KOMMUNAL UDDANNELSESINSTITUTION

GYMNASIUM nr. 6

om emnet "Klassisk definition af sandsynlighed."

Udført af en elev i klasse 8 "B"

Klimantova Alexandra.

Matematiklærer: Videnkina V. A.

Voronezh, 2008

Mange spil bruger terninger. Terningen har 6 sider, hver side har et forskelligt antal prikker markeret på sig - fra 1 til 6. Spilleren kaster terningerne og ser på hvor mange prikker der er på den tabte side (på den side der er placeret øverst) . Ganske ofte bliver punkterne på terningens forside erstattet med det tilsvarende tal, og så taler de om at slå en 1, 2 eller 6. At kaste en terning kan betragtes som et eksperiment, et eksperiment, en test, og det opnåede resultat er resultatet af en test eller en elementær begivenhed. Folk er interesserede i at gætte forekomsten af ​​denne eller hin begivenhed og forudsige dens udfald. Hvilke forudsigelser kan de komme med, når de kaster terningerne? For eksempel disse:

1. begivenhed A—tallet 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 rulles;
2. begivenhed B—tallet 7, 8 eller 9 rulles;
3. begivenhed C—tallet 1 vises.

Hændelse A, forudsagt i det første tilfælde, vil helt sikkert forekomme. Generelt kaldes en begivenhed, der med sikkerhed vil forekomme i en given oplevelse pålidelig begivenhed.

Hændelse B, forudsagt i det andet tilfælde, vil aldrig forekomme, det er simpelthen umuligt. Generelt kaldes en begivenhed, der ikke kan forekomme i en given oplevelse umulig begivenhed.

Og vil begivenhed C, forudsagt i det tredje tilfælde, indtræffe eller ej? Vi er ikke i stand til at besvare dette spørgsmål med fuldstændig sikkerhed, da 1 kan eller måske ikke falder ud. En begivenhed, der måske eller måske ikke forekommer i en given oplevelse, kaldes tilfældig begivenhed.

Når vi tænker på forekomsten af ​​en pålidelig begivenhed, vil vi højst sandsynligt ikke bruge ordet "sandsynligvis". For eksempel, hvis i dag er onsdag, så er i morgen torsdag, dette er en pålidelig begivenhed. På onsdag vil vi ikke sige: "Sandsynligvis er det torsdag i morgen," vi vil kort og tydeligt sige: "I morgen er det torsdag." Sandt nok, hvis vi er tilbøjelige til smukke sætninger, kan vi sige dette: "Med hundrede procent sandsynlighed siger jeg, at i morgen er det torsdag." Tværtimod, hvis i dag er onsdag, så er starten på fredag ​​i morgen en umulig begivenhed. Ved at vurdere denne begivenhed på onsdag kan vi sige dette: "Jeg er sikker på, at i morgen ikke er fredag." Eller dette: "Det er utroligt, at det er fredag ​​i morgen." Nå, hvis vi er tilbøjelige til smukke sætninger, kan vi sige dette: "Sandsynligheden for, at i morgen er fredag, er nul." Så en pålidelig hændelse er en hændelse, der opstår under givne forhold med hundrede procent sandsynlighed(dvs. forekommer i 10 tilfælde ud af 10, i 100 tilfælde ud af 100 osv.). En umulig begivenhed er en begivenhed, der aldrig indtræffer under givne forhold, en begivenhed med nul sandsynlighed.

Men desværre (og måske heldigvis) er ikke alt i livet så klart og præcist: det vil altid være (bestemt begivenhed), det vil aldrig være (umulig begivenhed). Oftest står vi over for tilfældige begivenheder, hvoraf nogle er mere sandsynlige, andre mindre sandsynlige. Normalt bruger folk ordene "mere sandsynligt" eller "mindre sandsynligt", som de siger, på et indfald og stoler på det, der kaldes sund fornuft. Men meget ofte viser sådanne estimater sig at være utilstrækkelige, da det er vigtigt at vide hvor lang tid procent sandsynligvis en tilfældig begivenhed eller hvor mange gange en tilfældig begivenhed er mere sandsynlig end en anden. Med andre ord, vi har brug for nøjagtige kvantitative karakteristika, skal du kunne karakterisere sandsynlighed med et tal.

Vi har allerede taget de første skridt i denne retning. Vi sagde, at sandsynligheden for, at en bestemt begivenhed indtræffer, karakteriseres som et hundrede procent, og sandsynligheden for, at en umulig begivenhed indtræffer, er som nul. Da 100 % er lig med 1, blev folk enige om følgende:

1. sandsynligheden for en pålidelig hændelse anses for lig 1;
2. sandsynligheden for en umulig begivenhed betragtes som lig 0.

Hvordan beregner man sandsynligheden for en tilfældig hændelse? Det skete jo ved en fejltagelse, hvilket betyder, at den ikke adlyder love, algoritmer eller formler. Det viser sig, at der i tilfældighedens verden gælder visse love, der tillader en at beregne sandsynligheder. Dette er den gren af ​​matematik, der kaldes - sandsynlighedsteori.

Matematik beskæftiger sig med model et eller andet fænomen af ​​virkeligheden omkring os. Af alle de modeller, der bruges i sandsynlighedsteori, vil vi begrænse os til de enkleste.

Klassisk probabilistisk skema

For at finde sandsynligheden for hændelse A, når du udfører et eksperiment, bør du:

1) find antallet N af alle mulige resultater af dette eksperiment;

2) acceptere antagelsen om lige sandsynlighed (lige muligheder) for alle disse udfald;

3) find antallet N(A) af de eksperimentelle resultater, hvor begivenhed A indtræffer;

4) find kvotienten ; det vil være lig med sandsynligheden for hændelse A.

Det er sædvanligt at betegne sandsynligheden for hændelse A: P(A). Forklaringen på denne betegnelse er meget enkel: ordet "sandsynlighed" på fransk er sandsynlighed, på engelsk- sandsynlighed.Betegnelsen bruger det første bogstav i ordet.

Ved hjælp af denne notation kan sandsynligheden for hændelse A ifølge det klassiske skema findes ved hjælp af formlen

P(A)=.

Ofte er alle punkter i ovenstående klassiske sandsynlighedsskema udtrykt i en ret lang sætning.

Klassisk definition af sandsynlighed

Sandsynligheden for hændelse A under en bestemt test er forholdet mellem antallet af udfald som følge af hvilken hændelse A indtræffer og det samlede antal af alle lige mulige udfald af denne test.

Eksempel 1. Find sandsynligheden for, at resultatet med et kast af en terning bliver: a) 4; b) 5; c) et lige antal point; d) antal point større end 4; e) antal point, der ikke er deleligt med tre.

Løsning. I alt er der N=6 mulige udfald: at falde ud af en terningflade med et antal point lig med 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Vi mener, at ingen af ​​dem har nogen fordele i forhold til de andre, dvs. acceptere antagelsen om, at ligesandsynligheden for disse resultater.

a) I præcis et af udfaldene vil den begivenhed, vi er interesseret i, A, opstå – tallet 4. Det betyder, at N(A)=1 og

P(EN)= =.

b) Løsningen og svaret er de samme som i det foregående afsnit.

c) Den begivenhed B, vi er interesseret i, vil forekomme i præcis tre tilfælde, hvor antallet af point er 2, 4 eller 6. Det betyder

N(B)=3 ogP(B)==.

d) Den begivenhed C, vi er interesseret i, vil forekomme i præcis to tilfælde, hvor antallet af point er 5 eller 6. Det betyder

N(C) =2 og Р(С)=.

e) Af de seks mulige tal, der trækkes, er fire (1, 2, 4 og 5) ikke et multiplum af tre, og de resterende to (3 og 6) er delelige med tre. Det betyder, at den for os interesserede begivenhed forekommer i præcis fire ud af seks mulige og lige sandsynlige og lige sandsynlige udfald af eksperimentet. Derfor viser svaret sig at være.

Svar: a) ; b); V); G); d).

En rigtig terning kan meget vel adskille sig fra en ideel (model) terning, derfor kræves en mere nøjagtig og detaljeret model for at beskrive dens adfærd, der tager hensyn til fordelene ved en flade frem for en anden, den mulige tilstedeværelse af magneter osv. Men "djævelen er i detaljerne," og mere nøjagtighed har en tendens til at føre til større kompleksitet, og at få et svar bliver et problem. Vi begrænser os til at overveje den enkleste probabilistiske model, hvor alle mulige udfald er lige sandsynlige.

Note 1. Lad os se på et andet eksempel. Spørgsmålet blev stillet: "Hvad er sandsynligheden for at få tre på én terningkast?" Eleven svarede: "Sandsynligheden er 0,5." Og han forklarede sit svar: ”Enten kommer tre op eller ej. Det betyder, at der er to udfald i alt, og i præcis ét af dem indtræffer den begivenhed, der er af interesse for os. Ved at bruge det klassiske probabilistiske skema får vi svaret 0,5." Er der en fejl i denne begrundelse? Ved første øjekast nej. Den eksisterer dog stadig og på en grundlæggende måde. Ja, faktisk vil en treer enten komme op eller ej, dvs. med denne definition af udfaldet af kastet N=2. Det er også rigtigt, at N(A) = 1 og selvfølgelig er det rigtigt, at =0,5, dvs. tre punkter af sandsynlighedsskemaet er taget i betragtning, men opfyldelsen af ​​punkt 2) er i tvivl. Ud fra et rent juridisk synspunkt har vi naturligvis ret til at tro, at det er lige så sandsynligt, at det ikke falder ud af at slå en treer. Men kan vi mene det uden at krænke vores egne naturlige antagelser om "enheden" af kanterne? Selvfølgelig ikke! Her har vi at gøre med korrekt ræsonnement inden for en bestemt model. Men selve denne model er "forkert", og svarer ikke til det virkelige fænomen.

Note 2. Når du diskuterer sandsynlighed, skal du ikke glemme følgende vigtige forhold. Hvis vi siger, at når man kaster en terning, er sandsynligheden for at få ét point lig med gange, man får ét point præcis tre gange osv. Ordet er formentlig spekulativt. Vi antager, hvad der er størst sandsynlighed for at ske. Sandsynligvis, hvis vi kaster terningerne 600 gange, vil et point komme op 100 gange, eller omkring 100.

Sandsynlighedsteorien opstod i det 17. århundrede, da man analyserede forskellige hasardspil. Det er derfor ikke overraskende, at de første eksempler er af legende karakter. Fra eksempler med terninger, lad os gå videre til tilfældigt at trække spillekort fra et kortspil.

Eksempel 2. Fra et spil med 36 kort trækkes 3 kort tilfældigt på samme tid. Hvad er sandsynligheden for, at der ikke er nogen spardame blandt dem?

Løsning. Vi har et sæt med 36 elementer. Vi vælger tre elementer, hvis rækkefølge ikke er vigtig. Det betyder, at det er muligt at opnå N=C-udfald. Vi vil handle efter det klassiske sandsynlighedsskema, dvs. vi vil antage, at alle disse udfald er lige sandsynlige.

Det er tilbage at beregne den nødvendige sandsynlighed ved hjælp af den klassiske definition:

Hvad er sandsynligheden for, at der blandt de valgte tre kort er en spardame? Antallet af alle sådanne udfald er ikke svært at beregne; du skal blot trække fra alle udfald N alle de udfald, hvor der ikke er spardame, dvs. trække tallet N(A) fra eksempel 3. Derefter skal denne forskel N-N(A) i overensstemmelse med det klassiske probabilistiske skema divideres med N. Dette er hvad vi får:

Vi ser, at der er en vis sammenhæng mellem sandsynligheden for to begivenheder. Hvis begivenhed A er fraværet af spardamen, og begivenhed B er dens tilstedeværelse blandt de valgte tre kort, så

P(B)= 1—P(A),

P(A)+P(B)=1.

Desværre er der i ligheden P(A)+P(B)=1 ingen information om sammenhængen mellem begivenhederne A og B; vi skal huske på denne forbindelse. Det ville være mere bekvemt på forhånd at give begivenhed B et navn og en betegnelse, der tydeligt angiver dens forbindelse med A.

Definition 1. Begivenhed B hedder modsat begivenhed A og angiv B=Ā hvis begivenhed B indtræffer, hvis og kun hvis begivenhed A ikke indtræffer.

TSætning 1. For at finde sandsynligheden for den modsatte hændelse skal du trække sandsynligheden for selve hændelsen fra enhed: P(Ā)= 1—P(A). Ja,

I praksis beregner de, hvad der er nemmere at finde: enten P(A) eller P(Ā). Herefter skal du bruge formlen fra sætningen og finde henholdsvis enten P(Ā) = 1 - P(A), eller P(A) = 1 - P(Ā).

Metoden til at løse et bestemt problem bruges ofte ved "opregning af sager", når betingelserne for problemet er opdelt i gensidigt udelukkende sager, som hver især betragtes separat. For eksempel, "hvis du går til højre, vil du miste din hest, hvis du går ligeud, vil du løse et problem i sandsynlighedsteorien, hvis du går til venstre, ...." Eller når du konstruerer en graf for funktionen y=│x+1│—│2x—5│overvej tilfælde x

Eksempel 3. Af de 50 punkter er 17 farvet blå og 13 er farvet orange. Find sandsynligheden for, at et tilfældigt udvalgt punkt bliver skraveret.

Løsning. I alt er 30 punkter ud af 50 skraverede. Det betyder, at sandsynligheden er = 0,6.

Svar: 0,6.

Lad os dog se nærmere på dette simple eksempel. Lad hændelse A være, at det valgte punkt er blåt, og hændelse B være, at det valgte punkt er orange. Af betingelsen kan hændelser A og B ikke forekomme samtidigt.

Lad os markere begivenheden af ​​interesse for os med bogstavet C. Hændelse C opstår, hvis og kun hvis den forekommer mindst én af begivenhederne A eller B. Det er klart, at N(C)= N(A)+N(B).

Lad os dividere begge sider af denne lighed med N - antallet af alle mulige udfald af dette eksperiment; vi får

Ved hjælp af et simpelt eksempel analyserede vi en vigtig og ofte stødt situation. Der er et særligt navn for det.

Definition 2. Hændelser A og B kaldes uforenelig, hvis de ikke kan forekomme samtidigt.

Sætning 2. Sandsynligheden for forekomsten af ​​mindst én af to uforenelige hændelser er lig med summen af ​​deres sandsynligheder.

Når denne sætning oversættes til matematisk sprog, er der behov for på en eller anden måde at navngive og udpege en begivenhed, der består af forekomsten af ​​mindst én af to givne begivenheder A og B. En sådan begivenhed kaldes summen af ​​begivenheder A og B og betegnes A + B.

Hvis A og B er inkompatible, så P(A+B)=P(A)+P(B).

Ja,

Det er praktisk at illustrere uforeneligheden af ​​begivenheder A og B med en tegning. Hvis alle resultaterne af eksperimentet er et bestemt sæt punkter i figuren, så er begivenheder A og B nogle delmængder af et givet sæt. Inkompatibiliteten af ​​A og B betyder, at disse to delmængder ikke skærer hinanden. Et typisk eksempel på uforenelige hændelser er enhver hændelse A og den modsatte hændelse Â.

Selvfølgelig er denne sætning sand for tre, fire og ethvert begrænset antal parvis uforenelige hændelser. Sandsynligheden for summen af ​​et hvilket som helst antal parvise uforenelige hændelser er lig med summen af ​​sandsynligheden for disse hændelser. Dette vigtige udsagn svarer præcist til "sag til sag"-metoden til at løse problemer.

Der kan være nogle relationer, afhængigheder, forbindelser osv. mellem begivenheder, der opstår som et resultat af nogle erfaringer og mellem sandsynligheden for disse begivenheder. For eksempel kan begivenheder "tillægges", og sandsynligheden for summen af ​​uforenelige begivenheder er lig. til summen af ​​deres sandsynligheder.

Lad os afslutningsvis diskutere følgende grundlæggende spørgsmål: er det muligt bevise at sandsynligheden for at få hoveder i ét møntkast er

Svaret er negativt. Generelt er spørgsmålet i sig selv ikke korrekt; den nøjagtige betydning af ordet "bevise" er uklar. Vi beviser jo altid noget inden for rammerne af nogle modeller, hvor reglerne, lovene, aksiomer, formler, sætninger osv. allerede er kendt. Hvis vi taler om en imaginær, "ideal" mønt, så anses den for at være ideel, fordi, a-priory, er sandsynligheden for at få "haler" lig med sandsynligheden for at få "hoveder". Og i princippet kan vi overveje en model, hvor sandsynligheden for at falde "haler" er to gange større end sandsynligheden for at falde "hoveder" eller tre gange mindre osv. Så opstår spørgsmålet: af hvilken grund vælger vi fra forskellige mulige møntkastmodeller?en, hvor begge udfald af kastet er lige sandsynlige?

Det meget ligetil svar er: "Men det er nemmere, klarere og mere naturligt for os!" Men der er også mere materielle argumenter. De kommer fra praksis. Det overvældende flertal af lærebøger om sandsynlighedsteori giver eksempler på den franske naturforsker J. Buffon (1700-tallet) og den engelske matematiker og statistiker K. Pearson (slutningen af ​​det 19. århundrede), som kastede en mønt henholdsvis 4040 og 24000 gange og talte antal hoveder, der kom op." eller "haler". De landede hoveder henholdsvis 1992 og 11998 gange. Hvis du tæller tabsfrekvens"haler", så viser det sig = = 0,493069... for Buffon og = 0,4995 for Pearson. Naturlig opstår antagelse, at med en ubegrænset stigning i antallet af møntkast vil hyppigheden af ​​"haler", der falder ud, samt hyppigheden af ​​"hoveder", der falder ud, i stigende grad nærme sig 0,5. Det er denne antagelse, baseret på praktiske data, der er grundlaget for at vælge en model med lige så sandsynlige udfald.

Nu kan vi opsummere. Grundlæggende koncept - sandsynligheden for en tilfældig hændelse, som er beregnet i den enkleste model— klassisk probabilistisk skema. Konceptet er vigtigt både i teorien og i praksis modsatte begivenhed og formlen P(Ā)= 1—P(A) for at finde sandsynligheden for en sådan hændelse.

Endelig mødtes vi uforenelige begivenheder og med formler.

P(A+B)=P(A)+P(B),

P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C),

så du kan finde sandsynligheder beløb sådanne begivenheder.

Bibliografi

1.Begivenheder. Sandsynligheder. Statistisk databehandling: Yderligere. afsnit for algebrakurset 7-9 karakterer. uddannelsesinstitutioner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. udgave - M.: Mnemosyna, 2006. - 112 s.: ill.

2. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk “Algebra. Elementer af statistik og sandsynlighedsteori." - Moskva, "Prosveshchenie", 2006.

Klassisk definition af sandsynlighed.

Som nævnt ovenfor, med et stort antal n test frekvens P*(A)=m/ n forekomst af en begivenhed EN er stabil og giver en omtrentlig værdi af sandsynligheden for en hændelse EN , dvs. .

Denne omstændighed giver os mulighed for eksperimentelt at finde den omtrentlige sandsynlighed for en begivenhed. I praksis er denne metode til at finde sandsynligheden for en begivenhed ikke altid praktisk. Vi skal trods alt vide på forhånd sandsynligheden for en begivenhed, selv før eksperimentet. Dette er videnskabens heuristiske, forudsigende rolle. I en række tilfælde kan sandsynligheden for en hændelse bestemmes før eksperimentet ved hjælp af begrebet ligesandsynlighed for hændelser (eller equipossibilitet).

De to begivenheder kaldes lige så sandsynligt (eller lige så muligt ), hvis der ikke er objektive grunde til at tro, at en af ​​dem kan forekomme oftere end den anden.

Så for eksempel er udseendet af et våbenskjold eller en inskription, når du kaster en mønt, lige så sandsynlige begivenheder.

Lad os se på et andet eksempel. Lad dem kaste terningerne. På grund af terningens symmetri kan vi antage, at udseendet af et hvilket som helst af tallene 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 lige muligt (liges sandsynligt).

Begivenheder i dette eksperiment danner de fuld gruppe , hvis mindst én af dem skulle forekomme som resultat af forsøget. Så i det sidste eksempel består den komplette gruppe af begivenheder af seks begivenheder - udseendet af tal 1, 2, 3, 4, 5 Og 6.

Selvfølgelig, enhver begivenhed EN og dens modsatte begivenhed udgør en komplet gruppe.

Begivenhed B hedder gunstige begivenhed EN , hvis forekomsten af ​​en begivenhed B medfører forekomsten af ​​en begivenhed EN . Så hvis EN - udseendet af et lige antal point, når du kaster en terning, derefter udseendet af tallet 4 repræsenterer en begivenhed, der favoriserer en begivenhed EN.

Lad begivenheder i dette eksperiment danne en komplet gruppe af lige sandsynlige og parvis uforenelige begivenheder. Lad os ringe til dem resultater tests. Lad os antage, at begivenheden EN favoriserer forsøgsresultater. Så sandsynligheden for hændelsen EN i dette eksperiment kaldes attitude. Så vi kommer til følgende definition.

Sandsynligheden P(A) for en hændelse i et givet eksperiment er forholdet mellem antallet af eksperimentelle udfald, der er gunstige i forhold til begivenhed A, og det samlede antal mulige eksperimentelle udfald, der danner en komplet gruppe af lige så sandsynlige parvise uforenelige hændelser: .

Denne definition af sandsynlighed kaldes ofte klassisk. Det kan påvises, at den klassiske definition opfylder sandsynlighedsaksiomerne.

Eksempel 1.1. Et parti fra 1000 lejer. Jeg kom ind i denne batch ved et uheld 30 lejer, der ikke opfylder standarden. Bestem sandsynlighed P(A) at en tilfældig pejling vil vise sig at være standard.

Løsning: Antallet af standardlejer er 1000-30=970 . Vi vil antage, at hvert leje har samme sandsynlighed for at blive valgt. Så består den komplette gruppe af hændelser af lige så sandsynlige udfald, hvoraf hændelsen EN favorisere resultater. Derfor .

Eksempel 1.2. I urnen 10 bolde: 3 hvid og 7 sort. To bolde tages fra urnen på én gang. Hvad er sandsynligheden R at begge kugler viser sig at være hvide?

Løsning: Antallet af alle lige sandsynlige testresultater er lig med antallet af måder, hvorpå 10 tage to kugler ud, altså antallet af kombinationer fra 10 elementer af 2 (fuld begivenhedsgruppe):

Antallet af gunstige resultater (på hvor mange måder kan man vælge imellem 3 vælg bolde 2) : . Derfor er den nødvendige sandsynlighed .

Ser man fremad, kan dette problem løses på en anden måde.

Løsning: Sandsynligheden for, at der ved første forsøg (udtrækning af en bold) trækkes en hvid bold, er lig med (totalt bolde 10 , af dem 3 hvid). Sandsynligheden for, at den hvide kugle vil blive trukket igen under den anden prøve er lig med (det samlede antal kugler er nu 9, fordi de tog en ud, den blev hvid 2, fordi De tog den hvide ud). Som følge heraf er sandsynligheden for at kombinere begivenheder lig med produktet af deres sandsynligheder, dvs. .

Eksempel 1.3. I urnen 2 grøn, 7 rød, 5 brun og 10 hvide kugler. Hvad er sandsynligheden for, at en farvet kugle dukker op?

Løsning: Vi finder henholdsvis sandsynligheden for fremkomsten af ​​grønne, røde og brune kugler: ; ; . Da de undersøgte begivenheder åbenlyst er uforenelige, finder vi, ved hjælp af additionsaksiomet, sandsynligheden for, at en farvet kugle dukker op:

Eller på en anden måde. Sandsynligheden for at en hvid kugle dukker op er . Så er sandsynligheden for udseendet af en ikke-hvid kugle (dvs. farvet), dvs. sandsynligheden for den modsatte hændelse er lig med .

Geometrisk definition af sandsynlighed. For at overvinde ulempen ved den klassiske definition af sandsynlighed (den er ikke anvendelig til test med et uendeligt antal udfald), introduceres en geometrisk definition af sandsynlighed - sandsynligheden for, at et punkt falder ind i et område (segment, del af et plan, etc.).

Lad segmentet være en del af segmentet. Et punkt placeres tilfældigt på et segment, hvilket betyder, at følgende antagelser er opfyldt: det placerede punkt kan være på et hvilket som helst punkt på segmentet, sandsynligheden for at et punkt falder på segmentet er proportional med længden af ​​dette segment og ikke afhænger af dens placering i forhold til segmentet. Under disse antagelser er sandsynligheden for, at et punkt falder på et segment, bestemt af ligheden

Klassisk og statistisk definition af sandsynlighed

For praktiske aktiviteter er det nødvendigt at kunne sammenligne begivenheder i forhold til graden af ​​mulighed for deres forekomst. Lad os overveje en klassisk sag. Der er 10 kugler i urnen, 8 af dem er hvide, 2 er sorte. Det er klart, at begivenheden "en hvid kugle vil blive trukket fra urnen" og begivenheden "en sort kugle vil blive trukket fra urnen" har forskellige grader af mulighed for deres forekomst. For at sammenligne begivenheder er det derfor nødvendigt med et vist kvantitativt mål.

Et kvantitativt mål for muligheden for, at en begivenhed indtræffer er sandsynlighed . De mest udbredte definitioner af sandsynligheden for en begivenhed er klassiske og statistiske.

Klassisk definition sandsynlighed er forbundet med konceptet om et gunstigt resultat. Lad os se på dette mere detaljeret.

Lad resultaterne af en test danne en komplet gruppe af begivenheder og er lige så mulige, dvs. unikt muligt, uforenelig og lige så muligt. Sådanne udfald kaldes elementære resultater, eller sager. Det siges, at testen bunder i case diagram eller " urneordning", fordi Ethvert sandsynlighedsproblem for en sådan test kan erstattes af et tilsvarende problem med urner og kugler i forskellige farver.

Resultatet kaldes gunstige begivenhed EN, hvis dette tilfældes indtræden medfører begivenhedens indtræden EN.

Ifølge den klassiske definition sandsynligheden for en begivenhed A er lig med forholdet mellem antallet af udfald, der er gunstige for denne begivenhed, og det samlede antal udfald, dvs.

,

(1.1)

Hvor P(A)– sandsynlighed for hændelse EN; m– antal sager, der er gunstige for arrangementet EN; n– det samlede antal sager.

Eksempel 1.1. Når du kaster en terning, er der seks mulige udfald: 1, 2, 3, 4, 5, 6 point. Hvad er sandsynligheden for at få et lige antal point?

Løsning. Alle n= 6 udfald udgør en komplet gruppe af hændelser og er lige så mulige, dvs. unikt muligt, uforenelig og lige så muligt. Begivenhed A - "fremkomsten af ​​et lige antal point" - favoriseres af 3 udfald (tilfælde) - tabet af 2, 4 eller 6 point. Ved at bruge den klassiske formel for sandsynligheden for en begivenhed får vi

P(A) = = . ◄

Baseret på den klassiske definition af sandsynligheden for en begivenhed noterer vi dens egenskaber:

1. Sandsynligheden for enhver hændelse ligger mellem nul og én, dvs.

0 ≤ R(EN) ≤ 1.

2. Sandsynligheden for en pålidelig hændelse er lig med én.

3. Sandsynligheden for en umulig hændelse er nul.

Som tidligere nævnt er den klassiske definition af sandsynlighed kun anvendelig for de hændelser, der kan opstå som følge af tests, der har symmetri af mulige udfald, dvs. reduceres til et mønster af sager. Der er dog en stor klasse af begivenheder, hvis sandsynligheder ikke kan beregnes ved hjælp af den klassiske definition.

Hvis vi for eksempel antager, at mønten er fladtrykt, så er det indlysende, at begivenhederne "udseende af et våbenskjold" og "udseende af hoveder" ikke kan betragtes som lige mulige. Derfor er formlen til bestemmelse af sandsynligheden i henhold til det klassiske skema ikke anvendelig i dette tilfælde.

Der er dog en anden tilgang til at estimere sandsynligheden for hændelser, baseret på hvor ofte en given hændelse vil forekomme i de udførte forsøg. I dette tilfælde anvendes den statistiske definition af sandsynlighed.

Statistisk sandsynlighedhændelse A er den relative frekvens (hyppighed) af forekomsten af ​​denne hændelse i n udførte forsøg, dvs.

,

(1.2)

Hvor P*(A)– statistisk sandsynlighed for en hændelse EN; w(A)– relativ hyppighed af begivenheden EN; m– antal forsøg, hvor hændelsen fandt sted EN; n– det samlede antal prøver.

I modsætning til matematisk sandsynlighed P(A), betragtet i den klassiske definition, statistisk sandsynlighed P*(A) er en egenskab erfarne, eksperimentel. Med andre ord, den statistiske sandsynlighed for en begivenhed EN er det tal, omkring hvilket den relative frekvens er stabiliseret (indstillet) w(A) med en ubegrænset stigning i antallet af test udført under samme sæt betingelser.

For eksempel, når de siger om en skytte, at han rammer målet med en sandsynlighed på 0,95, betyder det, at ud af hundredvis af skud afgivet af ham under visse forhold (samme skive på samme afstand, samme riffel osv. . ), i gennemsnit er der omkring 95 succesfulde. Naturligvis vil ikke hvert hundrede have 95 vellykkede skud, nogle gange vil der være færre, nogle gange flere, men i gennemsnit, med flere gentagelser af skydning under de samme forhold, vil denne procentdel af hits forblive uændret. Tallet 0,95, der tjener som en indikator for skyttens færdigheder, er normalt meget stabil, dvs. procentdelen af ​​hits i de fleste skyderier vil være næsten den samme for en given skytte, kun i sjældne tilfælde afvige væsentligt fra dens gennemsnitlige værdi.

En anden ulempe ved den klassiske definition af sandsynlighed ( 1.1 ) begrænser dets brug er, at det antager et begrænset antal mulige testresultater. I nogle tilfælde kan denne ulempe overvindes ved at bruge en geometrisk definition af sandsynlighed, dvs. at finde sandsynligheden for, at et punkt falder ind i et bestemt område (segment, en del af et plan osv.).

Lad den flade figur g indgår i en flad figur G(Fig. 1.1). Passe G en prik kastes tilfældigt. Det betyder, at alle punkter i regionen G"lige rettigheder" med hensyn til, om et smidt tilfældigt punkt rammer det. Forudsat at sandsynligheden for en begivenhed EN– den kastede spids rammer figuren g– er proportional med arealet af denne figur og afhænger ikke af dens placering i forhold til G, hverken fra formularen g, finder vi

Problemer med den klassiske sandsynlighedsbestemmelse.
Eksempler på løsninger

I den tredje lektion vil vi se på forskellige problemer, der involverer direkte anvendelse af den klassiske definition af sandsynlighed. For effektivt at studere materialerne i denne artikel anbefaler jeg, at du gør dig bekendt med de grundlæggende begreber sandsynlighedsteori Og det grundlæggende i kombinatorik. Opgaven med klassisk at bestemme sandsynlighed med en sandsynlighed, der tenderer til én, vil være til stede i dit selvstændige/kontrolarbejde på terver, så lad os gøre os klar til seriøst arbejde. Du kan spørge, hvad der er så alvorligt ved dette? ...kun en primitiv formel. Jeg advarer dig mod letsindighed - tematiske opgaver er ret forskellige, og mange af dem kan nemt forvirre dig. I denne henseende, ud over at gennemarbejde hovedlektionen, prøv at studere yderligere opgaver om emnet, der er i sparegrisen færdige løsninger til højere matematik. Løsningsteknikker er løsningsteknikker, men "venner" skal stadig "kendes af synet", for selv en rig fantasi er begrænset, og der er også nok standardopgaver. Nå, jeg vil prøve at sortere så mange af dem som muligt i god kvalitet.

Lad os huske genrens klassikere:

Sandsynligheden for, at en hændelse finder sted i en bestemt test er lig med forholdet, hvor:

– det samlede antal af alle lige så muligt, elementære resultater af denne test, som danner hele gruppen af ​​arrangementer;

- antal elementære gunstige resultater for arrangementet.

Og straks et øjeblikkeligt pitstop. Forstår du de understregede udtryk? Dette betyder klar, ikke intuitiv forståelse. Hvis ikke, så er det stadig bedre at vende tilbage til 1. artikel om sandsynlighedsteori og først derefter gå videre.

Undlad venligst at springe de første eksempler over - i dem vil jeg gentage et grundlæggende vigtigt punkt og også fortælle dig, hvordan du formaterer en løsning korrekt, og på hvilke måder dette kan gøres:

Opgave 1

En urne indeholder 15 hvide, 5 røde og 10 sorte kugler. 1 kugle trækkes tilfældigt, find sandsynligheden for at den bliver: a) hvid, b) rød, c) sort.

Løsning: Den vigtigste forudsætning for at bruge den klassiske definition af sandsynlighed er evne til at tælle det samlede antal udfald.

Der er i alt 15 + 5 + 10 = 30 bolde i urnen, og selvfølgelig er følgende fakta sande:

– Det er lige så muligt at hente enhver bold (lige muligheder resultater), mens resultaterne elementære og form hele gruppen af ​​arrangementer (dvs. som et resultat af testen, vil en af ​​de 30 bolde helt sikkert blive fjernet).

Således er det samlede antal resultater:

Overvej begivenheden: – en hvid kugle vil blive trukket fra urnen. Denne begivenhed er favoriseret elementære resultater derfor ifølge den klassiske definition:
– sandsynligheden for, at der trækkes en hvid kugle fra urnen.

Mærkeligt nok kan man selv i så simpel en opgave lave en alvorlig unøjagtighed, som jeg allerede fokuserede på i den første artikel om sandsynlighedsteori. Hvor er faldgruben her? Det er forkert at hævde det her "da halvdelen af ​​kuglerne er hvide, så er sandsynligheden for at tegne en hvid kugle» . Den klassiske definition af sandsynlighed refererer til ELEMENTÆRE udfald, og brøken skal skrives ned!

Med andre punkter skal du på samme måde overveje følgende begivenheder:

– en rød kugle vil blive trukket fra urnen;
– der trækkes en sort kugle fra urnen.

En begivenhed begunstiges af 5 elementære resultater, og en begivenhed begunstiges af 10 elementære resultater. Så de tilsvarende sandsynligheder er:

Et typisk tjek af mange serveropgaver udføres vha teoremer om summen af ​​sandsynligheder for begivenheder, der danner en komplet gruppe. I vores tilfælde udgør begivenhederne en komplet gruppe, hvilket betyder, at summen af ​​de tilsvarende sandsynligheder nødvendigvis skal være lig med én: .

Lad os tjekke, om dette er sandt: det var det, jeg ville være sikker på.

Svar:

I princippet kan svaret skrives mere detaljeret ned, men personligt er jeg vant til kun at sætte tal der - af den grund, at når man begynder at "stemple" problemer i hundreder og tusinder, så forsøger man at reducere skrivningen af løsningen så meget som muligt. Forresten, om korthed: i praksis er "højhastigheds" designmuligheden almindelig løsninger:

I alt: 15 + 5 + 10 = 30 bolde i urnen. Ifølge den klassiske definition:
– sandsynligheden for, at en hvid kugle vil blive trukket fra urnen;
– sandsynligheden for, at en rød kugle bliver trukket fra urnen;
– sandsynligheden for, at der trækkes en sort kugle fra urnen.

Svar:

Men hvis der er flere punkter i tilstanden, så er det ofte mere bekvemt at formulere løsningen på den første måde, hvilket tager lidt mere tid, men samtidig "lægger alt på hylderne" og gør det lettere for at navigere i problemet.

Lad os varme op:

Opgave 2

Butikken modtog 30 køleskabe, hvoraf fem har en fabrikationsfejl. Et køleskab vælges tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at den bliver fejlfri?

Vælg den relevante designindstilling, og tjek prøven nederst på siden.

I de simpleste eksempler ligger antallet af almindelige og antallet af gunstige udfald på overfladen, men i de fleste tilfælde skal du selv grave kartoflerne op. En kanonisk række af problemer om en glemsom abonnent:

Opgave 3

Ved opkald til et telefonnummer glemte abonnenten de sidste to cifre, men husker, at det ene er nul, og det andet er ulige. Find sandsynligheden for, at han vil ringe til det rigtige nummer.

Bemærk : nul er et lige tal (deles med 2 uden en rest)

Løsning: Først finder vi det samlede antal udfald. Ved betingelse husker abonnenten, at et af cifrene er nul, og det andet ciffer er ulige. Her er det mere rationelt ikke at være tricky med kombinatorik og brug metode til direkte liste over resultater . Det vil sige, når vi laver en løsning, skriver vi blot alle kombinationerne ned:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Og vi tæller dem - i alt: 10 udfald.

Der er kun ét gunstigt resultat: det korrekte antal.

Ifølge den klassiske definition:
– sandsynlighed for, at abonnenten vil ringe til det rigtige nummer

Svar: 0,1

Decimalbrøker ser ret passende ud i sandsynlighedsteori, men du kan også overholde den traditionelle Vyshmatov-stil, der kun opererer med almindelige brøker.

Avanceret opgave til selvstændig løsning:

Opgave 4

Abonnenten har glemt PIN-koden til sit SIM-kort, men husker, at den indeholder tre "femere", og et af tallene er enten en "syv" eller en "otte". Hvad er sandsynligheden for vellykket autorisation i første forsøg?

Her kan du også udvikle ideen om sandsynligheden for, at abonnenten vil blive straffet i form af en puk-kode, men ræsonnementet vil desværre gå ud over denne lektion

Løsningen og svaret er nedenfor.

Nogle gange viser kombinationer sig at være en meget omhyggelig opgave. Dette er især tilfældet i den næste, ikke mindre populære gruppe af problemer, hvor der kastes 2 terninger (mindre ofte - større mængder):

Opgave 5

Find sandsynligheden for, at når du kaster to terninger, vil det samlede antal være:

a) fem point;
b) ikke mere end fire point;
c) fra 3 til 9 point inklusive.

Løsning: find det samlede antal resultater:

Måder siden af ​​den 1. terning kan falde ud Og på forskellige måder kan siden af ​​2. terning falde ud; Ved regel for multiplikation af kombinationer, I alt: mulige kombinationer. Med andre ord, hver ansigtet på 1. terning kan være bestilt et par med hver kanten af ​​2. terning. Lad os blive enige om at skrive sådan et par i formen , hvor er det tal, der står på 1. terning, og er det tal, der står på 2. terning. For eksempel:

– den første terning fik 3 point, den anden terning fik 5 point, samlet point: 3 + 5 = 8;
– den første terning fik 6 point, den anden terning fik 1 point, samlet point: 6 + 1 = 7;
– 2 point kastet på begge terninger, sum: 2 + 2 = 4.

Det mindste beløb er naturligvis givet af et par, og det største af to "seksere".

a) Overvej begivenheden: – når du kaster to terninger, vises 5 point. Lad os skrive ned og tælle antallet af udfald, der favoriserer denne begivenhed:

I alt: 4 gunstige resultater. Ifølge den klassiske definition:
– den ønskede sandsynlighed.

b) Overvej begivenheden: – Der vil ikke blive kastet mere end 4 point. Det vil sige enten 2, eller 3 eller 4 point. Igen lister og tæller vi de gunstige kombinationer, til venstre vil jeg skrive det samlede antal point ned, og efter kolon - de passende par:

I alt: 6 gunstige kombinationer. Dermed:
– sandsynligheden for, at der ikke kastes mere end 4 point.

c) Overvej begivenheden: – 3 til 9 point vil kastes, inklusive. Her kan du tage den lige vej, men... af en eller anden grund vil du ikke. Ja, nogle par er allerede blevet opført i de foregående afsnit, men der er stadig meget arbejde at gøre.

Hvad er den bedste måde at komme videre på? I sådanne tilfælde viser en rundkørselssti sig at være rationel. Lad os overveje modsatte begivenhed: – 2 eller 10 eller 11 eller 12 point vil blive kastet.

Hvad er pointen? Den modsatte begivenhed foretrækkes af et betydeligt mindre antal par:

I alt: 7 gunstige resultater.

Ifølge den klassiske definition:
– sandsynligheden for, at du kaster mindre end tre eller mere end 9 point.

Udover direkte notering og optælling af udfald, div kombinatoriske formler. Og igen et episk problem om elevatoren:

Opgave 7

3 personer gik ind i elevatoren i en 20-etagers bygning på første sal. Og lad os gå. Find sandsynligheden for at:

a) de vil gå ud på forskellige etager
b) to vil gå ud på samme etage;
c) alle vil stå af på samme etage.

Vores spændende lektion er nået til ende, og endelig anbefaler jeg endnu en gang kraftigt, at hvis ikke løses, så i det mindste finde ud af yderligere problemer med den klassiske sandsynlighedsbestemmelse. Som jeg allerede har bemærket, betyder "håndpolstring" også noget!

Længere hen ad banen - Geometrisk definition af sandsynlighed Og Sandsynlighedsadditions- og multiplikationssætninger og... held i hovedsagen!

Løsninger og svar:

Opgave 2: Løsning: 30 – 5 = 25 køleskabe fejler intet.

– sandsynligheden for, at et tilfældigt udvalgt køleskab ikke har en defekt.
Svar :

Opgave 4: Løsning: find det samlede antal resultater:
måder, hvorpå du kan vælge det sted, hvor det tvivlsomme nummer er placeret og på hver Af disse 4 steder kan 2 cifre (syv eller otte) lokaliseres. Ifølge reglen om multiplikation af kombinationer er det samlede antal udfald: .
Alternativt kan løsningen blot liste alle resultaterne (heldigvis er der få af dem):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Der er kun ét gunstigt resultat (korrekt pinkode).
Således ifølge den klassiske definition:
– sandsynlighed for, at abonnenten logger ind ved 1. forsøg
Svar :

Opgave 6: Løsning: find det samlede antal resultater:
tal på 2 terninger kan optræde på forskellige måder.

a) Overvej begivenheden: – når du kaster to terninger, vil produktet af pointene være lig med syv. Der er ingen gunstige udfald for en given begivenhed, ifølge den klassiske definition af sandsynlighed:
, dvs. denne begivenhed er umulig.

b) Overvej begivenheden: – når du kaster to terninger, vil produktet af pointene være mindst 20. Følgende resultater er gunstige for denne begivenhed:

I alt: 8
Ifølge den klassiske definition:
– den ønskede sandsynlighed.

c) Overvej de modsatte begivenheder:
– produktet af point vil være lige;
– produktet af point vil være ulige.
Lad os liste alle de gunstige resultater for begivenheden:

I alt: 9 gunstige resultater.
Ifølge den klassiske definition af sandsynlighed:
Modsatte begivenheder udgør en komplet gruppe, derfor:
– den ønskede sandsynlighed.

Svar :

Opgave 8: Løsning: lad os beregne det samlede antal resultater: 10 mønter kan falde på forskellige måder.
En anden måde: måder, hvorpå den 1. mønt kan falde Og måder, hvorpå den 2. mønt kan falde Og … Og måder, hvorpå den 10. mønt kan falde. Ifølge reglen om multiplikation af kombinationer kan der falde 10 mønter måder.
a) Overvej begivenheden: – der vises hoveder på alle mønter. Denne begivenhed er begunstiget af et enkelt udfald ifølge den klassiske definition af sandsynlighed: .
b) Overvej begivenheden: – 9 mønter vil lande hoveder, og en mønt vil lande haler.
Der er mønter, der kan lande på hoveder. Ifølge den klassiske definition af sandsynlighed: .
c) Overvej begivenheden: – der vises hoveder på halvdelen af ​​mønterne.
Eksisterer unikke kombinationer af fem mønter, der kan lande hoveder. Ifølge den klassiske definition af sandsynlighed:
Svar :

Sandsynligheden for en begivenhed forstås som en vis numerisk karakteristik af muligheden for, at denne begivenhed indtræffer. Der er flere tilgange til at bestemme sandsynlighed.

Sandsynlighed for hændelsen EN kaldes forholdet mellem antallet af udfald, der er gunstige for denne begivenhed, og det samlede antal af alle lige mulige uforenelige elementære udfald, der udgør den komplette gruppe. Altså sandsynligheden for hændelsen EN bestemmes af formlen

Hvor m– antallet af gunstige elementære resultater EN, n– antallet af alle mulige elementære testresultater.

Eksempel 3.1. I et eksperiment, der involverer at kaste en terning, antallet af alle udfald n er lig med 6 og de er alle lige mulige. Lad begivenheden EN betyder udseendet af et lige tal. Så for denne begivenhed vil gunstige resultater være udseendet af tallene 2, 4, 6. Deres tal er 3. Derfor er sandsynligheden for begivenheden EN svarende til

Eksempel 3.2. Hvad er sandsynligheden for, at et tocifret tal valgt tilfældigt har de samme cifre?

To-cifrede tal er tal fra 10 til 99, der er 90 sådanne tal i alt. 9 tal har identiske cifre (disse er tallene 11, 22, ..., 99). Siden i dette tilfælde m=9, n=90 altså

Hvor EN– begivenhed, "et tal med de samme cifre."

Eksempel 3.3. I et parti på 10 dele er 7 standard. Find sandsynligheden for, at blandt seks dele taget tilfældigt, er 4 standard.

Det samlede antal mulige elementære testresultater er lig med antallet af måder, hvorpå 6 dele kan udtrækkes fra 10, dvs. antallet af kombinationer af 10 elementer af hver 6 elementer. Lad os bestemme antallet af resultater, der er gunstige for den begivenhed, der er af interesse for os EN(blandt de seks overtagne dele er der 4 standarddele). Fire standarddele kan tages fra syv standarddele på forskellige måder; samtidig skal de resterende 6-4=2 dele være ikke-standard, men du kan tage to ikke-standarddele fra 10-7=3 ikke-standarddele på forskellige måder. Derfor er antallet af gunstige resultater lig med .

Så er den nødvendige sandsynlighed lig med

Følgende egenskaber følger af definitionen af ​​sandsynlighed:

1. Sandsynligheden for en pålidelig hændelse er lig med én.

Faktisk, hvis begivenheden er pålidelig, så favoriserer hvert elementært resultat af testen begivenheden. I dette tilfælde m=n altså

2. Sandsynligheden for en umulig hændelse er nul.

Faktisk, hvis en begivenhed er umulig, så favoriserer ingen af ​​testens elementære resultater begivenheden. I dette tilfælde betyder det

3. Sandsynligheden for en tilfældig hændelse er et positivt tal mellem nul og én.

Faktisk er kun en del af det samlede antal elementære udfald af testen begunstiget af en tilfældig begivenhed. I dette tilfælde< m< n, betyder 0 < m/n < 1, dvs. 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Konstruktionen af ​​en logisk fuldstændig sandsynlighedsteori er baseret på den aksiomatiske definition af en tilfældig begivenhed og dens sandsynlighed. I systemet af aksiomer foreslået af A. N. Kolmogorov er de udefinerede begreber en elementær begivenhed og sandsynlighed. Her er de aksiomer, der definerer sandsynlighed:

1. Hver begivenhed EN tildelt et ikke-negativt reelt tal P(A). Dette tal kaldes sandsynligheden for hændelsen EN.

2. Sandsynligheden for en pålidelig hændelse er lig med én.

3. Sandsynligheden for forekomsten af ​​mindst én af de parvis uforenelige hændelser er lig med summen af ​​sandsynligheden for disse hændelser.

Baseret på disse aksiomer udledes sandsynlighedernes egenskaber og afhængighederne mellem dem som sætninger.

Selvtest spørgsmål

1. Hvad er navnet på den numeriske karakteristik af muligheden for, at en begivenhed indtræffer?

2. Hvad er sandsynligheden for en hændelse?

3. Hvad er sandsynligheden for en pålidelig hændelse?

4. Hvad er sandsynligheden for en umulig begivenhed?

5. Hvad er grænserne for sandsynligheden for en tilfældig hændelse?

6. Hvad er grænserne for sandsynligheden for enhver begivenhed?

7. Hvilken definition af sandsynlighed kaldes klassisk?