منتج وحاصل الكسور العقلانية. الكسور العقلانية

يمكن كتابة أي تعبير كسري (البند 48) بالصيغة، حيث P وQ عبارة عن تعبيرات عقلانية، وQ تحتوي بالضرورة على متغيرات. ويسمى هذا الكسر بالكسر العقلاني.

أمثلة على الكسور المنطقية:

يتم التعبير عن الخاصية الرئيسية للكسر من خلال الهوية الصالحة وفقًا للشروط هنا - الكل تعبير عقلاني. هذا يعني أن بسط ومقام الكسر النسبي يمكن ضربهما أو قسمتهما على نفس العدد غير الصفري، سواء كان أحادي الحد أو متعدد الحدود.

على سبيل المثال، يمكن استخدام خاصية الكسر لتغيير علامات أعضاء الكسر. إذا تم ضرب بسط ومقام الكسر في -1، نحصل على ذلك، وبالتالي فإن قيمة الكسر لن تتغير إذا تغيرت إشارات البسط والمقام في وقت واحد. إذا قمت بتغيير إشارة البسط فقط أو المقام فقط، فإن الكسر سيغير إشارته:

على سبيل المثال،

60. تقليل الكسور العقلانية.

إن تقليل الكسر يعني قسمة بسط الكسر ومقامه على عامل مشترك. تعود إمكانية مثل هذا التخفيض إلى الخاصية الأساسية للكسر.

لتبسيط الكسر المنطقي، عليك تحليل البسط والمقام. إذا اتضح أن البسط والمقام لهما عوامل مشتركة، فيمكن تبسيط الكسر. إذا لم تكن هناك عوامل مشتركة، فإن تحويل الكسر من خلال الاختزال أمر مستحيل.

مثال. تقليل الكسر

حل. لدينا

يتم إجراء تخفيض الكسر في ظل الشرط.

61. اختزال الكسور المنطقية إلى قاسم مشترك.

القاسم المشترك لعدة كسور عقلانية هو تعبير عقلاني كامل مقسوم على مقام كل كسر (انظر الفقرة 54).

على سبيل المثال، المقام المشترك للكسور هو متعدد الحدود لأنه قابل للقسمة على كليهما وعلى ومتعدد الحدود ومتعدد الحدود ومتعدد الحدود، وما إلى ذلك. وعادةً ما يأخذون مثل هذا المقام المشترك بحيث يكون أي مقام مشترك آخر قابلاً للقسمة على إيكوسن. يُطلق على هذا المقام الأبسط أحيانًا اسم القاسم المشترك الأدنى.

في المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، القاسم المشترك هو لدينا

تقليل الكسور المعطاة إلى القاسم المشتركيتم تحقيق ذلك عن طريق ضرب بسط ومقام الكسر الأول في 2. ويطلق على بسط ومقام الكسر الثاني بواسطة كثيرات الحدود عوامل إضافية للكسرين الأول والثاني على التوالي. العامل الإضافي لكسر معين يساوي حاصل قسمة المقام المشترك على مقام الكسر المحدد.

لتقليل عدة كسور عقلانية إلى قاسم مشترك، تحتاج إلى:

1) عامل مقام كل كسر؛

2) إنشاء قاسم مشترك من خلال تضمين جميع العوامل التي تم الحصول عليها في الخطوة 1) من التوسعات كعوامل؛ إذا كان هناك عامل معين موجود في العديد من التوسعات، فسيتم أخذه بأس يساوي أكبر العوامل المتاحة؛

3) العثور على عوامل إضافية لكل من الكسور (لهذا يتم تقسيم القاسم المشترك على مقام الكسر)؛

4) عن طريق ضرب البسط والمقام لكل كسر بعامل إضافي، أوصل الكسر إلى مقام مشترك.

مثال. اختزال الكسر إلى قاسم مشترك

حل. دعونا نحلل المقامات:

ويجب أن تشمل العوامل التالية في القاسم المشترك: والمضاعف المشترك الأصغر للأعداد 12، 18، 24، أي. وهذا يعني أن القاسم المشترك له الشكل

عوامل إضافية: للكسر الأول للثاني للثالث، فنحصل على:

62. جمع وطرح الكسور العقلانية.

مجموع اثنين (وبشكل عام أي عدد محدود) الكسور العقلانية مع نفس القواسميساوي بشكل مماثل كسرًا له نفس المقام والبسط، يساوي المبلغبسط الكسور المضافة:

والوضع مشابه في حالة طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة:

مثال 1: تبسيط التعبير

حل.

لإضافة أو طرح الكسور المنطقية مع قواسم مختلفةيجب عليك أولاً تقليل الكسور إلى مقام مشترك، ثم إجراء العمليات على الكسور الناتجة التي لها نفس المقامات.

مثال 2: تبسيط التعبير

حل. لدينا

63. ضرب وقسمة الكسور المنطقية.

إن ناتج اثنين (وبشكل عام أي عدد محدود) من الكسور المنطقية يساوي بشكل مماثل الكسر الذي بسطه يساوي المنتجالبسط والمقام - منتج مقامات الكسور المضروبة:

حاصل قسمة كسرين كسريين يساوي تمامًا الكسر الذي بسطه يساوي حاصل ضرب بسط الكسر الأول ومقام الكسر الثاني، والمقام هو حاصل ضرب مقام الكسر الأول ومقام الكسر الثاني. بسط الكسر الثاني:

تنطبق قواعد الضرب والقسمة المصاغة أيضًا على حالة الضرب أو القسمة على كثير الحدود: يكفي كتابة كثير الحدود هذا في شكل كسر مقامه 1.

نظرًا لإمكانية تقليل الكسر العقلاني الذي تم الحصول عليه نتيجة ضرب أو قسمة الكسور الكسرية، فإنهم عادةً ما يسعون جاهدين إلى تحليل بسط ومقامات الكسور الأصلية قبل إجراء هذه العمليات.

مثال 1: إجراء الضرب

حل. لدينا

باستخدام قاعدة ضرب الكسور نحصل على:

مثال 2: إجراء القسمة

حل. لدينا

وباستخدام قاعدة القسمة نحصل على:

64. رفع الكسر العقلاني إلى القوة الكاملة.

لرفع جزء عقلاني - ل درجة طبيعية، تحتاج إلى رفع بسط ومقام الكسر إلى هذه القوة بشكل منفصل؛ التعبير الأول هو البسط، والتعبير الثاني هو مقام النتيجة:

مثال 1: تحويل إلى جزء من القوة 3.

الحل الحل.

عند رفع الكسر إلى عدد صحيح درجة سلبيةيتم استخدام هوية صالحة لجميع قيم المتغيرات التي .

مثال 2: تحويل تعبير إلى كسر

65. تحويل التعبيرات العقلانية.

يتلخص تحويل أي تعبير عقلاني في جمع وطرح وضرب وقسمة الكسور المنطقية، بالإضافة إلى رفع الكسر إلى قوة طبيعية. يمكن تحويل أي تعبير عقلاني إلى كسر، يكون بسطه ومقامه عبارة عن تعبيرات عقلانية كاملة؛ وهذا، كقاعدة عامة، هو هدف التحولات المتطابقة للتعبيرات العقلانية.

مثال. تبسيط التعبير

66. أبسط تحويلات الجذور الحسابية (الجذور).

عند تحويل الكوريا الحسابية، يتم استخدام خصائصها (انظر الفقرة 35).

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة على استخدام الخصائص الجذور الحسابيةلأبسط التحولات الجذرية. في هذه الحالة، سنعتبر أن جميع المتغيرات تأخذ قيمًا غير سالبة فقط.

مثال 1. استخرج جذر المنتج

حل. وبتطبيق الخاصية 1° نحصل على:

مثال 2. قم بإزالة المضاعف من تحت علامة الجذر

حل.

يسمى هذا التحويل إزالة العامل من تحت علامة الجذر. الغرض من التحويل هو تبسيط التعبير الجذري.

مثال 3: تبسيط.

حل. بواسطة خاصية 3° التي لدينا عادة يحاولون تبسيط التعبير الجذري، حيث يأخذون العوامل من علامة كوريوم. لدينا

المثال 4: تبسيط

حل. دعونا نحول التعبير عن طريق إدخال عامل تحت إشارة الجذر: حسب الخاصية 4° لدينا

المثال 5: تبسيط

حل. بواسطة خاصية 5°، لدينا الحق في تقسيم أس الجذر وأس التعبير الجذري إلى نفس الشيء عدد طبيعي. إذا قمنا في المثال قيد النظر بتقسيم المؤشرات المشار إليها على 3، نحصل على .

مثال 6. تبسيط التعبيرات:

الحل، أ) بالخاصية 1° نجد أنه لضرب الجذور من نفس الدرجة، يكفي ضرب التعبيرات الجذرية واستخراج جذر نفس الدرجة من النتيجة التي تم الحصول عليها. وسائل،

ب) أولا وقبل كل شيء، يجب علينا تقليل الجذور إلى مؤشر واحد. وفقا لخاصية 5°، يمكننا ضرب أس الجذر وأس التعبير الجذري بنفس العدد الطبيعي. لذلك، بعد ذلك، لدينا الآن النتيجة الناتجة بقسمة أسس الجذر ودرجة التعبير الجذري على 3، نحصل عليها.

اكتب موضوع الدرس في دفترك

"الكسور العقلانية".

ما هو؟
هذه عبارة عن تعبيرات جبرية تحتوي على القسمة على تعبير ذي متغيرات.

على سبيل المثال:
- التعبير الكسري.

عدد صحيح، لأنه يساوي، أي تعبير كامل ذو معاملات عقلانية.

كله و التعبيرات الكسريةتسمى التعبيرات العقلانية.

هؤلاء هم الذين سيتعين علينا العمل معهم في المستقبل!

التعبير بأكمله منطقي لأي قيم للمتغيرات، لكن التعبير الكسري... لا يمكن قسمته على 0!

على سبيل المثال:
محددة لجميع قيم المتغير a ولجميع قيم b ماعدا b=3.

ما هي قيم المتغير الذي يفعله التعبير
?

يتذكر:
لأي قيم أ، ب، ج، حيث و، تكون المساواة صحيحة

إذا ضربنا كسرًا في رقم (أي ضربنا بسط ومقام الكسر في نفس العدد)، نحصل على جزء متساوي، ولكن مع قاسم مختلف.

إذا قسمنا البسط والمقام على نفس العدد، فإننا نقوم بتبسيط الكسر.
على سبيل المثال:
1) دعونا نختصر الكسر إلى كسر مقامه 35у3.
دعونا نقسم أولا قاسم جديد 35y3 إلى 7y القديم ونحصل على مضاعف إضافي قدره 5y2.
ثم اضرب البسط والمقام بهذا العامل الإضافي:
.

2) دعونا تقليل الكسر.
حل:

يتذكر:
لتبسيط الكسر، تحتاج إلى تحليل البسط والمقام ثم قسمتهما على عامل متساوٍ، أي. يقلل.

هناك عدة طرق لتحليل التعبير.
نحن نعرف اثنين منهم حتى الآن:
1 طريقة
بين قوسين المضاعف المشترك.
الطريقة 2
تطبيق صيغ الضرب المختصرة.

الطريقة الأولى والأبسط للتحليل هي
وضع العامل المشترك بين قوسين.

أ + ب ج = (أ + ب)ج

مثال 1: 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc(bc2 - 2ab2 + 3a2c)

قاعدة:

إذا كان لدى جميع أعضاء كثيرة الحدود عامل مشترك (أو عدة عوامل مشتركة)، فيمكن إخراج هذا العامل (هذه العوامل) من القوس،
في هذه الحالة، نقسم كل حد على تعبير نضعه بين قوسين: 5ab2c3: 5abc = bc2، - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2، وأخيرًا، 15a3bc2: 5abc = 3a2c (راقب العلامات!!!)

ويجب أن نتذكر أن الدرجة ذات المؤشر الأدنى يتم إخراجها من القوسين.

على المرء:
أخرج العامل المشترك من الأقواس

يفحص:

في بعض الأحيان جميع الأعضاء تعبير جبريليس لدي عامل مشترك، ولكن في مجموعات منفصلة من المصطلحات يكون، على سبيل المثال،

آه + آي + بكس + بواسطة.

يمكن تحليل كثير الحدود هذا من خلال دمج مصطلحاته في مجموعات منفصلة

(ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b).

مثال:

باستخدام طريقة تجميع المصطلحات، قم بتحليل التعبير
3x + xy2 - x2y - 3y

حل:
3x + xy2 - x2y - 3y = 3(x - y) + xy(y -x) = 3(x - y) - xy(x -y) = (3 - xy)(x - y).

دعونا نتدرب على المزيد:
1) a3 - أب - a2b + a2 ,
2) ab2 - b2y - الفأس + xy + b2 - x.

حل:
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b)= (a2+ a)(a - b) = a(a +1)(a - ب)،
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x = b2(a - y + 1) - x(a - y + 1) = (b2 - x)(a - y + 1).

والآن عن الطريقة الثانية.
إذا كانت حدود التعبير الجبري لا تحتوي على عوامل متكررة، فيمكنك محاولة تطبيق صيغ الضرب المختصرة...

أمثلة
أ) فرق المربعات:
0.49x4 - 121y2 = (0.7x2)2 - (11y)2 = (0.7x2 - 11y)(0.7x2 + 11y)،

ب) اختلاف المكعبات:
1 - 27س3 = 13 - (3ث)3 = (1 - 3ث)(1 + 3ث + 9ث2)،

ب) الفرق التربيعي:
4a2 - 12ab + 9b2 = (2a)2 - 22a 3b + (3b)2 = (2a - 3b)2 أو (2a - 3b)(2a - 3b)،

د) مكعب الفرق:
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2)y2 - y3 = (3x2 - y)3 أو (3x2 - y)(3x2 - y)(3x2 - y) t .ه. ثلاثة مضاعفات متساوية!

الخوارزمية:
- أولا نقوم "بالتعديل" مظهرالتعبيرات" تحت صيغة محتملة ...
- إذا نجحت، فإننا نمضي قدمًا كما تتطلب (الصيغة) ...
- إذا لم ينجح الأمر، نبدأ "بتجريب" صيغة أخرى...
- وهكذا حتى تتمكن من تحليل التعبير إلى منتج عوامل!

من دورة الجبر المنهج المدرسيدعونا ننكب على التفاصيل. في هذا المقال سوف ندرس بالتفصيل نوع خاصالتعبيرات العقلانية - الكسور العقلانية، وفكر أيضًا في الخصائص المتطابقة تحويلات الكسور المنطقيةتجري.

دعونا نلاحظ على الفور أن الكسور العقلانية بالمعنى الذي نعرّفها به أدناه تسمى الكسور الجبرية في بعض كتب الجبر المدرسية. أي أننا في هذه المقالة سوف نفهم الكسور المنطقية والجبرية على أنها نفس الشيء.

كالعادة، لنبدأ بالتعريف والأمثلة. سنتحدث بعد ذلك عن جلب الكسر النسبي إلى مقام جديد وتغيير إشارات أعضاء الكسر. بعد ذلك، سننظر في كيفية تقليل الكسور. أخيرًا، دعونا ننظر إلى تمثيل الكسر العقلاني كمجموع لعدة كسور. وسنقدم جميع المعلومات مع الأمثلة أوصاف مفصلةقرارات.

التنقل في الصفحة.

تعريف وأمثلة على الكسور العقلانية

تتم دراسة الكسور المنطقية في دروس الجبر للصف الثامن. سوف نستخدم تعريف الكسر العقلاني الوارد في كتاب الجبر للصف الثامن من تأليف Yu.

في هذا التعريفلم يتم تحديد ما إذا كانت كثيرات الحدود في البسط والمقام للكسر العقلاني يجب أن تكون كثيرة الحدود طريقة العرض القياسيةأم لا. لذلك، سنفترض أن رموز الكسور النسبية يمكن أن تحتوي على كثيرات الحدود القياسية وغير القياسية.

وهنا عدد قليل أمثلة على الكسور العقلانية. لذلك، س / 8 و - الكسور العقلانية. والكسور ولا تتناسب مع التعريف المعلن للكسر العقلاني، حيث أن البسط في الأول منهما لا يحتوي على كثيرة الحدود، وفي الثانية، يحتوي كل من البسط والمقام على تعبيرات ليست كثيرة الحدود.

تحويل البسط والمقام لكسر نسبي

البسط والمقام لأي كسر مكتفيان بذاتهما التعبيرات الرياضية، في حالة الكسور العقلانية، فهي كثيرة الحدود؛ وفي حالة معينة، أحادية الحد والأعداد. لذلك، يمكن إجراء تحويلات متطابقة مع بسط ومقام الكسر النسبي، كما هو الحال مع أي تعبير. بمعنى آخر، يمكن استبدال التعبير الموجود في بسط الكسر النسبي بتعبير متساوٍ تمامًا، تمامًا مثل المقام.

يمكنك إجراء تحويلات متطابقة في البسط والمقام للكسر العقلاني. على سبيل المثال، في البسط يمكنك التجميع والتقليل مصطلحات مماثلةوفي المقام، استبدل حاصل ضرب عدة أرقام بقيمته. وبما أن البسط والمقام للكسر العقلاني هما متعددو الحدود، فمن الممكن إجراء تحويلات مميزة لكثيرات الحدود معهم، على سبيل المثال، الاختزال إلى شكل قياسي أو التمثيل في شكل منتج.

من أجل الوضوح، دعونا نفكر في حلول لعدة أمثلة.

مثال.

تحويل الكسر العقلاني بحيث يحتوي البسط على كثيرة حدود ذات صيغة قياسية، والمقام يحتوي على حاصل ضرب كثيرات الحدود.

حل.

يُستخدم اختزال الكسور المنطقية إلى مقام جديد بشكل أساسي في جمع وطرح الكسور المنطقية.

تغيير العلامات أمام الكسر، وكذلك في بسطه ومقامه

يمكن استخدام الخاصية الرئيسية للكسر لتغيير علامات أعضاء الكسر. في الواقع، ضرب بسط ومقام الكسر المنطقي في -1 يعادل تغيير إشاراتهما، والنتيجة هي كسر مساوٍ تمامًا للكسر المعطى. يجب استخدام هذا التحويل كثيرًا عند التعامل مع الكسور المنطقية.

وبالتالي، إذا قمت بتغيير علامات البسط والمقام في وقت واحد للكسر، فستحصل على كسر مساوٍ للكسر الأصلي. ويرد على هذا البيان بالمساواة.

دعونا نعطي مثالا. يمكن استبدال الكسر العقلاني بكسر متساوٍ تمامًا مع تغيير علامات البسط والمقام في النموذج.

يمكنك فعل شيء آخر بالكسور: تحول الهوية، حيث تتغير إشارة البسط أو المقام. دعونا نذكر القاعدة المقابلة. إذا قمت باستبدال إشارة الكسر مع إشارة البسط أو المقام، فستحصل على كسر مساوٍ تمامًا للكسر الأصلي. البيان المكتوب يتوافق مع المساواة و .

وإثبات هذه المساواة ليس بالأمر الصعب. يعتمد الدليل على خصائص ضرب الأعداد. فلنثبت أولها : . باستخدام تحويلات مماثلة، تم إثبات المساواة.

على سبيل المثال، يمكن استبدال الكسر بالتعبير أو.

في ختام هذه النقطة، نقدم اثنين من المساواة المفيدة و. أي أنه إذا قمت بتغيير إشارة البسط فقط أو المقام فقط، فإن الكسر سيغير إشارته. على سبيل المثال، و .

غالبًا ما تُستخدم التحويلات المدروسة، والتي تسمح بتغيير إشارة حدود الكسر، عند تحويل التعبيرات المنطقية الكسرية.

تقليل الكسور العقلانية

التحويل التالي للكسور المنطقية، والذي يسمى اختزال الكسور المنطقية، يعتمد على نفس الخاصية الأساسية للكسر. يتوافق هذا التحويل مع المساواة، حيث a وb وc هي بعض كثيرات الحدود، وb وc غير صفرية.

ومن المساواة المذكورة أعلاه يتضح أن تخفيض الكسر العقلاني يعني التخلص من العامل المشترك في بسطه ومقامه.

مثال.

إلغاء الكسر العقلاني.

حل.

العامل المشترك 2 مرئي على الفور، فلنجري الاختزال به (عند الكتابة، من المناسب شطب العوامل المشتركة التي يتم الاختزال بها). لدينا . بما أن x 2 =x x و y 7 = y 3 y 4 (انظر إذا لزم الأمر)، فمن الواضح أن x عامل مشترك بين البسط والمقام للكسر الناتج، كما هو الحال مع y 3. دعونا نقلل من خلال هذه العوامل: . هذا يكمل التخفيض.

أعلاه قمنا بتخفيض الكسور العقلانية بالتتابع. أو كان من الممكن إجراء الاختزال في خطوة واحدة، مما يؤدي على الفور إلى تقليل الكسر بمقدار 2 x y 3. في هذه الحالة سيكون الحل كالتالي: .

إجابة:

عند تقليل الكسور المنطقية، المشكلة الرئيسية هي أن العامل المشترك للبسط والمقام ليس مرئيًا دائمًا. علاوة على ذلك، فهو ليس موجودًا دائمًا. للعثور على عامل مشترك أو التحقق من غيابه، عليك تحليل بسط ومقام الكسر النسبي. إذا لم يكن هناك عامل مشترك، فلا حاجة إلى تبسيط الكسر العقلاني الأصلي خلاف ذلك- يتم تنفيذ التخفيض.

يمكن أن تنشأ فروق دقيقة مختلفة في عملية تقليل الكسور العقلانية. تمت مناقشة التفاصيل الدقيقة الرئيسية في المقالة لتقليل الكسور الجبرية باستخدام الأمثلة وبالتفصيل.

في ختام الحديث عن اختزال الكسور المنطقية، نلاحظ أن هذا التحويل متطابق، وتكمن الصعوبة الرئيسية في تنفيذه في تحليل كثيرات الحدود في البسط والمقام.

تمثيل الكسر العقلاني كمجموع الكسور

محدد تمامًا، ولكن في بعض الحالات مفيد جدًا، هو تحويل الكسر العقلاني، والذي يتكون من تمثيله كمجموع عدة كسور، أو مجموع تعبير كامل وكسر.

يمكن دائمًا كتابة الكسر العقلاني، الذي يحتوي بسطه على كثيرة حدود تمثل مجموع عدة أحاديات، كمجموع كسور لها نفس المقامات، والتي تحتوي بسطاتها على أحاديات الحد المقابلة. على سبيل المثال، . يتم تفسير هذا التمثيل من خلال قاعدة جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة.

بشكل عام، يمكن تمثيل أي كسر كسري كمجموع الكسور بعدة طرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الكسر a/b كمجموع كسرين - كسر عشوائي c/d وكسر يساوي الفرق بين الكسرين a/b وc/d. وهذا القول صحيح، لأن المساواة قائمة . على سبيل المثال، يمكن تمثيل الكسر العقلاني كمجموع الكسور طرق مختلفة: لنتخيل الكسر الأصلي كمجموع تعبير عدد صحيح وكسر. وبقسمة البسط على المقام بعمود نحصل على المساواة . قيمة التعبير n 3 +4 لأي عدد صحيح n هي عدد صحيح. وتكون قيمة الكسر عددًا صحيحًا إذا وفقط إذا كان مقامه 1 أو −1 أو 3 أو −3. تتوافق هذه القيم مع القيم n=3 و n=1 و n=5 و n=−1 على التوالي.

إجابة:

−1 , 1 , 3 , 5 .

فهرس.

الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ إد. إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف السابع. الساعة 2 بعد الظهر الجزء 1. الكتاب المدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية/ أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة 13، المراجعة. - م: منيموسين، 2009. - 160 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01198-9.
موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف 8. في ساعتين الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة، محذوفة. - م: منيموسين، 2009. - 215 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01155-2.
غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.

انها تبدو مثل

حيث P(x) وQ(x) هما بعض كثيرات الحدود.

التمييز بين الكسور الصحيحة وغير الصحيحة، عن طريق القياس مع الكسور العادية الكسور العددية. يسمى الكسر العقلاني صحيحًا إذا كان ترتيب المقام هو المزيد من النظامالبسط، وغير صحيح إذا كان العكس.

يمكن تحويل أي كسر كسري غير حقيقي إلى مجموع كثيرات الحدود وكسر كسري مناسب

يمكن تمثيل أي كسر كسري لكثيرات الحدود ذات معاملات حقيقية كمجموع كسور كسرية مقاماتها هي التعبيرات (س − أ) ك (a هو الجذر الحقيقي لـ Q(x)) أو (س 2 + صس + س) ك (أين س 2 + صس + س لا يملك جذور حقيقية)، والدرجة ك ليست أكبر من التعدد الجذور المقابلةفي كثير الحدود Q(x). وبناءً على هذا البيان، تعتمد نظرية تكامل الكسور المنطقية. ووفقا لذلك، يمكن دمج أي جزء عقلاني في وظائف أوليةمما يجعل فئة الكسور العقلانية مهمة جدًا في التحليل الرياضي.

أنظر أيضا

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

انظر ما هو "الكسر العقلاني" في القواميس الأخرى:

الدالة الكسرية هي كسر بسطه ومقامه متعددو الحدود. لها الشكل حيث، كثيرات الحدود في أي عدد من المتغيرات. حالة خاصة هي الدوال العقلانية لمتغير واحد: ، حيث... ... ويكيبيديا

هذا المصطلح له معاني أخرى، انظر الكسر. 8 / 13 البسط البسط المقام المقام مدخلين من نفس الكسر الكسر في الرياضيات هو رقم يتكون من جزء واحد أو أكثر... ... ويكيبيديا

يوجد في ويكاموس كلمة "كسر" اسم الرمز "⁄" (رمز آخر شائع في الغالب في اللغة الإنجليزية، اسم رمز Solidus (بالإنجليزية)، أو الشرطة المائلة)، على سبيل المثال، في أرقام المنازل. لذا فإن رقم المنزل "5/17" يقرأ "خمسة... ... ويكيبيديا

1) ر.ف. الدالة w=R(z)، حيث R(z) هو تعبير عقلاني لـ z، أي تعبير تم الحصول عليه من المتغير المستقل z ومجموعة محددة من الأرقام (حقيقية أو معقدة) عن طريق عدد محدود من العمليات الحسابية . أجراءات. الترددات اللاسلكية.... ... الموسوعة الرياضية

أرباع رقم منطقي(lat. نسبة النسبة، القسمة، الكسر) عدد يمثلها جزء عاديحيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي. في هذه الحالة، يسمى الرقم m البسط، والرقم n يسمى مقام الكسر. تاكو ... ويكيبيديا

الأرباع الرقم العقلاني (نسبة العرض، القسمة، الكسر) هو رقم يمثله كسر عادي، حيث m هو عدد صحيح وn هو عدد طبيعي. في هذه الحالة، يسمى الرقم m البسط، والرقم n يسمى مقام الكسر. تاكو ... ويكيبيديا

هذا المصطلح له معاني أخرى، انظر الكسر. أبسط جزءيا درجة تسمى وظيفة عقلانيةنوع من حيث يأخذ القيم الطبيعية، والنقاط التي تمثل أقطاب الدالة ليست بالضرورة متميزة هندسيًا.... ... ويكيبيديا

رقم يتم التعبير عنه ككسر منطقي. النظرية الرسميةيتم إنشاء العدد الحقيقي باستخدام أزواج من الأعداد الصحيحة. يسمى الكسر العقلاني. الزوج المرتب (أ، ب) من الأعداد الصحيحة أ و ب، مقطوع ب#0. اثنين من الكسور الرشيدة ودعا. ه ك v ط ط ل ل ن ... الموسوعة الرياضية

لنبدأ ببعض التعريفات. متعدد الحدود الدرجة التاسعة(أو الترتيب n) سنستدعي تعبيرًا بالصيغة $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. على سبيل المثال، التعبير $4x^(14)+87x^2+4x-11$ هو متعدد الحدود ودرجته $14$. ويمكن الإشارة إليه على النحو التالي: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

تسمى النسبة بين كثيرتي الحدود $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ وظيفة عقلانيةأو جزء عقلاني. بتعبير أدق، إنها دالة عقلانية لمتغير واحد (أي المتغير $x$).

يسمى الكسر العقلاني صحيح، إذا $ن< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, درجة أقلكثير الحدود في المقام. بخلاف ذلك (إذا كان $n ≥ m$) يتم استدعاء الكسر خطأ.

المثال رقم 1

وضح أي الكسور التالية عقلانية. إذا كان الكسر عقلانيًا، فاكتشف ما إذا كان صحيحًا أم لا.

$\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
$\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
$\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$);
$\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.

1) هذا الكسر غير نسبي لأنه يحتوي على $\sin x$. الكسر العقلاني لا يسمح بذلك.

2) لدينا نسبة اثنين من كثيرات الحدود: $5x^2+3x-8$ و$11x^9+25x^2-4$. لذلك، وفقًا للتعريف، فإن التعبير $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ هو كسر نسبي. بما أن درجة كثيرة الحدود في البسط تساوي $2$، ودرجة كثيرة الحدود في المقام تساوي $9$، إذن جزء معينصحيح (لأن $2< 9$).

3) يحتوي كل من البسط والمقام لهذا الكسر على كثيرات الحدود (مقسمة إلى عوامل). لا يهمنا على الإطلاق الشكل الذي يتم به تقديم كثيرات الحدود في البسط والمقام: سواء تم تحليلها أم لا. نظرًا لأن لدينا نسبة بين اثنين من كثيرات الحدود، وفقًا للتعريف فإن التعبير $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x) ^6+9x ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ كسر نسبي.

للإجابة على سؤال ما إذا كان الكسر صحيحًا أم لا، يجب تحديد قوى كثيرات الحدود في البسط والمقام. لنبدأ بالبسط، أي. من التعبير $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. لتحديد درجة كثير الحدود هذا، يمكنك بالطبع فتح الأقواس. ومع ذلك، فمن الأسهل بكثير التصرف بعقلانية، لأننا مهتمون فقط أعظم درجةالمتغير $x$. ومن كل قوس نختار المتغير $x$ إلى أقصى درجة. من القوس $(2x^3+8x+4)$ نأخذ $x^3$، من القوس $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ نأخذ $(x^4) ^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$، ومن القوس $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ نختار $x^7$. بعد ذلك، بعد فتح الأقواس، ستكون القوة الأكبر للمتغير $x$ كما يلي:

$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46). $$

درجة كثيرة الحدود الموجودة في البسط هي $46$. الآن دعونا ننتقل إلى القاسم، أي. إلى التعبير $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$. يتم تحديد درجة كثير الحدود هذا بنفس طريقة تحديد البسط، أي.

$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41). $$

يحتوي المقام على كثيرة الحدود من الدرجة 41. بما أن درجة كثيرة الحدود في البسط (أي 46) لا تقل عن درجة كثيرة الحدود في المقام (أي 41)، فإن الكسر العقلاني هو $\frac((2x^3+8x+4)(8x) ^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ غير صحيح.

4) بسط الكسر $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ يحتوي على الرقم $3$، أي. متعدد الحدود درجة الصفر. رسميًا، يمكن كتابة البسط على النحو التالي: $3x^0=3\cdot1=3$. في المقام لدينا كثيرة الحدود درجتها تساوي $6\cdot 4=24$. النسبة بين كثيرتي الحدود هي كسر نسبي. منذ 0 دولار< 24$, то данная дробь является правильной.

إجابة: 1) الكسر ليس عقلانيا. 2) الكسر العقلاني (السليم)؛ 3) الكسر العقلاني (غير منتظم)؛ 4) الكسر العقلاني (السليم).

الآن دعنا ننتقل إلى مفهوم الكسور الأولية (وتسمى أيضًا أبسط الكسور المنطقية). هناك أربعة أنواع من الكسور المنطقية الأولية:

$\frac(A)(x-a)$;
$\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
$\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
$\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

ملاحظة (يُفضل الحصول على فهم أكثر اكتمالاً للنص): إظهار\إخفاء

لماذا هناك حاجة إلى الشرط $p^2-4q؟< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим معادلة من الدرجة الثانية$x^2+px+q=0$. مميز هذه المعادلة هو $D=p^2-4q$. في الأساس، الشرط $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

على سبيل المثال، بالنسبة للتعبير $x^2+5x+10$ نحصل على: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. منذ $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

بالمناسبة، لإجراء هذا التحقق، ليس من الضروري على الإطلاق أن يكون المعامل قبل $x^2$ مساويًا لـ 1. على سبيل المثال، بالنسبة إلى $5x^2+7x-3=0$ نحصل على: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 دولارات. بما أن $D > 0$، فإن التعبير $5x^2+7x-3$ قابل للتحليل.

المهمة هي كما يلي: معين صحيحتمثل كسرًا عقلانيًا كمجموع الكسور العقلانية الأولية. المواد المعروضة في هذه الصفحة مخصصة لحل هذه المشكلة. تحتاج أولاً إلى التأكد من أنك قد أكملت الشرط التالي: يتم تحليل كثير الحدود في مقام الكسر المنطقي بطريقة تجعل هذا التوسع يحتوي فقط على أقواس من الشكل $(x-a)^n$ أو $(x^2+px+q)^n$ ($p) ^2-4ف< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:

كل قوس من النموذج $(x-a)$ الموجود في المقام يتوافق مع الكسر $\frac(A)(x-a)$.
كل قوس من النموذج $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$) الموجود في المقام يتوافق مع مجموع $n$ الكسور: $\frac(A_1)(x-a)+ \frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$.
كل قوس من النموذج $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
كل قوس من النموذج $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.

إذا كان الكسر غير صحيح، فقبل تطبيق المخطط أعلاه، يجب عليك تقسيمه إلى مجموع الجزء الصحيح (متعدد الحدود) والكسر العقلاني المناسب. سننظر في كيفية القيام بذلك بالضبط (انظر المثال رقم 2، النقطة 3). بضع كلمات حول تسميات الحروف في البسط (مثل $A$ و$A_1$ و$C_2$ وما شابه). يمكنك استخدام أي حروف لتناسب ذوقك. من المهم فقط أن تكون هذه الحروف متنوعفي جميع الكسور الأولية. للعثور على قيم هذه المعلمات، استخدم الطريقة معاملات غير مؤكدةأو طريقة استبدال القيم الجزئية (انظر الأمثلة رقم 3 ورقم 4 ورقم 5).

المثال رقم 2

قم بتحليل الكسور المنطقية المعطاة إلى كسور أولية (دون العثور على المعلمات):

$\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
$\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$);
$\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.

1) لدينا كسر عقلاني. يحتوي بسط هذا الكسر على كثيرة حدود من الدرجة 4، ويحتوي المقام على كثيرة حدود درجتها تساوي $17$ (كيفية تحديد هذه الدرجة موضحة بالتفصيل في الفقرة رقم 3 من المثال رقم 1). وبما أن درجة كثيرة الحدود في البسط أقل من درجة كثيرة الحدود في المقام، فإن هذا الكسر صحيح. دعنا ننتقل إلى مقام هذا الكسر. لنبدأ بالأقواس $(x-5)$ و$(x+2)^4$، والتي تقع بالكامل تحت الشكل $(x-a)^n$. بالإضافة إلى ذلك، هناك أيضًا قوسين $(x^2+3x+10)$ و$(x^2+11)^5$. التعبير $(x^2+3x+10)$ له الصيغة $(x^2+px+q)^n$، حيث $p=3$; $q=10$، $n=1$. منذ $p^2-4q=9-40=-31< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем الإخراج التالي: يتم تحليل كثير الحدود في المقام بطريقة بحيث يحتوي هذا التحليل على أقواس من النموذج $(x-a)^n$ أو $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q) فقط< 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:

$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$

ويمكن كتابة النتيجة على النحو التالي:

$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$

ثم يمكن تمثيل الكسر $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ بشكل آخر:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2 +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+ 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8). $$

الكسر $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ هو كسر نسبي مناسب، لأن درجة كثير الحدود في البسط (أي 2) أقل من درجة كثيرة الحدود في المقام ( أي 3). الآن دعونا نلقي نظرة على مقام هذا الكسر. يحتوي المقام على كثيرة الحدود التي تحتاج إلى تحليلها. في بعض الأحيان يكون مخطط هورنر مفيدًا للتحليل، ولكن في حالتنا يكون من الأسهل التعامل مع طريقة "المدرسة" القياسية لتجميع المصطلحات:

$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x -2)\cdot(x^2+4)) $$

باستخدام نفس الأساليب كما في الفقرات السابقة، نحن نحصل:

$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$

إذن، أخيرًا لدينا:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$

وسيستمر هذا الموضوع في الجزء الثاني.