I den praktiske anvendelse af sandsynlighedsteori støder man ofte på problemer, hvor det samme eksperiment eller lignende forsøg gentages gentagne gange. Som et resultat af hver oplevelse kan en begivenhed forekomme eller ikke EN, og vi er ikke interesserede i resultatet af hvert enkelt eksperiment, men det samlede antal optrædener begivenheder EN som resultat af en række eksperimenter. For eksempel, hvis en gruppe skud affyres mod det samme mål, er vi ikke interesserede i resultatet af hvert skud, men i det samlede antal træf. Sådanne problemer kan løses ganske enkelt, hvis eksperimenterne er det uafhængig.
Definition. Forsøg, der er uafhængige af begivenhed A, er dem, hvor sandsynligheden for begivenhed A i hvert forsøg ikke afhænger af resultaterne af andre forsøg.
Eksempel. Flere på hinanden følgende fjernelser af et kort fra bunken udgør uafhængige eksperimenter, forudsat at det fjernede kort returneres til bunken hver gang og kortene blandes; ellers er disse afhængige oplevelser.
Eksempel. Adskillige skud udgør kun selvstændige eksperimenter, hvis sigtningen foretages på ny før hvert skud; i det tilfælde, hvor der sigtes én gang før hele skydningen eller udføres kontinuerligt under skydeprocessen (skydning i en burst, bombning i en serie), repræsenterer skuddene afhængige eksperimenter.
Uafhængige tests kan udføres under de samme eller forskellige forhold. I det første tilfælde er sandsynligheden for en hændelse EN i alle forsøg det samme, i det andet tilfælde sandsynligheden for hændelsen EN skifter fra oplevelse til oplevelse. Det første tilfælde er forbundet med mange problemer inden for pålidelighedsteori, skudteori og fører til den såkaldte Bernoulli-skema, som er som følger:
1) sekvensen udføres n uafhængige forsøg, i hver af dem begivenheden EN vises muligvis eller ikke;
2) sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer EN i hvert forsøg er konstant og ens, ligesom sandsynligheden for, at den ikke forekommer 
.
Bernoullis formel, som bruges til at finde sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer A k en gang hver n uafhængige forsøg, i hver af dem begivenheden EN fremstår med sandsynlighed s:
. (1)
Note 1. Med stigende n Og k anvendelsen af Bernoullis formel er forbundet med beregningsmæssige vanskeligheder, derfor anvendes formel (1) hovedsageligt hvis k ikke overstiger 5 og n Ikke godt.
Note 2. På grund af det faktum, at sandsynligheder i form repræsenterer udtryk for den binomiale udvidelse, kaldes sandsynlighedsfordelingen af formen (1) binomial fordeling.
Eksempel. Sandsynligheden for at ramme målet med et skud er 0,8. Find sandsynligheden for fem hits med seks skud.
Løsning. Siden da 
, desuden og . Ved at bruge Bernoullis formel får vi:
Eksempel. Fire uafhængige skud affyres mod det samme mål fra forskellige afstande. Hitsandsynligheden for disse skud er ens, henholdsvis:
Find sandsynligheden for nej, et, to, tre og fire hits:
Løsning. Vi sammensætter genereringsfunktionen:
Eksempel. Der affyres fem uafhængige skud mod et mål, sandsynligheden for at ramme er 0,2. Tre hits er nok til at ødelægge målet. Find sandsynligheden for, at målet bliver ødelagt.
Løsning. Sandsynligheden for måldestruktion beregnes ved hjælp af formlen:
Eksempel. Der affyres ti uafhængige skud mod et mål, sandsynligheden for at ramme som med et skud er 0,1. Et slag er nok til at ramme målet. Find sandsynligheden for at ramme målet.
Løsning. Sandsynligheden for mindst ét hit beregnes ved hjælp af formlen:
3. Lokal sætning af Moivre-Laplace
I applikationer er det ofte nødvendigt at beregne sandsynligheden for forskellige hændelser relateret til antallet af forekomster af hændelsen i n test af Bernoulli-kredsløbet ved store værdier n. I dette tilfælde bliver beregninger ved hjælp af formel (1) vanskelige. Vanskelighederne stiger, når vi skal lægge disse sandsynligheder sammen. Vanskeligheder med beregninger opstår også ved små værdier s eller q.
Laplace opnåede en vigtig omtrentlig formel for sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer EN Nemlig m gange, hvis er et tilstrækkeligt stort tal, det vil sige kl.
Lokal sætning af Moivre-Laplace. Hvis sandsynligheden p for forekomsten af hændelse A i hvert forsøg er konstant og forskellig fra nul og én, , er værdien begrænset ensartet i m og n, så er sandsynligheden for forekomst af begivenhed A nøjagtigt m gange i n uafhængige forsøg omtrent lig med
Når man løser probabilistiske problemer, støder man ofte på situationer, hvor den samme test gentages mange gange, og udfaldet af hver test er uafhængigt af andres udfald. Dette eksperiment kaldes også gentagen uafhængig testordning eller Bernoulli-skema.
Eksempler på gentagne tests:
1) gentagen fjernelse af en kugle fra urnen, forudsat at den fjernede kugle sættes tilbage i urnen efter at have registreret dens farve;
2) gentagelse af en skytte af skud på samme skive, forudsat at sandsynligheden for et vellykket hit med hvert skud antages at være den samme (nulstillingsrollen tages ikke i betragtning).
Så lad testene være mulige som et resultat to udfald: enten vises en begivenhed EN eller den modsatte begivenhed. Lad os udføre n Bernoulli-test. Det betyder, at alle n forsøg er uafhængige; sandsynligheden for forekomst af hændelse $A$ i hvert enkelt eller enkelt forsøg er konstant og ændrer sig ikke fra forsøg til forsøg (dvs. forsøg udføres under de samme betingelser). Lad os betegne sandsynligheden for forekomsten af hændelsen $A$ i et enkelt forsøg med bogstavet $p$, dvs. $p=P(A)$, og sandsynligheden for den modsatte hændelse (hændelsen $A$ fandt ikke sted) - med bogstavet $q=P(\overline(A))=1-p$.
Så sandsynligheden for, at begivenheden EN vil fremgå af disse n tester præcist k gange, udtrykt Bernoullis formel
$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$
Fordelingen af antallet af succeser (forekomster af en begivenhed) kaldes binomial fordeling.
Online regnemaskiner til Bernoullis formel
Nogle af de mest populære typer problemer, der bruger Bernoulli-formlen, er diskuteret i artikler og udstyret med en online lommeregner, du kan følge linkene:
Eksempler på løsninger på problemer ved hjælp af Bernoullis formel
Eksempel. Der er 20 hvide og 10 sorte kugler i en urne. Der tages 4 kugler ud, og hver fjernet kugle returneres til urnen inden den næste tages ud og kuglerne i urnen blandes. Find sandsynligheden for, at der ud af fire trukne kugler vil være 2 hvide.
Løsning. Begivenhed EN- tog en hvid kugle frem. Så sandsynligheden
, .
Ifølge Bernoullis formel er den nødvendige sandsynlighed lig med 
.
Eksempel. Bestem sandsynligheden for, at en familie med 5 børn ikke får mere end tre piger. Sandsynligheden for at få en dreng og en pige antages at være den samme.
Løsning. Sandsynlighed for at få en pige
, Derefter .
Lad os finde sandsynligheden for, at der ikke er nogen piger i familien, en, to eller tre piger blev født:
, 
,
, 
.
Derfor er den nødvendige sandsynlighed
.
Eksempel. Blandt de dele, der behandles af en arbejder, er i gennemsnit 4% ikke-standard. Find sandsynligheden for, at blandt 30 dele, der tages til test, vil to være ikke-standard.
Løsning. Her består oplevelsen i at tjekke hver af de 30 dele for kvalitet. Hændelse A er "fremkomsten af en ikke-standard del", dens sandsynlighed er da . Herfra finder vi ved hjælp af Bernoullis formel
.
Eksempel. Med hvert enkelt skud fra en pistol er sandsynligheden for at ramme målet 0,9. Find sandsynligheden for, at antallet af succesfulde skud ud af 20 skud vil være mindst 16 og ikke mere end 19.
Løsning. Vi beregner ved hjælp af Bernoullis formel:
Eksempel. Uafhængig test fortsætter indtil begivenheden EN vil ikke ske k enkelt gang. Find sandsynligheden for, at det bliver nødvendigt n prøver (n ³ k), hvis i hver af dem .
Løsning. Begivenhed I- Nemlig n test før k- forekomst af en begivenhed EN– er resultatet af følgende to begivenheder:
D – ind n-te prøve EN skete;
C - først (n–1)-te prøver EN dukkede op (k-1) enkelt gang.
Inden præsentationen af det tredje spørgsmål i forelæsningen, identificerer læreren et problem, der nødvendiggør overvejelse af sætningen om gentagelse af eksperimenter, idet han bemærker, at i det sandsynlighedsteorikursus, der studeres, kun en bestemt sætning relateret til gentagelsen af uafhængige eksperimenter, i hver af hvilke hændelser A optræder med en konstant sandsynlighed, vil blive overvejet.
Hvorefter læreren viser beviset for denne sætning (afledning af Bernoullis formel).
For at forklare den fysiske essens af sætningen under overvejelse, bruger læreren en overheadprojektor og forberedte dias.
I slutningen af forelæsningen forklarer læreren, hvorfor sandsynlighedsfordelingen for forekomsten af begivenhed A i en række af n test, under forhold, hvor de er inkonsistente og udgør en komplet gruppe af begivenheder, kaldes binomial og gør opmærksom på vigtigheden at kende denne fordeling til at løse anvendte problemer.
Indtil nu har vi overvejet kombinationer af et relativt lille antal hændelser, hvor den direkte anvendelse af reglerne for addition og multiplikation af sandsynligheder ikke forårsagede store beregningsmæssige vanskeligheder. Men efterhånden som antallet af hændelser eller antallet af forsøg, hvor interessebegivenheden kan optræde, bliver den indlærte beregningsmetode meget besværlig.
Desuden blev problemet ganske enkelt kun løst, hvis eksperimenterne var uafhængige.
Flere eksperimenter kaldes uafhængig, hvis sandsynligheden for et eller andet udfald af hvert forsøg ikke afhænger af, hvilke resultater andre eksperimenter havde.
I praksis er der tilfælde, hvor sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer EN i alle uafhængige forsøg kan det enten være det samme eller variere fra forsøg til forsøg. For eksempel, hvis du justerer din ild efter hvert skud, vil sandsynligheden for at ramme målet ændre sig med hvert skud.
I det tilfælde, hvor sandsynligheden for forekomsten af en begivenhed i uafhængige eksperimenter ændres fra eksperiment til eksperiment, bruges den generelle sætning om gentagelse af eksperimenter, og når i uafhængige eksperimenter, ændres sandsynligheden for forekomsten af en begivenhed ikke fra eksperiment for at eksperimentere bruges en bestemt sætning om gentagelse af eksperimenter.
I det sandsynlighedsteorikursus, vi studerer, vil vi kun overveje det særlige emne med gentagelse af eksperimenter, når det er nødvendigt at bestemme sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer EN i en række uafhængige eksperimenter, i hver af hvilke begivenhed A optræder med lige stor sandsynlighed.
For eksempel er det nødvendigt at beregne sandsynligheden for, at der med fem skud fra en pistol ved konstante indstillinger opnås præcis to træf på skiven, hvis skuddene er uafhængige og med hvert skud er sandsynligheden for at ramme målet kendt og ikke lave om.
Hvis vi sammensætter mulige kombinationer af forekomsten af den begivenhed, vi er interesseret i A 1, får vi:
Der vil være 10 mulige kombinationer, hvor begivenheden A=(få 2 hits med fem skud) opstår.
Ved at anvende sætningen om summen og produktet af uafhængige begivenheder har vi:
En stigning i antallet af hændelser eller test, der interesserer os, vil føre til en endnu større stigning i mængden af beregningsmæssige operationer, så opgaven opstår med at finde mindre arbejdskrævende beregningsmetoder.
Formulering af problemet:
Lad os antage, under identiske forhold, at udføre n uafhængige tests, hvor resultatet af hver af dem kan være forekomsten af begge begivenheder EN eller det modsatte 
.
Lad os betegne med EN 1 forekomst af en begivenhed EN ved den første prøve, EN 2 - ved den anden prøve, EN n- ved sidste prøve.
På grund af testbetingelsernes konstante:
P(A 1 ) = P(A 2 ) = … P(A n ) = s
Vi er interesserede i sandsynligheden for, at hændelse A vil finde sted præcis m gange i n forsøg, men ikke vil forekomme i de resterende n-m forsøg (dvs. den modsatte hændelse af hændelse A vil forekomme - 
).
Lad os antage, at den begivenhed, vi er interesseret i EN forekommer fortløbende m gange, startende fra den første, dvs. en begivenhed finder sted - E.
E= A 1
EN 2
… A m -1
EN m
(1)
m n- m
I henhold til betingelsen for gentagelse af test er begivenhederne inkluderet i denne kombination uafhængige, mens sandsynligheden for forekomsten af begivenheder A 1, EN 2
,… A m -1
, A m samme og lige p: P(A 1
) = P(A 2
) =…= P(A m ) = p, og sandsynligheden for, at begivenheder ikke finder sted 
samme og lige q=1-р:.
Ved at anvende reglen om at multiplicere sandsynligheder for uafhængige hændelser på udtryk 1 får vi:
P(E) = P(A 1
) P(A 2
) … P(A m -1
) P(A m ) R( 
= s m (1-r) n
-
m
= s m q n -
m
På grund af de konstante testbetingelser antog vi, at begivenheden var interessant for os EN forekommer i træk m gange, startende fra den første. Men begivenheden EN V n prøvelser kan komme præcis m gange i forskellige sekvenser eller kombinationer. I dette tilfælde er vi ligeglade med den nøjagtige rækkefølge, i hvilken begivenhed A optræder nøjagtigt m enkelt gang.
Antallet af sådanne kombinationer er lig med antallet af kombinationer 
af n elementer ved m.
Da disse kombinationer af hændelser (ligner kombination E) er uforenelige, og vi ikke er interesserede i rækkefølgen af hændelsen EN i testen præcis m gange, så betegner den sandsynlighed, vi er interesseret i igennem R m, vi får:
R m
=
R m (1-r) n
-
m
=
=
Hvor 
- antal kombinationer af n elementer af m.
Denne formel kaldes Bernoullis formel.
Bernoullis formel giver os mulighed for at få et svar på spørgsmålet: hvad er sandsynligheden for, at når n uafhængige test gentages, vil en eller anden hændelse EN kommer præcis m gange, hvis i hver af disse forsøg sandsynligheden for, at hændelsen indtræffer EN er konstant og lige P(A) = p.
Ovenstående Bernoulli-formel er ekstremt vigtig i sandsynlighedsteori af den grund, at den er forbundet med at gentage tests under de samme forhold, dvs. med sådanne forhold, hvor sandsynlighedsteoriens love manifesterer sig.
Konklusion på foredraget:
I forelæsningen undersøgte vi sandsynlighedslærens grundlæggende problemstillinger i forhold til stokastiske variable, introducerede det grundlæggende begrebsapparat, der er nødvendigt for yderligere undersøgelse af disciplinen: definitionen af en stokastisk variabel, deres klassifikation; fordelingslovens begreber og dens form for forskellige typer af stokastiske variable.
Som forberedelse til efterfølgende forelæsninger og praktiske øvelser skal du selvstændigt supplere dine forelæsningsnotater, mens du studerer den anbefalede litteratur i dybden og løser de foreslåede problemstillinger.
Derudover vil vi i de efterfølgende lektioner studere sætninger og afhængigheder, der giver os mulighed for at bestemme sandsynligheden for, at en tilfældig variabel optræder det nødvendige antal gange eller med et bestemt interval, for eksempel sandsynligheden for at ramme et mål.
Udforske:
Ventzel E.S. Sandsynlighedsteori. Lærebog. Ottende udgave, stereotypisk. – M.: Højere skole, 2002 - 575 s. – s. 67-78, 80-84
Ventzel E.S., Ovcharov L.A.. Sandsynlighedsteori og dens tekniske anvendelser. Tutorial. Tredje udgave, revideret og udvidet. – M.: “Akademiet”, 2003 – 464 s. – s. 73-93
Gmurman V.E. Sandsynlighedsteori og matematisk statistik. Tutorial. Tiende udgave, stereotypisk. - M.: Higher School", 2004 - 480 s. Side 64-73
Definition af gentagne uafhængige tests. Bernoulli formler til beregning af sandsynlighed og det mest sandsynlige tal. Asymptotiske formler for Bernoullis formel (lokal og integral, Laplaces sætninger). Brug af integralsætningen. Poissons formel for usandsynlige tilfældige hændelser.
Gentagne uafhængige tests
I praksis er vi nødt til at forholde os til opgaver, der kan repræsenteres i form af gentagne tests, hvoraf begivenheden A hver især kan forekomme eller ikke. I dette tilfælde er det af interesse ikke resultatet af hvert enkelt forsøg, men det samlede antal forekomster af hændelse A som følge af et vist antal forsøg.. I sådanne problemer skal du kunne bestemme sandsynligheden for ethvert antal m forekomster af hændelse A som et resultat af n forsøg. Overvej tilfældet, når forsøgene er uafhængige, og sandsynligheden for forekomst af hændelse A i hvert forsøg er konstant. Sådanne forsøg kaldes gentaget uafhængig.
Et eksempel på uafhængig testning er kontrol af egnetheden af produkter taget fra en række batcher. Hvis procentdelen af fejl i disse partier er den samme, så er sandsynligheden for, at det valgte produkt vil være defekt, et konstant tal i hvert enkelt tilfælde.
Bernoullis formel
Lad os bruge konceptet kompleks begivenhed, hvilket betyder kombinationen af flere elementære hændelser bestående af optræden eller manglende forekomst af hændelse A i den i-te retssag. Lad n uafhængige forsøg udføres, i hver af hvilke hændelser A enten kan optræde med sandsynlighed p eller ikke optræde med sandsynlighed q=1-p. Overvej hændelsen B_m, som er, at hændelsen A vil forekomme nøjagtigt m gange i disse n forsøg og derfor ikke vil forekomme nøjagtigt (n-m) gange. Lad os betegne A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) forekomst af hændelse A, en \overline(A)_i - ikke-forekomst af hændelse A i det i-te forsøg. På grund af testbetingelsernes konstanthed har vi
Hændelse A kan optræde m gange i forskellige sekvenser eller kombinationer, skiftevis med den modsatte hændelse \overline(A) . Antallet af mulige kombinationer af denne art er lig med antallet af kombinationer af n elementer med m, dvs. C_n^m. Følgelig kan hændelsen B_m repræsenteres som en sum af komplekse hændelser, der er inkonsistente med hinanden, og antallet af led er lig med C_n^m:
B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),
hvor hvert produkt indeholder hændelsen A m gange, og \overline(A) - (n-m) gange.
Sandsynligheden for hver kompleks hændelse inkluderet i formel (3.1), ifølge sætningen om multiplikation af sandsynligheder for uafhængige hændelser, er lig med p^(m)q^(n-m) . Da det samlede antal af sådanne hændelser er lig med C_n^m, så får vi ved hjælp af sætningen om tilføjelse af sandsynligheder for uforenelige hændelser sandsynligheden for hændelsen B_m (vi betegner den P_(m,n))
P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(eller)\quad P_(m,n)=\frac(n){m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}
Formel (3.2) kaldes Bernoullis formel, og gentagne forsøg, der opfylder betingelsen om uafhængighed og konstanthed af sandsynligheden for forekomsten af begivenhed A i hver af dem, kaldes Bernoulli tester, eller Bernoulli-skema.
Eksempel 1. Sandsynligheden for at gå ud over tolerancezonen ved bearbejdning af dele på en drejebænk er 0,07. Bestem sandsynligheden for, at en ud af fem tilfældigt udvalgte dele under et skift har diametermål, der ikke svarer til den angivne tolerance.
Løsning. Problemets tilstand opfylder kravene i Bernoulli-ordningen. Derfor, forudsat n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, ved hjælp af formel (3.2) får vi
P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\ca.0,\!262.
Eksempel 2. Observationer har fastslået, at der i et bestemt område er 12 regnvejrsdage i september. Hvad er sandsynligheden for, at 3 dage ud af 8 tilfældigt udvalgte dage i denne måned vil være regnfulde?
Løsning.
P_(3;8)=C_8^3(\venstre(\frac(12)(30)\højre)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}
Mest sandsynligt antal forekomster af en begivenhed
Mest sandsynligt dato for hændelsen hændelse A i n uafhængige forsøg kaldes et sådant tal m_0, for hvilket sandsynligheden svarende til dette tal overstiger eller i det mindste ikke er mindre end sandsynligheden for hvert af de andre mulige tal for forekomst af hændelse A. For at bestemme det mest sandsynlige antal er det ikke nødvendigt at beregne sandsynligheden for det mulige antal forekomster af en begivenhed; det er nok at kende antallet af forsøg n og sandsynligheden for forekomsten af begivenhed A i et separat forsøg. Lad os betegne P_(m_0,n) sandsynligheden svarende til det mest sandsynlige tal m_0. Ved hjælp af formel (3.2) skriver vi
P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}
Ifølge definitionen af det mest sandsynlige tal må sandsynligheden for indtræden af hændelse A, henholdsvis m_0+1 og m_0-1 gange, mindst ikke overstige sandsynligheden P_(m_0,n), dvs.
P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))
Ved at erstatte værdien P_(m_0,n) og sandsynlighedsudtrykkene P_(m_0+1,n) og P_(m_0-1,n) i ulighederne, får vi
Løsning af disse uligheder for m_0, får vi
M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)
Ved at kombinere de sidste uligheder får vi en dobbelt ulighed, som bruges til at bestemme det mest sandsynlige tal:
Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).
Da længden af intervallet defineret af ulighed (3.4) er lig med én, dvs.
(np+p)-(np-q)=p+q=1,
og hændelsen kan forekomme i n forsøg kun et helt antal gange, så skal man huske på, at:
1) hvis np-q er et heltal, så er der to værdier af det mest sandsynlige tal, nemlig: m_0=np-q og m"_0=np-q+1=np+p ;
2) hvis np-q er et brøktal, så er der et mest sandsynligt tal, nemlig: det eneste heltal, der er indeholdt mellem brøktallene opnået fra ulighed (3.4);
3) hvis np er et heltal, så er der et mest sandsynligt tal, nemlig: m_0=np.
For store værdier af n er det ubelejligt at bruge formel (3.3) til at beregne sandsynligheden svarende til det mest sandsynlige tal. Hvis vi erstatter Stirling-formlen med lighed (3.3)
N!\approx(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),
gyldig for tilstrækkelig stor n, og tag det mest sandsynlige tal m_0=np, så får vi en formel til omtrentlig beregning af sandsynligheden svarende til det mest sandsynlige tal:
P_(m_0,n)\approx\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).
Eksempel 2. Det er kendt, at \frac(1)(15) en del af de produkter, som anlægget leverer til handelsbasen, ikke opfylder alle standardens krav. Et parti på 250 varer blev leveret til basen. Find det mest sandsynlige antal produkter, der opfylder kravene i standarden, og beregn sandsynligheden for, at denne batch vil indeholde det mest sandsynlige antal produkter.
Løsning. Efter betingelse n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Ifølge ulighed (3.4) har vi
250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)
hvor 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Følgelig er det mest sandsynlige antal produkter, der opfylder kravene i standarden i et parti på 250 stk. er lig med 234. Ved at indsætte dataene i formlen (3.5), beregner vi sandsynligheden for at have det mest sandsynlige antal produkter i partiet:
P_(234.250)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\approx0,\!101
Lokal Laplace-sætning
Det er meget svært at bruge Bernoullis formel til store værdier af n. For eksempel hvis n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, så for at finde sandsynligheden P_(30.50) er det nødvendigt at beregne værdien af udtrykket
P_(30.50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}
Spørgsmålet opstår naturligvis: er det muligt at beregne sandsynligheden for interesse uden at bruge Bernoullis formel? Det viser sig, at det er muligt. Laplaces lokale sætning giver en asymptotisk formel, der giver os mulighed for tilnærmelsesvis at finde sandsynligheden for, at hændelser sker præcis m gange i n forsøg, hvis antallet af forsøg er stort nok.
Sætning 3.1. Hvis sandsynligheden p for forekomsten af hændelse A i hvert forsøg er konstant og forskellig fra nul og én, så er sandsynligheden P_(m,n) for, at hændelse A vil optræde nøjagtigt m gange i n forsøg, omtrent lig (jo mere præcist, jo større n) til værdien af funktionen
Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq)) kl.
Der er tabeller, der indeholder funktionsværdier \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), svarende til positive værdier af argumentet x. For negative værdier af argumentet bruges de samme tabeller, da funktionen \varphi(x) er lige, dvs. \varphi(-x)=\varphi(x).
Så tilnærmelsesvis er sandsynligheden for, at begivenhed A vil optræde præcis m gange i n forsøg
P_(m,n)\approx\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), Hvor x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).
Eksempel 3. Find sandsynligheden for, at hændelse A indtræffer præcis 80 gange i 400 forsøg, hvis sandsynligheden for, at hændelse A indtræffer i hvert forsøg, er 0,2.
Løsning. Efter betingelse n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Lad os bruge den asymptotiske Laplace-formel:
P_(80.400)\approx\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (x).
Lad os beregne værdien x bestemt af opgavedataene:
X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.
Ifølge tabellen adj. 1 finder vi \varphi(0)=0,\!3989. Påkrævet sandsynlighed
P_(80.100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.
Bernoullis formel fører til omtrent det samme resultat (beregninger er udeladt på grund af deres besværlighed):
P_(80.100)=0,\!0498.
Laplaces integralsætning
Antag, at der udføres n uafhængige forsøg, i hver af hvilke sandsynligheden for forekomst af begivenhed A er konstant og lig med p. Det er nødvendigt at beregne sandsynligheden P_((m_1,m_2),n), for at hændelse A vil optræde i n forsøg mindst m_1 og højst m_2 gange (for kortheds skyld vil vi sige "fra m_1 til m_2 gange"). Dette kan gøres ved hjælp af Laplaces integralsætning.
Sætning 3.2. Hvis sandsynligheden p for forekomsten af hændelse A i hvert forsøg er konstant og forskellig fra nul og én, så er sandsynligheden P_((m_1,m_2),n) tilnærmelsesvis sandsynligheden for, at hændelse A vil optræde i forsøg fra m_1 til m_2 gange,
P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx, Hvor .
Ved løsning af problemer, der kræver anvendelse af Laplaces integralsætning, anvendes specielle tabeller, da det ubestemte integral \int(e^(-x^2/2)\,dx) kommer ikke til udtryk gennem elementære funktioner. Integreret bord \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz angivet i bilag. 2, hvor værdierne af funktionen \Phi(x) er givet for positive værdier af x, for x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 kan vi tage \Phi(x)=0,\!5 .
Så tilnærmelsesvis er sandsynligheden for, at hændelse A optræder i n uafhængige forsøg fra m_1 til m_2 gange,
P_((m_1,m_2),n)\ca.\Phi(x"")-\Phi(x"), Hvor x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).
Eksempel 4. Sandsynligheden for at en del er fremstillet i strid med standarder er p=0,\!2. Find sandsynligheden for, at der blandt 400 tilfældigt udvalgte dele vil være fra 70 til 100 ikke-standarddele.
Løsning. Efter betingelse p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Lad os bruge Laplaces integralsætning:
P_((70.100),400)\ca.\Phi(x")-\Phi(x").
Lad os beregne grænserne for integration:
nederste
X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,
øverst
X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,
Dermed
P_((70.100),400)\approx\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .
Ifølge tabellen adj. 2 finder vi
\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.
Påkrævet sandsynlighed
P_((70.100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.
Anvendelse af Laplaces integralsætning
Hvis tallet m (antallet af forekomster af hændelse A i n uafhængige forsøg) ændres fra m_1 til m_2, så brøken \frac(m-np)(\sqrt(npq)) vil variere fra \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" Før \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Derfor kan Laplaces integralsætning også skrives som følger:
P\venstre\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\grænser_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.
Lad os sætte opgaven med at finde sandsynligheden for, at afvigelsen af den relative frekvens \frac(m)(n) fra den konstante sandsynlighed p i absolut værdi ikke overstiger et givet tal \varepsilon>0. Vi finder med andre ord sandsynligheden for uligheden \venstre|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, hvilket er det samme -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Vi vil betegne denne sandsynlighed som følger: P\venstre\(\venstre|\frac(m)(n)-p\højre|\leqslant\varepsilon\højre\). Under hensyntagen til formel (3.6) for denne sandsynlighed opnår vi
P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\ca.2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\højre).
Eksempel 5. Sandsynligheden for at delen er ikke-standard er p=0,\!1. Find sandsynligheden for, at blandt tilfældigt udvalgte 400 dele vil den relative hyppighed af forekomst af ikke-standarddele ikke afvige fra sandsynligheden p=0,\!1 i absolut værdi med højst 0,03.
Løsning. Efter betingelse n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Vi skal finde sandsynligheden P\venstre\(\venstre|\frac(m)(400)-0,\!1\højre|\leqslant0,\!03\højre\). Ved hjælp af formel (3.7) får vi
P\venstre\(\venstre|\frac(m)(400)-0,\!1\højre|\leqslant0,\!03\højre\)\ca.2\Phi\venstre(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)
Ifølge tabellen adj. 2 finder vi \Phi(2)=0,\!4772, derfor 2\Phi(2)=0,\!9544 . Så den ønskede sandsynlighed er cirka 0,9544. Betydningen af resultatet er som følger: Hvis du tager et tilstrækkeligt stort antal prøver på hver 400 dele, så er afvigelsen af den relative frekvens fra den konstante sandsynlighed p=0.\!1 i absolut i ca. 95,44% af disse prøver. værdien vil ikke overstige 0,03.
Poissons formel for usandsynlige hændelser
Hvis sandsynligheden p for forekomsten af en hændelse i et enkelt forsøg er tæt på nul, så selv med et stort antal forsøg n, men med en lille værdi af produktet np, er sandsynlighedsværdierne P_(m,n) opnået fra Laplace-formlen er ikke nøjagtige nok, og behovet for en anden omtrentlig formel opstår.
Sætning 3.3. Hvis sandsynligheden p for forekomsten af hændelse A i hvert forsøg er konstant, men lille, er antallet af uafhængige forsøg n tilstrækkeligt stort, men værdien af produktet np=\lambda forbliver lille (ikke mere end ti), så er sandsynligheden at hændelse A vil forekomme m gange i disse forsøg er
P_(m,n)\ca.\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}
For at forenkle beregninger ved hjælp af Poisson-formlen er der udarbejdet en tabel med Poisson-funktionsværdier \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(se bilag 3).
Eksempel 6. Lad sandsynligheden for at producere en ikke-standard del være 0,004. Find sandsynligheden for, at der blandt 1000 dele vil være 5 ikke-standardiserede.
Løsning. Her n=1000,p=0,004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. Alle tre tal opfylder kravene i sætning 3.3, derfor bruger vi Poisson-formlen for at finde sandsynligheden for den ønskede hændelse P_(5.1000). Fra værditabellen for Poisson-funktionen (bilag 3) med \lambda=4;m=5 får vi P_(5.1000)\ca.0,\!1563.
Lad os finde sandsynligheden for den samme begivenhed ved hjælp af Laplaces formel. For at gøre dette, beregner vi først værdien af x svarende til m=5:
X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\approx\frac(1)(1,\!996)\approx0 ,\!501.
Derfor, ifølge Laplaces formel, den ønskede sandsynlighed
P_(5.1000)\approx\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\approx\frac(0,\!3519)(1,\!996)\approx0,\ !1763
og ifølge Bernoullis formel er dens nøjagtige værdi
P_(5.1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\ca.0,\!1552.
Den relative fejl ved beregning af sandsynligheder P_(5.1000) ved hjælp af den omtrentlige Laplace-formel er således
\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\ca.0,\!196 eller 13.\!6\%
og ifølge Poisson-formlen -
\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\ca.0,\!007 eller 0.\!7\%
Altså mange gange mindre.
Gå til næste afsnit
Endimensionelle stokastiske variable JavaScript er deaktiveret i din webbrowser.
For at udføre beregninger skal du aktivere ActiveX-kontroller!
Bernoullis formel- en formel i sandsynlighedsteori, der giver dig mulighed for at finde sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer A (\displaystyle A) i uafhængige tests. Bernoullis formel giver dig mulighed for at slippe af med et stort antal beregninger - addition og multiplikation af sandsynligheder - med et tilstrækkeligt stort antal tests. Opkaldt efter den fremragende schweiziske matematiker Jacob Bernoulli, der udledte denne formel.
Encyklopædisk YouTube
1 / 3
✪ Sandsynlighedsteori. 22. Bernoulli formel. Problemløsning
✪ Bernoulli formel
✪ 20 Gentagelser af Bernoulli Formula-tests
Undertekster
Formulering
Sætning. Hvis sandsynligheden p (\displaystyle p) forekomst af en begivenhed A (\displaystyle A) er konstant i hvert forsøg, så er sandsynligheden P k , n (\displaystyle P_(k,n)) at begivenheden A (\displaystyle A) kommer præcis k (\displaystyle k) en gang hver n (\displaystyle n) uafhængige test, er lig med: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), Hvor q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).
Bevis
Lad det udføres n (\displaystyle n) uafhængige tests, og det er kendt, at som et resultat af hver test hændelsen A (\displaystyle A) sker med sandsynlighed P (A) = p (\displaystyle P\left(A\right)=p) og forekommer derfor ikke med sandsynlighed P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). Lad også under test af sandsynlighed p (\displaystyle p) Og q (\displaystyle q) Forbliv uændret. Hvad er sandsynligheden for, at som følge heraf n (\displaystyle n) uafhængige tests, begivenhed A (\displaystyle A) kommer præcis k (\displaystyle k) enkelt gang?
Det viser sig, at det er muligt nøjagtigt at beregne antallet af "vellykkede" kombinationer af testresultater, for hvilke begivenheden A (\displaystyle A) kommer k (\displaystyle k) en gang hver n (\displaystyle n) uafhængige tests - dette er præcis antallet af kombinationer af n (\displaystyle n) Ved k (\displaystyle k) :
C n (k) = n ! k! (n − k) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.
På samme tid, da alle tests er uafhængige, og deres resultater er uforenelige (hændelse A (\displaystyle A) enten forekommer eller ej), så er sandsynligheden for at opnå en "succesfuld" kombination nøjagtigt lig med: .
Endelig, for at finde sandsynligheden for, at n (\displaystyle n) uafhængig testbegivenhed A (\displaystyle A) kommer præcis k (\displaystyle k) Endnu en gang skal du tilføje sandsynligheden for at få alle de "succesfulde" kombinationer. Sandsynligheden for at få alle "vellykkede" kombinationer er de samme og lige p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)), er antallet af "vellykkede" kombinationer lig med C n (k) (\displaystyle C_(n)(k)), så vi endelig får:
P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).
Det sidste udtryk er intet andet end Bernoullis Formel. Det er også nyttigt at bemærke, at på grund af fuldstændigheden af gruppen af begivenheder, vil det være sandt:
∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).