En hændelse er resultatet af en test. Hvad er en begivenhed? En kugle tages tilfældigt fra urnen. At hente en bold fra en urne er en test. Udseendet af en bold af en bestemt farve er en begivenhed. I sandsynlighedsteori forstås en begivenhed som noget, der efter et vist tidspunkt kan siges én og kun én af to ting. Ja, det skete. Nej, det skete ikke. Et muligt udfald af et eksperiment kaldes en elementær begivenhed, og et sæt af sådanne udfald kaldes blot en begivenhed.
Uforudsigelige begivenheder kaldes tilfældige. En hændelse kaldes tilfældig, hvis den under de samme forhold kan forekomme eller ikke. Når man kaster terningerne, bliver resultatet en sekser. Jeg har en lottokupon. Efter at resultaterne af lotteriet er offentliggjort, sker den begivenhed, der interesserer mig - at vinde tusind rubler - enten eller sker ikke. Eksempel.
To hændelser, der under givne forhold kan opstå samtidigt, kaldes led, og de, der ikke kan forekomme samtidigt, kaldes uforenelige. En mønt bliver kastet. Udseendet af "våbenskjoldet" udelukker udseendet af inskriptionen. Begivenhederne "et våbenskjold dukkede op" og "en inskription dukkede op" er uforenelige. Eksempel.
En hændelse, der altid forekommer, kaldes pålidelig. En begivenhed, der ikke kan ske, kaldes umulig. Antag for eksempel, at en kugle er trukket fra en urne, der kun indeholder sorte kugler. Så er udseendet af den sorte kugle en pålidelig begivenhed; udseendet af en hvid bold er en umulig begivenhed. Eksempler. Der kommer ingen sne næste år. Når man kaster terningerne, vil resultatet være en syv. Det er umulige begivenheder. Der kommer sne næste år. Når du kaster terningerne, får du et tal mindre end syv. Daglig solopgang. Det er pålidelige begivenheder.
Problemløsning Bestem for hver af de beskrevne hændelser, hvad det er: umuligt, pålideligt eller tilfældigt. 1. Af de 25 elever i klassen fejrer to deres fødselsdag den a) 30. januar; b) 30. februar. 2. Litteraturlærebogen åbner tilfældigt, og det andet ord findes på venstre side. Dette ord begynder: a) med bogstavet "K"; b) begynder med bogstavet "Ъ".
3. I dag i Sochi viser barometeret normalt atmosfærisk tryk. I dette tilfælde: a) vandet i gryden kogt ved en temperatur på 80º C; b) når temperaturen faldt til -5º C, frøs vandet i vandpytten. 4. Der kastes to terninger: a) den første terning viser 3 point, og den anden - 5 point; b) summen af de point, der kastes på de to terninger, er 1; c) summen af de point, der kastes på de to terninger, er 13; d) begge terninger fik 3 point; e) summen af point på to terninger er mindre end 15. Problemløsning
5. Du åbnede bogen på en hvilken som helst side og læste det første navneord, du stødte på. Det viste sig, at: a) stavemåden af det valgte ord indeholder en vokal; b) stavningen af det valgte ord indeholder bogstavet "O"; c) der er ingen vokaler i stavningen af det valgte ord; d) der er et blødt tegn i stavningen af det valgte ord. Problemløsning
De begivenheder (fænomener), vi observerer, kan opdeles i følgende tre typer: pålidelige, umulige og tilfældige.
Pålidelig de kalder en hændelse, der helt sikkert vil indtræffe, hvis et bestemt sæt betingelser er opfyldt. For eksempel, hvis en beholder indeholder vand ved normalt atmosfærisk tryk og en temperatur på 20°, så hændelsen "vandet i beholderen er i en væske tilstand" er pålidelig. I dette eksempel udgør det givne atmosfæriske tryk og vandtemperatur sættet af betingelser S.
Umulig de kalder en hændelse, der bestemt ikke vil ske, hvis betingelserne S er opfyldt. For eksempel vil hændelsen "vand i fartøjet er i fast tilstand" bestemt ikke ske, hvis betingelserne i det foregående eksempel er opfyldt.
Tilfældig kalder en hændelse, der, når et sæt betingelser S er opfyldt, enten kan forekomme eller ikke forekomme. Hvis en mønt for eksempel kastes, kan den falde, så der enten er et våbenskjold eller en inskription ovenpå. Derfor er begivenheden "når du kaster en mønt, "våbenskjoldet" faldt ud, tilfældig. Hver tilfældig begivenhed, især udseendet af et "våbenskjold", er en konsekvens af handlingen af mange tilfældige årsager (i vores eksempel: kraften, hvormed mønten blev kastet, møntens form og mange andre) . Det er umuligt at tage højde for indflydelsen af alle disse grunde på resultatet, da deres antal er meget stort, og lovene for deres handling er ukendte. Derfor sætter sandsynlighedsteorien ikke sig selv til opgave at forudsige, om en enkelt begivenhed vil indtræffe eller ej – det kan den simpelthen ikke.
Situationen er anderledes, hvis vi betragter tilfældige hændelser, som kan observeres gentagne gange, når de samme betingelser S er opfyldt, dvs. hvis vi taler om massive homogene tilfældige hændelser. Det viser sig, at et tilstrækkeligt stort antal homogene tilfældige begivenheder, uanset deres specifikke karakter, er underlagt bestemte mønstre, nemlig sandsynlighedsmønstre. Sandsynlighedsteorien handler om at fastslå disse regelmæssigheder.
Således er emnet for sandsynlighedsteori studiet af sandsynlighedsmønstre af massehomogene tilfældige begivenheder.
Metoder til sandsynlighedsteori er meget brugt i forskellige grene af naturvidenskab og teknologi. Sandsynlighedsteori tjener også til at underbygge matematisk og anvendt statistik.
Typer af tilfældige begivenheder. Begivenheder kaldes uforenelig, hvis forekomsten af en af dem udelukker forekomsten af andre begivenheder i samme retssag.
Eksempel. En mønt bliver kastet. Udseendet af "våbenskjoldet" udelukker udseendet af inskriptionen. Begivenhederne "et våbenskjold dukkede op" og "en inskription dukkede op" er uforenelige.
Der dannes flere arrangementer fuld gruppe, hvis mindst en af dem dukker op som resultat af testen. Især hvis de begivenheder, der udgør en komplet gruppe, er parvis inkonsistente, så vil én og kun én af disse begivenheder fremkomme som et resultat af forsøget. Denne særlige sag er af største interesse for os, da den vil blive brugt yderligere.
Eksempel 2. To kontanter og tøjlotterisedler blev købt. Én og kun én af følgende begivenheder vil helt sikkert ske: "gevinsten faldt på den første billet og faldt ikke på den anden", "gevinsten faldt ikke på den første billet og faldt på den anden", "gevinsten faldt på begge billetter", "der var ingen gevinster på begge billetter" faldt ud." Disse hændelser udgør en komplet gruppe af parvis uforenelige hændelser.
Eksempel 3. Skytten skød mod skiven. En af følgende to begivenheder vil helt sikkert ske: hit, miss. Disse to uforenelige begivenheder udgør en komplet gruppe.
Begivenheder kaldes lige så muligt, hvis der er grund til at tro, at ingen af dem er mere mulige end den anden.
Eksempel 4. Fremkomsten af et "våbenskjold" og udseendet af en inskription, når man kaster en mønt, er lige så mulige begivenheder. Det antages faktisk, at mønten er lavet af et homogent materiale, har en regelmæssig cylindrisk form, og tilstedeværelsen af prægning påvirker ikke tabet af den ene eller anden side af mønten.
Jeg er angivet med store bogstaver i det latinske alfabet: A, B, C,.. A 1, A 2..
Modsætninger er to entydigt mulige mytteri-typer, der danner en komplet gruppe. Hvis en af de to er det modsatte køn. begivenheder er udpeget af A, så er en anden betegnelse A`.
Eksempel 5. Hit og miss, når der skydes mod et mål - modsat felt. personlig
Sandsynlighedsteori, som enhver gren af matematik, opererer med en vis række begreber. De fleste begreber inden for sandsynlighedsteori er givet en definition, men nogle tages som primære, ikke definerede, som et punkt, en ret linje, en plan i geometri. Det primære begreb for sandsynlighedsteori er en begivenhed. En begivenhed forstås som noget, hvorom der efter et vist tidspunkt kan siges én og kun én af to ting:
- · Ja, det skete.
- · Nej, det skete ikke.
For eksempel har jeg en lottokupon. Efter at resultaterne af lotteriet er offentliggjort, sker den begivenhed, der interesserer mig - at vinde tusind rubler - enten eller sker ikke. Enhver hændelse opstår som et resultat af en test (eller oplevelse). En test (eller oplevelse) refererer til de forhold, som et resultat af, at en hændelse opstår. For eksempel er det at kaste en mønt en test, og udseendet af et "våbenskjold" på den er en begivenhed. En begivenhed er normalt angivet med store latinske bogstaver: A,B,C,…. Begivenheder i den materielle verden kan opdeles i tre kategorier - pålidelige, umulige og tilfældige.
En bestemt hændelse er en hændelse, som på forhånd vides at indtræffe. Det er betegnet med bogstavet W. Det er således pålideligt, at der ikke vises mere end seks point, når man kaster en almindelig terning, udseendet af en hvid kugle, når den fjernes fra en urne, der kun indeholder hvide kugler, osv.
En umulig begivenhed er en begivenhed, der er kendt på forhånd, og som ikke vil ske. Det er angivet med bogstavet E. Eksempler på umulige hændelser er at trække mere end fire esser fra et almindeligt kortspil, trække en rød kugle fra en urne, der kun indeholder hvide og sorte kugler osv.
En tilfældig hændelse er en hændelse, der kan eller ikke kan forekomme som et resultat af en test. Begivenheder A og B kaldes uforenelige, hvis forekomsten af en af dem udelukker muligheden for, at den anden indtræffer. Således er udseendet af ethvert muligt antal point, når man kaster en terning (begivenhed A) uforenelig med udseendet af et andet tal (begivenhed B). At rulle et lige antal point er ikke i overensstemmelse med at rulle et ulige tal. Tværtimod vil det ikke være uforeneligt at rulle et lige antal point (begivenhed A) og et antal point, der er et multiplum af tre (begivenhed B), fordi at rulle seks point betyder forekomsten af både hændelse A og hændelse B, så forekomsten af den ene af dem udelukker ikke forekomsten af den anden. Du kan udføre handlinger på begivenheder. Foreningen af to hændelser C=AUB er en hændelse C, der opstår, hvis og kun hvis mindst én af disse hændelser A og B indtræffer. Skæringspunktet mellem to hændelser D=A?? B er en hændelse, der opstår, hvis og kun hvis hændelser A og B begge indtræffer.
5. klasse. Introduktion til sandsynlighed (4 timer)
(udvikling af 4 lektioner om dette emne)
Læringsmål : - indføre definitionen af en tilfældig, pålidelig og umulig begivenhed;
Giv de første ideer til løsning af kombinatoriske problemer: Brug af et træ af muligheder og brug af multiplikationsreglen.
Uddannelsesmål: udvikling af elevernes verdenssyn.
Udviklingsmål : udvikling af rumlig fantasi, forbedring af evnen til at arbejde med en lineal.
Pålidelige, umulige og tilfældige hændelser (2 timer)
Kombinatoriske problemer (2 timer)
Pålidelige, umulige og tilfældige hændelser.
Første lektion
Undervisningsudstyr: terninger, mønter, backgammon.
Vores liv består i høj grad af ulykker. Der er sådan en videnskab som "Sandsynlighedsteori". Ved hjælp af dets sprog kan du beskrive mange fænomener og situationer.
Selv den primitive leder forstod, at et dusin jægere havde en større "sandsynlighed" for at ramme en bison med et spyd end én. Derfor jagede de kollektivt dengang.
Sådanne gamle befalingsmænd som Alexander den Store eller Dmitry Donskoy, der forberedte sig til kamp, stolede ikke kun på krigeres tapperhed og kunst, men også på tilfældigheder.
Mange mennesker elsker matematik for de evige sandheder: to gange to er altid fire, summen af lige tal er lige, arealet af et rektangel er lig med produktet af dets tilstødende sider osv. I ethvert problem, du løser, skal alle får samme svar - du skal bare ikke lave fejl i beslutningen.
Det virkelige liv er ikke så enkelt og ligetil. Resultatet af mange begivenheder kan ikke forudsiges på forhånd. Det er for eksempel umuligt at sige med sikkerhed, hvilken side en mønt, der kastes op, falder, hvornår den første sne falder næste år, eller hvor mange mennesker i byen, der ønsker at ringe inden for den næste time. Sådanne uforudsigelige begivenheder kaldes tilfældig .
Tilfældigheder har dog også sine egne love, som begynder at vise sig, når tilfældige fænomener gentages mange gange. Hvis du kaster en mønt 1000 gange, vil den komme i vejret cirka halvdelen af tiden, hvilket ikke er tilfældet med to eller endda ti kast. "Omtrent" betyder ikke halvdelen. Dette kan generelt være eller ikke være tilfældet. Loven siger ikke noget med sikkerhed, men den giver en vis grad af tillid til, at en eller anden tilfældig begivenhed vil indtræffe. Sådanne mønstre studeres af en særlig gren af matematik - Sandsynlighedsteori . Med dens hjælp kan du med en større grad af selvtillid (men stadig ikke sikker) forudsige både datoen for det første snefald og antallet af telefonopkald.
Sandsynlighedsteori er uløseligt forbundet med vores hverdag. Dette giver os en vidunderlig mulighed for at etablere mange sandsynlighedslove eksperimentelt og gentage tilfældige eksperimenter mange gange. Materialerne til disse eksperimenter vil oftest være en almindelig mønt, en terning, et sæt dominobrikker, backgammon, roulette eller endda et spil kort. Hver af disse elementer er relateret til spil på den ene eller anden måde. Sagen optræder her i sin hyppigste form. Og de første probabilistiske opgaver var relateret til at vurdere spillernes chancer for at vinde.
Moderne sandsynlighedsteori har bevæget sig væk fra gambling, men dens rekvisitter er stadig den enkleste og mest pålidelige kilde til tilfældigheder. Efter at have øvet dig med en roulette og en terning, vil du lære at beregne sandsynligheden for tilfældige begivenheder i situationer i det virkelige liv, hvilket vil give dig mulighed for at evaluere dine chancer for succes, teste hypoteser og træffe optimale beslutninger ikke kun i spil og lotterier.
Når du løser probabilistiske problemer, skal du være meget forsigtig, prøve at retfærdiggøre hvert skridt, du tager, fordi intet andet matematikområde indeholder så mange paradokser. Ligesom sandsynlighedsteori. Og måske er hovedforklaringen på dette dets forbindelse med den virkelige verden, vi lever i.
Mange spil bruger en terning med et forskelligt antal prikker fra 1 til 6 markeret på hver side. Spilleren kaster terningerne, ser på hvor mange prikker der vises (på den side, der er placeret øverst), og foretager det tilsvarende antal træk : 1,2,3 ,4,5 eller 6. At kaste en terning kan betragtes som en oplevelse, et eksperiment, en test, og det opnåede resultat kan betragtes som en begivenhed. Folk er normalt meget interesserede i at gætte forekomsten af denne eller hin begivenhed og forudsige dens udfald. Hvilke forudsigelser kan de komme med, når de kaster terningerne? Første forudsigelse: vises et af tallene 1,2,3,4,5 eller 6. Tror du, at den forudsagte begivenhed vil indtræffe eller ej? Det kommer selvfølgelig helt sikkert. En begivenhed, der med sikkerhed vil forekomme i en given oplevelse, kaldes en pålidelig begivenhed.
Anden forudsigelse : tallet 7 vises. Tror du, at den forudsagte begivenhed vil ske eller ej? Selvfølgelig vil det ikke ske, det er simpelthen umuligt. En begivenhed, der ikke kan forekomme i en given oplevelse, kaldes umulig begivenhed.
Tredje forudsigelse : tallet 1 vises. Tror du, at den forudsagte begivenhed skete eller ej? Vi er ikke i stand til at besvare dette spørgsmål med fuldstændig sikkerhed, da den forudsagte hændelse kan eller ikke kan forekomme. En begivenhed, der måske eller måske ikke forekommer i en given oplevelse, kaldes en tilfældig begivenhed.
Dyrke motion : Beskriv de begivenheder, der er diskuteret i nedenstående opgaver. Som sikkert, umuligt eller tilfældigt.
Lad os kaste en mønt. Et våbenskjold dukkede op. (tilfældig)
Jægeren skød på ulven og ramte den. (tilfældig)
Skoledrengen går en tur hver aften. Mens han gik mandag mødte han tre bekendte. (tilfældig)
Lad os mentalt udføre følgende eksperiment: Vend et glas vand på hovedet. Hvis dette eksperiment ikke udføres i rummet, men derhjemme eller i et klasseværelse, vil vandet vælte ud. (pålidelig)
Der blev affyret tre skud mod målet." Der var fem hits" (umuligt)
Smid stenen op. Stenen bliver hængende i luften. (umulig)
Vi omarrangerer bogstaverne i ordet "antagonisme" tilfældigt. Resultatet er ordet "anakroisme". (umulig)
№959. Petya tænkte på et naturligt tal. Arrangementet er som følger:
a) et lige tal er beregnet; (tilfældig) b) et ulige tal er beregnet; (tilfældig)
c) der opfattes et tal, der hverken er lige eller ulige; (umulig)
d) der opfattes et tal, der er lige eller ulige. (pålidelig)
№ 961. Petya og Tolya sammenligner deres fødselsdage. Arrangementet er som følger:
a) deres fødselsdage falder ikke sammen; (tilfældig) b) deres fødselsdage er de samme; (tilfældig)
d) begge deres fødselsdage falder på helligdage - nytår (1. januar) og russisk uafhængighedsdag (12. juni). (tilfældig)
№ 962. Når man spiller backgammon, bruges to terninger. Antallet af træk, som en deltager i spillet foretager, bestemmes ved at tilføje tallene på de to sider af terningen, der falder ud, og hvis der kastes en "double" (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6 ), så fordobles antallet af træk. Du kaster terningerne og finder ud af, hvor mange træk du skal lave. Arrangementet er som følger:
a) du skal foretage et træk; b) du skal lave 7 træk;
c) du skal lave 24 træk; d) du skal lave 13 træk.
a) – umuligt (1 træk kan laves, hvis kombinationen 1 + 0 kastes, men der ikke er et nummer 0 på terningerne).
b) – tilfældig (hvis 1 + 6 eller 2 + 5 rulles).
c) – tilfældig (hvis kombinationen 6 +6 vises).
d) – umuligt (der er ingen kombinationer af tal fra 1 til 6, hvis sum er 13; dette tal kan ikke opnås, selv når der kastes en "double", da den er ulige).
Tjek dig selv. (matematisk diktat)
1) Angiv hvilke af følgende hændelser der er umulige, hvilke er pålidelige, hvilke er tilfældige:
Fodboldkampen "Spartak" - "Dynamo" ender uafgjort. (tilfældig)
Du vil vinde ved at deltage i et win-win lotteri (pålideligt)
Sne vil falde ved midnat, og solen vil skinne 24 timer senere. (umulig)
I morgen er der matematikprøve. (tilfældig)
Du bliver valgt til USA's præsident. (umulig)
Du bliver valgt til Ruslands præsident. (tilfældig)
2) Du har købt et TV i en butik, som producenten yder to års garanti på. Hvilke af følgende hændelser er umulige, hvilke er tilfældige, hvilke er pålidelige:
TV'et går ikke i stykker i et år. (tilfældig)
TV'et går ikke i stykker før om to år. (tilfældig)
Du skal ikke betale for TV-reparationer i to år. (pålidelig)
TV'et går i stykker på tredje år. (tilfældig)
3) En bus med 15 passagerer skal holde 10 stop. Hvilke af følgende hændelser er umulige, hvilke er tilfældige, hvilke er pålidelige:
Alle passagerer vil stå af bussen ved forskellige stoppesteder. (umulig)
Alle passagerer vil stå af ved samme stop. (tilfældig)
Ved hvert stop vil mindst nogen stå af. (tilfældig)
Der vil være et stop, hvor ingen stiger af. (tilfældig)
Et lige antal passagerer vil stå af ved alle stop. (umulig)
Et ulige antal passagerer vil stå af ved alle stop. (umulig)
Lektier : s. 53 nr. 960, 963, 965 (kom selv med to pålidelige, tilfældige og umulige hændelser).
Anden lektion.
Tjek lektier. (mundtligt)
a) Forklar hvad sikre, tilfældige og umulige hændelser er.
b) Angiv hvilken af følgende hændelser der er pålidelig, hvilket er umuligt, hvilket er tilfældigt:
Der bliver ingen sommerferie. (umulig)
Sandwichen falder med smørsiden nedad. (tilfældig)
Skoleåret slutter en dag. (pålidelig)
De vil spørge mig i klassen i morgen. (tilfældig)
I dag skal jeg møde en sort kat. (tilfældig)
№ 960. Du åbnede denne lærebog til en hvilken som helst side og valgte det første navneord, der dukkede op. Arrangementet er som følger:
a) der er en vokal i stavningen af det valgte ord. ((pålidelig)
b) stavemåden af det valgte ord indeholder bogstavet "o". (tilfældig)
c) der er ingen vokaler i stavningen af det valgte ord. (umulig)
d) der er et blødt tegn i stavningen af det valgte ord. (tilfældig)
№ 963. Du spiller backgammon igen. Beskriv følgende begivenhed:
a) spilleren må ikke lave mere end to træk. (umuligt - med en kombination af de mindste tal 1 + 1 laver spilleren 4 træk; en kombination af 1 + 2 giver 3 træk; alle andre kombinationer giver mere end 3 træk)
b) spilleren skal lave mere end to træk. (pålidelig - enhver kombination giver 3 eller flere træk)
c) spilleren må ikke lave mere end 24 træk. (pålidelig - kombinationen af de største tal 6 + 6 giver 24 træk, og alle andre giver mindre end 24 træk)
d) spilleren skal lave et tocifret antal træk. (tilfældig – f.eks. giver kombinationen 2 + 3 et encifret antal træk: 5, og at slå to firere giver et tocifret antal træk)
2. Problemløsning.
№ 964. Der er 10 bolde i en pose: 3 blå, 3 hvide og 4 røde. Beskriv følgende begivenhed:
a) Der blev taget 4 kugler fra posen, og de er alle blå; (umulig)
b) Der blev taget 4 kugler fra posen, og de er alle røde; (tilfældig)
c) Der blev taget 4 kugler ud af posen, og de viste sig alle at have forskellige farver; (umulig)
d) Der blev taget 4 kugler ud af posen, og blandt dem var der ingen sort kugle. (pålidelig)
Opgave 1. Æsken indeholder 10 røde, 1 grøn og 2 blå kuglepenne. To genstande trækkes tilfældigt fra kassen. Hvilke af følgende hændelser er umulige, hvilke er tilfældige, hvilke er sikre:
a) to røde kuglepenne tages ud (tilfældigt)
b) to grønne håndtag tages ud; (umulig)
c) to blå kuglepenne tages ud; (tilfældig)
d) håndtag i to forskellige farver tages ud; (tilfældig)
e) to håndtag fjernes; (pålidelig)
f) to blyanter tages ud. (umulig)
Opgave 2. Peter Plys, Grisling og alle - alle sammen - alle sætter sig ved det runde bord for at fejre hans fødselsdag. Ved hvilket antal af alle - alle - alle er begivenheden "Plys og pattegrise sidder ved siden af hinanden" pålidelig, og ved hvilket antal er det tilfældigt?
(hvis der kun er 1 af alle - alle - alle, så er begivenheden pålidelig, hvis der er mere end 1, så er den tilfældig).
Opgave 3. Blandt 100 lottokuponer til velgørenhed er 20 vindende. Hvor mange lodder skal du købe for at gøre arrangementet "du vinder ikke noget" umuligt?
Opgave 4. Der er 10 drenge og 20 piger i klassen. Hvilke af følgende hændelser er umulige for denne klasse, som er tilfældige, hvilke er pålidelige
Der er to personer i klassen, der er født i forskellige måneder. (tilfældig)
Der er to personer i klassen, der er født i samme måned. (pålidelig)
Der er to drenge i klassen, der er født i samme måned. (tilfældig)
Der er to piger i klassen, der er født i samme måned. (pålidelig)
Alle drenge blev født i forskellige måneder. (pålidelig)
Alle piger blev født i forskellige måneder. (tilfældig)
Der er en dreng og en pige født i samme måned. (tilfældig)
Der er en dreng og en pige født i forskellige måneder. (tilfældig)
Opgave 5. Der er 3 røde, 3 gule, 3 grønne bolde i kassen. Vi trækker 4 bolde ud tilfældigt. Overvej begivenheden "Blandt de trukne bolde vil der være bolde i nøjagtig M-farve." For hver M fra 1 til 4 skal du bestemme, hvilken slags begivenhed det er - umulig, pålidelig eller tilfældig, og udfyld tabellen:
Selvstændigt arbejde.
jegmulighed
a) din vens fødselsdagsnummer er mindre end 32;
c) i morgen er der en prøve i matematik;
d) Næste år falder den første sne i Moskva på søndag.
Kaster en terning. Beskriv begivenheden:
a) når terningen er faldet, vil den stå på kanten;
b) et af tallene vises: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
c) tallet 6 vises;
d) et tal, der er et multiplum af 7, vil blive kastet.
En æske indeholder 3 røde, 3 gule og 3 grønne kugler. Beskriv begivenheden:
a) alle de tegnede kugler er af samme farve;
b) alle de trukne kugler har forskellige farver;
c) blandt de trukne bolde er der bolde i forskellige farver;
c) blandt de trukne kugler er der en rød, gul og grøn kugle.
IImulighed
Beskriv den pågældende hændelse som pålidelig, umulig eller tilfældig:
a) en sandwich, der falder ned fra bordet, vil falde ned på gulvet;
b) sne vil falde i Moskva ved midnat, og efter 24 timer vil solen skinne;
c) du vil vinde ved at deltage i et win-win-lotteri;
d) næste år i maj vil forårets første torden høres.
Alle to-cifrede tal er skrevet på kortene. Et kort vælges tilfældigt. Beskriv begivenheden:
a) der var et nul på kortet;
b) der var et tal på kortet, der var et multiplum af 5;
c) der var et tal på kortet, der var et multiplum af 100;
d) der var et tal på kortet større end 9 og mindre end 100.
Æsken indeholder 10 røde, 1 grøn og 2 blå kuglepenne. To genstande trækkes tilfældigt fra kassen. Beskriv begivenheden:
a) to blå kuglepenne tages ud;
b) to røde kuglepenne tages ud;
c) to grønne håndtag tages ud;
d) de grønne og sorte håndtag tages ud.
Lektier: 1). Kom med to pålidelige, tilfældige og umulige begivenheder.
2). Opgave . Der er 3 røde, 3 gule, 3 grønne bolde i kassen. Vi trækker N kugler tilfældigt. Overvej begivenheden "blandt de trukne bolde vil der være bolde i nøjagtig tre farver." For hver N fra 1 til 9 skal du bestemme, hvilken slags begivenhed det er - umulig, pålidelig eller tilfældig, og udfyld tabellen:
Kombinatoriske problemer.
Første lektion
Tjek lektier. (mundtligt)
a) vi tjekker de problemer, som eleverne kom med.
b) en ekstra opgave.
Jeg læser et uddrag fra V. Levshins bog "Tre dage i Karlikania."
"Til at begynde med, til lyden af en glat vals, dannede tallene en gruppe: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. Så begyndte de unge skatere at skifte plads og dannede flere og flere nye grupper: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10 osv.
Dette fortsatte, indtil skaterne vendte tilbage til deres startposition."
Hvor mange gange skiftede de plads?
I dag i klassen lærer vi, hvordan man løser sådanne problemer. De bliver kaldt kombinatorisk.
3. At studere nyt materiale.
Opgave 1. Hvor mange to-cifrede tal kan man lave ud fra tallene 1, 2, 3?
Løsning: 11, 12, 13
31, 32, 33. 9 numre i alt.
Da vi løste dette problem, søgte vi gennem alle mulige muligheder, eller som man plejer at sige i disse tilfælde. Alle mulige kombinationer. Derfor kaldes sådanne problemer kombinatorisk. Du er nødt til at beregne mulige (eller umulige) muligheder i livet ret ofte, så det er nyttigt at stifte bekendtskab med kombinatoriske problemer.
№ 967. Flere lande har besluttet at bruge symboler til deres nationale flag i form af tre vandrette striber af samme bredde i forskellige farver - hvid, blå, rød. Hvor mange lande kan bruge sådanne symboler, forudsat at hvert land har sit eget flag?
Løsning. Lad os antage, at den første stribe er hvid. Så kan den anden stribe være blå eller rød, og den tredje stribe henholdsvis rød eller blå. Vi har to muligheder: hvid, blå, rød eller hvid, rød, blå.
Lad nu den første stribe være blå, så får vi igen to muligheder: hvid, rød, blå eller blå, rød, hvid.
Lad den første stribe være rød, så er der to muligheder mere: rød, hvid, blå eller rød, blå, hvid.
Der var i alt 6 muligheder. Dette flag kan bruges af 6 lande.
Så da vi løste dette problem, ledte vi efter en måde at opregne mulige muligheder. I mange tilfælde viser det sig at være nyttigt at konstruere et billede - et diagram over opremsende muligheder. Dette er for det første klart, og for det andet giver det os mulighed for at tage højde for alt og ikke gå glip af noget.
Dette diagram kaldes også et træ med mulige muligheder.
Forside
Anden stribe
Tredje bane
Den resulterende kombination
№ 968. Hvor mange tocifrede tal kan der laves ud fra tallene 1, 2, 4, 6, 8?
Løsning. For de to-cifrede tal, vi er interesserede i, kan førstepladsen være et hvilket som helst af de givne cifre, undtagen 0. Hvis vi sætter tallet 2 i første omgang, så kan et hvilket som helst af de givne cifre være på andenpladsen. Du får fem to-cifrede tal: 2.,22, 24, 26, 28. Ligeledes vil der være fem to-cifrede tal med det første ciffer 4, fem to-cifrede tal med det første ciffer 6 og fem to-cifrede tal. cifre med det første ciffer 8.
Svar: Der vil være 20 numre i alt.
Lad os bygge et træ med mulige muligheder for at løse dette problem.
Dobbeltcifret
Første ciffer
Andet ciffer
Modtagne numre
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Løs følgende problemer ved at konstruere et træ med mulige muligheder.
№ 971. Ledelsen af et bestemt land besluttede at få sit nationale flag til at se sådan ud: På en enkeltfarvet rektangulær baggrund er en cirkel af en anden farve placeret i et af hjørnerne. Det blev besluttet at vælge farver fra tre mulige: rød, gul, grøn. Hvor mange varianter af dette flag?
eksisterer? Figuren viser nogle af de mulige muligheder.
Svar: 24 muligheder.
№ 973. a) Hvor mange trecifrede tal kan der laves ud fra tallene 1,3, 5,? (27 numre)
b) Hvor mange trecifrede tal kan der laves af tallene 1,3, 5, forudsat at tallene ikke skal gentages? (6 numre)
№ 979. Moderne femkampe deltager i konkurrencer i fem sportsgrene over to dage: springning, fægtning, svømning, skydning og løb.
a) Hvor mange muligheder er der for rækkefølgen for at gennemføre konkurrencetyperne? (120 muligheder)
b) Hvor mange muligheder er der for rækkefølgen af konkurrencens begivenheder, hvis det er kendt, at det sidste arrangement skal køre? (24 muligheder)
c) Hvor mange muligheder er der for rækkefølgen af konkurrencebegivenhederne, hvis det er kendt, at det sidste stævne skal afvikles, og det første skal være ridebanespringning? (6 muligheder)
№ 981. To urner indeholder fem kugler hver i fem forskellige farver: hvid, blå, rød, gul, grøn. Der trækkes en kugle fra hver urne ad gangen.
a) hvor mange forskellige kombinationer af trukne kugler er der (kombinationer som "hvid - rød" og "rød - hvid" betragtes som ens)?
(15 kombinationer)
b) Hvor mange kombinationer er der, hvor de trukne kugler er af samme farve?
(5 kombinationer)
c) hvor mange kombinationer er der, hvor de tegnede kugler har forskellige farver?
(15 – 5 = 10 kombinationer)
Lektier: s. 54, nr. 969, 972, kom selv med et kombinatorisk problem.
№ 969. Flere lande har besluttet at bruge symboler til deres nationale flag i form af tre lodrette striber af samme bredde i forskellige farver: grøn, sort, gul. Hvor mange lande kan bruge sådanne symboler, forudsat at hvert land har sit eget flag?
№ 972. a) Hvor mange tocifrede tal kan man lave ud fra tallene 1, 3, 5, 7, 9?
b) Hvor mange tocifrede tal kan der laves af tallene 1, 3, 5, 7, 9, forudsat at tallene ikke skal gentages?
Anden lektion
Tjek lektier. a) nr. 969 og nr. 972a) og nr. 972b) - byg et træ med mulige muligheder på tavlen.
b) vi kontrollerer de udførte opgaver mundtligt.
Problemløsning.
Så før dette lærte vi, hvordan man løser kombinatoriske problemer ved hjælp af et træ af muligheder. Er det en god måde? Sandsynligvis ja, men meget besværligt. Lad os prøve at løse lektieopgave nr. 972 anderledes. Hvem kan gætte, hvordan dette kan gøres?
Svar: For hver af de fem farver af T-shirts er der 4 farver trusser. I alt: 4 * 5 = 20 muligheder.
№ 980. Urnerne indeholder fem kugler hver i fem forskellige farver: hvid, blå, rød, gul, grøn. Der trækkes en kugle fra hver urne ad gangen. Beskriv følgende hændelse som sikker, tilfældig eller umulig:
a) taget ud kugler af forskellige farver; (tilfældig)
b) udtaget kugler af samme farve; (tilfældig)
c) sorte og hvide kugler tegnes; (umulig)
d) der trækkes to kugler, som begge er farvet i en af følgende farver: hvid, blå, rød, gul, grøn. (pålidelig)
№ 982. En gruppe turister planlægger at vandre langs ruten Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. Fra Antonovo til Borisovo kan du rafte på floden eller gå. Fra Borisovo til Vlasovo kan du gå eller cykle. Fra Vlasovo til Gribovo kan du svømme langs floden, cykle eller gå. Hvor mange trekkingmuligheder kan turister vælge imellem? Hvor mange vandremuligheder kan turister vælge, forudsat at de skal bruge cykler på mindst én del af ruten?
(12 rutemuligheder, 8 af dem på cykel)
Selvstændigt arbejde.
1 mulighed
a) Hvor mange trecifrede tal kan der laves ud fra cifrene: 0, 1, 3, 5, 7?
b) Hvor mange trecifrede tal kan der laves af cifrene: 0, 1, 3, 5, 7, forudsat at tallene ikke skal gentages?
Athos, Porthos og Aramis har kun et sværd, en dolk og en pistol.
a) På hvor mange måder kan musketerer bevæbnes?
b) Hvor mange våbenmuligheder er der, hvis Aramis skal svinge et sværd?
c) Hvor mange våbenmuligheder er der, hvis Aramis skal svinge sværdet og Porthos skal svinge pistolen?
Et eller andet sted sendte Gud Ravn et stykke ost, samt fetaost, pølse, hvidt og sort brød. Efter at have sat sig på et grantræ var kragen lige ved at være klar til at spise morgenmad, men hun begyndte at tænke: på hvor mange måder kan man lave sandwich af disse produkter?
Mulighed 2
a) Hvor mange trecifrede tal kan der laves ud fra cifrene: 0, 2, 4, 6, 8?
b) Hvor mange trecifrede tal kan der laves af cifrene: 0, 2, 4, 6, 8, forudsat at cifrene ikke skal gentages?
Grev Monte Cristo besluttede at give prinsesse Hayde øreringe, en halskæde og et armbånd. Hvert smykke skal indeholde en af følgende typer ædelsten: diamanter, rubiner eller granater.
a) Hvor mange muligheder er der for at kombinere ædelstenssmykker?
b) Hvor mange smykkemuligheder er der, hvis øreringene skal være diamanter?
c) Hvor mange smykkemuligheder er der, hvis øreringene skal være diamanter, og armbåndet skal være granat?
Til morgenmad kan du vælge en bolle, sandwich eller honningkage med kaffe eller kefir. Hvor mange morgenmadsmuligheder kan du lave?
Lektier : nr. 974, 975. (ved at kompilere et træ af muligheder og bruge multiplikationsreglen)
№ 974 . a) Hvor mange trecifrede tal kan der laves ud fra tallene 0, 2, 4?
b) Hvor mange trecifrede tal kan der laves af tallene 0, 2, 4, forudsat at tallene ikke skal gentages?
№ 975 . a) Hvor mange trecifrede tal kan man lave ud fra tallene 1,3, 5,7?
b) Hvor mange trecifrede tal kan der laves af tallene 1,3, 5,7 under betingelsen. Hvilke tal bør ikke gentages?
Opgavenumre taget fra lærebogen
"Matematik-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.
Formålet med lektionen:
- Introducer begrebet pålidelige, umulige og tilfældige hændelser.
- Udvikle viden og færdigheder til at bestemme typen af begivenheder.
- Udvikle: computerfærdigheder; opmærksomhed; evne til at analysere, ræsonnere, drage konklusioner; gruppearbejde færdigheder.
Under timerne
1) Organisatorisk øjeblik.
Interaktiv øvelse: børn skal løse eksempler og tyde ord; baseret på resultaterne deles de op i grupper (sandt, umuligt og tilfældigt) og bestemmer lektionens emne.
1 kort.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 kort
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 kort
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Opdatering af den indlærte viden.
Spil "Klap": lige tal - klap, ulige tal - stå op.
Opgave: fra den givne talrække 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... bestemme lige og ulige.
3) At studere et nyt emne.
Der er kuber på dine borde. Lad os se nærmere på dem. Hvad ser du?
Hvor bruges terninger? Hvordan?
Arbejde i grupper.
Udførelse af et eksperiment.
Hvilke forudsigelser kan du komme med, når du kaster en terning?
Første forudsigelse: et af tallene 1,2,3,4,5 eller 6 vises.
En begivenhed, der med sikkerhed vil forekomme i en given oplevelse, kaldes pålidelig.
Anden forudsigelse: tallet 7 vises.
Tror du, at den forudsagte begivenhed vil ske eller ej?
Det er umuligt!
En begivenhed, der ikke kan forekomme i en given oplevelse, kaldes umulig.
Tredje forudsigelse: tallet 1 vises.
Vil denne begivenhed ske?
En begivenhed, der måske eller måske ikke forekommer i en given oplevelse, kaldes tilfældig.
4) Konsolidering af det undersøgte materiale.
I. Bestem typen af begivenhed
-I morgen vil det snerødt.
Det vil sne kraftigt i morgen.
I morgen, selvom det er juli, vil det sne.
I morgen, selvom det er juli, kommer der ingen sne.
I morgen kommer det sne og snestorm.
II. Tilføj et ord til denne sætning på en sådan måde, at begivenheden bliver umulig.
Kolya modtog et A i historie.
Sasha fuldførte ikke en eneste opgave på testen.
Oksana Mikhailovna (historielærer) vil forklare et nyt emne.
III. Giv eksempler på umulige, tilfældige og pålidelige hændelser.
IV. Arbejd ud fra lærebogen (i grupper).
Beskriv de hændelser, der er diskuteret i opgaverne nedenfor, som pålidelige, umulige eller tilfældige.
nr. 959. Petya kom med et naturligt tal. Arrangementet er som følger:
a) et lige tal er beregnet;
b) et ulige tal er beregnet;
c) der opfattes et tal, der hverken er lige eller ulige;
d) der opfattes et tal, der er lige eller ulige.
Nr. 960. Du åbnede denne lærebog til en hvilken som helst side og valgte det første navneord, der dukkede op. Arrangementet er som følger:
a) der er en vokal i stavningen af det valgte ord;
b) stavningen af det valgte ord indeholder bogstavet "o";
c) der er ingen vokaler i stavningen af det valgte ord;
d) der er et blødt tegn i stavningen af det valgte ord.
Løsning nr. 961, nr. 964.
Drøftelse af løste opgaver.
5) Refleksion.
1. Hvilke begivenheder lærte du om i lektionen?
2. Angiv hvilke af følgende hændelser, der er sikre, hvilke er umulige, og hvilke er tilfældige:
a) der vil ikke være sommerferie;
b) sandwichen falder med smørsiden nedad;
c) skoleåret slutter en dag.
6) Hjemmearbejde:
Kom med to pålidelige, tilfældige og umulige begivenheder.
Lav en tegning til en af dem.