9. Korrelationsfunktion og dens hovedegenskaber.
For en fuldstændig beskrivelse af tilfældige processer introduceres begrebet korrelation f-i.
lig med den matematiske forventning, varians, standardafvigelse
Det forudsættes, at fordelingsloven er normal. Graferne viser en skarp forskel mellem processerne på trods af deres lige sandsynlighedskarakteristika.
(t)m | (t) |
||||||
(t)D | (t) |
||||||
(t) | (t). |
||||||
For eksempel sporing af et fly. Hvis han på tidspunktet t besatte position 1, så er hans mulige position 2 i det næste øjeblik t 2 derfor begrænset, dvs. begivenhederne (x 1,t 1) og (x 2,t 2) vil ikke være selvstændig. Jo mere inerti objektet, der studeres, jo større er denne indbyrdes afhængighed eller korrelation. Corr funktion udtrykker matematisk korrelationen mellem to funktioner eller korrelationen af en funktion med sig selv (autokorrektionsfunktion). Funktionen er beskrevet som følger:
hvor t 1 og t 2 er et hvilket som helst tidspunkt i tiden, det vil sige t 1 og t 2 T
Korrelation er en statistisk sammenhæng mellem to eller flere tilfældige variable.
Korrelationsfunktion– sådan en ikke-tilfældig funktion R x (t 1 , t 2 ) af to argumenter, som for ethvert par af faste værdier af argumenter t 1 og t 2 er lig med korrelationsmomentet svarende til disse sektioner af stokastiske variable x (ti) og x (t2).
Korrelationsfunktionen er en funktion af tid, der specificerer korrelation i systemer med tilfældige processer.
Når momenterne t 1 og t 2 falder sammen, er korrelationsfunktionen lig med spredningen. Den normaliserede korrelationsfunktion beregnes ved hjælp af formlen:
) 1, | |||||||||||||||||||||||||||||
hvor x (t 1) og x (t 2) r.s.o. tilfældig funktion x (t) med henholdsvis t =t 1 og t =t 2. At beregne |
|||||||||||||||||||||||||||||
korrelationsfunktion påkrævet | tæthed (todimensionel) | sandsynligheder |
|||||||||||||||||||||||||||
(x,x | ; t, t | ||||||||||||||||||||||||||||
) dx dx | |||||||||||||||||||||||||||
Egenskaber for korrelationsfunktioner
1. Korrelationsfunktion R x (t 1 , t 2 ) er symmetrisk med hensyn til dets argumenter:
Rx (t1,t2) =Rx (t2,t1) |
i overensstemmelse med definitionen af korrelationsfunktionen X(t).
2. Når føjet til en tilfældig funktion X (t) af en vilkårlig ikke-tilfældig term
(t), korrelationsfunktion Z (t) X (t) (t),
derefter Rz (t1,t2) =Rx (t1,t2).
3. Når en tilfældig funktion X (t) ganges med en vilkårlig ikke-tilfældig faktor ψ(t), multipliceres korrelationsfunktionen R x (t 1,t 2) med ψ(t 1)ψ(t 2).
06 Foredrag.doc
Forelæsning 6. Korrelationsfunktioner af tilfældige processerPlan.
1. Begrebet korrelationsfunktionen af en tilfældig proces.
2. Stationaritet i snæver og bred betydning..
3. Gennemsnitsværdi for sættet.
4. Gennemsnitlig værdi over tid.
5. Ergodiske tilfældige processer.
Matematisk forventning og spredning er vigtige kendetegn ved en tilfældig proces, men de giver ikke en tilstrækkelig idé om arten af individuelle implementeringer af en tilfældig proces. Dette ses tydeligt af fig. 6.1, som viser implementeringen af to tilfældige processer, helt forskellige i struktur, selvom de har de samme værdier for matematisk forventning og spredning. Stiplede linjer i fig. 6.1. viste værdier 3
x (t) for tilfældige processer.
Processen vist i fig. 6.1, EN, fra et afsnit til et andet forløber relativt glat, og processen i fig. 6.1, b har stor variation fra sektion til sektion. Derfor er den statistiske sammenhæng mellem tværsnittene i det første tilfælde større end i det andet, men det kan ikke fastslås hverken ved den matematiske forventning eller ved spredningen.
For til en vis grad at karakterisere den interne struktur af en tilfældig proces, dvs. at tage højde for forholdet mellem værdierne af en tilfældig proces på forskellige tidspunkter eller med andre ord at tage højde for graden af variabilitet af en tilfældig proces, er det nødvendigt at introducere begrebet en korrelation (autokorrelation) funktion af en tilfældig proces.
^ Korrelationsfunktion af en tilfældig proces x(t)kalder en ikke-tilfældig funktion af to argumenterR x (t 1 , t 2), som for hvert par af vilkårligt valgte argumentværdier (tidspunkter) t 1 Ogt 2 lig med den matematiske forventning af produktet af to stokastiske variablex(t 1 ) Ogx(t 2 ) tilsvarende dele af den tilfældige proces:
Hvor 2 (x 1 , t 1 ; x 2 , t 2) - todimensionel sandsynlighedstæthed.
De bruger ofte et andet udtryk for korrelationsfunktionen, som ikke er skrevet til selve den tilfældige proces. x(t), og for den centrerede tilfældige komponent x(t). Korrelationsfunktionen i dette tilfælde kaldes centreret og bestemmes ud fra relationen
(6.2)
Forskellige tilfældige processer, afhængigt af hvordan deres statistiske karakteristika ændrer sig over tid, er opdelt i stationær Og ikke-stationær. Der skelnes mellem stationaritet i snæver forstand og stationaritet i bred forstand.
^ Stationær i snæver forstand kaldet en tilfældig proces x(t), hvis det n-dimensionelle fordelingsfunktioner og sandsynlighedstæthed for evt P ikke afhængig af positionen for start af tidstælling t, dvs.
Det betyder, at to processer, x(t) Og x(t+ ), har de samme statistiske egenskaber for evt , dvs. de statistiske karakteristika for en stationær tilfældig proces er konstante over tid. En stationær tilfældig proces er en slags analog til en steady-state proces i deterministiske systemer.
^ Stationær i bred forstand kaldet en tilfældig proces x(t), hvis matematiske forventning er konstant:
Og korrelationsfunktionen afhænger kun af én variabel - forskellen i argumenterne =t 2 -t 1:
(6.5)
Begrebet en tilfældig proces, stationær i bred forstand. introduceres, når kun den matematiske forventning og korrelationsfunktionen bruges som statistiske karakteristika for en tilfældig proces. Den del af teorien om tilfældige processer, der beskriver egenskaberne ved en tilfældig proces gennem dens matematiske forventnings- og korrelationsfunktion, kaldes korrelationsteori.
For en tilfældig proces med en normalfordelingslov bestemmer den matematiske forventnings- og korrelationsfunktion det fuldstændigt n-dimensionel sandsynlighedstæthed. Derfor for normale tilfældige processer er begreberne stationaritet i bred og snæver forstand sammenfaldende.
Teorien om stationære processer er mest fuldt udviklet og giver mulighed for relativt enkle beregninger for mange praktiske tilfælde. Derfor er det nogle gange tilrådeligt at antage stationaritet også i de tilfælde, hvor den tilfældige proces, selv om den ikke er stationær, men i løbet af den betragtede driftsperiode af systemet, har de statistiske karakteristika af signalerne ikke tid til at ændre sig i nogen væsentlig måde. I det følgende vil tilfældige processer, der er stationære i bred forstand, med mindre andet er angivet.
I teorien om tilfældige processer bruges to begreber om gennemsnitsværdier. Det første begreb for gennemsnit er gennemsnitsværdi over sættet(eller matematisk forventning), som bestemmes ud fra observation af sættet af implementeringer af en tilfældig proces på samme tidspunkt. Den gennemsnitlige værdi over et sæt er normalt angivet med en bølget linje over udtrykket, der beskriver en tilfældig funktion:
Generelt er gennemsnitsværdien over et sæt en funktion af tiden.
Et andet begreb for gennemsnit er gennemsnitsværdi over tid, som bestemmes ud fra observation af en separat implementering af en tilfældig proces x{ f) i ret lang tid T. Tidsgennemsnittet er angivet med en ret linje over det tilsvarende udtryk for den tilfældige funktion og bestemmes af formlen
(6.7)
Hvis denne grænse eksisterer.
Den gennemsnitlige værdi over tid er generelt forskellig for individuelle implementeringer af sættet, der definerer den tilfældige proces.
Generelt for den samme tilfældige proces er det indstillede gennemsnit og det tidsgennemsnit forskellige, men for de såkaldte ergodiske stationære tilfældige processer falder det indstillede gennemsnit sammen med tidsgennemsnittet:
(6.8)
Ligestilling (6,8) følger af Ergodisk sætning, hvori det for nogle stationære tilfældige processer er bevist, at enhver statistisk karakteristik opnået ved at tage et gennemsnit over et sæt, med en sandsynlighed, uanset hvor tæt på enhed, falder sammen med karakteristikken, som gennemsnittet over tid. Ergodesætningen er ikke blevet bevist for alle stationære processer, derfor taler man i de tilfælde, hvor den endnu ikke er bevist, om ergodisk hypotese.
Det skal bemærkes, at ikke enhver stationær proces er ergodisk.
I fig. 6.2. viser for eksempel en graf over en stationær ikke-ergodisk proces, for hvilken lighed (6.8) ikke holder. I det generelle tilfælde kan den samme tilfældige proces være ergodisk med hensyn til nogle statistiske karakteristika og ikke ergodisk med hensyn til andre. I det følgende vil vi antage, at ergodicitetsbetingelserne for den matematiske forventning og korrelationsfunktionen er opfyldt.
Den fysiske betydning af den ergodiske sætning (eller hypotese) er dyb og har stor praktisk betydning. For at bestemme de statistiske egenskaber ved ergodiske stationære processer, hvis det er vanskeligt at udføre samtidig observation af mange lignende systemer på et vilkårligt valgt tidspunkt, for eksempel hvis der er én prototype, kan den erstattes af langtidsobservation af ét system. Faktisk ligger denne kendsgerning til grund for den eksperimentelle bestemmelse af korrelationsfunktionen af en stationær tilfældig proces baseret på en implementering. Tværtimod, hvis der er et stort parti masseproducerede produkter til lignende undersøgelser, er det muligt at udføre samtidig observation af alle prøver af partiet eller en ret repræsentativ prøve af dem.
Som det fremgår af (6.5), er korrelationsfunktionen gennemsnittet over mængden. I overensstemmelse med den ergodiske sætning for en stationær tilfældig proces, kan korrelationsfunktionen defineres som produktets tidsgennemsnit. x(t) Og x(t+ ), dvs.
(6.9)
Hvor x(t)- enhver implementering af en tilfældig proces.
Centreret korrelationsfunktion af en ergodisk stationær tilfældig proces
(6.10
Mellem korrelationsfunktioner R x ( ) Og R 0 x ( ) der er følgende forbindelse:
R x ( )=R x 0 ( )+(x -) 2 , (6.11)
Baseret på ergodicitetsegenskaben kan spredningen være D x [cm. (19)] defineret som tidsgennemsnittet af kvadratet af den centrerede tilfældige proces, dvs.
(6.12)
Sammenligner man udtryk (6.10) og (6.11), kan man bemærke det variansen af en stationær tilfældig proces er lig med startværdien af den centrerede korrelationsfunktion:
(6.13)
Under hensyntagen til (6.12) kan vi etablere en sammenhæng mellem spredningen og korrelationsfunktionen R x ( ), dvs.
Fra (6.14) og (6.15) er det klart, at spredningen af en stationær tilfældig proces er konstant, og derfor er standardafvigelsen konstant:
Statistiske egenskaber for forbindelsen mellem to tilfældige processer x(t) Og G(t) kan karakteriseres krydskorrelationsfunktionR xg (t 1 , t 2), som for hvert par af vilkårligt valgte argumentværdier t 1 , t 2 er lig
Ifølge den ergodiske sætning kan vi i stedet for (6.18) skrive
(6.19)
Hvor x(t) Og g(t) - enhver implementering af stationære tilfældige processer x(t) Og G(t) henholdsvis.
Krydskorrelationsfunktion R xg ( karakteriserer den indbyrdes statistiske sammenhæng mellem to tilfældige processer x(t) Og G(t) på forskellige tidspunkter, adskilt fra hinanden af et tidsrum t. Betydning R xg(0) karakteriserer denne forbindelse på samme tidspunkt.
Af (6.19) følger det
(6.20)
Hvis tilfældige processer X(t) Og G(t) er ikke statistisk relateret til hinanden og har nul gennemsnitsværdier, så er deres indbyrdes korrelationsfunktion for alle m lig med nul. Men den modsatte konklusion, at hvis krydskorrelationsfunktionen er lig med nul, så er processerne uafhængige, kan kun foretages i individuelle tilfælde (især for processer med en normalfordelingslov), men den omvendte lov gør det ikke have generel kraft.
Centreret korrelationsfunktion R° x ( for ikke-tilfældige funktioner af tid er identisk lig med nul. Dog korrelationsfunktionen R x ( kan også beregnes for ikke-tilfældige (regulære) funktioner. Bemærk dog, at når vi taler om korrelationsfunktionen af en regulær funktion x(t), så forstås dette blot som resultatet af en formel ansøgning til en almindelig funktion x(t) operation udtrykt ved integralet (6.13).
For i nogen grad at karakterisere den interne struktur i en tilfældig proces, dvs. at tage højde for forholdet mellem værdierne af en tilfældig proces på forskellige tidspunkter eller med andre ord for at tage højde for graden af variabilitet af en tilfældig proces, introducere begrebet korrelation (autokorrelation) funktion af en tilfældig proces.
Korrelations- (eller autokorrelations-) funktion af en tilfældig proces er en ikke-tilfældig funktion af to argumenter, som for hvert par af vilkårligt valgte værdier af argumenterne (tidspunkter) er lig med den matematiske forventning af produktet af to tilfældige variabler tilsvarende dele af den tilfældige proces:
Korrelationsfunktion for den centrerede tilfældige komponent kaldes centreret og bestemmes ud fra relationen
(1.58)
Funktionen kaldes ofte kovarians, og – autokorrelation .
Forskellige tilfældige processer, afhængigt af hvordan deres statistiske karakteristika ændrer sig over tid, er opdelt i stationær Og ikke-stationær. Der skelnes mellem stationaritet i snæver forstand og stationaritet i bred forstand.
Stationær i snæver forstand kaldet en tilfældig proces, hvis dens -dimensionelle fordeling fungerer og sandsynlighedstætheder for evt ikke afhængig fra tidsreferencepositionen. Dette betyder, at to processer har de samme statistiske egenskaber for en hvilken som helst, dvs. de statistiske karakteristika for en stationær tilfældig proces er konstante over tid. En stationær tilfældig proces er en slags analog til en steady-state proces i dynamiske systemer.
Stationær i bred forstand kaldet en tilfældig proces, hvis matematiske forventning er konstant:
og korrelationsfunktionen afhænger kun af én variabel - forskellen mellem argumenterne:
Begrebet en tilfældig proces, stationær i bred forstand, introduceres, når kun den matematiske forventning og korrelationsfunktionen bruges som statistiske karakteristika for en tilfældig proces. Den del af teorien om tilfældige processer, der beskriver egenskaberne ved en tilfældig proces gennem dens matematiske forventnings- og korrelationsfunktion, kaldes korrelationsteori.
For en tilfældig proces med en normalfordelingslov bestemmer den matematiske forventnings- og korrelationsfunktion det fuldstændigt n-dimensionel sandsynlighedstæthed. Derfor For normale tilfældige processer falder begreberne stationaritet i bred og snæver betydning sammen.
Teorien om stationære processer er mest fuldt udviklet og giver mulighed for relativt enkle beregninger for mange praktiske tilfælde. Derfor er det nogle gange tilrådeligt at antage stationaritet også i de tilfælde, hvor den tilfældige proces, selv om den ikke er stationær, men i løbet af den betragtede driftsperiode af systemet, har de statistiske karakteristika af signalerne ikke tid til at ændre sig i nogen væsentlig måde.
I teorien om tilfældige processer bruges to begreber om gennemsnitsværdier. Det første begreb for gennemsnit er sæt gennemsnit (eller matematisk forventning), som bestemmes ud fra observation af flere implementeringer af en tilfældig proces på samme tidspunkt. Den gennemsnitlige værdi over sættet er normalt angivet bølget linje over et udtryk, der beskriver en tilfældig funktion:
Generelt er det indstillede gennemsnit en funktion af tiden.
Et andet begreb for gennemsnit er gennemsnit over tid , som bestemmes ud fra observation af en separat implementering af en tilfældig proces over tilstrækkelig lang tid. Tidsgennemsnittet er angivet med lige linje over det tilsvarende udtryk for den tilfældige funktion og bestemmes af formlen
, (1.62)
hvis denne grænse eksisterer.
Tidsgennemsnittet er generelt forskelligt for individuelle realiseringer af det sæt, der definerer den tilfældige proces.
Generelt for den samme tilfældige proces er det indstillede gennemsnit og tidsgennemsnittet forskellige, men for det såkaldte ergodiske stationære tilfældige processer den gennemsnitlige værdi over sættet falder sammen med den gennemsnitlige værdi over tid:
I overensstemmelse med den ergodiske sætning for en stationær tilfældig proces, kan korrelationsfunktionen defineres som tidsgennemsnittet af en implementering
(1.64)
Hvor - enhver implementering af en tilfældig proces.
Centreret korrelationsfunktion af en ergodisk stationær tilfældig proces
Ud fra udtryk (1.65) kan det bemærkes, at variansen af en stationær tilfældig proces er lig med startværdien af den centrerede korrelationsfunktion:
Emnet for korrelationsanalyse er studiet af sandsynlighedsafhængigheder mellem tilfældige variable.
Mængder er uafhængige, hvis fordelingsloven for hver af dem ikke afhænger af den værdi, den anden antager. Sådanne værdier kan for eksempel betragtes som holdbarhedsgrænsen for delmaterialet og den teoretiske spændingskoncentrationskoefficient i den farlige del af delen.
Mængder er relaterede probabilistiske eller stokastiske afhængigheder, hvis den kendte værdi af en størrelse ikke svarer til en bestemt værdi, men til en andens distributionslov. Probabilistiske afhængigheder opstår, når mængder ikke kun afhænger af deres fælles faktorer, men også af forskellige tilfældige faktorer.
Fuldstændig information om den probabilistiske sammenhæng mellem to stokastiske variable er repræsenteret ved den fælles fordelingstæthed f(x,y) eller betingede fordelingstætheder f(x/y), f(y/x), dvs. fordelingstæthederne af stokastiske variable X og Y ved angivelse af specifikke værdier på Og x henholdsvis.
Leddensiteten og den betingede fordelingstæthed er relateret af følgende relationer:
De vigtigste kendetegn ved sandsynlighedsafhængigheder er korrelationsmomentet og korrelationskoefficienten.
Korrelationsmomentet for to stokastiske variable X og Y er den matematiske forventning til produktet af centrerede stokastiske variable:
for diskret 
for kontinuerlig 
hvor m x og m y– matematiske forventninger til X- og Y-værdier; р ij– sandsynlighed for individuelle værdier x i Og y i.
Korrelationsmomentet karakteriserer samtidig sammenhængen mellem stokastiske variable og deres spredning. Med hensyn til dens dimension svarer den til variansen for en uafhængig stokastisk variabel. For at fremhæve karakteristikaene for sammenhængen mellem stokastiske variable går vi videre til korrelationskoefficienten, som karakteriserer graden af nærhed af sammenhængen og kan variere inden for området -1 ≤ ρ ≤ 1.
;
hvor S x og S y– standardafvigelser for stokastiske variable.
Værdier ρ = 1 og ρ = –1 angiver funktionel afhængighed, værdi ρ = 0 angiver, at tilfældige variable er ukorrelerede
Korrelationen betragtes både mellem mængder og mellem hændelser, samt multipel korrelation, som kendetegner sammenhængen mellem mange mængder og hændelser.
Med en mere detaljeret analyse af den probabilistiske sammenhæng bestemmes de betingede matematiske forventninger til stokastiske variable. m y/x Og m x/y, dvs. matematiske forventninger til stokastiske variable Y og X for givne specifikke værdier x Og på henholdsvis.
Afhængighed af betinget matematisk forventning t u/x fra x kaldet regression af Y på X. Afhængighed t x/u fra på svarer til regression af X på Y.
For normalfordelte mængder Y og X-regressionsligningen er:
for regression af Y på X 
for regression af X på Y 
Det vigtigste anvendelsesområde for korrelationsanalyse til pålidelighedsproblemer er behandling og generalisering af resultaterne af operationelle observationer. Resultater af observation af stokastiske variable Y og x repræsenteret ved parrede værdier y i, x i i-th observation, hvor i=1, 2 . . . P; P– antal observationer.
Evaluering r korrelationskoefficient ρ bestemt af formlen
Hvor ,
– skøn over matematiske forventninger t x Og at hhv. gennemsnittet af P observationer af værdier 
s x, s y- estimater af standardafvigelser Sx Og S y derfor:
Efter at have udpeget estimatet af betingede matematiske forventninger t y/x, t x/y henholdsvis gennem og , empiriske regressionsligninger U Ved x Og x Ved Y skrevet i følgende form:
Som regel har kun én af regressionerne praktisk værdi.
Med en korrelationskoefficient r=1 regressionsligningerne er identiske.
Spørgsmål nr. 63 Estimering af statistiske parametre ved brug af konfidensintervaller
Hvis værdien af den testede parameter estimeres med ét tal, kaldes den en punktværdi. Men i de fleste problemer er det nødvendigt at finde ikke kun den mest pålidelige numeriske værdi, men også at evaluere graden af pålidelighed.
Du skal vide, hvilken fejl der er forårsaget af at erstatte en sand parameter EN dets punktestimat; med hvilken grad af sikkerhed kan man forvente, at disse fejl ikke vil overskride kendte forudbestemte grænser.
Til dette formål anvendes i matematisk statistik såkaldte konfidensintervaller og konfidenssandsynligheder.
Hvis for parameteren EN uvildigt skøn opnået ud fra erfaring , og opgaven er sat til at estimere den mulige fejl, så er det nødvendigt at tildele en tilstrækkelig stor sandsynlighed β (for eksempel β = 0,9; 0,95; 0,99 osv.), sådan at en hændelse med sandsynlighed β kan anses for praktisk pålidelig.
I dette tilfælde kan man finde en værdi på ε for hvilken P(| - -en| < ε) = β.
Ris. 3.1.1 Konfidensintervaldiagram.
I dette tilfælde rækken af praktisk mulige fejl, der opstår under udskiftning EN vil ikke overstige ± ε. Fejl, der er store i absolut værdi, vil kun forekomme med en lav sandsynlighed α = 1 – β. En hændelse, der er modsat og ukendt med sandsynlighed β, vil falde inden for intervallet I β= (- e; + e). Sandsynlighed β kan tolkes som sandsynligheden for, at et tilfældigt interval I β vil dække punktet EN(Fig. 3.1.1).
Sandsynligheden β kaldes normalt for konfidenssandsynligheden og intervallet I β kaldes almindeligvis et konfidensinterval. I fig. 3.1.1 et symmetrisk konfidensinterval tages i betragtning. Generelt er dette krav ikke obligatorisk.
Konfidensinterval for parameterværdier -en kan betragtes som et interval af værdier -en, i overensstemmelse med eksperimentelle data og ikke modsige dem.
Ved at vælge en konfidenssandsynlighed β tæt på én, ønsker vi at have tillid til, at en begivenhed med en sådan sandsynlighed vil indtræffe, hvis et bestemt sæt betingelser er opfyldt.
Dette svarer til, at den modsatte hændelse ikke vil ske, at vi negligerer sandsynligheden for hændelsen, lig med α = 1 – β. Lad os påpege, at det ikke er et matematisk problem at tildele en grænse for ubetydelige sandsynligheder. Formålet med en sådan grænse ligger uden for sandsynlighedsteorien og bestemmes på hvert område af graden af ansvar og arten af de problemer, der løses.
Men etablering af en for stor sikkerhedsmargin fører til en uberettiget og stor stigning i byggeomkostningerne.
65 Spørgsmål nr. 65 Stationær tilfældig proces.
En stationær tilfældig funktion er en tilfældig funktion, hvis alle probabilistiske karakteristika ikke afhænger af argumentet. Stationære tilfældige funktioner beskriver stationære processer ved maskindrift, ikke-stationære funktioner beskriver ikke-stationære processer, især forbigående: start, stop, modusskift. Argumentet er tid.
Stationaritetsbetingelser for tilfældige funktioner:
1. Konstans af matematisk forventning;
2. spredningskonstans;
3. Korrelationsfunktionen bør kun afhænge af forskellen mellem argumenterne, men ikke af deres værdier.
Eksempler på stationære tilfældige processer omfatter: oscillationer af et fly i steady-state horisontal flyvning; tilfældig støj i radioen mv.
Hver stationær proces kan anses for at fortsætte i tide på ubestemt tid; under forskning kan et hvilket som helst tidspunkt vælges som udgangspunkt. Når man studerer en stationær tilfældig proces over et hvilket som helst tidsrum, bør de samme karakteristika opnås.
Korrelationsfunktionen af stationære tilfældige processer er en lige funktion.
For stationære tilfældige processer er spektralanalyse effektiv, dvs. overvejelse i form af harmoniske spektre eller Fourierrækker. Derudover introduceres spektraltæthedsfunktionen af en tilfældig funktion, som karakteriserer fordelingen af dispersioner over spektrale frekvenser.
Spredning:
Korrelationsfunktion:
K x (τ) = 
Spektral densitet:
Sx() = 
Stationære processer kan være ergodiske og ikke-ergodiske. Ergodisk - hvis gennemsnitsværdien af en stationær tilfældig funktion over en tilstrækkelig lang periode er omtrent lig med gennemsnitsværdien for individuelle implementeringer. For dem er egenskaberne bestemt som tidsgennemsnittet.
Spørgsmål nr. 66 Pålidelighedsindikatorer for tekniske objekter: enkelt, komplekst, beregnet, eksperimentelt, operationelt, ekstrapoleret.
Pålidelighedsindikator er en kvantitativ karakteristik af en eller flere egenskaber, der udgør et objekts pålidelighed.
En enkelt pålidelighedsindikator er en pålidelighedsindikator, der karakteriserer en af de egenskaber, der udgør et objekts pålidelighed.
En kompleks pålidelighedsindikator er en pålidelighedsindikator, der karakteriserer flere egenskaber, der udgør et objekts pålidelighed.
Beregnet pålidelighedsindikator er en pålidelighedsindikator, hvis værdier bestemmes af beregningsmetoden.
Eksperimentel pålidelighedsindikator er en pålidelighedsindikator, hvis punkt eller intervalestimat bestemmes ud fra testdata.
Operationel pålidelighedsindikator – en pålidelighedsindikator, hvis punkt eller intervalestimat bestemmes ud fra driftsdata.
Ekstrapoleret pålidelighedsindikator – en pålidelighedsindikator, hvis punkt- eller intervalestimat bestemmes baseret på resultaterne af beregninger, tests og (eller) driftsdata ved at ekstrapolere til en anden driftsvarighed og andre driftsforhold.
Spørgsmål nr. 68 Indikatorer for holdbarhed af tekniske genstande og biler.
Gamma-procent ressource er den samlede driftstid, hvor objektet ikke vil nå grænsetilstanden med sandsynlighed g, udtrykt i procent.
Gennemsnitlig ressource er den matematiske forventning til en ressource.
Gamma-procent levetid er kalendervarigheden af drift, hvor objektet ikke vil nå den begrænsende tilstand med sandsynlighed g, udtrykt som en procentdel
Gennemsnitlig levetid er den matematiske forventning om levetid.
Bemærk. Ved brug af holdbarhedsindikatorer bør startpunktet og typen af handling efter indtræden af grænsetilstanden angives (f.eks. gamma-procentlevetiden fra anden større eftersyn til afskrivning). Holdbarhedsindikatorer, tællet fra idriftsættelsen af et objekt til dets endelige dekommissionering, kaldes gammaprocent fuld ressource (levetid), gennemsnitlig fuld ressource (levetid)
71 71 Opgaver og metoder til at forudsige bilens pålidelighed
Der er tre stadier af prognose: retrospektion, diagnose og prognose. På det første trin etableres dynamikken i ændringer i maskinparametre i fortiden, på det andet trin bestemmes den tekniske tilstand af elementer i nutiden, på det tredje trin er ændringer i parametrene for elementernes tilstand i fremtiden. forudsagt.
Hovedopgaverne med at forudsige bilers pålidelighed kan formuleres som følger:
a) Forudsigelse af mønstre for ændringer i køretøjets pålidelighed i forbindelse med udsigter til produktionsudvikling, introduktion af nye materialer og øget styrke af dele.
b) Vurdering af pålideligheden af konstruerede køretøjer, før de fremstilles. Denne opgave opstår på designstadiet.
c) Forudsigelse af pålideligheden af et specifikt køretøj (eller dets komponent eller samling) baseret på resultaterne af ændringer i dets parametre.
d) Forudsigelse af pålideligheden af et bestemt sæt biler baseret på resultaterne af en undersøgelse af et begrænset antal prototyper. Disse typer problemer skal konfronteres med på produktionsstadiet.
e) Forudsigelse af pålideligheden af biler under usædvanlige driftsforhold (f.eks. når temperaturen og luftfugtigheden i omgivelserne er højere end tilladt, vanskelige vejforhold osv.).
Metoder til at forudsige køretøjets pålidelighed vælges under hensyntagen til prognoseopgaver, mængden og kvaliteten af indledende information og arten af den reelle proces med at ændre pålidelighedsindikatoren (forudsagt parameter).
Moderne prognosemetoder kan opdeles i tre hovedgrupper: a) metoder til ekspertvurderinger b) modelleringsmetoder, herunder fysiske, fysisk-matematiske og informationsmodeller c) statistiske metoder.
Prognosemetoder baseret på ekspertvurderinger består af generalisering, statistisk bearbejdning og analyse af specialistudtalelser vedrørende udsigterne for udviklingen af dette område.
Modelleringsmetoder er baseret på lighedsteoriens grundlæggende principper. Baseret på ligheden mellem indikatorerne for modifikation A, hvis pålidelighedsniveau blev undersøgt tidligere, og nogle egenskaber ved modifikation B af den samme bil eller dens komponent, forudsiges pålidelighedsindikatorerne for B i en vis periode.
Statistiske prognosemetoder er baseret på ekstrapolation og interpolation af forudsagte pålidelighedsparametre opnået som et resultat af forundersøgelser. Metoden er baseret på mønstre for ændringer i køretøjets pålidelighedsparametre over tid
Spørgsmål nr. 74 Matematiske metoder til prognose. Konstruktion af matematiske modeller for pålidelighed.
Ved forudsigelse af transmissionspålidelighed er det muligt at bruge følgende modeller: 1) det "svageste" led; 2) afhængige ressourcer af dele elementer; 3) uafhængige ressourcer af detaljeelementer. Ressourcen for det i-te element bestemmes ud fra forholdet:
x i = R i/ri,
hvor R i er den kvantitative værdi af kriteriet for det i-te element, ved hvilket dets fejl opstår;
r i – den gennemsnitlige stigning i den kvantitative vurdering af kriteriet for det i-te element pr. ressourceenhed.
Værdierne af R i og r i kan være tilfældige med visse fordelingslove eller konstant.
For muligheden, når R i er konstant, og ri er variabel og har en funktionel forbindelse med den samme tilfældige variabel, skal du overveje situationen, når der observeres en lineær funktionel forbindelse mellem værdierne af r i, hvilket fører til det "svageste" led model. I dette tilfælde svarer systemets pålidelighed til pålideligheden af det "svageste" led.
Modellen af afhængige ressourcer implementeres under belastning i henhold til skemaet, når der er en spredning af driftsbetingelser for masseproducerede maskiner eller usikkerhed i driftsforholdene for unikke maskiner. Modellen af uafhængige ressourcer opstår ved lastning i henhold til en ordning med specifikke driftsbetingelser.
Et udtryk for beregning af pålideligheden af et system med uafhængige ressourceelementer.
Spørgsmål nr. 79 Skematisk belastning af systemet, dele og elementer (ved hjælp af eksemplet med en transmission).
Med transmission mener vi drevet af bilen som helhed eller en separat, ret kompleks del af den, som af den ene eller anden grund skal isoleres. Belastningen på transmissionen bestemmes af kraft- og hastighedskomponenterne. Kraftkomponenten er kendetegnet ved drejningsmoment, og hastighedskomponenten er kendetegnet ved rotationsvinkelhastigheden, som bestemmer antallet af belastningscyklusser for transmissionsdele eller glidehastigheden af kontaktflader.
Afhængigt af typen af del kan skematiseringen af drejningsmomentet for at opnå delens belastning være anderledes. For eksempel bestemmes belastningen på gear og lejer af den aktuelle værdi af momenterne, og torsionsbelastningen på aksler bestemmes af størrelsen af dens amplitude.
Baseret på driftsforhold kan transmissionsbelastningen præsenteres i form af følgende diagrammer.
1. Hver tilstand svarer til en endimensionel fordelingskurve.
2. For hver tilstand har vi n endimensionelle fordelingskurver (n er antallet af maskindriftsbetingelser). Sandsynligheden for drift i hver af betingelserne er specifik.
3. For hver tilstand har vi en todimensionel fordeling af de nuværende og gennemsnitlige drejningsmomentværdier.
Skema 1 kan bruges til masseproducerede maskiner under nøjagtig de samme driftsbetingelser eller til en unik maskine under specifikke driftsforhold.
Skema 2 er ikke kvalitativt forskellig fra skema 1, men i nogle tilfælde tilrådes det til beregningen, at hver driftstilstand svarer til en belastningskurve.
Skema 3 kan karakterisere belastningen på transmissionen af en unik maskine, hvis specifikke driftsbetingelser er ukendte, men rækken af forhold er kendt.
82 Spørgsmål nr. 82 Systematisk tilgang til forudsigelse af deles levetid
En bil skal betragtes som et komplekst system, dannet ud fra et synspunkt om pålideligheden af dens sekventielt forbundne enheder, dele og elementer.
Vare ressource:
Ti = R i/ri,
hvor R i er den kvantitative værdi af grænsetilstandskriteriet for det i-te element, ved hvilket dets svigt opstår;
g i - den gennemsnitlige stigning i den kvantitative vurdering af kriteriet
grænsetilstand for det i-te element pr. ressourceenhed.
R i og r i kan være tilfældige eller konstante og er mulige
følgende muligheder:
1. R i - tilfældig, ri - tilfældig;
2. R i - tilfældig, ri - konstant;
3. Ri - konstant, r i - tilfældig;
4. R i - konstanter, r i - konstanter.
For de første tre muligheder betragter vi R i som uafhængige stokastiske variable.
1.a) r i - uafhængig
Systemets pålidelighed anses for at være multiplikationen af FBG
b) r i - tilfældig og relateret efter sandsynlighed
f(ri/rj) = f(ri, rj)/f(rj);
f (r j / r i) = f (ri, r j)/ f (r i).
Hvis r i og r j afhænger af hinanden, så vil ressourcerne også afhænge af hinanden
ven og elementets ressourceafhængighedsmodel bruges til beregning. Fordi forholdet er probabilistisk, så bruges metoden med betingede funktioner.
c) r i - tilfældig og funktionelt relateret.
I dette tilfælde afhænger gratis mængder af hinanden, og ressourcer afhænger også af hinanden. Kun på grund af funktionel afhængighed vil forbindelsen være stærkere end i andre tilfælde.
2. model af uafhængige elementer ressourcer.
Systemets FBR er lig med summen af FBR for alle elementer.
3. De samme tilfælde som i 1 er mulige, kun i tilfælde b) og c) vil der være en stigning i afhængige ressourcer på grund af konstanten af R i. I tilfældet c) r i er en funktionel forbindelse,
en situation er mulig, når modellen "svageste" led anvendes.
R1, R2 - konstanter;
r 1 , r 2 - tilfældig;
r1 = 1,5 ∙ r2;
R1 = T∙r1;
R2 = T∙r2;
Hvis for andre to specifikke værdier af r 1, r 2,
samme ressourceforhold T 1 >T 2, så vil element 2 være det "svageste"
link, dvs. det bestemmer pålideligheden af dette system.
Anvendelse af modellen med det svageste led:
Hvis der er et element i systemet, hvis kriterium R er væsentligt mindre end dette kriterium for alle andre elementer, og alle elementer belastes omtrent ligeligt;
Hvis R-kriteriet for alle elementer er omtrent det samme, og belastningen af et element er væsentligt højere end alle andre elementer.
Spørgsmål nr. 83 Bestemmelse af levetiden for dele (aksler eller gear, eller lejer på transmissionsenheder) baseret på eksperimentelle belastningsforhold.
Bestemmelse af levetiden for rullelejer.
For at bestemme holdbarheden af rullelejer til transmissionsenheder og chassis er det nødvendigt at udføre flere typer beregninger: for statisk styrke, for kontakttræthed, for slid.
Fejlmodel:
hvor f(R) er ressourcefordelingstætheden;
, – tætheds- og ressourcefordelingsfunktion for den i-te type destruktiv proces;
n – antal beregningstyper.
Den mest udbredte beregning af rullelejer til kontakttræthed er:
R = a p Cd mρ No 50 [β 
-1 ,
hvor C d - dynamisk belastningskapacitet;
Nej 50 – antallet af cyklusser af udmattelseskurven svarende til en 50 % sandsynlighed for ikke-destruktion af lejet under belastning Cd;
m ρ – eksponent (kugle = 3, rulle = 3,33);
Hyppighed af lejebelastning ved bevægelse i kth gear;
Fordelingstætheden af den reducerede belastning ved kørsel i k-te gear under i-te driftsforhold.
Hovedtræk ved beregningen.
1. Da der for lejeudmattelseskurven i stedet for udholdenhedsgrænsen indføres C d (svarende til sandsynligheden for ikke-destruktion på 90 % ved 10 6 cyklusser), er det nødvendigt at flytte til træthedskurven svarende til 50 % af ikke-destruktion. I betragtning af at fordelingstætheden under belastning af lejet C d overholder Weibull-loven, så er No 50 = 4,7 ∙ 10 6 cyklusser.
2. Integration i formlen udføres fra nul, og parametrene for træthedskurven - m ρ, No 50 og C d - justeres ikke. Derfor, under betingelsen = const, påvirker omarrangering af summerings- og integrationsoperationerne ikke værdien af R. Som følge heraf er beregninger for den generaliserede belastningstilstand og for individuelle belastningstilstande identiske. Hvis værdierne adskiller sig væsentligt, beregnes den gennemsnitlige ressource R ik separat for hver transmission:
R ik = a p C d mρ Nej [β -1 ,
formlen kan skrives:
R = [ 
-1 ,
P = (K Fr ∙ K v ∙ F r + K Fa ∙ F a) ∙ K b ∙ K T ∙ K m;
hvor F r, F a – radiale og aksiale belastninger;
K v – rotationskoefficient;
K b - rotationskoefficient;
K T - temperaturkoefficient;
K m - materialekoefficient;
K Fr , K Fa – koefficient for radiale og aksiale belastninger.
4. Forholdet mellem drejningsmoment på aksel M og reduceret belastning på lejet:
Р = K P M = (K Fr ∙ K v ∙ K R + K Fa ∙ K A) ∙ K b ∙ K T ∙ K m ∙ M;
hvor K R er omregningsfaktoren;
K R , KA – drejningstil totale radiale og aksiale belastninger på lejet.
Lejets belastningsfrekvens svarer til frekvensen af dets rotation.
1000 U Σα (2πr ω)
hvor U Σα er det samlede udvekslingsforhold for transmissionen fra akslen til køretøjets drivhjul, når det k. gear er indkoblet.
5. Beregning af fordelingstætheden af den bærende ressource og dens parametre udføres ved hjælp af metoden til statisk modellering.
Spørgsmål nr. 12 Bilers specifikke materialeforbrug.
Ved bestemmelse af et køretøjs materialeforbrug anvendes vægten af det kantede chassis. Hensigtsmæssigheden af at bruge chassisvægt ved vurdering af en bils materialeforbrug forklares af den udbredte udvikling af produktionen af specialiserede biler med karosserier af forskellige typer eller andre overbygninger af forskellig vægt installeret på chassiset af den samme basisbil. Det er grunden til, at mærkevarebrochurer og kataloger til udenlandske lastbiler som regel angiver vægten af kantstenschassiset, ikke køretøjet. Samtidig inkluderer mange udenlandske virksomheder ikke vægten af udstyr og ekstraudstyr i vægten af det udstyrede chassis, og graden af brændstofpåfyldning er angivet forskelligt i forskellige standarder.
For objektivt at vurdere materialeforbruget af biler af forskellige modeller skal de bringes til en enkelt konfiguration. I dette tilfælde bestemmes chassisets belastningsevne som forskellen mellem køretøjets samlede strukturelle vægt og vægten af det kantede chassis.
Hovedindikatoren for en bils materialeforbrug er chassisets vægtfylde:
m slag = (m sn.shas – m z.sn)/[(m k.a – m sn.shas)P];
hvor m jordchassis er vægten af det udstyrede chassis,
m з.сн – masse af tankning og udstyr,
m к.а – køretøjets samlede strukturelle masse,
P – etableret ressource før større reparationer.
For et traktorkøretøj tages der hensyn til vogntogets samlede vægt:
m slag = (m sn.shas – m z.sn)/[(m k.a – m sn.shas)KR];
hvor K er korrektionskoefficienten for indikatorer for traktor-påhængskøretøjer beregnet til drift som en del af et vogntog
K = ma/m k.a;
hvor m a er vogntogets samlede vægt.
Relateret information.
Interferens i kommunikationssystemer er beskrevet ved metoder i teorien om tilfældige processer.
En funktion kaldes tilfældig, hvis den som følge af et eksperiment antager en eller anden form, og man ikke på forhånd ved hvilken. En tilfældig proces er en tilfældig funktion af tid. Den specifikke form, som en tilfældig proces antager som et resultat af et eksperiment, kaldes implementeringen af en tilfældig proces.
I fig. Figur 1.19 viser et sæt af flere (tre) implementeringer af den tilfældige proces , , . En sådan samling kaldes et ensemble af erkendelser. Med en fast værdi af tidspunktet i det første eksperiment får vi en bestemt værdi, i det andet - , i det tredje - .
Den tilfældige proces er af dobbelt karakter. På den ene side er det i hvert specifikt eksperiment repræsenteret af dets implementering - en ikke-tilfældig funktion af tid. På den anden side er en tilfældig proces beskrevet af et sæt af tilfældige variable.
Lad os faktisk betragte en tilfældig proces på et fast tidspunkt, så i hvert eksperiment tager det én værdi, og det vides ikke på forhånd hvilken. En tilfældig proces betragtet på et fast tidspunkt er således en tilfældig variabel. Hvis to øjeblikke af tid og er registreret, vil vi i hvert eksperiment få to værdier af og . I dette tilfælde fører fælles overvejelse af disse værdier til et system af to tilfældige variable. Når vi analyserer tilfældige processer på N tidspunkter, kommer vi frem til et sæt eller system af N tilfældige variable 
.
Matematisk forventning, spredning og korrelationsfunktion af en tilfældig proces. Da en tilfældig proces betragtet på et fast tidspunkt er en tilfældig variabel, kan vi tale om den matematiske forventning og spredning af en tilfældig proces:
, .
Ligesom for en tilfældig variabel, karakteriserer spredning spredningen af værdier af en tilfældig proces i forhold til gennemsnitsværdien. Jo større, jo større er sandsynligheden for meget store positive og negative procesværdier. En mere bekvem karakteristik er standardafvigelsen (MSD), som har samme dimension som selve den tilfældige proces.
Hvis en tilfældig proces beskriver for eksempel en ændring i afstanden til et objekt, så er den matematiske forventning gennemsnitsområdet i meter; spredning måles i kvadratmeter, og Sco måles i meter og karakteriserer spredningen af mulige områdeværdier i forhold til gennemsnittet.
Middelværdien og variansen er meget vigtige egenskaber, der giver os mulighed for at bedømme adfærden af en tilfældig proces på et fast tidspunkt. Men hvis det er nødvendigt at estimere "hastigheden" af forandring i en proces, så er observationer på et tidspunkt ikke nok. Til dette formål anvendes to stokastiske variable, betragtet under ét. Ligesom for stokastiske variable introduceres en karakteristik af sammenhængen eller afhængigheden mellem og. For en tilfældig proces afhænger denne karakteristik af to tidspunkter og kaldes korrelationsfunktionen: .
Stationære tilfældige processer. Mange processer i kontrolsystemer foregår ensartet over tid. Deres grundlæggende egenskaber ændres ikke. Sådanne processer kaldes stationære. Den nøjagtige definition kan gives som følger. En tilfældig proces kaldes stationær, hvis nogen af dens probabilistiske karakteristika ikke afhænger af skiftet i tidens oprindelse. For en stationær tilfældig proces er den matematiske forventning, varians og standardafvigelse konstant: , .
Korrelationsfunktionen af en stationær proces afhænger ikke af oprindelsen t, dvs. afhænger kun af forskellen i tid:
Korrelationsfunktionen af en stationær tilfældig proces har følgende egenskaber:
1) 
; 2) ; 3) .
Ofte har korrelationsfunktionerne af processer i kommunikationssystemer den form, der er vist i fig. 1,20.
Ris. 1,20. Korrelationsfunktioner af processer
Det tidsinterval, over hvilket korrelationsfunktionen, dvs. størrelsen af forbindelsen mellem værdierne af en tilfældig proces falder med M gange, kaldet intervallet eller korrelationstiden for den tilfældige proces. Normalt eller. Vi kan sige, at værdierne af en tilfældig proces, der adskiller sig i tid med korrelationsintervallet, er svagt relateret til hinanden.
Kendskab til korrelationsfunktionen gør det således muligt at bedømme ændringshastigheden af en tilfældig proces.
En anden vigtig egenskab er energispektret af en tilfældig proces. Det er defineret som Fourier-transformationen af korrelationsfunktionen:
.
Det er klart, at den omvendte transformation også er gyldig:
.
Energispektret viser effektfordelingen af en tilfældig proces, såsom interferens, på frekvensaksen.
Når man analyserer en ACS, er det meget vigtigt at bestemme karakteristikaene for en tilfældig proces ved outputtet af et lineært system med kendte karakteristika for processen ved input af ACS. Lad os antage, at det lineære system er givet af en impulstransient respons. Så er udgangssignalet på tidspunktet bestemt af Duhamel-integralet:
,
hvor er processen ved systemindgangen. For at finde korrelationsfunktionen skriver vi 
og efter multiplikation finder vi den matematiske forventning