مرحبًا، أصدقائي الأعزاء! اليوم سنلقي نظرة على المهمة من الجزء ج. هذا نظام من معادلتين. المعادلات غريبة جدا يوجد هنا جيب التمام وجيب التمام، كما توجد أيضًا جذور. يشترط القدرة على حل المسائل التربيعية والبسيطة. في المهمة المقدمة هم حلول مفصلةلم يتم عرضها، يجب أن تكون قادرًا على القيام بذلك بالفعل. باستخدام الروابط المتوفرة، يمكنك عرض النظرية والمهام العملية ذات الصلة.

الصعوبة الرئيسية في أمثلة مماثلةهو أنه من الضروري مقارنة الحلول التي تم الحصول عليها مع مجال التعريف الموجود هنا، يمكن للمرء أن يخطئ بسهولة بسبب عدم الانتباه.

الحل للنظام هو دائمًا زوج (أزواج) من الأرقام x و y، مكتوبة بالشكل (x;y).تأكد من التحقق بعد تلقي الإجابة.هناك ثلاث طرق مقدمة لك، لا، ليست طرقًا، بل ثلاث طرق للتفكير يمكنك اتباعها. شخصيا، الثالث هو الأقرب لي. لنبدأ:

حل نظام المعادلات:

الطريقة الأولى!

دعونا نجد مجال تعريف المعادلة. ومعلوم أن التعبير الجذري له معنى غير منفي:

خذ المعادلة الأولى:

1. يساوي الصفر عند x = 2 أو عند x = 4، لكن 4 راديان لا ينتمي إلى تعريف التعبير (3).

*توجد زاوية مقدارها 4 راديان (229.188 0) في الربع الثالث، حيث تكون قيمة الجيب سالبة. لهذا السبب

كل ما تبقى هو الجذر س = 2.

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية لـ x = 2.

عند هذه القيمة لـ x، يجب أن يكون التعبير 2 - y - y 2 مساويًا للصفر، إذًا

دعونا نحل 2 - ص - ص 2 = 0، نحصل على y = - 2 أو y = 1.

لاحظ أنه بالنسبة لـ y = - 2، جذر cos y ليس له حل.

* زاوية -2 راديان (- 114.549 0) تقع في الربع الثالث، وفيه تكون قيمة جيب التمام سالبة.

لذلك، يبقى y = 1 فقط.

وبالتالي فإن حل النظام سيكون الزوج (2؛1).

2. المعادلة الأولى تساوي أيضًا الصفر عند cos y = 0، أي عند

ولكن مع مراعاة مجال التعريف الموجود (2) نحصل على:

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية لهذا y.

التعبير 2 – y – y 2 مع y = – Pi/2 لا يساوي صفر، مما يعني أنه لكي يكون له حل يجب تحقيق الشرط التالي:

نحن نقرر:

وبأخذ مجال التعريف الموجود (١) في الاعتبار حصلنا على ذلك

وبالتالي فإن حل النظام هو زوج آخر:

الطريقة الثانية!

لنجد مجال التعريف للتعبير:

ومعلوم أن التعبير الموجود تحت الجذر له معنى غير منفي.
بحل المتراجحة 6x – x 2 + 8 ≥ 0، نحصل على 2 ≥ x ≥ 4 (2 و 4 راديان).

النظر في الحالة 1:

دع س = 2 أو س = 4.

إذا كانت x = 4، فإن الخطيئة x< 0. Если х = 2, то sin x > 0.

بالنظر إلى أن sin x ≠ 0، يتبين أنه في هذه الحالة في المعادلة الثانية للنظام 2 – y – y 2 = 0.

بحل المعادلة نجد أن y = - 2 أو y = 1.

عند تحليل القيم التي تم الحصول عليها، يمكننا القول أن x = 4 و y = - 2 ليسا جذورًا، لأننا حصلنا على sin x< 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

يمكن ملاحظة أن x = 2 و y = 1 مدرجان في مجال التعريف.

وبالتالي فإن الحل هو الزوج (2؛1).

دعونا نفكر في الحالة 2:

دع الآن 2< х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. وبناءً على ذلك، يمكننا أن نستنتج أنه في المعادلة الأولى يجب أن يكون cos y يساوي الصفر.

وبحل المعادلة نحصل على:

وفي المعادلة الثانية عند إيجاد مجال تعريف التعبير:

نحصل على:

2 - ص - ص 2 ≥ 0

– 2 ≥ ص ≥ 1

من بين جميع حلول المعادلة cos y = 0، يتم تحقيق هذا الشرط فقط من خلال:

في قيمة معينةذ، التعبير 2 – ذ – ذ 2 ≠ 0. وبالتالي، في المعادلة الثانية sin x تساوي صفرًا، نحصل على:

من بين جميع حلول هذه المعادلة، الفترة 2< х < 4 принадлежит только

وهذا يعني أن حل النظام سيكون زوجًا آخر:

* لم نجد مجال التعريف لجميع التعبيرات في النظام مرة واحدة؛ نظرنا إلى التعبير من المعادلة الأولى (حالتين) ثم حددنا على طول الطريق تطابق الحلول الموجودة معها المنطقة المنشأةالتعاريف. في رأيي، إنها ليست مريحة للغاية، فقد اتضح أنها مربكة إلى حد ما.

الطريق الثالث!

وهو مشابه للأول، ولكن هناك اختلافات. كما تم العثور على منطقة تعريف التعبيرات أولاً. ومن ثم يتم حل المعادلتين الأولى والثانية بشكل منفصل ومن ثم يتم إيجاد حل النظام.

دعونا نجد مجال التعريف. ومعلوم أن التعبير الجذري له معنى غير منفي:

بحل المتراجحة 6x – x 2 + 8 ≥ 0 نحصل على 2 ≥ x ≥ 4 (1).

القيمتان 2 و 4 هي راديان، 1 راديان كما نعلم ≈ 57.297 0

بالدرجات يمكننا أن نكتب تقريبًا 114.549 0 ≥ x ≥ 229.188 0.

حل المتراجحة 2 - y - y 2 ≥ 0 نحصل على - 2 ≥ y ≥ 1 (2).

بالدرجات يمكننا أن نكتب – 114.549 0 ≥ y ≥ 57.297 0 .

اتخاذ القرار خطيئة عدم المساواةس ≥ 0 حصلنا على ذلك

حل المتباينة cos y ≥ 0 نحصل على ذلك

ومن المعلوم أن الناتج يساوي صفراً عندما يكون أحد العوامل مساوياً للصفر (ولا تفقد العوامل الأخرى معناها).

خذ المعادلة الأولى:

وسائل

حل cos y = 0 هو:

الحل 6x-x2 + 8 = 0 هي س = 2 و س = 4.

خذ المعادلة الثانية:

وسائل

حل الخطيئة x = 0 هو:

حل المعادلة 2 – y – y 2 = 0 هو y = – 2 أو y = 1.

الآن، مع الأخذ في الاعتبار مجال التعريف، دعونا نحلل

القيم التي تم الحصول عليها:

بما أن 114.549 0 ≥ x ≥ 229.188 0، إذن هذا الجزءهناك حل واحد فقط للمعادلةالخطيئة x = 0، هذا هو x = Pi.

بما أن – 114.549 0 ≥ y ≥ 57.297 0، فإن هذا المقطع يحتوي على حل واحد فقط للمعادلةكوس ص = 0، وهذا هو

خذ بعين الاعتبار الجذور x = 2 و x = 4.

يمين!

وبالتالي فإن حل النظام سيكون عبارة عن زوجين من الأرقام:

*هنا، مع الأخذ في الاعتبار مجال التعريف الذي تم العثور عليه، قمنا باستبعاد جميع القيم التي تم الحصول عليها والتي لا تنتمي إليه ثم قمنا بمراجعة جميع الخيارات للأزواج المحتملة. بعد ذلك قمنا بفحص أي منها يمثل الحل للنظام.

أوصي فورًا في بداية حل المعادلات والمتباينات وأنظمتها، إذا كانت هناك جذور ولوغاريتمات ووظائف مثلثية، فتأكد من العثور على مجال التعريف. هناك، بالطبع، أمثلة حيث يكون من الأسهل حلها على الفور ثم التحقق من الحل ببساطة، ولكن هذه أقلية نسبية.

هذا كل شيء. حظا سعيدا لك!

يعتمد حل المعادلات المثلثية وأنظمة المعادلات المثلثية على حل أبسط المعادلات المثلثية.

دعونا نتذكر الصيغ الأساسية لحل أبسط المعادلات المثلثية.

حل المعادلات من الصيغة sin(x) = a.

عندما |أ|< = 1 x = (-1)^k *arcsin(a) +π*k, где k принадлежит Z.

بالنسبة لـ |a|>1 لا توجد حلول.

حل المعادلات من الصيغة cos(x) = a.

عندما |أ|< = 1 x = ±arccos(a) +2*π*k, где k принадлежит Z.

بالنسبة لـ |a|>1 لا توجد حلول.

حل المعادلات من الصيغة tg(x) = a.

x = arctan(a) + π*k، حيث k ينتمي إلى Z.

حل المعادلات من الصيغة cotg(x) = a.

x = arcctg(a)+ π*k، حيث k ينتمي إلى Z.

بعض الحالات الشائعة:

الخطيئة(س) =1; x = π/2 +2* π*k، حيث تنتمي k إلى Z.

الخطيئة (س) = 0؛ x = π*k، حيث k ينتمي إلى Z.

الخطيئة (س) = -1؛ x = - π/2 +2* π*k، حيث k تنتمي إلى Z.

كوس (س) = 1؛ x = 2* π*k، حيث k تنتمي إلى Z.

كوس (س) = 0؛ x= π/2 + π*k، حيث k تنتمي إلى Z.

كوس (س) = -1؛ x = π+2* π*k، حيث k تنتمي إلى Z.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

مثال 1. حل المعادلة المثلثية 2*(sin(x))^2 + sin(x) -1 = 0.

يتم حل المعادلات من هذا النوع عن طريق اختزالها إلى معادلة تربيعية عن طريق تغيير متغير.

دع ص = الخطيئة(س). ثم نحصل على

2*ص^2 + ص - 1 = 0.

نقوم بحل المعادلة uvadratic الناتجة باستخدام إحدى الطرق المعروفة.

ص1 = 1/2، ص2 = -1.

وبالتالي، نحصل على معادلتين مثلثيتين بسيطتين يمكن حلهما باستخدام الصيغ الموضحة أعلاه.

الخطيئة(x) = 1/2، x = ((-1)^k)*arcsin(1/2) + pi*k = ((-1)^k)*pi/6 + pi*k، لأي كله ك.

sin(x) = -1, x = - pi/2 +2* pi*n, حيث n ينتمي إلى Z.

مثال 2. حل المعادلة 6*(sin(x))^2 + 5*cos(x) – 2 = 0.

باستخدام الهوية المثلثية الأساسية، نستبدل (sin(x))^2 بـ 1 - (cos(x))^2

نحصل على معادلة تربيعية لـ cos(x):

6*(cos(x))^2 – 5*cos(x) - 4 = 0.

نقدم الاستبدال y=cos(x).

6*ص^2 - 5*ص - 4 = 0.

نحل المعادلة التربيعية الناتجة y1 = -1/2، y2 = 1(1/3).

بما أن y = cos(x)، ولا يمكن أن يكون جيب التمام أكثر من واحد، نحصل على معادلة مثلثية واحدة بسيطة.

x = ±2*pi/3+2*pi*k، لأي عدد صحيح k.

مثال 3. tg(x) + 2*ctg(x) = 3.

دعونا نقدم المتغير y = tan(x). ثم 1/y = المهد(x). نحصل على

اضرب بـ y not يساوي الصفر، نحصل على معادلة تربيعية.

ص^2 - 3*ص + 2 = 0.

دعونا حلها:

tan(x) = 2, x = arctan(2)+pi*k لأي عدد صحيح k.

tg(x) = 1, x = arctan(1) + pi*k, pi/4 + pi*k لأي عدد صحيح k.

مثال 4. 3*(sin(x))^2 – 4*sin(x)*cos(x) + (cos(x))^2 = 0.

يمكن اختزال هذه المعادلة إلى معادلة تربيعية عن طريق القسمة على (cos(x))^2 أو (sin(x))^2. عند القسمة على (cos(x)^2 نحصل على

3*(tg(x))^2 – 4*tg(x) +1 = 0.

tg(x) = 1، x = pi/4+pi*n، لأي عدد صحيح n

tan(x) = 1/3، x = arctan(1/3) + pi*k، لأي عدد صحيح k.

مثال 4. حل نظام المعادلات

(الخطيئة(س) = 2*الخطيئة(ذ)

من معادلة خبز النحل نعبر عن y،

ثم نحصل على 2*sin(y) = 2*sin(x-5*pi/3) = 2*(sin(x)*cos(5*pi/3) - cos(x)*sin(5* باي /3)) = 2*(sin(x)*(1/2) –((√3)/2)*cos(x)) = sinx + √3*cos(x).

الدروس 54-55. أنظمة المعادلات المثلثية (اختياري)

09.07.2015 9098 895

هدف: النظر في أكثر من غيرها أنظمة نموذجيةالمعادلات المثلثية وطرق حلها.

I. توصيل موضوع الدروس والغرض منها

ثانيا. تكرار وتوحيد المواد المغطاة

1. إجابات على الأسئلة حول العمل في المنزل(تحليل المشاكل التي لم يتم حلها).

2. مراقبة استيعاب المادة (العمل المستقل).

الخيار 1

حل عدم المساواة:

الخيار 2

حل عدم المساواة:

ثالثا. تعلم مواد جديدة

في الامتحانات، تكون أنظمة المعادلات المثلثية أقل شيوعًا بكثير من المعادلات المثلثية والمتباينات. لا يوجد تصنيف واضح لأنظمة المعادلات المثلثية. لذلك، سنقسمهم بشكل مشروط إلى مجموعات وننظر في طرق حل هذه المشكلات.

1. أبسط أنظمة المعادلات

وتشمل هذه الأنظمة التي تكون فيها إحدى المعادلات خطية، أو يمكن حل معادلات النظام بشكل مستقل عن بعضها البعض.

مثال 1

دعونا نحل نظام المعادلات

وبما أن المعادلة الأولى خطية، فإننا نعبر عن المتغير منهاونعوض في المعادلة الثانية :نحن نستخدم صيغة التخفيض والهوية المثلثية الرئيسية. نحصل على المعادلةأو دعونا نقدم متغيرا جديدار = الخطيئة ش. لدينا المعادلة التربيعية 3ر 2 - 7 ر + 2 = 0، جذورهار 1 = 1/3 و ر 2 = 2 (غير مناسب لأنخطيئة ص ≥ 1). دعنا نعود إلى المجهول القديم ونحصل على المعادلةسيني = 1/3 حلهاالآن أصبح من السهل العثور على المجهول:إذن، نظام المعادلات له حلولحيث ن ∈ ض.

مثال 2

دعونا نحل نظام المعادلات

معادلات النظام مستقلة. ومن ثم، يمكننا كتابة حلول كل معادلة. نحصل على:نقوم بجمع وطرح معادلات هذا النظام من المعادلات الخطية حداً تلو الآخر ونجد:أين

يرجى ملاحظة أنه نظرًا لاستقلال المعادلات، عند العثور على x - y وx + y، يجب تحديد أعداد صحيحة مختلفةن و ك. إذا بدلا من ك تم توفيره أيضًان ، فستبدو الحلول كما يلي:في هذه الحالة، سيتم فقدان عدد لا نهائي من الحلول، بالإضافة إلى ظهور اتصال بين المتغيراتس و y: x = 3y (وهذا ليس هو الحال في الواقع). على سبيل المثال، من السهل التحقق من ذلك هذا النظاملديه حل x = 5π و y = n (وفقًا للصيغ التي تم الحصول عليها)، والتي متىك = ن من المستحيل العثور عليها. لذا كن حذرا.

2. أنظمة النوع

يتم تقليل هذه الأنظمة إلى أبسطها عن طريق جمع وطرح المعادلات. في هذه الحالة نحصل على الأنظمةأو دعونا نلاحظ وجود قيود واضحة:و حل هذه الأنظمة في حد ذاته لا يمثل أي صعوبات.

مثال 3

دعونا نحل نظام المعادلات

دعونا أولاً نحول المعادلة الثانية للنظام باستخدام المساواةنحصل على: لنعوض بالمعادلة الأولى في بسط هذا الكسر:وصريحة الآن لدينا نظام المعادلاتدعونا نجمع ونطرح هذه المعادلات. لدينا: أودعونا نكتب الحلول لهذا النظام الأبسط:إضافة وطرح هذه المعادلات الخطية، نجد:

3. أنظمة الكتابة

يمكن اعتبار مثل هذه الأنظمة أبسط ويتم حلها وفقًا لذلك. ومع ذلك، هناك طريقة أخرى لحلها: تحويل مجموع الدوال المثلثية إلى منتج واستخدام المعادلة المتبقية.

مثال 4

دعونا نحل نظام المعادلات

أولًا، نحول المعادلة الأولى باستخدام صيغة مجموع جيب الزوايا. نحصل على:وباستخدام المعادلة الثانية نحصل على:أين دعونا نكتب الحلول لهذه المعادلة:وبأخذ المعادلة الثانية لهذا النظام في الاعتبار نحصل على نظام المعادلات الخطيةومن هذا النظام نجد من الملائم كتابة مثل هذه الحلول أكثر شكل عقلاني. بالنسبة للعلامات العلوية لدينا:للعلامات السفلية -

4. أنظمة الكتابة

أولا، من الضروري الحصول على معادلة تحتوي على مجهول واحد فقط. للقيام بذلك، على سبيل المثال، دعونا نعبر من معادلة واحدةالخطيئة ذ، من آخر - كوس ش. دعونا نقوم بتربيع هذه النسب ونجمعها. ثم نحصل على معادلة مثلثية تحتوي على المجهول x. دعونا نحل هذه المعادلة. ثم، باستخدام أي معادلة من هذا النظام، نحصل على معادلة لإيجاد المجهول y.

مثال 5

دعونا نحل نظام المعادلات

دعونا نكتب النظام في النموذجدعونا نربع كل معادلة في النظام ونحصل على:دعونا نجمع معادلات هذا النظام:أو باستخدام الهوية المثلثية الأساسية، نكتب المعادلة في الصورةأو حلول هذه المعادلةكوس س = 1/2 (ثم ) و cos x = 1/4 (من أين ) ، حيث n، k ∈ Z . النظر في العلاقة بين المجهولين cos y = 1 – 3 cos x، نحصل على: بالنسبة لـ cos x = 1/2 cos y = -1/2؛ لcos x = 1/4 cos y = 1/4. يجب أن نتذكر أنه عند حل نظام المعادلات، تم إجراء التربيع وهذه العملية يمكن أن تؤدي إلى ظهور جذور دخيلة. ولذلك لا بد من الأخذ في الاعتبار المعادلة الأولى لهذا النظام والتي يترتب عليها أن الكمياتالخطيئة x والخطيئة يجب أن يكون لديك نفس العلامة.

وبأخذ ذلك في الاعتبار، نحصل على حلول لنظام المعادلات هذاو حيث n، m، k، l ∈ Z . في هذه الحالة، بالنسبة لـ x وy غير المعروفين، يتم اختيار إما العلامات العلوية أو السفلية في وقت واحد.

في حالة خاصةيمكن حل النظام عن طريق تحويل مجموع (أو فرق) الدوال المثلثية إلى منتج ثم قسمة المعادلات حدًا تلو الآخر.

مثال 6

دعونا نحل نظام المعادلات

في كل معادلة نحول مجموع الدوال والفرق بينها إلى حاصل الضرب ونقسم كل معادلة على 2. ونحصل على:نظرًا لعدم وجود عامل واحد على الجانب الأيسر من المعادلات يساوي الصفر، فإننا نقسم حد المعادلات على حد (على سبيل المثال، الثاني على الأول). نحصل على:أين دعونا نستبدل القيمة التي تم العثور عليهاعلى سبيل المثال في المعادلة الأولى:دعونا نأخذ ذلك في الاعتبار ثم أين

لقد حصلنا على نظام المعادلات الخطيةوبجمع وطرح معادلات هذا النظام نجدو حيث ن، ك ∈ ض.

5. حل الأنظمة عن طريق استبدال المجهول

إذا كان النظام يحتوي على وظيفتين مثلثيتين فقط أو يمكن اختصاره إلى هذا النموذج، فمن الملائم استخدام استبدال المجهول.

مثال 7

دعونا نحل نظام المعادلات

وبما أن هذا النظام يتضمن دالتين مثلثيتين فقط، فإننا نقدم متغيرات جديدة a =تان س و ب = الخطيئة ش. نحصل على نظام المعادلات الجبريةمن المعادلة الأولى نعبر عن =ب + 3 واستبدل في الثانية:أو جذور هذه المعادلة التربيعيةب 1 = 1 و ب 2 = -4. القيم المقابلة هي a1 = 4 و a2 = -1. دعونا نعود إلى المجهول القديم. نحصل على نظامين من المعادلات المثلثية البسيطة:

أ) قرارها حيث ن، ك ∈ ض.

ب) ليس لديه حلول، لأنالخطيئة ذ ≥ -1.

مثال 8

دعونا نحل نظام المعادلات

دعونا نحول المعادلة الثانية للنظام بحيث تحتوي على الدوال فقطالخطيئة x و كوس ش. للقيام بذلك، نستخدم صيغ التخفيض. نحصل على:(أين ) و (ثم ). المعادلة الثانية للنظام لها الشكل:أو لقد حصلنا على نظام المعادلات المثلثيةدعونا نقدم متغيرات جديدةأ = الخطيئة x و ب = كوس ش. لدينا نظام متماثل من المعادلات الحل الوحيدأيّأ = ب = 1/2. دعنا نعود إلى المجهول القديم ونحصل عليه أبسط نظامالمعادلات المثلثيةالحل الذي حيث ن، ك ∈ ض.

6. الأنظمة التي تعتبر ميزات المعادلات مهمة لها

تقريبا عند حل أي نظام من المعادلات، يتم استخدام واحدة أو أخرى من ميزاته. على وجه الخصوص، واحدة من أكثر التقنيات العامةحلول النظام عبارة عن تحويلات متطابقة تجعل من الممكن الحصول على معادلة تحتوي على مجهول واحد فقط. يتم تحديد اختيار التحويلات بالطبع من خلال تفاصيل معادلات النظام.

مثال 9

دعونا نحل النظام

دعونا ننتبه إلى الأطراف اليسرى من المعادلات، على سبيل المثالباستخدام صيغ الاختزال، نجعلها دالة ذات الوسيطة π/4 + x. نحصل على:ثم يبدو نظام المعادلات كما يلي:لإزالة المتغير x، نضرب حد المعادلات في الحد ونحصل على:أو 1 = الخطيئة 3 2у، حيث الخطيئة 2у = 1. نجد و من الملائم النظر بشكل منفصل في حالات القيم الزوجية والفرديةن. حتى n (n = 2 k، حيث k ∈ Z) ومن المعادلة الأولى لهذا النظام نحصل على:حيث م ∈ ض. للغريب ثم من المعادلة الأولى لدينا:لذلك، هذا النظام لديه الحلول

كما هو الحال في المعادلات، هناك في كثير من الأحيان أنظمة المعادلات التي تلعب فيها الطبيعة المحدودة لوظائف الجيب وجيب التمام دورًا مهمًا.

مثال 10

دعونا نحل نظام المعادلات

أولا نقوم بتحويل المعادلة الأولى للنظام:أو أو أو أو ومع الأخذ في الاعتبار الطبيعة المحدودة لدالة الجيب، نرى ذلك الجانب الأيسرالمعادلة لا تقل عن 2، والطرف الأيمن لا يزيد عن 2. لذلك، مثل هذه المعادلة تعادل الشروطالخطيئة 2 2س = 1 والخطيئة 2 ص = 1.

نكتب المعادلة الثانية للنظام في الصورةالخطيئة 2 ص = 1 - جتا 2 ض أو الخطيئة 2 ص = الخطيئة 2 ض، ثم الخطيئة 2 ض = 1. لقد حصلنا على نظام من المعادلات المثلثية البسيطةباستخدام صيغة تقليل الدرجة، نكتب النظام في النموذجأو ثم

بالطبع، عند حل أنظمة أخرى من المعادلات المثلثية، من الضروري أيضًا الانتباه إلى ميزات هذه المعادلات.

تحميل المواد

راجع الملف القابل للتنزيل للحصول على النص الكامل للمادة.
تحتوي الصفحة على جزء فقط من المادة.

نص

1 I. V. Yakovlev مواد في الرياضيات MathUs.ru أنظمة المعادلات المثلثية في هذه المقالة نعتبر الأنظمة المثلثية لمعادلتين مع مجهولين. سندرس طرق حل مثل هذه الأنظمة والتقنيات الخاصة المختلفة على الفور أمثلة محددة. قد يحدث أن تحتوي إحدى معادلات النظام على دوال مثلثية للمجهولين x وy، بينما تكون المعادلة الأخرى خطية في x وy. في هذه الحالة، نتصرف بالطريقة الواضحة: نعبر عن أحد المجهولين من معادلة خطية ونعوض به في معادلة أخرى للنظام. المشكلة 1. حل النظام: x + y =, sin x + sin y = 1. الحل. من المعادلة الأولى نعبر عن y إلى x: ونعوض بها في المعادلة الثانية: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. والنتيجة هي أبسط معادلة مثلثية لـ x. ونكتب حلولها على شكل سلسلتين: x 1 = 6 + n، x = n n Z). يبقى العثور على القيم المقابلة لـ y: y 1 = x 1 = 5 6 n، y = x = 6 n. كما هو الحال دائمًا مع نظام المعادلات، يتم تقديم الإجابة على شكل قائمة من الأزواج x؛ ذ). 6 + ن؛ 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. لاحظ أن x وy مرتبطان ببعضهما البعض من خلال معلمة العدد الصحيح n. أي، إذا ظهر +n في تعبير x، فسيظهر n تلقائيًا في تعبير y، وبنفس n. وهذا نتيجة للعلاقة "الصعبة" بين x وy، المعطاة بالمعادلة x + y =. مهمة. حل النظام: cos x + cos y = 1, x y =. حل. من المنطقي هنا أن نقوم أولاً بتحويل المعادلة الأولى للنظام: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 وبالتالي فإن نظامنا يعادل النظام التالي: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. عوّض x y = في المعادلة الأولى: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). ونتيجة لذلك نصل إلى النظام: x + y = n، x y =. نجمع هذه المعادلات ونقسمها ونجد x؛ اطرح الثانية من المعادلة الأولى، واقسم على وأجد y: x = + n، y = + n n Z). +ن؛ + n)، n Z. في عدد من الحالات، يمكن اختزال النظام المثلثي إلى نظام معادلات جبرية عن طريق تغيير مناسب للمتغيرات. مهمة. حل النظام: sin x + cos y = 1، sin x cos y = 1. الحل. الاستبدال u = sin x, v = cos y يؤدي إلى نظام جبري لـ u وv: u + v = 1, u v = 1. يمكنك حل هذا النظام بنفسك بسهولة. الحل فريد من نوعه: u = 1, v = 0. ويؤدي الاستبدال العكسي إلى أبسط معادلتين مثلثيتين: sin x = 1, cos y = 0, حيث + k; + n)، k، n Z. x = + k، y = + n k، n Z). الآن يحتوي سجل الاستجابة على معلمتين صحيحتين k و n. الفرق من المهام السابقةهو أنه في هذا النظام لا يوجد اتصال "صلب" بين x و y، على سبيل المثال، في شكل معادلة خطية)، وبالتالي فإن x و y أكثر بكثير إلى حد أكبرمستقلة عن بعضها البعض.

3 خامسا في هذه الحالةسيكون من الخطأ استخدام معلمة عددية واحدة فقط n، وكتابة الإجابة بالشكل + n;) + n. وهذا من شأنه أن يؤدي إلى الخسارة عدد لا نهائي 5 حلول النظام على سبيل المثال، سيتم فقدان الحل ;) عند k = 1 و n = 0. المشكلة 4. حل النظام: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. حل. نقوم أولاً بتحويل المعادلة الثانية: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. الآن نقوم بالتعويض: u = sin x, v = sin y. نحصل على النظام: u + v = 1، u + 4v = 1. حلول هذا النظام هي زوجان: u 1 = 0، v 1 = 1/ و u = /، v = 1/6. كل ما تبقى هو إجراء الاستبدال العكسي: sin x = 0، sin x = sin y = 1 أو sin y = 1 6، ثم اكتب الإجابة. ك؛ 1) ن 6 + ن)، 1) ك أركسين + ك؛ 1)n arcsin 16 + n)، k، n Z. المشكلة 5. حل النظام: cos x + cos y = 1، sin x sin y = 4. الحل. هنا، للحصول على نظام جبري، تحتاج إلى العمل أكثر. نكتب المعادلة الأولى لنظامنا على الصورة: في المعادلة الثانية لدينا: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 وبالتالي الأصل النظام يعادل النظام: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.

4 نجري الاستبدال u = cos x y, v = cos x + y ونحصل على نظام جبري: uv = 1, u v = 4. حلول هذا النظام هي زوجان: u 1 = 1, v 1 = 1/ و ش = 1، الخامس = 1/. الزوج الأول يعطي النظام: x y = 1, = k، وبالتالي cos x y cos x + y الزوج الثاني يعطي النظام: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k)، y = 1 ، = 1 = ± + ن ك، ن ض). = ± + ن ك). س ص = + ك، س + ص = ± + ن ك، ن ض). وبالتالي x = ± + n + k)، y = ± + n k). ±) + ن + ك)؛ ± + ن ك)، ± + ن + ك)؛ ±) + n k)، k، n Z. ومع ذلك، ليس من الممكن دائمًا اختزال نظام من المعادلات المثلثية إلى نظام من المعادلات الجبرية. في بعض الحالات، من الضروري استخدام تقنيات خاصة مختلفة. في بعض الأحيان يكون من الممكن تبسيط النظام عن طريق إضافة أو طرح المعادلات. المشكلة 6. حل النظام: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. الحل. بجمع وطرح هذه المعادلات نحصل على نظام مكافئ: sinx + y) = 1، sinx y) = 1. وهذا النظام بدوره يعادل مزيج من نظامين: x + y = + k، x + y = x y = + k، أو 6 + n x y = ن ك، ن ض). 4

5 وبالتالي x = + k + n)، x = + k + n)، y = أو + k n) y = + k n) k + n)؛)) 6 + k n)، + k + n)؛ + k n)، k، n Z. 6 في بعض الأحيان يمكنك التوصل إلى حل عن طريق ضرب المعادلات في بعضها البعض. المشكلة 7. حل النظام: tg x = sin y, ctg x = cos y. حل. لنتذكر أن ضرب معادلات النظام في بعضها البعض يعني كتابة معادلة على الصورة "حاصل ضرب الأطراف اليسرى يساوي حاصل ضرب الأطراف اليمنى". وستكون المعادلة الناتجة نتيجة للنظام الأصلي، أي أن جميع حلول النظام الأصلي تحقق المعادلة الناتجة). في هذه الحالة، ضرب معادلات النظام يؤدي إلى المعادلة: 1 = sin y cos y = sin y، حيث y = /4 + n n Z). من غير المناسب استبدال y بهذا الشكل في النظام؛ فمن الأفضل تقسيمه إلى سلسلتين: y 1 = 4 + n. استبدل y 1 في المعادلة الأولى للنظام: y = 4 + n. tan x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). من السهل أن نرى أن استبدال y 1 في المعادلة الثانية للنظام سيؤدي إلى نفس النتيجة. الآن نعوض بـ y: tan x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + ك;) 4 + ن, 4) + ك; 4 + n, k, n Z. في بعض الأحيان يؤدي قسمة المعادلات على بعضها البعض إلى النتيجة. المسألة 8. حل النظام: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. حل. دعونا نحول: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 دعونا نقدم مؤقتًا الترميز التالي: α = x + y, β = x y. ثم سيتم إعادة كتابة النظام الناتج في النموذج: cos α cos β = 1, sin α cos β =. ومن الواضح أن cos β 0. ثم، بقسمة المعادلة الثانية على الأولى، نصل إلى المعادلة tg α =، وهي نتيجة للنظام. لدينا: α = + n n Z)، ومرة ​​أخرى، لغرض المزيد من الاستبدال في النظام)، من المناسب لنا تقسيم المجموعة الناتجة إلى سلسلتين: α 1 = + n، α = 4 + n. استبدال α 1 في أي من معادلات النظام يؤدي إلى المعادلة: cos β = 1 β 1 = k k Z). وبالمثل، فإن استبدال α في أي من معادلات النظام يعطي المعادلة: cos β = 1 β = + k k Z). إذن، لدينا: أي حيث α 1 = + n، β 1 = k أو α = 4 + n، β = + k، x + y = + n، x + y = 4 x y أو + n، = k x y = + ك، س = + ن + ك)، س = 7 + ن + ك)، ص = أو + ن ك) ص = + ن ك). + n + k)؛) 7 + n k)، + n + k)؛) + n k)، k، n Z. في بعض الحالات، تأتي الهوية المثلثية الأساسية للإنقاذ. المشكلة 9. حل النظام: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. حل. لنربّع طرفي كل معادلة: sin x = 1 sin y)، cos x = cos y. 6

7 لنجمع المعادلات الناتجة: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y، ومن هنا sin y = 0 و y = n n Z). وهذا نتيجة للنظام الأصلي؛ أي لأي زوج x؛ y)، وهو حل للنظام، فإن الرقم الثاني من هذا الزوج سيكون له الشكل n مع عدد صحيح n. نقسم y إلى سلسلتين: y 1 = n، y = + n. نعوض بـ y 1 في النظام الأصلي: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 الحل لهذا النظام هو المتسلسلة sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z ). يرجى ملاحظة أنه لن يكون كافيًا الآن استبدال y 1 في إحدى معادلات النظام. استبدال y 1 في المعادلتين الأولى والثانية من النظام يؤدي إلى نظام من اثنين معادلات مختلفةبالنسبة إلى x.) وبالمثل، نستبدل y في النظام الأصلي: وبالتالي sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z).)) 4 + k; ن، + ك؛ + n، k، n Z. 4 sin x = 1، cos x = 1. في بعض الأحيان، أثناء التحويلات، من الممكن الحصول على علاقة بسيطة بين المجهولين والتعبير من هذه العلاقة عن مجهول بدلالة الآخر. المسألة 10. حل النظام: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. الحل. في المعادلة الثانية للنظام، نقوم بتحويل المنتج المزدوج للجيب إلى فرق جيب التمام: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). من هنا نعبر عن y بدلالة x: y = x + n, 7

8 واعوض في المعادلة الأولى للنظام: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. والباقي تافه. نحصل على: cos x = 1، حيث x = ± يبقى إيجاد y من العلاقة التي تم الحصول عليها أعلاه: + k k Z). ص = ± + 4 ك + ن. ± + ك؛ ± + 4k + n)، k، n Z. بالطبع، لا تغطي المشكلات المدروسة المجموعة الكاملة لأنظمة المعادلات المثلثية. في أي وقت الوضع الصعبيتطلب براعة لا يتم تطويرها إلا من خلال ممارسة الحل مهام مختلفة. جميع الإجابات تفترض أن k, n Z. المسائل 1. حل النظام: x + y =, cos x cos y = 1. b) x + y =, sin x sin y = 1. + n; ن)، + ن؛ 4 ن) ؛ ب) ن؛ ن). حل النظام: x + y = 4, tg x tan y = 1 b) 6. x y = 5, sin x = sin y. أركان 1 + ن ؛ arctg 1 n), arctg 1 + n; أركتج 1 ن)؛ ب) + ن؛ 6 + ن). حل النظام: sin x + sin y = 1, x y = 4 b). x + y =, sin x sin y = n; 6 + ن) ؛ ب) 6 + ن؛ 6 ن) 8

9 4. حل النظام: sin x + cos y = 0، sin x + cos y = 1. ب) sin x + cos y = 1، sin x cos y =. 1) ك 6 + ك؛ ± + ن)، 1) ك ك؛ ± + ن) ؛ ب) 1) ك 4 + ك؛ + n) 5. حل النظام: cos x + cos y = 1, tan x + tan y =, sin x sin y = b) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; ن) ؛ ب) أركان 5 + ك؛ القطب الشمالي 1 + ن)، القطب الشمالي 1 + ك؛ arctan 5 + n) 6. حل النظام: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. ب) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1 ) ك 6 + ك؛ ± + ن) ؛ ب) 4 ± 4 + ك؛ 5 4 ± 4 + n) 7. حل النظام: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)ك 4 + ك ن)))، 1) ك ك + ن + 1)؛ 1)k k n 1)) 8. حل النظام: sin x sin y = 1 4, tg x tan y =, cos x cos y = b) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + ك ن)) ؛ ب) ± + ك + ن)؛ ± + k n)) 9. حل النظام: 4 sin x cos y = 1, tg x = tan y. ب) الخطيئة x = cos x cos y، cos x = الخطيئة x الخطيئة y)k n k) ؛ 1) ك 1 + ن + ك)) ; ب)) 4 + ك ; 4 + ك + ن 9

10 10. حل النظام: cos x = tan cos y = tan y +)، 4 x +). 4 ك؛ ن)، 4 + ك؛ 4 + ن)، + ك؛ + n) 11. حل النظام :) tan 4 + x = cos y,) tan 4 x = sin y. ك؛ 4 + ن)، + ك؛ 4 + n) 1. حل النظام: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + ن + ك)؛ ن ك)))، 6 + ن + ك)؛ n k)) 1. حل النظام: tg x + tan y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. حل النظام: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + ك؛ 4 + ن)، 6 + ك؛ 4 + ن)، ك؛ 4 + ن)، ك؛ 4 + n) 15. حل النظام: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; أركوس ن)، أركوس 4 + ك؛ arccos n) 16. حل النظام: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. ب) المهد x + الخطيئة y = الخطيئة x، الخطيئة x sinx + y) = cos y. ك؛ ن)؛ ب)) 4 + ك ; ن، + ك؛ + ن) 10

11 17. "Phystech"، 010) حل نظام المعادلات 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + ك، 6 + ن)؛ ك، ن ز 18. جامعة موسكو الحكومية، نسخة. للأجانب gr-n, 01) حل نظام المعادلات: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + ن)، + ن؛ ن)، + ن؛ 6 ن)، + ن؛ 5 6 n)، n Z 19. MGU، VMK، 005) ابحث عن جميع حلول النظام معادلات الخطيئة x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, حيث xn = 8 + n ± n) 6, n Z, n, 1, 0, 1 0. جامعة موسكو الحكومية، جغرافية. f-t, 005) حل نظام المعادلات 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) ن ن، ك)، ك، ن ض 1. جامعة موسكو الحكومية، كلية الدولة. التحكم، 005) حل نظام المعادلات sin x sin 1 = 0، cos x cos 1 = n، n Z. MIPT، 199) حل نظام المعادلات 10 cos x = 7 cos x cos y، sin x = cos x الخطيئة ذ. أركوس + ن, 1)ك أركسين 5); 6 + ك قوس + ن، 1)ك+1 قوسسين 5)، 6 + ك ك، ن ض 11

12. MIPT، 199) حل نظام المعادلات tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. أركتان 4 + ن، أركوس 4 + ك) ; + arctan 4 + n، + arccos 4 + k)، k، n Z 4. MIPT، 1996) حل نظام المعادلات sin x = sin y، cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1 ) ك ك ) ; k, n Z 5. MIPT, 1996) حل نظام المعادلات sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) ن 1 + ن، 4 + 1)ك 4 + ك) ؛ k, n Z 6. MIPT, 1997) حل نظام المعادلات 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + ك) ؛ ك، ن ض 1

I. V. Yakovlev مواد في الرياضيات MathUs.ru مشاكل Minimax في علم المثلثات تناقش هذه الورقة المعادلات التي يتم استخدام تقديرات الجانبين الأيمن والأيسر لحلها. لتصبح

I. V. Yakovlev مواد في الرياضيات MathUs.ru المعادلات المثلثيةمع الوحدة هذه النشرة مخصصة للمعادلات المثلثية، التي تحتوي على دوال مثلثية ذات كمية غير معروفة

عمل عملي: حل المعادلات المثلثية أنواع مختلفةالمطور: I. A. Kochetkova، Zh. I. Timoshko الغرض من العمل: 1) كرر الصيغ المثلثية حجة مزدوجة, صيغ الإضافة,

I V Yakovlev مواد في الرياضيات MathUsru عدم المساواة المثلثية من المفترض أن يتمكن القارئ من حل أبسط المتباينات المثلثيةنحن ننتقل إلى المزيد المهام المعقدةمهمة

I. V. Yakovlev مواد في الرياضيات MathUs.ru التحولات والحسابات المثلثية المشكلات المتعلقة بالتحويلات والحسابات المثلثية، كقاعدة عامة، ليست معقدة وبالتالي فهي نادرة

المحتويات I V مواد ياكوفليف في الرياضيات MathUsru معادلات غير عقلانيةوأنظمة 1 محاسبة السلع المنزلية 1 التحولات المكافئة 3 تغيير المتغير 6 4 الضرب بالمرافق 7 5 أنظمة المعادلات

I. V. Yakovlev مواد في الرياضيات MathUs.ru أبسط المعادلات المثلثية نبدأ في دراسة المعادلات المثلثية الموضوع المركزيالقسم المثلثي بأكمله. دع أ

وكالة إدارة التعليم إقليم كراسنويارسككراسنويارسك جامعة الدولةمدرسة العلوم الطبيعية بالمراسلة في KrasSU الرياضيات: وحدة للصف 0 الجزء التربوي والمنهجي/ شركات:

الثبات ومشاكل مع معلمات G.I فالين، أ. فالين لومونوسوف جامعة موسكو الحكومية http://mech.math.msu.su/ فالين 1 مقدمة ب الرياضيات الحديثة دور مهميلعب مفهوم الثبات، أي. ثبات

I. V. Yakovlev مواد في الرياضيات MthUs.ru دراسة الدوال المثلثية تذكر أن الدالة fx) تسمى دورية إذا كان هناك رقم T 0 بحيث يكون لأي x من مجال التعريف

الموضوع 14 " المعادلات الجبريةوالأنظمة المعادلات غير الخطية» كثير الحدود من الدرجة n هو متعدد الحدود من الشكل P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n، حيث a 0، a 1، a n-1، a n أرقام معينة، 0،

I. V. Yakovlev مواد في الرياضيات MathUs.ru مشاكل التدريب التماثل في مشاكل المعلمات 1. (MSU، كلية علوم التربة، 001) ما هي قيم b التي تحتوي فيها المعادلة على جذر واحد بالضبط؟ تان ب = سجل

وزارة العلوم والتعليم الاتحاد الروسيجامعة موسكو الحكومية للجيوديسيا ورسم الخرائط T. M. Koroleva، E. G. Markaryan، Yu. M. Neiman MANUAL في الرياضيات للمتقدمين

درس الجبر في الصف العاشر موضوع الدرس: طرق حل المعادلات المثلثية الغرض من الدرس: تعميم وتنظيم معرفة الطلاب حول الموضوع. أهداف الدرس: 1) تعليمية - التوسع والتعمق

أمثلة على حلول الاختبار بواسطة L.I. تيرخينا، آي. إصلاح 1 اختبار 1 الجبر الخطييقرر معادلة المصفوفة((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 دعونا نضرب المصفوفات أولاً في

دمج الدوال المثلثية دمج حاصل ضرب الجيب وجيب التمام للحجج المختلفة الصيغ المثلثيةك م [ (م ك (م ك ], (ك م [ (م ك (م ك ], (ك م [ (م ك (م ك ))

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي موسكو معهد الفيزياء والتكنولوجيا(جامعة حكومية) بدوام جزئي المدرسة البدنية والفنيةالرياضيات تحولات الهوية. حل

المعادلات غير المنطقية والمتباينات المحتويات المعادلات غير المنطقية طريقة رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة الواجب الواجب استبدال المعادلة غير المنطقية بمعادلة مختلطة

وزارة التعليم في جمهورية بيلاروسيا ولاية مولوديتشنو مدرسة البوليتكنيكالعمل العملي: حل المعادلات المثلثية المختزلة إلى أبسطها. المطور: اي.

وزارة التربية والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة تومسك الحكومية كلية الرياضيات التطبيقية وعلم التحكم الآلي قسم نظرية الاحتمالات و الإحصائيات الرياضيةالحدود المنهجية

الصف العاشر، المستوى الأساسيالمهمة 1 الخيار 0 (عرض توضيحي مع الحلول) المراسلات مدرسة الرياضيات 009/010 العام الدراسي 1 التعبير عن التعبير باعتباره كثير الحدود عرض قياسيوالعثور عليه

محاضرات "التكامل غير المحدد" من إعداد: محاضرة VPBelkin تكامل غير محددالمفاهيم الأساسية خصائص التكامل غير المحدد 3 الجدول الأساسي للمشتقات العكسية 3 4 أمثلة نموذجية 3 5 البروتوزوا

4. علم المثلثات الآن كل شيء جاهز لتقديم تعريفات صارمة للدوال المثلثية. للوهلة الأولى، ربما تبدو غريبة جدًا؛ ومع ذلك، سوف نبين ذلك بالتأكيد

موضوع حدود الوظائف يُطلق على الرقم A حد الدالة y = f)، حيث تميل x إلى ما لا نهاية، إذا كان لأي رقم ε>، مهما كان صغيرًا، هناك رقم موجب s بحيث يكون لكل >S،

الوكالة الفيدراليةالدولة عن طريق التعليم مؤسسة تعليميةأعلى التعليم المهنيولاية أوختا الجامعة التقنية(USTU) وظيفة محدودة منهجية

ليس ديميدوف أساسيات علم المثلثات دليل الدراسة ل المواطنين الأجانبوزارة التربية والتعليم والعلوم في الاتحاد الروسي الدولة التعليمية الاتحادية مؤسسة الميزانيةأعلى المهنية

الموضوع 1 أرقام حقيقيةوالإجراءات عليها 4 ساعات 11 تطور مفهوم الرقم 1 في البداية كان يتم فهم الأرقام فقط الأعداد الطبيعية، وهي كافية لحساب العناصر الفرديةكثير

حل المعادلات المثلثية حل المعادلات المثلثية الأهداف: التعرف على أنواع المعادلات المثلثية التعرف على طرق حل المعادلات. تطوير مهارات التطبيق

I. V. Yakovlev مواد في الرياضيات MathUs.ru التماثل في مشاكل المعلمات التماثل هو أحد المفاهيم الأساسيةالرياضيات والفيزياء. هل أنت على دراية التماثل الهندسيالأرقام ومختلفة عموما

امتحان. بالنظر إلى المصفوفات A وB وD. ابحث عن AB 9D إذا: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7، B =، D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 اضرب المصفوفات A 3 وB 3. النتيجة سوف يكون C بحجم 3 3 مكون من عناصر

المحاضرة 13: تصنيف المعادلات التربيعية على مستوى الأورال الجامعة الفيدرالية، معهد الرياضيات و علوم الكمبيوتر، قسم الجبر والرياضيات المتقطعة ملاحظات تمهيدية في الثلاثة السابقة

فصل. قوة ذات أس حقيقي اعتباطي، وخصائصها. وظيفة الطاقة، خصائصها، رسومها البيانية.. أذكر خصائص الدرجة ج مؤشر عقلاني. a a a للوقت الطبيعي

الصف 8.3 الرياضيات (كتاب ماكاريشيف) العام الدراسي 2016-2017 موضوع الوحدة 5 " الجذر التربيعي. الدرجة بمؤشر عدد صحيح” يختبر الاختبار الأجزاء النظرية والعملية. الموضوع: تعرف كن قادرًا على المعرفة

قسم الرياضيات العليا VSTU-VGASU، مساعد. سيداييف أ. 06 هل تم إنتاجه؟.. من الصفر؟.. FOR C H A Y N I K O V؟... هذا ليس بالأمر البسيط عزيزي القارئ. إذا واجهت الحاجة إلى العثور عليها

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي قسم البحوث الوطنية جامعة موسكو الحكومية المدنية الميكانيكا التطبيقيةوعلماء الرياضيات التفاضلية العادية

الموضوع: التحول التعبيرات المثلثيةمع مراعاة ODZ في المعادلات المثلثية التحضير لامتحان الدولة الموحدة (المهمة 9؛ ; 8) التعريف: مجال تعريف المعادلة f g أو المنطقة القيم المقبولة

موسكو معهد الطيران(وطني جامعة بحثية) قسم " الرياضيات العليا"يحد من وظائف المشتقات لعدة متغيرات المبادئ التوجيهيةوخيارات الاختبار

الفصل الرابع حد الدالة 4 1 مفهوم حد الدالة يركز هذا الفصل على مفهوم حد الدالة. يتم تحديد نهاية الدالة عند اللانهاية، ثم النهاية عند نقطة ما

الموضوع 7 رتبة المصفوفة الأساس النظرية الثانوية لرتبة المصفوفة ونتائجها أنظمة المعادلات الخطية m ذات المجهولات نظرية كرونيكر كابيلي النظام الأساسيالحلول نظام متجانسخطي

الموضوع 1-8: الأعداد المركبة أ. يا أوفسانيكوف معهد جامعة الأورال الفيدرالي للرياضيات وعلوم الكمبيوتر قسم الجبر والرياضيات المنفصلة والجبر والهندسة للميكانيكا (فصل دراسي واحد)

المفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي مفاهيم يمكن وصفها، ولكن لا يمكن تعريفها بشكل صارم، حيث أن أي محاولة لإعطاء تعريف صارم سيؤدي حتما إلى استبدال المفهوم المحدد به

طريقة فصل المتغيرات (طريقة فورييه) المبادئ العامةطريقة فصل المتغيرات لأبسط معادلة تفاضلية جزئية، فصل المتغيرات هو البحث عن حلول النموذج فقط في t. ش (س، ر

64 جبر الصف السابع (5 ساعات في الأسبوع، 175 ساعة) المكون الجبري (3 ساعات في الأسبوع) 105 ساعة والمكون الهندسي (ساعتان في الأسبوع) 70 ساعة مستخدمة الوسائل التعليمية: 1. Arefieva، I. G. الجبر: كتاب مدرسي. بدل

وزارة التعليم في الاتحاد الروسي الجامعة الروسية الحكومية للنفط والغاز التي تحمل اسم IM Gubkin VI Ivanov المبادئ التوجيهية لدراسة موضوع "المعادلات التفاضلية" (للطلاب

درس عمليالموضوع: مجال تعريف الدالة ومجموعة قيم الدالة الهدف: تنمية المهارات في إيجاد مجال تعريف الدوال وحساب القيم الجزئية للدوال لإكمال

حلول مهام الخيار 0 نذكرك أن حلول المهام من الجزء فقط يتم تقديمها للاختبار. يتم تنفيذ حلول المهام من الأجزاء في مسودات ولا تؤثر على التقييم بأي شكل من الأشكال عند إكمال المهام من الجزء

57(07) د.ج. ديميانوف تكامل غير محدد الدليل التربوي والمرجعيتشيليابينسك 00 UDC 57 (0765) Demyanov DG تكامل غير محدد: دليل تعليمي ومرجعي / تم تحريره بواسطة SA Ufimtsev Chelyabinsk: دار النشر

Phystech 0, 0 class، حلول التذكرة cos x cosx حل المعادلة = cos x sin x الإجابة x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ الحل هناك حالتان محتملتان cos x cos x sin x sin x a) cos x 0 ثم = = tan x = x =

الصيغ المثلثية النجاح في حل المعادلات المثلثية والمتباينات، الإثبات الهويات المثلثيةويتم تحديد حلول المشكلات الحسابية إلى حد كبير من خلال معرفة الأساسيات

الدرس 14 الأعداد المركبة لودو مع معاملات ثابتة. 14.1 الأعداد المركبة رقم معقديسمى تعبيراً بالصيغة z = x+iy، حيث x R. يوجد مراسلات رأس برأس بين المجموعة

سؤال: ما هي الأعداد التي تسمى الأعداد الطبيعية؟ الإجابة الأعداد الطبيعية هي الأعداد التي تستخدم في العد. ما هي الأصناف والرتب في تدوين الأعداد؟ ماذا تسمى الأرقام عند الإضافة؟ صياغة حرف ساكن

AA KIRSANOV COMPLEX NUMBERS PSKOV BBK 57 K45 تم النشر بقرار من قسم الجبر والهندسة، ومجلس التحرير والنشر في PSPI الذي يحمل اسم SM Kirov المراجع: Medvedeva IN، مرشح الفيزياء والرياضيات، أستاذ مشارك

محاضرة المعادلات التفاضلية-الترتيب (DU-) منظر عامسيتم كتابة المعادلة التفاضلية من الرتبة n: (n) F, = 0 () المعادلة من الرتبة (n =) ستأخذ الشكل F(,) = 0 معادلات مماثلة

المعادلات التفاضلية خاباروفسك 01 الوكالة الفيدرالية للتعليم مؤسسة تعليمية حكومية للتعليم المهني العالي "دولة المحيط الهادئ"

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة سانت بطرسبورغ الحكومية للهندسة المعمارية والهندسة المدنية V B SMIRNOVA، L E MOROZOVA المعادلات التفاضلية العادية التعليمية

الرياضيات، إجابات ومعايير الفصل، أبريل الخيارات/المهام الإجابات B B B4 B B7 C 4 7 4 arccos 7 44.7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9, 4 (;) ( سجل ;) + ن, 8 49 8.7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7

شروط المشكلة 1 المرحلة البلديةالصف الثامن 1. رقمان مكتوبان على السبورة. وقد تمت زيادة أحدهما بمقدار 6 مرات، والآخر انخفض لعام 2015، فيما لم يتغير مجموع الأرقام. ابحث عن زوج واحد على الأقل من هؤلاء

التكامل غير المحدود مقدمة التعريف تُسمى الدالة F() مشتقًا عكسيًا لدالة معينة f() إذا كانت F() f()، أو، ما هو نفسه، df f d هذه الوظيفةيمكن أن تحتوي f() على مشتقات عكسية مختلفة،

معهد موسكو للفيزياء والتكنولوجيا المعادلات غير العقلانية والمتباينات دليل منهجيحول التحضير للأولمبياد من إعداد: باركفيتش إيجور فاديموفيتش موسكو 04 مقدمة في هذا العمل سننظر إلى

أساسيات حساب التفاضل والتكامل يسمى المتجه خاصية كمية، والتي لم فقط القيمة العدديةولكن أيضًا الاتجاه يقولون إن المتجه هو نظام متجه للقطعة

المعادلات الأسية. طرق الحل. Dubova Maria Igorevna 7 78-57 المعادلة الأسية هي تلك التي تحتوي على متغير في الأس فقط. دعونا ننظر إلى عدة أنواع المعادلات الأسية,

MAV(S)OU "TsO 1" الرياضيات الصف الأول اختبار المثلثات 1، الجداول، الاختبارات، اختبارات المعلم نيموفا ن.م. المؤهل الأول 15 سنة دراسية مذكرة توضيحية. منح المواد التعليميةمنوي

التكامل العكسي والتكامل غير المحدد المفاهيم والصيغ الأساسية 1. تعريف التكامل العكسي والتكامل غير المحدد. تعريف. تسمى الدالة F(x) المشتق العكسي للدالة f(x) على الفاصل الزمني

درس عملي تكامل الكسور النسبية الكسر النسبي هو كسر من الصورة P Q، حيث P وQ كثيرات الحدود جزء عقلانييسمى صحيحًا إذا كانت درجة كثير الحدود P أقل من الدرجة

I. V. Yakovlev مواد في الرياضيات MthUs.ru تمت كتابة المقالة بالتعاون مع A. G. Malkova أبسط المعادلات المثلثية. خصصت المقالة السابقة للفكرة الرئيسية لحل أبسط المسائل المثلثية

موضوع التكامل غير المحدد الطرق الأساسية للتكامل التكامل بالأجزاء دع u و v يكونان دالتين قابلتين للتفاضل لنفس الوسيط ومن المعروف أن d(u v) udv vdu (77) خذ من كليهما

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي معهد موسكو للفيزياء والتكنولوجيا (جامعة حكومية) مدرسة المراسلة للفيزياء والتكنولوجيا الرياضيات المعادلات التربيعيةمهمة لمدة 8

مسائل من خطوة واحدة مع الأعداد الصحيحة (رسمية) صفحة 1 06/09/2012 1) حل المتراجحة: x 7 17. 2) اضرب 612 في 100000. 3) ما الفرق بين الرقمين 661 و 752؟ 4) قارن التعبيرات: 54 6 و 7.

محاضرة ن المعادلات التفاضلية ذات الرتب العليا، طرق حل مشكلة كوشي المعادلات التفاضلية الخطية ذات الرتب العليا المعادلات الخطية المتجانسة المعادلات التفاضلية ذات الرتب العليا،