er arealet af denne kurvelineære trapez lig med

.

b) Kurve bue længde

Lad kurven være givet på = f(x). Lad os betragte buen af ​​denne kurve, der svarer til ændringen x på segmentet [ -en, b]. Lad os finde længden af ​​denne bue. For at gøre dette opdeler vi buen AB i P dele af punkterne A = M 0, M 1, M 2, ..., M P= B (fig. 14), svarende til punkter x 1 , x 2 , ..., x n Î [ -en, b].

Lad os betegne D l i buelængde altså l= . Hvis buelængden D l i er små nok, så kan de betragtes som omtrent lig med længderne af de tilsvarende segmenter, der forbinder punkter M jeg-1,M jeg. Disse punkter har koordinater M jeg -1 (x i -1, f (x i-1)), M jeg(x i, f(x i)). Så er længderne af segmenterne ens hhv

Lagranges formel bruges her. Lad os sætte x i – x i-1 =D x i, vi får

Derefter l = , hvor

l = .

Altså buelængden af ​​kurven på = f(x), svarende til ændringen x på segmentet [ -en, b], fundet af formlen

l = , (1)

Hvis kurven er angivet parametrisk, tО, dvs. y(t) = f(x(t)), så får vi fra formel (1):

l=
.

Dette betyder, at hvis en kurve er givet parametrisk, så er længden af ​​buen af ​​denne kurve svarende til ændringen tО, findes ved formlen

V) Volumen af ​​et rotationslegeme.

Fig.15

Overvej en buet trapez EN AB b, afgrænset af en linje på = f(x), lige x = EN, x = b og segmentet [ -en,b] OX-akse (fig. 15). Lad denne trapez rotere rundt om OX-aksen, resultatet vil være et rotationslegeme. Det kan bevises, at volumenet af denne krop vil være lig med

På samme måde kan vi udlede formlen for volumenet af et legeme opnået ved at rotere en krumlinjet trapez om aksen OU, begrænset af grafen for funktionen x= j( på), lige y = c , y = d og segmentet [ c,d] aksen for op-ampen (fig. 15):

Fysiske anvendelser af det bestemte integral

I forelæsning 19 beviste vi, at fra et fysisk synspunkt er integralet numerisk lig massen af ​​en retlinet tynd inhomogen stang af længde l= b – -en, med variabel lineær tæthed r = f(x), f(x) ³ 0, hvor x– afstanden fra stangens spids til dens venstre ende.

Lad os overveje andre fysiske anvendelser af det bestemte integral.

Opgave 1. Find det nødvendige arbejde for at pumpe olie fra en lodret cylindrisk tank med højde H og basisradius R. Oliens massefylde er r.

Løsning. Lad os bygge en matematisk model af dette problem. Lad OX-aksen passere langs symmetriaksen for en cylinder med højden H og radius R, oprindelsen er i midten af ​​cylinderens øverste base (fig. 17). Lad os dele cylinderen op i P små vandrette dele. Så hvor A i– pumpearbejde jeg lag. Denne opdeling af cylinderen svarer til opdelingen af ​​segmentet af ændring i laghøjde i P dele. Lad os overveje et af disse lag placeret på afstand x i fra overfladen, bredde D x(eller straks dx). At pumpe dette lag ud kan opfattes som at "hæve" laget til en højde x i.

Så er arbejdet med at pumpe dette lag ud lig med

A i"R i x i, ,

hvor P jeg=rgV jeg= rgpR 2 dx, R jeg– vægt, V jeg– lagets volumen. Derefter A i"R i x i= rgpR 2 dx.x i, hvor

, og derfor .

Opgave 2. Find inertimomentet

a) en hul tyndvægget cylinder i forhold til en akse, der går gennem dens symmetriakse;

b) en massiv cylinder i forhold til en akse, der går gennem dens symmetriakse;

c) en tynd stang af længde l i forhold til en akse, der går gennem dens midte;

d) tynd stanglængde l i forhold til en akse, der går gennem dens venstre ende.

Løsning. Som bekendt er inertimomentet for et punkt i forhold til aksen lig med J=Hr 2, og pointsystemer.

a) Cylinderen er tyndvægget, hvilket betyder, at tykkelsen af ​​væggene kan negligeres. Lad radius af cylinderens bund være R, dens højde H, og massetætheden på væggene være lig med r.

Lad os dele cylinderen op i P dele og find hvor J i- inertimoment jeg elementet i partitionen.

Lad os overveje jeg element af partitionen (infinitesimal cylinder). Alle dens punkter er i en afstand R fra aksen l. Lad massen af ​​denne cylinder t i, Derefter t i= rV jeg»rS side= 2prR dx i, Hvor x i O. Derefter J i» R 2 prR dx i, hvor

.

Hvis r er en konstant, så J= 2prR 3 N, og da cylinderens masse er lig med M = 2prRН, så J=MR 2.

b) Hvis cylinderen er fast (fyldt), så deler vi den i P vlo tynde cylindre forbundet med hinanden. Hvis P er stor, kan hver af disse cylindre betragtes som tyndvæggede. Denne partition svarer til opdelingen af ​​segmentet i P dele med punkter R jeg. Lad os finde massen jeg tyndvæggede cylinder: t i= rV jeg, Hvor

V jeg= pR jeg 2H – pR jeg- 12H = pH(R jeg 2 -R jeg -1 2) =

PH(R jeg–R jeg-1)(R jeg+R jeg -1).

På grund af det faktum, at cylindervæggene er tynde, kan vi antage, at R jeg+R jeg-1 » 2R jeg og R jeg–R jeg-1 = DR jeg, derefter V jeg» pH2R jeg D.R. jeg, hvor t i»rpН×2R jeg D.R. jeg,

Så endelig

c) Overvej en stang af længde l, hvis massefylde er lig med r. Lad rotationsaksen passere gennem midten.

Vi modellerer stangen som et segment af OX-aksen, så er stangens rotationsakse OU-aksen. Lad os overveje et elementært segment, dets masse, afstand til aksen kan betragtes som omtrent lige r i= x i. Så er inertimomentet i denne sektion lig med , hvorfra hele stangens inertimoment er lig med . I betragtning af at stangens masse er lig med , så

d) Lad nu omdrejningsaksen passere gennem den venstre ende af stangen, dvs. Modellen af ​​stangen er et segment af OX-aksen. Så på samme måde, r i= x i, , hvor , og siden da .

Opgave 3. Find trykkraften af ​​en væske med massefylde r på en retvinklet trekant med ben EN Og b, nedsænket lodret i væske, så benet EN er på overfladen af ​​væsken.

Løsning.

Lad os bygge en model af problemet. Lad toppunktet for trekantens rette vinkel være ved origo, benet EN falder sammen med et segment af OU-aksen (OU-aksen bestemmer væskens overflade), OX-aksen er rettet nedad, benet b falder sammen med et segment af denne akse. Hypotenusen af ​​denne trekant har ligningen , eller .

Det er kendt, at hvis på et vandret område af området S, nedsænket i en væske med densitet r, presses af en væskesøjle af højde h, så er trykkraften lig (Pascals lov). Lad os bruge denne lov.

Arealet af en buet trapez afgrænset ovenfor af grafen for en funktion y=f(x), venstre og højre - lige x=a Og x=b følgelig nedefra - aksen Okse, beregnet ved formlen

Arealet af en buet trapez afgrænset til højre af grafen for en funktion x=φ(y), over og under - lige y=d Og y=c derfor til venstre - aksen Åh:

Arealet af en buet figur afgrænset ovenfor af grafen for en funktion y 2 = f 2 (x), nedenfor - funktionsgraf y 1 =f 1 (x), venstre og højre - lige x=a Og x=b:

Arealet af en kurvelinet figur afgrænset til venstre og højre af grafer over funktioner x 1 =φ 1 (y) Og x 2 =φ 2 (y), over og under - lige y=d Og y=c henholdsvis:

Lad os overveje tilfældet, når linjen, der begrænser det krumlinede trapez fra oven, er givet ved parametriske ligninger x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), Hvor α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Disse ligninger definerer en funktion y=f(x) på segmentet [ a, b]. Arealet af en buet trapez beregnes ved formlen

Lad os gå videre til en ny variabel x = φ 1 (t), Derefter dx = φ" 1 (t) dt, A y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), derfor \begin(displaymath)

Område i polære koordinater

Overvej en kurvelineær sektor OAB, afgrænset af linjen givet af ligningen ρ=ρ(φ) i polære koordinater, to stråler O.A. Og O.B., for hvilket φ=α , φ=β .

Vi vil opdele sektoren i elementære sektorer OM k-1 M k ( k=1, …, n, Mo =A, Mn=B). Lad os betegne med Δφk vinkel mellem stråler OM k-1 Og OM k, der danner vinkler med den polære akse φ k-1 Og φk henholdsvis. Hver af de elementære sektorer OM k-1 M k erstatte det med en cirkulær sektor med radius ρ k =ρ(φ" k), Hvor φ"k- vinkelværdi φ fra intervallet [ φ k-1, φ k], og den centrale vinkel Δφk. Arealet af den sidste sektor er udtrykt ved formlen .

udtrykker arealet af en "trappet" sektor, der tilnærmelsesvis erstatter en given sektor OAB.

Sektorområde OAB kaldes grænsen for arealet af den "trappede" sektor ved n → ∞ Og λ=max Δφ k → 0:

Fordi , At

Kurve bue længde

Lad på segmentet [ a, b] gives en differentierbar funktion y=f(x), hvis graf er buen. Linjestykke [ a,b] lad os dele det op i n dele med prikker x 1, x 2, …, xn-1. Disse point vil svare til point M 1, M 2, …, Mn-1 buer, forbinder vi dem med en brudt linje, som kaldes en brudt linje indskrevet i buen. Omkredsen af ​​denne stiplede linje vil blive angivet med s n, det er

Definition. Længden af ​​buen af ​​en linje er grænsen for omkredsen af ​​den stiplede linje indskrevet i den, når antallet af led M k-1 M k stiger uendeligt, og længden af ​​den største af dem har en tendens til nul:

hvor λ er længden af ​​det største led.

Vi vil tælle længden af ​​buen fra et tidspunkt, f.eks. EN. Lad ved punktet M(x,y) buelængde er s, og på punktet M"(x+Δ x,y+Δy) buelængde er s+As, hvor,i>Δs er længden af ​​buen. Fra en trekant MNM" find længden af ​​akkorden:.

Af geometriske betragtninger følger det

det vil sige, at en uendelig lille bue af en linje og den akkord, der undertrykker den, er ækvivalente.

Lad os transformere formlen, der udtrykker akkordens længde:

Går vi til grænsen i denne lighed, får vi en formel for den afledede af funktionen s=s(x):

hvorfra vi finder

Denne formel udtrykker differentialet af en bue af en plan kurve og har en enkel geometrisk betydning: udtrykker Pythagoras sætning for en infinitesimal trekant MTN (ds=MT, ).

Differentialet af buen af ​​en rumlig kurve bestemmes af formlen

Overvej buen af ​​en rumlig linje defineret af parametriske ligninger

Hvor α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - argumentets differentierbare funktioner t, At

Integrering af denne lighed over intervallet [ α, β ], får vi en formel til at beregne længden af ​​denne linjebue

Hvis linjen ligger i flyet Oxy, At z=0 foran alle t∈[α, β], Derfor

I det tilfælde, hvor en flad linje er givet af ligningen y=f(x) (a≤x≤b), Hvor f(x) er en differentierbar funktion, tager den sidste formel formen

Lad den plane linje være givet ved ligningen ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) i polære koordinater. I dette tilfælde har vi linjens parametriske ligninger x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, hvor den polære vinkel tages som en parameter φ . Fordi

derefter formlen, der udtrykker længden af ​​linjens bue ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) i polære koordinater, har formen

Kropsvolumen

Lad os finde volumen af ​​et legeme, hvis arealet af et hvilket som helst tværsnit af denne krop vinkelret på en bestemt retning er kendt.

Lad os opdele denne krop i elementære lag ved planer vinkelret på aksen Okse og defineret ved ligninger x=konst. For enhver fast x∈ kendt område S=S(x) tværsnit af en given krop.

Elementært lag afskåret af fly x=x k-1, x=x k (k=1, …, n, x 0 =a, xn =b), udskift den med en cylinder med højde Δxk=xk-xk-1 og basisareal S(ξ k), ξ k ∈.

Rumfanget af den angivne elementære cylinder er udtrykt ved formlen Δv k =E(ξ k)Δx k. Lad os opsummere alle sådanne produkter

som er integralsummen for en given funktion S=S(x) på segmentet [ a, b]. Det udtrykker volumenet af et trinformet legeme, der består af elementære cylindre og tilnærmelsesvis erstatter dette legeme.

Volumenet af en given krop er grænsen for volumenet af den specificerede trinformede krop ved λ→0 , Hvor λ - længden af ​​det største af de elementære segmenter Δx k. Lad os betegne med V volumenet af en given krop, så per definition

På den anden side,

Følgelig beregnes volumenet af et legeme over givne tværsnit ved formlen

Hvis et legeme er dannet ved rotation omkring en akse Okse en buet trapez afgrænset i toppen af ​​en bue af en kontinuerlig linje y=f(x), Hvor a≤x≤b, At S(x)=πf 2 (x) og den sidste formel har formen:

Kommentar. Volumenet af et legeme opnået ved at rotere en buet trapez afgrænset til højre af grafen for funktionen x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), omkring aksen Åh beregnet med formlen

Overfladeareal af rotation

Overvej overfladen opnået ved at rotere linjens bue y=f(x) (a≤x≤b) omkring aksen Okse(antag, at funktionen y=f(x) har en kontinuert afledt). Fastsættelse af værdien x∈, vil vi give en stigning til funktionsargumentet dx, hvilket svarer til den "elementære ring" opnået ved at dreje elementærbuen Al. Lad os erstatte denne "ring" med en cylindrisk ring - den laterale overflade af et legeme dannet af rotationen af ​​et rektangel med en base svarende til buens differentiale dl, og højde h=f(x). Ved at klippe den sidste ring og folde den ud, får vi en strimmel med bredden dl og længde 2πy, Hvor y=f(x).

Derfor er arealforskellen udtrykt ved formlen

Denne formel udtrykker overfladearealet opnået ved at dreje buen af ​​en linje y=f(x) (a≤x≤b) omkring aksen Okse.

Emne 6.10. Geometriske og fysiske anvendelser af det bestemte integral

1. Arealet af en buet trapez afgrænset af kurven y =f(x)(f(x)>0), rette linjer x = a, x = b og segment [a, b] af Ox-aksen, beregnes ved formlen

2. Arealet af figuren afgrænset af kurverne y = f (x) og y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Hvis en kurve er givet ved parametriske ligninger x = x (t), y = y (t), så findes arealet af en kurvelineær trapez afgrænset af denne kurve og rette linjer x = a, x = b af formlen

4. Lad S (x) være kroppens tværsnitsareal i et plan vinkelret på Ox-aksen, derefter rumfanget af den del af kroppen, der er indesluttet mellem planerne x = a og x = b vinkelret på akse findes ved formlen

5. Lad et krumt trapez, afgrænset af kurven y = f (x) og rette linjer y = 0, x = a og x = b, rotere rundt om Ox-aksen, så beregnes rotationslegemets volumen af formel

6. Lad en buet trapez afgrænset af kurven x = g (y) og

rette linjer x = 0, y = c og y = d, roterer rundt om O y-aksen, derefter beregnes volumenet af rotationslegemet ved hjælp af formlen

7. Hvis en plan kurve er relateret til et rektangulært koordinatsystem og givet ved ligningen y = f (x) (eller x = F (y)), så bestemmes buens længde af formlen