Flere filtre
Fra en vejleder eller studerende
Hos underviseren
Hos eleven
Fjernt
Pris pr time
Fra
Før
gnideAt vise
Kun med foto
Kun med anmeldelser
Kun verificeret
Kandidatstuderende
Professor
Privatlærer
Modersmål
Mere end 10 år
Over 50 år gammel
Statistikker:
500 undervisere fundet
2246 anmeldelser efterladt af studerende
gennemsnitlig vurdering: 4,5 5 1 Gennemsnitlig bedømmelse af undervisere fundet efter filter
500 undervisere fundet
Nulstil filtre
OGE (GIA) Unified State-eksamen forberedelse til OL skoleforløb Algebra Analytisk geometri Højere matematik+8 Geometri Combinatorics Lineær algebra Matematik statistik Matematisk analyse Anvendt matematik Sandsynlighedsteori Trigonometri
Børn 6-7 år Skoleelever i 1-11 klassetrin Studerende Voksne
m. Ozernaya m. Yugo-Zapadnaya m. Kuntsevskaya (Filyovskaya)
Alexander Alexandrovich
Universitetslærer Erfaring 17 år
fra 2.000 rub/time
gratis kontaktHos underviseren
Meget effektiv underviser og dygtig lærer- ved, hvordan man præsenterer et program som dette højere matematik Universitet, at matematikkurset fra et mareridt er blevet irriterende Udvid nødvendighed - på trods af at fra skoleforløb Eleven kendte trygt kun 5.-6. klasses læseplan. Alle anmeldelser (46)
Analytisk geometri Variationsberegning Vektoranalyse +33 Højere matematik Geometri Diskret matematik Differential geometri Differentialligninger Kombinatorik Lineær algebra Lineær geometri Lineær programmering Matematik statistik Matematisk fysik Matematiske modeller Matematisk analyse Optimale løsningsmetoder Optimeringsmetoder Optimal kontrol Anvendt matematik Sopromat Tensor analyse Teoretisk mekanik Sandsynlighedsteori Grafteori Spilteori Optimeringsteori Talteori Topologi Trigonometri TFKP Partielle differentialligninger Matematisk fysiks ligninger Finansiel matematik Funktionel analyseØkonometri
Skoleelever i 9-11 klassetrin Studerende Voksne
m. Dmitry Donskoy Boulevard
Alexey Vasilievich
Universitetslærer Erfaring 44 år
fra 1.500 rub/time
gratis kontaktUnderviser i matematisk statistik
Hos underviseren
doktor i fysik matematiske videnskaber. Førende Forsker Moscow State University (Fakultetet for Mekanik og Matematik), fakultetsprofessor supplerende uddannelse Udvide MGIMO, var medlem af eksamenskommissionerne i matematik ved Moscow State University, MGIMO, MGUDT.
Alexey Vasilievich er præcis den lærer, vi har ledt efter i lang tid. Ved, hvordan man finder en tilgang til en elev og på en kompetent måde præsentere undervisningsmateriale. Alle anmeldelser (29)
Skolebørn på 10-11 klassetrin Studerende
m. Ramenki
Aleksey Aleksandrovich
Privatlærer Erfaring 11 år
fra 1.600 rub/time
gratis kontaktUnderviser i matematisk statistik
Prisvinder af Lomonosov Olympiade 2007 i fagene - mundtlig og skriftlig matematik, komposition. Deltager på det tværfakultære specialkursus olympiade problemer Udvide Institut for Matematisk Analyse af Mekanik og Matematik ved Moscow State University. Erfaring med at drive små pelsmåtteklubber 2007-2012. Valgfri matematik ved Lyceum 1553. Lærer i algebra, geometri, datalogi, på engelsk på Lyceum 1553 i 2011. Støtte til uddannelse af børn i sproglejre i England og Malta 2011-2012. Tre års erfaring med detailledelse i centralt kontor største bank i SNG. Jeg afholder undervisningen ved hjælp af en Wacom grafisk tablet og en online whiteboard (betalt, som har mulighed for at blive brugt af flere personer på samme tid, samtidig redigering, fælles video og lyd). Efter lektionen forbliver links til lokalet - eleven har altid adgang til det skrevet i timen og har adgang til noter i hele forløbets varighed, alt materiale skrevet på tavlen sendes også til klienten i PDF-format . Både Skype og selve onlinerummet bruges til kommunikation. Antallet af studerende forberedt til eksamen er mere end 100, forberedt til OGE, Unified State Exam optagelse i lyceum ved MEPhI, Moscow State University. Forberedte studerende til eksamener fra forskellige universiteter i Moskva State University of Mechanics and Mathematics, Fakultet for Fysik, Fakultet for Økonomi, Moskva State Pedagogical University, Plekhanov, Finansakademi under præsidenten, MGIMO, MEPhI osv. Jeg forbereder børn til de all-russiske, Lomonosov og Vuzovsky Olympiads under Bauman og Mifi, MIPT. Undervisning er min hovedaktivitet. Jeg forbereder mig også på optagelse på engelske og schweiziske colleges. Lave om samlet eksamen A-niveau i engelsk i matematik og fysik. Forberedelse af skolebørn til beståelse engelsk OGE og Unified State Exam.
Jeg studerede med Alexey Alexandrovich, og om en måned formåede jeg at forberede mig sammen med ham til en gentagelse i matematisk analyse. Forklarede emnet for mig klart og tydeligt, Udvid Jeg bestod uden problemer takket være ham. Alle anmeldelser (52)
OGE (GIA) Unified State Exam skolekursus Algebra Analytisk geometri Højere matematik Geometri +12 Diskret matematik Differentialligninger Lineær algebra Lineær geometri Matematik statistik Matematisk analyse På engelsk Sandsynlighedsteori Grafteori Spilteori Trigonometri Økonometri
Skoleelever i 1-11 klassetrin Studerende Voksne
m. Krasnogvardeyskaya
Maxim Alekseevich
Privatlærer Erfaring 9 år
fra 1.500 rub/time
gratis kontaktUnderviser i matematisk statistik
Med en vejleder, med en studerende, på afstand
Uddannet fra fakultetet for mekanik og matematik ved Moskva State University. Jeg har erfaring med at arbejde i bankbranchen som analytiker, og erfaring med at arbejde som systemanalytiker inden for IT-udvikling. Viden Udvid programmering, relationelle databaser (sql). Første kategori i skak. Jeg har succesrig erfaring med at arbejde med alle kategorier af elever: Skolebørn (OGE, Unified State Exam, forbedring af akademiske præstationer) Studerende (næsten alle sektioner af højere matematik og mekanik) Voksne (timer for sig selv, hjælp med arbejdsspørgsmål) .
Kursus i sandsynlighedsteori og matematisk statistik. Sevastyanov B.A.
M.: Videnskab. Ch. udg. fysik og matematik lit., 1982.- 256 s.
Bogen er baseret på et årelangt forløb med forelæsninger givet af forfatteren over en årrække ved matematikafdelingen på fakultetet for mekanik og matematik ved Moskvas statsuniversitet. Grundlæggende begreber og fakta om sandsynlighedsteori introduceres indledningsvis til den endelige ordning. Matematisk forventning i almindelig sag er defineret på samme måde som Lebesgue-integralet, men læseren forventes ikke at kende nogen foreløbige oplysninger om Lebesgue-integration.
Bogen indeholder følgende afsnit: uafhængige test og Markov-kæder, Moivre-Laplace og Poisson grænsesætninger, tilfældige variable, karakteristiske og genererende funktioner, lov om store tal, central grænsesætning, grundlæggende begreber for matematisk statistik, test af statistiske hypoteser, statistiske estimater, konfidensintervaller.
For junior universitets- og universitetsstuderende, der studerer sandsynlighedsteori.
Format: djvu/zip
Størrelse: 2,5 7 MB
/Download fil
INDHOLDSFORTEGNELSE
Forord 7
Kapitel 1. Sandsynlighedsrum 9
§ 1. Genstand for sandsynlighedsteori 9
§ 2. Arrangementer 12
§ 3. Sandsynlighedsrum 16
§ 4. Begrænset sandsynlighedsrum. Klassisk definition sandsynligheder 19
§ 5 Geometriske sandsynligheder 23
Problemer 24
Kapitel 2. Betingede sandsynligheder. Uafhængighed 26
§ 6. Betingede sandsynligheder 26
§ 7. Formel fuld sandsynlighed 28
§ 8. Bayes formler 29
§ 9. Begivenheders uafhængighed 30
§ 10. Uafhængighed af skillevægge, algebraer og a-algebraer.... 33
§ elleve. Uafhængige tests 35
Problemer 39
Kapitel 3. Tilfældige variable (finite scheme). 41
§ 12. Tilfældige variable. Indikatorer 41
§ 13. Matematisk forventning 45
§ 14. Flerdimensionelle distributionslove 50
§ 15. Uafhængighed af stokastiske variable 53
§ 10. Euklidisk rum af tilfældige storheder. . . . 5
§ 17. Betingede matematiske forventninger 5E
§ 18. Chebyshevs ulighed. Lov store tal.... 61
Problemer 64
Kapitel 4. Grænsesætninger i Bernoullis plan. 65
§ 19. Binomialfordeling 65
§ 20. Poissons sætning 66
§ 21. Lokal grænsesætning af Moivre - Laplace. . 70
§ 22. Integralgrænsesætning af Moivre - Laplace 71
§ 23. Anvendelser af grænsesætninger. 73
Problemer 76
Kapitel 5. Markov-kæder 77
§ 24. Markov afhængighedstest 77
§ 25. Overgangssandsynligheder 78
§ 26. Sætning om sandsynlighedsbegrænsende 80
Problemer 83
Kapitel 6. Tilfældige variable (generelt tilfælde) 84
§ 27. Tilfældige variable og deres fordelinger 84
§ 28. Multivariate fordelinger 92
§ 29. Uafhængighed af stokastiske variable 96
Problemer 98
Kapitel 7. Forventning 100
§ 30. Definition matematisk forventning 100
§ 31. Formler til beregning af matematisk forventning 108
Problemer 115
Kapitel 8. Generering af funktioner 117
§ 32. Heltallige stokastiske variable og deres frembringende funktioner 117
§ 33. Faktoriske momenter 118
§ 34. Multiplikativ ejendom 120
§ 35. Kontinuitetssætning 123
§ 36. Forgreningsprocesser 125
Problemer 127
Kapitel 9. Karakteristiske funktioner 129
§ 37. Definition og simpleste egenskaber karakteristiske funktioner 129
§ 38. Inversionsformler for karakteristiske funktioner 136
§ 39. Sætning om kontinuerlig overensstemmelse mellem mængden af karakteristiske funktioner og mængden af fordelingsfunktioner 140
Problemer 145
Kapitel 10. Central grænsesætning 146
§ 40. Central grænsesætning for identisk fordelte uafhængige led 146
§ 41. Lyapunovs sætning 147
§ 42. Anvendelser af den centrale grænsesætning 150
Problemer 153
Kapitel 11. Flerdimensionelle karakteristiske funktioner.154
§ 43. Definition og simpleste egenskaber 154
§ 44. Oplagsformel 158
§ 45. Grænsesætninger for karakteristiske funktioner 159
§ 46. Multivariat normalfordeling og beslægtede fordelinger 164
Problemer 173
Kapitel 12. Styrket lov om store tal 174
§ 47. Borel-Cantelli lemma. Kolmogorovs "0 eller 1" lov 174
§ 48 Forskellige slags konvergens af stokastiske variable. . . 177
§ 49. Styrket lov af store tal 181
Problemer 188
Kapitel 13. Statistik 189
§ 50. Hovedopgaver matematisk statistik.... 189
§ 51. Prøveudtagningsmetode 190
Problemer 194
Kapitel 14. Statistiske kriterier 195
§ 52. Statistiske hypoteser 195
§ 53. Betydningsniveau og kriteriumskraft 197
§ 54. Det optimale Neyman-Pearson-kriterium.... 199
§ 55. Optimale kriterier for test af hypoteser om parametrene for normal- og binomialfordelinger 201
§ 56. Kriterier for test af komplekse hypoteser 2E4
§ 57. Ikke-parametriske kriterier 206
Problemer 211
Kapitel 15. Parameterestimater 213
§ 58. Statistiske skøn og deres egenskaber 213
§ 59. Betingede distributionslove 216
§ 60. Tilstrækkelig statistik 220
§ 61. Vurderingseffektivitet 223
§ 62. Metoder til at finde skøn 228
Problemer 232
Kapitel 16. Konfidensintervaller 234
§ 63. Fastsættelse af konfidensintervaller 234
§ 64. Konfidensintervaller for parametre Normal fordeling 236
§ 65. Konfidensintervaller for sandsynligheden for succes i Bernoulli-ordningen 240
Problemer 244
Svar på problemer 245
Normalfordelingstabeller 251
Litteratur 253
Emneregister 254
Vil du finde en vejleder i matematisk statistik i Moskva? Der er 164 af dem i vores database!
Hvis du ikke selv har tid til at vælge en matematikunderviser, kan du ved at kigge alle profilerne igennem skrive, hvilken slags vejleder du har brug for, og administratoren gratis vil vælge passende muligheder for dig.
Undervisere i matematik statistik
Privatlærer i matematisk statistik i Moskva.
Træning for skoleelever i 5. - 11. klasse, elever, voksne. Forberedelse til Unified State Exam, OGE. Gennemførelse af skolepensum af høj kvalitet. Forberedelse til alle førende fysik- og matematikskoler og lyceaer. Hjælper eleverne med at lære matematik på egen hånd. Sommerkurser tilgængelige.
Klasser i en minigruppe (2-4 personer) er mulige til en lavere pris end den officielle.
Jeg arbejder for resultater. Jeg bruger en undervisningsmetode, hvor eleverne bedst udvikler deres Kreative færdigheder Og logisk tænkning, og er også interesseret i matematik. Jeg arbejder med mine egne specielle manualer og metoder (i øvrigt testet i praksis)...
- Pris for lektion: 1500 gnid. / 60 min
- Varer:
- By: Moskva
- Nærmeste metrostationer: Elektrozavodskaya, Aviamotornaya
- Hjemmebesøg: Ingen
- Status: Skole lærer
- Uddannelse: Studerede på Fysik- og Matematikskolen opkaldt efter. A. N. Kolmogorov (nu det videnskabelige forskningscenter ved Moscow State University) i 1986-1988. Uddannet fra fakultetet for fysik ved Moscow State University. M.V. Lomonosov i 1994. Jeg har arbejdet i skolen som matematiklærer siden 1994...
Matematik for elever i 2.-11. klasse, ansøgere, elever. Forberedelse til Unified State eksamen i matematik. Forberedelse til State University-Higher School of Economics Olympiade og adgangsprøver ved Moscow State University. Hjælp i alle dele af skolens læseplan, erfaring med at arbejde i skoler. Konsultationer for studerende inden for alle områder af højere matematik (matematisk analyse, lineær algebra, analytisk geometri, sandsynlighedsteori, matematisk statistik, økonometri, diskret matematik og andre).
- Pris for lektion: 2000 rub. / 60 min
- Varer:
- By: Moskva
- Nærmeste metrostation: Kuntsevskaya
- Hjemmebesøg: ledig
- Status: Professor
- Uddannelse: Moscow State University opkaldt efter. M. V. Lomonosov (MSU), Fakultetet for Mekanik og Matematik, dimitterede i 1981. Kandidat for fysiske og matematiske videnskaber. Jeg underviser på State University Higher School of Economics.
Vejledertjenester i matematisk statistik.
Forberedelse til Unified State Exam, State Examination. Forberedelse af elever inden for ethvert område af matematik, eliminering af huller blandt skolebørn og studerende. Forberedelse af ansøgere til adgangsprøver til ethvert universitet. Datalogi og programmering.
- Pris for lektion: 1500 gnid. / 60 min
- Varer: Matematik, Matematisk analyse, Sandsynlighedsteori, Datalogi
- Byer: Moskva, Krasnogorsk
- Nærmeste metrostationer: Ungdom, Strogino
- Hjemmebesøg: ledig
- Status: Privatlærer
- Uddannelse: Moscow State University opkaldt efter M. V. Lomonosov, Fakultet for Mekanik og Matematik, dimitterede i 1996.
Individuel underviser i matematisk statistik.
Matematik: forberedelse til Unified State Exam og State Examination, algebra (inklusive trigonometri, aritmetik, matematisk logik), geometri (planimetri, stereometri), matematisk analyse, højere matematik, sandsynlighedsteori, lineær algebra, diskret matematik og andre matematiske discipliner, forberedelse til at komme ind på et universitet, til universitetseksamener. Fysik: skoleprogram, forberedelse til Unified State Exam, State Examination.
Geografi: skolepensum, forberedelse til Unified State Exam, State Examination.
Tilgangen til den enkelte elev er individuel. Fortæl mig det resultat, du ønsker at opnå fra disse klasser, og vi vil opnå det sammen.
Individuel tilgang til hver elev...
- Pris for klasser: 60 minutter/2200-2900 rubler (afhængigt af placeringen af lektionen og træningsniveauet);
90 minutter/3200 - 4000 rubler (afhængigt af placeringen af lektionen og træningsniveauet);
120 minutter/410... - Varer: Matematik, Fysik, Geografi, Sandsynlighedsteori
- Byer: Moskva, Odintsovo
- Nærmeste metrostation: Krylatskoe
- Hjemmebesøg: ledig
- Status: Privatlærer
- Uddannelse: Moscow State University opkaldt efter M. V. Lomonosov, Fakultet for Mekanik og Matematik, kandidat fra 2010 Gennemsnitlig score- 4,5. Jeg dimitterede fra skolen med en medalje.
Privatlærer i matematisk statistik.
Forberedelse af skolebørn til Unified State Exam og interne prøver, for optagelse til udenlandske skoler, assistance til elever med at udfylde huller i matematisk analyse, TFKP, højere matematik (lineær algebra, analytisk geometri, højere matematik).
Certificeret Unified State Exam ekspert i matematik, 12 års erfaring med at forberede sig til Unified State Exam, mere end 30 års vejledningserfaring. Studerende tilmelder sig et budget for Det Økonomiske Fakultet Moscow State University, State University-Higher School of Economics, Det Økonomiske Fakultet. Der er succesfuld erfaring med at forberede sig til GSCE, A-niveau.
- Pris for klasser: 60 minutter/2000 gnid.;
120 minutter/4000 gnid.. - Varer: Matematik, Matematisk analyse, Sandsynlighedsteori, Lineær algebra
- By: Moskva
- Nærmeste metrostationer: Kitay-Gorod, Lubyanka
- Hjemmebesøg: ledig
- Status: Professor
- Uddannelse: Ural pædagogisk institut, Fakultet for Fysik og Matematik, dimitteret i 1982, diplom med udmærkelse. Kandidat for fysiske og matematiske videnskaber, lektor statsuniversitet.
- Pris for klasser: 1500 rub.-2000 rub./60 min. afhængig af klassen.
- Varer: Matematik, Matematisk analyse, Lineær algebra, Sandsynlighedsteori
- By: Moskva
- Nærmeste metrostation: Novogireevo
- Hjemmebesøg: ledig
- Status: Skole lærer
- Uddannelse: Sverdlovsk Pædagogiske Institut, speciale: matematik, datalogi og datalogi, dimitteret i 1991.
Erfaren underviser i matematisk statistik.
Professionel forberedelse af høj kvalitet til 9. klasse på HSE Lyceum i 2019. Intensivt arbejde i henhold til varianter af HSE Comprehensive Tests, samt i henhold til opgaver, der strengt svarer eksamensmuligheder! Grundig udvikling af metoder til løsning af alle opgaver i den komplekse test! Eleven vil være godt forberedt!
Systematisering af viden for 5-11 klassetrin. Effektiv og væsentlig forbedring af programmet (algebra og geometri). Sikring af konsekvent høj akademisk præstation (ved "4" og "5"). Grundig forberedelse til OGE - 2019. Træning i at løse problemer i I- og II-delen af OGE-varianterne...
Privatlærer i matematisk statistik.
Skolebørn i klasse 5-11, ansøgere (Forberedelse ved Moscow State University eller til opgave C5 og C6 på Unified State Exam), studerende (klasser i almindeligt kursus højere matematik: matematisk analyse, analytisk geometri, lineær algebra, sandsynlighedsteori).
Jeg giver ret seriøse timer ved hjælp af originale materialer og individuelt udvalgte opgaver for hver elev. Derudover analyserer jeg komplekse olympiadetal og C6 med Unified State Exam.
Minimum undervisningspris 90 min. 3300 rub.
Hvis forberedelse på Moscow State University eller til opgave C5 og C6 på Unified State Exam - inden for 3800-4000 rubler.
Professionel matematikvejleder. Garanteret kvalitet af arbejdet. Individuel tilgang og valg af metoder for hver elev...
- Pris for lektion: 2200 rub. / 60 min
- Varer: Matematik, Matematisk analyse, Sandsynlighedsteori, Lineær algebra
- By: Moskva
- Nærmeste metrostation: Shchukinskaya
- Hjemmebesøg: Ingen
- Status: Privatlærer
- Uddannelse: Højere Læreruddannelse: Det matematiske fakultet, Moskvas statspædagogiske universitet. Uddannet i 1996.
Uddannet underviser i matematisk statistik.
Fag: Matematik (skole og højere, OGE og Unified State Exam), Fysik (skole, OGE og Unified State Exam), Sandsynlighedsteori, Matematisk statistik, Combinatorics.
Skolebørn, ansøgere, studerende. Forberedelse til ethvert universitet, Unified State Examination, OL. Fag: matematik, fysik, matematisk analyse, lineær algebra, analytisk geometri, sandsynlighedsteori, matematisk statistik, tilfældige processer.
Lærer forberedende kurser til universitetet.
- Pris for klasser: Min sats hjemme i Dolgoprudny er 3000 rubler/60 min. , på stedet for den studerende - 3.700 rubler/60 min. , fjernundervisning (Skype) - 2700 RUR/60 min.
- Varer: Matematik, Fysik, Sandsynlighedsteori, Matematisk analyse
- Byer: Moskva, Lobnya, Dolgoprudny, Dmitrov
- Nærmeste metrostationer: Altufyevo, River Station
- Hjemmebesøg: ledig
- Status: Professor
- Uddannelse: Moskva Institut for Fysik og Teknologi(MIPT), Fakultet for Ledelse og Anvendt Matematik, Ph.D. tekniske videnskaber, Akademisk titel"Senior Research Fellow", lektor ved Institut for Højere Matematik ved MIPT...
Erfaren underviser i matematisk statistik.
Matematik og fysik for mellem- og gymnasieelever, studerende, voksne, forberedelse til Unified State Exam og Unified State Exam. Klasser for ansøgere til universiteter. Individuelle sessioner- så effektiv som muligt. Stor undervisningserfaring garanterer vellykket studie de sværeste spørgsmål.
- Pris for klasser: Matematik og fysik: 90 min./900 rubler for skolebørn.
Studerende og voksne 90 min./1200 rub. - Varer: Matematik, Matematisk analyse, Fysik
- Byer: Moskva, Zhukovsky, Zhukovsky, Zhukovsky, Zhukovsky
- Nærmeste metrostationer: Kotelniki, Vykhino
- Hjemmebesøg: ledig
- Status: Privatlærer
- Uddannelse: Moscow State University opkaldt efter M. V. Lomonosov, Det Fysiske Fakultet, Matematisk Institut for Det Fysiske Fakultet, 1976. Russian Academy of Entrepreneurship, 1994
Ministerium Den Russiske Føderation om kommunikation og information
Siberian State University of Telecommunications and Informatics
N. I. Chernova
MATEMATISK
STATISTIKKER
Novosibirsk
Lektor, videnskabskandidat fysik og matematik Videnskaber N.I. Chernova. Matematisk statistik: Lærebog / SibGUTI.- Novosibirsk, 2009. - 90 s.
Lærebogen indeholder et seks måneders forelæsningsforløb om matematisk statistik for studerende på økonomiske specialer. Lærebogen opfylder kravene i statens uddannelsesstandard for professionel uddannelsesprogrammer speciale 080116 - "Matematiske metoder i økonomi."
Afdeling for IMBP tabel. 7, tegninger - 9, litteraturliste. - 8 navne
Anmeldere: A. P. Kovalevsky, Ph.D. fysik og matematik Sciences, lektor ved Institut for Højere Matematik ved NSTU V. I. Lotov, doktor i fysik og matematik. Sciences, professor ved instituttet
sandsynlighedsteori og matematisk statistik NSU
For speciale 080116 - "Matematiske metoder i økonomi"
Godkendt af redaktions- og forlagsrådet for SibGUTI som læremiddel
c Siberian State University
telekommunikation og informationsvidenskab, 2009
Forord. . . . . . . . . . | ||
I. Grundlæggende begreber i matematisk statistik. . . . . . . . | ||
Problemer med matematisk statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . | ||
Prøveudtagning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | ||
Udvalgte egenskaber. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | ||
Egenskaber ved den empiriske distributionsfunktion. . . . . . . . . | ||
§ 5. Egenskaber for prøvemomenter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§ 6. Histogram som et skøn over tæthed. . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§ 7. Spørgsmål og øvelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Kapitel II. Point estimering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§ 1. Punktvurderinger og deres egenskaber. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§ 2. Moments metode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Egenskaber for metode for momentestimatorer. . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
Maksimal sandsynlighed metode. . . . . . . . . . . . . . . | |||
Asymptotisk normalitet af estimater. . . . . . . . . . . . . . | |||
Spørgsmål og øvelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
Sammenligning af vurderinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
En root mean square tilgang til sammenligning af estimater. . . . . . . . . | |||
Rao-Cramer ulighed. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
Spørgsmål og øvelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
IV. Interval estimering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
Konfidensintervaller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
Principper for opbygning af konfidensintervaller. . . . . . . . | |||
Spørgsmål og øvelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
Fordelinger forbundet med alm. . . . . . . . . . | |||
Grundlæggende statistiske fordelinger. . . . . . . . . . . . . . | |||
Transformationer af normale prøver. . . . . . . . . . . . . . . | |||
Konfidensintervaller for normalfordeling. . . | |||
§ 1. Hypoteser og kriterier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§ 2. Spørgsmål og øvelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Kapitel VII. Samtykkekriterier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 1. Generel form aftalekriterier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 2. Test af simple hypoteser om parametre. . . . . . . . . . . . . . 53
§ 3. Kriterier for test af fordelingshypotesen. . . . . . . . 56
§ 4. Kriterier for test af parametriske hypoteser. . . . . . . . 59
§ 5. Kriterier for kontrol af homogenitet. . . . . . . . . . . . . . . 61
§ 6. χ 2 kriterium for kontrol af uafhængighed. . . . . . . . . . . . . 70
§ 7. Spørgsmål og øvelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§ 2. Maximum likelihood metode.. . . . . . . . . . . . . . . 74
§ 3. Mindste kvadraters metode.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
FORORD
Tutorialen indeholder fuldt kursus foredrag om matematisk statistik for studerende, der studerer i specialet "Matematiske metoder i økonomi" ved Siberian State University of Telecommunications and Informatics. Kursusindholdet er fuldt konsekvent uddannelsesmæssige standarder uddannelse af bachelorer inden for det angivne speciale.
Kurset i matematisk statistik bygger på et semesterlangt kursus i sandsynlighedsteori og er grundlaget for et årskursus i økonometri. Som et resultat af at studere emnet, skal eleverne mestre matematiske metoder forskning forskellige modeller matematisk statistik.
Kurset består af otte kapitler. Det første kapitel er det vigtigste til at forstå emnet. Den introducerer læseren til de grundlæggende begreber inden for matematisk statistik. Andet kapitel er afsat til metoder til punktestimering af ukendte fordelingsparametre: momenter og maksimal sandsynlighed.
Det tredje kapitel ser på sammenligning af estimater i kvadratisk betydning. Rao-Cramer-uligheden studeres også her som et middel til at kontrollere effektiviteten af estimater.
Det fjerde kapitel diskuterer estimering af intervalparameter, som slutter i næste kapitel med konstruktion af intervaller for normalfordelingsparametre. For at gøre dette introduceres specielle statistiske fordelinger, som derefter bruges i godhed-of-fit-testene i kapitel otte. Kapitel seks giver de nødvendige grundlæggende begreber i teorien om hypotesetestning, så læseren bør studere den meget omhyggeligt.
Endelig giver kapitel syv og otte en liste over de mest almindeligt anvendte samtykkekriterier i praksis. Det niende kapitel diskuterer simple modeller og metoder regressions analyse og hovedegenskaberne ved de opnåede estimater er bevist.
Næsten hvert kapitel afsluttes med en liste over øvelser baseret på kapitlets tekst. Tillægget indeholder tabeller med en liste over hovedkarakteristika ved diskrete og absolut kontinuerte fordelinger, tabeller over grundlæggende statistiske fordelinger.
FORORD |
Et detaljeret emneregister findes i slutningen af bogen. Bibliografien lister lærebøger, der kan bruges som supplement til forløbet og opgavesamlinger til praktiske øvelser.
Nummereringen af afsnit i hvert kapitel er separat. Formler, eksempler, udsagn osv. har løbende nummerering. Når der henvises til et objekt fra et andet kapitel, angives sidenummeret, som objektet er indeholdt på, for læserens bekvemmelighed. Når der henvises til et objekt fra samme kapitel, angives kun nummeret på formlen, eksempelet, udsagnet. Slutningen af beviserne er markeret med et symbol.
KAPITEL I
GRUNDLÆGGENDE KONCEPT FOR MATEMATISK STATISTIK
Matematisk statistik er baseret på sandsynlighedsteoriens metoder, men løser andre problemer. I sandsynlighedsteori, stokastiske variable med givet fordeling eller tilfældige eksperimenter, hvis egenskaber er helt kendte. Men hvor kommer viden om fordelinger i praktiske forsøg fra? Med hvilken sandsynlighed optræder for eksempel et våbenskjold på en given mønt? For at bestemme denne sandsynlighed kan vi kaste en mønt mange gange. Men under alle omstændigheder skal der drages konklusioner baseret på resultaterne. begrænset antal observationer. Når man således observerer 5.035 våbenskjolde efter 10.000 møntkast, kan man ikke drage en nøjagtig konklusion om sandsynligheden for, at våbenskjoldet falder: Selvom denne sandsynlighed afviger fra 0,5, kan våbenskjoldet optræde 5.035 gange. Nøjagtige konklusioner om fordelingen kan kun drages, når der udføres et uendeligt antal tests, hvilket ikke er muligt. Matematisk statistik gør det muligt, baseret på resultaterne af et begrænset antal eksperimenter, at drage mere eller mindre nøjagtige konklusioner om fordelingen af tilfældige variable observeret i disse eksperimenter.
§ 1. Problemer med matematisk statistik
Antag, at vi gentager det samme tilfældige eksperiment i samme forhold. Som et resultat af hver gentagelse af eksperimentet observeres et bestemt sæt data (numerisk eller andet).
Dette rejser følgende spørgsmål.
1. Hvis en tilfældig variabel observeres, hvordan kan en mere nøjagtig konklusion om dens fordeling laves ud fra et sæt af dens værdier i flere eksperimenter?
2. Hvis manifestationen af to eller flere tegn observeres, hvad kan man så sige om typen og styrken af afhængigheden af de observerede tilfældige variable?
Det er ofte muligt at gøre nogle antagelser om den observerede fordeling eller dens egenskaber. I dette tilfælde, baseret på eksperimentelle data, er det nødvendigt at bekræfte eller afkræfte disse antagelser ("hypoteser"). Det skal huskes, at svaret "ja" eller "nej" kun kan gives med en vis grad af sikkerhed, og jo længere vi kan fortsætte eksperimentet, jo mere præcise kan konklusionerne være. Nogle gange er det muligt at bekræfte tilgængeligheden på forhånd
8 KAPITEL I. GRUNDLÆGGENDE KONCEPT FOR MATEMATISK STATISTIK
nogle egenskaber ved det observerede forsøg - for eksempel ca funktionel afhængighed mellem observerede størrelser, om fordelingens normalitet, om dens symmetri, om tilstedeværelsen af tæthed i fordelingen eller om dens diskrete natur osv.
Så matematisk statistik fungerer, hvor der er et tilfældigt eksperiment, hvis egenskaber er delvist eller helt ukendte, og hvor vi er i stand til at reproducere dette eksperiment under de samme betingelser nogle (eller bedre, et hvilket som helst) antal gange.
Resultaterne af forsøg kan være kvantitative eller kvalitativ karakter. Der kan f.eks. tilføjes kvantitative resultater. En af deres meningsfulde karakteristika er således det aritmetiske middelværdi af observationer. Det giver ingen mening at tilføje kvalitative resultater, selvom de kan udtrykkes i numerisk form. Lad os sige, at respondentens fødselsmåned er kvalitativ, ikke kvantitativ observation: Selvom det kan angives som et tal, indeholder det aritmetiske gennemsnit af disse tal lige så meget rimelig information som beskeden om, at den gennemsnitlige person er født mellem juni og juli.
I de første kapitler vil vi studere arbejdet med kvantitative resultater observationer.
§ 2. Prøveudtagning
Lad ξ : Ω → R være en stokastisk variabel observeret i et tilfældigt eksperiment. Ved at udføre dette eksperiment n gange under de samme betingelser får vi tallene X1, X2, . . . , Xn - værdier af den observerede stokastiske variabel i det første, andet osv. eksperiment. Den stokastiske variabel ξ har en eller anden fordeling F, som er helt eller delvist ukendt for os.
Lad os se nærmere på mængden X = (X1, . . . , Xn), kaldet en prøve.
I en række eksperimenter, der allerede er blevet udført, er en prøve et sæt tal. Men før eksperimentet udføres, giver det mening at betragte stikprøven som et sæt af tilfældige variable (uafhængige og fordelt på samme måde som ξ). Inden vi udfører eksperimenter, kan vi faktisk ikke sige, hvilke værdier prøveelementerne vil tage: disse vil være nogle af værdierne af den tilfældige variabel ξ. Derfor giver det mening at overveje, at Xi før eksperimentet er en tilfældig variabel, identisk fordelt med ξ, og efter eksperimentet er det tallet, vi observerer i det i-te eksperiment, dvs. mulige værdier tilfældig variabel Xi.
Definition 1. En stikprøve X = (X1, . . . . . Xn) af volumen n fra fordeling F er et sæt af n uafhængige og identisk fordelte stokastiske variable med fordeling F.
Udvalgte elementer transformeres ofte for at gøre det nemmere at arbejde med et stort sæt data - ordnet eller grupperet.
Hvis prøveelementerne er X1, . . . , Xn er ordnet i stigende rækkefølge, og der opnås et sæt nye tilfældige variable, kaldet en variationsrække:
X(1) 6 X(2) 6 . . . 6 X(n−1) 6 X(n) .
Her er X(1) = min(X1, . . . . . . Xn ), X(n) = max(X1 , . . . . . Elementet X(k) kaldes det k. led variationsserie eller kth ordens statistik.
Når du grupperer data, vælger du flere grupper af eksempelelementværdier, tæller antallet af elementer i hver gruppe og behandler derefter kun dette nye sæt data. Både gruppering og bestilling af data kasserer nogle af oplysningerne i stikprøven.
Opgaven for matematisk statistik er at drage konklusioner fra en stikprøve om den ukendte fordeling F, hvorfra den er trukket. Fordelingen er karakteriseret ved en fordelingsfunktion, tæthed eller tabel, et sæt numeriske karakteristika: E ξ = E X1, Dξ = D X1, Eξ k = E X1 k. Ved at bruge en prøve skal du være i stand til at opbygge tilnærmelser for alle disse egenskaber. Sådanne tilnærmelser kaldes estimater. Udtrykket "vurdering" har intet at gøre med uligheder. Et estimat for nogle ukendte fordelingsegenskaber er en tilfældig variabel konstrueret ud fra en stikprøve, som i en eller anden forstand er en tilnærmelse af denne ukendte fordelingskarakteristik.
Eksempel 1. En sekssidet terning kastes 100 gange. Det første ansigt faldt ud 25 gange, det andet og femte - 14 gange hver, det tredje - 21 gange, det fjerde - 15 gange, det sjette - 11 gange. Vi har at gøre med en numerisk stikprøve, som for nemheds skyld er grupperet efter antallet af trukket point.
Ud fra disse eksperimentelle resultater er det umuligt at bestemme sandsynligheden p1, . . . , p6 tab af kanter. Vi kan kun sige, at der er opnået numeriske estimater for disse sandsynligheder: 0,25 for p1, 0,14 for p2 og for p5 osv.
Selv uden at udføre et sådant eksperiment, kunne vi på forhånd sige, at estimatet for den ukendte sandsynlighed p1 vil være en stokastisk variabel
og estimatet for sandsynlighed p2 vil være den stokastiske variabel
I denne serie af eksperimenter tog disse tilfældige variable værdier på henholdsvis 0,25 og 0,14. I en anden serie vil deres betydninger ændre sig.
KAPITEL I. GRUNDLÆGGENDE KONCEPT FOR MATEMATISK STATISTIK |
§ 3. Udvalgte karakteristika
Fra sandsynlighedsteori kender vi universalmiddel til omtrentlig beregning af alle mulige matematiske forventninger: loven om store tal. Denne lov garanterer, at de aritmetiske midler af uafhængige og identisk fordelte termer i en eller anden forstand nærmer sig den matematiske forventning af et typisk udtryk (hvis, selvfølgelig, denne matematiske forventning eksisterer).
Derfor kan du som en tilnærmelse (estimat) for den ukendte matematiske forventning E X1 bruge det aritmetiske middelværdi af alle stikprøveelementer: stikprøvemiddelværdi
X1+. . . +Xn | ||||||||||||||||||||||||||
Prøven kth moment er velegnet som et estimat for E X1 k | ||||||||||||||||||||||||||
X1 k+. . . + Xn k | ||||||||||||||||||||||||||
Xi k = | ||||||||||||||||||||||||||
og som et estimat for variansen D X1 = E (X1 − E X1 )2 = E X1 2 − (E X1 )2 |
||||||||||||||||||||||||||
prøvevarians anvendes | ||||||||||||||||||||||||||
S2 = n 1 | (Xi − X)2 = X2 − X | |||||||||||||||||||||||||
Generelt værdien | ||||||||||||||||||||||||||
g(X1)+. . . + g(Xn) | ||||||||||||||||||||||||||
g(Xi) = | ||||||||||||||||||||||||||
kan bruges til at estimere værdien af E g(X1 ).
På samme måde giver Bernoullis lov om store tal os mulighed for at estimere forskellige sandsynligheder. For eksempel sandsynligheden for en hændelse (X1< 3} можно заменить на долю vellykkede tests i Bernoulli-skemaet: hvis begivenheden for hvert element i prøven (Xi< 3}, то доля успехов
p = mængde Xi< 3n
vil konvergere (med sandsynlighed) til sandsynligheden for succes P(X1< 3). Оценивать неизвестную функцию распределения F (y) = P(X1 < y) мож-
men ved hjælp af den empiriske distributionsfunktion