وزارة العلوم والتعليم في جمهورية باشكورتو ستان

SAOU SPO كلية باشكير للهندسة المعمارية والهندسة المدنية

خاليولين أسخات أديلزيانوفيتش،

مدرس الرياضيات في باشكيرسكي

كلية العمارة والهندسة المدنية

أوفا

2014

مقدمة _____________________________________3

الفصل أنا. الجوانب النظرية لاستخدام طريقة المعاملات غير المؤكدة _____________________________________________4

الفصل ثانيا. يبحث عن حلول لمشاكل كثيرات الحدود باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة _________________________________7

2.1.تحليل كثير الحدود _____________________ 7

2.2. مشاكل مع المعلمات _________________________________ 10

2.3. حل المعادلات__________________________________________14

2.4. المعادلات الوظيفية________________19

الخلاصة____________________________________23

قائمة الأدبيات المستخدمة__________________________________________24

طلب ________________________________________________25

مقدمة.

هذا العمل مخصص للجوانب النظرية والعملية لإدخال طريقة المعاملات غير المحددة في مقرر الرياضيات المدرسية. يتم تحديد أهمية هذا الموضوع من خلال الظروف التالية.

لن يجادل أحد بأن الرياضيات كعلم لا يقف في مكان واحد، فهو يتطور باستمرار، وتظهر مهام جديدة من التعقيد المتزايد، والتي غالبا ما تسبب صعوبات معينة، لأن هذه المهام ترتبط عادة بالبحث. في السنوات الأخيرة، تم اقتراح مثل هذه المشكلات في أولمبياد الرياضيات بالمدارس والمناطق والجمهوريات، وهي متوفرة أيضًا في إصدارات امتحان الدولة الموحدة. لذلك، كانت هناك حاجة إلى طريقة خاصة تسمح بحل بعضها على الأقل بسرعة وكفاءة وبتكلفة معقولة. يعرض هذا العمل بوضوح محتوى طريقة المعاملات غير المحددة، والتي تستخدم على نطاق واسع في مجموعة واسعة من مجالات الرياضيات، بدءًا من الأسئلة المدرجة في دورة التعليم العام إلى أجزائه الأكثر تقدمًا. على وجه الخصوص، تطبيقات طريقة المعاملات غير المحددة في حل المشكلات ذات المعلمات والمعادلات المنطقية والوظيفية الكسرية مثيرة للاهتمام وفعالة بشكل خاص؛ يمكنهم بسهولة إثارة اهتمام أي شخص مهتم بالرياضيات. الغرض الرئيسي من العمل المقترح واختيار المشكلات هو توفير فرص كبيرة لصقل وتطوير القدرة على إيجاد حلول قصيرة وغير قياسية.

يتكون هذا العمل من فصلين. يناقش الأول الجوانب النظرية للاستخدام

طريقة المعاملات غير المؤكدة، وثانيًا، الجوانب العملية والمنهجية لهذا الاستخدام.

يوفر ملحق العمل شروطًا لمهام محددة لحلها بشكل مستقل.

الفصل أنا . الجوانب النظرية للاستخدامطريقة المعاملات غير المؤكدة

"الإنسان... ولد ليكون سيداً،

الحاكم، ملك الطبيعة، ولكن الحكمة،

الذي يجب أن يحكم به لا يُعطى له

منذ الولادة: يُكتسب بالتعلم"

إن آي لوباتشيفسكي

هناك طرق وأساليب مختلفة لحل المشكلات، ولكن إحدى الطرق الأكثر ملاءمة والأكثر فعالية والأصالة والأناقة وفي نفس الوقت بسيطة جدًا ومفهومة للجميع هي طريقة المعاملات غير المحددة. طريقة المعاملات غير المحددة هي طريقة تستخدم في الرياضيات لإيجاد معاملات التعبيرات التي يكون شكلها معروفًا مسبقًا.

قبل النظر في تطبيق طريقة المعاملات غير المحددة لحل أنواع مختلفة من المشاكل، نقدم عددًا من المعلومات النظرية.

دعهم يعطون

أ ن (س) = أ 0 س ن + أ 1 س ن-1 + أ 2 س ن -2 + ··· + أ ن-1 س + أ ن

ب م (س ) = ب 0 س م + ب 1 س م -1 + ب 2 س م -2 + ··· + ب م-1 س + ب م ,

كثيرات الحدود النسبية Xمع أي احتمالات.

نظرية. اثنين من كثيرات الحدود اعتمادا على واحد و نفس الوسيطة متساوية تمامًا إذا وفقط إذان = م والمعاملات المقابلة لها متساويةأ 0 = ب 0 , أ 1 = ب 1 , أ 2 = ب 2 ,··· , أ ن -1 = ب م -1 , أ ن = ب م و ت. د.

من الواضح أن كثيرات الحدود المتساوية تأخذ جميع القيم Xنفس القيم. وعلى العكس من ذلك، إذا كانت قيم كثيرتي الحدود متساوية لجميع القيم X، ثم كثيرات الحدود متساويان، أي أن معاملاتهما متساوية في الدرجاتXتطابق.

ولذلك فإن فكرة تطبيق أسلوب المعاملات غير المحددة في حل المسائل هي كما يلي.

لنعلم أنه نتيجة لبعض التحويلات يتم الحصول على تعبير من نوع معين ولا تعرف سوى المعاملات في هذا التعبير. ثم يتم تحديد هذه المعاملات بالحروف وتعتبر مجهولة. ثم يتم بناء نظام المعادلات لتحديد هذه المجهولة.

على سبيل المثال، في حالة كثيرات الحدود، يتم إنشاء هذه المعادلات من شرط أن تكون المعاملات متساوية لنفس القوى Xلاثنين من كثيرات الحدود متساوية.

دعونا نوضح ما قيل أعلاه باستخدام الأمثلة المحددة التالية، ولنبدأ بالأبسط.

لذلك، على سبيل المثال، بناء على الاعتبارات النظرية، الكسر

يمكن تمثيلها كمجموع

، أين أ , ب و ج - المعاملات التي سيتم تحديدها. للعثور عليهم، نساوي التعبير الثاني بالأول:

=

وتحرير أنفسنا من القاسم وجمع المصطلحات بنفس القوى على اليسار X، نحن نحصل:

(أ + ب + ج )X 2 + ( ب - ج )س - أ = 2X 2 – 5 X– 1

وبما أن المساواة الأخيرة يجب أن تكون صحيحة لجميع القيم X، ثم المعاملات بنفس الدرجاتXيجب أن يكون اليمين واليسار هو نفسه. وبالتالي يتم الحصول على ثلاث معادلات لتحديد المعاملات الثلاثة المجهولة:

أ+ب+ج = 2

ب - ج = - 5

أ= 1، من أين أ = 1 , ب = - 2 , ج = 3

لذلك،

=
,

ومن السهل التحقق من صحة هذه المساواة مباشرة.

لنفترض أنك تحتاج أيضًا إلى تمثيل كسر

مثل أ + ب
+ ج
+ د
، أين أ , ب , ج و د- معاملات عقلانية غير معروفة. نحن نساوي التعبير الثاني بالأول:

أ + ب
+ ج
+ د
=
أو، بتحرير أنفسنا من المقام، وإزالة العوامل العقلانية، حيثما أمكن ذلك، من تحت علامات الجذور وإحضار مصطلحات مماثلة على الجانب الأيسر، نحصل على:

(أ- 2 ب + 3 ج ) + (- أ + ب +3 د )
+ (أ+ج - 2 د )
+

+ (ب - ج + د )
= 1 +
-
.

لكن هذه المساواة ممكنة فقط في حالة تساوي الحدود العقلانية لكلا الجزأين ومعاملات نفس الجذور. وبذلك يتم الحصول على أربع معادلات لإيجاد المعاملات المجهولة أ , ب , ج و د :

أ- 2ب+ 3ج = 1

- أ + ب +3 د = 1

أ+ج - 2 د = - 1

ب - ج + د= 0، من أين أ = 0 ; ب = - ; ج = 0 ; د=، هذا هو
= -
+
.

الباب الثاني. يبحث عن حلول للمشاكل مع كثيرات الحدود طريقة المعاملات غير المحددة.

"لا شيء يساهم في إتقان موضوع ما أفضل من

طريقة التصرف معه في المواقف المختلفة"

الأكاديمي بي في جينيدنكو

2. 1. تحليل كثير الحدود.

طرق تحليل كثيرات الحدود:

1) وضع العامل المشترك بين قوسين. 2) طريقة التجميع؛ 3) تطبيق صيغ الضرب الأساسية. 4) إدخال المصطلحات المساعدة؛ 5) التحويل الأولي لمتعدد الحدود باستخدام صيغ معينة؛ 6) التوسع من خلال إيجاد جذور كثيرة الحدود معينة؛ 7) طريقة إدخال المعلمة. 8) طريقة المعاملات غير المحددة.

المشكلة 1. قم بتحليل كثير الحدود إلى عوامل حقيقية X 4 + X 2 + 1 .

حل. لا توجد جذور بين مقسومات الحد الحر لكثيرة الحدود هذه. لا يمكننا إيجاد جذور كثيرة الحدود باستخدام وسائل أولية أخرى. لذلك، ليس من الممكن إجراء التوسع المطلوب من خلال إيجاد جذور كثيرة الحدود هذه أولاً. يبقى البحث عن حل للمشكلة إما بإدخال مصطلحات مساعدة أو بطريقة المعاملات غير المحددة. من الواضح أن X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

ثلاثيات الحدود التربيعية الناتجة ليس لها جذور، وبالتالي فهي غير قابلة للتحلل إلى عوامل خطية حقيقية.

الطريقة الموصوفة بسيطة من الناحية الفنية، ولكنها صعبة بسبب صناعتها. في الواقع، من الصعب جدًا التوصل إلى الشروط المساعدة المطلوبة. لقد ساعدنا التخمين فقط في العثور على هذا التحلل. لكن

هناك طرق أكثر موثوقية لحل مثل هذه المشاكل.

يمكن للمرء أن يتصرف على هذا النحو: افترض أن كثير الحدود المعطى يتحلل إلى المنتج

(X 2 + أ X + ب )(X 2 + ج X + د )

اثنين من ثلاثيات الحدود مع معاملات صحيحة.

وهكذا سيكون لدينا ذلك

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + أ X + ب )(X 2 + ج X + د )

يبقى تحديد المعاملاتأ , ب , ج و د .

بضرب كثيرات الحدود على الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة، نحصل على:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (أ + ج ) X 3 + (ب + أ ج + د ) X 2 + (إعلان + قبل الميلاد ) س + دينار بحريني .

لكن بما أننا نحتاج إلى أن يتحول الجانب الأيمن من هذه المساواة إلى نفس كثيرة الحدود الموجودة على الجانب الأيسر، فإننا سنشترط توافر الشروط التالية:

أ + ج = 0

ب + أ ج + د = 1

إعلان + قبل الميلاد = 0

دينار بحريني = 1 .

والنتيجة هي نظام من أربع معادلات مع أربعة مجهولينأ , ب , ج و د . من السهل العثور على المعاملات من هذا النظامأ = 1 , ب = 1 , ج = -1 و د = 1.

الآن تم حل المشكلة تماما. حصلنا:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

المشكلة 2. عامل كثير الحدود إلى عوامل حقيقية X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

حل. دعونا نمثل كثير الحدود هذا في النموذج

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + أ )(X 2 + bx + ج) ، أين أ , ب و مع - المعاملات لم تحدد بعد. نظرًا لأن كثيرتي الحدود متساويتان تمامًا إذا وفقط إذا كانت معاملات نفس القوىX متساوية، إذن، معادلة المعاملات على التوالي لـX 2 , X وشروط حرة، نحصل على نظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين:

أ + ب= - 6

أب+ج = 14

تيار متردد = - 15 .

سيتم تبسيط حل هذا النظام بشكل كبير إذا أخذنا في الاعتبار أن الرقم 3 (قاسم الحد الحر) هو جذر هذه المعادلة، وبالتالي،أ = - 3 ,

ب = - 3 و مع = 5 .

ثم X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 س + 5).

الطريقة المطبقة للمعاملات غير المحددة، بالمقارنة مع الطريقة المذكورة أعلاه لإدخال المصطلحات المساعدة، لا تحتوي على أي شيء مصطنع، ولكنها تتطلب تطبيق العديد من المبادئ النظرية وتكون مصحوبة بحسابات كبيرة إلى حد ما. بالنسبة لكثيرات الحدود ذات الدرجة الأعلى، تؤدي طريقة المعاملات غير المحددة هذه إلى أنظمة معادلات مرهقة.

2.2.المهام ومع المعلمات.

في السنوات الأخيرة، عرضت إصدارات امتحان الدولة الموحدة مهام ذات معلمات. غالبًا ما يسبب حلهم بعض الصعوبات. عند حل المشكلات المتعلقة بالمعلمات، إلى جانب الطرق الأخرى، يمكنك استخدام طريقة المعاملات غير المحددة بشكل فعال. هذه هي الطريقة التي تسمح لك بتبسيط حلها بشكل كبير والحصول على إجابة بسرعة.

المهمة 3. تحديد قيم المعلمة أالمعادلة 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + أ – 3 = 0 له جذرين بالضبط.

حل. 1 الطريق. باستخدام مشتق.

دعونا نمثل هذه المعادلة في شكل دالتين

2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – أ .

F (س) = 2س 3 - 3 X 2 – 36 X– 3 و φ( X ) = – أ .

دعونا استكشاف الوظيفةF (س) = 2س 3 - 3 X 2 – 36 X – 3 استخدام المشتق وبناء الرسم البياني الخاص به بشكل تخطيطي (الشكل 1.).

F( – س )F (س ) , F (– س ) – F (س ). الدالة ليست زوجية ولا فردية.

3. دعونا نجد النقاط الحرجة للدالة، وفترات الزيادة والنقصان، والنقاط القصوى. F / (س ) = 6 س 2 – 6 X – 36. د (F / ) = ر لذلك سنجد جميع النقاط الحرجة للدالة عن طريق حل المعادلة F / (س ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 بواسطة النظرية العكسية لنظرية فييتا.

F / (س ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ الأعلى - دقيقة +

2 3 س

F / (س)> 0 للجميع X< - 2 و X > 3 والدالة مستمرة عند النقاطس =- 2 و X = 3، وبالتالي فإنه يزيد في كل فترة من الفترات (- ; - 2] و [ 3 ; ).

F / (س ) < 0 في - 2 < X< 3، وبالتالي فإنه يتناقص على الفترة [- 2; 3 ].

X = - النقطة الثانية القصوى، لأن عند هذه النقطة علامة التغييرات المشتقة من"+" إلى "-".

F (- 2) = 2· (- 8) – 3·4 – 36·(- 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

س = 3 نقطة الحد الأدنى، لأنه في هذه المرحلة علامة التغييرات المشتقة"-" إلى "+".

F (3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84 .

رسم بياني للدالة φ(X ) = – أ هو خط مستقيم يوازي المحور السيني ويمر بالنقطة ذات الإحداثيات (0; – أ ). تحتوي الرسوم البيانية على نقطتين مشتركتين في -أ= 41، أي أ =– 41 و – أ= - 84، أي أ = 84 .

في

41φ( X)

2 3 X

3 F ( س ) = 2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3

الطريقة 2. طريقة المعاملات غير المحددة.

وبما أن هذه المعادلة، وفقًا لشروط المشكلة، يجب أن يكون لها جذرين فقط، فإن المساواة واضحة:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + أ – 3 = (س + ب ) 2 (2 س + ج ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + أ – 3 = 2 س 3 + (4 ب + ج ) س 2 + (2 ب 2 + +2 قبل الميلاد ) س + ب 2 ج ,

الآن مساواة المعاملات بنفس الدرجات X، نحصل على نظام المعادلات

4 ب + ج = - 3

2ب 2 + 2قبل الميلاد = - 36

ب 2 ج = أ – 3 .

من المعادلتين الأوليين للنظام نجدب 2 + ب – 6 = 0، من أين ب 1 = - 3 أو ب 2 = 2 . القيم المقابلةمع 1 و مع 2 من السهل العثور عليه من المعادلة الأولى للنظام:مع 1 = 9 أو مع 2 = - 11 . وأخيرًا، يمكن تحديد القيمة المطلوبة للمعلمة من المعادلة الأخيرة للنظام:

أ = ب 2 ج + 3 , أ 1 = - 41 أو أ 2 = 84.

الإجابة: هذه المعادلة لها معادلة مختلفة تمامًا

الجذر في أ= - 41 و أ= 84 .

المهمة 4. ابحث عن أكبر قيمة للمعلمةأ ، والتي المعادلةX 3 + 5 X 2 + أوه + ب = 0

معاملات أعداد صحيحة لها ثلاثة جذور مختلفة، أحدها يساوي – 2.

حل. 1 الطريق. أستعاض X= - 2 في الطرف الأيسر من المعادلة نحصل عليها

8 + 20 – 2 أ + ب= 0 يعني ب = 2 أ – 12 .

وبما أن الرقم -2 هو جذر، فيمكننا إخراج العامل المشترك X + 2:

X 3 + 5 X 2 + أوه + ب = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + أوه + (2 أ – 12) =

= س 2 (X + 2) + 3 س (X + 2) – 6 س + أوه + (2 أ – 12) =

= س 2 (X + 2) + 3 س (X + 2) + (أ – 6)(س +2) - 2(أ – 6)+ (2 أ - 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 س + (أ – 6) ) .

حسب الشرط، هناك جذرين آخران للمعادلة. وهذا يعني أن مميز العامل الثاني موجب.

د =3 2 - 4 (أ – 6) = 33 – 4 أ > 0، أي أ < 8,25 .

يبدو أن الجواب سيكون أ = 8 . لكن عندما نعوض بالرقم 8 في المعادلة الأصلية نحصل على:

X 3 + 5 X 2 + أوه + ب = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 س + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

أي أن المعادلة لها جذرين مختلفين فقط. لكن عندما أ = 7 ينتج في الواقع ثلاثة جذور مختلفة.

الطريقة 2. طريقة المعاملات غير المحددة.

إذا كانت المعادلة X 3 + 5 X 2 + أوه + ب = 0 له جذر X = - 2، إذًا يمكنك دائمًا التقاط الأرقامج و د حتى يكون أمام الجميعX وكانت المساواة صحيحة

X 3 + 5 X 2 + أوه + ب = (X + 2)(X 2 + مع س + د ).

للعثور على أرقامج و د دعونا نفتح الأقواس الموجودة على الجانب الأيمن ونضيف مصطلحات مماثلة ونحصل على

X 3 + 5 X 2 + أوه + ب = X 3 + (2 + مع ) X 2 +(2 ق + د ) X + 2 د

معادلة المعاملات في القوى المقابلة Xلدينا نظام

2 + مع = 5

2 مع + د = أ

2 د = ب , أين ج = 3 .

لذلك، X 2 + 3 س + د = 0 , د = 9 – 4 د > 0 أو

د < 2.25 يعني د (- ; 2 ].

استيفاء شروط المشكلة بالقيمة د = 1 . القيمة النهائية المطلوبة للمعلمةأ = 7.

الجواب: متى أ = 7 هذه المعادلة لها ثلاثة جذور مختلفة.

2.3. حل المعادلات.

"تذكر أنه من خلال حل المشكلات الصغيرة، يمكنك

جهز نفسك للتعامل مع الأشياء الكبيرة والصعبة

مهام جديدة."

الأكاديمي س. سوبوليف

عند حل بعض المعادلات، يمكنك ويجب عليك إظهار الحيلة والذكاء، واستخدام تقنيات خاصة. إن إتقان مجموعة متنوعة من تقنيات التحويل والقدرة على تنفيذ التفكير المنطقي له أهمية كبيرة في الرياضيات. إحدى هذه الحيل هي جمع وطرح بعض التعبيرات أو الأرقام المختارة جيدًا. الحقيقة المعلنة نفسها، بالطبع، معروفة للجميع - الصعوبة الرئيسية هي أن نرى في تكوين معين تلك التحولات في المعادلات التي يكون من المناسب والمناسب تطبيقها عليها.

باستخدام معادلة جبرية بسيطة، سنوضح تقنية غير قياسية لحل المعادلات.

المشكلة 5. حل المعادلة

=
.

حل. دعونا نضرب طرفي هذه المعادلة في 5 ونعيد كتابتها على النحو التالي

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 أو
= 0

دعونا نحل المعادلات الناتجة باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + آه + ب )(س 2 + com.cx + د ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (أ + ج ) X 3 + (ب + أ ج + د ) X 2 + (إعلان + قبل الميلاد ) س+ + دينار بحريني

معادلة المعاملات في X 3 , X 2 , Xوشروط مجانية، نحصل على النظام

أ + ج = -1

ب + أ ج + د = 0

إعلان + قبل الميلاد = -7

دينار بحريني = -3 حيث نجد:أ = -2 ; ب = - 1 ;

مع = 1 ; د = 3 .

لذا X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X- 1 = 0 أو X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
لا جذور.

وبالمثل لدينا

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

أين X 2 + 2 X + 5 = 0 , د = - 16 < 0 , нет корней.

إجابة: X 1,2 =

المشكلة 6. حل المعادلة

= 10.

حل. لحل هذه المعادلة تحتاج إلى تحديد الأرقامأو ب بحيث يكون بسطا الكسرين متساويين. لذلك لدينا النظام:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

وبالتالي فإن المهمة هي العثور على الأرقامأو ب , التي تتحقق لها المساواة

(أ + 6) X 2 + آه - 5 = X 2 + (5 + 2 ب ) س + ب

الآن، وفقًا لنظرية مساواة كثيرات الحدود، من الضروري أن يتحول الجانب الأيمن من هذه المساواة إلى نفس كثير الحدود الموجود على الجانب الأيسر.

وبعبارة أخرى، يجب أن تكون العلاقات راضية

أ + 6 = 1

أ = 5 + 2 ب

– 5 = ب ، من حيث نجد القيمأ = - 5 ;

ب = - 5 .

عند هذه القيمأو ب المساواة أ + ب = - 10 عادلة أيضًا.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 أو X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

إجابة: X 1,2 =
, X 3,4 =

المشكلة 7. حل المعادلة

= 4

حل. هذه المعادلة أكثر تعقيدا من سابقاتها ولذلك سنجمعها على النحو التالي: X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

من شرط المساواة بين كثيرتي الحدود

أوه 2 + (أ + 6) X + 12 = X 2 + (ب + 11) س – 3 ب ,

نحصل على ونحل نظام المعادلات للمعاملات غير المعروفةأو ب :

أ = 1

أ + 6 = ب + 11

12 = – 3 ب ، أين أ = 1 , ب = - 4 .

كثيرات الحدود - 3 – 6X + com.cx 2 + 8 com.cxو X 2 + 21 + 12 د – dx متساوون مع بعضهم البعض بشكل متماثل فقط عندما

مع = 1

8 مع - 6 = - د

3 = 21 + 12 د , مع = 1 , د = - 2 .

بالقيمأ = 1 , ب = - 4 , مع = 1 , د = - 2

المساواة
= - 4 صحيح.

ونتيجة لذلك تأخذ هذه المعادلة الشكل التالي:

= 0 أو
= 0 أو
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

من الأمثلة التي تم النظر فيها، يتضح مدى الاستخدام الماهر لطريقة المعاملات غير المحددة،

يساعد على تبسيط حل معادلة معقدة وغير عادية إلى حد ما.

2.4. المعادلات الوظيفية.

"إن الهدف الأسمى للرياضيات... هو

هو العثور على الترتيب المخفي في

الفوضى التي تحيط بنا"

ن.فينر

المعادلات الوظيفية هي فئة عامة جدًا من المعادلات التي تكون فيها الدالة المجهولة دالة معينة. تُفهم المعادلة الوظيفية بالمعنى الضيق للكلمة على أنها معادلات ترتبط فيها الوظائف المطلوبة بالوظائف المعروفة لمتغير واحد أو أكثر باستخدام عملية تكوين وظيفة معقدة. يمكن أيضًا اعتبار المعادلة الوظيفية تعبيرًا عن خاصية تميز فئة معينة من الوظائف

[على سبيل المثال، المعادلة الوظيفية F ( س ) = F (- س ) يميز فئة الدوال الزوجية، المعادلة الوظيفيةF (س + 1) = F (س ) - فئة الوظائف التي لها فترة 1، الخ.].

واحدة من أبسط المعادلات الوظيفية هي المعادلةF (س + ذ ) = F (س ) + F (ذ ). الحلول المستمرة لهذه المعادلة الوظيفية لها الشكل

F (س ) = جس . ومع ذلك، في فئة الدوال المتقطعة، هذه المعادلة الوظيفية لها حلول أخرى. المرتبطة بالمعادلة الوظيفية المدروسة هي

F (س + ذ ) = F (س ) · F (ذ ), F (س ذ ) = F (س ) + F (ذ ), F (س ذ ) = F (س )· F (ذ ),

الحلول المستمرة، والتي، على التوالي، لها الشكل

ه com.cx ، معlnس , س α (س > 0).

وبالتالي، يمكن استخدام هذه المعادلات الوظيفية لتحديد الدوال الأسية واللوغاريتمية ودوال القوة.

المعادلات الأكثر استخدامًا هي تلك الموجودة في الدوال المعقدة التي تكون فيها الدوال المطلوبة دوالًا خارجية. التطبيقات النظرية والعملية

كانت هذه المعادلات بالتحديد هي التي دفعت علماء الرياضيات البارزين إلى دراستها.

على سبيل المثال، فيتنسيق

F 2 (س) = F (س - ذ)· F (س + ذ)

إن آي لوباتشيفسكيتستخدم عند تحديد زاوية التوازي في هندستي.

في السنوات الأخيرة، يتم عرض المشكلات المتعلقة بحل المعادلات الوظيفية في كثير من الأحيان في الأولمبياد الرياضي. ولا يتطلب حلها معرفة تتجاوز نطاق مناهج الرياضيات في المدارس الثانوية. ومع ذلك، فإن حل المعادلات الوظيفية غالبا ما يسبب بعض الصعوبات.

إحدى طرق إيجاد حلول للمعادلات الوظيفية هي طريقة المعاملات غير المحددة. يمكن استخدامه عندما يمكن تحديد الشكل العام للدالة المطلوبة من خلال مظهر المعادلة. ينطبق هذا، أولاً وقبل كل شيء، على تلك الحالات التي يجب فيها البحث عن حلول للمعادلات بين الدوال الكسرية الصحيحة أو الكسرية.

دعونا نلخص جوهر هذه التقنية من خلال حل المشاكل التالية.

المهمة 8. الوظيفةF (س ) يتم تعريفه لجميع x الحقيقي ويرضي الجميعX ر حالة

3 F(س) - 2 F(1- س) = س 2 .

يجدF (س ).

حل. حيث أنه على الجانب الأيسر من هذه المعادلة يوجد المتغير المستقل x وقيم الدالةF يتم تنفيذ العمليات الخطية فقط، والجانب الأيمن من المعادلة هو دالة تربيعية، فمن الطبيعي أن نفترض أن الدالة المطلوبة هي أيضًا دالة تربيعية:

F (X) = فأس 2 + bx + ج ، أينأ, ب, ج - المعاملات التي سيتم تحديدها، أي المعاملات غير المؤكدة.

بتعويض الدالة في المعادلة نحصل على الهوية:

3(فأس 2 + bx+ ج) – 2(أ(1 – س) 2 + ب(1 – س) + ج) = س 2 .

فأس 2 + (5 ب + 4 أ) س + (ج – 2 أ – 2 ب) = س 2 .

ستكون كثيرتا الحدود متساويتين تمامًا إذا كانتا متساويتين

معاملات نفس قوى المتغير:

أ = 1

5ب + 4أ = 0

ج– 2 أ – 2 ب = 0.

من هذا النظام نجد المعاملات

أ = 1 , ب = - ، ج = , أيضًااستوفيالمساواة

3 F (س ) - 2 F (1- س ) = س 2 في مجموعة جميع الأعداد الحقيقية وفي الوقت نفسه، هناك مثل هذاس 0 المهمة 9. الوظيفةص =F(س) لجميع x محددة ومستمرة ومحققة للشرطF (F (س)) – F(س) = 1 + 2 س . ابحث عن وظيفتين من هذا القبيل.

حل. يتم تنفيذ إجراءين على الوظيفة المطلوبة - عملية تأليف وظيفة معقدة و

الطرح. وبالنظر إلى أن الجانب الأيمن من المعادلة هو دالة خطية، فمن الطبيعي أن نفترض أن الدالة المطلوبة خطية أيضا:F(س) = اه +ب ، أينأ وب – معاملات غير مؤكدة. استبدال هذه الوظيفة فيF (F ( (س ) = - X - 1 ;

F 2 (س ) = 2 X+ وهي حلول للمعادلة الوظيفيةF (F (س)) – F(س) = 1 + 2 س .

خاتمة.

في الختام، تجدر الإشارة إلى أن هذا العمل سيساهم بالتأكيد في مزيد من الدراسة لطريقة أصلية وفعالة لحل مجموعة متنوعة من المشكلات الرياضية، وهي مشاكل ذات صعوبة متزايدة وتتطلب معرفة عميقة بدورة الرياضيات المدرسية ومنطقية عالية. الثقافة أي شخص يريد تعميق معرفته بالرياضيات بشكل مستقل سيجد أيضًا أن هذا العمل يحتوي على مواد للتفكير والمهام المثيرة للاهتمام، والتي سيجلب حلها الفائدة والرضا.

يحدد العمل، في إطار المناهج المدرسية الحالية وفي شكل يمكن الوصول إليه للإدراك الفعال، طريقة المعاملات غير المحددة، مما يساعد على تعميق الدورة المدرسية في الرياضيات.

وبطبيعة الحال، لا يمكن إثبات جميع إمكانيات طريقة المعاملات غير المحددة في عمل واحد. في الواقع، لا تزال الطريقة بحاجة إلى مزيد من الدراسة والبحث.

قائمة الأدب المستخدم.

جليزر جي.آي..تاريخ الرياضيات في المدرسة.-م: التعليم، 1983.

جومونوف إس. المعادلات الوظيفية في مقرر الرياضيات المدرسية // الرياضيات في المدرسة. – 2000. -№10 .

Dorofeev G.V.، Potapov M.K.، Rozov N.H.. دليل في الرياضيات - م: ناوكا، 1972.

كوروش إيه جي المعادلات الجبرية ذات الدرجات التعسفية - م: ناوكا، 1983.

ليختارنيكوف إل إم. مقدمة أولية للمعادلات الوظيفية. - سان بطرسبرج. : لان، 1997.

Manturov O.V.، Solntsev Yu.K.، Sorokin Yu.I.، Fedin N.G.. القاموس التوضيحي للمصطلحات الرياضية.-م: التعليم، 1971

Modenov V.P.. دليل في الرياضيات. الجزء 1.-م: جامعة موسكو الحكومية، 1977.

Modenov V.P.. مشاكل مع المعلمات - م: امتحان 2006.

Potapov M.K.، Aleksandrov V.V.، Pasichenko P.I.. الجبر وتحليل الوظائف الأولية - م: نوكا، 1980.

خاليولين أ.. يمكنك حلها بشكل أسهل // الرياضيات في المدرسة. – 2003 . - №8 .

خاليولين.

4. قم بتوسيع كثير الحدود 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 للمضاعفات ذات المعاملات الصحيحة.

5. بأي قيمة أ X 3 + 6X 2 + أوه+ 12 لكل X+ 4 ?

6. بأي قيمة للمعلمةأ المعادلةX 3 +5 X 2 + + أوه + ب = 0 مع معاملات صحيحة له جذرين مختلفين، أحدهما هو 1 ?

7. بين جذور كثير الحدود X 4 + X 3 – 18X 2 + أوه + ب مع معاملات الأعداد الصحيحة هناك ثلاثة أعداد صحيحة متساوية. أوجد القيمة ب .

8. ابحث عن أكبر قيمة عددية للمعلمة أ،حيث المعادلة X 3 – 8X 2 + آه +ب = 0 مع معاملات صحيحة له ثلاثة جذور مختلفة، واحد منها يساوي 2.

9. بأي قيم أو ب يتم تنفيذ القسمة دون الباقي X 4 + 3X 3 – 2X 2 + أوه + ب على X 2 – 3X + 2 ?

10. عامل كثيرات الحدود:

أ)X 4 + 2 X 2 – X + 2 الخامس)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 د)X 4 + 12X – 5

ب)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 ز)X 4 – 3X –2 ه)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. حل المعادلات:

أ)
= 2 = 2 F (1 – X ) = X 2 .

يجد F (X) .

13. الوظيفة في= F (X) أمام الجميع Xمحددة ومستمرة وتفي بالشرط F ( F (X)) = F (X) + X.ابحث عن وظيفتين من هذا القبيل.

تم تصميم هذه الخدمة لتحليل أجزاء النموذج:

لمجموع الكسور البسيطة. ستكون هذه الخدمة مفيدة لحل التكاملات. انظر المثال.

تعليمات. أدخل بسط ومقام الكسر. انقر فوق الزر حل.

عند التصميم كمتغير، استخدم x t z u p α

ملحوظة:على سبيل المثال، يتم كتابة x 2 بالشكل x^2، ويتم كتابة (x-2) 3 بالشكل (x-2)^3. بين العوامل نضع علامة الضرب (*).

قواعد لإدخال وظيفة

هذا الحقل مخصص لإدخال بسط التعبير
يجب أولاً إخراج المتغير العام x من الأقواس. على سبيل المثال، x 3 + x = x(x 2 + 1) أو x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2).

قواعد لإدخال وظيفة

هذا الحقل مخصص لإدخال مقام التعبير، على سبيل المثال، يتم كتابة x 2 بالشكل x^2، ويتم كتابة (x-2) 3 بالشكل (x-2)^3. بين العوامل نضع علامة الضرب (*).
يجب أولاً إخراج المتغير العام x من الأقواس. على سبيل المثال، x 3 + x = x(x 2 + 1) أو x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2).

خوارزمية طريقة المعاملات غير المؤكدة

1. تحليل القاسم.
2. تحلل الكسر كمجموع كسور بسيطة ذات معاملات غير محددة.
3. تجميع البسط بنفس قوى x.
4. الحصول على نظام من المعادلات الجبرية الخطية ذات المعاملات غير المحددة كمجهولة.
5. حل SLAE: طريقة كرامر، طريقة جاوس، طريقة المصفوفة العكسية أو طريقة حذف المجهولات.

مثال. نستخدم طريقة التحلل إلى أبسطها. دعنا نقسم الدالة إلى أبسط مصطلحاتها:


دعونا نساوي البسطين ونأخذ في الاعتبار أن المعاملات لها نفس القوى Xيجب أن يتطابق الوقوف على اليسار واليمين
2x-1 = أ(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
أ+ب=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16أ = -1
0أ -2ب + ج + 4د = 0
وبحلها نجد:
أ = 1/16؛ ب = - 1/9؛ ج = - 5/12؛ د = 7/144؛

تكامل دالة كسرية عقلانية.
طريقة معامل غير مؤكدة

نواصل العمل على تكامل الكسور. لقد نظرنا بالفعل إلى تكاملات بعض أنواع الكسور في الدرس، ويمكن اعتبار هذا الدرس، بمعنى ما، استمرارًا. لفهم المادة بنجاح، يلزم وجود مهارات التكامل الأساسية، لذلك إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة التكاملات، أي أنك مبتدئ، فأنت بحاجة إلى البدء بالمقالة تكامل غير محدد. أمثلة على الحلول .

ومن الغريب أننا الآن لن ننخرط كثيرًا في إيجاد التكاملات، ولكن... في حل أنظمة المعادلات الخطية. في هذا الصدد بشكل عاجلأوصي بحضور الدرس، أي أنك يجب أن تكون على دراية جيدة بطرق الاستبدال (طريقة "المدرسة" وطريقة الجمع (الطرح) لمعادلات النظام).

ما هي وظيفة عقلانية كسرية؟ بكلمات بسيطة، الدالة الكسرية هي الكسر الذي يحتوي بسطه ومقامه على كثيرات الحدود أو منتجات كثيرات الحدود. علاوة على ذلك، فإن الكسور أكثر تعقيدًا من تلك التي تمت مناقشتها في المقالة دمج بعض الكسور .

دمج دالة كسرية-عقلانية مناسبة

على الفور مثال وخوارزمية نموذجية لحل تكامل دالة كسرية.

مثال 1

الخطوة 1.أول شيء نفعله دائمًا عند حل تكامل دالة كسرية هو توضيح السؤال التالي: هل الكسر صحيح؟يتم تنفيذ هذه الخطوة لفظيًا، والآن سأشرح الطريقة:

أولًا، ننظر إلى البسط ونكتشف ذلك درجة عليامتعدد الحدود:

القوة الرئيسية للبسط هي اثنان.

الآن ننظر إلى المقام ونكتشف ذلك درجة علياالمقام - صفة مشتركة - حالة. الطريقة الواضحة هي فتح الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة، ولكن يمكنك القيام بذلك بشكل أسهل كلالعثور على أعلى درجة بين قوسين

والضرب ذهنياً: - وبذلك تكون أعلى درجة للمقام تساوي ثلاثة. ومن الواضح أننا إذا فتحنا القوسين بالفعل، فلن نحصل على درجة أكبر من ثلاثة.

خاتمة: الدرجة الكبرى من البسط بشكل صارمأقل من أعلى قوة للمقام، مما يعني أن الكسر صحيح.

إذا كان البسط في هذا المثال يحتوي على كثير الحدود 3، 4، 5، إلخ. درجة، ثم سيكون الكسر خطأ.

الآن سننظر فقط في الدوال العقلانية الكسرية الصحيحة. سيتم مناقشة الحالة التي تكون فيها درجة البسط أكبر من أو تساوي درجة المقام في نهاية الدرس.

الخطوة 2.دعونا نحلل المقام. دعونا نلقي نظرة على القاسم لدينا:

بشكل عام، هذا بالفعل نتاج عوامل، ولكن مع ذلك نسأل أنفسنا: هل من الممكن توسيع شيء آخر؟ سيكون موضوع التعذيب بلا شك هو الثلاثي المربع. حل المعادلة التربيعية:

المميز أكبر من الصفر، مما يعني أنه يمكن بالفعل تحليل ثلاثية الحدود إلى عوامل:

القاعدة العامة: كل شيء في المقام يمكن تحليله

لنبدأ في صياغة الحل:

الخطوه 3.باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة، نقوم بتوسيع التكامل إلى مجموع الكسور البسيطة (الابتدائية). الآن سوف يكون أكثر وضوحا.

دعونا نلقي نظرة على وظيفة التكامل لدينا:

وكما تعلمون، بطريقة ما تنبثق فكرة بديهية مفادها أنه سيكون من الجيد تحويل الكسر الكبير إلى عدة أجزاء صغيرة. على سبيل المثال، مثل هذا:

السؤال الذي يطرح نفسه، هل من الممكن القيام بذلك؟ دعونا نتنفس الصعداء، تنص نظرية التحليل الرياضي المقابلة على أن هذا ممكن. مثل هذا التحلل موجود وهو فريد من نوعه.

هناك صيد واحد فقط، والاحتمالات هي الوداعنحن لا نعرف، ومن هنا الاسم – طريقة المعاملات غير المحددة.

كما خمنت، فإن حركات الجسم اللاحقة تكون هكذا، لا تثرثر! سوف يهدف فقط إلى التعرف عليهم - لمعرفة ما يساويهم.

كن حذرا، سأشرح بالتفصيل مرة واحدة فقط!

لذلك، دعونا نبدأ الرقص من:

على الجانب الأيسر نقوم بتقليل التعبير إلى قاسم مشترك:

الآن يمكننا التخلص بأمان من القواسم (لأنها متماثلة):

على الجانب الأيسر نفتح الأقواس، لكن لا نلمس المعاملات المجهولة الآن:

وفي الوقت نفسه، نكرر القاعدة المدرسية المتمثلة في ضرب كثيرات الحدود. عندما كنت مدرسًا، تعلمت نطق هذه القاعدة بوجه مستقيم: من أجل التكاثر متعدد الحدودعلى متعدد الحدودتحتاج إلى ضرب كل حد من كثير الحدود في كل حد من كثير الحدود الآخر.

من وجهة نظر شرح واضح، من الأفضل وضع المعاملات بين قوسين (على الرغم من أنني شخصيا لا أفعل ذلك أبدا لتوفير الوقت):

نحن نؤلف نظام المعادلات الخطية.
أولاً نبحث عن الدرجات العليا:

ونكتب المعاملات المقابلة في المعادلة الأولى للنظام:

تذكر النقطة التالية جيداً. ماذا سيحدث لو لم يكن هناك حرف s على الجانب الأيمن على الإطلاق؟ لنفترض، هل سيتم عرضه بدون أي مربع؟ في هذه الحالة، في معادلة النظام سيكون من الضروري وضع صفر على اليمين: . لماذا الصفر؟ ولكن لأنه على الجانب الأيمن يمكنك دائمًا تعيين نفس المربع بصفر: إذا لم يكن هناك متغيرات و/أو حد حر على الجانب الأيمن، فإننا نضع أصفارًا على الجانب الأيمن من المعادلات المقابلة للنظام.

نكتب المعاملات المقابلة في المعادلة الثانية للنظام:

وأخيرا، المياه المعدنية، نختار الأعضاء الأحرار.

إيه،... بطريقة ما كنت أمزح. بغض النظر عن النكات - الرياضيات علم جاد. في مجموعة معهدنا، لم يضحك أحد عندما قالت الأستاذة المشاركة إنها ستقوم بتفريق الأعضاء حولها رقم الخطوسوف تختار أكبرها. دعونا نكون جادين. مع ذلك... من يعيش ليرى نهاية هذا الدرس سيظل يبتسم بهدوء.

النظام جاهز:

نحن نحل النظام:

(1) من المعادلة الأولى نعبر عنها ونعوضها في المعادلتين الثانية والثالثة للنظام. في الواقع، كان من الممكن التعبير (أو حرف آخر) من معادلة أخرى، ولكن في هذه الحالة من المفيد التعبير عنها من المعادلة الأولى، حيث أن هناك أصغر الاحتمالات.

(2) نقدم مصطلحات مماثلة في المعادلتين الثانية والثالثة.

(3) نجمع المعادلتين الثانية والثالثة حداً تلو الآخر فنحصل على المساواة ويترتب على ذلك أن

(4) نعوض في المعادلة الثانية (أو الثالثة) حيث نجد ذلك

(5) عوض في المعادلة الأولى لتحصل على .

إذا واجهتك أي صعوبات في طرق حل النظام، قم بالتدرب عليها في الفصل. كيفية حل نظام المعادلات الخطية؟

بعد حل النظام، من المفيد دائمًا التحقق من استبدال القيم الموجودة كلمعادلة النظام، ونتيجة لذلك يجب أن "يتقارب" كل شيء.

اوشكت على الوصول. تم العثور على المعاملات، و:

يجب أن تبدو المهمة النهائية كما يلي:

كما ترون، كانت الصعوبة الرئيسية للمهمة هي تكوين (بشكل صحيح!) وحل (بشكل صحيح!) نظام من المعادلات الخطية. وفي المرحلة النهائية، كل شيء ليس معقدا للغاية: نستخدم الخصائص الخطية للتكامل غير المحدد والتكامل. يرجى ملاحظة أنه تحت كل من التكاملات الثلاثة لدينا وظيفة معقدة "حرة"؛ لقد تحدثت عن ميزات تكاملها في الدرس طريقة التغيير المتغير في التكامل غير المحدد .

تحقق: ميّز الإجابة:

تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على التكامل بشكل صحيح.
أثناء التحقق، كان علينا اختزال التعبير إلى قاسم مشترك، وهذا ليس من قبيل الصدفة. إن طريقة المعاملات غير المحددة واختزال التعبير إلى قاسم مشترك هما إجراءان عكسيان.

مثال 2

أوجد التكامل غير المحدد.

دعنا نعود إلى الكسر من المثال الأول: . من السهل ملاحظة أن جميع العوامل مختلفة في المقام. السؤال الذي يطرح نفسه هو ماذا تفعل إذا تم إعطاء الكسر التالي على سبيل المثال: ؟ هنا لدينا درجات في المقام، أو رياضياً، مضاعفات. بالإضافة إلى ذلك، هناك ثلاثية حدود تربيعية لا يمكن تحليلها (من السهل التحقق من أن مميز المعادلة سالبة، لذلك لا يمكن تحليل ثلاثية الحدود). ما يجب القيام به؟ سيبدو التوسع في مجموع الكسور الأولية بهذا الشكل مع معاملات غير معروفة في الأعلى أو أي شيء آخر؟

مثال 3

تقديم وظيفة

الخطوة 1.التحقق مما إذا كان لدينا كسر مناسب
البسط الرئيسي: 2
أعلى درجة للمقام: 8
مما يعني أن الكسر صحيح.

الخطوة 2.هل من الممكن تحليل شيء ما في المقام؟ من الواضح لا، كل شيء تم وضعه بالفعل. لا يمكن توسيع ثلاثي الحدود المربع إلى منتج للأسباب المذكورة أعلاه. كَبُّوت. عمل أقل.

الخطوه 3.دعونا نتخيل دالة كسرية عقلانية كمجموع الكسور الأولية.
في هذه الحالة، يكون التوسع على الشكل التالي:

دعونا نلقي نظرة على القاسم لدينا:
عند تحليل دالة كسرية إلى مجموع الكسور الأولية، يمكن تمييز ثلاث نقاط أساسية:

1) إذا كان المقام يحتوي على عامل "وحيد" للقوة الأولى (في حالتنا)، فإننا نضع معاملًا غير محدد في الأعلى (في حالتنا). الأمثلة رقم 1، 2 تتألف فقط من هذه العوامل "الوحيدة".

2) إذا كان القاسم موجودا عديدالمضاعف، فأنت بحاجة إلى تحليله على النحو التالي:
- أي المرور بجميع درجات "X" من الدرجة الأولى إلى الدرجة التاسعة بالتتابع. في مثالنا هناك عاملان متعددان: و، ألقِ نظرة أخرى على التوسيع الذي قدمته وتأكد من توسيعهما تمامًا وفقًا لهذه القاعدة.

3) إذا كان المقام يحتوي على كثير حدود غير قابل للتحلل من الدرجة الثانية (في حالتنا)، فعند التحلل في البسط تحتاج إلى كتابة دالة خطية بمعاملات غير محددة (في حالتنا بمعاملات غير محددة و ).

في الواقع، هناك حالة رابعة أخرى، لكنني سألتزم الصمت عنها، لأنها في الممارسة العملية نادرة للغاية.

مثال 4

تقديم وظيفة كمجموع كسور أولية ذات معاملات غير معروفة.

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
اتبع الخوارزمية بدقة!

إذا فهمت المبادئ التي تحتاج من خلالها إلى توسيع الدالة الكسرية إلى مجموع، فيمكنك مضغ أي تكامل من النوع قيد النظر تقريبًا.

مثال 5

أوجد التكامل غير المحدد.

الخطوة 1.من الواضح أن الكسر صحيح:

الخطوة 2.هل من الممكن تحليل شيء ما في المقام؟ يستطيع. هنا مجموع المكعبات . قم بتحليل المقام باستخدام صيغة الضرب المختصرة

الخطوه 3.باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة، نقوم بتوسيع التكامل إلى مجموع الكسور الأولية:

يرجى ملاحظة أن كثيرة الحدود لا يمكن تحليلها (تأكد من أن المميز سلبي)، لذا في الأعلى نضع دالة خطية ذات معاملات غير معروفة، وليس حرفًا واحدًا فقط.

نأتي الكسر إلى قاسم مشترك:

دعونا نؤلف ونحل النظام:

(1) نعبر من المعادلة الأولى ونعوض بها في المعادلة الثانية للنظام (هذه هي الطريقة الأكثر عقلانية).

(2) نقدم مصطلحات مماثلة في المعادلة الثانية.

(3) نجمع المعادلتين الثانية والثالثة من حد النظام بحده.

جميع الحسابات الإضافية تكون، من حيث المبدأ، شفهية، لأن النظام بسيط.

(1) نكتب مجموع الكسور حسب المعاملات الموجودة.

(2) نستخدم الخصائص الخطية للتكامل غير المحدد. ماذا حدث في التكامل الثاني؟ يمكنك التعرف على هذه الطريقة في الفقرة الأخيرة من الدرس. دمج بعض الكسور .

(3) مرة أخرى نستخدم خصائص الخطية. في التكامل الثالث نبدأ بعزل المربع الكامل (الفقرة قبل الأخيرة من الدرس دمج بعض الكسور ).

(4) نأخذ التكامل الثاني، وفي الثالث نختار المربع الكامل.

(5) خذ التكامل الثالث. مستعد.