أبسط الأمثلة على المتباينات المثلثية. حل المتباينات المثلثية البسيطة

عدم المساواة التي تحتوي على الدوال المثلثية، عند حلها، يتم اختزالها إلى أبسط المتباينات بالشكل cos(t)>a, sint(t)=a وما شابه ذلك. وقد تم بالفعل حل أبسط المتباينات. دعنا ننظر إلى أمثلة مختلفةطرق حل المتباينات المثلثية البسيطة.

مثال 1. حل المتراجحة sin(t) > = -1/2.

ارسم دائرة الوحدة. بما أن sin(t) بحكم التعريف هي الإحداثي y، فإننا نحدد النقطة y = -1/2 على محور Oy. ونرسم خطًا مستقيمًا من خلاله، موازية للمحورأوه. حيث يتقاطع الخط مع الرسم البياني دائرة الوحدةضع علامة على النقاط Pt1 وPt2. نقوم بربط أصل الإحداثيات بالنقطتين Pt1 وPt2 بقطعتين.

سيكون حل هذه المتباينة هو جميع نقاط دائرة الوحدة الواقعة فوق هذه النقاط. بمعنى آخر الحل سيكون القوس ل.. الآن من الضروري الإشارة إلى الشروط التي بموجبها نقطة تعسفيةسوف تنتمي إلى القوس l.

يقع Pt1 في نصف الدائرة الأيمن، وإحداثيته هو -1/2، ثم t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. لوصف النقطة Pt1، يمكنك كتابة الصيغة التالية:
t2 = باي - أركسين (-1/2) = 7*بي/6. ونتيجة لذلك، نحصل على عدم المساواة التالية ل:

نحن نحافظ على عدم المساواة. وبما أن دالة الجيب دورية، فهذا يعني أن الحلول ستتكرر كل 2*pi. نضيف هذا الشرط إلى المتباينة الناتجة لـ t ونكتب الإجابة.

الإجابة: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

مثال 2.حل عدم المساواة cos(t).<1/2.

دعونا نرسم دائرة الوحدة. نظرًا لأن cos(t) هو الإحداثي x، وفقًا للتعريف، فإننا نحدد النقطة x = 1/2 على الرسم البياني على محور الثور.
نرسم خطًا مستقيمًا عبر هذه النقطة موازيًا لمحور أوي. عند تقاطع الخط المستقيم مع الرسم البياني لدائرة الوحدة، حدد النقطتين Pt1 وPt2. نقوم بربط أصل الإحداثيات بالنقطتين Pt1 وPt2 بقطعتين.

الحلول ستكون جميع نقاط دائرة الوحدة التي تنتمي إلى القوس l. لنوجد النقطتين t1 وt2.

t1 = أركوس(1/2) = بي/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

حصلنا على عدم المساواة لـ t: pi/3

نظرًا لأن جيب التمام هو دالة دورية، فسيتم تكرار الحلول كل 2*pi. نضيف هذا الشرط إلى المتباينة الناتجة لـ t ونكتب الإجابة.

الجواب: باي/3+2*بي*ن

مثال 3.حل المتباينة tg(t)< = 1.

فترة الظل تساوي باي. دعونا نجد الحلول التي تنتمي إلى المجال (-pi/2;pi/2) نصف الدائرة الأيمن. بعد ذلك، باستخدام دورية المماس، نكتب جميع حلول هذه المتباينة. لنرسم دائرة وحدة ونضع عليها خط مماسات.

إذا كان t هو حل للمتراجحة، فإن إحداثي النقطة T = tg(t) يجب أن يكون أقل من أو يساوي 1. مجموعة هذه النقاط ستشكل الشعاع AT. مجموعة النقاط Pt التي تتوافق مع نقاط هذا الشعاع هي القوس l. علاوة على ذلك، فإن النقطة P(-pi/2) لا تنتمي إلى هذا القوس.

معظم الطلاب لا يحبون عدم المساواة المثلثية. ولكن عبثا. كما اعتادت إحدى الشخصيات أن تقول ،

"أنت لا تعرف كيف تطبخها"

إذن كيف "نطبخ" وماذا نتعامل مع عدم المساواة مع الجيب، سنكتشف ذلك في هذه المقالة. سنحلها بأبسط طريقة، وهي استخدام دائرة الوحدة.

لذلك، أولا وقبل كل شيء، نحن بحاجة إلى الخوارزمية التالية.

خوارزمية لحل عدم المساواة مع الجيب:

1. على محور الجيب نرسم الرقم $a$ ونرسم خطًا مستقيمًا موازيًا لمحور جيب التمام حتى يتقاطع مع الدائرة؛
2. سيتم تظليل نقاط تقاطع هذا الخط مع الدائرة إذا كانت المتراجحة غير صارمة، ولن تكون مظللة إذا كانت المتراجحة صارمة؛
3. ستكون منطقة حل المتراجحة أعلى الخط وحتى الدائرة إذا كانت المتراجحة تحتوي على الإشارة "$>$"، وأسفل الخط وحتى الدائرة إذا كانت المتراجحة تحتوي على العلامة "$"<$”;
4. للعثور على نقاط التقاطع، نحل المعادلة المثلثية $\sin(x)=a$، نحصل على $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. ضبط $n=0$، نجد نقطة التقاطع الأولى (تقع إما في الربع الأول أو الرابع)؛
6. للعثور على النقطة الثانية، ننظر في أي اتجاه نسير عبر المنطقة إلى نقطة التقاطع الثانية: إذا كان في الاتجاه الموجب، فيجب أن نأخذ $n=1$، وإذا كان في الاتجاه السلبي، ثم $n=- 1$;
7. ردًا على ذلك، يتم كتابة الفاصل الزمني من نقطة التقاطع الأصغر $+ 2\pi n$ إلى النقطة الأكبر $+ 2\pi n$.

قيود الخوارزمية

هام: دخوارزمية معينة لا يعملللمتباينات بالشكل $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

حالات خاصة عند حل المتباينات مع الجيب

من المهم أيضًا ملاحظة الحالات التالية، والتي تكون أكثر ملاءمة لحلها منطقيًا دون استخدام الخوارزمية المذكورة أعلاه.

حالة خاصة 1.حل عدم المساواة:

$\sin(x)\leq 1.$

نظرًا لأن نطاق قيم الدالة المثلثية $y=\sin(x)$ ليس أكبر من modulo $1$، فإن الجانب الأيسر من المتراجحة في أي$x$ من مجال التعريف (ومجال تعريف الجيب هو كل الأعداد الحقيقية) لا يزيد عن $1$. ولذلك نكتب في الإجابة: $x \in R$.

عاقبة:

$\sin(x)\geq -1.$

حالة خاصة 2.حل عدم المساواة:

$ \ الخطيئة (خ)< 1.$

وبتطبيق حجج مشابهة للحالة الخاصة 1، نجد أن الجانب الأيسر من المتراجحة أقل من $1$ لجميع $x \in R$، باستثناء النقاط التي تمثل حلولاً للمعادلة $\sin(x) = 1$. وبحل هذه المعادلة سيكون لدينا:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

وبالتالي نكتب في الإجابة: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

عاقبة:يتم حل عدم المساواة بالمثل

$\sin(x) > -1.$

أمثلة على حل عدم المساواة باستخدام الخوارزمية.

مثال 1:حل عدم المساواة:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. دعونا نحدد الإحداثي $\frac(1)(2)$ على محور الجيب.
2. لنرسم خطًا مستقيمًا موازيًا لمحور جيب التمام ويمر بهذه النقطة.
3. دعونا نحدد نقاط التقاطع. سيتم تظليلها لأن المتباينة ليست صارمة.
4. علامة المتباينة هي $\geq$، مما يعني أننا نرسم المنطقة الواقعة فوق الخط، أي. نصف دائرة أصغر.
5. نجد نقطة التقاطع الأولى. للقيام بذلك، نحول المتراجحة إلى مساواة ونحلها: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. نقوم أيضًا بتعيين $n=0$ ونجد نقطة التقاطع الأولى: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. نجد النقطة الثانية. منطقتنا تسير في الاتجاه الموجب من النقطة الأولى، مما يعني أننا حددنا $n$ يساوي $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

وبالتالي فإن الحل سوف يأخذ الشكل:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$

مثال 2:حل عدم المساواة:

$ \ الخطيئة (خ)< -\frac{1}{2}$

لنضع علامة على الإحداثي $-\frac(1)(2)$ على محور الجيب ونرسم خطًا مستقيمًا موازيًا لمحور جيب التمام ويمر عبر هذه النقطة. دعونا نحدد نقاط التقاطع. ولن يتم تظليلها، لأن عدم المساواة صارم. علامة عدم المساواة $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

بافتراض أن $n=0$، نجد نقطة التقاطع الأولى: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. منطقتنا تسير في الاتجاه السلبي من النقطة الأولى، مما يعني أننا حددنا $n$ يساوي $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

إذن، حل هذه المتباينة هو الفترة:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right)، \n \in Z.$

مثال 3:حل عدم المساواة:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

لا يمكن حل هذا المثال على الفور باستخدام خوارزمية. أولا تحتاج إلى تحويله. نحن نفعل بالضبط ما سنفعله في المعادلة، لكن لا تنس الإشارة. القسمة أو الضرب على رقم سالب يؤدي إلى عكس ذلك!

لذلك، دعونا ننقل كل ما لا يحتوي على دالة مثلثية إلى الجانب الأيمن. نحن نحصل:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

دعونا نقسم الجانبين الأيسر والأيمن على $-2$ (لا تنس الإشارة!). سوف نحصل على:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

مرة أخرى، لدينا متباينة لا يمكننا حلها باستخدام الخوارزمية. ولكن هنا يكفي تغيير المتغير:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

نحصل على عدم المساواة المثلثية التي يمكن حلها باستخدام الخوارزمية:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

تم حل هذه المتباينة في المثال 1، لذلك دعونا نستعير الإجابة من هناك:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

ومع ذلك، فإن القرار لم ينته بعد. نحن بحاجة إلى العودة إلى المتغير الأصلي.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

لنتخيل الفاصل الزمني كنظام:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n \end(array) \right.$

يوجد على الجانب الأيسر من النظام تعبير ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$)، والذي ينتمي إلى الفاصل الزمني. الحد الأيسر للفترة مسؤول عن المتباينة الأولى، والحد الأيمن مسؤول عن المتباينة الثانية. علاوة على ذلك، تلعب الأقواس دورًا مهمًا: إذا كان القوس مربعًا، فسيتم تخفيف عدم المساواة، وإذا كان مستديرًا، فسيكون صارمًا. مهمتنا هي الحصول على $x$ على اليسار في كلا عدم المساواة.

دعنا ننقل $\frac(\pi)(6)$ من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمن، نحصل على:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$.

بالتبسيط، لدينا:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n \end(array) \right.$

بضرب الجانبين الأيسر والأيمن بـ 4$، نحصل على:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

بتجميع النظام في الفاصل الزمني، نحصل على الجواب:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$

دعونا نفكر في حل المتباينات المثلثية بالصيغة tgx>a وtgx

لحل المشكلة، نحتاج إلى رسم دائرة الوحدة و. نصف قطر دائرة الوحدة يساوي 1، وبالتالي، عند رسم المقاطع على خط المماسات التي يساوي طولها نصف القطر، نحصل على التوالي على نقاط يكون عندها المماس 1، 2، 3، وما إلى ذلك، وإلى الأسفل -1، -2، -3 وما إلى ذلك.

على خط الظل، تتوافق قيم الظل الأكبر من الجزء الموجود فوق النقطة أ. قم بتظليل الشعاع المقابل. الآن نرسم خطًا مستقيمًا عبر النقطة O - نقطة الأصل - ونشير إلى a على خط المماس. ويتقاطع مع الدائرة عند النقطة القطبية أ. وبناء على ذلك، على الدائرة الحل عدم المساواة tgx>a يتوافق مع القوس من النقطة arctan a إلى p/2. لمراعاة جميع الحلول (ومع الأخذ في الاعتبار دورية الظل، هناك عدد لا حصر له منها)، نضيف nn إلى كل نهاية الفاصل الزمني، حيث n هو عدد صحيح (n ينتمي إلى Z).

لحل المتراجحة tgx>a، يكفي استخدام نصف دائرة من -n/2 إلى n/2. لكن إذا كنت تريد، على سبيل المثال، إيجاد حل لنظام من المتباينات ذات الظل والجيب، فأنت بحاجة إلى الدائرة بأكملها.

إذا لم تكن المتراجحة صارمة، ندرج النقطة التي بها arctan a في الإجابة (نظللها في الشكل ونكتبها في الإجابة بين قوسين مربعين). لم يتم تضمين النقطة n/2 في الإجابة مطلقًا، لأنها لم يتم تضمينها في منطقة تعريف المماس (النقطة مثقوبة، والقوس مستدير).

لحل المتباينة tgx>-a، نفكر بنفس الطريقة المستخدمة في حل المتباينة tgx>a. بما أن arctg (-a)=-arctg a، فهذا هو الاختلاف الوحيد في الإجابة.

في هذه الحالة، الحل لعدم المساواة tgx

حل عدم المساواة tgx<-a аналогично решению неравенства tgx

لنفكر في مثال محدد لحل المتباينة ذات المماس.

حل عدم المساواة tgx<-1

وبالتالي فإن الحل لعدم المساواة tgx<-1 есть открытый промежуток (-п/2+пn; -п/4+пn).

المتباينات هي علاقات على الشكل a › b، حيث a وb عبارة عن تعبيرات تحتوي على متغير واحد على الأقل. يمكن أن تكون عدم المساواة صارمة - ‹، › وغير صارمة - ≥، ≥.

المتباينات المثلثية هي تعبيرات بالشكل: F(x) › a، F(x) ‹ a، F(x) ≥ a، F(x) ≥ a، حيث يتم تمثيل F(x) بواحدة أو أكثر من الدوال المثلثية .

مثال على أبسط المتباينة المثلثية هو: sin x ‹ 1/2. ومن المعتاد حل مثل هذه المشكلات بيانياً، وقد تم تطوير طريقتين لهذا الغرض.

الطريقة الأولى - حل المتباينات عن طريق رسم دالة بيانيًا

للعثور على فترة تحقق شروط المتباينة sin x ‹ 1/2، عليك تنفيذ الخطوات التالية:

1. على المحور الإحداثي، قم ببناء الشكل الجيبي y = sin x.
2. على نفس المحور، ارسم رسمًا بيانيًا للوسيطة العددية للمتباينة، أي خط مستقيم يمر عبر النقطة ½ للإحداثي OY.
3. ضع علامة على نقاط التقاطع بين الرسمين البيانيين.
4. قم بتظليل الجزء الذي يمثل حل المثال.

عندما تكون العلامات الصارمة موجودة في التعبير، فإن نقاط التقاطع ليست حلولاً. بما أن أصغر فترة موجبة للجيوب الأنفية هي 2π، فإننا نكتب الإجابة على النحو التالي:

إذا كانت علامات التعبير ليست صارمة، فيجب وضع الفاصل الزمني للحل بين قوسين مربعين - . يمكن أيضًا كتابة إجابة المشكلة على النحو التالي عدم المساواة:

الطريقة الثانية - حل المتباينات المثلثية باستخدام دائرة الوحدة

يمكن حل مشاكل مماثلة بسهولة باستخدام دائرة مثلثية. خوارزمية العثور على الإجابات بسيطة للغاية:

1. تحتاج أولاً إلى رسم دائرة الوحدة.
2. ثم عليك ملاحظة قيمة دالة القوس لحجة الجانب الأيمن من المتباينة على قوس الدائرة.
3. من الضروري رسم خط مستقيم يمر عبر قيمة دالة القوس الموازية لمحور الإحداثي السيني (OX).
4. بعد ذلك، كل ما تبقى هو اختيار قوس الدائرة، وهو مجموعة حلول المتباينة المثلثية.
5. اكتب الإجابة في النموذج المطلوب.

دعونا نحلل مراحل الحل باستخدام مثال المتباينة sin x › 1/2. تم تحديد النقاط α و β على الدائرة - القيم

نقاط القوس الواقعة فوق α و β هي الفاصل الزمني لحل المتباينة المعطاة.

إذا كنت بحاجة إلى حل مثال لـ cos، فسيتم وضع قوس الإجابة بشكل متماثل على محور OX، وليس OY. يمكنك مراعاة الفرق بين فترات الحل لـ sin وcos في المخططات أدناه في النص.

تختلف الحلول الرسومية لمتباينات الظل وظل التمام عن كل من جيب التمام وجيب التمام. هذا يرجع إلى خصائص الوظائف.

ظل القوس القوسي و ظل التمام هما مماسين لدائرة مثلثية، والحد الأدنى للفترة الإيجابية لكلا الدالتين هو π. لاستخدام الطريقة الثانية بسرعة وبشكل صحيح، عليك أن تتذكر على أي محور يتم رسم قيم sin وcos وtg وctg.

يعمل الظل المماس بالتوازي مع محور OY. إذا قمنا برسم قيمة arctan a على دائرة الوحدة، فستكون النقطة الثانية المطلوبة موجودة في الربع القطري. الزوايا

إنها نقاط توقف للدالة، حيث أن الرسم البياني يميل إليها، لكنه لا يصل إليها أبدًا.

في حالة ظل التمام، يعمل الظل بالتوازي مع محور OX، وتنقطع الدالة عند النقطتين π و2π.

المتباينات المثلثية المعقدة

إذا تم تمثيل وسيطة دالة المتباينة ليس فقط بمتغير، ولكن بتعبير كامل يحتوي على مجهول، فإننا نتحدث عن متباينة معقدة. تختلف عملية وإجراءات حلها إلى حد ما عن الطرق الموضحة أعلاه. لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد حل للمتباينة التالية:

يتضمن الحل الرسومي إنشاء شكل جيبي عادي y = sin x باستخدام قيم x محددة بشكل تعسفي. لنحسب جدولًا بإحداثيات نقاط التحكم في الرسم البياني:

يجب أن تكون النتيجة منحنى جميل.

لجعل إيجاد الحل أسهل، دعونا نستبدل وسيطة الدالة المعقدة