Detaljer Visninger: 2154

Formel for total sandsynlighed og Bayes formler

I denne lektion vil vi se på en vigtig konsekvens additions- og multiplikationssætninger for sandsynligheder og lære at løse typiske problemer om emnet. Læsere der har læst artiklen om afhængige begivenheder, vil det være enklere, da vi i det faktisk allerede er begyndt at bruge den samlede sandsynlighedsformel. Hvis du kom fra en søgemaskine og/eller ikke forstår sandsynlighedsteori (link til kursets 1. lektion), så anbefaler jeg at besøge disse sider først.

Faktisk, lad os fortsætte. Lad os overveje afhængig begivenhed, som kun kan opstå som følge af implementeringen af ​​en af ​​de inkompatible hypoteser , hvilken form fuld gruppe. Lad deres sandsynligheder og de tilsvarende betingede sandsynligheder være kendt. Så er sandsynligheden for, at hændelsen indtræffer:

Denne formel kaldes formler for total sandsynlighed. I lærebøger er det formuleret som en sætning, hvis bevis er elementært: iflg algebra af begivenheder, (en begivenhed indtraf Og eller en begivenhed indtraf Og efter det kom en begivenhed eller en begivenhed indtraf Og efter det kom en begivenhed eller …. eller en begivenhed indtraf Og efter det kom en begivenhed). Siden hypoteser er uforenelige, og begivenheden er afhængig, så iflg teoremet om tilføjelse af sandsynligheder for uforenelige hændelser (første skridt) Og teorem om multiplikation af sandsynligheder for afhængige hændelser (andet trin):

Mange forudser sikkert indholdet af det første eksempel =)

Hvor end du spytter, er der en urne:

Opgave 1

Der er tre ens urner. Den første urne indeholder 4 hvide og 7 sorte kugler, den anden - kun hvide og den tredje - kun sorte kugler. En urne vælges tilfældigt, og der trækkes en kugle tilfældigt fra den. Hvad er sandsynligheden for, at denne kugle er sort?

Løsning: overvej begivenheden - en sort kugle vil blive trukket fra en tilfældigt valgt urne. Denne hændelse kan opstå som et resultat af en af ​​følgende hypoteser:
- den 1. urne vil blive valgt;
- den 2. urne vil blive valgt;
- den 3. urne bliver valgt.

Da urnen er valgt tilfældigt, er valget af en af ​​de tre urner lige så muligt, derfor:

Bemærk venligst, at ovenstående hypoteser dannes hele gruppen af ​​arrangementer, det vil sige, at der ifølge betingelsen kun kan komme en sort kugle fra disse urner, og den kan fx ikke komme fra et billardbord. Lad os lave et simpelt mellemtjek:
, OK, lad os gå videre:

Den første urne indeholder 4 hvide + 7 sorte = 11 kugler, hver klassisk definition:
- sandsynlighed for at trække en sort kugle givet det, at 1. urne bliver valgt.

Den anden urne indeholder kun hvide kugler, så hvis valgt udseendet af den sorte kugle bliver umulig: .

Og endelig indeholder den tredje urne kun sorte kugler, hvilket betyder det tilsvarende betinget sandsynlighed udvinding af den sorte kugle vil være (begivenheden er pålidelig).

- sandsynligheden for, at en sort kugle bliver trukket fra en tilfældigt valgt urne.

Svar:

Det analyserede eksempel antyder igen, hvor vigtigt det er at dykke ned i TILSTANDEN. Lad os tage de samme problemer med urner og bolde - på trods af deres eksterne lighed kan løsningsmetoderne være helt anderledes: et eller andet sted behøver du kun at bruge klassisk definition af sandsynlighed, et eller andet sted begivenheder uafhængig, et eller andet sted afhængig, og et eller andet sted taler vi om hypoteser. Samtidig er der ikke et klart formelt kriterium for valg af løsning – man skal næsten altid tænke sig om. Hvordan forbedrer du dine færdigheder? Vi bestemmer, vi bestemmer og vi bestemmer igen!

Opgave 2

Skydebanen har 5 rifler med varierende nøjagtighed. Sandsynligheden for at ramme målet for en given skytte er henholdsvis lige store og 0,4. Hvad er sandsynligheden for at ramme målet, hvis skytten affyrer et skud fra en tilfældigt udvalgt riffel?

En kort løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

I de fleste tematiske problemer er hypoteserne naturligvis ikke lige sandsynlige:

Opgave 3

Der er 5 rifler i pyramiden, hvoraf tre er udstyret med et optisk sigte. Sandsynligheden for, at en skytte rammer målet, når han affyrer en riffel med et kikkertsigte, er 0,95; for en riffel uden optisk sigte er denne sandsynlighed 0,7. Find sandsynligheden for, at målet bliver ramt, hvis skytten affyrer et skud fra en riffel taget tilfældigt.

Løsning: i dette problem er antallet af rifler nøjagtigt det samme som i det foregående, men der er kun to hypoteser:
- skytten vælger en riffel med et optisk sigte;
- skytten vælger en riffel uden optisk sigte.
Ved klassisk definition af sandsynlighed: .
Styring:

Overvej begivenheden: - en skytte rammer et mål med en riffel taget tilfældigt.
Efter betingelse:.

Ifølge den samlede sandsynlighedsformel:

Svar: 0,85

I praksis er en forkortet måde at formatere en opgave på, som du også er bekendt med, ganske acceptabel:

Løsning: ifølge den klassiske definition: - sandsynligheden for at vælge en riffel med henholdsvis optisk sigte og uden optisk sigte.

Efter betingelse, - sandsynligheden for at ramme målet fra de tilsvarende typer rifler.

Ifølge den samlede sandsynlighedsformel:
- sandsynligheden for, at en skytte rammer et mål med en tilfældigt udvalgt riffel.

Svar: 0,85

Følgende opgave skal du løse på egen hånd:

Opgave 4

Motoren fungerer i tre tilstande: normal, tvungen og tomgang. I inaktiv tilstand er sandsynligheden for dens fejl 0,05, i normal driftstilstand - 0,1 og i tvungen tilstand - 0,7. 70 % af tiden kører motoren i normal tilstand og 20 % i forceret tilstand. Hvad er sandsynligheden for motorfejl under drift?

For en sikkerheds skyld, så lad mig minde dig om, at for at få sandsynlighedsværdierne skal procenterne divideres med 100. Vær meget forsigtig! Ifølge mine observationer forsøger folk ofte at forveksle betingelserne for problemer, der involverer den samlede sandsynlighedsformel; og jeg valgte specifikt dette eksempel. Jeg skal fortælle dig en hemmelighed - jeg blev næsten selv forvirret =)

Løsning i slutningen af ​​lektionen (formateret på en kort måde)

Problemer med at bruge Bayes' formler

Materialet er tæt forbundet med indholdet af det foregående afsnit. Lad begivenheden opstå som et resultat af implementeringen af ​​en af ​​hypoteserne . Hvordan bestemmer man sandsynligheden for, at en bestemt hypotese fandt sted?

I betragtning af det den begivenhed allerede er sket, hypotesesandsynligheder overvurderet ifølge formlerne, der modtog navnet på den engelske præst Thomas Bayes:

- sandsynligheden for, at hypotesen fandt sted;
- sandsynligheden for, at hypotesen fandt sted;
…
- sandsynligheden for, at hypotesen fandt sted.

Ved første øjekast virker det fuldstændig absurd - hvorfor genberegne hypotesers sandsynligheder, hvis de allerede er kendte? Men faktisk er der en forskel:

Det her a priori(anslået Før test) sandsynlighed.

Det her a posteriori(anslået efter test) sandsynligheder for de samme hypoteser, genberegnet i forbindelse med "nyopdagede omstændigheder" - under hensyntagen til, at begivenheden helt sikkert sket.

Lad os se på denne forskel med et specifikt eksempel:

Opgave 5

2 partier af produkter ankom til lageret: den første - 4000 stykker, den anden - 6000 stykker. Den gennemsnitlige procentdel af ikke-standardprodukter i det første parti er 20%, og i det andet - 10%. Produktet taget fra lageret tilfældigt viste sig at være standard. Find sandsynligheden for, at det er: a) fra den første batch, b) fra den anden batch.

Første del løsninger består i at bruge totalsandsynlighedsformlen. Med andre ord, beregninger udføres under den antagelse, at testen endnu ikke produceret og begivenhed "produktet viste sig at være standard" ikke endnu.

Lad os overveje to hypoteser:
- et produkt taget tilfældigt vil være fra 1. batch;
- et produkt taget tilfældigt vil være fra 2. batch.

I alt: 4000 + 6000 = 10000 varer på lager. Ifølge den klassiske definition:
.

Styring:

Lad os overveje den afhængige hændelse: - Et produkt taget tilfældigt fra lageret vil være standard.

I det første parti 100 % - 20 % = 80 % standardprodukter, derfor: givet det at den tilhører 1. part.

Tilsvarende, i anden batch 100 % - 10 % = 90 % af standardprodukter og - sandsynligheden for, at et produkt taget tilfældigt fra et lager vil være standard givet det at den tilhører 2. part.

Ifølge den samlede sandsynlighedsformel:
- sandsynligheden for, at et produkt taget tilfældigt fra et lager vil være standard.

Del to. Lad et produkt taget tilfældigt fra et lager vise sig at være standard. Denne sætning er direkte angivet i betingelsen, og den angiver det faktum, at begivenheden skete.

Ifølge Bayes formler:

a) - sandsynligheden for, at det valgte standardprodukt tilhører 1. batch;

b) - sandsynligheden for, at det valgte standardprodukt tilhører 2. batch.

Efter opskrivning hypoteser opstår naturligvis stadig fuld gruppe:
(undersøgelse;-))

Svar:

Ivan Vasilyevich, som igen ændrede sit erhverv og blev direktør for anlægget, vil hjælpe os med at forstå betydningen af ​​revalueringen af ​​hypoteser. Han ved, at 1. værksted i dag sendte 4.000 varer til lageret, og 2. værksted - 6.000 varer, og kommer for at sørge for dette. Lad os antage, at alle produkter er af samme type og er i samme beholder. Naturligvis beregnede Ivan Vasilyevich foreløbigt, at det produkt, han nu ville fjerne til inspektion, højst sandsynligt ville blive produceret af det 1. værksted og højst sandsynligt af det andet. Men efter at det valgte produkt viser sig at være standard, udbryder han: “Sikke en sej bolt! "Den blev snarere udgivet af den 2. workshop." Således er sandsynligheden for den anden hypotese overvurderet til det bedre, og sandsynligheden for den første hypotese er undervurderet: . Og denne opskrivning er ikke ubegrundet - 2. værksted producerede trods alt ikke kun flere produkter, men fungerer også 2 gange bedre!

Ren subjektivisme, siger du? Til dels - ja i øvrigt tolkede Bayes selv a posteriori sandsynligheder som tillidsniveau. Det er dog ikke alt, der er så simpelt – der er også et objektivt korn i den Bayesianske tilgang. Trods alt er sandsynligheden for, at produktet vil være standard (0,8 og 0,9 for henholdsvis 1. og 2. workshop) Det her indledende(a priori) og gennemsnit vurderinger. Men når vi taler filosofisk, flyder alt, alt ændrer sig, inklusive sandsynligheder. Det er meget muligt på studietidspunktet den mere succesrige 2. workshop øgede procentdelen af ​​producerede standardprodukter (og/eller 1. workshop reduceret), og hvis du tjekker et større antal eller alle 10 tusinde produkter på lageret, vil de overvurderede værdier vise sig at være meget tættere på sandheden.

Forresten, hvis Ivan Vasilyevich udtrækker en ikke-standard del, så vil han tværtimod være mere "mistænksom" over for det 1. værksted og mindre af det andet. Jeg foreslår, at du selv tjekker dette ud:

Opgave 6

2 partier af produkter ankom til lageret: den første - 4000 stykker, den anden - 6000 stykker. Den gennemsnitlige procentdel af ikke-standardprodukter i det første parti er 20%, i det andet - 10%. Produktet, der tilfældigt blev taget fra lageret, viste sig at være Ikke standard. Find sandsynligheden for, at det er: a) fra den første batch, b) fra den anden batch.

Tilstanden er kendetegnet ved to bogstaver, som jeg har fremhævet med fed. Problemet kan løses fra bunden, eller ved at bruge resultaterne af tidligere beregninger. I prøven udførte jeg en komplet løsning, men for at undgå ethvert formelt overlap med opgave nr. 5, var begivenheden "et produkt taget tilfældigt fra et lager vil være ikke-standard" angivet med.

Det Bayesianske skema til genvurdering af sandsynligheder findes overalt, og det udnyttes også aktivt af forskellige typer svindlere. Lad os overveje et aktieselskab med tre bogstaver, der er blevet et kendt navn, som tiltrækker indskud fra offentligheden, angiveligt investerer dem et sted, regelmæssigt udbetaler udbytte osv. Hvad sker der? Dag efter dag, måned efter måned går, og flere og flere nye fakta, formidlet gennem reklamer og mund til mund, øger kun tilliden til den finansielle pyramide (posteriori Bayesiansk genvurdering på grund af tidligere begivenheder!). Det vil sige, at der i investorernes øjne er en konstant stigning i sandsynligheden for, at "det er en seriøs virksomhed"; mens sandsynligheden for den modsatte hypotese ("disse er bare flere svindlere") selvfølgelig falder og falder. Det, der følger, synes jeg, er klart. Det er bemærkelsesværdigt, at det optjente ry giver arrangørerne tid til med succes at skjule sig fra Ivan Vasilyevich, som ikke kun blev efterladt uden et parti bolte, men også uden bukser.

Vi vender tilbage til lige så interessante eksempler lidt senere, men for nu er næste skridt måske det mest almindelige tilfælde med tre hypoteser:

Opgave 7

Elektriske lamper fremstilles på tre fabrikker. Den 1. plante producerer 30% af det samlede antal lamper, den 2. - 55%, og den 3. - resten. Produkterne fra den 1. plante indeholder 1% af defekte lamper, den 2. - 1,5%, den 3. - 2%. Butikken modtager produkter fra alle tre fabrikker. Den købte lampe viste sig at være defekt. Hvad er sandsynligheden for, at det er produceret af anlæg 2?

Bemærk, at i problemer på Bayes formler i tilstanden Nødvendigvis der er en vis hvad skete der begivenhed, i dette tilfælde køb af en lampe.

Begivenheder er steget, og løsning Det er mere praktisk at arrangere det i en "hurtig" stil.

Algoritmen er nøjagtig den samme: I det første trin finder vi sandsynligheden for, at den købte lampe viser sig at være defekt.

Ved at bruge de indledende data omregner vi procenter til sandsynligheder:
- sandsynligheden for, at lampen er produceret af henholdsvis 1., 2. og 3. fabrik.
Styring:

Tilsvarende: - sandsynligheden for at producere en defekt lampe til de tilsvarende fabrikker.

Ifølge den samlede sandsynlighedsformel:

- sandsynligheden for, at den købte lampe er defekt.

Trin to. Lad den købte lampe vise sig at være defekt (hændelsen indtraf)

Ifølge Bayes' formel:
- sandsynligheden for, at den købte defekte lampe er fremstillet af en anden fabrik

Svar:

Hvorfor steg den initiale sandsynlighed for 2. hypotese efter revaluering? Den anden plante producerer trods alt lamper af gennemsnitlig kvalitet (den første er bedre, den tredje er værre). Så hvorfor steg det a posteriori Er det muligt, at den defekte lampe er fra 2. anlæg? Dette forklares ikke længere med "omdømme", men med størrelse. Da anlæg nr. 2 producerede det største antal lamper (mere end halvdelen), er den subjektive karakter af overvurderingen i det mindste logisk ("mest sandsynligt er denne defekte lampe derfra").

Det er interessant at bemærke, at sandsynligheden for 1. og 3. hypotese blev overvurderet i de forventede retninger og blev ens:

Styring: , hvilket var det, der skulle tjekkes.

Forresten, om undervurderede og overvurderede estimater:

Opgave 8

I elevgruppen har 3 personer et højt uddannelsesniveau, 19 personer har et gennemsnitsniveau og 3 personer har et lavt niveau. Sandsynligheden for at bestå eksamen for disse studerende er henholdsvis lig med: 0,95; 0,7 og 0,4. Det er kendt, at nogle studerende bestod eksamen. Hvad er sandsynligheden for at:

a) han var forberedt meget godt;
b) var moderat forberedt;
c) var dårligt forberedt.

Udfør beregninger og analyser resultaterne af re-evaluering af hypoteserne.

Opgaven er tæt på virkeligheden og er især plausibel for en gruppe deltidsstuderende, hvor læreren stort set ikke har kendskab til en bestemt elevs evner. I dette tilfælde kan resultatet forårsage ret uventede konsekvenser. (især til eksamen på 1. semester). Hvis en dårligt forberedt elev er heldig nok til at få en billet, vil læreren sandsynligvis betragte ham som en god elev eller endda en stærk elev, hvilket vil give godt udbytte i fremtiden (Selvfølgelig skal du "hæve barren" og vedligeholde dit image). Hvis en studerende studerede, proppede og gentog i 7 dage og 7 nætter, men simpelthen var uheldig, så kan yderligere begivenheder udvikle sig på den værst tænkelige måde - med talrige gentagninger og balancering på randen af ​​eliminering.

Det er overflødigt at sige, at omdømme er den vigtigste kapital; det er ikke tilfældigt, at mange virksomheder bærer navnene på deres grundlæggere, som ledede virksomheden for 100-200 år siden og blev berømte for deres upåklagelige omdømme.

Ja, den bayesianske tilgang er til en vis grad subjektiv, men ... sådan fungerer livet!

Lad os konsolidere materialet med et endeligt industrielt eksempel, hvor jeg vil tale om hidtil ukendte tekniske forviklinger af løsningen:

Opgave 9

Tre værksteder i anlægget producerer den samme type dele, som sendes til en fælles container til montering. Det er kendt, at det første værksted producerer 2 gange flere dele end det andet værksted og 4 gange mere end det tredje værksted. I det første værksted er fejlprocenten 12%, i det andet - 8%, i det tredje - 4%. Til kontrol tages en del fra beholderen. Hvad er sandsynligheden for, at den er defekt? Hvad er sandsynligheden for, at den udtrukne defekte del er produceret af det 3. værksted?

Ivan Vasilyevich er på hesteryg igen =) Filmen må have en lykkelig slutning =)

Løsning: i modsætning til opgave nr. 5-8 stilles her eksplicit et spørgsmål, som løses ved hjælp af totalsandsynlighedsformlen. Men på den anden side er tilstanden lidt "krypteret", og skolens evne til at sammensætte simple ligninger vil hjælpe os med at løse dette puslespil. Det er praktisk at tage den mindste værdi som "x":

Lad være andelen af ​​dele produceret af det tredje værksted.

Det første værksted producerer efter betingelsen 4 gange mere end det tredje værksted, så andelen af ​​1. værksted er .

Derudover producerer det første værksted 2 gange flere produkter end det andet værksted, hvilket betyder andelen af ​​sidstnævnte: .

Lad os skabe og løse ligningen:

Altså: - sandsynligheden for, at den del, der er fjernet fra containeren, er produceret af henholdsvis 1., 2. og 3. værksted.

Styring: . Derudover ville det ikke skade at se på sætningen igen "Det er kendt, at det første værksted producerer produkter 2 gange mere end det andet værksted og 4 gange mere end det tredje værksted." og sørg for, at de opnåede sandsynlighedsværdier faktisk svarer til denne betingelse.

I første omgang kunne man tage andelen af ​​1. eller andelen af ​​2. workshop som "X" - sandsynligheden ville være den samme. Men på en eller anden måde er den sværeste del overstået, og løsningen er på vej:

Fra tilstanden finder vi:
- sandsynligheden for at fremstille en defekt del til de relevante værksteder.

Ifølge den samlede sandsynlighedsformel:
- sandsynligheden for, at en del, der tilfældigt fjernes fra en beholder, viser sig at være ikke-standard.

Spørgsmål to: hvad er sandsynligheden for, at den udtrukne defekte del er produceret af det 3. værksted? Dette spørgsmål forudsætter, at delen allerede er blevet fjernet, og den viste sig at være defekt. Vi revurderer hypotesen ved hjælp af Bayes' formel:
- den ønskede sandsynlighed. Fuldstændig forventet - det tredje værksted producerer trods alt ikke kun den mindste andel af dele, men fører også i kvalitet!

Hvis begivenheden EN kan kun ske, når en af ​​de begivenheder, der dannes en komplet gruppe af uforenelige begivenheder , derefter sandsynligheden for hændelsen EN beregnet med formlen

Denne formel kaldes formel for total sandsynlighed .

Lad os igen overveje den komplette gruppe af uforenelige begivenheder, hvis sandsynligheder . Begivenhed EN kan kun ske sammen med nogen af ​​de begivenheder, som vi vil kalde hypoteser . Derefter ifølge den samlede sandsynlighedsformel

Hvis begivenheden EN sket, kan dette ændre sandsynligheden for hypoteserne .

Ved sandsynlighedsmultiplikationssætningen

.

Tilsvarende for de resterende hypoteser

Den resulterende formel kaldes Bayes formel (Bayes formel ). Hypotesernes sandsynligheder kaldes posteriore sandsynligheder , hvorimod - tidligere sandsynligheder .

Eksempel. Butikken modtog nye varer fra tre fabrikker. Den procentvise sammensætning af disse produkter er som følger: 20% - produkter fra den første virksomhed, 30% - produkter fra den anden virksomhed, 50% - produkter fra den tredje virksomhed; endvidere er 10 % af produkterne i den første virksomhed af højeste kvalitet, hos den anden virksomhed - 5 % og ved den tredje - 20 % af produkterne af højeste kvalitet. Find sandsynligheden for, at et tilfældigt købt nyt produkt vil være af højeste kvalitet.

Løsning. Lad os betegne med I den begivenhed, at produkter af højeste kvalitet vil blive købt, betegner vi med de begivenheder, der består i køb af produkter, der tilhører henholdsvis første, anden og tredje virksomhed.

Du kan anvende den samlede sandsynlighedsformel og i vores notation:

Ved at erstatte disse værdier i den samlede sandsynlighedsformel opnår vi den ønskede sandsynlighed:

Eksempel. En af de tre skytter bliver kaldt til skudlinjen og afgiver to skud. Sandsynligheden for at ramme målet med et skud for den første skytte er 0,3, for den anden - 0,5; for den tredje - 0,8. Målet er ikke ramt. Find sandsynligheden for, at skuddene blev affyret af den første skytte.

Løsning. Tre hypoteser er mulige:

Den første skytte bliver kaldt til skudlinjen,

Den anden skytte bliver kaldt til skudlinjen,

En tredje skytte bliver kaldt til skudlinjen.

Da det er lige så muligt at kalde enhver skytte ind i skudlinjen

Som et resultat af forsøget blev hændelse B observeret - efter skuddene blev affyret, blev målet ikke ramt. De betingede sandsynligheder for denne begivenhed under de opstillede hypoteser er lig med:

Ved hjælp af Bayes-formlen finder vi sandsynligheden for hypotesen efter eksperimentet:

Eksempel. Tre automatiske maskiner behandler dele af samme type, som efter forarbejdning overføres til en fælles transportør. Den første maskine producerer 2% af fejlene, den anden - 7%, den tredje - 10%. Produktiviteten af ​​den første maskine er 3 gange større end produktiviteten af ​​den anden, og den tredje er 2 gange mindre end den anden.

a) Hvad er fejlprocenten på samlebåndet?

b) Hvad er andelen af ​​dele fra hver maskine blandt de defekte dele på transportøren?

Løsning. Lad os tage én del tilfældigt fra samlebåndet og overveje begivenhed A – delen er defekt. Det er forbundet med hypoteser om, hvor denne del blev behandlet: - en del taget tilfældigt blev behandlet på maskinen.

Betingede sandsynligheder (i problemformuleringen er de angivet i form af procenter):

Afhængighederne mellem maskinproduktivitet betyder følgende:

Og da hypoteserne danner en komplet gruppe, så .

Efter at have løst det resulterende ligningssystem finder vi: .

a) Den samlede sandsynlighed for, at en del taget tilfældigt fra samlebåndet er defekt:

Med andre ord, blandt massen af ​​dele, der kommer fra samlebåndet, udgør defekter 4%.

b) Lad det være kendt, at den del, der er taget tilfældigt, er defekt. Ved at bruge Bayes' formel finder vi de betingede sandsynligheder for hypoteserne:

I den samlede masse af defekte dele på transportøren er andelen af ​​den første maskine således 33%, den anden - 39%, den tredje - 28%.

Praktiske opgaver

Øvelse 1

Løsning af problemer inden for sandsynlighedsteoriens hovedgrene

Målet er at opnå praktiske færdigheder i at løse problemer i

grene af sandsynlighedsteori

Forberedelse til praktisk opgave

Sæt dig ind i teoretisk materiale om dette emne, studer indholdet af det teoretiske materiale, samt de relevante afsnit i litterære kilder

Fremgangsmåde for udførelse af opgaven

Løs 5 problemer i henhold til nummeret på opgavemuligheden givet i tabel 1.

Indstillinger for kildedata

tabel 1

	opgavenummer

Sammensætning af rapporten om opgave 1

5 løste problemer i henhold til optionnummer.

Problemer, der skal løses selvstændigt

1.. Er følgende grupper af begivenheder tilfælde: a) erfaring - kaste en mønt; begivenheder: A1- våbenskjoldets udseende; A2- udseendet af et nummer; b) eksperiment - kaste to mønter; begivenheder: I 1- udseendet af to våbenskjolde; AT 2 - udseendet af to tal; AT 3- udseendet af et våbenskjold og et nummer; c) erfaring - at kaste en terning; begivenheder: C1 - udseendet af ikke mere end to punkter; C2 - udseendet af tre eller fire punkter; C3 - udseende på mindst fem punkter; d) erfaring - skydning mod et mål; begivenheder: D1- hit; D2- gå glip af; e) erfaring - to skud mod et mål; begivenheder: E0- ikke et eneste hit; E1- ét hit; E2- to hits; f) erfaring - fjernelse af to kort fra bunken; begivenheder: F1 - udseendet af to røde kort; F2- udseendet af to sorte kort?

2. I urnen er A hvide og B sorte kugler. En kugle trækkes tilfældigt fra urnen. Find sandsynligheden for, at denne kugle er hvid.

3. I urne A hvid og B sorte kugler. Den ene kugle tages fra urnen og lægges til side. Denne bold viste sig at være hvid. Herefter tages endnu en kugle fra urnen. Find sandsynligheden for, at denne bold også bliver hvid.

4. I urne A hvid og B sorte kugler. Den ene kugle blev taget ud af urnen, og uden at se blev den lagt til side. Herefter blev endnu en bold taget fra urnen. Han viste sig at være hvid. Find sandsynligheden for, at den første bold, der lægges til side, også er hvid.

5. Fra urnen med A hvid og B sorte kugler, tag alle kuglerne ud én efter én, undtagen én. Find sandsynligheden for, at den sidste kugle, der er tilbage i urnen, bliver hvid.

6. Fra den urne, hvori A hvide kugler og B sort, tag alle kuglerne i den ud i en række. Find sandsynligheden for, at den hvide kugle bliver trukket i anden rækkefølge.

7. Der er A hvide og B sorte kugler i en urne (EN > 2). To bolde tages fra urnen på én gang. Find sandsynligheden for, at begge kugler er hvide.

8. I urnen er A hvide og B sorte kugler (A > 2, B > 3). Fem bolde tages fra urnen på én gang. Find sandsynlighed R at to af dem bliver hvide og tre sorte.

9. I et spil bestående af X tilgængelige produkter jeg defekt. Udvalgt fra partiet til kontrol I Produkter. Find sandsynlighed R hvem af dem er præcis J produkter vil være defekte.

10. Terningen slås én gang. Find sandsynligheden for følgende hændelser: A - udseendet af et lige antal punkter; I- udseende på mindst 5 point; MED- udseende ikke mere end 5 point.

11. Terningerne kastes to gange. Find sandsynlighed R at det samme antal point vises begge gange.

12. To terninger kastes på samme tid. Find sandsynligheden for følgende hændelser: EN- summen af ​​de trukket point er 8; I- produktet af de rullede punkter er 8; MED- summen af ​​de rullede point er større end deres produkt.

13. To mønter bliver kastet. Hvilken af ​​følgende hændelser er mest sandsynlig: A - mønterne vil ligge på de samme sider; IN - vil mønterne ende på forskellige sider?

14. I urne A hvid og B sorte kugler (EN > 2; B > 2). To bolde trækkes fra urnen på samme tid. Hvilken begivenhed er mere sandsynlig: EN- bolde af samme farve; IN - kugler i forskellige farver?

15. Tre spillere spiller kort. Hver af dem fik 10 kort, og to kort var tilbage i lodtrækningen. En af spillerne ser, at han har 6 kort med ruder og 4 ikke-ruder i hænderne. Han kasserer to af disse fire kort og tager et træk for sig selv. Find sandsynligheden for, at han køber to diamanter.

16. Fra en urne indeholdende P nummererede kugler, alle kuglerne i den tages ud tilfældigt, den ene efter den anden. Find sandsynligheden for, at tallene på de trukne kugler vil være i rækkefølge: 1, 2,..., P.

17. Samme urne som i forrige opgave, men efter hver kugle er taget ud, sættes den tilbage i og blandes med andre, og dens nummer skrives ned. Find sandsynligheden for, at en naturlig talfølge bliver skrevet: 1, 2,..., n.

18. Et helt sæt kort (52 ark) deles tilfældigt i to lige store pakker med hver 26 ark. Find sandsynligheden for følgende hændelser: A - hver pakke vil indeholde to esser; I- en af ​​pakkerne vil ikke indeholde et enkelt es, og den anden vil ikke have alle fire; S-v en af ​​pakkerne vil have et es, og den anden vil have tre.

19. 18 hold deltager i basketball mesterskabet, hvoraf to grupper på hver 9 hold er tilfældigt dannet. Der er 5 hold blandt konkurrencedeltagerne

ekstra klasse. Find sandsynligheden for følgende hændelser: A - alle topklassehold vil være i samme gruppe; I- to topklassehold falder i den ene af grupperne, og tre - i den anden.

20. Tal skrives på ni kort: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. To af dem tages ud tilfældigt og lægges på bordet i den rækkefølge, de vises, hvorefter det resulterende tal læses , for eksempel 07 (syv), 14 ( fjorten) osv. Find sandsynligheden for, at tallet bliver lige.

21. Tallene er skrevet på fem kort: 1, 2, 3, 4, 5. To af dem efter hinanden tages ud. Find sandsynligheden for, at tallet på det andet kort vil være større end tallet på det første.

22. Samme spørgsmål som i opgave 21, men efter det første kort er taget ud, lægges det tilbage og blandes med resten, og tallet på det skrives ned.

23. I urne A hvid, B sorte og C røde kugler. Alle kuglerne i den tages ud af urnen én efter én, og deres farver registreres. Find sandsynligheden for, at hvid vises på denne liste før sort.

24. Der er to urner: i det første A hvid og B sorte kugler; i det andet C hvid og D sort. Der trækkes en kugle fra hver urne. Find sandsynligheden for, at begge kugler er hvide.

25. I betingelserne for opgave 24, find sandsynligheden for, at de trukne kugler vil have forskellige farver.

26. Der er syv åbninger i revolvertromlen, fem af dem indeholder patroner, og to efterlades tomme. Tromlen drejes, som et resultat af hvilket en af ​​rederne tilfældigt dukker op mod stammen. Herefter trykkes på aftrækkeren; hvis cellen var tom, sker skuddet ikke. Find sandsynlighed R det faktum, at efter at have gentaget dette eksperiment to gange i træk, vil vi ikke skyde begge gange.

27. Find under de samme forhold (se opgave 26) sandsynligheden for, at skuddet vil forekomme begge gange.

28. Urnen indeholder A; bolde markeret med tallene 1, 2, ..., Til Fra urnen jeg en kugle ad gangen tages ud (JEG<к), Kuglenummeret registreres og bolden lægges tilbage i urnen. Find sandsynlighed R at alle registrerede numre vil være forskellige.

29. Ordet "bog" består af fem bogstaver i det delte alfabet. Et barn, der ikke kan læse, spredte disse bogstaver og samlede dem derefter i tilfældig rækkefølge. Find sandsynlighed R at han fandt på ordet "bog" igen.

30. Ordet "ananas" er lavet af bogstaverne i det delte alfabet. Et barn, der ikke kan læse, spredte disse bogstaver og samlede dem derefter i tilfældig rækkefølge. Find sandsynlighed R at han har ordet "ananas" igen

31. Flere kort trækkes fra et fuldt sæt kort (52 ark, 4 farver). Hvor mange kort skal der tages ud for at sige med en sandsynlighed større end 0,50, at der blandt dem vil være kort i samme kulør?

32. N folk sidder tilfældigt ved et rundt bord (N> 2). Find sandsynlighed R at to faste personer EN Og I vil være i nærheden.

33. Det samme problem (se 32), men tabellen er rektangulær, og N folk sidder tilfældigt langs den ene side.

34. Lottotønder har tal fra 1 til N. Af disse N To tønder er tilfældigt udvalgt. Find sandsynligheden for, at begge tønder indeholder tal mindre end k (2

35. Lottotønder har tal fra 1 til N. Af disse N To tønder er tilfældigt udvalgt. Find sandsynligheden for, at en af ​​tønderne indeholder et tal større end k , og på den anden - mindre end k . (2

36. Batteri fra M våben skyder mod en gruppe bestående af N mål (M< N). Kanonerne vælger deres mål sekventielt, tilfældigt, forudsat at ikke to kanoner kan skyde mod det samme mål. Find sandsynlighed R at mål nummereret 1, 2,... vil blive beskudt M.

37.. Batteri bestående af Til våben, skyder mod en gruppe bestående af jeg fly (Til< 2). Hvert våben vælger sit mål tilfældigt og uafhængigt af de andre. Find sandsynligheden for, at alt Til våben vil skyde mod det samme mål.

38. Find sandsynligheden for, at alle våben vil skyde mod forskellige mål under betingelserne i det foregående problem.

39. Fire bolde er spredt tilfældigt over fire huller; hver bold falder i et eller andet hul med samme sandsynlighed og uafhængigt af de andre (der er ingen forhindringer for, at flere bolde falder ned i samme hul). Find sandsynligheden for, at der vil være tre bolde i et af hullerne, den ene i den anden og ingen bolde i de to andre huller.

40. Masha skændtes med Petya og ønsker ikke at køre på den samme bus med ham. Der er 5 busser fra vandrerhjemmet til instituttet fra 7 til 8. Enhver, der ikke når disse busser, kommer for sent til foredraget. På hvor mange måder kan Masha og Petya komme til instituttet på forskellige busser og ikke komme for sent til foredraget?

41. Bankens informationsteknologiafdeling beskæftiger 3 analytikere, 10 programmører og 20 ingeniører. Til overarbejde på ferie skal afdelingslederen tildele én medarbejder. På hvor mange måder kan dette gøres?

42. Lederen af ​​bankens vagttjeneste skal hver dag placere 10 vagter på 10 poster. På hvor mange måder kan dette gøres?

43. Bankens nye direktør skal udpege 2 nye vicedirektører blandt 10 direktører. På hvor mange måder kan dette gøres?

44. En af de stridende parter fangede 12 og de andre 15 fanger. På hvor mange måder kan 7 krigsfanger udveksles?

45. Petya og Masha samler på videodiske. Petya har 30 komedier, 80 actionfilm og 7 melodramaer, Masha har 20 komedier, 5 actionfilm og 90 melodramaer. På hvor mange måder kan Petya og Masha udveksle 3 komedier, 2 actionfilm og 1 melodrama?

46. ​​På hvor mange måder kan Petya og Masha udveksle 3 melodramaer og 5 komedier under betingelserne for problem 45?

47. Under betingelserne for problem 45, på hvor mange måder kan Petya og Masha udveksle 2 actionfilm og 7 komedier?

48. En af de stridende parter fangede 15 og de andre 16 fanger. På hvor mange måder kan 5 krigsfanger udveksles?

49. Hvor mange biler kan der registreres i 1 by, hvis nummeret har 3 tal og 3 bogstaver (kun dem, hvis stavemåde matcher de latinske - A, B, E, K, M, N, O, R, S, T, U, X)?

50. En af de stridende parter fangede 14, og den anden - 17 fanger. På hvor mange måder kan 6 krigsfanger udveksles?

51. Hvor mange forskellige ord kan du danne ved at omarrangere bogstaverne i ordet "mor"?

52. Der er 3 røde og 7 grønne æbler i en kurv. Et æble er taget ud af det. Find sandsynligheden for, at den bliver rød.

53. Der er 3 røde og 7 grønne æbler i en kurv. Et grønt æble blev taget ud og lagt til side. Derefter tages 1 æble mere op af kurven. Hvad er sandsynligheden for, at dette æble bliver grønt?

54. I et parti på 1000 produkter er 4 defekte. Til kontrol vælges et parti på 100 produkter. Hvad er sandsynligheden for LLP for, at kontrolpartiet ikke vil indeholde nogen defekte?

56. I 80'erne var spillet "Sports Loto 5 ud af 36" populært i USSR. Spilleren markerede 5 numre på et kort fra 1 til 36 og modtog præmier af forskellige pålydende værdier, hvis han gættede et andet antal numre annonceret af trækningskommissionen. Find sandsynligheden for, at spilleren ikke har gættet et enkelt tal.

57. I 80'erne var spillet "Sports Loto 5 ud af 36" populært i USSR. Spilleren markerede 5 numre på et kort fra 1 til 36 og modtog præmier af forskellige pålydende værdier, hvis han gættede et andet antal numre annonceret af trækningskommissionen. Find sandsynligheden for, at spilleren har gættet ét tal.

58. I 80'erne var spillet "Sports Loto 5 ud af 36" populært i USSR. Spilleren markerede 5 numre på et kort fra 1 til 36 og modtog præmier af forskellige pålydende værdier, hvis han gættede et andet antal numre annonceret af trækningskommissionen. Find sandsynligheden for, at spilleren har gættet 3 tal.

59. I 80'erne var spillet "Sports Loto 5 ud af 36" populært i USSR. Spilleren markerede 5 numre på et kort fra 1 til 36 og modtog præmier af forskellige pålydende værdier, hvis han gættede et andet antal numre annonceret af trækningskommissionen. Find sandsynligheden for, at spilleren ikke matchede alle 5 numre korrekt.

60. I 80'erne var spillet "Sports Loto 6 ud af 49" populært i USSR. Spilleren markerede 6 numre fra 1 til 49 på et kort og modtog præmier af forskellige pålydende værdier, hvis han gættede et andet antal numre annonceret af trækningskommissionen. Find sandsynligheden for, at spilleren har gættet 2 tal.

61. I 80'erne var spillet "Sports Loto 6 ud af 49" populært i USSR. Spilleren markerede 6 numre fra 1 til 49 på et kort og modtog præmier af forskellige pålydende værdier, hvis han gættede et andet antal numre annonceret af trækningskommissionen. Find sandsynligheden for, at spilleren ikke har gættet et enkelt tal.

62.I 80'erne var spillet "Sports Loto 6 ud af 49" populært i USSR. Spilleren markerede 6 numre fra 1 til 49 på et kort og modtog præmier af forskellige pålydende værdier, hvis han gættede et andet antal numre annonceret af trækningskommissionen. Find sandsynligheden for, at spilleren har gættet alle 6 tal.

63. I et parti på 1000 produkter er 4 defekte. Til kontrol vælges et parti på 100 produkter. Hvad er sandsynligheden for LLP for, at kontrolpartiet kun vil indeholde 1 defekt?

64. Hvor mange forskellige ord kan du danne ved at omarrangere bogstaverne i ordet "bog"?

65. Hvor mange forskellige ord kan du danne ved at omarrangere bogstaverne i ordet "ananas"?

66. 6 personer gik ind i elevatoren, og vandrerhjemmet har 7 etager. Hvad er sandsynligheden for, at alle 6 personer går ud på samme etage?

67. 6 personer gik ind i elevatoren, bygningen har 7 etager. Hvad er sandsynligheden for, at alle 6 personer går ud på forskellige etager?

68. Under et tordenvejr knækkede en ledning i strækningen mellem 40 og 79 km af elledningen. Hvis du antager, at et brud er lige muligt på ethvert tidspunkt, skal du finde sandsynligheden for, at bruddet fandt sted mellem 40. og 45. kilometer.

69. På en 200 kilometer lang sektion af gasrørledningen opstår der en gaslækage mellem kompressorstationerne A og B, hvilket er lige så muligt på ethvert punkt i rørledningen. hvad er sandsynligheden for, at lækagen ikke opstår længere end 20 km fra A

70. På en 200 kilometer lang sektion af gasrørledningen opstår der en gaslækage mellem kompressorstationerne A og B, hvilket er lige så muligt på ethvert punkt i rørledningen. Hvad er sandsynligheden for, at lækagen opstår tættere på A end på B?

71. Færdselspolitiinspektørens radar har en nøjagtighed på 10 km/t og runder til nærmeste retning. Hvad sker der oftere - afrunding til fordel for føreren eller kontrolløren?

72. Masha bruger 40 til 50 minutter på vej til instituttet, og ethvert tidspunkt i dette interval er lige så sandsynligt. Hvad er sandsynligheden for, at hun bruger 45 til 50 minutter på vejen?

73. Petya og Masha aftalte at mødes ved Pushkin-monumentet fra klokken 12 til 13, men ingen kunne angive det nøjagtige ankomsttidspunkt. De blev enige om at vente på hinanden i 15 minutter. Hvad er sandsynligheden for, at de mødes?

74. Fiskere fangede 120 fisk i dammen, 10 af dem blev ringmærket. Hvad er sandsynligheden for at fange en ringmærket fisk?

75. Fra en kurv, der indeholder 3 røde og 7 grønne æbler, tages alle æblerne ud et efter et. Hvad er sandsynligheden for, at det 2. æble bliver rødt?

76. Fra en kurv, der indeholder 3 røde og 7 grønne æbler, tages alle æblerne ud et efter et. Hvad er sandsynligheden for, at det sidste æble bliver grønt?

77. Studerende mener, at ud af 50 billetter er 10 "gode". Petya og Masha trækker på skift hver en billet. Hvad er sandsynligheden for, at Masha fik en "god" billet?

78. Studerende mener, at ud af 50 billetter er 10 "gode". Petya og Masha trækker på skift hver en billet. Hvad er sandsynligheden for, at de begge fik en "god" billet?

79. Masha kom til eksamen med kendskab til svarene på 20 spørgsmål ud af 25 i programmet. Professoren stiller 3 spørgsmål. Hvad er sandsynligheden for, at Masha svarer på 3 spørgsmål?

80. Masha kom til eksamen med kendskab til svarene på 20 spørgsmål ud af 25 i programmet. Professoren stiller 3 spørgsmål. Hvad er sandsynligheden for, at Masha ikke svarer på nogen spørgsmål?

81. Masha kom til eksamen med kendskab til svarene på 20 spørgsmål ud af 25 i programmet. Professoren stiller 3 spørgsmål. Hvad er sandsynligheden for, at Masha svarer på 1 spørgsmål?

82. Statistikken over låneanmodninger fra banken er som følger: 10% - stat. myndigheder, 20% - andre banker, resten - enkeltpersoner. Sandsynligheden for manglende tilbagebetaling af lån er henholdsvis 0,01, 0,05 og 0,2. Hvor mange procent af lånene bliver ikke tilbagebetalt?

83. sandsynligheden for, at den ugentlige omsætning for en ishandler vil overstige 2000 rubler. er 80 % i klart vejr, 50 % i delvist overskyet vejr og 10 % i regnvejr. Hvad er sandsynligheden for, at omsætningen vil overstige 2000 rubler. hvis sandsynligheden for klart vejr er 20%, og delvist overskyet og regnfuldt - 40% hver.

84. I urne A er der hvide (b) og B sorte (h) bolde. To bolde trækkes (samtidigt eller sekventielt) fra urnen. Find sandsynligheden for, at begge kugler er hvide.

85. I urne A hvid og B

86. I stemmeboksen A hvid og B

87. I stemmeboksen A hvid og B sorte kugler. Den ene kugle tages fra urnen, dens farve noteres og kuglen returneres til urnen. Herefter tages endnu en kugle fra urnen. Find sandsynligheden for, at disse bolde har forskellige farver.

88. Der er en kasse med ni nye tennisbolde. For at spille, tag tre bolde; Efter spillet bliver de sat tilbage. Ved valg af bolde skelnes spillede bolde ikke fra uspillede bolde. Hvad er sandsynligheden for, at der efter tre kampe ikke er nogen uspillede bolde tilbage i kassen?

89. Forlader lejligheden, N hver gæst vil bære sine egne galocher;

90. Forlader lejligheden, N gæster, der har samme skostørrelser, bærer galocher i mørke. Hver af dem kan skelne den højre galosh fra venstre, men kan ikke skelne sin egen fra en andens. Find sandsynligheden for, at Hver gæst vil bære galocher, der tilhører det samme par (måske ikke deres egen).

91. Under betingelserne for opgave 90, find sandsynligheden for, at alle går i deres galocher hvis gæsterne ikke kan skelne de højre galocher fra venstre og blot tage de to første galocher, de støder på.

92. Der skydes mod et fly, hvis sårbare dele er to motorer og cockpittet. For at ramme (deaktivere) et fly er det nok at ramme begge motorer sammen eller cockpittet. Under disse affyringsforhold er sandsynligheden for at ramme den første motor lig med p1 anden motor p2, cockpit s3. Flydele påvirkes uafhængigt af hinanden. Find sandsynligheden for, at flyet bliver ramt.

93. To skytter affyrer uafhængigt af hinanden to skud (hvert mod sit mål). Sandsynlighed for at ramme målet med ét skud for den første skytte p1 for det andet s2. Vinderen af ​​konkurrencen er den skytte, hvis skive har flest huller. Find sandsynlighed Rx at den første skytte vinder.

94. bag et rumobjekt detekteres objektet med sandsynlighed R. Objektdetektion i hver cyklus sker uafhængigt af de andre. Find sandsynligheden for, at når P cykler, vil objektet blive detekteret.

95. 32 bogstaver i det russiske alfabet er skrevet på udskårne alfabetkort. Fem kort trækkes tilfældigt efter hinanden og lægges på bordet i rækkefølge efter udseende. Find sandsynligheden for, at ordet "slut" vises.

96. To kugler er spredt tilfældigt og uafhængigt af hinanden i fire celler placeret efter hinanden i en lige linje. Hver bold har lige stor sandsynlighed for, at 1/4 lander i hver celle. Find sandsynligheden for, at kuglerne falder ned i naboceller.

97. Der affyres ild mod flyet med brændende granater. Flyets brændstof er koncentreret i fire tanke placeret i flykroppen, den ene efter den anden. Tankenes områder er de samme. For at sætte ild til flyet er det nok at ramme to granater enten i samme tank eller i tilstødende tanke. Det er kendt, at to granater ramte tankområdet. Find sandsynligheden for, at flyet går i brand.

98. Fra et fuldt sæt kort (52 ark) udtages fire kort på én gang. Find sandsynligheden for, at alle fire af disse kort vil have forskellig farve.

99. Fra et fuldt sæt kort (52 ark) tages fire kort ud på én gang, men hvert kort returneres til bunken efter fjernelse. Find sandsynligheden for, at alle fire af disse kort vil have forskellig farve.

100. Når tændingen slås til, begynder motoren med sandsynlighed at køre R.

101. Enheden kan fungere i to tilstande: 1) normal og 2) unormal. Normal tilstand observeres i 80 % af alle tilfælde af betjening af enheden; unormal - i 20%. Sandsynlighed for enhedsfejl over tid t i normal tilstand er det 0,1; i unormal - 0,7. Find den samlede sandsynlighed R fejl på enheden.

102. En butik modtager varer fra 3 leverandører: 55 % fra den 1., 20 fra den 2. og 25 % fra den 3. Fejlprocenten er henholdsvis 5, 6 og 8 procent. Hvad er sandsynligheden for, at det købte defekte produkt kom fra en anden leverandør.

103. Strømmen af ​​biler forbi tankstationer består af 60 % lastbiler og 40 % biler. Hvad er sandsynligheden for, at en lastbil er på en tankstation, hvis sandsynligheden for at tanke den er 0,1, og sandsynligheden for en personbil er 0,3

104. Strømmen af ​​biler forbi tankstationer består af 60 % lastbiler og 40 % biler. Hvad er sandsynligheden for, at en lastbil er på en tankstation, hvis sandsynligheden for at tanke den er 0,1, og sandsynligheden for en personbil er 0,3

105. En butik modtager varer fra 3 leverandører: 55 % fra den 1., 20 fra den 2. og 25 % fra den 3. Fejlprocenten er henholdsvis 5, 6 og 8 procent. Hvad er sandsynligheden for, at det købte defekte produkt kom fra 1. leverandør.

106. 32 bogstaver i det russiske alfabet er skrevet på udskårne alfabetkort. Fem kort trækkes tilfældigt efter hinanden og lægges på bordet i rækkefølge efter udseende. Find sandsynligheden for, at ordet "bog" vises.

107. En butik modtager varer fra 3 leverandører: 55 % fra den 1., 20 fra den 2. og 25 % fra den 3. Fejlprocenten er henholdsvis 5, 6 og 8 procent. Hvad er sandsynligheden for, at det købte defekte produkt kom fra 1. leverandør.

108. To kugler er spredt tilfældigt og uafhængigt af hinanden i fire celler placeret efter hinanden i en lige linje. Hver bold har lige stor sandsynlighed for, at 1/4 lander i hver celle. Find sandsynligheden for, at 2 bolde falder ind i en celle

109. Når tændingen slås til, begynder motoren med sandsynlighed at køre R. Find sandsynligheden for, at motoren begynder at køre anden gang, tændingen slås til;

110. Der affyres ild mod flyet med brandgranater. Flyets brændstof er koncentreret i fire tanke placeret i flykroppen, den ene efter den anden. Tankenes områder er de samme. For at sætte ild til flyet er det nok at ramme to granater i samme tank. Det er kendt, at to granater ramte tankområdet. Find sandsynligheden for, at flyet går i brand

111. Der affyres ild mod flyet med brandgranater. Flyets brændstof er koncentreret i fire tanke placeret i flykroppen, den ene efter den anden. Tankenes områder er de samme. For at sætte ild til flyet er det nok at ramme de tilstødende tanke med to granater. Det er kendt, at to granater ramte tankområdet. Find sandsynligheden for, at flyet går i brand

112.I urne A hvid og B sorte kugler. Den ene kugle tages fra urnen, dens farve noteres og kuglen returneres til urnen. Herefter tages endnu en kugle fra urnen. Find sandsynligheden for, at begge trukne kugler bliver hvide.

113. I stemmeboksen A hvid og B sorte kugler. To bolde trækkes fra urnen på én gang. Find sandsynligheden for, at disse bolde har forskellige farver.

114. To kugler er spredt tilfældigt og uafhængigt af hinanden i fire celler placeret efter hinanden i en lige linje. Hver bold har lige stor sandsynlighed for, at 1/4 lander i hver celle. Find sandsynligheden for, at kuglerne falder ned i naboceller.

115. Masha kom til eksamen med kendskab til svarene på 20 spørgsmål ud af 25 i programmet. Professoren stiller 3 spørgsmål. Hvad er sandsynligheden for, at Masha svarer på 2 spørgsmål?

116. Studerende mener, at ud af 50 billetter er 10 "gode". Petya og Masha trækker på skift hver en billet. Hvad er sandsynligheden for, at de begge fik en "god" billet?

117. Statistikken over låneanmodninger fra banken er som følger: 10% - stat. myndigheder, 20% - andre banker, resten - enkeltpersoner. Sandsynligheden for manglende tilbagebetaling af lån er henholdsvis 0,01, 0,05 og 0,2. Hvor mange procent af lånene bliver ikke tilbagebetalt?

118. 32 bogstaver i det russiske alfabet er skrevet på udskårne alfabetkort. Fem kort trækkes tilfældigt efter hinanden og lægges på bordet i rækkefølge efter udseende. Find sandsynligheden for, at ordet "slut" vises.

119 Statistik over låneanmodninger fra banken er som følger: 10% - stat. myndigheder, 20% - andre banker, resten - enkeltpersoner. Sandsynligheden for manglende tilbagebetaling af lån er henholdsvis 0,01, 0,05 og 0,2. Hvor mange procent af lånene bliver ikke tilbagebetalt?

120. sandsynligheden for, at den ugentlige omsætning for en ishandler vil overstige 2000 rubler. er 80 % i klart vejr, 50 % i delvist overskyet vejr og 10 % i regnvejr. Hvad er sandsynligheden for, at omsætningen vil overstige 2000 rubler. hvis sandsynligheden for klart vejr er 20%, og delvist overskyet og regnfuldt - 40% hver.

Målet med arbejdet: udvikle færdigheder i at løse problemer i sandsynlighedsteori ved hjælp af totalsandsynlighedsformlen og Bayes formel.

Formel for total sandsynlighed

Sandsynlighed for hændelse EN, som kun kan forekomme, hvis en af ​​de uforenelige hændelser indtræffer B x, B 2,..., B p, at danne en komplet gruppe er lig med summen af ​​produkterne af sandsynligheden for hver af disse begivenheder med den tilsvarende betingede sandsynlighed for begivenhed A:

Denne formel kaldes den samlede sandsynlighedsformel.

Sandsynlighed for hypoteser. Bayes formel

Lad begivenheden EN kan forekomme under forudsætning af, at en af ​​de uforenelige hændelser indtræffer V b 2 ,..., V n, danne en komplet gruppe. Da det ikke på forhånd er kendt, hvilke af disse begivenheder der vil ske, kaldes de hypoteser. Sandsynlighed for hændelse EN bestemt af den samlede sandsynlighedsformel:

Lad os antage, at en test blev udført, som et resultat af hvilken en hændelse opstod EN. Det er nødvendigt at bestemme, hvordan ændringerne (på grund af det faktum, at begivenheden EN er allerede ankommet) sandsynligheden for hypoteserne. Betingede sandsynligheder for hypoteser findes ved hjælp af formlen

I denne formel er indeks / = 1,2

Denne formel kaldes Bayes' formel (opkaldt efter den engelske matematiker, der udledte den; udgivet i 1764). Bayes' formel giver os mulighed for at genvurdere sandsynligheden for hypoteser, efter at resultatet af testen, der resulterede i hændelsen, bliver kendt. EN.

Opgave 1. Fabrikken producerer en bestemt type del, hver del har en defekt med en sandsynlighed på 0,05. Delen inspiceres af én inspektør; den opdager en defekt med en sandsynlighed på 0,97, og hvis der ikke opdages en defekt, sender den delen ind i det færdige produkt. Desuden kan inspektøren fejlagtigt afvise en del, der ikke har en defekt; sandsynligheden for dette er 0,01. Find sandsynligheden for følgende begivenheder: A - delen vil blive afvist; B - delen vil blive afvist, men forkert; C - delen vil blive overført til det færdige produkt med en defekt.

Løsning

Lad os betegne hypoteserne:

N= (en standarddel vil blive sendt til inspektion);

N=(en ikke-standard del vil blive sendt til inspektion).

Begivenhed A =(delen vil blive afvist).

Ud fra problemforholdene finder vi sandsynligheden

R N (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

Ved at bruge den samlede sandsynlighedsformel får vi

Sandsynligheden for, at en del vil blive afvist forkert er

Lad os finde sandsynligheden for, at en del vil indgå i det færdige produkt med en defekt:

Svar:

Opgave 2. Produktet kontrolleres for standard af en af ​​tre råvareeksperter. Sandsynligheden for, at produktet når den første købmand er 0,25, den anden - 0,26 og den tredje - 0,49. Sandsynligheden for, at produktet vil blive anerkendt som standard af den første købmand er 0,95, af den anden - 0,98 og af den tredje - 0,97. Find sandsynligheden for, at et standardprodukt bliver kontrolleret af en anden inspektør.

Løsning

Lad os betegne begivenhederne:

L. =(produktet vil gå til den/de forhandler til inspektion); / = 1, 2, 3;

B =(produktet vil blive betragtet som standard).

Ifølge betingelserne for problemet er sandsynligheden kendt:

Betingede sandsynligheder kendes også

Ved hjælp af Bayes-formlen finder vi sandsynligheden for, at et standardprodukt bliver kontrolleret af en anden inspektør:

Svar:"0,263.

Opgave 3. To maskiner producerer dele, der går på en fælles transportør. Sandsynligheden for at modtage en ikke-standard del på den første maskine er 0,06, og på den anden - 0,09. Produktiviteten af ​​den anden maskine er dobbelt så stor som den første. En ikke-standard del blev taget fra samlebåndet. Find sandsynligheden for, at denne del blev produceret af den anden maskine.

Løsning

Lad os betegne begivenhederne:

A. =(en del taget fra transportøren blev produceret af den /te maskine); / = 1,2;

I= (den del, der tages, vil være ikke-standard).

Betingede sandsynligheder kendes også

Ved hjælp af den samlede sandsynlighedsformel finder vi

Ved hjælp af Bayes-formlen finder vi sandsynligheden for, at den valgte ikke-standarddel blev produceret af den anden maskine:

Svar: 0,75.

Opgave 4. En enhed bestående af to enheder testes, hvis pålidelighed er henholdsvis 0,8 og 0,9. Noder fejler uafhængigt af hinanden. Enheden fejlede. Tag dette i betragtning, find sandsynligheden for hypoteserne:

• a) kun den første knude er defekt;
• b) kun den anden knude er defekt;
• c) begge noder er defekte.

Løsning

Lad os betegne begivenhederne:

D = (7. node vil ikke fejle); jeg = 1,2;

D - tilsvarende modsatte begivenheder;

EN= (under test vil der være en enhedsfejl).

Ud fra problemets betingelser får vi: P(D) = 0,8; R(L 2) = 0,9.

Ved egenskaben af ​​sandsynligheden for modsatte begivenheder

Begivenhed EN lig med summen af ​​produkterne fra uafhængige begivenheder

Ved at bruge sætningen til at addere sandsynligheden for uforenelige hændelser og sætningen til at gange sandsynligheden for uafhængige hændelser, får vi

Nu finder vi sandsynligheden for hypoteserne:

Svar:

Opgave 5. På fabrikken produceres bolte på tre maskiner, som producerer henholdsvis 25 %, 30 % og 45 % af det samlede antal bolte. I værktøjsmaskiner er fejl på henholdsvis 4 %, 3 % og 2 %. Hvad er sandsynligheden for, at en bolt, der er taget tilfældigt fra et indgående produkt, vil være defekt?

Løsning

Lad os betegne begivenhederne:

4 = (en bolt taget tilfældigt blev lavet på den i-te maskine); jeg = 1, 2, 3;

I= (en bolt taget tilfældigt vil være defekt).

Ud fra betingelserne for problemet, ved hjælp af den klassiske sandsynlighedsformel, finder vi sandsynligheden for hypoteserne:

Ved at bruge den klassiske sandsynlighedsformel finder vi også betingede sandsynligheder:

Ved hjælp af den samlede sandsynlighedsformel finder vi

Svar: 0,028.

Opgave 6. Det elektroniske kredsløb tilhører en af ​​tre parter med sandsynligheder på 0,25; 0,5 og 0,25. Sandsynligheden for, at kredsløbet vil fungere ud over garantiens levetid for hver batch, er 0,1; 0,2 og 0,4. Find sandsynligheden for, at et tilfældigt valgt kredsløb vil fungere ud over dets garantiperiode.

Løsning

Lad os betegne begivenhederne:

4 = (tilfældigt taget kredsløb fra ith batch); i = 1, 2, 3;

I= (et tilfældigt valgt kredsløb fungerer ud over garantiperioden).

Ifølge betingelserne for problemet er sandsynligheden for hypoteserne kendt:

Betingede sandsynligheder er også kendt:

Ved hjælp af den samlede sandsynlighedsformel finder vi

Svar: 0,225.

Opgave 7. Enheden indeholder to blokke, hvis brugbarhed er nødvendig for driften af ​​enheden. Sandsynligheden for fejlfri drift for disse blokke er henholdsvis 0,99 og 0,97. Enheden har fejlet. Bestem sandsynligheden for, at begge enheder fejlede.

Løsning

Lad os betegne begivenhederne:

D = (z-te blok vil fejle); jeg = 1,2;

EN= (enheden vil fejle).

Fra betingelserne for problemet, ifølge egenskaben af ​​sandsynligheden for modsatte begivenheder, får vi: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Begivenhed EN opstår kun, når mindst en af ​​begivenhederne D el A 2. Derfor er denne begivenhed lig summen af ​​begivenhederne EN= D + EN 2 .

Ved sætningen om tilføjelse af sandsynligheder for fælles begivenheder opnår vi

Ved hjælp af Bayes-formlen finder vi sandsynligheden for, at enheden fejlede på grund af svigt af begge enheder.

Svar:

Problemer, der skal løses selvstændigt Opgave 1. I fjernsynsstudiets lager er der 70% af billedrør fremstillet af fabrik nr. 1; de resterende billedrør er fremstillet af fabrik nr. 2. Sandsynligheden for, at billedrøret ikke fejler i garantiens levetid er 0,8 for billedrør fra fabrik nr. 1 og 0,7 for billedrør fra fabrik nr. 2. Billedrøret overlevede garantiens levetid. Find sandsynligheden for, at den er fremstillet af fabrik nr. 2.

Opgave 2. Dele modtages til montering fra tre maskiner. Det er kendt, at den 1. maskine giver 0,3% af fejlene, den 2. - 0,2%, den 3. - 0,4%. Find sandsynligheden for at modtage en defekt del til montering, hvis der blev modtaget 1000 dele fra 1. maskine, 2000 fra 2., 2500 fra 3..

Opgave 3. To maskiner producerer identiske dele. Sandsynligheden for, at en del produceret på den første maskine vil være standard er 0,8, og på den anden - 0,9. Produktiviteten af ​​den anden maskine er tre gange større end produktiviteten af ​​den første. Find sandsynligheden for, at en del taget tilfældigt fra en transportør, der modtager dele fra begge maskiner, vil være standard.

Opgave 4. Lederen af ​​virksomheden besluttede at benytte sig af to af de tre transportvirksomheders tjenester. Sandsynligheden for tidlig levering af last for det første, andet og tredje firma er henholdsvis lig med 0,05; 0,1 og 0,07. Efter at have sammenlignet disse data med data om sikkerheden ved godstransport, kom lederen til den konklusion, at valget var ækvivalent, og besluttede at foretage det ved lodtrækning. Find sandsynligheden for, at den afsendte last bliver leveret til tiden.

Opgave 5. Enheden indeholder to blokke, hvis brugbarhed er nødvendig for driften af ​​enheden. Sandsynligheden for fejlfri drift for disse blokke er henholdsvis 0,99 og 0,97. Enheden har fejlet. Bestem sandsynligheden for, at den anden enhed fejlede.

Opgave 6. Montageværkstedet modtager dele fra tre maskiner. Den første maskine giver 3% af fejlene, den anden - 1% og den tredje - 2%. Bestem sandsynligheden for, at en ikke-defekt del kommer ind i samlingen, hvis der blev modtaget henholdsvis 500, 200, 300 dele fra hver maskine.

Opgave 7. Lageret modtager produkter fra tre virksomheder. Desuden er produktionen af ​​det første selskab 20%, det andet - 46% og det tredje - 34%. Det er også kendt, at den gennemsnitlige procentdel af ikke-standardprodukter for det første firma er 5%, for det andet - 2% og for det tredje - 1%. Find sandsynligheden for, at et tilfældigt udvalgt produkt produceres af en anden virksomhed, hvis det viser sig at være standard.

Opgave 8. Fejl i fabriksprodukter på grund af en defekt EN er 5 %, og blandt de afviste ud fra EN produkter er defekte i 10 % af tilfældene R. Og i produkter fri for fejl EN, defekt R forekommer i 1 % af tilfældene. Find sandsynligheden for at støde på en defekt R i alle produkter.

Opgave 9. Virksomheden har 10 nye biler og 5 gamle, der tidligere var under reparation. Sandsynligheden for korrekt drift for en ny bil er 0,94, for en gammel - 0,91. Find sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt bil vil fungere korrekt.

Opgave 10. To sensorer sender signaler ind i en fælles kommunikationskanal, hvor den første sender dobbelt så mange signaler som den anden. Sandsynligheden for at modtage et forvrænget signal fra den første sensor er 0,01, fra den anden - 0,03. Hvad er sandsynligheden for at modtage et forvrænget signal i en fælles kommunikationskanal?

Opgave 11. Der er fem partier af produkter: tre partier af 8 styk, hvoraf 6 er standard og 2 ikke-standard, og to batches af 10 styk, hvoraf 7 er standard og 3 er ikke-standard. Et af partierne udvælges tilfældigt, og en del tages fra denne batch. Bestem sandsynligheden for, at den del, der tages, vil være standard.

Opgave 12. Montøren modtager i gennemsnit 50 % af delene fra det første anlæg, 30 % fra det andet anlæg og 20 % fra det tredje anlæg. Sandsynligheden for, at en del fra det første anlæg er af fremragende kvalitet, er 0,7; for dele fra anden og tredje fabrik, henholdsvis 0,8 og 0,9. Den del, der blev taget tilfældigt, viste sig at være af fremragende kvalitet. Find sandsynligheden for, at delen blev fremstillet af det første anlæg.

Opgave 13. Toldsyn af køretøjer udføres af to kontrollører. I gennemsnit passerer 45 ud af 100 biler den første inspektør. Sandsynligheden for, at en bil, der overholder toldreglerne, ikke tilbageholdes ved synet, er 0,95 for den første kontrollant og 0,85 for den anden. Find sandsynligheden for, at en bil, der overholder toldreglerne, ikke bliver tilbageholdt.

Opgave 14. De dele, der er nødvendige for at samle enheden, kommer fra to maskiner, hvis ydeevne er den samme. Beregn sandsynligheden for at modtage en standarddel til montering, hvis en af ​​maskinerne giver et gennemsnit på 3% overtrædelse af standarden, og den anden - 2%.

Opgave 15. Vægtløftetræneren beregnede, at for at modtage holdpoint i en given vægtkategori, skal en atlet skubbe en vægtstang på 200 kg. Ivanov, Petrov og Sidorov kæmper om en plads på holdet. Under træning forsøgte Ivanov at løfte sådan en vægt i 7 tilfælde og løftede den i 3 af dem. Petrov løftede i 6 ud af 13 tilfælde, og Sidorov har en 35% chance for succesfuldt at håndtere vægtstangen. Træneren udvælger tilfældigt én atlet til holdet.

• a) Find sandsynligheden for, at den valgte atlet bringer point til holdet.
• b) Holdet fik ingen point. Find sandsynligheden for, at Sidorov præsterede.

Opgave 16. Der er 12 røde og 6 blå kugler i en hvid æske. I sort er der 15 røde og 10 blå kugler. Kaster en terning. Hvis et antal point er et multiplum af 3, tages en bold tilfældigt fra det hvide felt. Hvis der kastes et andet antal point, tages en bold tilfældigt fra den sorte boks. Hvad er sandsynligheden for, at en rød kugle dukker op?

Opgave 17. To kasser indeholder radiorør. Den første boks indeholder 12 lamper, hvoraf 1 er ikke-standard; i den anden er der 10 lamper, hvoraf 1 er ikke-standard. En lampe tages tilfældigt fra den første boks og placeres i den anden. Find sandsynligheden for, at en lampe taget tilfældigt fra den anden boks vil være ikke-standard.

Opgave 18. En hvid kugle kastes ned i en urne med to kugler, hvorefter en kugle trækkes tilfældigt. Find sandsynligheden for, at den udtrukne kugle bliver hvid, hvis alle mulige antagelser om kuglernes oprindelige sammensætning (baseret på farve) er lige mulige.

Opgave 19. En standarddel smides i en kasse, der indeholder 3 identiske dele, og derefter fjernes en del tilfældigt. Find sandsynligheden for, at en standarddel fjernes, hvis alle mulige gæt om antallet af standarddele oprindeligt i kassen er lige sandsynlige.

Opgave 20. For at forbedre kvaliteten af ​​radiokommunikation anvendes to radiomodtagere. Sandsynligheden for, at hver modtager modtager et signal, er 0,8, og disse hændelser (signalmodtagelse fra modtageren) er uafhængige. Bestem sandsynligheden for signalmodtagelse, hvis sandsynligheden for fejlfri drift under en radiokommunikationssession for hver modtager er 0,9.

1. Formel for total sandsynlighed.

Lad hændelse A indtræffe med forbehold for forekomsten af ​​en af ​​de uforenelige hændelser B 1, B 2, B 3, ..., B n, som danner en komplet gruppe. Lad sandsynligheden for disse begivenheder og betingede sandsynligheder være kendtP(A/B 1), P(A/B 2), ..., P(A/B n) hændelse A. Du skal finde sandsynligheden for hændelse A.

Sætning:Sandsynligheden for hændelse A, som kun kan forekomme, hvis en af ​​de uforenelige hændelser indtræffer B 1, B 2, B 3, ..., B n , der danner en komplet gruppe, er lig med summen af ​​produkterne af sandsynligheden for hver af disse begivenheder med den tilsvarende betingede sandsynlighed for begivenhed A:

– Formel for total sandsynlighed.

Bevis:

Ifølge betingelsen kan hændelse A opstå, hvis en af ​​de uforenelige hændelser indtræfferB 1, B 2, B 3, ..., B n. Med andre ord betyder forekomsten af ​​begivenhed A forekomsten af ​​en (uanset hvilken) af de uforenelige begivenheder:B 1 *A, B 2*EN, B 3*EN, ..., milliarder*EN. Ved hjælp af additionssætningen får vi:

Ifølge teoremet om multiplikation af sandsynligheder for afhængige begivenheder har vi:

etc.

Eksempel: Der er 2 sæt dele. Sandsynligheden for, at en del fra det første sæt er standard er 0,8, og for det andet sæt er det 0,9. Find sandsynligheden for, at en del taget tilfældigt (fra et sæt taget tilfældigt) er standard.

Løsning: Hændelse A - "Den udtrukne del er standard." Begivenhed - "De fjernede en del fremstillet af 1 fabrik." Hændelse - "En del fremstillet af den anden fabrik blev fjernet." R( B 1 )=P(B 2)= 1/2. P(A/B 1 ) = 0,8 - sandsynlighed for, at delen fremstillet på det første anlæg er standard. P(A / B 2 )=0,9 - sandsynlighed for, at delen fremstillet på det andet anlæg er standard.

Så har vi ifølge den samlede sandsynlighedsformel:

Eksempel: Montøren modtog 3 kasser med dele fremstillet af fabrik nr. 1 og 2 kasser med dele fremstillet af fabrik nr. 2. Sandsynligheden for, at en del fremstillet af fabrik nr. 1 er standard er 0,8. For anlæg nr. 2 er denne sandsynlighed 0,9. Montøren fjernede tilfældigt en del fra en tilfældigt valgt kasse. Find sandsynligheden for, at en standarddel fjernes.

Løsning: Hændelse A - "Standarddel fjernet." Begivenhed B 1 - "Delen blev fjernet fra kassen til fabrik nr. 1." Begivenhed B 2 - "Delen blev fjernet fra kassen til fabrik nr. 2." R( B 1) = 3/5. P(B2) = 2/5.

P(A / B 1) = 0,8 - sandsynlighed for, at delen fremstillet på det første anlæg er standard. P(A /B 2) = 0,9 - sandsynlighed for, at delen fremstillet på det andet anlæg er standard.

Eksempel:Den første boks indeholder 20 radiorør, hvoraf de 18 er standard. Den anden boks indeholder 10 radiorør, hvoraf 9 er standard. Et radiorør blev tilfældigt overført fra den anden boks til den første. Find sandsynligheden for, at en lampe tegnet tilfældigt fra den første boks vil være en standard.

Løsning:Hændelse A - "En standardlampe blev fjernet fra 1 boks." BegivenhedB 1 - "En standardlampe blev overført fra den anden til den første boks." BegivenhedB 2 - "En ikke-standard lampe blev overført fra den anden til den første boks." R( B1) = 9/10. P(B2)= 1/10.P(A/B1)= 19/21 - sandsynlighed for at få en standarddel ud af den første boks, forudsat at den samme standarddel blev lagt i den.

P(A/B2)= 18/21 - sandsynlighed for at tage en standarddel ud af den første boks, forudsat at en ikke-standard del blev placeret i den.

2. Formler for hypoteser af Thomas Bayes.

Lad hændelse A indtræffe med forbehold for forekomsten af ​​en af ​​de uforenelige hændelser B 1, B 2, B 3, ..., B n, der danner en komplet gruppe. Da det ikke på forhånd er kendt, hvilke af disse begivenheder der vil ske, kaldes de hypoteser. Sandsynligheden for forekomst af hændelse A bestemmes af den samlede sandsynlighedsformel, der er diskuteret tidligere.

Lad os antage, at der blev udført en test, som et resultat af hvilken hændelse A indtraf. Lad os sætte vores opgave til at bestemme, hvordan sandsynligheden for hypoteserne har ændret sig (på grund af, at hændelse A allerede er indtruffet). Vi vil med andre ord lede efter betingede sandsynlighederP(B1/A), P(B2/A), ..., P(Bn/A)

Lad os finde den betingede sandsynlighed P(B 1/A) . Ved multiplikationssætningen har vi:

Dette indebærer:

Tilsvarende udledes formler, der bestemmer de betingede sandsynligheder for de resterende hypoteser, dvs. betinget sandsynlighed enhver hypotese B k (i = 1, 2, …, n ) kan beregnes ved hjælp af formlen:

Thomas Bayes hypoteseformler.

Thomas Bayes (engelsk matematiker) udgav formlen i 1764.

Disse formler gør det muligt at genvurdere sandsynligheden for hypoteser, efter at resultatet af testen, der resulterede i begivenhed A, bliver kendt.

Eksempel: Dele fremstillet af fabriksværkstedet sendes til en af ​​to inspektører for at kontrollere deres standard. Sandsynligheden for, at delen når den første inspektør er 0,6, og den anden er 0,4. Sandsynligheden for, at en passende del vil blive anerkendt som standard af den første inspektør er 0,94, for den anden inspektør er denne sandsynlighed 0,98. Under inspektionen blev den acceptable del anerkendt som standard. Find sandsynligheden for, at den første inspektør kontrollerede denne del.

Løsning: Begivenhed A - "Den gode del er anerkendt som standard." Begivenhed B 1 - "Delen blev kontrolleret af den første inspektør." BegivenhedB 2 - "Delen blev kontrolleret af den anden inspektør." R( B1)=0,6. P(B2)=0,4.

P(A / B 1) = 0,94 - sandsynlighed for, at den del, der kontrolleres af den første inspektør, er anerkendt som standard.

P(A / B 2) = 0,98 - sandsynlighed for, at den del, der kontrolleres af den anden inspektør, anerkendes som standard.

Derefter:

Eksempel:For at deltage i studerendes kvalificerende sportskonkurrencer blev der tildelt 4 personer fra den første gruppe af kurset, 6 personer fra den anden gruppe og 5 personer fra den tredje gruppe. Sandsynligheden for, at en elev i første gruppe kommer med på landsholdet er 0,9, for elever i anden og tredje gruppe er disse sandsynligheder henholdsvis 0,7 og 0,8. Som følge af konkurrencen endte en tilfældigt udvalgt elev på landsholdet Hvilken gruppe tilhører han højst sandsynligt?

Løsning: Begivenhed A - "En tilfældigt udvalgt studerende kom ind på instituttets hold." Begivenhed B 1 - "En elev fra den første gruppe blev udvalgt tilfældigt." Begivenhed B 2 - "En studerende fra den anden gruppe blev udvalgt tilfældigt." Begivenhed B 3 - "En studerende fra den tredje gruppe blev udvalgt tilfældigt." R( B 1) = 4/15. P(B2) = 6/15. P(B3)= 5/15.

P(A / B 1)=0,9 er sandsynligheden for, at en elev fra den første gruppe kommer på landsholdet.

P(A / B 2) = 0,7 er sandsynligheden for, at en elev fra den anden gruppe kommer på landsholdet.

P(A/B 3 )=0,8 er sandsynligheden for, at en elev fra den tredje gruppe kommer på landsholdet.

Derefter:

Sandsynligheden for, at en elev fra den første gruppe kom på holdet.

Sandsynligheden for, at en elev fra den anden gruppe kom på holdet.

Sandsynligheden for, at en elev fra den tredje gruppe kom på holdet.

Mest sandsynligt vil en elev fra den anden gruppe komme til holdet.

Eksempel:Hvis maskinen afviger fra den normale driftstilstand, vil C 1 alarmen gå i gang med en sandsynlighed på 0,8, og C 2 alarmen vil gå i gang med en sandsynlighed på 1. Sandsynligheden for, at maskinen er udstyret med en C 1 eller C 2 alarm er henholdsvis 0,6 og 0,4. Der er modtaget et signal om at skære maskingeværet. Hvad er mere sandsynligt: ​​Maskinen er udstyret med en signalanordning C 1 eller C 2?

Løsning:Hændelse A - "Et signal om at skære maskingeværet er modtaget." Begivenhed B 1 - "Maskinen er udstyret med en C1-signalanordning. BegivenhedB 2 - "Maskinen er udstyret med en C2-signalanordning. R( B1) = 0,6. P(B2) = 0,8.

P(A / B 1) = 0,8 er sandsynligheden for, at der modtages et signal, forudsat at maskinen er udstyret med en signalanordning C1.

P(A/B 2 )=1 - sandsynlighed for, at der modtages et signal, forudsat at maskinen er udstyret med en C2-signalanordning.

Derefter:

Der er en mulighed for, at C1-alarmen gik i gang efter at have modtaget et signal om at afbryde maskinen.

Der er en mulighed for, at C2-alarmen gik i gang efter at have modtaget et signal om at afbryde maskinen.

De der. Det er mere sandsynligt, at der, når maskinen skæres, vil blive modtaget et signal fra signalanordningen C1.

En konsekvens af de to hovedsætninger i sandsynlighedsteorien - sætningerne om addition og multiplikation - er formlerne for total sandsynlighed og Bayes-formlerne.

På hændelsesalgebraens sprog kaldes mængden , , ¼ hele gruppen af ​​arrangementer, hvis:

1. Hændelser er parvis uforenelige, dvs. , , ;.

2. Summen udgør hele sandsynlighedsrummet .

Sætning 5 (Samlet sandsynlighedsformel). Hvis begivenheden EN kan kun forekomme, hvis en af ​​begivenhederne (hypoteserne) , ,¼, dukker op og danner en komplet gruppe, så er sandsynligheden for begivenheden EN svarende til

Bevis. Da hypoteser, ,¼, er de eneste mulige, og begivenheden EN ifølge sætningens betingelser kun kan forekomme sammen med en af ​​hypoteserne, så . Fra hypotesernes uforenelighed følger inkompatibilitet .

Vi anvender sandsynlighedsadditionssætningen i formen (6):

Ved multiplikationssætningen. Ved at erstatte denne repræsentation med formel (13), har vi endelig: , hvilket er det, der skulle bevises.

Eksempel 8. En eksport-importvirksomhed er ved at indgå en kontrakt om levering af landbrugsudstyr til et af udviklingslandene. Hvis virksomhedens hovedkonkurrent ikke samtidig byder på en kontrakt, så estimeres sandsynligheden for at modtage en kontrakt til 0,45; ellers – på 0,25. Ifølge virksomhedseksperter er sandsynligheden for, at en konkurrent fremsætter forslag til indgåelse af en kontrakt, 0,40. Hvad er sandsynligheden for at indgå en kontrakt?

Løsning. A -"virksomheden vil indgå en kontrakt", - "konkurrenten vil fremsætte sine forslag", - "konkurrenten vil ikke fremsætte sine forslag". Ifølge betingelserne for problemet , . Betingede sandsynligheder for at indgå en kontrakt for en virksomhed , . Ifølge den samlede sandsynlighedsformel

En følge af multiplikationssætningen og totalsandsynlighedsformlen er Bayes' formel.

Bayes formel giver dig mulighed for at genberegne sandsynligheden for hver af hypoteserne, forudsat at hændelsen fandt sted. (Det gælder, når arrangementet EN, som kan optræde med kun én af hypoteserne, der danner en komplet gruppe af hændelser, er opstået, og det er nødvendigt kvantitativt at revurdere de forudgående sandsynligheder for disse hypoteser kendt før testen, dvs. det er nødvendigt at finde de bageste (opnået efter testen) betingede sandsynligheder for hypoteserne) , ,..., .

Sætning 6 (Bayes Formel). Hvis begivenheden EN skete, så hypotesernes betingede sandsynligheder beregnes ved hjælp af en formel kaldet Bayes' formel:

Bevis. For at opnå den nødvendige formel skriver vi sætningen til at gange sandsynligheden for begivenheder EN og i to former:

hvor Q.E.D.

Betydningen af ​​Bayes' formel er, at når en begivenhed indtræffer EN, de der. Efterhånden som vi modtager ny information, kan vi teste og justere de fremsatte hypoteser inden testning. Denne tilgang, kaldet Bayesian, gør det muligt at korrigere ledelsesbeslutninger i økonomi, estimater af ukendte parametre for fordelingen af ​​de karakteristika, der undersøges i statistisk analyse, osv.

Opgave 9. Gruppen består af 6 fremragende elever, 12 velpræsterende elever og 22 middelmådige præsterende elever. En fremragende elev svarer 5 og 4 med lige stor sandsynlighed, en fremragende elev svarer 5, 4 og 3 med lige stor sandsynlighed, og en middelmådig elev svarer 4, 3 og 2 med lige stor sandsynlighed. En tilfældigt udvalgt elev svarede 4. Hvad er sandsynligheden for, at en middelmådig præsterende elev blev kaldt?

Løsning. Lad os overveje tre hypoteser:

Det pågældende arrangement. Fra problemformuleringen vides det

, , .

Lad os finde sandsynligheden for hypoteserne. Da der kun er 40 elever i gruppen, og 6 fremragende elever, altså . Ligeledes, , . Ved at anvende den samlede sandsynlighedsformel finder vi

Nu anvender vi Bayes' formel på hypotesen:

Eksempel 10. En økonom-analytiker opdeler betinget den økonomiske situation i et land i "god", "middelmådig" og "dårlig" og estimerer deres sandsynligheder for et givet tidspunkt til 0,15; henholdsvis 0,70 og 0,15. Nogle indeks for økonomisk tilstand stiger med sandsynlighed 0,60, når situationen er "god"; med en sandsynlighed på 0,30, når situationen er middelmådig, og med en sandsynlighed på 0,10, når situationen er "dårlig". Lad det økonomiske tilstandsindeks stige i øjeblikket. Hvad er sandsynligheden for, at landets økonomi boomer?

Løsning. EN= "landets økonomiske tilstandsindeks vil stige", H 1= "den økonomiske situation i landet er "god"", H 2= "den økonomiske situation i landet er "middelmådig"", N 3= "den økonomiske situation i landet er "dårlig"." Efter betingelse: , , . Betingede sandsynligheder: ,, . Du skal finde sandsynligheden. Vi finder det ved at bruge Bayes' formel:

Eksempel 11. Handelsvirksomheden modtog fjernsyn fra tre leverandører i forholdet 1:4:5. Praksis har vist, at tv, der kommer fra 1., 2. og 3. leverandør, ikke vil kræve reparationer i garantiperioden i henholdsvis 98 %, 88 % og 92 % af tilfældene.