Hvis hændelserne H 1, H 2, ..., H n danner en komplet gruppe, så kan du bruge den samlede sandsynlighedsformel for at beregne sandsynligheden for en vilkårlig hændelse:

P(A) = P(A/H 1) P(H 1)+P(A/H 2) P(H 2)

Ifølge hvilken sandsynligheden for forekomsten af ​​begivenhed A kan repræsenteres som summen af ​​produkterne af de betingede sandsynligheder for begivenhed A, med forbehold for forekomsten af ​​begivenheder H i, ved de ubetingede sandsynligheder for disse begivenheder H i. Disse hændelser H i kaldes hypoteser.

Fra den samlede sandsynlighedsformel følger Bayes' formel:

Sandsynligheden P(H i) for hypoteserne H i kaldes a priori sandsynligheder - sandsynligheder før udførelse af eksperimenter.
Sandsynligheder P(A/H i) kaldes posteriore sandsynligheder - sandsynligheden for hypoteser H i, forfinet som et resultat af erfaring.

Formålet med tjenesten. Onlineberegneren er designet til at beregne den samlede sandsynlighed med hele løsningsprocessen skrevet i Word-format (se eksempler på problemløsning).

Antal objekter 2 3 4 5
Antal specificerede produkter Sandsynligheden for defekte produkter er specificeret
Anlæg nr. 1: P(H1) = . Sandsynlighed for standardprodukter: P(A|H1) =
Anlæg nr. 2: P(H2) = . Sandsynlighed for standardprodukter: P(A|H2) =
Anlæg nr. 3: P(H3) = . Sandsynlighed for standardprodukter: P(A|H3) =
Anlæg nr. 4: P(H4) = . Sandsynlighed for standardprodukter: P(A|H4) =
Anlæg nr. 5: P(H5) = . Sandsynlighed for standardprodukter: P(A|H5) =

Hvis kildedataene præsenteres som en procentdel (%), så skal de præsenteres som en andel. For eksempel 60 %: 0,6.

Eksempel nr. 1. Butikken modtager pærer fra to fabrikker, hvor den første fabriks andel er 25%. Det er kendt, at procentdelen af ​​fejl på disse fabrikker er lig med henholdsvis 5% og 10% af alle fremstillede produkter. Sælgeren tager en pære tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at den er defekt?
Løsning: Lad os med A betegne begivenheden - "pæren viser sig at være defekt." Følgende hypoteser om oprindelsen af ​​denne pære er mulige: H 1- "pæren kom fra den første fabrik." H 2- "pæren kom fra den anden plante." Da andelen af ​​det første anlæg er 25 %, er sandsynligheden for disse hypoteser ens hhv. ; .
Den betingede sandsynlighed for, at en defekt pære blev produceret af den første plante er , den anden plante - p(A/H 2)=finder vi den krævede sandsynlighed for, at sælgeren tog en defekt pære ved hjælp af den samlede sandsynlighedsformel
0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0,0875
Svar: p(A)= 0,0875.

Eksempel nr. 2. Butikken modtog to lige store mængder af produktet af samme navn. Det er kendt, at 25% af det første parti og 40% af det andet parti er førsteklasses varer. Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt vareenhed ikke er af første klasse?
Løsning:
Lad os med A betegne begivenheden - "produktet vil være førsteklasses." Følgende hypoteser om oprindelsen af ​​dette produkt er mulige: H 1- "produkt fra første batch." H 2- "produkt fra anden batch." Da andelen af ​​den første batch er 25%, er sandsynligheden for disse hypoteser ens hhv. ; .
Den betingede sandsynlighed for, at produktet fra den første batch er , fra den anden batch - den ønskede sandsynlighed for, at en tilfældigt udvalgt enhed af varer vil være førsteklasses
p(A) = P(H 1) p(A/H 1)+P(H 2) (A/H 2)= 0,25·0,5+0,4·0,5=0,125+0,2=0,325
Derefter vil sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt vareenhed ikke er af den første kvalitet, være lig med: 1- 0,325 = 0,675
Svar: .

Eksempel nr. 3. Det er kendt, at 5 % af mændene og 1 % af kvinderne er farveblinde. Den tilfældigt udvalgte person viste sig ikke at være farveblind. Hvad er sandsynligheden for, at der er tale om en mand (antag, at der er lige mange mænd og kvinder).
Løsning.
Hændelse A - den tilfældige valgte person viser sig ikke at være farveblind.
Lad os finde sandsynligheden for, at denne begivenhed indtræffer.
P(A) = P(A|H=han) + P(A|H=hun) = 0,95*0,5 + 0,99*0,5 = 0,475 + 0,495 = 0,97
Så er sandsynligheden for, at dette er en mand: p = P(A|H=mand) / P(A) = 0,475/0,97 = 0,4897

Eksempel nr. 4. 4 1.-elever, 6 2.-elever og 5 3.-elever deltager i idrætsolympiaden Sandsynligheden for, at en 1.-, 2.-, 3.-elev vinder olympiaden er henholdsvis 0,9; 0,7 og 0,8.
a) Find sandsynligheden for at vinde af en tilfældigt udvalgt deltager.
b) Under betingelserne for dette problem vandt en elev olympiaden. Hvilken gruppe tilhører han højst sandsynligt?
Løsning.
Begivenhed A - sejr for en tilfældigt udvalgt deltager.
Her er P(H1) = 4/(4+6+5) = 0,267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0,4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0,333,
P(A|H1) = 0,9, P(A|H2) = 0,7, P(A|H3) = 0,8
a) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,267*0,9 + 0,4*0,7 + 0,333*0,8 = 0,787
b) Løsningen kan fås ved hjælp af denne lommeregner.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
Fra p1, p2, p3, vælg den maksimale.

Eksempel nr. 5. Virksomheden råder over tre maskiner af samme type. En af dem giver 20% af den samlede produktion, den anden - 30%, den tredje - 50%. I dette tilfælde producerer den første maskine 5% af fejlene, den anden 4%, den tredje - 2%. Find sandsynligheden for, at et tilfældigt udvalgt defekt produkt produceres af den første maskine.

Sandsynlighed for den modsatte begivenhed

Overvej en tilfældig begivenhed EN, og lad sin sandsynlighed p(A) kendt. Derefter sandsynligheden for den modsatte hændelse bestemmes af formlen

. (1.8)

Bevis. Lad os huske det ifølge aksiom 3 til ikke-fælles arrangementer

p(A+B) = p(A) + p(B).

På grund af inkompatibilitet EN Og

Følge., det vil sige, at sandsynligheden for en umulig begivenhed er nul.

Ved hjælp af formel (1.8) bestemmes f.eks. sandsynligheden for at misse, hvis sandsynligheden for et hit er kendt (eller omvendt sandsynligheden for et hit, hvis sandsynligheden for en miss er kendt; for eksempel, hvis sandsynligheden for en hit for en pistol er 0,9, sandsynligheden for en miss for den er (1 – 0, 9 = 0,1).

1. Sandsynlighed for summen af ​​to hændelser

Det ville være passende at minde om det her til ikke-fælles arrangementer denne formel ser sådan ud:

Eksempel. Fabrikken producerer 85% af førsteklasses produkter og 10% af andengradsprodukter. De resterende produkter anses for defekte. Hvad er sandsynligheden for, at hvis vi tager et produkt tilfældigt, får vi en defekt?

Løsning. P = 1 – (0,85 + 0,1) = 0,05.

Sandsynlighed for summen af ​​to tilfældige hændelser svarende til

Bevis. Lad os forestille os en begivenhed EN + B som en sum af uforenelige hændelser

På grund af uforeneligheden EN og vi opnår ifølge aksiom 3

Tilsvarende finder vi

Ved at erstatte sidstnævnte i den foregående formel opnår vi den ønskede (1.10) (figur 2).

Eksempel. Af de 20 elever bestod 5 eksamen i historie med en dårlig karakter, 4 i engelsk, og 3 elever fik dårlige karakterer i begge fag. Hvad er procentdelen af ​​elever i gruppen, der ikke har fejl i disse fag?

Løsning. P = 1 – (5/20 + 4/20 – 3/20) = 0,7 (70%).

1. Betinget sandsynlighed

I nogle tilfælde er det nødvendigt at bestemme sandsynligheden for en tilfældig hændelse B forudsat at der er sket en tilfældig hændelse EN, som har en sandsynlighed, der ikke er nul. Hvad er begivenheden EN skete, indsnævrer rummet af elementære begivenheder til et sæt EN svarende til denne begivenhed. Vi vil gennemføre yderligere diskussioner ved at bruge eksemplet med det klassiske skema. Lad W bestå af n lige så mulige elementære hændelser (udfald) og hændelsen EN tjenester m(A) og begivenheden AB - m(AB) resultater. Lad os betegne den betingede sandsynlighed for begivenheden B forudsat at EN skete, - p(B|A). A-priory,

= .

Hvis EN skete, så en af ​​de m(A) resultater og begivenhed B kan kun ske, hvis et af resultaterne favoriserer AB; sådanne resultater m(AB). Derfor er det naturligt at sætte den betingede sandsynlighed for hændelsen B forudsat at EN sket, svarende til forholdet

For at opsummere, lad os give en generel definition: betinget sandsynlighed for hændelse B, forudsat at hændelse A indtræffer med en sandsynlighed, der ikke er nul , hedder

. (1.11)

Det er let at kontrollere, at den på denne måde introducerede definition opfylder alle aksiomer, og derfor er alle de tidligere beviste teoremer gyldige.

Ofte betinget sandsynlighed p(B|A) kan let findes ud fra problemets betingelser; i mere komplekse tilfælde skal man bruge definition (1.11).

Eksempel. Urnen indeholder N kugler, hvoraf n er hvide og N-n er sorte. En bold tages ud af den og uden at lægge den tilbage ( prøve uden retur ), tager de en anden ud. Hvad er sandsynligheden for, at begge kugler er hvide?

Løsning. Når vi løser dette problem, anvender vi både den klassiske definition af sandsynlighed og produktreglen: lad os med A angive den begivenhed, at den hvide kugle blev trukket først (derefter blev den sorte bold trukket først), og med B den begivenhed, at den anden. blev tegnet hvid kugle; Derefter

.

Det er let at se, at sandsynligheden for, at tre bolde trukket i træk (uden erstatning) er hvide:

etc.

Eksempel. Ud af 30 eksamensbilletter forberedte eleven kun 25. Hvis han nægter at besvare den første billet, der blev taget (som han ikke kender), så har han lov til at tage den anden. Bestem sandsynligheden for, at den anden billet vil være heldig.

Løsning. Lad begivenheden EN er, at den første udtrukket billet viste sig at være "dårlig" for eleven, og B- den anden - ²god². Fordi efter begivenheden EN en af ​​de "dårlige" er allerede fjernet, så er der kun 29 billetter tilbage, hvoraf eleven kender 25. Derfor er den ønskede sandsynlighed, hvis det antages, at enhver billets udseende er lige mulig, og at de ikke vender tilbage, lig med .

1. Produktsandsynlighed

Relation (1.11), forudsat at p(A) eller p(B) ikke er lig med nul, kan skrives i formen

Dette forhold kaldes sætningen om sandsynligheden for produktet af to begivenheder , som kan generaliseres til et hvilket som helst antal faktorer, f.eks. for tre har det formen

Eksempel. Ved hjælp af betingelserne i det foregående eksempel, find sandsynligheden for at bestå eksamen, hvis den studerende skal besvare den første billet eller, uden at besvare den første, skal besvare den anden.

Løsning. Lad begivenheder EN Og B er, at henholdsvis første og anden billet er ²god². Så – udseendet af en "dårlig" billet for første gang. Eksamen tages, hvis hændelsen indtræffer EN eller på samme tid B. Det vil sige, at den ønskede begivenhed C - vellykket beståelse af eksamen - udtrykkes som følger: C = EN+ .Herfra

Her udnyttede vi uforeneligheden EN og derfor inkompatibilitet EN og , sætninger om sandsynligheden for summen og produktet og den klassiske definition af sandsynlighed ved beregning p(A) Og .

Dette problem kan løses mere enkelt, hvis vi bruger sætningen om sandsynligheden for den modsatte begivenhed:

1. Uafhængighed af begivenheder

Tilfældige hændelser A og Blad os ringeuafhængig, hvis

For selvstændige arrangementer følger det af (1.11), at ; Det modsatte er også sandt.

Uafhængighed af begivenhederbetyder, at forekomsten af ​​begivenhed A ikke ændrer sandsynligheden for forekomsten af ​​begivenhed B, dvs. den betingede sandsynlighed er lig med den ubetingede sandsynlighed .

Eksempel. Lad os betragte det foregående eksempel med en urne, der indeholder N kugler, hvoraf n er hvide, men ændre eksperimentet: efter at have taget en kugle ud, sætter vi den tilbage og tager først derefter den næste ud ( prøve med retur ).

A er hændelsen, hvor den hvide bold trækkes først, hændelsen, at den sorte bold trækkes først, og B er hændelsen, hvor den hvide bold trækkes som nummer to; Derefter

dvs. i dette tilfælde er begivenheder A og B uafhængige.

Ved prøvetagning med retur er begivenhederne i den anden tegning af en bold således uafhængige af begivenhederne i den første tegning, men ved prøveudtagning uden retur er dette ikke tilfældet. For store N og n er disse sandsynligheder dog meget tæt på hinanden. Dette bruges, fordi der nogle gange udføres prøveudtagning uden retur (for eksempel under kvalitetskontrol, når test af et objekt fører til dets ødelæggelse), og beregninger udføres ved hjælp af formler for prøveudtagning med retur, som er enklere.

I praksis bruger de, når de beregner sandsynligheder, ofte reglen, hvorefter fra begivenhedernes fysiske uafhængighed følger deres uafhængighed i teoretisk-sandsynlighedsmæssig forstand .

Eksempel. Sandsynligheden for, at en person på 60 år ikke dør i det næste år, er 0,91. Et forsikringsselskab forsikrer livet for to 60-årige i et år.

Sandsynlighed for, at ingen af ​​dem dør: 0,91 × 0,91 = 0,8281.

Sandsynlighed for at de begge dør:

(1 – 0,91) × (1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.

Sandsynlighed for at dø mindst en:

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Sandsynlighed for at dø en:

0,91 × 0,09 + 0,09 × 0,91 = 0,1638.

Event system A 1 , A 2 ,..., A n Vi kalder det uafhængigt i aggregatet, hvis sandsynligheden for produktet er lig med produktet af sandsynligheden for enhver kombination af faktorer fra dette system. I dette tilfælde er det især

Eksempel. Sikkerhedskoden består af syv decimalcifre. Hvad er sandsynligheden for, at en tyv skriver det korrekt første gang?

I hver af de 7 positioner kan du ringe til et hvilket som helst af de 10 cifre 0,1,2,...,9, i alt 10 7 numre, startende fra 0000000 og slutter med 9999999.

Eksempel. Sikkerhedskoden består af et russisk bogstav (der er 33 af dem) og tre tal. Hvad er sandsynligheden for, at en tyv skriver det korrekt første gang?

P = (1/33) × (1/10) 3 .

Eksempel. I en mere generel form er forsikringsproblemet: sandsynligheden for, at en person i alderen ... år ikke dør i det næste år, er lig med p. Et forsikringsselskab forsikrer livet for n personer i denne alder i et år.

Sandsynligheden for at ingen af dem vil ikke dø: pn (ingen skal betale en forsikringspræmie).

Sandsynlighed for at dø mindst en: 1 – p n (betalinger kommer).

Sandsynligheden for, at de Alle vil dø: (1 – p) n (største udbetalinger).

Sandsynlighed for at dø en: n × (1 – p) × p n-1 (hvis personer er nummererede, så kan den der dør have nummer 1, 2,...,n – det er n forskellige hændelser, som hver har en sandsynlighed (1 – p ) x pn-1).

1. Formel for total sandsynlighed

Lad begivenheder H1, H2, ..., Hn opfylde betingelserne

Hvis .

Sådan en samling kaldes hele gruppen af ​​arrangementer.

Lad os antage, at sandsynligheden er kendt s(Hej), s(A/H i). I dette tilfælde er det gældende formel for total sandsynlighed

. (1.14)

Bevis. Lad os bruge det faktum Hej(de kaldes normalt hypoteser ) er parvis inkompatible (derfor inkompatible og Hej× EN), og deres sum er en pålidelig begivenhed

Denne ordning opstår altid, når vi kan tale om at opdele hele begivenhedsrummet i flere, generelt set, heterogene regioner. I økonomi er dette opdelingen af ​​et land eller en region i regioner af forskellig størrelse og forskellige forhold, når andelen af ​​hver region er kendt p(hej) og sandsynligheden (andelen) for en eller anden parameter i hver region (for eksempel procentdelen af ​​arbejdsløse - hver region har sin egen) - p(A/H i). Lageret kan indeholde produkter fra tre forskellige fabrikker, der leverer forskellige mængder af produkter med forskellige fejlprocenter mv.

Eksempel. Indstøbning af emner kommer fra to værksteder til det tredje: 70 % fra det første og 30 % fra det andet. Samtidig har produkterne fra det første værksted 10% defekter, og det andet - 20%. Find sandsynligheden for, at en blank taget tilfældigt har en defekt.

Løsning: p(H1) = 0,7; p(H2) = 0,3; p(A/H1) = 0,1; p(A/H2) = 0,2;

P = 0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (i gennemsnit er 13 % af barrerne i det tredje værksted defekte).

En matematisk model kunne for eksempel være sådan her: der er flere urner af forskellig sammensætning; den første urne indeholder n 1 kugler, hvoraf m 1 er hvide osv. Ved hjælp af totalsandsynlighedsformlen leder vi efter sandsynligheden for at vælge en urne tilfældigt og trække en hvid kugle fra den.

Den samme ordning bruges til at løse problemer i det generelle tilfælde.

Eksempel. Lad os vende tilbage til eksemplet med en urne, der indeholder N kugler, hvoraf n er hvide. Vi tager to bolde ud af det (uden at vende tilbage). Hvad er sandsynligheden for, at den anden kugle er hvid?

Løsning. H 1 – den første kugle er hvid; p(H1)=n/N;

H 2 – den første kugle er sort; p(H2)=(N-n)/N;

B - den anden kugle er hvid; p(B|H1)=(n-1)/(N-1); p(B|H2)=n/(N-1);

Den samme model kan anvendes til at løse følgende problem: ud af N billetter har en elev kun lært n. Hvad er mere rentabelt for ham - at trække billetten først eller anden? Det viser sig, at han under alle omstændigheder er sandsynlig n/N trækker en god billet og med sandsynlighed ( N-n)/N – dårligt.

Eksempel. Bestem sandsynligheden for, at en rejsende, der forlader punkt A, ender ved punkt B, hvis han ved et vejskille tilfældigt vælger en hvilken som helst vej (undtagen den tilbagevendende). Vejkortet er vist i fig. 1.3.

Løsning. Lad den rejsendes ankomst til punkterne H 1, H 2, H 3 og H 4 være de tilsvarende hypoteser. Det er klart, at de udgør en komplet gruppe af begivenheder og i overensstemmelse med betingelserne for problemet

p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.

(Alle retninger fra A er lige mulige for den rejsende). Ifølge køreplanen er de betingede sandsynligheder for at komme ind i B, forudsat at den rejsende har passeret gennem Hi, lig med:

Ved at anvende den samlede sandsynlighedsformel får vi

1. Bayes formel

Lad os antage, at betingelserne i det foregående afsnit er opfyldt, og det er desuden kendt, at begivenheden EN skete. Lad os finde sandsynligheden for, at hypotesen blev realiseret H k. Per definition af betinget sandsynlighed

. (1.15)

Det resulterende forhold kaldes Bayes formel. Det tillader ifølge kendt
(før eksperimentet) a priori sandsynligheder for hypoteserne p(hej) og betingede sandsynligheder p(A|H i) bestemme betinget sandsynlighed p(H k |A) som hedder a posteriori (det vil sige opnået under den betingelse, at begivenheden som et resultat af oplevelsen EN allerede er sket).

Eksempel. 30 % af patienterne indlagt på hospitalet tilhører den første sociale gruppe, 20 % til den anden og 50 % til den tredje. Sandsynligheden for at pådrage sig tuberkulose for en repræsentant for hver socialgruppe er henholdsvis 0,02, 0,03 og 0,01. Test udført på en tilfældigt udvalgt patient viste tilstedeværelsen af ​​tuberkulose. Find sandsynligheden for, at dette er en repræsentant for den tredje gruppe.

Faktisk er formlerne (1) og (2) en kort registrering af betinget sandsynlighed baseret på en eventuel tabel over funktioner. Lad os vende tilbage til det omtalte eksempel (fig. 1). Antag, at vi lærer, at en familie planlægger at købe et bredskærms-tv. Hvad er sandsynligheden for, at denne familie rent faktisk vil købe sådan et tv?

Ris. 1. Bredskærms-tv-købsadfærd

I dette tilfælde skal vi beregne den betingede sandsynlighed P (køb gennemført | køb planlagt). Da vi ved, at familien planlægger at købe, består prøverummet ikke af alle 1000 familier, men kun dem, der planlægger at købe et widescreen-tv. Af de 250 sådanne familier købte 200 faktisk dette tv. Derfor kan sandsynligheden for, at en familie rent faktisk køber et widescreen-tv, hvis de har planlagt at gøre det, beregnes ved hjælp af følgende formel:

P (køb gennemført | køb planlagt) = antal familier, der planlagde og købte et widescreen-tv / antal familier, der planlægger at købe et widescreen-tv = 200 / 250 = 0,8

Formel (2) giver samme resultat:

hvor er arrangementet EN er, at familien planlægger at købe et widescreen-tv, og arrangementet I- at hun faktisk vil købe det. Ved at erstatte reelle data i formlen får vi:

Beslutningstræ

I fig. 1 familier er opdelt i fire kategorier: dem, der planlagde at købe et bredskærms-tv, og dem, der ikke gjorde det, samt dem, der købte et sådant tv, og dem, der ikke gjorde. En lignende klassificering kan udføres ved hjælp af et beslutningstræ (fig. 2). Træet vist i fig. 2 har to filialer svarende til familier, der planlagde at købe et widescreen-tv, og familier, der ikke gjorde det. Hver af disse filialer opdeles i to yderligere filialer svarende til husstande, der købte og ikke købte et widescreen-tv. Sandsynligheder skrevet i enderne af de to hovedgrene er de ubetingede sandsynligheder for begivenheder EN Og EN'. Sandsynligheder skrevet i enderne af de fire yderligere grene er de betingede sandsynligheder for hver kombination af hændelser EN Og I. Betingede sandsynligheder beregnes ved at dividere den fælles sandsynlighed for begivenheder med den tilsvarende ubetingede sandsynlighed for hver af dem.

Ris. 2. Beslutningstræ

For at beregne sandsynligheden for, at en familie vil købe et widescreen-fjernsyn, hvis den har planlagt at gøre det, skal man for eksempel bestemme sandsynligheden for begivenheden køb planlagt og gennemført, og divider det derefter med sandsynligheden for hændelsen køb planlagt. Bevægelse langs beslutningstræet vist i fig. 2, får vi følgende (svarende til det foregående) svar:

Statistisk uafhængighed

I eksemplet med at købe et bredskærms-tv er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt familie købte et bredskærms-tv, da de planlagde at gøre det, 200/250 = 0,8. Husk, at den ubetingede sandsynlighed for, at en tilfældigt udvalgt familie har købt et widescreen-tv, er 300/1000 = 0,3. Dette fører til en meget vigtig konklusion. Forudgående information om, at familien planlagde et køb, påvirker sandsynligheden for selve købet. Disse to begivenheder afhænger med andre ord af hinanden. I modsætning til dette eksempel er der statistisk uafhængige hændelser, hvis sandsynligheder ikke afhænger af hinanden. Statistisk uafhængighed udtrykkes ved identiteten: P(A|B) = P(A), Hvor P(A|B)- sandsynlighed for hændelse EN forudsat at hændelsen fandt sted I, P(A)- ubetinget sandsynlighed for begivenhed A.

Bemærk venligst at arrangementer EN Og I P(A|B) = P(A). Hvis i en beredskabstabel med karakteristika med en størrelse på 2×2, er denne betingelse opfyldt for mindst én kombination af hændelser EN Og I, vil den være gyldig for enhver anden kombination. I vores eksempel begivenheder køb planlagt Og køb gennemført er ikke statistisk uafhængige, fordi information om én begivenhed påvirker sandsynligheden for en anden.

Lad os se på et eksempel, der viser, hvordan man tester den statistiske uafhængighed af to begivenheder. Lad os spørge 300 familier, der har købt et widescreen-tv, om de var tilfredse med deres køb (fig. 3). Afgør, om graden af ​​tilfredshed med købet og typen af ​​tv hænger sammen.

Ris. 3. Data, der karakteriserer graden af ​​tilfredshed hos købere af widescreen-tv

At dømme efter disse data,

På samme tid,

P (kundetilfreds) = 240 / 300 = 0,80

Derfor er sandsynligheden for, at kunden er tilfreds med købet, og at familien har købt et HDTV, lige stor, og disse hændelser er statistisk uafhængige, fordi de ikke er relateret til hinanden.

Sandsynlighedsmultiplikationsregel

Formlen til beregning af betinget sandsynlighed giver dig mulighed for at bestemme sandsynligheden for en fælles begivenhed A og B. Har løst formel (1)

i forhold til fælles sandsynlighed P(A og B), får vi en generel regel for multiplikation af sandsynligheder. Sandsynlighed for hændelse A og B lig med sandsynligheden for hændelsen EN forudsat at hændelsen indtræffer I I:

(3) P(A og B) = P(A|B) * P(B)

Lad os som eksempel tage 80 familier, der købte et widescreen HDTV-fjernsyn (fig. 3). Tabellen viser, at 64 familier er tilfredse med købet og 16 ikke er. Lad os antage, at to familier er tilfældigt udvalgt blandt dem. Bestem sandsynligheden for, at begge kunder bliver tilfredse. Ved hjælp af formel (3) får vi:

P(A og B) = P(A|B) * P(B)

hvor er arrangementet EN er, at den anden familie er tilfreds med deres køb og arrangementet I- at den første familie er tilfreds med deres køb. Sandsynligheden for, at den første familie er tilfreds med deres køb, er 64/80. Men sandsynligheden for, at den anden familie også er tilfreds med deres køb, afhænger af den første families svar. Hvis den første familie ikke vender tilbage til stikprøven efter undersøgelsen (udvalg uden returnering), reduceres antallet af respondenter til 79. Hvis den første familie er tilfreds med deres køb, er sandsynligheden for, at den anden familie også bliver tilfreds, 63 /79, da der kun er 63 tilbage i stikprøven familier, der er tilfredse med deres køb. Ved at erstatte specifikke data i formel (3) får vi således følgende svar:

P(A og B) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Derfor er sandsynligheden for, at begge familier er tilfredse med deres indkøb, 63,8 %.

Antag, at efter undersøgelsen vender den første familie tilbage til stikprøven. Bestem sandsynligheden for, at begge familier vil være tilfredse med deres køb. I dette tilfælde er sandsynligheden for, at begge familier er tilfredse med deres køb, den samme, svarende til 64/80. Derfor er P(A og B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Sandsynligheden for, at begge familier er tilfredse med deres indkøb er således 64,0 %. Dette eksempel viser, at valget af den anden familie ikke afhænger af valget af den første. Således erstatter den betingede sandsynlighed i formel (3) P(A|B) sandsynlighed P(A), får vi en formel til at gange sandsynligheden for uafhængige hændelser.

Reglen for multiplikation af sandsynligheden for uafhængige hændelser. Hvis begivenheder EN Og I er statistisk uafhængige, sandsynligheden for en begivenhed A og B lig med sandsynligheden for hændelsen EN, ganget med sandsynligheden for hændelsen I.

(4) P(A og B) = P(A)P(B)

Hvis denne regel gælder for begivenheder EN Og I, hvilket betyder, at de er statistisk uafhængige. Der er således to måder at bestemme den statistiske uafhængighed af to begivenheder:

1. Begivenheder EN Og I er statistisk uafhængige af hinanden, hvis og kun hvis P(A|B) = P(A).
2. Begivenheder EN Og B er statistisk uafhængige af hinanden, hvis og kun hvis P(A og B) = P(A)P(B).

Hvis i en 2x2 beredskabstabel, er en af ​​disse betingelser opfyldt for mindst én kombination af hændelser EN Og B, vil den være gyldig for enhver anden kombination.

Ubetinget sandsynlighed for en elementær begivenhed

(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)

hvor begivenheder B 1, B 2, ... B k er gensidigt udelukkende og udtømmende.

Lad os illustrere anvendelsen af ​​denne formel ved at bruge eksemplet i fig. 1. Ved hjælp af formel (5) får vi:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

Hvor P(A)- sandsynligheden for, at købet var planlagt, P(B 1)- sandsynligheden for, at købet er foretaget, P(B 2)- sandsynligheden for, at købet ikke gennemføres.

BAYES' TEOREM

Den betingede sandsynlighed for en hændelse tager højde for information om, at en anden hændelse har fundet sted. Denne tilgang kan både bruges til at finpudse sandsynligheden under hensyntagen til nymodtaget information, og til at beregne sandsynligheden for, at den observerede effekt er en konsekvens af en specifik årsag. Fremgangsmåden til at forfine disse sandsynligheder kaldes Bayes' sætning. Det blev først udviklet af Thomas Bayes i det 18. århundrede.

Lad os antage, at ovennævnte virksomhed undersøger markedet for en ny tv-model. Tidligere var 40% af de tv'er, som virksomheden havde skabt, succesfulde, mens 60% af modellerne ikke blev anerkendt. Før de annoncerer udgivelsen af ​​en ny model, undersøger marketingspecialister omhyggeligt markedet og registrerer efterspørgsel. Tidligere blev 80 % af succesrige modeller forudsagt at være succesfulde, mens 30 % af succesfulde forudsigelser viste sig at være forkerte. Marketingafdelingen gav en positiv prognose for den nye model. Hvad er sandsynligheden for, at en ny tv-model bliver efterspurgt?

Bayes' sætning kan udledes af definitionerne af betinget sandsynlighed (1) og (2). For at beregne sandsynligheden P(B|A), tag formlen (2):

og erstatte i stedet for P(A og B) værdien fra formel (3):

P(A og B) = P(A|B) * P(B)

Ved at erstatte formel (5) i stedet for P(A), får vi Bayes' sætning:

hvor begivenheder B 1, B 2, ... B k er gensidigt udelukkende og udtømmende.

Lad os introducere følgende notation: begivenhed S - TV er efterspurgt, begivenheder' - TV er ikke efterspurgt, begivenhed F - gunstig prognose, begivenhed F' - dårlig prognose. Lad os antage, at P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Ved at anvende Bayes' sætning får vi:

Sandsynligheden for efterspørgsel efter en ny tv-model, givet en gunstig prognose, er 0,64. Således er sandsynligheden for manglende efterspørgsel givet en gunstig prognose 1–0,64=0,36. Beregningsprocessen er vist i fig. 4.

Ris. 4. (a) Beregninger ved hjælp af Bayes-formlen til at estimere sandsynligheden for efterspørgsel efter fjernsyn; (b) Beslutningstræ ved undersøgelse af efterspørgslen efter en ny tv-model

Lad os se på et eksempel på brug af Bayes' teorem til medicinsk diagnostik. Sandsynligheden for, at en person lider af en bestemt sygdom er 0,03. En medicinsk test kan kontrollere, om dette er sandt. Hvis en person virkelig er syg, er sandsynligheden for en nøjagtig diagnose (som siger, at personen er syg, når han virkelig er syg) 0,9. Hvis en person er rask, er sandsynligheden for en falsk positiv diagnose (som siger, at en person er syg, når han er rask) 0,02. Lad os sige, at den medicinske test giver et positivt resultat. Hvad er sandsynligheden for, at en person rent faktisk er syg? Hvad er sandsynligheden for en præcis diagnose?

Lad os introducere følgende notation: begivenhed D - personen er syg, begivenhed D’ - personen er rask, begivenhed T - diagnosen er positiv, begivenhed T' - diagnose negativ. Af betingelserne for opgaven følger det, at P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Ved at anvende formel (6) får vi:

Sandsynligheden for, at en person med en positiv diagnose virkelig er syg er 0,582 (se også fig. 5). Bemærk venligst, at nævneren i Bayes-formlen er lig med sandsynligheden for en positiv diagnose, dvs. 0,0464.

• Sandsynlighed er graden (relativt mål, kvantitativ vurdering) af muligheden for forekomsten af ​​en eller anden begivenhed. Når årsagerne til, at en eventuel hændelse faktisk opstår, opvejer de modsatte årsager, så kaldes denne hændelse sandsynlig, ellers - usandsynlig eller usandsynlig. Overvægten af ​​positive årsager frem for negative, og omvendt, kan være i varierende grad, hvorved sandsynligheden (og usandsynligheden) kan være større eller mindre. Derfor vurderes sandsynlighed ofte på et kvalitativt niveau, især i de tilfælde, hvor en mere eller mindre præcis kvantitativ vurdering er umulig eller yderst vanskelig. Forskellige gradueringer af "niveauer" af sandsynlighed er mulige.

  Studiet af sandsynlighed fra et matematisk synspunkt udgør en særlig disciplin - sandsynlighedsteori. I sandsynlighedsteori og matematisk statistik er begrebet sandsynlighed formaliseret som en numerisk karakteristik af en begivenhed - et sandsynlighedsmål (eller dets værdi) - et mål på et sæt begivenheder (undermængder af et sæt af elementære begivenheder), idet der tages værdier ​fra

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Betyder

  (\displaystyle 1)

  Svarer til en pålidelig begivenhed. En umulig hændelse har en sandsynlighed på 0 (det modsatte er generelt ikke altid sandt). Hvis sandsynligheden for at en hændelse indtræffer er

  (\displaystyle p)

  Så er sandsynligheden for ikke-forekomst lig med

  (\displaystyle 1-p)

  Især sandsynligheden

  (\displaystyle 1/2)

  Betyder lige stor sandsynlighed for forekomst og ikke-forekomst af en begivenhed.

  Den klassiske definition af sandsynlighed er baseret på begrebet lige sandsynlighed for udfald. Sandsynligheden er forholdet mellem antallet af gunstige udfald for en given begivenhed og det samlede antal lige mulige udfald. For eksempel er sandsynligheden for at få hoveder eller haler i et tilfældigt møntkast 1/2, hvis det antages, at kun disse to muligheder forekommer, og at de er lige mulige. Denne klassiske "definition" af sandsynlighed kan generaliseres til tilfældet med et uendeligt antal mulige værdier - for eksempel hvis en begivenhed kan forekomme med samme sandsynlighed på et hvilket som helst punkt (antallet af punkter er uendeligt) i et begrænset område af rum (plan), så er sandsynligheden for, at det vil forekomme i en eller anden del af denne mulige region, lig med forholdet mellem volumenet (arealet) af denne del og volumenet (arealet) af området af alle mulige punkter.

  Den empiriske "definition" af sandsynlighed er relateret til frekvensen af ​​en hændelse, baseret på det faktum, at med et tilstrækkeligt stort antal forsøg, bør frekvensen tendere til den objektive grad af mulighed for denne hændelse. I den moderne præsentation af sandsynlighedsteori defineres sandsynlighed aksiomatisk, som et specialtilfælde af den abstrakte teori om sat mål. Forbindelsen mellem det abstrakte mål og sandsynligheden, som udtrykker graden af ​​mulighed for, at en begivenhed indtræffer, er imidlertid netop hyppigheden af ​​dens observation.

  Den probabilistiske beskrivelse af visse fænomener er blevet udbredt i moderne videnskab, især inden for økonometri, statistisk fysik af makroskopiske (termodynamiske) systemer, hvor selv i tilfælde af en klassisk deterministisk beskrivelse af partiklernes bevægelse, en deterministisk beskrivelse af hele systemet af partikler synes ikke praktisk muligt eller passende. I kvantefysikken er de beskrevne processer i sig selv sandsynlige.

Jeg forstår, at alle vil vide på forhånd, hvordan sportsbegivenheden ender, hvem der vinder og hvem der taber. Med disse oplysninger kan du satse på sportsbegivenheder uden frygt. Men er det overhovedet muligt, og i så fald hvordan beregner man sandsynligheden for en hændelse?

Sandsynlighed er en relativ værdi, derfor kan den ikke tale med sikkerhed om nogen begivenhed. Denne værdi giver dig mulighed for at analysere og evaluere behovet for at placere et væddemål på en bestemt konkurrence. At bestemme sandsynligheder er en hel videnskab, der kræver omhyggelig undersøgelse og forståelse.

Sandsynlighedskoefficient i sandsynlighedsteori

I sportsvæddemål er der flere muligheder for udfaldet af konkurrencen:

• første hold sejr;
• sejr for det andet hold;
• tegne;
• Total

Hvert udfald af konkurrencen har sin egen sandsynlighed og hyppighed, med hvilken denne begivenhed vil finde sted, forudsat at de oprindelige karakteristika bibeholdes. Som vi sagde tidligere, er det umuligt nøjagtigt at beregne sandsynligheden for enhver begivenhed - det kan være sammenfaldende eller ikke. Din indsats kan således enten vinde eller tabe.

Der kan ikke være en 100 % nøjagtig forudsigelse af konkurrencens resultater, da mange faktorer påvirker kampens udfald. Bookmakere kender naturligvis ikke udfaldet af kampen på forhånd og antager kun resultatet, idet de træffer beslutninger ved hjælp af deres analysesystem og tilbyder bestemte odds for væddemål.

Hvordan beregner man sandsynligheden for en hændelse?

Lad os antage, at bookmakerens odds er 2,1/2 - vi får 50%. Det viser sig, at koefficient 2 er lig med sandsynligheden på 50 %. Ved at bruge samme princip kan du få en break-even sandsynlighedskoefficient - 1/sandsynlighed.

Mange spillere tror, ​​at efter flere gentagne nederlag vil en sejr helt sikkert ske - dette er en fejlagtig mening. Sandsynligheden for at vinde et væddemål afhænger ikke af antallet af tab. Selvom du vender flere hoveder i træk i et møntspil, forbliver sandsynligheden for at vippe haler den samme - 50%.