استخراج جذر الدرجة المقابلة من رقم معين. استخراج جذر عدد مركب

من المستحيل استخراج جذر عدد مركب بشكل لا لبس فيه، لأنه يحتوي على عدد من القيم يساوي قوته.

يتم رفع الأعداد المركبة إلى قوة الشكل المثلثي، والتي تكون صيغة مويوارد صالحة لها:

\(\ z^(k)=r^(k)(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)

وبالمثل، يتم استخدام هذه الصيغة لحساب الجذر k لعدد مركب (لا يساوي الصفر):

\(\ z^(\frac(1)(k))=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^(\frac( 1)(k))=r^(\frac(1)(k))\left(\cos \frac(\varphi+2 \pi n)(k)+i \sin \frac(\varphi+2 \ بي n)(ك)\يمين)، \forall k>1، \forall n \in N \)

إذا لم يكن الرقم المركب صفرًا، فإن جذور الدرجة k موجودة دائمًا، ويمكن تمثيلها في المستوى المركب: ستكون رؤوس k-gon منقوشة في دائرة مركزها الأصل ونصف القطر \(\r ^(\frac(1) (ك))\)

أمثلة على حل المشكلات

مهمة

أوجد الجذر الثالث للرقم \(\z=-1\).

حل.

أولاً نعبر عن الرقم \(\z=-1\) بالشكل المثلثي. الجزء الحقيقي من الرقم \(\ z=-1 \) هو الرقم \(\ z=-1 \)، الجزء التخيلي هو \(\ y=\operatorname(lm) \)، \(\ z= 0 \). للعثور على الصورة المثلثية لعدد مركب، عليك العثور على معامله ووسيطه.

معامل العدد المركب \(\z\) هو الرقم:

\(\ r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt((-1)^(2)+0^(2))=\sqrt(1+0)=1 \ )

يتم حساب الوسيطة باستخدام الصيغة:

\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(0)(-1)=\operatorname(arctg) 0=\pi \)

لذلك، فإن الصورة المثلثية للرقم المركب هي: \(\z=1(\cos \pi+i \sin \pi)\)

ثم يبدو الجذر الثالث كما يلي:

\(\ =\cos \frac(\pi+2 \pi n)(3)+i \sin \frac(\pi+2 \pi n)(3) \)، \(\ n=0.1, 2\ )

\(\ \omega_(1)=\cos \frac(\pi)(3)+i \sin \frac(\pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt( 3))(2)\)

من أجل \(\n=1\) نحصل على:

\(\ \omega_(2)=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)

من أجل \(\n=2\) نحصل على:

\(\ \omega_(3)=\cos \frac(5 \pi)(3)+i \sin \frac(5 \pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(- \sqrt(3))(2)=\frac(1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)

إجابة

\(\ \omega_(1)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)، \omega_(2)=-1، \omega_(3)=\frac( 1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)

مهمة

لاستخراج الجذر الثاني لرقم \(\z=1-\sqrt(3)i\)

حل.

في البداية، نعبر عن عدد مركب في الصورة المثلثية.

الجزء الحقيقي من العدد المركب \(\ z=1-\sqrt(3) i \) هو الرقم \(\ x=\operatorname(Re) z=1 \) ، الجزء التخيلي \(\ y=\ اسم المشغل(Im) z =-\sqrt(3) \) . للعثور على الصورة المثلثية لعدد مركب، عليك العثور على معامله ووسيطه.

معامل العدد المركب \(\r\) هو الرقم:

\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt(1^(2)+(-\sqrt(3))^(2))=\sqrt(1+3) )=2\)

دعوى:

\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(-\sqrt(3))(1)=\operatorname(arctg)(- \sqrt(3))=\frac(2 \pi)(3) \)

وبالتالي فإن الصورة المثلثية للعدد المركب هي:

\(\ z=2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\right) \)

بتطبيق صيغة استخراج جذر الدرجة الثانية نحصل على:

\(\ z^(\frac(1)(2))=\left(2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\ يمين)\يمين)^(\frac(1)(2))=2^(\frac(1)(2))\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac (2 \pi)(3)\يمين)^(\frac(1)(2))= \)

\(\ =\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi n\right)+i \sin \left(\frac(\pi)(3)+ \pi n\right)\right)، n=0,1 \)

من أجل \(\ \mathrm(n)=0 \) نحصل على:

\(\ \omega_(1)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+0\right)+i \sin \left(\frac(\pi)( 3)+0\يمين)\يمين)=\sqrt(2)\left(\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\يمين)=\frac(\sqrt) (2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

من أجل \(\ \mathrm(n)=1 \) نحصل على:

\(\ \omega_(2)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi\right)+i \sin \left(\frac(\pi) (3)+\pi\يمين)\يمين)=\sqrt(2)\left(-\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\يمين)=-\ فارك(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

إجابة

\(\ \omega_(1)=\frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) ; \omega_(2)=-\frac(\sqrt(2) ))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

الأرقام في شكل مثلثي.

صيغة موافر

دع z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) و z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

تعتبر الصيغة المثلثية لكتابة عدد مركب ملائمة للاستخدام لإجراء عمليات الضرب والقسمة والرفع إلى قوة عددية واستخراج جذر الدرجة n.

ض 1 ∙ ض 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

عند ضرب عددين مركبينفي الشكل المثلثي، يتم مضاعفة وحداتها وإضافة الوسائط الخاصة بها. عند التقسيميتم تقسيم وحداتها ويتم طرح حججها.

النتيجة الطبيعية لقاعدة ضرب عدد مركب هي قاعدة رفع عدد مركب إلى قوة.

ض = ص (كوس  + أنا الخطيئة ).

ض ن = ص ن (cos n + isin n).

وتسمى هذه النسبة صيغة موافر.

مثال 8.1 ابحث عن المنتج وحاصل الأرقام:

حل

ض 1 ∙ ض 2
∙

=

;

مثال 8.2 اكتب عدداً على الصورة المثلثية

∙
-ط) 7 .

حل

دعونا نشير
و ض 2 =
- أنا.

ص 1 = |ض 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = القطب الشمالي ;

ض 1 =
;

ص 2 = |ض 2 | = √(√ 3) 2 + (- 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = القطب الشمالي
;

ض 2 = 2
;

ض 1 5 = (
) 5
; ض 2 7 = 2 7

ض = (
) 5 ·2 7
=

2 9

§ 9 استخراج جذر العدد المركب

تعريف. جذرنالقوة رقم مركبض (تشير
) هو رقم مركب w بحيث يكون w n = z. إذا كان z = 0
= 0.

دع z  0، z = r(cos + isin). لنرمز إلى w = (cos + sin)، ثم نكتب المعادلة w n = z بالصيغة التالية

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

وبالتالي  ن = ص،

 =

وهكذا أسبوع =
·
.

من بين هذه القيم هناك قيم مختلفة تمامًا.

لذلك ك = 0، 1، 2، …، ن – 1.

على المستوى المركب، هذه النقاط هي رؤوس مضلع n منتظم محفور في دائرة نصف القطر
مع المركز عند النقطة O (الشكل 12).

الشكل 12

مثال 9.1البحث عن كافة القيم
.

حل.

دعونا نمثل هذا الرقم في شكل مثلثي. دعونا نجد معاملها وحجتها.

ث ك =
حيث ك = 0، 1، 2، 3.

ث 0 =
.

ث 1 =
.

ث 2 =
.

ث 3 =
.

على المستوى المركب، هذه النقاط هي رؤوس المربع المدرج في دائرة نصف القطر
مع المركز في الأصل (الشكل 13).

الشكل 13 الشكل 14

مثال 9.2البحث عن كافة القيم
.

حل.

ض = – 64 = 64(cos +isin);

ث ك =
، حيث ك = 0، 1، 2، 3، 4، 5.

ث 0 =
; ث 1 =
;

ث 2 =
ث 3 =

ث 4 =
; ث 5 =
.

على المستوى المركب، هذه النقاط هي رؤوس مسدس منتظم منقوش في دائرة نصف قطرها 2 ومركزها عند النقطة O (0؛ 0) - الشكل 14.

§ 10 الشكل الأسي للرقم المركب.

صيغة أويلر

دعونا نشير
= cos  + isin  و
= كوس  - إيسين  . وتسمى هذه العلاقات صيغ أويلر .

وظيفة
له الخصائص المعتادة للدالة الأسية:

دع العدد المركب z يُكتب على الصورة المثلثية z = r(cos + isin).

باستخدام صيغة أويلر يمكننا أن نكتب:

ض = ص
.

هذا الإدخال يسمى الشكل الأسيعدد مركب. وباستخدامه نحصل على قواعد الضرب والقسمة والأس واستخراج الجذر.

إذا ض 1 = ص 1 ·
و ض 2 = ص 2 ·
؟الذي - التي

ض 1 · ض 2 = ص 1 · ص 2 ·
;

ض ن = ص ن ·

، حيث ك = 0، 1، …، ن – 1.

مثال 10.1اكتب عددا على الصورة الجبرية

ض =
.

حل.

مثال 10.2حل المعادلة ض 2 + (4 – 3i)ض + 4 – 6i = 0.

حل.

لأي معاملات معقدة، هذه المعادلة لها جذرين z 1 و z 1 (من المحتمل أن يكونا متطابقين). يمكن العثور على هذه الجذور باستخدام نفس الصيغة كما في الحالة الحقيقية. لأن
تأخذ قيمتين تختلفان في الإشارة فقط، فتبدو هذه الصيغة كما يلي: