Teorien om grænser er en af grene af matematisk analyse. Spørgsmålet om at løse grænser er ret omfattende, da der er snesevis af metoder til at løse grænser af forskellige typer. Der er snesevis af nuancer og tricks, der giver dig mulighed for at løse denne eller hin grænse. Ikke desto mindre vil vi stadig forsøge at forstå de hovedtyper af grænser, man oftest støder på i praksis.
Lad os starte med selve konceptet om en grænse. Men først en kort historisk baggrund. Der boede en franskmand, Augustin Louis Cauchy, i det 19. århundrede, som gav strenge definitioner til mange af begreberne matan og lagde dets grundlag. Det skal siges, at denne respekterede matematiker var, er og vil være i mareridt for alle studerende på fysik- og matematikafdelinger, da han beviste et stort antal matematiske analysers teoremer, og den ene sætning er mere dødelig end den anden. I denne forbindelse vil vi ikke overveje endnu bestemmelse af Cauchy-grænsen, men lad os prøve at gøre to ting:
1. Forstå, hvad en grænse er.
2. Lær at løse hovedtyperne af grænser.
Jeg beklager nogle uvidenskabelige forklaringer, det er vigtigt, at materialet er forståeligt selv for en tekande, hvilket faktisk er projektets opgave.
Så hvad er grænsen?
Og lige et eksempel på hvorfor man lurvede bedstemor....
Enhver grænse består af tre dele:
1) Det velkendte grænseikon.
2) Indtastninger under grænseikonet, i dette tilfælde . Indlægget lyder "X har tendens til en." Oftest - nøjagtigt, selvom der i stedet for "X" i praksis er andre variabler. I praktiske opgaver kan stedet for en være absolut et hvilket som helst tal, såvel som uendeligt ().
3) Fungerer under grænsetegnet, i dette tilfælde .
Selve optagelsen 
lyder sådan her: "grænsen for en funktion som x har en tendens til enhed."
Lad os se på det næste vigtige spørgsmål - hvad betyder udtrykket "x"? stræber efter til en"? Og hvad betyder "stræbe" overhovedet?
Begrebet en grænse er et begreb, så at sige, dynamisk. Lad os bygge en sekvens: først , derefter , , …, 
, ….
Det vil sige udtrykket "x stræber efter til én" skal forstås som følger: "x" antager konsekvent værdierne som nærmer sig enhed uendeligt tæt og praktisk talt falder sammen med den.
Hvordan løses ovenstående eksempel? Baseret på ovenstående skal du blot erstatte en i funktionen under grænsetegnet:
Så den første regel: Når der gives en grænse, prøver vi først blot at tilslutte nummeret til funktionen.
Vi har overvejet den enkleste grænse, men disse forekommer også i praksis, og ikke så sjældent!
Eksempel med uendelighed:
Lad os finde ud af, hvad det er? Dette er tilfældet, når det stiger uden grænser, det vil sige: først, så, så, så og så videre i det uendelige.
Hvad sker der med funktionen på dette tidspunkt?
, , 
, …
Så: hvis , så har funktionen en tendens til minus uendelig:
Groft sagt, ifølge vores første regel, i stedet for "X" erstatter vi uendelighed i funktionen og får svaret.
Et andet eksempel med uendelighed:
Igen begynder vi at øge til det uendelige og ser på funktionens adfærd: 
Konklusion: når funktionen øges uden grænser:
Og endnu en række eksempler:
Prøv venligst at mentalt analysere følgende for dig selv og husk de enkleste typer grænser:
, , , , 
, , , , 
,
Er du i tvivl nogen steder, kan du tage en lommeregner og øve dig lidt.
I tilfælde af at , prøv at konstruere sekvensen , , . Hvis så , , .
! Bemærk: Strengt taget er denne tilgang til at konstruere sekvenser af flere tal forkert, men til at forstå de enkleste eksempler er den ganske velegnet.
Vær også opmærksom på følgende ting. Selvom en grænse er givet med et stort tal øverst eller endda med en million: , så er det det samme 
, da "X" før eller siden begynder at antage så gigantiske værdier, at en million i sammenligning vil være en rigtig mikrobe.
Hvad skal du huske og forstå ud fra ovenstående?
1) Når der er givet en grænse, prøver vi først blot at erstatte tallet i funktionen.
2) Du skal forstå og straks løse de simpleste grænser, som f.eks 
, , etc.
Desuden har grænsen en meget god geometrisk betydning. For en bedre forståelse af emnet anbefaler jeg, at du læser undervisningsmaterialet Grafer og egenskaber for elementære funktioner. Efter at have læst denne artikel, vil du ikke kun endelig forstå, hvad en grænse er, men også blive bekendt med interessante tilfælde, hvor grænsen for en funktion generelt eksisterer ikke!
I praksis er der desværre få gaver. Og derfor går vi videre til at overveje mere komplekse grænser. Forresten, om dette emne er der intensivt kursus i pdf-format, hvilket især er nyttigt, hvis du har MEGET lidt tid til at forberede dig. Men hjemmesidens materialer er selvfølgelig ikke værre:
Nu vil vi overveje gruppen af grænser når , og funktionen er en brøk, hvis tæller og nævner indeholder polynomier
Eksempel:
Beregn grænse 
Ifølge vores regel vil vi forsøge at erstatte uendelighed i funktionen. Hvad får vi på toppen? Uendelighed. Og hvad sker der nedenfor? Også uendelighed. Dermed har vi det, man kalder artsusikkerhed. Man kunne tro, at , og svaret er klar, men i det generelle tilfælde er dette slet ikke tilfældet, og det er nødvendigt at anvende en eller anden løsningsteknik, som vi nu vil overveje.
Hvordan løser man grænser af denne type?
Først ser vi på tælleren og finder den højeste potens: 
Den førende potens i tælleren er to.
Nu ser vi på nævneren og finder den også i højeste styrke: 
Den højeste grad af nævneren er to.
Så vælger vi den højeste potens af tælleren og nævneren: i dette eksempel er de ens og lig med to.
Så løsningsmetoden er som følger: For at afsløre usikkerheden er det nødvendigt at dividere tælleren og nævneren med den højeste potens.
Her er det, svaret, og slet ikke uendeligheden.
Hvad er grundlæggende vigtigt i udformningen af en beslutning?
Først angiver vi usikkerhed, hvis nogen.
For det andet er det tilrådeligt at afbryde løsningen for mellemliggende forklaringer. Jeg plejer at bruge tegnet, det har ikke nogen matematisk betydning, men betyder at løsningen afbrydes for en mellemliggende forklaring.
For det tredje, i grænsen er det tilrådeligt at markere, hvad der skal hvor. Når arbejdet er tegnet i hånden, er det mere bekvemt at gøre det på denne måde: 
Det er bedre at bruge en simpel blyant til noter.
Selvfølgelig skal du ikke gøre noget af dette, men så vil læreren måske påpege mangler i løsningen eller begynde at stille yderligere spørgsmål til opgaven. Har du brug for det?
Eksempel 2
Find grænsen 
Igen i tælleren og nævneren finder vi i højeste grad: 
Maksimal grad i tæller: 3
Maksimal grad i nævner: 4
Vælge størst værdi, i dette tilfælde fire.
Ifølge vores algoritme, for at afsløre usikkerhed, dividerer vi tælleren og nævneren med .
Hele opgaven kan se sådan ud:
Divider tæller og nævner med
Eksempel 3
Find grænsen 
Maksimal grad af "X" i tælleren: 2
Maksimal grad af "X" i nævneren: 1 (kan skrives som)
For at afsløre usikkerheden er det nødvendigt at dividere tæller og nævner med . Den endelige løsning kan se sådan ud:
Divider tæller og nævner med
Notation betyder ikke division med nul (du kan ikke dividere med nul), men division med et uendeligt lille tal.
Ved at afdække artsusikkerhed kan vi således muligvis endeligt nummer, nul eller uendelig.
Grænser med usikkerhed om type og metode til at løse dem
Den næste gruppe af grænser ligner lidt de grænser, der lige er blevet betragtet: tælleren og nævneren indeholder polynomier, men "x" har ikke længere en tendens til uendelig, men til begrænset antal.
Eksempel 4
Løs grænse 
Lad os først prøve at erstatte -1 i brøken: 
I dette tilfælde opnås den såkaldte usikkerhed.
Generel regel: hvis tælleren og nævneren indeholder polynomier, og der er usikkerhed om formen, så for at afsløre det du skal faktorisere tæller og nævner.
For at gøre dette skal du oftest løse en andengradsligning og/eller bruge forkortede multiplikationsformler. Hvis disse ting er blevet glemt, så besøg siden Matematiske formler og tabeller og læs undervisningsmaterialet Hot formler for skole matematik kursus. Forresten er det bedst at printe det ud, det er påkrævet meget ofte, og information absorberes bedre fra papir.
Så lad os løse vores grænse 
Faktor tæller og nævner
For at faktorisere tælleren skal du løse andengradsligningen: 
Først finder vi diskriminanten:
Og kvadratroden af det:.
Hvis diskriminanten er stor, for eksempel 361, bruger vi en lommeregner; funktionen til at udtrække kvadratroden er på den enkleste lommeregner.
! Hvis roden ikke udtrækkes i sin helhed (der fås et brøktal med komma), er det meget sandsynligt, at diskriminanten er beregnet forkert, eller der har været en tastefejl i opgaven.
Dernæst finder vi rødderne: 
Dermed:
Alle. Tælleren er faktoriseret.
Nævner. Nævneren er allerede den enkleste faktor, og der er ingen måde at forenkle den på.
Det kan naturligvis forkortes til:
Nu erstatter vi -1 i det udtryk, der forbliver under grænsetegnet:
Naturligvis bliver løsningen aldrig beskrevet så detaljeret i en test, test eller eksamen. I den endelige version skulle designet se sådan ud:
Lad os faktorisere tælleren. 
Eksempel 5
Beregn grænse 
Først den "finish"-version af løsningen
Lad os faktorisere tælleren og nævneren.
Tæller:
Nævner: 
, 
Hvad er vigtigt i dette eksempel?
For det første skal du have en god forståelse for, hvordan tælleren afsløres, først tog vi 2 ud af parentes, og brugte derefter formlen for forskellen på kvadrater. Dette er den formel, du skal kende og se.
Henstilling: Hvis det i en grænse (af næsten enhver type) er muligt at tage et antal ud af parentes, så gør vi det altid.
Desuden er det tilrådeligt at flytte sådanne tal ud over grænseikonet. For hvad? Ja, bare for at de ikke kommer i vejen. Det vigtigste er ikke at miste disse tal senere under løsningen.
Bemærk venligst, at i sidste fase af løsningen tog jeg de to ud af grænseikonet og derefter minus.
! Vigtig
Under opløsningen forekommer typefragmentet meget ofte. Reducer denne fraktiondet er forbudt
. Først skal du ændre tegnet for tælleren eller nævneren (sæt -1 ud af parenteser).
, det vil sige, at der vises et minustegn, som tages i betragtning ved beregning af grænsen, og det er slet ikke nødvendigt at miste det.
Generelt lagde jeg mærke til, at man oftest skal løse to andengradsligninger for at finde grænser af denne type, det vil sige, at både tælleren og nævneren indeholder kvadratiske trinomier.
Metode til at gange tæller og nævner med det konjugerede udtryk
Vi fortsætter med at overveje usikkerheden i formen
Den næste type grænser ligner den forrige type. Det eneste, udover polynomier, vil vi tilføje rødder.
Eksempel 6
Find grænsen 
Lad os begynde at bestemme.
Først forsøger vi at erstatte 3 i udtrykket under grænsetegnet
Jeg gentager endnu en gang - dette er den første ting du skal gøre for ENHVER grænse. Denne handling udføres normalt mentalt eller i udkast.
Der er opnået en usikkerhed om formen, som skal fjernes. 
Som du sikkert har bemærket, indeholder vores tæller forskellen på rødderne. Og i matematik er det kutyme at slippe af med rødder, hvis det er muligt. For hvad? Og livet er lettere uden dem.
Grænse for en funktion ved uendelig:
|f(x) - a|< ε
при |x| >N
Bestemmelse af Cauchy-grænsen
Lad funktionen f (x) er defineret i et bestemt område af punktet ved uendelig, med |x| > Tallet a kaldes grænsen for funktionen f (x) da x har en tendens til uendelig (), hvis for et hvilket som helst, dog lille, positivt tal ε > 0
, er der et tal N ε >K, afhængig af ε, som for alle x, |x| > N ε, funktionsværdierne tilhører ε-kvarteret til punkt a:
|f (x)-a|< ε
.
Grænsen for en funktion ved uendelig er angivet som følger:
.
Eller kl.
Følgende notation bruges også ofte:
.
Lad os skrive denne definition ved hjælp af de logiske symboler på eksistens og universalitet:
.
Dette forudsætter, at værdierne tilhører funktionens domæne.
Ensidige grænser
Venstre grænse for en funktion ved uendelig:
|f(x) - a|< ε
при x < -N
Der er ofte tilfælde, hvor funktionen kun er defineret for positive eller negative værdier af variablen x (mere præcist, i nærheden af punktet eller ). Også grænserne ved uendelig for positive og negative værdier af x kan have forskellige værdier. Derefter bruges ensidige grænser.
Venstre grænse ved uendelig eller grænsen som x har en tendens til minus uendelig () er defineret som følger:
.
Højre grænse i det uendelige eller grænsen som x har en tendens til plus uendelig ():
.
Ensidige grænser ved uendelig betegnes ofte som følger:
;
.
Uendelig grænse for en funktion ved uendelig
Uendelig grænse for en funktion ved uendelig:
|f(x)| > M for |x| > N
Definition af den uendelige grænse ifølge Cauchy
Lad funktionen f (x) er defineret i et bestemt område af punktet ved uendelig, med |x| > K, hvor K er et positivt tal. Funktionsgrænse f (x) da x har en tendens til uendelig (), er lig med uendelig, hvis for et hvilket som helst vilkårligt stort antal M > 0
, der er sådan et nummer N M >K, afhængig af M, som for alle x, |x| > N M , funktionsværdierne hører til området for punktet ved uendelig:
|f (x) | >M.
Den uendelige grænse, da x har en tendens til uendelig, betegnes som følger:
.
Eller kl.
Ved at bruge de logiske symboler på eksistens og universalitet kan definitionen af en funktions uendelige grænse skrives som følger:
.
På samme måde introduceres definitioner af uendelige grænser for visse tegn, der er lig med og:
.
.
Definitioner af ensidige grænser i det uendelige.
Venstre grænser.
.
.
.
Retlige grænser.
.
.
.
Bestemmelse af grænsen for en funktion ifølge Heine
Lad funktionen f (x) defineret på et eller andet område af punktet x ved uendelig 0
, hvor eller eller .
Tallet a (endeligt eller uendeligt) kaldes grænsen for funktionen f (x) i punkt x 0
:
,
hvis for enhver sekvens (xn), konvergerende til x 0
:
,
hvis elementer hører til kvarteret, sekvens (f(xn)) konvergerer til en:
.
Hvis vi tager som et kvarter naboskabet til et usigneret punkt ved uendelig: , så får vi definitionen af grænsen for en funktion, da x har en tendens til uendelig, . Hvis vi tager et venstre- eller højresidet naboskab af punktet x ved uendelig 0 : eller , så får vi definitionen af grænsen, da x har en tendens til henholdsvis minus uendeligt og plus uendeligt.
Heine og Cauchy definitioner af grænse er ækvivalente.
Eksempler
Eksempel 1
Bruger Cauchys definition til at vise det
.
Lad os introducere følgende notation:
.
Lad os finde definitionsdomænet for funktionen. Da brøkens tæller og nævner er polynomier, er funktionen defineret for alle x undtagen de punkter, hvor nævneren forsvinder. Lad os finde disse punkter. Løsning af en andengradsligning. ;
.
Ligningens rødder:
;
.
Siden , dengang og .
Derfor er funktionen defineret ved . Det vil vi bruge senere.
Lad os nedskrive definitionen af den endelige grænse for en funktion ved uendelig ifølge Cauchy:
.
Lad os forvandle forskellen:
.
Divider tæller og nævner med og gang med -1
:
.
Lad .
Derefter
;
;
;
.
Så vi fandt ud af, at når,
.
.
Den følger det
kl , og .
Da du altid kan øge det, lad os tage . Så for enhver,
kl.
Det betyder at .
Eksempel 2
Lad .
Brug Cauchy-definitionen af en grænse, og vis, at:
1)
;
2)
.
1) Løsning som x har en tendens til minus uendelig
Da er funktionen defineret for alle x.
Lad os nedskrive definitionen af grænsen for en funktion lig med minus uendeligt:
.
Lad . Derefter
;
.
Så vi fandt ud af, at når,
.
Indtast positive tal og :
.
Det følger heraf, at for ethvert positivt tal M er der et tal, så for ,
.
Det betyder at .
2) Løsning som x har en tendens til plus uendelig
Lad os omdanne den oprindelige funktion. Multiplicer brøkens tæller og nævner med og anvend kvadratforskellens formel:
.
Vi har:
.
Lad os nedskrive definitionen af funktionens højre grænse ved:
.
Lad os introducere notationen:.
Lad os forvandle forskellen:
.
Gang tælleren og nævneren med:
.
Lade
.
Derefter
;
.
Så vi fandt ud af, at når,
.
Indtast positive tal og :
.
Den følger det
kl og .
Da dette gælder for ethvert positivt tal, altså
.
Referencer:
CM. Nikolsky. Kursus i matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 1983.
Fungere y = f (x) er en lov (regel), ifølge hvilken hvert element x i mængden X er forbundet med ét og kun ét element y i mængden Y.
Element x ∈ X hedder funktionsargument eller uafhængige variabel.
Element y ∈ Y hedder funktionsværdi eller afhængig variabel.
Mængden X kaldes funktionens domæne.
Sæt af elementer y ∈ Y, som har forbilleder i sættet X, kaldes område eller sæt af funktionsværdier.
Den egentlige funktion kaldes begrænset fra oven (nedefra), hvis der er et tal M, således at uligheden gælder for alle:
.
Talfunktionen kaldes begrænset, hvis der er et tal M, således at for alle:
.
Øverste kant eller nøjagtig øvre grænse En reel funktion kaldes det mindste tal, der begrænser dens rækkevidde af værdier fra oven. Det vil sige, at dette er et tal s, for hvilket der for alle og for enhver er et argument, hvis funktionsværdi overstiger s′: .
Den øvre grænse for en funktion kan betegnes som følger:
.
Henholdsvis nederste kant eller nøjagtig nedre grænse En reel funktion kaldes det største tal, der begrænser dens rækkevidde af værdier nedefra. Det vil sige, at dette er et tal i, for hvilket der for alle og for enhver er et argument, hvis funktionsværdi er mindre end i′: .
Infimum af en funktion kan betegnes som følger:
.
Bestemmelse af grænsen for en funktion
Bestemmelse af grænsen for en funktion ifølge Cauchy
Finite grænser for funktion ved endepunkter
Lad funktionen defineres i et eller andet område af slutpunktet, med en mulig undtagelse af selve punktet. på et tidspunkt, hvis der for nogen er sådan noget, afhængigt af , at for alle x for hvilke , gælder uligheden
.
Grænsen for en funktion er angivet som følger:
.
Eller kl.
Ved at bruge de logiske symboler på eksistens og universalitet kan definitionen af grænsen for en funktion skrives som følger:
.
Ensidige grænser.
Venstre grænse ved et punkt (venstresidet grænse):
.
Højre grænse ved et punkt (højre grænse):
.
Venstre og højre grænser er ofte angivet som følger:
;
.
Finite grænser for en funktion i punkter ved uendelig
Grænser ved punkter ved uendelighed bestemmes på lignende måde.
.
.
.
De omtales ofte som:
;
;
.
Brug af begrebet naboskab til et punkt
Hvis vi introducerer begrebet en punkteret naboskab af et punkt, så kan vi give en samlet definition af den endelige grænse for en funktion ved endelige og uendeligt fjerne punkter:
.
Her for endepunkter
;
;
.
Ethvert område af punkter ved uendelighed punkteres:
;
;
.
Uendelige funktionsgrænser
Definition
Lad funktionen defineres i en eller anden punkteret naboskab af et punkt (endelig eller uendelig). Funktionsgrænse f (x) som x → x 0
er lig med uendelighed, hvis for et hvilket som helst vilkårligt stort antal M > 0
, der er et tal δ M > 0
afhængigt af M, at for alle x, der hører til det punkterede δ M - naboskab af punktet: , gælder følgende ulighed:
.
Den uendelige grænse er angivet som følger:
.
Eller kl.
Ved at bruge de logiske symboler på eksistens og universalitet kan definitionen af en funktions uendelige grænse skrives som følger:
.
Du kan også introducere definitioner af uendelige grænser for visse tegn lig med og:
.
.
Universel definition af grænsen for en funktion
Ved at bruge konceptet om et punkts naboskab kan vi give en universel definition af den endelige og uendelige grænse for en funktion, der gælder både for endelige (to-sidede og ensidede) og uendeligt fjerne punkter:
.
Bestemmelse af grænsen for en funktion ifølge Heine
Lad funktionen være defineret på et sæt X:.
Tallet a kaldes grænsen for funktionen på tidspunktet:
,
hvis for en sekvens, der konvergerer til x 0
:
,
hvis elementer hører til mængden X: ,
.
Lad os skrive denne definition ved at bruge de logiske symboler på eksistens og universalitet:
.
Hvis vi tager det venstresidede naboskab af punktet x som et sæt X 0 , så får vi definitionen af venstre grænse. Hvis det er højrehåndet, så får vi definitionen af den rigtige grænse. Hvis vi tager naboskabet til et punkt ved uendeligt som et sæt X, får vi definitionen af grænsen for en funktion ved uendelig.
Sætning
Cauchy- og Heine-definitionerne af grænsen for en funktion er ækvivalente.
Bevis
Egenskaber og sætninger for grænsen for en funktion
Yderligere antager vi, at de undersøgte funktioner er defineret i det tilsvarende område af punktet, som er et endeligt tal eller et af symbolerne: . Det kan også være et ensidigt grænsepunkt, det vil sige have formen eller . Kvarteret er tosidet for en tosidet grænse og ensidet for en ensidig grænse.
Grundlæggende egenskaber
Hvis værdierne af funktionen f (x)ændre (eller gøre udefineret) et begrænset antal punkter x 1, x 2, x 3, ... x n, så vil denne ændring ikke påvirke eksistensen og værdien af funktionens grænse ved et vilkårligt punkt x 0 .
Hvis der er en endelig grænse, så er der et punkteret naboskab af punktet x 0
, hvorpå funktionen f (x) begrænset:
.
Lad funktionen have ved punkt x 0
endelig ikke-nul grænse:
.
Så, for et hvilket som helst tal c fra intervallet , er der et sådant punkteret naboskab af punktet x 0
, hvorfor ,
, Hvis ;
, hvis.
Hvis, på nogle punkteret naboskab af punktet, , er en konstant, så .
Hvis der er endelige grænser og og på et eller andet punkteret naboskab af punktet x 0
,
At .
Hvis , og på et eller andet område af punktet
,
At .
Især hvis i nogle kvarter af et punkt
,
derefter hvis , derefter og ;
hvis , derefter og .
Hvis på et punkteret område af et punkt x 0
:
,
og der er endelige (eller uendelige af et bestemt tegn) lige store grænser:
, At
.
Beviser for de vigtigste egenskaber er givet på siden
"Grundlæggende egenskaber for grænserne for en funktion."
Aritmetiske egenskaber for grænsen for en funktion
Lad funktionerne og blive defineret i nogle punkteret naboskab af punktet. Og lad der være begrænsede grænser:
Og .
Og lad C være en konstant, altså et givet tal. Derefter
;
;
;
, hvis.
Hvis så.
Beviser for aritmetiske egenskaber er givet på siden
"Aritmetiske egenskaber for en funktions grænser".
Cauchy-kriterium for eksistensen af en grænse for en funktion
Sætning
For at få en funktion defineret på et eller andet punkteret kvarter af en endelig eller ved uendeligt punkt x 0
, havde en endelig grænse på dette tidspunkt, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at for enhver ε > 0
der var sådan et punkteret naboskab af punktet x 0
, at for alle punkter og fra dette nabolag gælder følgende ulighed:
.
Grænse for en kompleks funktion
Sætning om grænsen for en kompleks funktion
Lad funktionen have en grænse og kortlæg et punkteret kvarter af et punkt til et punkteret kvarter af et punkt. Lad funktionen være defineret på dette kvarter og hav en grænse for det.
Her er de sidste eller uendeligt fjerne punkter: . Kvarter og deres tilsvarende grænser kan være enten tosidede eller ensidige.
Så er der en grænse for en kompleks funktion, og den er lig med:
.
Grænsesætningen for en kompleks funktion anvendes, når funktionen ikke er defineret i et punkt eller har en værdi forskellig fra grænsen. For at anvende dette teorem skal der være et punkteret naboskab af punktet, hvor værdisættet for funktionen ikke indeholder punktet:
.
Hvis funktionen er kontinuert ved punkt , så kan grænsetegnet anvendes på argumentet for den kontinuerte funktion:
.
Det følgende er en sætning, der svarer til dette tilfælde.
Sætning om grænsen for en kontinuert funktion af en funktion
Lad der være en grænse for funktionen g (t) som t → t 0
, og det er lig med x 0
:
.
Her er punkt t 0
kan være endelig eller uendelig fjern:.
Og lad funktionen f (x) er kontinuert i punkt x 0
.
Så er der en grænse for den komplekse funktion f (g(t)), og det er lig med f (x0):
.
Beviser for sætningerne er givet på siden
"Grænse og kontinuitet af en kompleks funktion".
Uendeligt små og uendeligt store funktioner
Infinitesimale funktioner
Definition
En funktion siges at være infinitesimal if
.
Sum, forskel og produkt af et endeligt antal infinitesimal funktioner ved er en infinitesimal funktion ved .
Produkt af en funktion afgrænset på nogle punkteret naboskab af punktet, til en infinitesimal at er en infinitesimal funktion ved.
For at en funktion skal have en endelig grænse, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at
,
hvor er en infinitesimal funktion ved .
"Egenskaber af infinitesimale funktioner".
Uendeligt store funktioner
Definition
En funktion siges at være uendelig stor if
.
Summen eller forskellen af en afgrænset funktion, på nogle punkteret naboskab af punktet, og en uendeligt stor funktion ved er en uendelig stor funktion ved.
Hvis funktionen er uendelig stor for , og funktionen er afgrænset til et punkteret område af punktet, så
.
Hvis funktionen i et eller andet punkteret område af punktet opfylder uligheden:
,
og funktionen er uendelig ved:
, og (på et eller andet punkteret område af punktet), så
.
Beviser for ejendommene præsenteres i pkt
"Egenskaber af uendeligt store funktioner".
Forholdet mellem uendeligt store og uendeligt små funktioner
Af de to foregående egenskaber følger sammenhængen mellem uendeligt store og uendeligt små funktioner.
Hvis en funktion er uendelig stor ved , så er funktionen uendelig lille ved .
Hvis en funktion er uendelig stor for , og , så er funktionen uendelig stor for .
Forholdet mellem en infinitesimal og en uendelig stor funktion kan udtrykkes symbolsk:
,
.
Hvis en infinitesimal funktion har et bestemt tegn ved , det vil sige, at den er positiv (eller negativ) på et punkteret område af punktet , så kan dette faktum udtrykkes som følger:
.
På samme måde, hvis en uendelig stor funktion har et bestemt fortegn ved , så skriver de:
.
Så kan den symbolske sammenhæng mellem uendeligt små og uendeligt store funktioner suppleres med følgende relationer:
,
,
,
.
Yderligere formler vedrørende uendelighedssymboler kan findes på siden
"Peger på uendelighed og deres egenskaber."
Grænser for monotone funktioner
Definition
En funktion defineret på et sæt reelle tal X kaldes strengt stigende, hvis for alle sådan, at følgende ulighed gælder:
.
Følgelig for strengt faldende funktion har følgende ulighed:
.
Til ikke aftagende:
.
Til ikke stigende:
.
Det følger heraf, at en strengt stigende funktion også er ikke-faldende. En strengt faldende funktion er også ikke-stigende.
Funktionen kaldes monotont, hvis den er ikke-faldende eller ikke-stigende.
Sætning
Lad funktionen ikke falde på intervallet hvor .
Hvis det er afgrænset ovenfor af tallet M: så er der en endelig grænse. Hvis ikke begrænset fra oven, så .
Hvis den begrænses nedefra af tallet m: så er der en endelig grænse. Hvis ikke begrænset nedefra, så .
Hvis punkterne a og b er uendelige, så betyder grænsetegnene i udtrykkene, at .
Denne teorem kan formuleres mere kompakt.
Lad funktionen ikke falde på intervallet hvor . Så er der ensidige grænser ved punkt a og b:
;
.
En lignende sætning for en ikke-stigende funktion.
Lad funktionen ikke øges på intervallet hvor . Så er der ensidige grænser:
;
.
Beviset for sætningen præsenteres på siden
"Grænser for monotone funktioner".
Referencer:
L.D. Kudryavtsev. Kursus i matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolsky. Kursus i matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 1983.
For dem, der ønsker at lære at finde grænser, vil vi i denne artikel fortælle dig om det. Vi vil ikke dykke ned i teorien; lærere holder den normalt ved forelæsninger. Så den "kedelige teori" bør noteres ned i dine notesbøger. Hvis dette ikke er tilfældet, kan du læse lærebøger hentet fra uddannelsesinstitutionens bibliotek eller fra andre internetressourcer.
Så begrebet grænse er ret vigtigt i studiet af højere matematik, især når du støder på integralregning og forstår sammenhængen mellem grænse og integral. Det aktuelle materiale vil se på simple eksempler samt måder at løse dem på.
Eksempler på løsninger
| Eksempel 1 |
| Beregn a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \til \infty) \frac(1)(x) $ |
| Løsning |
|
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Folk sender os ofte disse grænser med en anmodning om at hjælpe med at løse dem. Vi besluttede at fremhæve dem som et separat eksempel og forklare, at disse grænser som regel bare skal huskes. Hvis du ikke kan løse dit problem, så send det til os. Vi vil levere en detaljeret løsning. Du vil være i stand til at se forløbet af beregningen og få information. Dette vil hjælpe dig med at få din karakter fra din lærer rettidigt! |
| Svar |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$ |
Hvad skal man gøre med usikkerheden i formen: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| Eksempel 3 |
| Løs $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Løsning |
|
Som altid starter vi med at erstatte værdien $ x $ i udtrykket under grænsetegnet. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Hvad er det næste nu? Hvad skal der ske i sidste ende? Da dette er usikkerhed, er dette ikke et svar endnu, og vi fortsætter beregningen. Da vi har et polynomium i tællerne, vil vi faktorisere det ved hjælp af den formel, som alle fra skolen kender $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Kan du huske? Store! Gå nu videre og brug den sammen med sangen :) Vi finder, at tælleren $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Vi fortsætter med at løse under hensyntagen til ovenstående transformation: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Svar |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
Lad os skubbe grænsen i de sidste to eksempler til det uendelige og overveje usikkerheden: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| Eksempel 5 |
| Beregn $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Løsning |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Hvad skal man gøre? Hvad skal jeg gøre? Gå ikke i panik, for det umulige er muligt. Det er nødvendigt at tage x'et ud i både tælleren og nævneren og derefter reducere det. Efter dette, prøv at beregne grænsen. Lad os prøve... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \til \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Ved at bruge definitionen fra eksempel 2 og erstatte x med uendelighed får vi: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Svar |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Algoritme til beregning af grænser
Så lad os kort opsummere eksemplerne og oprette en algoritme til at løse grænserne:
- Erstat punkt x i udtrykket efter grænsetegnet. Hvis et vist tal eller uendelighed opnås, så er grænsen fuldstændig løst. Ellers har vi usikkerhed: "nul divideret med nul" eller "uendeligt divideret med uendeligt" og går videre til de næste trin i instruktionerne.
- For at eliminere usikkerheden ved "nul divideret med nul", skal du faktorisere tælleren og nævneren. Reducer lignende. Sæt punkt x ind i udtrykket under grænsetegnet.
- Hvis usikkerheden er "uendelighed divideret med uendelighed", så tager vi i højeste grad både tælleren og nævneren x ud. Vi forkorter X'erne. Vi erstatter værdierne af x fra under grænsen til det resterende udtryk.
I denne artikel lærte du det grundlæggende i at løse grænser, som ofte bruges i Calculus-kurset. Det er naturligvis ikke alle typer problemer, som eksaminatorer tilbyder, men kun de simpleste grænser. Vi vil tale om andre typer opgaver i fremtidige artikler, men først skal du lære denne lektion for at komme videre. Lad os diskutere, hvad vi skal gøre, hvis der er rødder, grader, studere uendeligt små ækvivalente funktioner, bemærkelsesværdige grænser, L'Hopitals regel.
Hvis du ikke selv kan finde ud af grænserne, så gå ikke i panik. Vi hjælper altid gerne!
Den første bemærkelsesværdige grænse er følgende lighed:
\begin(ligning)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning)
Da vi for $\alpha\to(0)$ har $\sin\alpha\to(0)$, siger de, at den første bemærkelsesværdige grænse afslører en usikkerhed af formen $\frac(0)(0)$. Generelt kan man i formel (1) i stedet for variablen $\alpha$ placere ethvert udtryk under sinustegnet og i nævneren, så længe to betingelser er opfyldt:
- Udtrykkene under sinustegnet og i nævneren tenderer samtidigt til nul, dvs. der er usikkerhed på formen $\frac(0)(0)$.
- Udtrykkene under sinustegnet og i nævneren er de samme.
Følger fra den første bemærkelsesværdige grænse bruges også ofte:
\begin(ligning) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning) \begin(ligning) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning) \begin(ligning) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning)
Elleve eksempler er løst på denne side. Eksempel nr. 1 er afsat til beviset for formlerne (2)-(4). Eksempel nr. 2, nr. 3, nr. 4 og nr. 5 indeholder løsninger med uddybende kommentarer. Eksempler nr. 6-10 indeholder løsninger med stort set ingen kommentarer, fordi der er givet detaljerede forklaringer i tidligere eksempler. Løsningen bruger nogle trigonometriske formler, der kan findes.
Lad mig bemærke, at tilstedeværelsen af trigonometriske funktioner kombineret med usikkerheden $\frac (0) (0)$ ikke nødvendigvis betyder anvendelsen af den første bemærkelsesværdige grænse. Nogle gange er simple trigonometriske transformationer tilstrækkelige - se f.eks.
Eksempel nr. 1
Bevis at $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Siden $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, så:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Da $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ og $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, At:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Lad os foretage ændringen $\alpha=\sin(y)$. Siden $\sin(0)=0$, så har vi fra betingelsen $\alpha\to(0)$ $y\to(0)$. Derudover er der et kvarter på nul, hvor $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, så:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Ligheden $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ er blevet bevist.
c) Lad os erstatte $\alpha=\tg(y)$. Da $\tg(0)=0$, så er betingelserne $\alpha\to(0)$ og $y\to(0)$ ækvivalente. Derudover er der et kvarter på nul, hvor $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, derfor vil vi, baseret på resultaterne af punkt a), have:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Ligheden $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ er blevet bevist.
Ligheder a), b), c) bruges ofte sammen med den første bemærkelsesværdige grænse.
Eksempel nr. 2
Beregn grænsen $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.
Siden $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ og $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, dvs. og både brøkens tæller og nævner har en tendens til nul samtidigt, så har vi her at gøre med en usikkerhed af formen $\frac(0)(0)$, dvs. Færdig. Derudover er det klart, at udtrykkene under sinustegnet og i nævneren falder sammen (dvs. og er opfyldt):
Så begge betingelser anført i begyndelsen af siden er opfyldt. Det følger heraf, at formlen er anvendelig, dvs. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\venstre(\frac(x^2-4)(x+7)\højre))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.
Svar: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\venstre(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Eksempel nr. 3
Find $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Da $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ og $\lim_(x\to(0))x=0$, så har vi at gøre med en usikkerhed af formen $\frac (0 )(0)$, dvs. Færdig. Udtrykkene under sinustegnet og i nævneren er dog ikke sammenfaldende. Her skal du justere udtrykket i nævneren til den ønskede form. Vi skal bruge udtrykket $9x$ til at være i nævneren, så bliver det sandt. I bund og grund mangler vi en faktor på $9$ i nævneren, hvilket ikke er så svært at indtaste – multiplicer blot udtrykket i nævneren med $9$. For at kompensere for multiplikation med $9$, skal du naturligvis straks dividere med $9$:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Nu falder udtrykkene i nævneren og under sinustegnet sammen. Begge betingelser for grænsen $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ er opfyldt. Derfor er $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Og det betyder at:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Eksempel nr. 4
Find $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Da $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ og $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, har vi her at gøre med formusikkerheden $\frac(0)(0)$. Formen for den første bemærkelsesværdige grænse er dog overtrådt. En tæller, der indeholder $\sin(5x)$, kræver en nævner på $5x$. I denne situation er den nemmeste måde at dividere tælleren med $5x$ og straks gange med $5x$. Derudover vil vi udføre en lignende operation med nævneren, gange og dividere $\tg(8x)$ med $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Reducerer vi med $x$ og tager konstanten $\frac(5)(8)$ uden for grænsetegnet, får vi:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Bemærk, at $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ fuldt ud opfylder kravene til den første bemærkelsesværdige grænse. For at finde $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ er følgende formel anvendelig:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Eksempel nr. 5
Find $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Siden $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (husk at $\cos(0)=1$) og $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, så har vi at gøre med usikkerhed af formen $\frac(0)(0)$. Men for at anvende den første bemærkelsesværdige grænse, bør du slippe af med cosinus i tælleren, gå videre til sinus (for derefter at anvende formlen) eller tangenter (for derefter at anvende formlen). Dette kan gøres med følgende transformation:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Lad os gå tilbage til grænsen:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\venstre|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\venstre(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
Brøken $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ er allerede tæt på den form, der kræves for den første bemærkelsesværdige grænse. Lad os arbejde lidt med brøken $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, justere den til den første bemærkelsesværdige grænse (bemærk, at udtrykkene i tælleren og under sinus skal matche):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\venstre(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Lad os vende tilbage til den pågældende grænse:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Eksempel nr. 6
Find grænsen $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Siden $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ og $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, så vi har at gøre med usikkerhed $\frac(0)(0)$. Lad os afsløre det ved hjælp af den første bemærkelsesværdige grænse. For at gøre dette, lad os gå fra cosinus til sinus. Siden $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, så:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Går vi til sinus i den givne grænse, vil vi have:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\venstre|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\venstre(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\venstre(\frac(\sin(x))(x)\højre)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Eksempel nr. 7
Beregn grænsen $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ underlagt $\alpha\neq \ beta$.
Detaljerede forklaringer blev givet tidligere, men her bemærker vi blot, at der igen er usikkerhed $\frac(0)(0)$. Lad os gå fra cosinus til sinus ved hjælp af formlen
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Ved hjælp af denne formel får vi:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\venstre|\frac(0)( 0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\venstre(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\venstre(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Eksempel nr. 8
Find grænsen $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Siden $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (husk at $\sin(0)=\tg(0)=0$) og $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, så har vi her at gøre med usikkerhed af formen $\frac(0)(0)$. Lad os opdele det som følger:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\venstre(\frac(1)(\cos(x))-1\højre))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\venstre(\frac(\sin(x))(x)\cdot\venstre(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Eksempel nr. 9
Find grænsen $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Siden $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ og $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, så er der usikkerhed på formen $\frac(0)(0)$. Før du fortsætter til dens udvidelse, er det praktisk at foretage en ændring af variabel på en sådan måde, at den nye variabel har en tendens til nul (bemærk, at i formlerne er variablen $\alpha \to 0$). Den nemmeste måde er at introducere variablen $t=x-3$. Men af hensyn til bekvemmeligheden ved yderligere transformationer (denne fordel kan ses i løbet af løsningen nedenfor), er det værd at foretage følgende udskiftning: $t=\frac(x-3)(2)$. Jeg bemærker, at begge udskiftninger er gældende i dette tilfælde, det er bare, at den anden udskiftning giver dig mulighed for at arbejde mindre med fraktioner. Siden $x\to(3)$, derefter $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\venstre|\frac (0)(0)\højre| =\venstre|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ til(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\venstre(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Svar: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Eksempel nr. 10
Find grænsen $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.
Endnu en gang har vi at gøre med usikkerhed $\frac(0)(0)$. Før du fortsætter til dens udvidelse, er det praktisk at foretage en ændring af variabel på en sådan måde, at den nye variabel har en tendens til nul (bemærk, at i formlerne er variablen $\alpha\to(0)$). Den nemmeste måde er at introducere variablen $t=\frac(\pi)(2)-x$. Siden $x\to\frac(\pi)(2)$, derefter $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\venstre|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\venstre(\frac(\pi)(2)-t\højre))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\venstre(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2) ) =\frac(1)(2). $$
Svar: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Eksempel nr. 11
Find grænserne $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
I dette tilfælde behøver vi ikke bruge den første vidunderlige grænse. Bemærk, at både den første og anden grænse kun indeholder trigonometriske funktioner og tal. Ofte er det i eksempler af denne art muligt at forenkle udtrykket placeret under grænsetegnet. Desuden forsvinder usikkerheden efter den førnævnte forenkling og reduktion af nogle faktorer. Jeg gav dette eksempel kun til ét formål: at vise, at tilstedeværelsen af trigonometriske funktioner under grænsetegnet ikke nødvendigvis betyder brugen af den første bemærkelsesværdige grænse.
Siden $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (husk at $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) og $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (lad mig minde dig om, at $\cos\frac(\pi)(2)=0$), så har vi beskæftiger sig med usikkerhed på formen $\frac(0)(0)$. Det betyder dog ikke, at vi skal bruge den første vidunderlige grænse. For at afsløre usikkerheden er det nok at tage højde for, at $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Der er en lignende løsning i Demidovichs løsningsbog (nr. 475). Med hensyn til den anden grænse, som i de foregående eksempler i dette afsnit, har vi en usikkerhed på formen $\frac(0)(0)$. Hvorfor opstår det? Det opstår fordi $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ og $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Vi bruger disse værdier til at transformere udtrykkene i tælleren og nævneren. Målet med vores handlinger er at skrive summen ned i tæller og nævner som et produkt. I øvrigt er det ofte inden for en lignende type praktisk at ændre en variabel, lavet på en sådan måde, at den nye variabel har en tendens til nul (se f.eks. eksempler nr. 9 eller nr. 10 på denne side). Men i dette eksempel er der ingen mening i at erstatte, selvom det ikke er svært at implementere, hvis det ønskes, at erstatte variablen $t=x-\frac(2\pi)(3)$.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ til\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\venstre(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \venstre(x-\frac(2\pi)(3)\højre))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\venstre(x-\frac(2\pi)(3)\højre))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3) ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Som du kan se, behøvede vi ikke at anvende den første vidunderlige grænse. Det kan du selvfølgelig gøre, hvis du vil (se note nedenfor), men det er ikke nødvendigt.
Hvad er løsningen med den første bemærkelsesværdige grænse? vis\skjul
Ved at bruge den første bemærkelsesværdige grænse får vi:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\venstre(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\venstre(\frac(\sin\venstre(x-\frac(2\pi)(3)\ højre))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Svar: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.