Lineære differentialsystemer ligninger.
Differentialligningssystemet kaldes lineær, hvis den er lineær med hensyn til ukendte funktioner og deres afledte. system n-lineære ligninger af 1. orden skrives på formen:
Systemkoefficienterne er konst.
Det er praktisk at skrive dette system i matrixform: ,
hvor er en kolonnevektor med ukendte funktioner afhængig af et argument.
Kolonnevektor af derivater af disse funktioner.
Kolonnevektor af frie udtryk.
Koefficient matrix.
Sætning 1: Hvis alle matrixkoefficienter EN er kontinuerlige på et bestemt interval og derefter i et bestemt kvarter af hver m. 
TS&E betingelser er opfyldt. Som følge heraf passerer en enkelt integralkurve gennem hvert sådant punkt.
I dette tilfælde er højresiden af systemet faktisk kontinuerte med hensyn til sættet af argumenter, og deres partielle afledte med hensyn til (lig med koefficienterne for matrix A) er begrænsede på grund af kontinuitet på et lukket interval.
Metoder til løsning af SLD'er
1. Et system af differentialligninger kan reduceres til én ligning ved at eliminere de ukendte.
Eksempel: Løs ligningssystemet: 
(1)
Løsning: udelukke z fra disse ligninger. Fra den første ligning har vi . Substituere i den anden ligning, 
efter forenkling får vi: 
.
Dette ligningssystem (1) reduceret til en enkelt andenordens ligning. Efter at have fundet ud af denne ligning y, skal findes z, ved hjælp af ligestilling.
2. Når man løser et ligningssystem ved at eliminere ukendte, opnås normalt en ligning af højere orden, så i mange tilfælde er det mere bekvemt at løse systemet ved at finde integrerede kombinationer.
Fortsat 27b
Eksempel: Løs systemet 
Løsning:
Lad os løse dette system ved hjælp af Eulers metode. Lad os skrive determinanten ned for at finde karakteristikken
ligning: , (da systemet er homogent, for at det skal have en ikke-triviel løsning, skal denne determinant være lig nul). Vi får en karakteristisk ligning og finder dens rødder: 
Den generelle løsning er: 
;
- egenvektor.
Vi skriver løsningen ned til: 
;
- egenvektor.
Vi skriver løsningen ned til: 
;
Vi får den generelle løsning: 
.
Lad os tjekke:
lad os finde : og erstatte det med den første ligning i dette system, dvs. .
Vi får:
- ægte ligestilling.
Lineær diff. n. ordens ligninger. Sætning om den generelle løsning af en inhomogen lineær ligning af n. orden.
En lineær differentialligning af n. orden er en ligning af formen: (1)
Hvis denne ligning har en koefficient, dividerer vi med den, når vi frem til ligningen: (2) .
Normalt ligninger af typen (2). Antag, at i ur-i (2) alle odds, samt f(x) kontinuerlig i et eller andet interval (a,b). Derefter, ifølge TS&E, ligningen (2) har en unik løsning, der opfylder startbetingelserne: , , …, for . Her - ethvert punkt fra intervallet (a,b), og alle - alle givne tal. Ligningen (2) tilfredsstiller TC&E , har derfor ikke specielle løsninger.
Def.: speciel punkterne er dem, hvor =0.
Egenskaber for en lineær ligning:
- En lineær ligning forbliver sådan for enhver ændring i den uafhængige variabel.
- En lineær ligning forbliver sådan for enhver lineær ændring af den ønskede funktion.
Def: hvis i ligningen (2) sætte f(x)=0, så får vi en ligning af formen: (3) , som kaldes homogen ligning i forhold til den inhomogene ligning (2).
Lad os introducere den lineære differentialoperator: (4). Ved at bruge denne operator kan du kort omskrive ligningen (2) Og (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operatør (4) har følgende simple egenskaber:
Af disse to egenskaber kan der udledes en konsekvens:.
Fungere y=y(x) er en løsning på den inhomogene ligning (2), Hvis L(y(x))=f(x), Derefter f(x) kaldes løsningen til ligningen. Altså løsningen på ligningen (3) kaldet funktionen y(x), hvis L(y(x))=0 på de betragtede intervaller.
Overveje inhomogen lineær ligning: , L(y)=f(x).
Antag, at vi har fundet en bestemt løsning på en eller anden måde, så .
Lad os introducere en ny ukendt funktion z ifølge formlen: , hvor er en bestemt løsning.
Lad os erstatte det i ligningen: , åbn parenteserne og få: .
Den resulterende ligning kan omskrives som: 
Da er en særlig løsning til den oprindelige ligning, så .
Dermed har vi fået en homogen ligning mhp z. Den generelle løsning til denne homogene ligning er en lineær kombination: , hvor funktionerne - udgør det grundlæggende system af løsninger til den homogene ligning. Erstatning z ind i erstatningsformlen får vi: 
(*) for funktion y– ukendt funktion af den oprindelige ligning. Alle løsninger til den oprindelige ligning vil være indeholdt i (*).
Således den generelle løsning af den inhomogene linje. ligning er repræsenteret som summen af en generel løsning af en homogen lineær ligning og en bestemt løsning af en inhomogen ligning.
(fortsat på den anden side)
30. Teorem om eksistens og unikhed af løsningen til differential. ligninger
Sætning: Hvis højre side af ligningen er kontinuert i rektanglet 
og er begrænset, og opfylder også Lipschitz-betingelsen: , N=const, så er der en unik løsning, der opfylder startbetingelserne og er defineret på segmentet 
, Hvor .
Bevis:
Overvej det komplette metriske rum MED, hvis punkter er alle mulige kontinuerte funktioner y(x) defineret på intervallet , hvis grafer ligger inde i rektanglet, og afstanden bestemmes af ligheden: 
. Dette rum bruges ofte i matematisk analyse og kaldes rum med ensartet konvergens, da konvergensen i metrikken for dette rum er ensartet.
Lad os udskifte differentialet. ligning med givne begyndelsesbetingelser til en ækvivalent integralligning: 
og overveje operatøren A(y), lig med højre side af denne ligning: 
. Denne operatør tildeler hver kontinuerlig funktion
Ved at bruge Lipschitz' ulighed kan vi skrive, at afstanden . Lad os nu vælge en, for hvilken følgende ulighed ville være gældende: .
Så skal du vælge så . Det viste vi således.
Ifølge princippet om kontraktionsafbildninger er der et enkelt punkt eller, hvad der er det samme, en enkelt funktion - en løsning på en differentialligning, der opfylder de givne startbetingelser.
Ligninger løses ved direkte integration
Overvej følgende differentialligning:
.
Vi integrerer n gange.
;
;
og så videre. Du kan også bruge formlen:
.
Se differentialligninger, der kan løses direkte integration >>>
Ligninger, der ikke eksplicit indeholder den afhængige variabel y
Substitutionen sænker rækkefølgen af ligningen med én. Her er en funktion fra.
Se differentialligninger af højere orden, der ikke eksplicit indeholder en funktion > > >
Ligninger, der ikke eksplicit inkluderer den uafhængige variabel x
.
Vi mener, at det er en funktion af. Derefter
.
Tilsvarende for andre derivater. Som et resultat reduceres rækkefølgen af ligningen med én.
Se differentialligninger af højere orden, der ikke indeholder en eksplicit variabel > > >
Ligninger homogene med hensyn til y, y′, y′′, ...
For at løse denne ligning laver vi substitutionen
,
hvor er en funktion af. Derefter
.
På samme måde transformerer vi derivater osv. Som et resultat reduceres rækkefølgen af ligningen med én.
Se højere ordens differentialligninger, der er homogene med hensyn til en funktion og dens afledte > > >
Lineære differentialligninger af højere orden
Lad os overveje lineær homogen differentialligning af n. orden:
(1)
,
hvor er funktioner af den uafhængige variabel. Lad der være n lineært uafhængige løsninger til denne ligning. Så har den generelle løsning til ligning (1) formen:
(2)
,
hvor er vilkårlige konstanter. Funktionerne danner i sig selv et grundlæggende system af løsninger.
Grundlæggende løsningssystem af en lineær homogen ligning af n. orden er n lineært uafhængige løsninger til denne ligning.
Lad os overveje lineær inhomogen differentialligning af n. orden:
.
Lad der være en bestemt (enhver) løsning på denne ligning. Så har den generelle løsning formen:
,
hvor er den generelle løsning af den homogene ligning (1).
Lineære differentialligninger med konstante koefficienter, der kan reduceres til dem
Lineære homogene ligninger med konstante koefficienter
Disse er ligninger af formen:
(3)
.
Her er reelle tal. For at finde en generel løsning på denne ligning skal vi finde n lineært uafhængige løsninger, der danner et grundlæggende system af løsninger. Derefter bestemmes den generelle løsning ved formel (2):
(2)
.
Vi leder efter en løsning i form . Vi får karakteristisk ligning:
(4)
.
Hvis denne ligning har forskellige rødder, så har det grundlæggende system af løsninger formen:
.
Hvis muligt kompleks rod
,
så eksisterer der også en kompleks konjugeret rod. Disse to rødder svarer til løsninger og , som vi inkluderer i grundsystemet i stedet for komplekse løsninger og .
Multipler af rødder multipliciteter svarer til lineært uafhængige løsninger: .
Multipler af komplekse rødder multipliciteter og deres komplekse konjugerede værdier svarer til lineært uafhængige løsninger:
.
Lineære inhomogene ligninger med en særlig inhomogen del
Overvej en ligning af formen
,
hvor er polynomier af grader s 1
og s 2
; - permanent.
Først ser vi efter en generel løsning til den homogene ligning (3). Hvis den karakteristiske ligning (4) indeholder ikke rod, så leder vi efter en bestemt løsning i formen:
,
Hvor
;
;
s - størst af s 1
og s 2
.
Hvis den karakteristiske ligning (4) har en rod multiplicitet, så leder vi efter en bestemt løsning i formen:
.
Herefter får vi den generelle løsning:
.
Lineære inhomogene ligninger med konstante koefficienter
Der er tre mulige løsninger her.
1)
Bernoulli metode.
Først finder vi enhver løsning, der ikke er nul til den homogene ligning
.
Så laver vi udskiftningen
,
hvor er en funktion af variablen x. Vi får en differentialligning for u, som kun indeholder afledte af u i forhold til x. Ved at udføre substitutionen får vi ligningen n - 1
- orden.
2)
Lineær substitutionsmetode.
Lad os lave en udskiftning
,
hvor er en af rødderne til den karakteristiske ligning (4). Som et resultat opnår vi en lineær inhomogen ligning med konstante ordenskoefficienter. Ved at anvende denne substitution konsekvent reducerer vi den oprindelige ligning til en førsteordensligning.
3)
Metode til variation af Lagrange-konstanter.
I denne metode løser vi først den homogene ligning (3). Hans løsning ser sådan ud:
(2)
.
Vi antager endvidere, at konstanterne er funktioner af variablen x. Så har løsningen til den oprindelige ligning formen:
,
hvor er ukendte funktioner. Ved at indsætte i den oprindelige ligning og pålægge nogle begrænsninger, får vi ligninger, hvorfra vi kan finde typen af funktioner.
Eulers ligning
Det reducerer til en lineær ligning med konstante koefficienter ved substitution:
.
Men for at løse Euler-ligningen er der ikke behov for at foretage en sådan substitution. Du kan med det samme lede efter en løsning på den homogene ligning i skemaet
.
Som et resultat får vi de samme regler som for en ligning med konstante koefficienter, hvor du i stedet for en variabel skal erstatte .
Referencer:
V.V. Stepanov, Differentialligningsforløb, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Samling af problemer i højere matematik, "Lan", 2003.
n- orden
Sætning. Hvis y 0- løsning af en homogen ligning L[y]=0, y 1- løsning af den tilsvarende inhomogene ligning L[y] = f(x), derefter summen y 0 + y 1 er løsningen på denne inhomogene ligning.
Strukturen af den generelle løsning af den inhomogene ligning bestemmes af følgende sætning.
Sætning. Hvis Y- særlig løsning af ligningen L[y] = f(x) med kontinuerte koefficienter, 
- generel løsning af den tilsvarende homogene ligning L[y] = 0, så er den generelle løsning af denne inhomogene ligning bestemt af formlen
Kommentar. For at nedskrive den generelle løsning af en lineær inhomogen ligning, er det nødvendigt at finde en bestemt løsning til denne ligning og en generel løsning til den tilsvarende homogene ligning.
Lineære inhomogene ligninger n
Overvej den lineære inhomogene ligning n-orden med konstante koefficienter
Hvor en 1, en 2, …, en n- reelle tal. Lad os skrive den tilsvarende homogene ligning
Den generelle løsning af den inhomogene ligning bestemmes af formlen
Generel løsning af en homogen ligning y 0 vi kan finde en bestemt løsning Y kan findes ved metoden med ubestemte koefficienter i følgende simple tilfælde:
I det generelle tilfælde bruges metoden til at variere vilkårlige konstanter.
Metode til variation af vilkårlige konstanter
Overvej den lineære inhomogene ligning n-orden med variable koefficienter
Hvis det viser sig at være svært at finde en bestemt løsning til denne ligning, men den generelle løsning til den tilsvarende homogene ligning er kendt, så kan den generelle løsning til den inhomogene ligning findes metode til variation af vilkårlige konstanter.
Lad den tilsvarende homogene ligning
har en generel løsning
Vi vil lede efter en generel løsning på den inhomogene ligning i formen
Hvor y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), …, y n = y n (x) er lineært uafhængige løsninger af en homogen ligning inkluderet i dens generelle løsning, og C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- ukendte funktioner. For at finde disse funktioner, lad os underkaste dem nogle betingelser.
Lad os finde den afledede
Vi kræver, at summen i anden parentes er lig med nul, dvs
Lad os finde den anden afledede
og det vil vi kræve
Fortsætter en lignende proces, får vi
I dette tilfælde kan man ikke kræve, at summen i den anden parentes forsvinder, da funktionerne C 1 (x), C2(x), …, Cn(x) allerede underordnet n-1 betingelser, men du skal stadig opfylde den oprindelige inhomogene ligning.