Første niveau

Sandsynlighedsteori. Problemløsning (2019)

Hvad er sandsynlighed?

Første gang jeg stødte på dette udtryk, ville jeg ikke have forstået, hvad det var. Derfor vil jeg forsøge at forklare klart.

Sandsynlighed er chancen for, at den begivenhed, vi ønsker, finder sted.

For eksempel besluttede du at gå til en vens hus, du husker indgangen og endda gulvet, hvor han bor. Men jeg glemte nummeret og placeringen af ​​lejligheden. Og nu står du på trappen, og foran dig er der døre at vælge imellem.

Hvad er chancen (sandsynligheden) for, at hvis du ringer på den første dørklokke, vil din ven besvare døren for dig? Der er kun lejligheder, og en ven bor kun bag en af ​​dem. Med lige muligheder kan vi vælge enhver dør.

Men hvad er denne chance?

Døren, den rigtige dør. Sandsynlighed for at gætte ved at ringe på den første dørklokke: . Det vil sige, en gang ud af tre vil du gætte præcist.

Vi vil gerne vide, efter at have ringet én gang, hvor ofte vil vi gætte døren? Lad os se på alle mulighederne:

1. Du ringede 1 dør
2. Du ringede 2 dør
3. Du ringede 3 dør

Lad os nu se på alle de muligheder, hvor en ven kunne være:

EN. Bag 1 døren
b. Bag 2 døren
V. Bag 3 døren

Lad os sammenligne alle mulighederne i tabelform. Et flueben angiver muligheder, når dit valg falder sammen med en vens placering, et kryds - når det ikke er sammenfaldende.

Hvordan ser du alt måske muligheder din vens placering og dit valg af, hvilken dør der skal ringes op.

EN gunstige resultater af alle . Det vil sige, at du vil gætte én gang ved at ringe én gang på døren, dvs. .

Dette er sandsynlighed - forholdet mellem et gunstigt resultat (når dit valg falder sammen med din vens placering) og antallet af mulige begivenheder.

Definitionen er formlen. Sandsynlighed er normalt angivet med p, så:

Det er ikke særlig bekvemt at skrive en sådan formel, så vi tager for - antallet af gunstige resultater og for - det samlede antal udfald.

Sandsynligheden kan skrives som en procentdel; for at gøre dette skal du gange det resulterende resultat med:

Ordet "resultater" fangede sandsynligvis dit øje. Da matematikere kalder forskellige handlinger (i vores tilfælde er en sådan handling en dørklokke) eksperimenter, kaldes resultatet af sådanne eksperimenter normalt for resultatet.

Nå, der er gunstige og ugunstige resultater.

Lad os gå tilbage til vores eksempel. Lad os sige, at vi ringede på en af ​​dørene, men en fremmed åbnede den for os. Vi gættede ikke rigtigt. Hvad er sandsynligheden for, at hvis vi ringer på en af ​​de resterende døre, vil vores ven åbne den for os?

Hvis du troede det, så er det en fejl. Lad os finde ud af det.

Vi har to døre tilbage. Så vi har mulige trin:

1) Ring 1 dør
2) Ring 2 dør

Vennen, på trods af alt dette, står bestemt bag en af ​​dem (han stod trods alt ikke bag den, vi kaldte):

a) Ven for 1 døren
b) Ven for 2 døren

Lad os tegne bordet igen:

Som du kan se, er der kun muligheder, hvoraf er gunstige. Det vil sige, at sandsynligheden er lig.

Hvorfor ikke?

Den situation vi overvejede er eksempel på afhængige begivenheder. Den første begivenhed er den første dørklokke, den anden begivenhed er den anden dørklokke.

Og de kaldes afhængige, fordi de påvirker følgende handlinger. Når alt kommer til alt, hvis dørklokken blev besvaret af en ven efter det første ring, hvad ville sandsynligheden så være for, at han stod bag en af ​​de to andre? Højre, .

Men hvis der er afhængige begivenheder, så skal der også være det uafhængig? Det er rigtigt, de sker.

Et lærebogseksempel er at kaste en mønt.

1. Kast en mønt én gang. Hvad er sandsynligheden for for eksempel at få hoveder? Det er rigtigt - for der er alle mulighederne (enten hoveder eller haler, vi vil negligere sandsynligheden for, at mønten lander på kanten), men det passer kun os.
2. Men det kom op i hovedet. Okay, lad os smide det igen. Hvad er sandsynligheden for at få hoveder nu? Intet har ændret sig, alt er det samme. Hvor mange muligheder? To. Hvor mange er vi glade for? En.

Og lad det komme op i hovedet mindst tusind gange i træk. Sandsynligheden for at få hoveder på én gang vil være den samme. Der er altid muligheder, og gunstige.

Det er let at skelne afhængige begivenheder fra uafhængige:

1. Hvis eksperimentet udføres én gang (de kaster en mønt én gang, ringer én gang på døren osv.), så er begivenhederne altid uafhængige.
2. Hvis et eksperiment udføres flere gange (en mønt kastes én gang, dørklokken ringes flere gange), så er den første begivenhed altid uafhængig. Og så, hvis antallet af gunstige eller antallet af alle udfald ændres, så er begivenhederne afhængige, og hvis ikke, er de uafhængige.

Lad os øve os lidt i at bestemme sandsynligheden.

Eksempel 1.

Mønten kastes to gange. Hvad er sandsynligheden for at få hoveder to gange i træk?

Løsning:

Lad os overveje alle mulige muligheder:

1. Ørn-ørn
2. Hoveder-haler
3. Haler-hoveder
4. Haler-haler

Som du kan se, er der kun muligheder. Af disse er vi kun tilfredse. Det vil sige sandsynligheden:

Hvis betingelsen blot beder dig om at finde sandsynligheden, så skal svaret gives i form af en decimalbrøk. Hvis det var specificeret, at svaret skulle angives i procent, så ville vi gange med.

Svar:

Eksempel 2.

I en æske chokolade er alle chokoladerne pakket i samme indpakning. Dog fra slik - med nødder, med cognac, med kirsebær, med karamel og med nougat.

Hvad er sandsynligheden for at tage en slik og få en slik med nødder? Giv dit svar i procent.

Løsning:

Hvor mange mulige udfald er der? .

Det vil sige, at hvis du tager én slik, vil det være en af ​​dem, der findes i æsken.

Hvor mange gunstige resultater?

Fordi æsken kun indeholder chokolade med nødder.

Svar:

Eksempel 3.

I en kasse med balloner. hvoraf er hvide og sorte.

1. Hvad er sandsynligheden for at tegne en hvid kugle?
2. Vi tilføjede flere sorte kugler til kassen. Hvad er nu sandsynligheden for at tegne en hvid kugle?

Løsning:

a) Der er kun bolde i kassen. Af dem er hvide.

Sandsynligheden er:

b) Nu er der flere bolde i kassen. Og der er lige så mange hvide tilbage - .

Svar:

Samlet sandsynlighed

Sandsynligheden for alle mulige hændelser er lig med ().

Lad os sige, at der er røde og grønne kugler i en æske. Hvad er sandsynligheden for at tegne en rød kugle? Grøn bold? Rød eller grøn bold?

Sandsynlighed for at tegne en rød kugle

Grøn bold:

Rød eller grøn kugle:

Som du kan se, er summen af ​​alle mulige hændelser lig med (). At forstå dette punkt vil hjælpe dig med at løse mange problemer.

Eksempel 4.

Der er markører i kassen: grøn, rød, blå, gul, sort.

Hvad er sandsynligheden for at tegne IKKE en rød markør?

Løsning:

Lad os tælle tallet gunstige resultater.

IKKE en rød markør, det betyder grøn, blå, gul eller sort.

Sandsynlighed for alle hændelser. Og sandsynligheden for begivenheder, som vi anser for ugunstige (når vi tager en rød markør ud) er .

Således er sandsynligheden for at trække en IKKE rød tusch ud .

Svar:

Sandsynligheden for, at en begivenhed ikke indtræffer, er lig med minus sandsynligheden for, at begivenheden indtræffer.

Regel for multiplikation af sandsynligheden for uafhængige hændelser

Du ved allerede, hvad selvstændige begivenheder er.

Hvad hvis du har brug for at finde sandsynligheden for, at to (eller flere) uafhængige hændelser finder sted i træk?

Lad os sige, at vi gerne vil vide, hvad er sandsynligheden for, at hvis vi slår en mønt én gang, vil vi se hoveder to gange?

Vi har allerede overvejet - .

Hvad hvis vi kaster en mønt én gang? Hvad er sandsynligheden for at se en ørn to gange i træk?

Samlet mulige muligheder:

1. Eagle-eagle-eagle
2. Hoveder-hoveder-haler
3. Hoveder-hale-hoveder
4. Hoveder-haler-haler
5. Haler-hoveder-hoveder
6. Haler-hoveder-haler
7. Haler-hale-hoveder
8. Haler-haler-haler

Jeg ved ikke med dig, men jeg lavede fejl flere gange, da jeg kompilerede denne liste. Wow! Og den eneste mulighed (den første) passer os.

For 5 kast kan du selv lave en liste over mulige udfald. Men matematikere er ikke så hårdtarbejdende som dig.

Derfor bemærkede de først og beviste derefter, at sandsynligheden for en bestemt række af uafhængige begivenheder hver gang falder med sandsynligheden for en begivenhed.

Med andre ord,

Lad os se på eksemplet med den samme skæbnesvangre mønt.

Sandsynlighed for at få hoveder i en udfordring? . Nu slår vi mønten én gang.

Hvad er sandsynligheden for at få hoveder på række?

Denne regel virker ikke kun, hvis vi bliver bedt om at finde sandsynligheden for, at den samme begivenhed vil ske flere gange i træk.

Hvis vi ønskede at finde rækkefølgen TAILS-HEADS-TAILS for på hinanden følgende kast, ville vi gøre det samme.

Sandsynligheden for at få haler er , hoveder - .

Sandsynlighed for at få sekvensen TAILS-HEADS-TAILS-HALER:

Du kan selv tjekke det ved at lave en tabel.

Reglen for tilføjelse af sandsynligheder for uforenelige hændelser.

Så stop! Ny definition.

Lad os finde ud af det. Lad os tage vores udtjente mønt og kaste den én gang.
Mulige muligheder:

1. Eagle-eagle-eagle
2. Hoveder-hoveder-haler
3. Hoveder-hale-hoveder
4. Hoveder-haler-haler
5. Haler-hoveder-hoveder
6. Haler-hoveder-haler
7. Haler-hale-hoveder
8. Haler-haler-haler

Så uforenelige begivenheder er en bestemt, given rækkefølge af begivenheder. - disse er uforenelige begivenheder.

Hvis vi ønsker at bestemme, hvad sandsynligheden for to (eller flere) uforenelige hændelser er, så tilføjer vi sandsynligheden for disse hændelser.

Du skal forstå, at hoveder eller haler er to uafhængige begivenheder.

Hvis vi ønsker at bestemme sandsynligheden for, at en sekvens (eller en hvilken som helst anden) forekommer, så bruger vi reglen om at multiplicere sandsynligheder.
Hvad er sandsynligheden for at få hoveder ved første kast og haler ved andet og tredje kast?

Men hvis vi vil vide, hvad er sandsynligheden for at få en af ​​flere sekvenser, for eksempel når hoveder kommer op præcis én gang, dvs. muligheder, og så skal vi lægge sandsynligheden for disse sekvenser sammen.

Samlede muligheder passer os.

Vi kan få det samme ved at lægge sandsynligheden for forekomst af hver sekvens sammen:

Således tilføjer vi sandsynligheder, når vi ønsker at bestemme sandsynligheden for visse, inkonsistente, hændelsesforløb.

Der er en god regel, der hjælper dig med at undgå at blive forvirret, hvornår du skal gange, og hvornår du skal tilføje:

Lad os gå tilbage til eksemplet, hvor vi kastede en mønt én gang og ønskede at kende sandsynligheden for at se hoveder én gang.
Hvad kommer der til at ske?

Skulle falde ud:
(hoveder OG haler OG haler) ELLER (haler OG hoveder OG haler) ELLER (haler OG haler OG hoveder).
Sådan bliver det:

Lad os se på et par eksempler.

Eksempel 5.

Der er blyanter i æsken. rød, grøn, orange og gul og sort. Hvad er sandsynligheden for at tegne røde eller grønne blyanter?

Løsning:

Hvad kommer der til at ske? Vi skal trække (rød ELLER grøn).

Nu er det klart, lad os lægge sandsynligheden for disse begivenheder sammen:

Svar:

Eksempel 6.

Hvis en terning kastes to gange, hvad er sandsynligheden for at få i alt 8?

Løsning.

Hvordan kan vi få point?

(og) eller (og) eller (og) eller (og) eller (og).

Sandsynligheden for at få et (et hvilket som helst) ansigt er .

Vi beregner sandsynligheden:

Svar:

Uddannelse.

Jeg tror, ​​at du nu forstår, hvornår du skal beregne sandsynligheder, hvornår du skal lægge dem sammen, og hvornår du skal gange dem. Er det ikke? Lad os øve os lidt.

Opgaver:

Lad os tage et kortspil indeholdende kort inklusive spar, hjerter, 13 kløver og 13 ruder. Fra til es i hver kulør.

1. Hvad er sandsynligheden for at trække køller i træk (vi lægger det første kort trukket ud tilbage i bunken og blander det)?
2. Hvad er sandsynligheden for at trække et sort kort (spar eller kløver)?
3. Hvad er sandsynligheden for at tegne et billede (knægt, dronning, konge eller es)?
4. Hvad er sandsynligheden for at tegne to billeder i træk (vi fjerner det første kort, der trækkes fra bunken)?
5. Hvad er sandsynligheden for at samle en kombination - (kønt, dronning eller konge) og et es, når man tager to kort?. Den rækkefølge, kortene trækkes i, er ligegyldige.

Svar:

1. I et sæt kort af hver værdi betyder det:
2. Begivenheder er afhængige, da antallet af kort i bunken faldt efter det første kort blev trukket ud (det samme gjorde antallet af "billeder"). Der er til at begynde med knægte, damer, konger og esser i bunken, hvilket betyder sandsynligheden for at trække et "billede" med det første kort:

   Da vi fjerner det første kort fra bunken, betyder det, at der allerede er kort tilbage i bunken, inklusive billeder. Sandsynlighed for at tegne et billede med det andet kort:

   Da vi er interesserede i situationen, når vi tager et "billede" OG et "billede" ud fra dækket, skal vi gange sandsynligheden:

   Svar:

3. Efter at det første kort er trukket ud, vil antallet af kort i bunken falde. Derfor passer os to muligheder:
   1) Det første kort er es, det andet er knægt, dronning eller konge
   2) Vi udtager en knægt, dronning eller konge med det første kort og et es med det andet. (es og (knægt eller dronning eller konge)) eller ((knægt eller dronning eller konge) og es). Glem ikke at reducere antallet af kort i bunken!

Hvis du var i stand til at løse alle problemerne selv, så er du fantastisk! Nu vil du knække sandsynlighedsteoretiske problemer i Unified State-eksamenen som nødder!

SANDSYNLIGHEDSTEORI. GENNEMSNIVEAU

Lad os se på et eksempel. Lad os sige, at vi kaster en terning. Hvad er det for en knogle, ved du det? Det er det, de kalder en terning med tal på forsiderne. Hvor mange ansigter, så mange tal: fra til hvor mange? Før.

Så vi kaster terningerne, og vi vil have, at den kommer op eller. Og vi forstår det.

I sandsynlighedsteori siger de, hvad der skete lovende begivenhed(ikke at forveksle med velstående).

Hvis det skete, ville begivenheden også være gunstig. I alt kan der kun ske to gunstige begivenheder.

Hvor mange er ugunstige? Da der er totalt mulige hændelser, betyder det, at de ugunstige er hændelser (dette er hvis eller falder ud).

Definition:

Sandsynlighed er forholdet mellem antallet af gunstige hændelser og antallet af alle mulige hændelser. Det vil sige, at sandsynligheden viser, hvor stor en andel af alle mulige begivenheder, der er gunstige.

De betegner sandsynlighed med et latinsk bogstav (tilsyneladende fra det engelske ord sandsynlighed - sandsynlighed).

Det er sædvanligt at måle sandsynligheden i procent (se emne). For at gøre dette skal sandsynlighedsværdien ganges med. I terningeksemplet, sandsynlighed.

Og i procent:.

Eksempler (bestem selv):

1. Hvad er sandsynligheden for at få hoveder, når du kaster en mønt? Hvad er sandsynligheden for at lande hoveder?
2. Hvad er sandsynligheden for at få et lige tal, når man kaster en terning? Hvilken er mærkelig?
3. I en æske med enkle, blå og røde blyanter. Vi tegner en blyant tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for at få en simpel en?

Løsninger:

1. Hvor mange muligheder er der? Hoveder og haler - kun to. Hvor mange af dem er gunstige? Kun én er en ørn. Altså sandsynligheden

   Det er det samme med haler: .

2. Samlede muligheder: (hvor mange sider kuben har, så mange forskellige muligheder). Gunstige: (disse er alle lige tal:).
   Sandsynlighed. Selvfølgelig er det det samme med ulige tal.
3. I alt: . Gunstig: . Sandsynlighed:.

Samlet sandsynlighed

Alle blyanter i æsken er grønne. Hvad er sandsynligheden for at tegne en rød blyant? Der er ingen chancer: sandsynlighed (trods alt gunstige begivenheder -).

En sådan begivenhed kaldes umulig.

Hvad er sandsynligheden for at tegne en grøn blyant? Der er nøjagtig det samme antal gunstige arrangementer, som der er samlede arrangementer (alle arrangementer er gunstige). Så sandsynligheden er lig med eller.

En sådan begivenhed kaldes pålidelig.

Hvis en æske indeholder grønne og røde blyanter, hvad er sandsynligheden for at tegne grøn eller rød? Endnu engang. Lad os bemærke dette: sandsynligheden for at trække grøn ud er lig, og rød er lig.

I sum er disse sandsynligheder nøjagtigt lige store. Det er, summen af ​​sandsynligheden for alle mulige hændelser er lig med eller.

Eksempel:

I en æske med blyanter, blandt dem er blå, rød, grøn, almindelig, gul, og resten er orange. Hvad er sandsynligheden for ikke at tegne grønt?

Løsning:

Vi husker, at alle sandsynligheder tæller sammen. Og sandsynligheden for at blive grøn er lige stor. Det betyder, at sandsynligheden for ikke at tegne grønt er lige stor.

Husk dette trick: Sandsynligheden for, at en begivenhed ikke indtræffer, er lig med minus sandsynligheden for, at begivenheden indtræffer.

Uafhængige begivenheder og multiplikationsreglen

Du slår en mønt én gang og vil have den til at komme op begge gange. Hvad er sandsynligheden for dette?

Lad os gennemgå alle de mulige muligheder og bestemme, hvor mange der er:

Hoveder-hoveder, haler-hoveder, hoveder-haler, haler-haler. Hvad ellers?

Samlede muligheder. Af disse passer kun én til os: Eagle-Eagle. I alt er sandsynligheden lig.

Bøde. Lad os nu slå en mønt en gang. Lav selv regnestykket. sket? (svar).

Du har måske bemærket, at med tilføjelsen af ​​hvert efterfølgende kast, falder sandsynligheden med det halve. Den generelle regel kaldes multiplikationsreglen:

Sandsynligheden for uafhængige begivenheder ændrer sig.

Hvad er uafhængige begivenheder? Alt er logisk: det er dem, der ikke er afhængige af hinanden. For eksempel, når vi kaster en mønt flere gange, hver gang der laves et nyt kast, hvis resultat ikke afhænger af alle tidligere kast. Vi kan lige så nemt kaste to forskellige mønter på samme tid.

Flere eksempler:

1. Terningerne kastes to gange. Hvad er sandsynligheden for at få det begge gange?
2. Mønten kastes én gang. Hvad er sandsynligheden for, at det vil komme op med hoveder første gang, og derefter haler to gange?
3. Spilleren kaster to terninger. Hvad er sandsynligheden for, at summen af ​​tallene på dem er lige store?

Svar:

1. Begivenhederne er uafhængige, hvilket betyder, at multiplikationsreglen virker: .
2. Sandsynligheden for hoveder er lige stor. Sandsynligheden for haler er den samme. Formere sig:
3. 12 kan kun opnås, hvis der rulles to -ki:.

Inkompatible hændelser og tilføjelsesreglen

Begivenheder, der supplerer hinanden med fuld sandsynlighed, kaldes uforenelige. Som navnet antyder, kan de ikke ske samtidigt. Hvis vi f.eks. slår en mønt, kan den komme op med enten hoveder eller haler.

Eksempel.

I en æske med blyanter, blandt dem er blå, rød, grøn, almindelig, gul, og resten er orange. Hvad er sandsynligheden for at tegne grøn eller rød?

Løsning .

Sandsynligheden for at tegne en grøn blyant er lige stor. Rød -.

Gunstige begivenheder i alt: grøn + rød. Det betyder, at sandsynligheden for at tegne grøn eller rød er lige stor.

Den samme sandsynlighed kan repræsenteres i denne form: .

Dette er tilføjelsesreglen: sandsynligheden for uforenelige hændelser tæller sammen.

Blandede typer problemer

Eksempel.

Mønten kastes to gange. Hvad er sandsynligheden for, at resultaterne af rullerne bliver anderledes?

Løsning .

Det betyder, at hvis det første resultat er hoveder, skal det andet være haler og omvendt. Det viser sig, at der er to par uafhængige begivenheder, og disse par er uforenelige med hinanden. Hvordan man ikke bliver forvirret over, hvor man skal gange og hvor man skal lægge til.

Der er en simpel regel for sådanne situationer. Prøv at beskrive, hvad der skal ske ved hjælp af konjunktionerne "OG" eller "ELLER". For eksempel i dette tilfælde:

Det skal komme op (hoveder og haler) eller (haler og hoveder).

Hvor der er en konjunktion "og" vil der være multiplikation, og hvor der er "eller" vil der være addition:

Prøv selv:

1. Hvad er sandsynligheden for, at hvis en mønt bliver kastet to gange, vil mønten lande på samme side begge gange?
2. Terningerne kastes to gange. Hvad er sandsynligheden for at få et samlet antal point?

Løsninger:

1. (Hoveder faldt og haler faldt) eller (haler faldt og haler faldt): .
2. Hvad er mulighederne? Og. Derefter:
   Droppet (og) eller (og) eller (og): .

Et andet eksempel:

Kast en mønt én gang. Hvad er sandsynligheden for, at hoveder dukker op mindst én gang?

Løsning:

Åh, hvor vil jeg ikke gå igennem mulighederne... Hoveder-haler-haler, Ørne-hoveder-haler,... Men der er ingen grund! Lad os huske om den samlede sandsynlighed. Kan du huske? Hvad er sandsynligheden for, at ørnen vil aldrig falde ud? Det er enkelt: Hovederne flyver hele tiden, det er derfor.

SANDSYNLIGHEDSTEORI. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

Sandsynlighed er forholdet mellem antallet af gunstige hændelser og antallet af alle mulige hændelser.

Uafhængige arrangementer

To begivenheder er uafhængige, hvis forekomsten af ​​den ene ikke ændrer sandsynligheden for, at den anden indtræffer.

Samlet sandsynlighed

Sandsynligheden for alle mulige hændelser er lig med ().

Sandsynligheden for, at en begivenhed ikke indtræffer, er lig med minus sandsynligheden for, at begivenheden indtræffer.

Regel for multiplikation af sandsynligheden for uafhængige hændelser

Sandsynligheden for en bestemt række uafhængige hændelser er lig med produktet af sandsynligheden for hver hændelse

Uforenelige begivenheder

Inkompatible hændelser er dem, der umuligt kan forekomme samtidigt som et resultat af et eksperiment. En række uforenelige begivenheder udgør en komplet gruppe af begivenheder.

Sandsynligheden for uforenelige begivenheder tæller sammen.

Efter at have beskrevet, hvad der skal ske, bruger vi konjunktionerne "AND" eller "OR", i stedet for "AND" sætter vi et multiplikationstegn, og i stedet for "ELLER" sætter vi et additionstegn.

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, betyder det, at du er meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du læser til ende, så er du i disse 5%!

Nu det vigtigste.

Du har forstået teorien om dette emne. Og jeg gentager, det her... det her er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

For at have bestået Unified State-eksamenen, for at komme ind på college på et budget og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige én ting...

Folk, der har fået en god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke har fået den. Dette er statistik.

Men dette er ikke hovedsagen.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi mange flere muligheder åbner sig foran dem, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre på Unified State-eksamenen og i sidste ende være... lykkeligere?

FÅ DIN HÅND VED LØSNING AF PROBLEMER OM DETTE EMNE.

Du bliver ikke bedt om teori under eksamen.

Du får brug for løse problemer mod tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MEGET!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke have tid.

Det er ligesom i sport – du skal gentage det mange gange for at vinde med sikkerhed.

Find kollektionen, hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (valgfrit), og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For at blive bedre til at bruge vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, du er i gang med at læse.

Hvordan? Der er to muligheder:

1. Lås op for alle skjulte opgaver i denne artikel - 299 gnid.
2. Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i lærebogen - 999 gnid.

Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.

I det andet tilfælde vi vil give dig simulator "6000 problemer med løsninger og svar, for hvert emne, på alle niveauer af kompleksitet." Det vil helt sikkert være nok til at få dine hænder på at løse problemer om ethvert emne.

Faktisk er dette meget mere end blot en simulator – et helt træningsprogram. Hvis det er nødvendigt, kan du også bruge det GRATIS.

Adgang til alle tekster og programmer er givet i HELE perioden af ​​sidens eksistens.

Afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke ved teorien.

"Forstået" og "Jeg kan løse" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs dem!

Inden for økonomi, som på andre områder af menneskelig aktivitet eller i naturen, er vi konstant nødt til at håndtere begivenheder, der ikke kan forudsiges nøjagtigt. Salgsvolumen på et produkt afhænger således af efterspørgsel, som kan variere betydeligt, og af en række andre faktorer, som det er næsten umuligt at tage højde for. Derfor skal du, når du organiserer produktionen og udfører salg, forudsige udfaldet af sådanne aktiviteter på baggrund af enten dine egne tidligere erfaringer, eller lignende erfaringer fra andre mennesker eller intuition, som i høj grad også er afhængig af eksperimentelle data.

For på en eller anden måde at evaluere den pågældende begivenhed, er det nødvendigt at tage hensyn til eller specielt organisere de forhold, hvorunder denne begivenhed er optaget.

Implementering af visse betingelser eller handlinger for at identificere den pågældende begivenhed kaldes erfaring eller eksperiment.

Arrangementet kaldes tilfældig, hvis det som følge af erfaring kan forekomme eller ikke.

Arrangementet kaldes pålidelig, hvis det nødvendigvis viser sig som et resultat af en given oplevelse, og umulig, hvis det ikke kan optræde i denne oplevelse.

For eksempel er snefald i Moskva den 30. november en tilfældig begivenhed. Den daglige solopgang kan betragtes som en pålidelig begivenhed. Snefald ved ækvator kan betragtes som en umulig begivenhed.

En af hovedopgaverne inden for sandsynlighedsteori er opgaven med at bestemme et kvantitativt mål for muligheden for, at en begivenhed indtræffer.

Algebra af begivenheder

Begivenheder kaldes uforenelige, hvis de ikke kan observeres sammen i den samme oplevelse. Tilstedeværelsen af ​​to og tre biler i en butik til salg på samme tid er således to uforenelige begivenheder.

Beløb begivenheder er en begivenhed, der består af forekomsten af ​​mindst én af disse begivenheder

Et eksempel på summen af ​​begivenheder er tilstedeværelsen af ​​mindst et af to produkter i butikken.

Arbejdet begivenheder er en begivenhed, der består af den samtidige forekomst af alle disse begivenheder

En begivenhed, der består af, at to varer dukker op i en butik på samme tid, er et produkt af begivenheder: - udseendet af et produkt, - udseendet af et andet produkt.

Begivenheder udgør en komplet gruppe af begivenheder, hvis mindst én af dem er sikker på at finde sted i oplevelse.

Eksempel. Havnen har to sengepladser til modtagelse af skibe. Tre begivenheder kan tages i betragtning: - fravær af skibe ved kajpladser - tilstedeværelse af et skib ved en af ​​kajpladser - tilstedeværelse af to skibe ved to kajpladser. Disse tre begivenheder udgør en komplet gruppe af begivenheder.

Modsat to unikke mulige begivenheder, der danner en komplet gruppe, kaldes.

Hvis en af ​​begivenhederne, der er modsat, er angivet med , så er den modsatte begivenhed normalt betegnet med .

Klassiske og statistiske definitioner af begivenhedssandsynlighed

Hvert af de lige mulige resultater af tests (eksperimenter) kaldes et elementært resultat. De er normalt betegnet med bogstaver. For eksempel kastes en terning. Der kan være i alt seks elementære udfald baseret på antallet af point på siderne.

Fra elementære resultater kan du skabe en mere kompleks begivenhed. Begivenheden af ​​et lige antal point bestemmes således af tre udfald: 2, 4, 6.

Et kvantitativt mål for muligheden for, at den pågældende begivenhed indtræffer, er sandsynlighed.

De mest udbredte definitioner af sandsynligheden for en begivenhed er: klassisk Og statistisk.

Den klassiske definition af sandsynlighed er forbundet med begrebet et gunstigt resultat.

Resultatet kaldes gunstige til en given begivenhed, hvis dens forekomst medfører forekomsten af ​​denne begivenhed.

I ovenstående eksempel har den pågældende begivenhed – et lige antal point på den rullede side – tre gunstige udfald. I dette tilfælde den almene
antallet af mulige udfald. Det betyder, at den klassiske definition af sandsynligheden for en begivenhed her kan bruges.

Klassisk definition er lig med forholdet mellem antallet af gunstige udfald og det samlede antal mulige udfald

hvor er sandsynligheden for begivenheden, er antallet af udfald gunstigt for begivenheden, er det samlede antal mulige udfald.

I det betragtede eksempel

Den statistiske definition af sandsynlighed er forbundet med konceptet om den relative hyppighed af forekomst af en begivenhed i eksperimenter.

Den relative hyppighed af forekomst af en hændelse beregnes ved hjælp af formlen

hvor er antallet af forekomster af en hændelse i en række eksperimenter (test).

Statistisk definition. Sandsynligheden for en hændelse er det tal, som den relative frekvens stabiliserer (sæt) omkring med en ubegrænset stigning i antallet af eksperimenter.

I praktiske problemer antages sandsynligheden for en hændelse at være den relative frekvens for et tilstrækkeligt stort antal forsøg.

Ud fra disse definitioner af sandsynligheden for en begivenhed er det klart, at uligheden altid er opfyldt

For at bestemme sandsynligheden for en hændelse ud fra formel (1.1) bruges ofte kombinatoriske formler, som bruges til at finde antallet af gunstige udfald og det samlede antal mulige udfald.

I begyndelsen, da den blot var en samling af information og empiriske observationer om terningespillet, blev sandsynlighedsteorien en grundig videnskab. De første til at give det en matematisk ramme var Fermat og Pascal.

Fra at tænke på det evige til sandsynlighedsteorien

De to personer, som sandsynlighedsteorien skylder mange af dens grundlæggende formler, Blaise Pascal og Thomas Bayes, er kendt som dybt religiøse mennesker, hvor sidstnævnte er en presbyteriansk præst. Tilsyneladende gav disse to videnskabsmænds ønske om at bevise fejltagelsen af ​​meningerne om en vis formue, der gav held til hendes favoritter, skub til forskning på dette område. Faktisk er ethvert gamblingspil med dets gevinster og tab blot en symfoni af matematiske principper.

Takket være passionen hos Chevalier de Mere, som var lige så en gambler og en mand, der ikke var ligeglad med videnskaben, blev Pascal tvunget til at finde en måde at beregne sandsynlighed på. De Mere var interesseret i følgende spørgsmål: "Hvor mange gange skal du kaste to terninger i par, så sandsynligheden for at få 12 point overstiger 50%?" Det andet spørgsmål, som var af stor interesse for herren: "Hvordan deler man indsatsen mellem deltagerne i det ufærdige spil?" Selvfølgelig besvarede Pascal med succes begge spørgsmål fra de Mere, som blev den ubevidste initiativtager til udviklingen af ​​sandsynlighedsteori. Det er interessant, at personen de Mere forblev kendt i dette område, og ikke i litteraturen.

Tidligere havde ingen matematiker nogensinde forsøgt at beregne sandsynligheden for begivenheder, da man mente, at dette kun var en gættende løsning. Blaise Pascal gav den første definition af sandsynligheden for en begivenhed og viste, at det er en specifik figur, der kan begrundes matematisk. Sandsynlighedsteori er blevet grundlaget for statistik og er meget brugt i moderne videnskab.

Hvad er tilfældighed

Hvis vi betragter en test, der kan gentages et uendeligt antal gange, så kan vi definere en tilfældig hændelse. Dette er et af de sandsynlige resultater af eksperimentet.

Erfaring er implementering af specifikke handlinger under konstante forhold.

For at kunne arbejde med resultaterne af forsøget betegnes begivenheder normalt med bogstaverne A, B, C, D, E...

Sandsynlighed for en tilfældig hændelse

For at begynde den matematiske del af sandsynlighed er det nødvendigt at definere alle dens komponenter.

Sandsynligheden for en begivenhed er et numerisk mål for muligheden for, at en eller anden begivenhed (A eller B) indtræffer som et resultat af en oplevelse. Sandsynligheden er angivet som P(A) eller P(B).

I sandsynlighedsteori skelner de mellem:

• pålidelig hændelsen vil med garanti opstå som et resultat af oplevelsen P(Ω) = 1;
• umulig hændelsen kan aldrig ske P(Ø) = 0;
• tilfældig en hændelse ligger mellem pålidelig og umulig, det vil sige, at sandsynligheden for dens forekomst er mulig, men ikke garanteret (sandsynligheden for en tilfældig hændelse er altid inden for området 0≤Р(А)≤ 1).

Relationer mellem begivenheder

Både én og summen af ​​begivenheder A+B tages i betragtning, når begivenheden tælles, når mindst en af ​​komponenterne, A eller B, eller begge, A og B, er opfyldt.

I forhold til hinanden kan begivenheder være:

• Lige så muligt.
• Kompatibel.
• Uforenelig.
• Modsat (gensidigt udelukker).
• Afhængig.

Hvis to begivenheder kan ske med lige stor sandsynlighed, så er de lige så muligt.

Hvis forekomsten af ​​begivenhed A ikke reducerer sandsynligheden for forekomsten af ​​begivenhed B til nul, så kompatibel.

Hvis begivenheder A og B aldrig forekommer samtidigt i den samme oplevelse, kaldes de uforenelig. At kaste en mønt er et godt eksempel: udseendet af hoveder er automatisk, at hoveder ikke ser ud.

Sandsynligheden for summen af ​​sådanne uforenelige begivenheder består af summen af ​​sandsynligheden for hver af begivenhederne:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Hvis forekomsten af ​​en begivenhed gør forekomsten af ​​en anden umulig, så kaldes de modsatte. Derefter betegnes en af ​​dem som A, og den anden - Ā (læses som "ikke A"). Forekomsten af ​​begivenhed A betyder, at  ikke fandt sted. Disse to hændelser danner en komplet gruppe med en sum af sandsynligheder lig med 1.

Afhængige begivenheder har gensidig indflydelse, mindsker eller øger sandsynligheden for hinanden.

Relationer mellem begivenheder. Eksempler

Ved at bruge eksempler er det meget lettere at forstå principperne for sandsynlighedsteori og kombinationer af begivenheder.

Eksperimentet, der skal udføres, består i at tage bolde op af en æske, og resultatet af hvert forsøg er et elementært resultat.

En begivenhed er et af de mulige udfald af et eksperiment - en rød bold, en blå bold, en bold med nummer seks osv.

Test nr. 1. Der er 6 bolde involveret, hvoraf tre er blå med ulige tal på, og de tre andre er røde med lige tal.

Test nr. 2. Der er 6 blå kugler med tal fra et til seks.

Baseret på dette eksempel kan vi navngive kombinationer:

• Pålidelig begivenhed. På spansk Nr. 2 hændelsen "få den blå kugle" er pålidelig, da sandsynligheden for dens forekomst er lig med 1, da alle kuglerne er blå, og der kan ikke være nogen miss. Hvorimod begivenheden "få bolden med tallet 1" er tilfældig.
• Umulig begivenhed. På spansk Nr. 1 med blå og røde kugler er begivenheden "at få den lilla kugle" umulig, da sandsynligheden for dens forekomst er 0.
• Lige så mulige begivenheder. På spansk nr. 1, begivenhederne "få bolden med tallet 2" og "få bolden med tallet 3" er lige mulige, og begivenhederne "få bolden med et lige tal" og "få bolden med tallet 2" ” har forskellige sandsynligheder.
• Kompatible begivenheder. At få en sekser to gange i træk, mens du kaster en terning, er en kompatibel begivenhed.
• Uforenelige begivenheder. På samme spansk nr. 1 kan begivenhederne "få en rød bold" og "få en bold med et ulige tal" ikke kombineres i samme oplevelse.
• Modsatte begivenheder. Det mest slående eksempel på dette er møntkast, hvor det at tegne hoveder svarer til ikke at tegne haler, og summen af ​​deres sandsynligheder altid er 1 (fuld gruppe).
• Afhængige begivenheder. Altså på spansk nr. 1 kan du sætte som mål at trække den røde bold to gange i træk. Hvorvidt det bliver hentet første gang eller ej, påvirker sandsynligheden for at blive hentet anden gang.

Det kan ses, at den første hændelse signifikant påvirker sandsynligheden for den anden (40% og 60%).

Formel for hændelsessandsynlighed

Overgangen fra spådom til præcise data sker gennem oversættelse af emnet til et matematisk plan. Det vil sige, at domme om en tilfældig hændelse som "høj sandsynlighed" eller "minimal sandsynlighed" kan oversættes til specifikke numeriske data. Det er allerede tilladt at vurdere, sammenligne og indgå sådant materiale i mere komplekse beregninger.

Fra et beregningssynspunkt er bestemmelse af sandsynligheden for en begivenhed forholdet mellem antallet af elementære positive udfald og antallet af alle mulige udfald af erfaring vedrørende en specifik begivenhed. Sandsynlighed betegnes med P(A), hvor P står for ordet "sandsynlighed", som fra fransk er oversat til "sandsynlighed".

Så formlen for sandsynligheden for en begivenhed er:

Hvor m er antallet af gunstige udfald for begivenhed A, n er summen af ​​alle mulige udfald for denne oplevelse. I dette tilfælde ligger sandsynligheden for en hændelse altid mellem 0 og 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Beregning af sandsynligheden for en hændelse. Eksempel

Lad os tage spansk. nr. 1 med kugler, som er beskrevet tidligere: 3 blå kugler med tallene 1/3/5 og 3 røde kugler med tallene 2/4/6.

Baseret på denne test kan flere forskellige problemer overvejes:

• En rød kugle falder ud. Der er 3 røde kugler, og der er i alt 6 muligheder Dette er det enkleste eksempel, hvor sandsynligheden for en hændelse er P(A)=3/6=0,5.
• B - rullende et lige tal. Der er 3 lige tal (2,4,6), og det samlede antal mulige numeriske muligheder er 6. Sandsynligheden for denne hændelse er P(B)=3/6=0,5.
• C - forekomsten af ​​et tal større end 2. Der er 4 sådanne muligheder (3,4,5,6) ud af et samlet antal mulige udfald på 6. Sandsynligheden for hændelse C er lig med P(C)=4 /6=0,67.

Som det fremgår af beregningerne, har begivenhed C en højere sandsynlighed, da antallet af sandsynlige positive udfald er højere end i A og B.

Uforenelige begivenheder

Sådanne begivenheder kan ikke optræde samtidigt i den samme oplevelse. Som på spansk nr. 1 er det umuligt at få en blå og en rød bold på samme tid. Det vil sige, at du kan få enten en blå eller en rød kugle. På samme måde kan et lige og et ulige tal ikke optræde i en terning på samme tid.

Sandsynligheden for to begivenheder betragtes som sandsynligheden for deres sum eller produkt. Summen af ​​sådanne begivenheder A+B anses for at være en begivenhed, der består af forekomsten af ​​begivenhed A eller B, og produktet af dem AB er forekomsten af ​​begge. For eksempel udseendet af to seksere på én gang på flader af to terninger i et kast.

Summen af ​​flere begivenheder er en begivenhed, der forudsætter forekomsten af ​​mindst én af dem. Produktionen af ​​flere begivenheder er den fælles forekomst af dem alle.

I sandsynlighedsteori betegner brugen af ​​konjunktionen "og" som regel en sum, og konjunktionen "eller" - multiplikation. Formler med eksempler hjælper dig med at forstå logikken i addition og multiplikation i sandsynlighedsteori.

Sandsynlighed for summen af ​​uforenelige hændelser

Hvis sandsynligheden for uforenelige begivenheder overvejes, er sandsynligheden for summen af ​​begivenheder lig med tilføjelsen af ​​deres sandsynligheder:

P(A+B)=P(A)+P(B)

For eksempel: lad os beregne sandsynligheden for, at på spansk. nr. 1 med blå og røde kugler vises et tal mellem 1 og 4. Vi beregner ikke i én handling, men ved summen af ​​sandsynligheden for de elementære komponenter. Så i et sådant eksperiment er der kun 6 bolde eller 6 af alle mulige udfald. De tal, der opfylder betingelsen, er 2 og 3. Sandsynligheden for at få tallet 2 er 1/6, sandsynligheden for at få tallet 3 er også 1/6. Sandsynligheden for at få et tal mellem 1 og 4 er:

Sandsynligheden for summen af ​​uforenelige hændelser i en komplet gruppe er 1.

Så hvis vi i et eksperiment med en terning lægger sandsynligheden for, at alle tal optræder sammen, vil resultatet være ét.

Dette gælder også for modsatte hændelser, for eksempel i forsøget med en mønt, hvor den ene side er hændelsen A, og den anden er den modsatte hændelse Ā som bekendt.

P(A) + P(Ā) = 1

Sandsynlighed for uforenelige hændelser

Sandsynlighedsmultiplikation bruges, når man overvejer forekomsten af ​​to eller flere uforenelige hændelser i en observation. Sandsynligheden for, at begivenheder A og B vil optræde i den samtidigt, er lig med produktet af deres sandsynligheder, eller:

P(A*B)=P(A)*P(B)

For eksempel sandsynligheden for, at på spansk nr. 1, som følge af to forsøg vil en blå kugle dukke op to gange, svarende til

Det vil sige, at sandsynligheden for, at en hændelse indtræffer, når der, som et resultat af to forsøg på at udtrække bolde, kun udvindes blå bolde, er 25 %. Det er meget nemt at lave praktiske eksperimenter på dette problem og se, om det faktisk er tilfældet.

Fælles arrangementer

Begivenheder betragtes som fælles, når forekomsten af ​​en af ​​dem kan falde sammen med forekomsten af ​​en anden. På trods af at de er fælles, overvejes sandsynligheden for uafhængige begivenheder. For eksempel kan det at kaste to terninger give et resultat, når tallet 6 vises på dem begge. Selvom begivenhederne faldt sammen og optrådte på samme tid, er de uafhængige af hinanden - kun en sekser kunne falde ud, den anden terning har ingen indflydelse på det.

Sandsynligheden for fælles begivenheder betragtes som sandsynligheden for deres sum.

Sandsynlighed for summen af ​​fælles begivenheder. Eksempel

Sandsynligheden for summen af ​​begivenheder A og B, som er fælles i forhold til hinanden, er lig med summen af ​​sandsynligheden for begivenheden minus sandsynligheden for deres forekomst (det vil sige deres fælles forekomst):

R led (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Lad os antage, at sandsynligheden for at ramme målet med et skud er 0,4. Så rammer begivenhed A målet i det første forsøg, B - i det andet. Disse begivenheder er fælles, da det er muligt, at du kan ramme målet med både første og andet skud. Men begivenhederne er ikke afhængige. Hvad er sandsynligheden for, at hændelsen rammer målet med to skud (mindst med et)? Ifølge formlen:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Svaret på spørgsmålet er: "Sandsynligheden for at ramme målet med to skud er 64 %."

Denne formel for sandsynligheden for en hændelse kan også anvendes på uforenelige hændelser, hvor sandsynligheden for fælles forekomst af en hændelse P(AB) = 0. Det betyder, at sandsynligheden for summen af ​​uforenelige hændelser kan betragtes som et specialtilfælde af den foreslåede formel.

Sandsynlighedsgeometri for klarhed

Interessant nok kan sandsynligheden for summen af ​​fælles begivenheder repræsenteres som to områder A og B, som skærer hinanden. Som det kan ses på billedet, er arealet af deres forening lig med det samlede areal minus arealet af deres skæringspunkt. Denne geometriske forklaring gør den tilsyneladende ulogiske formel mere forståelig. Bemærk, at geometriske løsninger ikke er ualmindelige i sandsynlighedsteori.

Det er ret besværligt at bestemme sandsynligheden for summen af ​​mange (mere end to) fælles begivenheder. For at beregne det, skal du bruge de formler, der er angivet for disse tilfælde.

Afhængige begivenheder

Hændelser kaldes afhængige, hvis forekomsten af ​​en (A) af dem påvirker sandsynligheden for forekomsten af ​​en anden (B). Desuden tages der hensyn til indflydelsen af ​​både forekomsten af ​​begivenhed A og dens manglende forekomst. Selvom begivenheder per definition kaldes afhængige, er kun én af dem afhængig (B). Almindelig sandsynlighed blev betegnet som P(B) eller sandsynligheden for uafhængige hændelser. Ved afhængige hændelser introduceres et nyt begreb - betinget sandsynlighed P A (B), som er sandsynligheden for en afhængig hændelse B, afhængig af hændelse A (hypotese), som den afhænger af.

Men hændelse A er også tilfældig, så den har også en sandsynlighed for, at der er behov for og kan tages hensyn til i de udførte beregninger. Det følgende eksempel viser, hvordan man arbejder med afhængige hændelser og en hypotese.

Et eksempel på beregning af sandsynligheden for afhængige hændelser

Et godt eksempel til at beregne afhængige hændelser ville være et standard sæt kort.

Lad os se på afhængige begivenheder ved at bruge et spil med 36 kort som eksempel. Vi skal bestemme sandsynligheden for, at det andet kort, der trækkes fra bunken, vil være af ruder, hvis det første kort, der trækkes, er:

1. Bubnovaya.
2. En anden farve.

Det er klart, at sandsynligheden for den anden begivenhed B afhænger af den første A. Så hvis den første mulighed er sand, at der er 1 kort (35) og 1 ruder (8) mindre i bunken, er sandsynligheden for begivenhed B:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Hvis den anden mulighed er sand, så har bunken 35 kort, og det fulde antal ruder (9) er stadig bevaret, så er sandsynligheden for følgende begivenhed B:

RA (B) = 9/35 = 0,26.

Det kan ses, at hvis begivenhed A er betinget af, at det første kort er en diamant, så falder sandsynligheden for begivenhed B, og omvendt.

Multiplikation af afhængige hændelser

Vejledt af det foregående kapitel accepterer vi den første begivenhed (A) som en kendsgerning, men i bund og grund er den af ​​tilfældig karakter. Sandsynligheden for denne begivenhed, nemlig at trække en diamant fra et sæt kort, er lig med:

P(A) = 9/36=1/4

Da teorien ikke eksisterer alene, men er beregnet til at tjene til praktiske formål, er det rimeligt at bemærke, at det, der oftest er brug for, er sandsynligheden for at producere afhængige begivenheder.

Ifølge sætningen om produktet af sandsynligheder for afhængige begivenheder er sandsynligheden for forekomst af fælles afhængige begivenheder A og B lig med sandsynligheden for en begivenhed A, ganget med den betingede sandsynlighed for begivenhed B (afhængig af A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Så, i dækeksemplet, er sandsynligheden for at trække to kort med ruten:

9/36*8/35=0,0571 eller 5,7 %

Og sandsynligheden for at udvinde ikke diamanter først, og derefter diamanter, er lig med:

27/36*9/35=0,19 eller 19 %

Det kan ses, at sandsynligheden for, at begivenhed B indtræffer, er større, forudsat at det første kort, der trækkes, er af en anden farve end ruder. Dette resultat er ret logisk og forståeligt.

Samlet sandsynlighed for en hændelse

Når et problem med betingede sandsynligheder bliver mangefacetteret, kan det ikke beregnes ved hjælp af konventionelle metoder. Når der er mere end to hypoteser, nemlig A1, A2,..., A n, .. danner en komplet gruppe af hændelser forudsat:

• P(A i)>0, i=1,2,...
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Så formlen for den samlede sandsynlighed for hændelse B med en komplet gruppe af tilfældige hændelser A1, A2,..., A n er lig med:

Et kig ind i fremtiden

Sandsynligheden for en tilfældig hændelse er yderst nødvendig inden for mange videnskabsområder: økonometri, statistik, fysik osv. Da nogle processer ikke kan beskrives deterministisk, da de i sig selv er sandsynlige, kræves særlige arbejdsmetoder. Teorien om begivenhedssandsynlighed kan bruges inden for ethvert teknologisk område som en måde at bestemme muligheden for en fejl eller funktionsfejl.

Vi kan sige, at ved at erkende sandsynlighed tager vi på en eller anden måde et teoretisk skridt ind i fremtiden, idet vi ser på det gennem formlernes prisme.

I min blog, en oversættelse af den næste forelæsning af kurset "Principles of Game Balance" af spildesigner Jan Schreiber, der arbejdede på sådanne projekter som Marvel Trading Card Game og Playboy: the Mansion.

Indtil nu har næsten alt, hvad vi har talt om, været deterministisk, og i sidste uge kiggede vi nærmere på transitiv mekanik, hvor vi gik i så mange detaljer, som jeg kan forklare. Men indtil nu har vi ikke været opmærksomme på et andet aspekt af mange spil, nemlig de ikke-deterministiske aspekter - med andre ord tilfældighed.

At forstå karakteren af ​​tilfældighed er meget vigtigt for spildesignere. Vi skaber systemer, der påvirker brugerens oplevelse i et givent spil, så vi skal vide, hvordan disse systemer fungerer. Hvis der er tilfældighed i et system, er vi nødt til at forstå arten af ​​denne tilfældighed og vide, hvordan vi ændrer den for at få de resultater, vi har brug for.

Terning

Lad os starte med noget simpelt – at kaste terningerne. Når de fleste mennesker tænker på terninger, tænker de på en sekssidet terning kendt som en d6. Men de fleste spillere har set mange andre terninger: tetraedrisk (d4), ottekantet (d8), tolvsidet (d12), tyvesidet (d20). Hvis du er en rigtig nørd, har du måske 30-sidede eller 100-sidede terninger et eller andet sted.

Hvis du ikke er bekendt med terminologien, står d for die, og tallet efter det er antallet af sider, det har. Hvis tallet vises før d, angiver det antallet af terninger, der skal kastes. For eksempel, i spillet Monopol kaster du 2d6.

Så i dette tilfælde er sætningen "terninger" et symbol. Der er et stort antal andre tilfældige tal-generatorer, der ikke ligner plastikfigurer, men udfører den samme funktion - genererer et tilfældigt tal fra 1 til n. En almindelig mønt kan også repræsenteres som en dihedral terning d2.

Jeg så to designs af syvsidede terninger: Den ene lignede en terning, og den anden lignede mere en syvsidet træblyant. Den tetraedriske dreidel, også kendt som titotum, ligner den tetraedriske knogle. Det roterende pilebræt i Chutes & Ladders, hvor score kan variere fra 1 til 6, svarer til en sekssidet terning.

En computers tilfældige talgenerator kan skabe et hvilket som helst tal fra 1 til 19, hvis designeren specificerer det, selvom computeren ikke har en 19-sidet terning (generelt vil jeg tale mere om sandsynligheden for, at tal kommer op på en computer i næste uge). Alle disse elementer ser forskellige ud, men i virkeligheden er de ækvivalente: du har lige stor chance for hver af flere mulige udfald.

Terninger har nogle interessante egenskaber, som vi skal kende til. For det første er sandsynligheden for at lande på begge sider den samme (jeg går ud fra, at du kaster en almindelig terning). Hvis du vil vide gennemsnitsværdien af ​​et kast (for dem, der er til sandsynlighedsteori, er dette kendt som den forventede værdi), skal du lægge værdierne sammen på alle kanterne og dividere det tal med antallet af kanter.

Summen af ​​værdierne af alle siderne for en standard sekssidet terning er 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Divider 21 med antallet af sider og få den gennemsnitlige værdi af kastet: 21 / 6 = 3,5. Dette er et særligt tilfælde, fordi vi antager, at alle udfald er lige sandsynlige.

Hvad hvis du har specielle terninger? For eksempel så jeg et sekssidet terningspil med specielle klistermærker på siderne: 1, 1, 1, 2, 2, 3, så det opfører sig som en mærkelig tresidet terning, der er mere tilbøjelig til at slå en 1'er end en 2. og er mere tilbøjelige til at kaste en 2'er end en 3. Hvad er det gennemsnitlige kast for denne terning? Så 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, divideret med 6 - det viser sig 5/3, eller cirka 1,66. Så hvis du har en speciel terning, og spillerne kaster tre terninger og derefter lægger resultaterne sammen - ved du, at deres kast vil summere til omkring 5, og du kan balancere spillet baseret på den antagelse.

Terninger og Uafhængighed

Som jeg allerede har sagt, går vi ud fra den antagelse, at hver side er lige tilbøjelig til at falde ud. Det er lige meget, hvor mange terninger du kaster. Hvert terningkast er uafhængigt, hvilket betyder, at tidligere kast ikke påvirker resultaterne af efterfølgende. Givet nok forsøg, er du forpligtet til at bemærke et mønster af tal - for eksempel rullende for det meste højere eller lavere værdier - eller andre funktioner, men det betyder ikke, at terningerne er "varme" eller "kolde". Vi taler om dette senere.

Hvis du kaster en standard seks-sidet terning, og tallet 6 kommer op to gange i træk, er sandsynligheden for, at det næste kast vil resultere i en 6'er præcis 1/6. Sandsynligheden øges ikke, fordi terningen er "varmet op" . Samtidig falder sandsynligheden ikke: Det er forkert at ræsonnere, at tallet 6 allerede er kommet op to gange i træk, hvilket betyder, at nu skulle en anden side komme op.

Selvfølgelig, hvis du kaster en terning tyve gange og får en 6'er hver gang, er chancen for, at den enogtyvende gang du kaster en 6'er ret stor: måske har du bare den forkerte terning. Men hvis terningen er fair, har hver side den samme sandsynlighed for at lande, uanset resultaterne af de andre kast. Du kan også forestille dig, at vi udskifter terningen hver gang: Hvis tallet 6 kastes to gange i træk, skal du fjerne den "varme" terning fra spillet og erstatte den med en ny. Jeg beklager, hvis nogen af ​​jer allerede vidste om dette, men jeg var nødt til at opklare dette, før jeg gik videre.

Hvordan får man terningerne til at rulle mere eller mindre tilfældigt

Lad os tale om, hvordan man får forskellige resultater på forskellige terninger. Uanset om du kun kaster en terning én eller flere gange, vil spillet føles mere tilfældigt, når terningen har flere sider. Jo oftere du skal kaste terningerne, og jo flere terninger du kaster, jo mere nærmer resultaterne sig gennemsnittet.

For eksempel, i tilfælde af 1d6 + 4 (det vil sige, hvis du kaster en standard sekssidet terning én gang og tilføjer 4 til resultatet), vil gennemsnittet være et tal mellem 5 og 10. Hvis du kaster 5d2, vil gennemsnittet være et tal mellem 5 og 10. ville også være et tal mellem 5 og 10. Resultaterne af at rulle 5d2 vil hovedsageligt være tallene 7 og 8, sjældnere andre værdier. Den samme serie, endda den samme gennemsnitsværdi (i begge tilfælde 7,5), men karakteren af ​​tilfældighederne er forskellig.

Vent et øjeblik. Sagde jeg ikke lige, at terninger ikke "varmer" eller "køler"? Nu siger jeg: hvis du kaster mange terninger, vil resultaterne af kast nærme sig gennemsnittet. Hvorfor?

Lad mig forklare. Hvis du kaster en terning, har hver side samme sandsynlighed for at lande. Det betyder, at hvis du kaster mange terninger over tid, vil hver side komme op omkring det samme antal gange. Jo flere terninger du kaster, jo mere vil det samlede resultat nærme sig gennemsnittet.

Det skyldes ikke, at det udtrukne tal "tvinger" et andet tal, der endnu ikke er blevet udtrukket. Men fordi en lille serie af udrulning af tallet 6 (eller 20 eller et andet tal) til sidst ikke vil påvirke resultatet så meget, hvis du kaster terningerne ti tusinde gange mere, og for det meste vil gennemsnitstallet komme op. Nu får du et par store tal, og senere et par små - og med tiden kommer de tættere på gennemsnittet.

Det er ikke fordi tidligere kast påvirker terningerne (seriøst, terningerne er lavet af plastik, den har ikke hjernen til at tænke "Åh, det er et stykke tid siden du har slået en 2"), men fordi det er det der normalt sker, når du kaster mange terninger

Det er således ret nemt at lave beregningerne for ét tilfældigt terningkast - i det mindste at beregne gennemsnitsværdien af ​​kastet. Der er også måder at beregne "hvor tilfældigt" noget er og sige, at resultaterne af at rulle 1d6+4 vil være "mere tilfældige" end 5d2. For 5d2 vil rullerne være mere jævnt fordelt. For at gøre dette skal du beregne standardafvigelsen: Jo større værdien er, jo mere tilfældige vil resultaterne være. Jeg vil ikke give så mange beregninger i dag; jeg vil forklare dette emne senere.

Det eneste, jeg vil bede dig om at huske, er, at som en generel regel, jo færre terninger du kaster, jo større tilfældighed. Og jo flere sider en terning har, jo større er tilfældigheden, da der er flere mulige værdimuligheder.

Sådan beregnes sandsynlighed ved hjælp af tælling

Du undrer dig måske: hvordan kan vi beregne den nøjagtige sandsynlighed for at få et bestemt resultat? Faktisk er dette ret vigtigt for mange spil: Hvis du først kaster terningerne - er der højst sandsynligt en form for optimalt resultat. Mit svar er: vi skal beregne to værdier. For det første det samlede antal udfald, når man kaster en terning, og for det andet antallet af gunstige udfald. At dividere den anden værdi med den første vil give dig den ønskede sandsynlighed. For at få procentdelen skal du gange resultatet med 100.

Eksempler

Her er et meget simpelt eksempel. Du vil have tallet 4 eller højere til at kaste den sekssidede terning én gang. Det maksimale antal udfald er 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Af disse er 3 resultater (4, 5, 6) gunstige. Det betyder, at for at beregne sandsynligheden dividerer vi 3 med 6 og får 0,5 eller 50%.

Her er et lidt mere kompliceret eksempel. Du vil have et lige tal, når du kaster 2d6. Det maksimale antal udfald er 36 (6 muligheder for hver terning, den ene terning påvirker ikke den anden, så gang 6 med 6 og få 36). Vanskeligheden ved denne type spørgsmål er, at det er nemt at tælle to gange. For eksempel, når du kaster 2d6, er der to mulige udfald af 3: 1+2 og 2+1. De ser ens ud, men forskellen er hvilket nummer der vises på den første terning og hvilket nummer der vises på den anden.

Du kan også forestille dig, at terningerne har forskellige farver: så for eksempel i dette tilfælde er den ene terning rød og den anden er blå. Tæl derefter antallet af muligheder for at rulle et lige tal:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Det viser sig, at der er 18 muligheder for et gunstigt resultat ud af 36 - som i det foregående tilfælde er sandsynligheden 0,5 eller 50%. Måske uventet, men ret præcist.

Monte Carlo simulering

Hvad hvis du har for mange terninger til denne beregning? For eksempel vil du vide, hvad sandsynligheden er for at få i alt 15 eller mere, når du kaster 8d6. Der er et enormt antal forskellige udfald for otte terninger, og at tælle dem manuelt ville tage meget lang tid - også selvom vi kunne finde en god løsning til at gruppere forskellige sæt terningkast.

I dette tilfælde er den nemmeste måde ikke at tælle manuelt, men at bruge en computer. Der er to måder at beregne sandsynlighed på på en computer. Den første metode kan give dig et præcist svar, men det involverer lidt programmering eller scripting. Computeren vil se på hver mulighed, vurdere og tælle det samlede antal iterationer og antallet af iterationer, der matcher det ønskede resultat, og derefter give svarene. Din kode kan se sådan ud:

Hvis du ikke forstår programmering, og du har brug for et omtrentligt svar frem for et præcist, kan du simulere denne situation i Excel, hvor du ruller 8d6 flere tusinde gange og får svaret. Brug formlen for at rulle 1d6 i Excel =GULV(RAND()*6)+1.

Der er et navn for den situation, hvor du ikke kender svaret og bare prøver igen og igen - Monte Carlo-simulering. Dette er en god løsning at bruge, når det er for svært at beregne sandsynligheden. Det fantastiske er, at vi i dette tilfælde ikke behøver at forstå, hvordan matematikken fungerer, og vi ved, at svaret vil være "temmelig godt", fordi, som vi allerede ved, jo flere kast, jo tættere kommer resultatet på gennemsnit.

Hvordan man kombinerer uafhængige forsøg

Hvis du spørger om flere gentagne, men uafhængige forsøg, påvirker resultatet af et kast ikke resultaterne af andre kast. Der er en anden enklere forklaring på denne situation.

Hvordan skelner man mellem noget afhængigt og uafhængigt? Grundlæggende, hvis du kan isolere hvert kast (eller serie af kast) af en terning som en separat begivenhed, så er den uafhængig. For eksempel kaster vi 8d6 og ønsker i alt 15. Denne begivenhed kan ikke opdeles i flere selvstændige terningkast. For at få resultatet udregner man summen af ​​alle værdierne, så resultatet der kommer op på den ene terning påvirker de resultater der skulle komme på de andre.

Her er et eksempel på uafhængige kast: Du spiller et terningspil, og du kaster sekssidede terninger flere gange. Det første kast skal være en 2 eller højere for at forblive i spillet. For det andet kast - 3 eller højere. Den tredje kræver en 4 eller højere, den fjerde kræver en 5 eller højere, og den femte kræver en 6. Hvis alle fem kast er succesfulde, vinder du. I dette tilfælde er alle kast uafhængige. Ja, hvis et kast ikke lykkes, vil det påvirke resultatet af hele spillet, men det ene kast påvirker ikke det andet. For eksempel, hvis dit andet terningkast er meget vellykket, betyder det ikke, at de næste kast bliver lige så gode. Derfor kan vi overveje sandsynligheden for hvert terningkast separat.

Hvis du har uafhængige sandsynligheder og vil vide, hvad sandsynligheden er for, at alle hændelser indtræffer, bestemmer du hver enkelt sandsynlighed og ganger dem sammen. En anden måde: hvis du bruger konjunktionen "og" til at beskrive flere forhold (f.eks. hvad er sandsynligheden for forekomsten af ​​en tilfældig begivenhed og en anden uafhængig tilfældig begivenhed?) - tæl de individuelle sandsynligheder og gang dem.

Lige meget hvad du tror, ​​skal du aldrig lægge uafhængige sandsynligheder sammen. Dette er en almindelig fejl. For at forstå, hvorfor dette er forkert, skal du forestille dig en situation, hvor du kaster en mønt og vil vide, hvad sandsynligheden er for at få hoveder to gange i træk. Sandsynligheden for at hver side falder ud er 50 %. Hvis du lægger disse to sandsynligheder sammen, får du 100 % chance for at få hoveder, men vi ved, at det ikke er sandt, fordi det kunne have været haler to gange i træk. Ganger man i stedet de to sandsynligheder, får man 50 % * 50 % = 25 % – hvilket er det rigtige svar til at beregne sandsynligheden for at få hoveder to gange i træk.

Eksempel

Lad os vende tilbage til det sekssidede terningspil, hvor du først skal kaste et tal større end 2, derefter større end 3 - og så videre indtil 6. Hvad er chancerne for, at alle udfald i en given serie på fem kast vil være gunstige ?

Som nævnt ovenfor er disse uafhængige forsøg, så vi beregner sandsynligheden for hvert enkelt kast og gange dem derefter sammen. Sandsynligheden for, at resultatet af det første kast vil være gunstigt er 5/6. Anden - 4/6. Tredje - 3/6. Den fjerde - 2/6, den femte - 1/6. Vi ganger alle resultaterne med hinanden og får cirka 1,5 %. Gevinster i dette spil er ret sjældne, så hvis du tilføjer dette element til dit spil, har du brug for en ret stor jackpot.

Negation

Her er et andet nyttigt tip: nogle gange er det svært at beregne sandsynligheden for, at en begivenhed finder sted, men det er nemmere at bestemme chancerne for, at en begivenhed ikke finder sted. Lad os for eksempel sige, at vi har et andet spil: du kaster 6d6 og vinder, hvis du slår en 6'er mindst én gang. Hvad er sandsynligheden for at vinde?

I dette tilfælde er der mange muligheder at overveje. Det er muligt, at et nummer 6 bliver kastet, det vil sige, at en af ​​terningerne viser tallet 6, og de andre viser tallene fra 1 til 5, så er der 6 muligheder for, hvilken af ​​terningerne der viser 6. Du kan få tallet 6 på to terninger, eller tre eller endda flere, og hver gang skal du lave en separat beregning, så det er nemt at blive forvirret her.

Men lad os se på problemet fra den anden side. Du vil tabe, hvis ingen af ​​terningerne kaster 6. I dette tilfælde har vi 6 uafhængige forsøg. Sandsynligheden for, at hver terning kaster et andet tal end 6, er 5/6. Gang dem, og du får omkring 33%. Sandsynligheden for at tabe er således én ud af tre. Derfor er sandsynligheden for at vinde 67% (eller to til tre).

Fra dette eksempel er det indlysende: Hvis du beregner sandsynligheden for, at en begivenhed ikke vil finde sted, skal du trække resultatet fra 100%. Hvis sandsynligheden for at vinde er 67 %, så er sandsynligheden for at tabe 100 % minus 67 % eller 33 % og omvendt. Hvis det er svært at beregne én sandsynlighed, men let at beregne det modsatte, skal du beregne det modsatte og derefter trække det tal fra 100 %.

Vi kombinerer betingelserne for én uafhængig test

Jeg sagde lige ovenfor, at du aldrig bør tilføje sandsynligheder på tværs af uafhængige forsøg. Er der nogle tilfælde, hvor det er muligt at opsummere sandsynligheden? Ja, i en speciel situation.

Hvis du vil beregne sandsynligheden for flere uafhængige gunstige udfald på et enkelt forsøg, skal du summere sandsynligheden for hvert gunstigt resultat. For eksempel er sandsynligheden for at rulle tallene 4, 5 eller 6 på 1d6 lig med summen af ​​sandsynligheden for at rulle tallet 4, sandsynligheden for tallet 5 og sandsynligheden for tallet 6. Denne situation kan repræsenteres som følger: hvis du bruger konjunktionen "eller" i et spørgsmål om sandsynlighed (f.eks. hvad er sandsynligheden for et eller andet udfald af én tilfældig hændelse?) - beregn de enkelte sandsynligheder og opsummer dem.

Bemærk venligst: når du beregner alle mulige udfald af et spil, skal summen af ​​sandsynligheden for deres forekomst være lig med 100 %, ellers er din beregning lavet forkert. Dette er en god måde at dobbelttjekke dine beregninger på. For eksempel analyserede du sandsynligheden for alle kombinationer i poker. Hvis du lægger alle dine resultater sammen, skulle du få præcis 100 % (eller i hvert fald ret tæt på 100 %: hvis du bruger en lommeregner, kan der være en lille afrundingsfejl, men hvis du lægger de nøjagtige tal sammen i hånden, vil alt skal lægges sammen). Hvis summen ikke konvergerer, betyder det, at du højst sandsynligt ikke har taget højde for nogle kombinationer eller beregnet sandsynligheden for nogle kombinationer forkert, og beregningerne skal dobbelttjekkes.

Ulige sandsynligheder

Hidtil har vi antaget, at hver side af en terning kastes med samme frekvens, fordi det er sådan, terninger ser ud til at fungere. Men nogle gange kan du støde på en situation, hvor forskellige udfald er mulige, og de har forskellige chancer for at dukke op.

For eksempel er der i en af ​​udvidelserne af Nuclear War-kortspillet en spillebane med en pil, som resultatet af en raketopsendelse afhænger af. Oftest giver den normal skade, stærkere eller svagere, men nogle gange bliver skaden fordoblet eller tredoblet, eller raketten eksploderer på affyringsrampen og gør dig ondt, eller der opstår en anden begivenhed. I modsætning til piletavlen i Chutes & Ladders eller A Game of Life, er spillepladens resultater i Nuclear War ujævne. Nogle sektioner af spillefeltet er større, og pilen stopper meget oftere på dem, mens andre sektioner er meget små, og pilen stopper sjældent på dem.

Så ved første øjekast ser terningen sådan ud: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - vi har allerede talt om det, det er noget i retning af en vægtet 1d3. Derfor er vi nødt til at opdele alle disse sektioner i lige store dele, finde den mindste måleenhed, hvis divisor alt er et multiplum, og derefter repræsentere situationen i form af d522 (eller en anden), hvor sættet af terninger ansigter vil repræsentere den samme situation, men med flere resultater. Dette er en måde at løse problemet på, og det er teknisk muligt, men der er en enklere mulighed.

Lad os gå tilbage til vores standard sekssidede terninger. Vi har sagt, at for at beregne det gennemsnitlige kast for en normal terning skal du lægge værdierne sammen på alle siderne og dividere med antallet af sider, men hvordan fungerer udregningen præcist? Der er en anden måde at udtrykke dette på. For en sekssidet terning er sandsynligheden for, at hver side kastes nøjagtigt 1/6. Nu multiplicerer vi resultatet af hver kant med sandsynligheden for det udfald (i dette tilfælde 1/6 for hver kant), og lægger derefter de resulterende værdier sammen. Således opsummerer (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) ), får vi samme resultat (3,5) som i beregningen ovenfor. Faktisk tæller vi på denne måde hver gang: vi multiplicerer hvert udfald med sandsynligheden for det resultat.

Kan vi lave den samme beregning for pilen på spillefeltet i atomkrig? Selvfølgelig kan vi det. Og hvis vi opsummerer alle de fundne resultater, får vi gennemsnitsværdien. Alt vi skal gøre er at beregne sandsynligheden for hvert udfald for pilen på spillepladen og gange med udfaldsværdien.

Et andet eksempel

Denne metode til at beregne gennemsnittet er også velegnet, hvis resultaterne er lige sandsynlige, men har forskellige fordele - for eksempel hvis du kaster en terning og vinder mere på nogle sider end andre. Lad os for eksempel tage et kasinospil: du placerer et bet og kaster 2d6. Hvis tre tal med lav værdi (2, 3, 4) eller fire tal med høj værdi (9, 10, 11, 12) kastes, vil du vinde et beløb svarende til din indsats. Tallene med den laveste og højeste værdi er specielle: Hvis du slår en 2'er eller en 12'er, vinder du det dobbelte af din indsats. Hvis et andet tal kastes (5, 6, 7, 8), mister du din indsats. Dette er et ret simpelt spil. Men hvad er sandsynligheden for at vinde?

Lad os starte med at tælle, hvor mange gange du kan vinde. Det maksimale antal udfald, når man kaster 2d6 er 36. Hvad er antallet af gunstige udfald?

• Der er 1 mulighed for, at en 2 vil blive kastet, og 1 mulighed for, at en 12 vil blive kastet.
• Der er 2 muligheder, 3 vil rulle og 2 muligheder, 11 vil rulle.
• Der er 3 muligheder for, at en 4'er vil rulle, og 3 muligheder for, at en 10'er vil rulle.
• Der er 4 muligheder for at slå en 9.

Når vi opsummerer alle mulighederne, får vi 16 gunstige udfald ud af 36. Under normale forhold vil du således vinde 16 gange ud af 36 mulige - sandsynligheden for at vinde er lidt mindre end 50%.

Men i to tilfælde ud af disse seksten vil du vinde dobbelt så meget - det er som at vinde to gange. Hvis du spiller dette spil 36 gange, satser $1 hver gang, og hvert af alle mulige udfald kommer op én gang, vil du vinde i alt $18 (faktisk vil du vinde 16 gange, men to af dem tæller som to sejre). Hvis du spiller 36 gange og vinder $18, betyder det så ikke, at oddsene er lige store?

Tag dig god tid. Hvis du tæller antallet af gange, du kan tabe, ender du med 20, ikke 18. Hvis du spiller 36 gange og satser $1 hver gang, vinder du i alt $18, hvis du rammer alle de gunstige valg. Men du vil miste i alt $20, hvis du får alle 20 ugunstige resultater. Som et resultat vil du komme lidt bagud: du taber i gennemsnit $2 netto for hver 36 spil (du kan også sige, at du i gennemsnit taber 1/18 af en dollar om dagen). Nu ser du, hvor nemt det er at lave en fejl i dette tilfælde og beregne sandsynligheden forkert.

Omarrangering

Hidtil har vi antaget, at rækkefølgen af ​​tallene, når man kaster terninger, ikke har nogen betydning. At rulle 2 + 4 er det samme som at rulle 4 + 2. I de fleste tilfælde tæller vi manuelt antallet af gunstige resultater, men nogle gange er denne metode upraktisk, og det er bedre at bruge en matematisk formel.

Et eksempel på denne situation er fra Farkle-terningespillet. For hver ny runde kaster du 6d6. Hvis du er heldig og får alle mulige resultater 1-2-3-4-5-6 (lige), vil du modtage en stor bonus. Hvad er sandsynligheden for, at dette sker? I dette tilfælde er der mange muligheder for at få denne kombination.

Løsningen er som følger: én af terningerne (og kun én) skal have tallet 1. Hvor mange måder kan tallet 1 optræde på én terning? Der er 6 muligheder, da der er 6 terninger, og enhver af dem kan falde på tallet 1. Tag derfor en terning og læg den til side. Nu skal en af ​​de resterende terninger kaste tallet 2. Der er 5 muligheder for dette. Tag en anden terning og sæt den til side. Så kan 4 af de resterende terninger lande tallet 3, 3 af de resterende terninger kan lande tallet 4, 2 af de resterende terninger kan lande tallet 5. Som et resultat står du tilbage med en terning, som skulle lande tallet 6 (i sidstnævnte tilfælde er terningerne kun én knogle, og der er ikke noget valg).

For at beregne antallet af gunstige udfald for at slå en straight multiplicerer vi alle de forskellige uafhængige muligheder: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - der ser ud til at være et ret stort antal muligheder for at denne kombination kan komme op. .

For at beregne sandsynligheden for at få en straight, skal vi dividere 720 med antallet af alle mulige udfald for at rulle 6d6. Hvad er antallet af alle mulige udfald? Hver terning kan have 6 sider, så vi ganger 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (et meget større tal end det foregående). Divider 720 med 46656 og vi får en sandsynlighed på cirka 1,5%. Hvis du designede dette spil, ville det være nyttigt for dig at vide dette, så du kunne oprette et scoringssystem i overensstemmelse hermed. Nu forstår vi, hvorfor du i Farkle får så stor en bonus, hvis du får en straight: dette er en ret sjælden situation.

Resultatet er også interessant af en anden grund. Eksemplet viser, hvor sjældent der i en kort periode opstår et resultat, der svarer til sandsynlighed. Selvfølgelig, hvis vi kastede flere tusinde terninger, ville forskellige sider af terningerne komme op ret ofte. Men når vi kun kaster seks terninger, sker det næsten aldrig, at hvert ansigt kommer op. Det bliver tydeligt, at det er dumt at forvente, at der nu dukker en linje op, som endnu ikke er sket, for "vi har ikke rullet tallet 6 i lang tid." Hør, din tilfældige talgenerator er ødelagt.

Dette leder os til den almindelige misforståelse, at alle udfald sker med samme frekvens over en kort periode. Hvis vi kaster terninger flere gange, vil hyppigheden af, at hver side falder ud, ikke være den samme.

Hvis du nogensinde har arbejdet på et online spil med en form for tilfældig talgenerator før, er du højst sandsynligt stødt på en situation, hvor en spiller skriver til teknisk support og klager over, at tilfældige talgeneratoren ikke viser tilfældige tal. Han kom til denne konklusion, fordi han dræbte 4 monstre i træk og modtog 4 nøjagtigt de samme belønninger, og disse belønninger skulle kun dukke op 10% af tiden, så dette burde selvfølgelig næsten aldrig ske.

Du laver en matematisk beregning. Sandsynligheden er 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, det vil sige, at 1 ud af 10 tusinde er et ret sjældent tilfælde. Dette er, hvad spilleren forsøger at fortælle dig. Er der et problem i dette tilfælde?

Det hele afhænger af omstændighederne. Hvor mange spillere er der i øjeblikket på din server? Lad os sige, at du har et ret populært spil, og at 100 tusinde mennesker spiller det hver dag. Hvor mange spillere kan dræbe fire monstre i træk? Måske alle, flere gange om dagen, men lad os antage, at halvdelen af ​​dem blot udveksler forskellige genstande på auktioner, chatter på RP-servere eller udfører andre aktiviteter i spillet – så kun halvdelen af ​​dem er på jagt efter monstre. Hvad er sandsynligheden for, at nogen får den samme belønning? I denne situation kan du forvente, at dette sker mindst flere gange om dagen.

Forresten, det er derfor, det ser ud til, at nogen med få ugers mellemrum vinder i lotteriet, selvom den person aldrig har været dig eller nogen, du kender. Hvis nok mennesker spiller regelmæssigt, er chancerne for, at der vil være mindst én heldig spiller et eller andet sted. Men hvis du selv spiller i lotto, så er det usandsynligt, at du vinder, men snarere bliver du inviteret til at arbejde på Infinity Ward.

Kort og afhængighed

Vi har diskuteret uafhængige begivenheder, såsom at kaste en terning, og kender nu mange kraftfulde værktøjer til at analysere tilfældigheder i mange spil. At beregne sandsynlighed er lidt mere kompliceret, når det kommer til at trække kort fra bunken, fordi hvert kort, vi trækker, påvirker dem, der bliver tilbage i bunken.

Hvis du har en standard 52-korts bunke, fjerner du 10 hjerter fra den og vil vide sandsynligheden for, at det næste kort vil være af samme kulør - sandsynligheden er ændret fra originalen, fordi du allerede har fjernet et kort i kuløren af hjerter fra dækket. Hvert kort, du fjerner, ændrer sandsynligheden for, at det næste kort dukker op i bunken. I dette tilfælde påvirker den forrige hændelse den næste, så vi kalder denne sandsynlighedsafhængig.

Bemærk venligst, at når jeg siger "kort", taler jeg om enhver spilmekaniker, hvor du har et sæt genstande, og du fjerner et af objekterne uden at erstatte det. Et "kortspil" i dette tilfælde er analogt med en pose chips, hvorfra man tager en jeton, eller en urne, hvorfra man tager farvede kugler (jeg har aldrig set spil med en urne, hvorfra man tager farvede kugler, men lærere af sandsynlighedsteori efter hvilken grund til, at dette eksempel foretrækkes).

Afhængighedsegenskaber

Jeg vil gerne præcisere, at når det kommer til kort, går jeg ud fra, at du trækker kort, ser på dem og fjerner dem fra bunken. Hver af disse handlinger er en vigtig egenskab. Hvis jeg havde et spil med f.eks. seks kort med tallene 1 til 6, ville jeg blande dem og trække et kort og derefter blande alle seks kort igen - det ville svare til at kaste en sekssidet terning, fordi et resultat har ingen effekt for de næste. Og hvis jeg tager kort ud og ikke erstatter dem, så ved at tage kort 1, øger jeg sandsynligheden for, at jeg næste gang trækker et kort med tallet 6. Sandsynligheden vil stige, indtil jeg til sidst fjerner det kort eller blande dækket.

Det er også vigtigt, at vi kigger på kort. Hvis jeg tager et kort ud af bunken og ikke ser på det, vil jeg ikke have yderligere information, og sandsynligheden ændres faktisk ikke. Dette kan lyde kontraintuitivt. Hvordan kan blot vende et kort på magisk vis ændre oddsene? Men det er muligt, fordi du kan beregne sandsynligheden for ukendte genstande bare ud fra, hvad du ved.

For eksempel, hvis du blander et standard kortspil og afslører 51 kort, og ingen af ​​dem er en kløverdronning, så kan du være 100 % sikker på, at det resterende kort er en kløverdronning. Hvis du blander et standardspil kort og tager 51 kort ud uden at se på dem, er sandsynligheden for, at det resterende kort er en kløverdronning stadig 1/52. Når du åbner hvert kort, får du flere oplysninger.

At beregne sandsynligheden for afhængige hændelser følger de samme principper som for uafhængige hændelser, bortset fra at det er lidt mere kompliceret, fordi sandsynligheden ændres, når du afslører kort. Så du skal gange mange forskellige værdier i stedet for at gange den samme værdi. Hvad dette i virkeligheden betyder er, at vi skal kombinere alle de beregninger, vi lavede, i én kombination.

Eksempel

Du blander et standardkort med 52 kort og trækker to kort. Hvad er sandsynligheden for, at du trækker et par? Der er flere måder at beregne denne sandsynlighed på, men den enkleste er måske denne: Hvad er sandsynligheden for, at hvis du trækker et kort, vil du ikke være i stand til at trække et par? Denne sandsynlighed er nul, så det er ligegyldigt hvilket første kort du trækker, så længe det matcher det andet. Det er lige meget hvilket kort vi trækker først, vi har stadig en chance for at trække et par. Derfor er sandsynligheden for at trække et par efter det første kort er trukket 100%.

Hvad er sandsynligheden for, at det andet kort matcher det første? Der er 51 kort tilbage i bunken, og 3 af dem matcher det første kort (faktisk ville der være 4 ud af 52, men du fjernede allerede et af de matchende kort, da du trak det første kort), så sandsynligheden er 1/ 17. Så næste gang du spiller Texas Hold'em, siger manden på den anden side af bordet: "Fedt, endnu et par? Jeg føler mig heldig i dag," du vil vide, at der er stor sandsynlighed for, at han bluffer.

Hvad hvis vi tilføjer to jokere, så vi har 54 kort i bunken og vil vide, hvad sandsynligheden er for at trække et par? Det første kort kan være en joker, og så vil der kun være ét kort i bunken, der matcher, og ikke tre. Hvordan finder man sandsynligheden i dette tilfælde? Vi vil dividere sandsynligheden og gange hver mulighed.

Vores første kort kunne være en joker eller et andet kort. Sandsynligheden for at trække en joker er 2/54, sandsynligheden for at trække et andet kort er 52/54. Hvis det første kort er en joker (2/54), så er sandsynligheden for, at det andet kort matcher det første, 1/53. Vi multiplicerer værdierne (vi kan gange dem, fordi de er separate begivenheder, og vi ønsker, at begge begivenheder skal ske), og vi får 1/1431 - mindre end en tiendedel af en procent.

Hvis du trækker et andet kort først (52/54), er sandsynligheden for at matche det andet kort 3/53. Vi multiplicerer værdierne og får 78/1431 (lidt mere end 5,5%). Hvad gør vi med disse to resultater? De krydser ikke hinanden, og vi vil gerne kende sandsynligheden for hver af dem, så vi tilføjer værdierne. Vi får et slutresultat på 79/1431 (stadig ca. 5,5%).

Hvis vi ville være sikre på nøjagtigheden af ​​svaret, kunne vi beregne sandsynligheden for alle de andre mulige udfald: at trække en joker og ikke matche et andet kort, eller trække et andet kort og ikke matche et andet kort. Ved at opsummere disse sandsynligheder og sandsynligheden for at vinde, ville vi få præcis 100%. Jeg vil ikke give matematikken her, men du kan prøve matematikken for at dobbelttjekke.

Monty Hall Paradox

Dette bringer os til et ret berømt paradoks, der ofte forvirrer mange mennesker - Monty Hall-paradokset. Paradokset er opkaldt efter værten for tv-programmet Let's Make a Deal. For dem, der aldrig har set dette tv-program, var det det modsatte af The Price Is Right.

På The Price Is Right er værten (Bob Barker plejede at være værten; hvem er det nu, Drew Carey? Never mind) din ven. Han vil have dig til at vinde penge eller fede præmier. Det forsøger at give dig alle muligheder for at vinde, så længe du kan gætte, hvor meget de varer, som sponsorerne har købt, faktisk er værd.

Monty Hall opførte sig anderledes. Han var som Bob Barkers onde tvilling. Hans mål var at få dig til at ligne en idiot på nationalt tv. Hvis du var med i showet, var han din modstander, du spillede mod ham, og oddsene var i hans favør. Måske er jeg for hård, men at se på det show, som du er mere tilbøjelig til at komme ind i, hvis du bærer et latterligt kostume, det er præcis det, jeg kommer til.

En af de mest berømte memes i showet var dette: Der er tre døre foran dig, dør nummer 1, dør nummer 2 og dør nummer 3. Du kan vælge en dør gratis. Bag en af ​​dem er der en storslået præmie - for eksempel en ny bil. Der er ingen præmier bag de to andre døre, som begge er uden værdi. Det er meningen, at de skal ydmyge dig, så bag dem er der ikke bare ingenting, men noget dumt, for eksempel en ged eller en kæmpe tube tandpasta - alt andet end en ny bil.

Du vælger en af ​​dørene, Monty er ved at åbne den for at fortælle dig, om du vandt eller ej... men vent. Før vi finder ud af det, lad os tage et kig på en af ​​de døre, du ikke har valgt. Monty ved, hvilken dør præmien er bagved, og han kan altid åbne den dør, der ikke har en præmie bag sig. “Vælger du dør nummer 3? Så lad os åbne dør nummer 1 for at vise, at der ikke var nogen præmie bag." Og nu giver han dig af generøsitet muligheden for at bytte den valgte dør nummer 3 til det, der er bag dør nummer 2.

På dette tidspunkt opstår spørgsmålet om sandsynlighed: øger denne mulighed din sandsynlighed for at vinde, eller mindsker den, eller forbliver den uændret? Hvad tænker du?

Korrekt svar: muligheden for at vælge en anden dør øger sandsynligheden for at vinde fra 1/3 til 2/3. Dette er ulogisk. Hvis du ikke har stødt på dette paradoks før, så tænker du højst sandsynligt: ​​vent, hvordan kan det være, at vi ved at åbne en dør på magisk vis ændrede sandsynligheden? Som vi allerede har set med kort, er det præcis, hvad der sker, når vi får mere information. Det er klart, når du vælger for første gang, er sandsynligheden for at vinde 1/3. Når en dør åbnes, ændrer det overhovedet ikke sandsynligheden for at vinde for førstevalget: sandsynligheden er stadig 1/3. Men sandsynligheden for at den anden dør er korrekt er nu 2/3.

Lad os se på dette eksempel fra et andet perspektiv. Du vælger en dør. Sandsynligheden for at vinde er 1/3. Jeg foreslår, at du ændrer de to andre døre, hvilket Monty Hall gør. Selvfølgelig åbner han en af ​​dørene for at afsløre, at der ikke er nogen præmie bag den, men det kan han altid gøre, så det ændrer ikke rigtigt noget. Selvfølgelig vil du gerne vælge en anden dør.

Hvis du ikke helt forstår spørgsmålet og har brug for en mere overbevisende forklaring, så klik på dette link for at blive ført til en fantastisk lille Flash-applikation, der giver dig mulighed for at udforske dette paradoks mere detaljeret. Du kan spille startende med omkring 10 døre og derefter gradvist arbejde dig op til et spil med tre døre. Der er også en simulator, hvor du kan spille med et vilkårligt antal døre fra 3 til 50, eller køre flere tusinde simuleringer og se, hvor mange gange du ville vinde, hvis du spillede.

Vælg en af ​​tre døre - sandsynligheden for at vinde er 1/3. Nu har du to strategier: ændre dit valg efter at have åbnet den forkerte dør eller ej. Hvis du ikke ændrer dit valg, så forbliver sandsynligheden 1/3, da valget kun sker i første fase, og du skal gætte med det samme. Hvis du skifter, så kan du vinde, hvis du først vælger den forkerte dør (så åbner de en anden forkert, den rigtige forbliver - ved at ændre din beslutning, tager du den). Sandsynligheden for at vælge den forkerte dør i starten er 2/3 – så det viser sig, at ved at ændre din beslutning, fordobler du sandsynligheden for at vinde.

En bemærkning fra højere matematiklærer og spilbalancespecialist Maxim Soldatov - selvfølgelig havde Schreiber det ikke, men uden det er det ret svært at forstå denne magiske transformation

Og igen om Monty Hall-paradokset

Med hensyn til selve showet: Selvom Monty Halls modstandere ikke var gode til matematik, var han god til det. Her er hvad han gjorde for at ændre spillet lidt. Hvis du valgte en dør, der havde en præmie bag sig, som havde en 1/3 chance for at ske, ville det altid give dig mulighed for at vælge en anden dør. Du vælger en bil og så bytter den ud med en ged, og du vil se ret dum ud - hvilket er præcis, hvad du ønsker, da Hall er en slags ond fyr.

Men hvis du vælger en dør, der ikke har en præmie bag sig, vil han kun bede dig om at vælge en anden halvdelen af ​​tiden, eller han vil bare vise dig din nye ged, og du forlader scenen. Lad os analysere dette nye spil, hvor Monty Hall kan beslutte, om du vil tilbyde dig chancen for at vælge en anden dør eller ej.

Antag, at han følger denne algoritme: Hvis du vælger en dør med en præmie, giver han dig altid muligheden for at vælge en anden dør, ellers er det lige så sandsynligt, at han vil tilbyde dig at vælge en anden dør eller give dig en ged. Hvad er din sandsynlighed for at vinde?

I en af ​​de tre muligheder vælger du med det samme den dør, som præmien er placeret bag, og oplægsholderen inviterer dig til at vælge en anden.

Af de resterende to muligheder ud af tre (du vælger i første omgang en dør uden præmie) vil oplægsholderen i halvdelen af ​​tilfældene tilbyde dig at ændre din beslutning, og i den anden halvdel af tilfældene - ikke.

Halvdelen af ​​2/3 er 1/3, det vil sige, i et tilfælde ud af tre får du en ged, i et tilfælde ud af tre vil du vælge den forkerte dør, og værten vil bede dig om at vælge en anden, og i en tilfælde ud af tre vil du vælge den rigtige dør, men han igen vil han tilbyde en anden.

Hvis oplægsholderen tilbyder at vælge en anden dør, ved vi allerede, at det ene tilfælde ud af tre, da han giver os en ged, og vi går, ikke skete. Dette er nyttig information: det betyder, at vores chancer for at vinde har ændret sig. To tilfælde ud af tre, når vi har mulighed for at vælge: I det ene tilfælde betyder det, at vi gættede rigtigt, og i det andet, at vi gættede forkert, så hvis vi overhovedet fik mulighed for at vælge, så er sandsynligheden for, at vi vinder er 1/2, og ud fra et matematisk synspunkt er det lige meget, om du bliver ved dit valg eller vælger en anden dør.

Ligesom poker er det et psykologisk spil, ikke et matematisk spil. Hvorfor gav Monty dig et valg? Tror han, at du er en simpel mand, der ikke ved, at det at vælge en anden dør er den "rigtige" beslutning og stædigt vil holde fast i sit valg (situationen er trods alt psykologisk sværere, når du valgte en bil og så mistede den )?

Eller tilbyder han, der beslutter, at du er smart og vil vælge en anden dør, dig denne chance, fordi han ved, at du gættede rigtigt i første omgang og vil blive hooked? Eller måske er han ukarakteristisk venlig og presser dig til at gøre noget, der vil gavne dig, fordi han ikke har givet biler væk i et stykke tid, og producenterne siger, at publikum er ved at kede sig, og det ville være bedre at give en stor præmie væk snart til faldt vurderingerne?

På denne måde formår Monty lejlighedsvis at tilbyde et valg og stadig holde den samlede sandsynlighed for at vinde på 1/3. Husk at sandsynligheden for at du taber direkte er 1/3. Chancen for, at du gætter rigtigt med det samme, er 1/3, og 50 % af disse gange vinder du (1/3 x 1/2 = 1/6).

Chancen for, at du først gætter forkert, men så har en chance for at vælge en anden dør, er 1/3, og halvdelen af ​​disse gange vil du vinde (også 1/6). Læg to uafhængige vindermuligheder sammen, og du får en sandsynlighed på 1/3, så det er lige meget, om du holder fast i dit valg eller vælger en anden dør - din samlede sandsynlighed for at vinde gennem hele spillet er 1/3.

Sandsynligheden bliver ikke større end i den situation, hvor du gættede døren, og oplægsholderen blot viste dig, hvad der lå bag, uden at tilbyde at vælge en anden. Pointen med forslaget er ikke at ændre på sandsynligheden, men at gøre beslutningsprocessen sjovere at se på tv.

Det er i øvrigt en af ​​grundene til, at poker kan være så interessant: I de fleste formater, mellem runder, når væddemål foretages (f.eks. floppet, turn og river i Texas Hold'em), afsløres kort gradvist, og hvis du i begyndelsen af ​​spillet har én chance for at vinde, så ændres denne sandsynlighed efter hver indsatsrunde, når flere kort afsløres.

Dreng og pige paradoks

Dette bringer os til et andet velkendt paradoks, som som regel undrer alle - drengens og pigens paradoks. Det eneste, jeg skriver om i dag, som ikke er direkte relateret til spil (selvom jeg gætter på, at jeg bare skal opfordre dig til at skabe passende spilmekanik). Dette er mere et puslespil, men interessant, og for at løse det skal du forstå betinget sandsynlighed, som vi talte om ovenfor.

Problem: Jeg har en ven med to børn, mindst én af dem er en pige. Hvad er sandsynligheden for, at det andet barn også er en pige? Lad os antage, at i enhver familie er chancerne for at få en pige og en dreng 50/50, og det gælder for hvert barn.

Faktisk har nogle mænd flere sædceller med et X-kromosom eller et Y-kromosom i deres sædceller, så oddsene ændrer sig lidt. Hvis du ved, at et barn er en pige, er sandsynligheden for at få en anden pige lidt højere, og der er andre tilstande, såsom hermafroditisme. Men for at løse dette problem vil vi ikke tage højde for dette og antage, at fødslen af ​​et barn er en uafhængig begivenhed, og fødslen af ​​en dreng og en pige er lige sandsynlige.

Da vi taler om en chance på 1/2, forventer vi intuitivt, at svaret højst sandsynligt vil være 1/2 eller 1/4, eller et andet tal, der er et multiplum af to i nævneren. Men svaret er 1/3. Hvorfor?

Vanskeligheden her er, at den information, vi har, reducerer antallet af muligheder. Antag, at forældrene er fans af Sesame Street og, uanset børnenes køn, navngivet dem A og B. Under normale forhold er der fire lige sandsynlige muligheder: A og B er to drenge, A og B er to piger, A er en dreng og B er en pige, A er en pige og B er en dreng. Da vi ved, at mindst ét ​​barn er en pige, kan vi udelukke muligheden for, at A og B er to drenge. Dette efterlader os med tre muligheder - stadig lige sandsynlige. Hvis alle muligheder er lige sandsynlige, og der er tre af dem, så er sandsynligheden for hver af dem 1/3. I kun én af disse tre muligheder er begge børn piger, så svaret er 1/3.

Og igen om paradokset med en dreng og en pige

Løsningen på problemet bliver endnu mere ulogisk. Forestil dig, at min veninde har to børn, og en af ​​dem er en pige, der blev født i tirsdags. Lad os antage, at et barn under normale forhold kan blive født på hver af ugens syv dage med lige stor sandsynlighed. Hvad er sandsynligheden for, at det andet barn også er en pige?

Du tror måske, at svaret stadig ville være 1/3: hvad betyder tirsdag noget? Men selv i dette tilfælde svigter vores intuition os. Svaret er 13/27, hvilket ikke kun er uintuitivt, men meget mærkeligt. Hvad er der i vejen i denne sag?

Faktisk ændrer tirsdag sandsynligheden, fordi vi ikke ved, hvilket barn der blev født om tirsdagen, eller måske begge blev født om tirsdagen. I dette tilfælde bruger vi den samme logik: vi tæller alle mulige kombinationer, når mindst et barn er en pige født på tirsdag. Som i det foregående eksempel, lad os antage, at børnene hedder A og B. Kombinationerne ser således ud:

• A er en pige, der blev født om tirsdagen, B er en dreng (i denne situation er der 7 muligheder, en for hver dag i ugen, hvor en dreng kunne være blevet født).
• B er en pige født tirsdag, A er en dreng (også 7 muligheder).
• A - en pige, der er født tirsdag, B - en pige, der er født en anden dag i ugen (6 muligheder).
• B er en pige, der er født tirsdag, A er en pige, der ikke er født tirsdag (også 6 sandsynligheder).
• A og B er to piger, der blev født i tirsdags (1 mulighed, du skal være opmærksom på dette for ikke at tælle to gange).

Vi lægger sammen og får 27 forskellige lige mulige kombinationer af børnefødsler og dage med mindst én mulighed for, at en pige bliver født på tirsdag. Heraf er der 13 muligheder, når to piger bliver født. Det virker også fuldstændig ulogisk – det virker som om denne opgave er opfundet bare for at give hovedpine. Hvis du stadig undrer dig, har spilteoretiker Jesper Juhls hjemmeside en god forklaring på dette problem.

Hvis du i øjeblikket arbejder på et spil

Hvis der er en tilfældighed i det spil, du designer, er dette et godt tidspunkt at analysere det på. Vælg et element, du vil analysere. Spørg først dig selv, hvad du forventer, at sandsynligheden for et givet element er, hvad det skal være i forbindelse med spillet.

For eksempel, hvis du laver en RPG, og du spekulerer på, hvad sandsynligheden burde være for, at spilleren vil besejre et monster i kamp, ​​så spørg dig selv, hvilken gevinstprocent der føles rigtigt for dig. Typisk med konsol-RPG'er bliver spillere meget sure, når de taber, så det er bedst, hvis de taber sjældent - 10% af tiden eller mindre. Hvis du er en RPG-designer, ved du sikkert bedre end jeg gør, men du skal have en grundlæggende idé om, hvad sandsynligheden bør være.

Spørg så dig selv, om dine sandsynligheder er afhængige (som med kort) eller uafhængige (som med terninger). Analyser alle mulige udfald og deres sandsynligheder. Sørg for, at summen af ​​alle sandsynligheder er 100 %. Og sammenlign selvfølgelig de opnåede resultater med dine forventninger. Er du i stand til at kaste med terningerne eller trække kort, som du havde tænkt dig, eller er det klart, at værdierne skal justeres. Og selvfølgelig, hvis du finder nogle mangler, kan du bruge de samme beregninger til at bestemme, hvor meget du skal ændre værdierne.

Hjemmeopgave

Dine lektier i denne uge vil hjælpe dig med at finpudse dine sandsynlighedsfærdigheder. Her er to terningespil og et kortspil, som du vil analysere ved hjælp af sandsynlighed, samt en mærkelig spilmekaniker, som jeg engang udviklede, og som vil teste Monte Carlo-metoden.

Spil #1 - Dragon Bones

Dette er et terningespil, som mine kolleger og jeg engang fandt på (takket være Jeb Heavens og Jesse King) – det blæser specifikt folks sind med dets sandsynligheder. Det er et simpelt casinospil kaldet Dragon Dice, og det er en gambling terningkonkurrence mellem spilleren og huset.

Du får en normal 1d6 terning. Målet med spillet er at rulle et tal højere end husets. Tom får en ikke-standard 1d6 - den samme som din, men på en af ​​dens ansigter i stedet for en enhed er der et billede af en drage (casinoet har således en drageterning - 2-3-4-5-6 ). Hvis huset får en drage, vinder den automatisk, og du taber. Hvis begge får samme nummer, er det uafgjort, og du kaster terningerne igen. Den, der kaster det højeste tal, vinder.

Alt fungerer selvfølgelig ikke helt i spillerens favør, for casinoet har en fordel i form af dragekanten. Men er dette virkelig sandt? Dette er hvad du skal beregne. Men tjek først din intuition.

Lad os sige, at oddset er 2 til 1. Så hvis du vinder, beholder du din indsats og får det dobbelte af din indsats. For eksempel, hvis du satser 1 dollar og vinder, beholder du den dollar og får 2 mere oveni, for i alt 3 dollars. Hvis du taber, taber du kun din indsats. Ville du spille? Føler du intuitivt, at sandsynligheden er større end 2 til 1, eller tror du stadig, at den er mindre? Med andre ord, i gennemsnit over 3 spil, forventer du at vinde mere end én gang, mindre eller én gang?

Når du har fundet ud af din intuition, så brug matematik. Der er kun 36 mulige positioner for begge terninger, så du kan tælle dem alle uden problemer. Hvis du ikke er sikker på det 2-til-1-tilbud, så overvej dette: Lad os sige, at du spillede spillet 36 gange (ved at satse $1 hver gang). For hver sejr får du 2 dollars, for hvert tab taber du 1, og uafgjort ændrer intet. Beregn alle dine sandsynlige gevinster og tab og afgør, om du vil tabe eller vinde nogle dollars. Spørg så dig selv, hvor rigtig din intuition var. Og så indse, hvilken skurk jeg er.

Og ja, hvis du allerede har tænkt over dette spørgsmål – jeg forvirrer dig med vilje ved at misrepræsentere den faktiske mekanik i terningespil, men jeg er sikker på, at du kan overvinde denne forhindring med blot en lille eftertanke. Prøv selv at løse dette problem.

Spil nr. 2 - Kast efter held

Det er et hasardspil, der hedder "Roll for Luck" (også kaldet "Birdcage", fordi nogle gange bliver terningerne ikke kastet, men placeret i et stort trådbur, der minder om buret fra Bingo). Spillet er simpelt og går dybest set ned til dette: sats f.eks. $1 på et tal fra 1 til 6. Så kaster du 3d6. For hver terning, der lander dit nummer, får du $1 (og beholder din oprindelige indsats). Hvis dit nummer ikke kommer op på nogen af ​​terningerne, får kasinoet din dollar, og du får intet. Så hvis du satser på 1, og du får en 1 på siderne tre gange, får du $3.

Intuitivt ser det ud til, at dette spil har lige store chancer. Hver terning er en individuel 1 ud af 6 chance for at vinde, så over summen af ​​de tre kast er din chance for at vinde 3 ud af 6. Husk dog selvfølgelig, at du tilføjer tre separate terninger, og du har kun lov til at tilføje, hvis vi taler om separate vindende kombinationer af den samme terning. Noget du bliver nødt til at formere.

Når du først har beregnet alle de mulige resultater (sandsynligvis nemmere at gøre i Excel end i hånden, da der er 216 af dem), ser spillet stadig ulige ud - lige ved første øjekast. Faktisk har casinoet stadig en bedre chance for at vinde – hvor meget mere? Specifikt, hvor mange penge forventer du i gennemsnit at tabe hver spillerunde?

Alt du skal gøre er at lægge gevinsterne og tabene for alle 216 resultater sammen og derefter dividere med 216, hvilket burde være ret simpelt. Men som du kan se, er der flere faldgruber her, og derfor siger jeg: Hvis du tror, ​​at dette spil har en lige chance for at vinde, har du det helt forkert.

Spil #3 - 5 Card Stud Poker

Hvis du allerede har varmet op med tidligere spil, så lad os se, hvad vi ved om betinget sandsynlighed ved at bruge dette kortspil som eksempel. Lad os forestille os et pokerspil med et kortspil med 52 kort. Lad os også forestille os 5 card stud, hvor hver spiller kun modtager 5 kort. Du kan ikke kassere et kort, du kan ikke trække et nyt, der er ingen delt kortspil – du får kun 5 kort.

En royal flush er 10-J-Q-K-A i den ene hånd, der er fire i alt, så der er fire mulige måder at få en royal flush på. Beregn sandsynligheden for, at du får en sådan kombination.

Jeg må advare dig om én ting: husk, at du kan trække disse fem kort i vilkårlig rækkefølge. Det vil sige, at du først kan trække et es eller en ti, det er lige meget. Så når du laver regnestykket, skal du huske på, at der faktisk er mere end fire måder at få en royal flush på, forudsat at kortene blev givet i rækkefølge.

Spil nr. 4 - IMF Lotteri

Det fjerde problem kan ikke løses så let ved hjælp af de metoder, vi talte om i dag, men du kan nemt simulere situationen ved hjælp af programmering eller Excel. Det er på eksemplet med dette problem, at du kan udarbejde Monte Carlo-metoden.

Jeg nævnte tidligere spillet Chron X, som jeg engang arbejdede på, og der var et meget interessant kort der - IMF-lotteriet. Sådan fungerede det: du brugte det i spillet. Efter runden sluttede, blev kortene omfordelt, og der var en 10% chance for, at kortet ville gå ud af spil, og at en tilfældig spiller ville modtage 5 enheder af hver type ressource, hvis token var til stede på det kort. Kortet blev sat i spil uden en eneste jeton, men hver gang det forblev i spil i begyndelsen af ​​næste runde, modtog det én jeton.

Så der var 10 % chance for, at hvis du satte den i spil, ville runden slutte, kortet ville forlade spillet, og ingen ville få noget. Hvis dette ikke sker (90% chance), er der en 10% chance (faktisk 9%, da det er 10% af 90%), at hun i næste runde forlader spillet, og nogen vil modtage 5 enheder af ressourcer. Hvis kortet forlader spillet efter en runde (10 % af de 81 %, der er til rådighed, så sandsynligheden er 8,1 %), vil nogen modtage 10 enheder, en anden runde - 15, en anden - 20, og så videre. Spørgsmål: Hvad er den generelle forventede værdi af antallet af ressourcer, du vil få fra dette kort, når det endelig forlader spillet?

Normalt ville vi forsøge at løse dette problem ved at beregne muligheden for hvert udfald og gange med antallet af alle udfald. Der er 10 % chance for, at du får 0 (0,1 * 0 = 0). 9 %, at du vil modtage 5 ressourceenheder (9 % * 5 = 0,45 ressourcer). 8,1 % af det, du får, er 10 (8,1 %*10=0,81 ressourcer - samlet forventet værdi). Og så videre. Og så ville vi opsummere det hele.

Og nu er problemet indlysende for dig: der er altid en chance for, at kortet ikke forlader spillet, det kan forblive i spillet for evigt, i et uendeligt antal runder, så der er ingen måde at beregne enhver sandsynlighed på. De metoder, vi har lært i dag, tillader os ikke at beregne uendelig rekursion, så vi bliver nødt til at skabe den kunstigt.

Hvis du er god nok til at programmere, så skriv et program, der simulerer dette kort. Du bør have en tidsløkke, der bringer variablen til en startposition på nul, viser et tilfældigt tal og med en 10% chance for at variablen forlader løkken. Ellers tilføjer den 5 til variablen, og løkken gentages. Når den endelig forlader sløjfen, øges det samlede antal prøvekørsler med 1 og det samlede antal ressourcer (hvor meget afhænger af, hvor variablen ender). Nulstil derefter variablen og start igen.

Kør programmet flere tusinde gange. Til sidst skal du dividere det samlede antal ressourcer med det samlede antal kørsler - dette vil være din forventede Monte Carlo-værdi. Kør programmet flere gange for at sikre dig, at de tal, du får, er omtrent det samme. Hvis spredningen stadig er stor, skal du øge antallet af gentagelser i den ydre løkke, indtil du begynder at få tændstikker. Du kan være sikker på, at de tal, du ender med, vil være nogenlunde korrekte.

Hvis du er ny til programmering (selvom du er det), er her en hurtig øvelse til at teste dine Excel-færdigheder. Hvis du er spildesigner, vil disse færdigheder aldrig være overflødige.

Nu vil if og rand-funktionerne være meget nyttige for dig. Rand kræver ikke værdier, den spytter bare et tilfældigt decimaltal ud mellem 0 og 1. Vi plejer at kombinere det med etage og plusser og minusser for at simulere terningkast, som jeg nævnte tidligere. Men i dette tilfælde efterlader vi bare en 10% chance for, at kortet forlader spillet, så vi kan bare tjekke om randværdien er mindre end 0,1 og ikke bekymre os om det længere.

Hvis har tre betydninger. I rækkefølge: en betingelse, der enten er sand eller falsk, derefter en værdi, der returneres, hvis betingelsen er sand, og en værdi, der returneres, hvis betingelsen er falsk. Så følgende funktion vil returnere 5% af tiden, og 0 de andre 90% af tiden: =HVIS(RAND()<0.1,5,0) .

Der er mange måder at indstille denne kommando på, men jeg ville bruge denne formel til den celle, der repræsenterer den første runde, lad os sige, at det er celle A1: =HVIS(RAND()<0.1,0,-1) .

Her bruger jeg en negativ variabel til at betyde "dette kort har ikke forladt spillet og har ikke opgivet nogen ressourcer endnu." Så hvis første runde er slut, og kortet forlader spillet, er A1 0; ellers er det –1.

For den næste celle, der repræsenterer anden runde: =HVIS(A1>-1, A1, HVIS(RAND()<0.1,5,-1)) . Så hvis den første runde sluttede, og kortet straks forlod spillet, er A1 0 (antallet af ressourcer), og denne celle kopierer simpelthen denne værdi. Ellers er A1 -1 (kortet har endnu ikke forladt spillet), og denne celle fortsætter med at bevæge sig tilfældigt: 10 % af tiden vil den returnere 5 enheder ressourcer, resten af ​​tiden vil dens værdi stadig være lig med -1. Hvis vi anvender denne formel på yderligere celler, får vi yderligere runder, og hvilken celle du end ender med vil give dig det endelige resultat (eller -1, hvis kortet aldrig forlod spillet efter alle de runder, du har spillet).

Tag den række af celler, som repræsenterer den eneste runde med det kort, og kopier og indsæt flere hundrede (eller tusinde) rækker. Vi kan muligvis ikke lave en uendelig test for Excel (der er et begrænset antal celler i en tabel), men vi kan i det mindste dække de fleste tilfælde. Vælg derefter en celle, hvori du vil placere gennemsnittet af resultaterne af alle runder - Excel giver med fordel en gennemsnitsfunktion () til dette.

På Windows kan du som minimum trykke på F9 for at genberegne alle tilfældige tal. Som før skal du gøre dette flere gange og se om du får de samme værdier. Hvis spredningen er for stor, fordoble antallet af kørsler og prøv igen.

Uløste problemer

Hvis du tilfældigvis har en grad i sandsynlighedsteori, og ovenstående problemer virker for nemme for dig, er her to problemer, jeg har kløet mig i hovedet over i årevis, men desværre er jeg ikke god nok til matematik til at løse dem.

Uløst problem #1: IMF-lotteri

Det første uløste problem er den tidligere hjemmeopgave. Jeg kan nemt anvende Monte Carlo-metoden (ved hjælp af C++ eller Excel) og være sikker på svaret på spørgsmålet "hvor mange ressourcer vil spilleren modtage", men jeg ved ikke præcis, hvordan jeg skal give et nøjagtigt bevisbart svar matematisk (det er en uendelig række).

Uløst problem #2: Sekvenser af figurer

Dette problem (det går også langt ud over de opgaver, der er løst i denne blog) blev givet til mig af en gamer-ven for mere end ti år siden. Mens han spillede blackjack i Vegas, bemærkede han en interessant ting: Da han fjernede kort fra en 8-dæks sko, så han ti figurer i træk (figuren eller billedkortet er 10, Joker, Konge eller Dronning, så der er 16 i i alt i en standard 52-dæk kort eller 128 i en 416 kort sko).

Hvad er sandsynligheden for, at denne sko indeholder mindst én sekvens af ti eller flere figurer? Lad os antage, at de blev blandet retfærdigt i tilfældig rækkefølge. Eller, hvis du foretrækker det, hvad er sandsynligheden for, at en sekvens på ti eller flere figurer ikke forekommer nogen steder?

Vi kan forenkle opgaven. Her er en sekvens på 416 dele. Hver del er 0 eller 1. Der er 128 enere og 288 nuller spredt tilfældigt gennem sekvensen. Hvor mange måder er der til tilfældigt at blande 128 enere med 288 nuller, og hvor mange gange vil der på disse måder forekomme mindst en gruppe på ti eller flere?

Hver gang jeg gik i gang med at løse dette problem, virkede det nemt og indlysende for mig, men så snart jeg dykkede ned i detaljerne, faldt det pludselig fra hinanden og virkede simpelthen umuligt.

Så skynd dig ikke at uddybe svaret: sæt dig ned, tænk dig godt om, studer betingelserne, prøv at tilslutte reelle tal, for alle de mennesker, jeg talte med om dette problem (inklusive flere kandidatstuderende, der arbejder inden for dette felt) reagerede om det samme: "Det er helt indlysende... åh, nej, vent, det er slet ikke indlysende." Dette er tilfældet, når jeg ikke har en metode til at beregne alle mulighederne. Jeg kunne selvfølgelig brute force problemet gennem en computeralgoritme, men det ville være meget mere interessant at kende den matematiske løsning.

Kort teori

For kvantitativt at sammenligne hændelser efter graden af ​​mulighed for deres forekomst, indføres et numerisk mål, som kaldes sandsynligheden for en hændelse. Sandsynligheden for en tilfældig hændelse er et tal, der udtrykker målet for den objektive mulighed for, at en begivenhed indtræffer.

De mængder, der bestemmer, hvor væsentlige de objektive årsager er til at forvente, at en begivenhed indtræffer, er karakteriseret ved sandsynligheden for begivenheden. Det skal understreges, at sandsynlighed er en objektiv størrelse, der eksisterer uafhængigt af den, der kender, og er betinget af hele det sæt af forhold, der bidrager til, at en begivenhed opstår.

De forklaringer, vi har givet for begrebet sandsynlighed, er ikke en matematisk definition, da de ikke kvantificerer begrebet. Der er flere definitioner af sandsynligheden for en tilfældig hændelse, som er meget brugt til at løse specifikke problemer (klassisk, aksiomatisk, statistisk osv.).

Klassisk definition af begivenhedssandsynlighed reducerer dette begreb til det mere elementære begreb om lige mulige hændelser, som ikke længere er underlagt definition og antages at være intuitivt klart. For eksempel, hvis en terning er en homogen terning, så vil tabet af en hvilken som helst af siderne på denne terning være lige så mulige begivenheder.

Lad en pålidelig hændelse opdeles i lige mulige tilfælde, hvis sum giver hændelsen. Det vil sige, at de tilfælde, hvor det bryder sammen, kaldes gunstige for begivenheden, da udseendet af en af ​​dem sikrer forekomsten.

Sandsynligheden for en hændelse vil blive angivet med symbolet.

Sandsynligheden for en begivenhed er lig med forholdet mellem antallet af sager, der er gunstige for den, ud af det samlede antal unikt mulige, lige mulige og uforenelige tilfælde, og antallet, dvs.

Dette er den klassiske definition af sandsynlighed. For at finde sandsynligheden for en hændelse er det således nødvendigt, efter at have overvejet de forskellige resultater af testen, at finde et sæt unikt mulige, lige mulige og inkompatible tilfælde, beregne deres samlede antal n, antallet af tilfælde m gunstige for en given hændelse, og udfør derefter beregningen ved hjælp af ovenstående formel.

Sandsynligheden for, at en hændelse er lig med forholdet mellem antallet af forsøgsresultater, der er gunstige for hændelsen, og det samlede antal forsøgsudfald kaldes klassisk sandsynlighed tilfældig begivenhed.

Følgende egenskaber for sandsynlighed følger af definitionen:

Egenskab 1. Sandsynligheden for en pålidelig hændelse er lig med én.

Egenskab 2. Sandsynligheden for en umulig hændelse er nul.

Egenskab 3. Sandsynligheden for en tilfældig hændelse er et positivt tal mellem nul og én.

Egenskab 4. Sandsynligheden for forekomsten af ​​begivenheder, der danner en komplet gruppe, er lig med én.

Egenskab 5. Sandsynligheden for, at den modsatte begivenhed indtræffer, bestemmes på samme måde som sandsynligheden for, at begivenhed A indtræffer.

Antallet af tilfælde, der favoriserer forekomsten af ​​en modsat hændelse. Derfor er sandsynligheden for forekomsten af ​​den modsatte begivenhed lig med forskellen mellem enhed og sandsynligheden for forekomsten af ​​begivenhed A:

En vigtig fordel ved den klassiske definition af sandsynligheden for en begivenhed er, at med dens hjælp kan sandsynligheden for en begivenhed bestemmes uden at ty til erfaring, men ud fra logiske ræsonnementer.

Når et sæt betingelser er opfyldt, vil en pålidelig hændelse helt sikkert ske, men en umulig hændelse vil bestemt ikke ske. Blandt de begivenheder, der kan eller ikke kan forekomme, når et sæt af betingelser skabes, kan forekomsten af ​​nogle med god grund regne med, og forekomsten af ​​andre med mindre grund. Hvis der for eksempel er flere hvide kugler i en urne end sorte kugler, så er der større grund til at håbe på udseendet af en hvid kugle, når den trækkes fra urnen tilfældigt end på udseendet af en sort kugle.

Eksempel på problemløsning

Eksempel 1

En æske indeholder 8 hvide, 4 sorte og 7 røde kugler. 3 kugler trækkes tilfældigt. Find sandsynligheden for følgende begivenheder: – der trækkes mindst 1 rød kugle, – der er mindst 2 kugler af samme farve, – der er mindst 1 rød og 1 hvid kugle.

Løsningen af ​​problemet

Vi finder det samlede antal testresultater som antallet af kombinationer af 19 (8+4+7) elementer af 3:

Lad os finde sandsynligheden for hændelsen– der trækkes mindst 1 rød kugle (1,2 eller 3 røde kugler)

Påkrævet sandsynlighed:

Lad begivenheden– der er mindst 2 kugler af samme farve (2 eller 3 hvide kugler, 2 eller 3 sorte kugler og 2 eller 3 røde kugler)

Antal gunstige resultater for begivenheden:

Påkrævet sandsynlighed:

Lad begivenheden– der er mindst én rød og 1 hvid kugle

(1 rød, 1 hvid, 1 sort eller 1 rød, 2 hvid eller 2 rød, 1 hvid)

Antal gunstige resultater for begivenheden:

Påkrævet sandsynlighed:

Svar: P(A)=0,773; P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Eksempel 2

Der kastes to terninger. Find sandsynligheden for, at summen af ​​point er mindst 5.

Løsning

Lad begivenheden være en score på mindst 5

Lad os bruge den klassiske definition af sandsynlighed:

Samlet antal mulige testresultater

Antal forsøg, der favoriserer begivenheden af ​​interesse

På den tabte side af den første terning kan der vises et point, to point..., seks point. på samme måde er seks udfald mulige, når du kaster den anden terning. Hvert af udfaldene ved at kaste den første terning kan kombineres med hvert af udfaldene af den anden. Således er det samlede antal mulige elementære testresultater lig med antallet af placeringer med gentagelser (valg med placeringer af 2 elementer fra et sæt af bind 6):

Lad os finde sandsynligheden for den modsatte begivenhed - summen af ​​point er mindre end 5

Følgende kombinationer af tabte point vil favorisere begivenheden:

№

1. knogle

2. knogle

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Den geometriske definition af sandsynlighed præsenteres og løsningen på det velkendte mødeproblem gives.