نظرية عدم اكتمال جودل بعبارات بسيطة. النظريات البديهية الرسمية والأعداد الطبيعية

كانت نظريات عدم الاكتمال لكورت جودل بمثابة نقطة تحول في رياضيات القرن العشرين. وفي مخطوطاته المنشورة بعد وفاته حفظ دليل منطقي على وجود الله. في قراءات عيد الميلاد الأخيرة تقرير مثير للاهتمامتحدث الأستاذ المشارك في مدرسة توبولسك اللاهوتية، مرشح اللاهوت الكاهن ديمتري كيريانوف عن هذا التراث غير المعروف. طلب "إن إس" شرح الأفكار الرئيسية للعالم.

نظريات عدم اكتمال غودل: فجوة في الرياضيات

— هل هناك أي طريقة شائعة لشرح نظريات عدم الاكتمال لجودل؟ الحلاق لا يحلق إلا من لا يحلق نفسه. هل يحلق الحلاق نفسه؟ هذا مفارقة مشهورةهل لها علاقة بهم؟

الأطروحة الرئيسية للبرهان المنطقي لوجود الله، التي طرحها كورت جودل: "إن الله موجود في الفكر، لكن الوجود في الواقع أكثر من مجرد وجود في الفكر فقط". في الصورة: مؤلف نظرية عدم الاكتمال كورت غودل مع صديقه مؤلف النظرية النسبية ألبرت أينشتاين. بريستون. أمريكا. 1950

- نعم، بالطبع لا. قبل جودل، كانت هناك مشكلة البديهيات في الرياضيات ومشكلة مثل هذه الجمل المتناقضة التي يمكن كتابتها رسميًا بأي لغة. على سبيل المثال: "هذا البيان غير صحيح". ما هي حقيقة هذا البيان؟ إذا كان حقا فهو باطل، وإذا كان كاذبا فهو صحيح؛ وهذا يؤدي إلى مفارقة لغوية. درس جودل الحساب وأظهر في نظرياته أنه لا يمكن إثبات اتساقه بناءً على مبادئه الواضحة: بديهيات الجمع والطرح والقسمة والضرب وما إلى ذلك. نحن بحاجة إلى بعض الافتراضات الإضافية لتبرير ذلك. هذا على الأكثر أبسط نظريةولكن ماذا عن المعادلات الأكثر تعقيدًا (المعادلات الفيزيائية، وما إلى ذلك)! لتبرير نظام من الاستدلالات، نضطر دائمًا إلى اللجوء إلى بعض الاستدلالات الإضافية، وهو أمر غير مبرر في إطار النظام.

بادئ ذي بدء، يشير هذا إلى حدود المطالبات العقل البشريفي معرفة الواقع. وهذا يعني أننا لا نستطيع أن نقول إننا سنبني نوعًا من النظرية الشاملة للكون والتي ستشرح كل شيء - مثل هذه النظرية لا يمكن أن تكون علمية.

— كيف يشعر علماء الرياضيات الآن تجاه نظريات جودل؟ ألا يحاول أحد دحضهم أو الالتفاف حولهم بطريقة أو بأخرى؟

"إنها مثل محاولة دحض نظرية فيثاغورس." النظريات لديها دليل منطقي صارم. وفي الوقت نفسه، تُبذل محاولات لإيجاد قيود على إمكانية تطبيق نظريات جودل. لكن النقاش يدور بشكل رئيسي حول الآثار الفلسفية لنظريات جودل.

— إلى أي مدى تم تطوير برهان جودل على وجود الله؟ هل انتهى؟

"لقد تم إعداده بالتفصيل، على الرغم من أن العالم نفسه لم يجرؤ على نشره حتى وفاته". يطور غودل وجوديًا (ميتافيزيقيًا. - "إن إس") الحجة التي اقترحها أنسلم كانتربري لأول مرة. ويمكن تقديم هذه الحجة بشكل مكثف بالطريقة الآتية: «الله، بحكم التعريف، هو الذي لا يمكن تصور شيء أعظم منه. الله موجود في التفكير. لكن الوجود في الواقع أكثر من الوجود في الفكر فقط. لذلك، يجب أن يكون الله موجودًا." تم تطوير حجة أنسيلم لاحقًا بواسطة رينيه ديكارت وجوتفريد فيلهلم لايبنتز. وهكذا فإن التفكير في الكائن الكامل الأسمى، الذي يفتقر إلى الوجود، عند ديكارت، يعني الوقوع في تناقض منطقي. في سياق هذه الأفكار، طور جودل نسخته من الدليل؛ وهي تتلاءم حرفيًا مع صفحتين. لسوء الحظ، من المستحيل تقديم حجته دون تقديم أساسيات المنطق النموذجي المعقد للغاية.

وبطبيعة الحال، فإن خلو استنتاجات جودل من العيوب المنطقية لا يجبر الشخص على أن يصبح مؤمناً تحت ضغط قوة الأدلة. لا ينبغي أن نكون ساذجين ونعتقد أنه يمكننا إقناع أي شخص بذكاء رجل مفكرالإيمان بالله باستخدام حجة وجودية أو أدلة أخرى. يولد الإيمان عندما يواجه الإنسان وجهاً لوجه الحضور الواضح لحقيقة الله المتسامية الأسمى. لكن يمكننا تسمية شخص واحد على الأقل أدى إليه الدليل الوجودي الإيمان الديني- هذا هو الكاتب كلايف ستابلز لويس، هو نفسه اعترف بذلك.

المستقبل البعيد هو الماضي البعيد

— كيف تعامل المعاصرون مع جودل؟ هل كان صديقاً لأحد العلماء الكبار؟

— مساعد أينشتاين في برينستون يشهد على ذلك الشخص الوحيد، الذي كان معه أصدقاء السنوات الاخيرةالحياة، كان كيرت جودل. لقد كانا مختلفين في كل شيء تقريبًا - كان أينشتاين اجتماعيًا ومبهجًا، بينما كان جودل جادًا للغاية ووحيدًا تمامًا وغير واثق. ولكن كان لديهم الجودة الشاملة: كلاهما سار مباشرة وإخلاص نحو القضايا المركزيةالعلم والفلسفة. على الرغم من صداقته مع أينشتاين، كان لغودل وجهة نظره الخاصة حول الدين. لقد رفض فكرة وجود الله ككائن غير شخصي، كما كان الله بالنسبة لأينشتاين. وفي هذه المناسبة، قال جودل: «إن دين أينشتاين مجرد للغاية، مثل فلسفة سبينوزا والفلسفة الهندية. إله سبينوزا أقل من شخص. إلهي أكثر من مجرد شخص؛ لأن الله يستطيع أن يلعب دور الشخصية. قد تكون هناك أرواح ليس لها جسد، لكنها تستطيع التواصل معنا والتأثير على العالم".

- كيف انتهى الأمر بغودل في أمريكا؟ هرب من النازيين؟

- نعم، لقد جاء إلى أمريكا عام 1940 من ألمانيا، على الرغم من أن النازيين اعترفوا به كآري وعالم عظيم، وحررواه من الخدمة العسكرية. شق هو وزوجته أديل طريقهما عبر روسيا على طول خط السكة الحديد العابر لسيبيريا. ولم يترك أي ذكريات عن هذه الرحلة. أديل تتذكر فقط الخوف المستمرفي الليل، أنهم سوف يتوقفون ويعودون. وبعد ثماني سنوات من العيش في أمريكا، أصبح جودل مواطنًا أمريكيًا. مثل جميع المتقدمين للحصول على الجنسية، كان عليه أن يجيب على الأسئلة المتعلقة بالدستور الأمريكي. كونه شخصًا دقيقًا، فقد استعد لهذا الامتحان بعناية فائقة. وأخيراً قال إنه وجد تناقضاً في الدستور: "لقد اكتشفت احتمالاً مشروعاً منطقياً يمكن من خلاله أن تصبح الولايات المتحدة دكتاتورية". أدرك أصدقاؤه أنه، بغض النظر عن المزايا المنطقية لحجة جودل، فإن هذا الاحتمال كان افتراضيًا بطبيعته، وحذروا من التحدث مطولًا عن هذا الموضوع في الامتحان.

- هل استخدم جودل وآينشتاين أفكار بعضهما البعض؟ عمل علمي?

- في عام 1949، عبر جودل عن أفكاره الكونية في مقال رياضي، والذي كان، وفقًا لألبرت أينشتاين، مساهمة مهمة في النظرية النسبية العامة. اعتقد جودل أن الزمن - "ذلك الجوهر الغامض والمتناقض في نفس الوقت والذي يشكل أساس العالم ووجودنا" - سوف يصبح في نهاية المطاف الوهم الأكبر. "يومًا ما" سوف يتوقف عن الوجود، وسيأتي شكل آخر من الوجود، والذي يمكن أن يسمى الأبدية. أدت فكرة الزمن هذه بالمنطق العظيم إلى نتيجة غير متوقعة. كتب: «أنا مقتنع بالحياة الآخرة، بغض النظر عن اللاهوت. إذا كان العالم مصممًا بذكاء، فلا بد أن تكون هناك حياة آخرة."

- "الزمن كيان متناقض مع نفسه." يبدو غريبا. لديها بعض المعنى الجسدي?

- أظهر جودل أنه في إطار معادلة أينشتاين من الممكن بناء نموذج كوني ذو زمن مغلق، حيث يتزامن الماضي البعيد مع المستقبل البعيد. في هذا النموذج، يصبح السفر عبر الزمن ممكنًا من الناحية النظرية. قد يبدو الأمر غريبًا، لكنه يمكن التعبير عنه رياضيًا - وهذا هو بيت القصيد. قد يكون لهذا النموذج آثار تجريبية وقد لا يكون له. إنه بناء نظري قد يكون مفيدًا في بناء نماذج كونية جديدة، أو قد يتبين أنه غير ضروري. حديث الفيزياء النظرية، وخاصة علم الكونيات الكمي، لديه مثل هذا التعقيد البنية الرياضيةأن هذه الهياكل صعبة للغاية لإعطاء فهم فلسفي لا لبس فيه. علاوة على ذلك، فإن بعض تصميماتها النظرية غير قابلة للاختبار تجريبيًا حتى الآن لسبب بسيط وهو أن التحقق منها يتطلب الكشف عن جسيمات عالية الطاقة للغاية. تذكر كيف انزعج الناس من إطلاق مصادم الهادرونات الكبير: الوسائل وسائل الإعلام الجماهيريةيخيف الناس باستمرار مع اقتراب نهاية العالم. في الواقع، تم أخذ الأمر على محمل الجد تجربة علميةعلى فحص النموذج علم الكونيات الكموما يسمى بـ "النظريات الموحدة الكبرى". إذا كان من الممكن اكتشاف ما يسمى بجسيمات هيغز، فستكون هذه هي الخطوة التالية في فهمنا لأكبر قدر ممكن المراحل الأولىوجود الكون لدينا. ولكن على الرغم من عدم وجود بيانات تجريبية، فإن النماذج المنافسة لعلم الكون الكمي لا تزال مجرد نماذج رياضية.

الإيمان والحدس

— "...إلهي أكثر من مجرد شخص؛ لأن الله يستطيع أن يلعب دور الإنسان..." ومع ذلك، فإن إيمان جودل بعيد عن الاعتراف الأرثوذكسي؟

— لم يبق سوى عدد قليل جدًا من تصريحات جودل حول عقيدته؛ وقد تم جمعها شيئًا فشيئًا. على الرغم من حقيقة أن المسودات الأولى النسخة الخاصةوقد قدم جودل هذه الحجة في عام 1941، وحتى عام 1970، خوفًا من سخرية زملائه، لم يتحدث عنها. وفي فبراير 1970، عندما شعر باقتراب الموت، سمح لمساعده بنسخ نسخة من برهانه. بعد وفاة جودل عام 1978، تم اكتشاف نسخة مختلفة قليلاً من الحجة الوجودية في أوراقه. قالت أديل، زوجة كورت جودل، بعد يومين من وفاة زوجها إن جودل، "على الرغم من أنه لم يذهب إلى الكنيسة، كان متدينًا وكان يقرأ الكتاب المقدس في السرير صباح كل يوم أحد".

عندما نتحدث عن علماء مثل جودل أو أينشتاين أو جاليليو أو نيوتن، فمن المهم التأكيد على أنهم لم يكونوا ملحدين. لقد رأوا أن خلف الكون يوجد عقل، نوع من القوة العليا. عند كثير من العلماء الإيمان بالوجود الاستخبارات العلياكان من نتائج تفكيرهم العلمي، وهذا التفكير لم يؤد دائما إلى ظهور علاقة دينية عميقة بين الإنسان والله. وفيما يتعلق بغودل، يمكننا القول إنه شعر بالحاجة إلى هذا الارتباط، لأنه أكد على أنه مؤمن ويفكر في الله كشخص. ولكن، بالطبع، لا يمكن أن يسمى إيمانه الأرثوذكسية. لقد كان، إذا جاز التعبير، "اللوثري المنزلي".

- يمكنك ان تعطي أمثلة تاريخية: كيف توصل العلماء المختلفون إلى الإيمان بالله؟ وها هو عالم الوراثة فرانسيس كولينز، بحسب اعترافاته، دراسة بنية الحمض النووي قادته إلى الإيمان بالله...

- المعرفة الطبيعية بالله في حد ذاتها ليست كافية لمعرفة الله. لا يكفي اكتشاف الله من خلال دراسة الطبيعة، بل من المهم أن نتعلم معرفته من خلال الإعلان الذي أعطاه الله للإنسان. إن وصول الإنسان إلى الإيمان، سواء كان عالماً أم لا، يعتمد دائماً على شيء يتجاوز مجرد الحجج المنطقية أو العلمية. يكتب فرانسيس كولينز أنه جاء إلى الإيمان في سن السابعة والعشرين بعد نقاش فكري طويل مع نفسه وتحت تأثير كلايف ستابلز لويس. هناك شخصان في نفس الوضع التاريخي، في نفس الظروف الأولية: يصبح أحدهما مؤمنًا والآخر ملحدًا. أولاً، تؤدي دراسة الحمض النووي إلى الإيمان بوجود الله. دراسات أخرى ولم تصل إلى هذا الاستنتاج. شخصان ينظران إلى الصورة: أحدهما يعتقد أنها جميلة، والآخر يقول: "هكذا، صورة عادية!" أحدهما لديه الذوق والحدس والآخر لا. أستاذ الأرثوذكسية القديس تيخون الجامعة الإنسانيةفلاديمير نيكولاييفيتش كاتاسونوف، طبيب العلوم الفلسفيةيقول عالم رياضيات متدرب: «لا يوجد برهان في الرياضيات ممكن بدون حدس: عالم الرياضيات يرى الصورة أولًا، ثم يصوغ البرهان.»

إن مسألة وصول الإنسان إلى الإيمان هي دائمًا مسألة تتجاوز مجرد التفكير المنطقي. كيف يمكنك أن تشرح ما الذي دفعك إلى الإيمان؟ يجيب الرجل: ذهبت إلى الهيكل، فكرت، قرأت هذا وذاك، ورأيت انسجام الكون؛ لكن اللحظة الأكثر أهمية واستثنائية، التي يعرف فيها الإنسان فجأة أنه التقى بحضور الله، لا يمكن التعبير عنها. إنه دائما لغزا.

- يمكنك تحديد المشكلات التي لا يمكنك حلها العلم الحديث?

- في نهاية المطاف، العلم هو مؤسسة واثقة ومستقلة ومتقدمة بما فيه الكفاية للتحدث بهذه القسوة. إنها أداة جيدة ومفيدة للغاية في أيدي البشر. منذ زمن فرانسيس بيكون، أصبحت المعرفة حقًا قوة غيرت العالم. يتطور العلم وفق قوانينه الداخلية: فالعالم يجتهد في فهم قوانين الكون، ولا شك أن هذا البحث سيؤدي إلى نجاحه. ولكن في الوقت نفسه، من الضروري الاعتراف بحدود العلم. لا ينبغي الخلط بين العلم وتلك الأسئلة الأيديولوجية التي يمكن طرحها فيما يتعلق بالعلم. إن المشاكل الرئيسية اليوم لا تتعلق بالمنهج العلمي بقدر ما تتعلق بتوجهات القيمة. كان الناس ينظرون إلى العلم خلال القرن العشرين الطويل على أنه خير مطلق يساهم في تقدم البشرية؛ ونرى أن القرن العشرين أصبح الأكثر قسوة من حيث الخسائر البشرية. وهنا يطرح سؤال القيم التقدم العلميالمعرفة بشكل عام. القيم الأخلاقية لا تنبع من العلم نفسه. يمكن لعالم لامع أن يخترع سلاحا لتدمير البشرية جمعاء، وهذا يثير تساؤلا حول المسؤولية الأخلاقية للعالم، وهو ما لا يستطيع العلم الإجابة عليه. لا يمكن للعلم أن يوضح للإنسان معنى وجوده والغرض منه. لن يتمكن العلم أبدًا من الإجابة على سؤال لماذا نحن هنا؟ لماذا الكون موجود؟ يتم حل هذه الأسئلة على مستوى آخر من المعرفة، مثل الفلسفة والدين.

— إلى جانب نظريات جودل، هل هناك أي دليل آخر على أن المنهج العلمي له حدوده؟ فهل يعترف العلماء أنفسهم بذلك؟

— بالفعل في بداية القرن العشرين، أشار الفلاسفة بيرجسون وهوسرل قيمة ذات صلة معرفة علميةطبيعة. لقد أصبح الآن اعتقادًا عالميًا تقريبًا بين فلاسفة العلوم بأن النظريات العلمية تمثل نماذج افتراضية لتفسير الظواهر. أحد المبدعين ميكانيكا الكم- قال إروين شرودنغر ذلك الجسيمات الأوليةهي مجرد صور، ولكن يمكننا الاستغناء عنها بسهولة. وفقا للفيلسوف وعالم المنطق كارل بوبر، فإن النظريات العلمية هي مثل الشبكة التي نحاول من خلالها التقاط العالم، فهي ليست مثل الصور الفوتوغرافية. النظريات العلميةتقع في التطور المستمروالتغيير. لقد تحدث مبدعو ميكانيكا الكم، مثل باولي، وبور، وهايزنبرغ، عن حدود المنهج العلمي. كتب باولي: "... يمكن اعتبار الفيزياء والنفس جوانب إضافية لنفس الواقع" - وأكد على عدم قابلية الاختزال مستويات أعلىيجري إلى الدنيا. تغطي التفسيرات المختلفة جانبًا واحدًا فقط من المادة في كل مرة، لكن لن يتم التوصل إلى نظرية شاملة أبدًا.

إن جمال الكون وانسجامه يفترض إمكانية معرفته الأساليب العلمية. وفي الوقت نفسه، فهم المسيحيون دائمًا عدم فهم السر الكامن وراء هذا الكون المادي. الكون ليس له أساس في حد ذاته ويشير إلى المصدر المثالي للوجود - الله.

أي نظام من البديهيات الرياضية يبدأ من مستوى معينالتعقيد إما متناقض داخليا أو غير مكتمل.

في عام 1900، عُقد المؤتمر العالمي لعلماء الرياضيات في باريس، حيث قدم ديفيد هيلبرت (1862-1943) في شكل أطروحات أهم 23 مشكلة، في رأيه، كان على منظري القرن العشرين القادم حلها. وكان الرقم اثنين في قائمته واحدا من هؤلاء مهام بسيطة، الإجابة التي تبدو واضحة حتى تتعمق قليلاً. تكلم لغة حديثةكان السؤال: هل الرياضيات مكتفية ذاتيا؟ تتلخص مهمة هيلبرت الثانية في الحاجة إلى إثبات أن النظام صارم البديهيات- البيانات الأساسية المتخذة كأساس في الرياضيات دون إثبات - مثالية وكاملة، أي أنها تسمح للمرء بالوصف الرياضي لكل شيء موجود. كان من الضروري إثبات أنه من الممكن تحديد مثل هذا النظام من البديهيات بحيث يكون، أولاً، متسقًا بشكل متبادل، وثانيًا، يمكن استخلاص استنتاج بشأن صحة أو زيف أي بيان.

لنأخذ مثالاً من الهندسة المدرسية. معيار قياس المخططات الإقليدية(الهندسة المستوية) يمكن للمرء أن يثبت دون قيد أو شرط أن العبارة "مجموع زوايا المثلث 180 درجة" صحيحة، والعبارة "مجموع زوايا المثلث 137 درجة" خاطئة. بشكل أساسي، في الهندسة الإقليدية، أي عبارة إما أن تكون خاطئة أو صحيحة، ولا يوجد خيار ثالث. وفي بداية القرن العشرين، اعتقد علماء الرياضيات بسذاجة أنه ينبغي ملاحظة نفس الوضع في أي نظام متسق منطقيا.

وبعد ذلك، في عام 1931، نشر عالم الرياضيات من فيينا، كورت جودل، الذي يرتدي نظارة طبية، مقالًا قصيرًا أزعج ببساطة عالم ما يسمى "المنطق الرياضي" بأكمله. وبعد ديباجات رياضية ونظرية طويلة ومعقدة، أسس حرفيًا ما يلي. لنأخذ أي عبارة مثل: "الافتراض رقم 247 في هذا النظام من البديهيات غير قابل للإثبات منطقيًا" ونطلق عليه "البيان أ". لذا، أثبت جودل ببساطة ما يلي خاصية مذهلة أيالأنظمة البديهية:

"إذا كان بإمكانك إثبات العبارة أ، فيمكنك إثبات العبارة غير أ."

وبعبارة أخرى، إذا أمكن إثبات صحة عبارة “الفرضية 247 لا "يمكن إثباته"، فمن الممكن إثبات صحة عبارة "الفرضية 247 يمكن إثباته" أي بالعودة إلى صياغة مشكلة هيلبرت الثانية، إذا كان نظام البديهيات كاملاً (أي يمكن إثبات أي عبارة فيه)، فهو متناقض.

السبيل الوحيد للخروج من هذا الوضع هو قبول نظام غير مكتمل من البديهيات. وهذا يعني أنه يتعين علينا أن نتحمل حقيقة أنه في سياق أي نظام منطقي، ستظل لدينا عبارات من "النوع أ" من الواضح أنها صحيحة أو خاطئة - ولا يمكننا الحكم إلا على صحتها الخارجإطار البديهيات التي اعتمدناها. إذا لم تكن هناك مثل هذه العبارات، فإن بديهياتنا متناقضة، وفي إطارها ستكون هناك حتما صيغ يمكن إثباتها ودحضها.

هكذا الصياغة أولاً،أو ضعيف نظريات عدم الاكتمال لجودل: "أي نظام رسمي من البديهيات يحتوي على افتراضات لم يتم حلها." لكن جودل لم يتوقف عند هذا الحد، بل قام بالصياغة والإثبات ثانية،أو قوي نظرية عدم الاكتمال لجودل: "لا يمكن إثبات الاكتمال المنطقي (أو عدم الاكتمال) لأي نظام من البديهيات في إطار هذا النظام. ولإثبات ذلك أو دحضه، يلزم وجود بديهيات إضافية (تقوية النظام)."

سيكون من الآمن الاعتقاد بأن نظريات جودل مجردة بطبيعتها ولا تهمنا، بل فقط مجالات المنطق الرياضي السامي، ولكن في الواقع اتضح أنها مرتبطة بشكل مباشر ببنية الدماغ البشري. أظهر عالم الرياضيات والفيزياء الإنجليزي روجر بنروز (مواليد 1931) أنه يمكن استخدام نظريات جودل لإثبات وجود اختلافات جوهرية بين الدماغ البشري والكمبيوتر. معنى تفكيره بسيط. يتصرف الكمبيوتر بشكل منطقي تمامًا ولا يستطيع تحديد ما إذا كانت العبارة (أ) صحيحة أم خاطئة إذا تجاوزت البديهيات، ومثل هذه العبارات، وفقًا لنظرية جودل، موجودة حتمًا. إن الشخص الذي يواجه مثل هذا البيان A الذي لا يمكن إثباته ولا يمكن دحضه منطقيًا، يكون قادرًا دائمًا على تحديد صحته أو كذبه - بناءً على التجربة اليومية. على الأقل في هذا العقل البشريمتفوقة على جهاز كمبيوتر ملزمة نقية الدوائر المنطقية. إن العقل البشري قادر على فهم العمق الكامل للحقيقة الواردة في نظريات جودل، ولكن دماغ الكمبيوتر لا يستطيع ذلك أبداً. ولذلك فإن العقل البشري ليس سوى جهاز كمبيوتر. إنه قادر قرارات، وسوف يجتاز اختبار تورينج.

أتساءل عما إذا كان لدى هيلبرت أي فكرة إلى أي مدى ستقودنا أسئلته؟

كورت جودل، 1906-1978

عالم رياضيات نمساوي، ثم أمريكي. ولد في برون (الآن برنو، جمهورية التشيك). تخرج من جامعة فيينا حيث بقي مدرسا في قسم الرياضيات (منذ عام 1930 - أستاذ). في عام 1931 نشر نظرية سميت فيما بعد باسمه. نظرًا لكونه شخصًا غير سياسي تمامًا، فقد واجه وقتًا عصيبًا للغاية مع مقتل صديقه وزميله في القسم على يد طالب نازي، وسقط في اكتئاب عميق، طاردته انتكاساته لبقية حياته. في الثلاثينيات هاجر إلى الولايات المتحدة، لكنه عاد إلى موطنه النمسا وتزوج. وفي عام 1940، في ذروة الحرب، اضطر إلى الفرار إلى أمريكا عبر الاتحاد السوفييتي واليابان. عمل لبعض الوقت في معهد برينستون للدراسات المتقدمة. ولسوء الحظ، لم تحتمل نفسية العالم ذلك، ومات في مصحة نفسية من الجوع، رافضاً الأكل، لأنه كان مقتنعاً بأنهم سوف يسممونه.

أي نظام من البديهيات الرياضية، يبدأ من مستوى معين من التعقيد، يكون إما متناقضًا داخليًا أو غير مكتمل.

في عام 1900، عُقد المؤتمر العالمي لعلماء الرياضيات في باريس، حيث قدم ديفيد هيلبرت (1862-1943) في شكل أطروحات أهم 23 مشكلة، في رأيه، كان على المنظرين في القرن العشرين القادم حلها. كانت المشكلة الثانية في قائمته واحدة من تلك المسائل البسيطة التي تبدو إجابتها واضحة حتى تتعمق فيها قليلًا. في المصطلحات الحديثة، كان هذا هو السؤال: هل الرياضيات مكتفية ذاتيا؟ تتلخص مهمة هيلبرت الثانية في الحاجة إلى إثبات أن نظام البديهيات - البيانات الأساسية المعتمدة في الرياضيات كأساس دون دليل - مثالي وكامل، أي أنه يسمح لك بوصف كل ما هو موجود رياضيًا. كان من الضروري إثبات أنه من الممكن تحديد مثل هذا النظام من البديهيات بحيث يكون، أولاً، متسقًا بشكل متبادل، وثانيًا، يمكن استخلاص استنتاج بشأن صحة أو زيف أي بيان.

لنأخذ مثالاً من الهندسة المدرسية. في القياس الإقليدي القياسي (هندسة المستوى)، يمكن إثبات بما لا يدع مجالًا للشك أن عبارة "مجموع زوايا المثلث 180 درجة" صحيحة، وعبارة "مجموع زوايا المثلث 137 درجة" °" خطأ. بشكل أساسي، في الهندسة الإقليدية، أي عبارة إما أن تكون خاطئة أو صحيحة، ولا يوجد خيار ثالث. وفي بداية القرن العشرين، اعتقد علماء الرياضيات بسذاجة أنه ينبغي ملاحظة نفس الوضع في أي نظام متسق منطقيا.

وبعد ذلك، في عام 1931، نشر عالم الرياضيات من فيينا، كورت جودل، الذي يرتدي نظارة طبية، مقالًا قصيرًا أزعج ببساطة عالم ما يسمى "المنطق الرياضي" بأكمله. وبعد ديباجات رياضية ونظرية طويلة ومعقدة، أسس حرفيًا ما يلي. لنأخذ أي عبارة مثل: "الافتراض رقم 247 في هذا النظام من البديهيات غير قابل للإثبات منطقيًا" ونطلق عليه "البيان أ". لذلك، أثبت جودل ببساطة الخاصية المذهلة التالية لأي نظام من البديهيات:

"إذا كان بإمكانك إثبات العبارة أ، فيمكنك إثبات العبارة غير أ."

بمعنى آخر، إذا أمكن إثبات صحة عبارة "الافتراض 247 غير قابل للإثبات"، فيمكن أيضًا إثبات صحة عبارة "الافتراض 247 غير قابل للإثبات". أي بالعودة إلى صياغة مشكلة هيلبرت الثانية، إذا كان نظام البديهيات كاملاً (أي يمكن إثبات أي عبارة فيه)، فهو متناقض.

السبيل الوحيد للخروج من هذا الوضع هو قبول نظام غير مكتمل من البديهيات. وهذا يعني أنه يتعين علينا أن نتحمل حقيقة أنه في سياق أي نظام منطقي، ستظل لدينا عبارات من "النوع أ" من الواضح أنها صحيحة أو خاطئة - ولا يمكننا الحكم على حقيقتها إلا خارج إطار البديهيات التي لدينا قبلت. إذا لم تكن هناك مثل هذه العبارات، فإن بديهياتنا متناقضة، وفي إطارها ستكون هناك حتما صيغ يمكن إثباتها ودحضها.

لذا، فإن صياغة نظرية عدم الاكتمال الأولى أو الضعيفة لغودل هي: "أي نظام رسمي من البديهيات يحتوي على افتراضات لم يتم حلها". لكن جودل لم يتوقف عند هذا الحد، حيث قام بصياغة وإثبات نظرية عدم الاكتمال الثانية أو القوية لجودل: “لا يمكن إثبات الاكتمال المنطقي (أو عدم الاكتمال) لأي نظام من البديهيات في إطار هذا النظام. ولإثبات ذلك أو دحضه، يلزم وجود بديهيات إضافية (تقوية النظام)."

سيكون من الآمن الاعتقاد بأن نظريات جودل مجردة بطبيعتها ولا تهمنا، بل فقط مجالات المنطق الرياضي السامي، ولكن في الواقع اتضح أنها مرتبطة بشكل مباشر ببنية الدماغ البشري. أظهر عالم الرياضيات والفيزياء الإنجليزي روجر بنروز (مواليد 1931) أنه يمكن استخدام نظريات جودل لإثبات وجود اختلافات جوهرية بين الدماغ البشري والكمبيوتر. معنى تفكيره بسيط. يتصرف الكمبيوتر بشكل منطقي تمامًا ولا يستطيع تحديد ما إذا كانت العبارة A صحيحة أم خاطئة إذا تجاوزت البديهيات، ومثل هذه العبارات، وفقًا لنظرية جودل، موجودة حتمًا. إن الشخص الذي يواجه مثل هذا البيان A الذي لا يمكن إثباته ولا يمكن دحضه منطقيًا، يكون دائمًا قادرًا على تحديد صحته أو كذبه - بناءً على التجربة اليومية. وعلى الأقل في هذا الصدد، يتفوق العقل البشري على الكمبيوتر المقيد بدوائر منطقية خالصة. إن العقل البشري قادر على فهم العمق الكامل للحقيقة الواردة في نظريات جودل، ولكن عقل الكمبيوتر لا يستطيع ذلك أبدًا. ولذلك فإن العقل البشري ليس سوى جهاز كمبيوتر. إنه قادر على اتخاذ القرارات والاختبار سوف يمر تورينجبنجاح.

أتساءل عما إذا كان لدى هيلبرت أي فكرة إلى أي مدى ستقودنا أسئلته؟

كورت جودل
كورت جودل، 1906–78

التعليقات: 0

كيف يتطور النموذج العلمي في علوم طبيعية؟ إن الخبرة اليومية أو العلمية متراكمة، وتصاغ معالمها بعناية في شكل مسلمات وتشكل أساس النموذج: مجموعة من العبارات المقبولة من قبل كل من يعمل في إطار هذا النموذج.

أناتولي واسرمان

في عام 1930، أثبت كورت جودل نظريتين، عند ترجمتهما من لغة رياضية إلى لغة بشرية، تعنيان تقريبًا ما يلي: أي نظام من البديهيات غني بما يكفي لاستخدامه في تعريف الحساب سيكون إما غير مكتمل أو متناقض. لا نظام كامل- وهذا يعني أنه من الممكن في النظام صياغة عبارة لا يمكن إثباتها أو دحضها بوسائل هذا النظام. لكن الله، بحكم تعريفه، هو السبب النهائي لجميع الأسباب. ومن وجهة نظر الرياضيات، فهذا يعني أن إدخال البديهية عن الله يكمل بديهياتنا بأكملها. إذا كان هناك إله، فيمكن إثبات أو دحض أي بيان، بالإشارة إلى الله بطريقة أو بأخرى. لكن وفقًا لغودل، فإن النظام الكامل للبديهيات متناقض حتماً. وهذا هو، إذا كنا نعتقد أن الله موجود، فإننا مجبرون على التوصل إلى استنتاج مفاده أن التناقضات ممكنة في الطبيعة. وبما أنه لا توجد تناقضات، وإلا فإن عالمنا كله سوف ينهار من هذه التناقضات، علينا أن نصل إلى نتيجة مفادها أن وجود الله لا يتوافق مع وجود الطبيعة.

سوسينسكي أ.ب.

تعتبر نظرية جودل، إلى جانب اكتشافات النسبية وميكانيكا الكم والحمض النووي، أكبر نظرية على الإطلاق. الإنجاز العلميالقرن العشرين. لماذا؟ ما هو جوهرها؟ ما هي أهميته؟ هذه الأسئلة في محاضرته ضمن المشروع “ محاضرات عامة"Polit.ru" يكشف عن أليكسي برونيسلافوفيتش سوسينسكي، عالم رياضيات، أستاذ في جامعة موسكو المستقلة، ضابط وسام السعف الأكاديمي للجمهورية الفرنسية، الحائز على جائزة الحكومة الروسية في مجال التعليم عام 2012. على وجه الخصوص، تم تقديم عدة صيغ مختلفة لها، وتم وصف ثلاث طرق لإثباتها (كولموغوروف، تشايتين وغودل نفسه)، وأهميتها بالنسبة للرياضيات والفيزياء والفيزياء. علوم الكمبيوتروالفلسفة.

أوسبنسكي ف.أ.

المحاضرة مخصصة للنسخة النحوية من نظرية عدم الاكتمال لجودل. أثبت جودل بنفسه النسخة النحوية باستخدام افتراض أقوى من الاتساق، وهو ما يسمى بتناسق أوميغا.

أوسبنسكي ف.أ.

محاضرات مدرسة صيفية « الرياضيات الحديثة"، دوبنا.

من أشهر النظريات في المنطق الرياضي نظرية الحظ وسيئ الحظ في نفس الوقت. وهي في هذا تشبه النظرية النسبية الخاصة لأينشتاين. من ناحية، سمع الجميع تقريبا شيئا عنهم. ومن ناحية أخرى، في التفسير الشعبي، فإن نظرية أينشتاين كما هو معروف، "يقول أن كل شيء في العالم نسبي". ونظرية جودل حول عدم الاكتمال (المشار إليها فيما يلي ببساطة بـ TGN)، بنفس الصياغة الشعبية الحرة تقريبًا، "يثبت أن هناك أشياء غير مفهومة للعقل البشري". ولذلك يحاول البعض تكييفها كحجة ضد المادية، بينما البعض الآخر، على العكس من ذلك، يثبتون بمساعدتها أنه لا يوجد إله. الشيء المضحك ليس فقط أن كلا الطرفين لا يمكن أن يكونا على حق في نفس الوقت، ولكن أيضًا أنه لا أحد ولا الآخر يهتم بمعرفة ما تنص عليه هذه النظرية فعليًا.

وماذا في ذلك؟ أدناه سأحاول أن أخبركم عن ذلك "على الأصابع". سيكون عرضي بالطبع غير صارم وبديهي، لكنني سأطلب من علماء الرياضيات ألا يحكموا علي بصرامة. من الممكن بالنسبة لغير علماء الرياضيات (وأنا واحد منهم في الواقع) أن يكون هناك شيء جديد ومفيد فيما هو موضح أدناه.

المنطق الرياضي هو في الواقع علم معقد إلى حد ما، والأهم من ذلك أنه ليس مألوفا للغاية. فهو يتطلب مناورات دقيقة وصارمة، ومن المهم فيها عدم الخلط بين ما تم إثباته بالفعل وبين ما هو «واضح بالفعل». ومع ذلك، آمل أن يفهم القارئ "المخطط التفصيلي لإثبات TGN" التالي أن القارئ يحتاج فقط إلى معرفة الرياضيات المدرسية / علوم الكمبيوتر والمهارات التفكير المنطقيو15-20 دقيقة من الوقت.

تبسيطًا إلى حد ما، تؤكد TGN أنه في اللغات المعقدة بما فيه الكفاية توجد عبارات غير قابلة للإثبات. ولكن في هذه العبارة تقريبا كل كلمة تحتاج إلى شرح.

لنبدأ بمحاولة معرفة ما هو الدليل. لنأخذ بعض المسائل الحسابية المدرسية. على سبيل المثال، لنفترض أنك بحاجة إلى إثبات صحة الصيغة البسيطة التالية: "" (دعني أذكرك أن الرمز يقرأ "لأي" ويسمى "المُحدِّد الكمي العالمي"). يمكنك إثبات ذلك عن طريق تحويله بشكل مماثل، على سبيل المثال، مثل هذا:

يتم الانتقال من صيغة إلى أخرى وفقًا لقواعد معينة معروفة. حدث الانتقال من الصيغة الرابعة إلى الصيغة الخامسة، على سبيل المثال، لأن كل رقم يساوي نفسه - هذه بديهية حسابية. وبالتالي، فإن إجراء الإثبات بأكمله يترجم الصيغة إلى القيمة المنطقية TRUE. يمكن أن تكون النتيجة أيضًا كذبة - إذا دحضنا بعض الصيغ. وفي هذه الحالة نثبت إنكاره. ويمكن للمرء أن يتخيل برنامجًا (وقد تمت كتابة مثل هذه البرامج بالفعل) من شأنه أن يثبت عبارات مماثلة (وأكثر تعقيدًا) دون تدخل بشري.

دعونا نذكر نفس الشيء بشكل أكثر رسمية. لنفترض أن لدينا مجموعة تتكون من سلاسل من أحرف بعض الحروف الأبجدية، وهناك قواعد يمكننا من خلالها اختيار مجموعة فرعية مما يسمى صياغات- أي عبارات ذات معنى نحويا، كل منها صحيح أو خطأ. يمكننا القول أن هناك دالة تربط البيانات بإحدى القيمتين: TRUE أو FALSE (أي تعيينها إلى مجموعة منطقية من عنصرين).

دعنا نسمي هذا الزوج - مجموعة من العبارات والدالة من إلى - "لغة التصريحات". لاحظ أنه بالمعنى اليومي فإن مفهوم اللغة أوسع إلى حد ما. على سبيل المثال، العبارة الروسية "تعال الى هنا!"لا صحيح ولا خطأ، أي من وجهة نظر المنطق الرياضي، فهو ليس بيانا.

لما يلي، نحن بحاجة إلى مفهوم الخوارزمية. ولن أعطي تعريفًا رسميًا لها هنا - فهذا من شأنه أن يضلنا كثيرًا. سأقتصر على الحديث غير الرسمي: "الخوارزمية"عبارة عن سلسلة من التعليمات الواضحة ("البرنامج") التي خلف الرقم النهائيخطواتيحول البيانات المصدر إلى نتائج. ما هو مكتوب بالخط المائل مهم بشكل أساسي - إذا كان البرنامج يتكرر على بعض البيانات الأولية، فإنه لا يصف الخوارزمية. من أجل التبسيط والتطبيق على حالتنا، يمكن للقارئ أن يعتبر أن الخوارزمية هي برنامج مكتوب بأي لغة برمجة معروفة له، والتي، بالنسبة لأي بيانات مدخلة من فئة معينة، مضمونة لإكمال عملها مما يؤدي إلى نتيجة منطقية.

دعونا نسأل أنفسنا: لكل وظيفة هناك "خوارزمية إثبات" (أو باختصار: "استنتاجي")، أي ما يعادل هذه الوظيفة، أي تحويل كل عبارة إلى نفس القيمة المنطقية تمامًا مثلها؟ ويمكن صياغة نفس السؤال بشكل أكثر إيجازا على النحو التالي: هل كل وظيفة أكثر من مجموعة من البيانات قابلة للحساب؟ كما خمنت بالفعل، من صلاحية TGN، يترتب على ذلك أنه لا، ليست كل وظيفة - هناك وظائف غير قابلة للحساب من هذا النوع. وبعبارة أخرى، لا يمكن إثبات كل عبارة صحيحة.

من المحتمل جدًا أن يثير هذا البيان احتجاجًا داخليًا بداخلك. هذا يرجع إلى عدة ظروف. أولاً، عندما نتعلم الرياضيات المدرسية، ثم في بعض الأحيان يكون هناك انطباع خاطئ عن الهوية الكاملة تقريبًا للعبارات "النظرية صحيحة" و"يمكن إثبات النظرية أو التحقق منها". لكن، إذا فكرت في الأمر، فستجد أن هذا ليس واضحًا على الإطلاق. يتم إثبات بعض النظريات بكل بساطة (على سبيل المثال، من خلال تجربة عدد صغير من الخيارات)، في حين أن البعض الآخر يكون صعبًا للغاية. خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، نظرية فيرما الأخيرة الشهيرة:

تم العثور على دليل على ذلك بعد ثلاثة قرون ونصف فقط من الصياغة الأولى (وهو بعيد عن أن يكون أوليًا). ومن الضروري التمييز بين حقيقة البيان وإمكانية إثباته. لا يترتب على ذلك من أي مكان أنه لا توجد بيانات صحيحة ولكن غير قابلة للإثبات (ولا يمكن التحقق منها بالكامل).

الحجة البديهية الثانية ضد TGN هي أكثر دقة. لنفترض أن لدينا بعض العبارات غير القابلة للإثبات (في إطار هذا الاستنتاج). وما الذي يمنعنا من قبولها كبديهية جديدة؟ وبالتالي، فإننا سنعقد نظام الأدلة لدينا قليلا، لكنه ليس مخيفا. ستكون هذه الحجة صحيحة تمامًا إذا كان هناك عدد محدود من العبارات غير القابلة للإثبات. في الممارسة العملية، يمكن أن يحدث ما يلي: بعد افتراض بديهية جديدة، تتعثر على عبارة جديدة غير قابلة للإثبات. إذا قبلتها كبديهية أخرى، فسوف تتعثر في الثالثة. وهكذا إلى ما لا نهاية. يقولون أن الخصم سيبقى غير مكتمل. يمكننا أيضًا إجبار خوارزمية الاختبار على الانتهاء في عدد محدود من الخطوات مع بعض النتائج لأي نطق في اللغة. ولكن في الوقت نفسه، سيبدأ في الكذب - مما يؤدي إلى الحقيقة من خلال تصريحات غير صحيحة، أو الأكاذيب - للمؤمنين. وفي مثل هذه الحالات يقولون ذلك الخصم متناقض. وبالتالي، فإن صياغة أخرى لـ TGN تبدو كما يلي: "هناك لغات افتراضية يكون الاستنباط الكامل المتسق فيها مستحيلاً" - ومن هنا جاء اسم النظرية.

تسمى أحيانًا "نظرية جودل"، وهي عبارة عن أن أي نظرية تحتوي على مشاكل لا يمكن حلها في إطار النظرية نفسها وتتطلب تعميمها. وهذا صحيح إلى حد ما، على الرغم من أن هذه الصياغة تميل إلى حجب القضية بدلاً من توضيحها.

سألاحظ أيضًا أنه إذا كنا نتحدث عن وظائف مألوفة تربط مجموعة من الأرقام الحقيقية بها، فإن "عدم قابلية الحساب" للوظيفة لن يفاجئ أي شخص (فقط لا تخلط بين "الوظائف القابلة للحساب" و"الأرقام القابلة للحساب" " - هذه أشياء مختلفة). يعرف أي تلميذ أنه، على سبيل المثال، في حالة وجود دالة، يجب أن تكون محظوظًا جدًا بالوسيطة حتى تتمكن من عملية حساب القيمة الدقيقة التمثيل العشريتنتهي قيمة هذه الدالة بعدد محدود من الخطوات. لكن على الأرجح ستحسبها باستخدام سلسلة لا نهائية، ولن تؤدي هذه العملية الحسابية أبدًا إلى نتيجة دقيقة، على الرغم من أنها يمكن أن تقترب من النتيجة التي تريدها - وذلك ببساطة لأن قيمة جيب الجيب لمعظم الوسائط غير عقلانية. تخبرنا TGN ببساطة أنه حتى بين الوظائف التي تكون وسيطاتها عبارة عن سلاسل وقيمها صفر أو واحد، هناك أيضًا وظائف غير قابلة للحساب، على الرغم من أنها مبنية بطريقة مختلفة تمامًا.

ولأغراض أخرى، سوف نقوم بوصف "لغة الحساب الرسمي". خذ بعين الاعتبار فئة من السلاسل النصية ذات الطول المحدود، والتي تتكون من أرقام عربية ومتغيرات (حروف الأبجدية اللاتينية)، يستلم القيم الطبيعية، مسافات، أحرف عمليات حسابيةوالمساواة وعدم المساواة، والمحددات الكمية ("موجود") و ("لأي")، وربما بعض الرموز الأخرى (عددها الدقيق وتكوينها غير مهم بالنسبة لنا). من الواضح أنه ليست كل هذه الأسطر ذات معنى (على سبيل المثال، "" هراء). المجموعة الفرعية من التعبيرات ذات المعنى من هذه الفئة (أي السلاسل الصحيحة أو الخاطئة من وجهة نظر الحساب العادي) ستكون مجموعتنا من البيانات.

أمثلة على البيانات الحسابية الرسمية:

إلخ. الآن دعنا نطلق على "صيغة ذات معلمة حرة" (FSP) سلسلة تصبح بيانًا إذا تم استبدال رقم طبيعي فيها بهذه المعلمة. أمثلة على FSP (مع المعلمة):

إلخ. بمعنى آخر، FSPs مكافئة لوظائف الوسيطة الطبيعية ذات القيم المنطقية.

دعونا نشير إلى مجموعة جميع مقدمي الخدمات المالية بالحرف . من الواضح أنه يمكن ترتيبها (على سبيل المثال، نكتب أولاً صيغًا مكونة من حرف واحد مرتبة أبجديًا، تليها صيغ مكونة من حرفين، وما إلى ذلك؛ ليس من المهم بالنسبة لنا أي أبجدية سيتم الترتيب). وبالتالي فإن أي FSP يتوافق مع رقمه في القائمة المرتبة وسنشير إليه.

دعنا ننتقل الآن إلى رسم تخطيطي لإثبات TGN بالصيغة التالية:

بالنسبة للغة الافتراضية للحساب الرسمي، لا يوجد نظام استنتاجي متسق وكامل.

وسنثبت ذلك بالتناقض.

لذلك، دعونا نفترض أن مثل هذا النظام الاستنتاجي موجود. دعونا نصف الخوارزمية المساعدة التالية، والتي تقوم بتعيين قيمة منطقية لعدد طبيعي على النحو التالي:

ببساطة، تنتج الخوارزمية القيمة TRUE إذا وفقط إذا كانت نتيجة استبدال رقمها الخاص في FSP في قائمتنا تعطي بيانًا خاطئًا.

وصلنا هنا إلى المكان الوحيد الذي سأطلب فيه من القارئ أن يصدق كلامي.

من الواضح أنه، في ظل الافتراض المذكور أعلاه، يمكن مقارنة أي FSP بخوارزمية تحتوي على رقم طبيعي عند الإدخال وقيمة منطقية عند الإخراج. والعكس أقل وضوحا:

سيتطلب إثبات هذه الفكرة، على الأقل، تعريفًا رسميًا، وليس حدسيًا، لمفهوم الخوارزمية. ومع ذلك، إذا فكرت في الأمر قليلاً، فهو معقول تمامًا. في الواقع، تتم كتابة الخوارزميات اللغات الخوارزمية، من بينها أشياء غريبة مثل Brainfuck، التي تتكون من ثماني كلمات مكونة من حرف واحد، ومع ذلك، يمكن تنفيذ أي خوارزمية عليها. سيكون من الغريب أن تكون اللغة الأكثر ثراءً لصيغ الحساب الرسمي التي وصفناها أكثر فقراً - على الرغم من أنها بلا شك ليست مناسبة جدًا للبرمجة العادية.

وبعد اجتياز هذا المكان الزلق، نصل بسرعة إلى النهاية.

لذلك، أعلاه وصفنا الخوارزمية. وفقًا للفكرة التي طلبت منك تصديقها، يوجد FSP مكافئ. يحتوي على رقم ما في القائمة - على سبيل المثال، . دعونا نسأل أنفسنا ما الذي يساوي؟ دع هذه تكون الحقيقة. بعد ذلك، وفقًا لبناء الخوارزمية (وبالتالي الدالة المكافئة لها)، فهذا يعني أن نتيجة استبدال رقم في الدالة هي FALSE. يتم التحقق من العكس بنفس الطريقة: من FALSE يتبع TRUE. لقد وصلنا إلى تناقض، مما يعني أن الافتراض الأصلي غير صحيح. وبالتالي، لا يوجد نظام استنتاجي متسق وكامل للحساب الرسمي. Q.E.D.

من المناسب هنا أن نتذكر إبيمينيدس (انظر الصورة في العنوان)، الذي أعلن، كما هو معروف، أن جميع الكريتيين كاذبون، وهو نفسه كريتي. وبصيغة أكثر إيجازاً، يمكن صياغة بيانه (المعروف باسم "المفارقة الكاذبة") على النحو التالي: "أنا أكذب". وهذا النوع من التصريحات، الذي يعلن في حد ذاته زيفه، هو الذي استخدمناه للإثبات.

في الختام، أريد أن أشير إلى أن TGN لا تدعي أي شيء مفاجئ بشكل خاص. في النهاية، اعتاد الجميع منذ فترة طويلة على حقيقة أنه لا يمكن تمثيل جميع الأرقام كنسبة من عددين صحيحين (تذكر أن هذا البيان يحتوي على دليل أنيق للغاية عمره أكثر من ألفي عام؟). وجذور كثيرات الحدود مع معاملات عقلانيةليست كل الأرقام كذلك. والآن اتضح أنه ليست كل وظائف الحجة الطبيعية قابلة للحساب.

كان الرسم التوضيحي للبرهان المقدم مخصصًا للحساب الرسمي، ولكن من السهل أن نرى أن لغة TGN قابلة للتطبيق على العديد من اللغات المقترحة الأخرى. وبطبيعة الحال، ليست كل اللغات هكذا. على سبيل المثال، دعونا نحدد اللغة على النحو التالي:

"أي عبارة اللغة الصينيةإنها عبارة صحيحة إذا كانت موجودة في كتاب الاقتباسات للرفيق ماو تسي تونغ، وغير صحيحة إذا لم تكن موجودة.

ومن ثم فإن خوارزمية الإثبات الكاملة والمتسقة (يمكن للمرء أن يطلق عليها "الاستنتاج العقائدي") تبدو كما يلي:

"تصفح كتاب اقتباسات الرفيق ماو تسي تونغ حتى تجد القول الذي تبحث عنه. فإن وجد فهو صحيح، وإن انتهى كتاب النقل ولم يوجد القول فهو غير صحيح».

وما ينقذنا هنا هو أن أي كتاب اقتباس من الواضح أنه محدود، وبالتالي فإن عملية "الإثبات" ستنتهي حتما. وبالتالي، لا تنطبق TGN على لغة البيانات العقائدية. لكننا كنا نتحدث عن لغات معقدة، أليس كذلك؟

حول الموضوع: "نظرية جودل"

كورت جودل

كيرت جودل هو أحد الخبراء الرائدين في هذا المجال المنطق الرياضي- من مواليد 28 أبريل 1906 في برون (برنو حاليًا، جمهورية التشيك). تخرج من جامعة فيينا، حيث دافع عن أطروحة الدكتوراه، وكان أستاذًا مساعدًا في 1933-1938. بعد الضم هاجر إلى الولايات المتحدة. من عام 1940 إلى عام 1963 عمل جودل في معهد برينستون الدراسات العليا. غودل - دكتوراه فخرية من جامعتي ييل وهارفارد، عضوا الأكاديمية الوطنيةعلوم الولايات المتحدة الأمريكية والجمعية الفلسفية الأمريكية.

في عام 1951، حصل كورت جودل على أعلى جائزة الجائزة العلميةالولايات المتحدة الأمريكية - جائزة أينشتاين. في مقال مخصص لهذا الحدث، كتب عالم رياضيات كبير آخر في عصرنا، جون فون نيومان: “إن مساهمة كورت جودل في المنطق الحديث هائلة حقًا. هذا أكثر من مجرد نصب تذكاري. وهذا علامة فارقة تفصل بين عصرين... وبدون أي مبالغة، يمكن القول إن أعمال جودل غيرت بشكل جذري موضوع المنطق كعلم.

في الواقع، حتى القائمة الجافة لإنجازات جودل في المنطق الرياضي تظهر أن مؤلفها وضع أساسًا لأجزاء كاملة من هذا العلم: نظرية النموذج (1930؛ ما يسمى بنظرية اكتمال حساب التفاضل والتكامل المسند الضيق، والتي تظهر، بشكل تقريبي، "كفاية وسائل "المنطق الصوري" "لإثبات جميع الجمل الحقيقية المعبر عنها في لغته)، المنطق البناء (1932-1933؛ يؤدي إلى إمكانية اختزال بعض فئات جمل المنطق الكلاسيكي إلى نظائرها الحدسية، التي أرست الأساس للاستخدام المنهجي لـ "عمليات الغمر" التي تسمح بمثل هذا التخفيض لمختلف الأشياء الأنظمة المنطقيةبعضها البعض)، الحساب الرسمي (1932-1933؛ نتائج على إمكانية اختزال الحساب الكلاسيكي إلى حساب حدسي، مما يُظهر إلى حد ما اتساق الأول بالنسبة للثاني)، ونظرية الخوارزميات والوظائف العودية (1934؛ تعريف لمفهوم الدالة العودية العامة، والتي لعبت دورًا حاسمًا في إثبات عدم القدرة على الحل الخوارزمي لعدد من أهم المشكلات في الرياضيات، من ناحية، وفي تنفيذ المشكلات الرياضية المنطقية على أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية، من ناحية أخرى أخرى)، نظرية المجموعات البديهية (1938؛ دليل على الاتساق النسبي لبديهية الاختيار وفرضية كانتور المستمرة من البديهيات)، والتي وضعت الأساس لسلسلة من النتائج المهمة حول الاتساق النسبي واستقلالية نظرية المجموعات). مبادئ).

نظرية عدم الاكتمال لجودل

مقدمة

في عام 1931، في واحدة من الألمانية المجلات العلميةظهرت مقالة صغيرة نسبيًا بعنوان مخيف إلى حد ما "حول المقترحات غير القابلة للتقرير رسميًا لمبادئ الرياضيات والأنظمة ذات الصلة". كان مؤلفها عالم رياضيات يبلغ من العمر خمسة وعشرين عامًا جامعة فييناكيرت جودل، الذي عمل لاحقًا في معهد برينستون للدراسات المتقدمة. لعب هذا العمل دورًا حاسمًا في تاريخ المنطق والرياضيات. في قرار جامعة هارفارد بمنح جودل وسامًا فخريًا دكتوراه(1952) تم وصفها بأنها واحدة من أعظم الإنجازاتالمنطق الحديث.

ومع ذلك، في وقت النشر، لم يكن هناك اسم لعمل جودل. ولم يكن محتواه يعني أي شيء لمعظم علماء الرياضيات. إن مبادئ الرياضيات المذكورة في عنوانها عبارة عن أطروحة ضخمة مكونة من ثلاثة مجلدات كتبها ألفريد نورث وايتهيد وبرتراند راسل حول المنطق الرياضي وأسس الرياضيات. لم يكن التعرف على الأطروحة بأي حال من الأحوال شرط ضروريل عمل ناجحفي معظم فروع الرياضيات. لقد كان الاهتمام بالقضايا التي يتناولها عمل جودل دائمًا حكرًا على مجموعة صغيرة جدًا من العلماء. وفي الوقت نفسه، كان المنطق الذي قدمه جودل في براهينه غير معتاد في ذلك الوقت. يتطلب فهمها بشكل كامل إتقانًا استثنائيًا للموضوع والإلمام بالأدبيات المخصصة لهذه المشكلات المحددة للغاية.

نظرية عدم الاكتمال الأولى

نظرية عدم الاكتمال الأولى لجودليبدو أن هذه هي النتيجة الأكثر أهمية في المنطق الرياضي. يبدو مثل هذا:

بالنسبة للنظرية الشكلية والحسابية المتسقة التي يمكن من خلالها إثبات العبارات الحسابية الأساسية، يمكن إنشاء عبارة حسابية حقيقية، لا يمكن إثبات صحتها في إطار النظرية. وبعبارة أخرى، أي تماما نظرية مفيدة، كافية لتمثيل العمليات الحسابية، ولا يمكن أن تكون متسقة وكاملة.

وهنا كلمة "نظرية" تعني " مجموعة لا نهائية"العبارات، التي يُعتقد أن بعضها صحيح بدون دليل (تسمى هذه العبارات بالبديهيات)، بينما يمكن استنتاج البعض الآخر (النظريات) من البديهيات، وبالتالي يعتقد (يثبت) صحتها. عبارة "يمكن إثباتها نظريًا" تعني "يمكن اشتقاقها من البديهيات والأوليات النظرية (الرموز الثابتة للأبجدية) باستخدام المنطق القياسي (الترتيب الأول)". تكون النظرية متسقة (متسقة) إذا كان من المستحيل إثبات عبارة متناقضة فيها. تعني عبارة "يمكن بناؤه" أن هناك بعض الإجراءات الميكانيكية (الخوارزمية) التي يمكنها بناء عبارة بناءً على البديهيات والأوليات ومنطق الدرجة الأولى. "الحساب الأولي" يتكون من عمليات الجمع والضرب على الأعداد الطبيعية. غالبًا ما يشار إلى العبارة الحقيقية ولكن غير القابلة للإثبات لنظرية معينة باسم "تسلسل غودل"، ولكن هناك عدد لا حصر له من العبارات الأخرى في النظرية التي لها نفس الخاصية: الحقيقة غير القابلة للإثبات داخل النظرية.

إن الافتراض بأن النظرية قابلة للحساب يعني أنه من الممكن من حيث المبدأ تنفيذ خوارزمية حاسوبية ( برنامج الحاسب)، والتي (إذا سُمح لها بالحساب في وقت طويل بشكل تعسفي، حتى ما لا نهاية) ستحسب قائمة بجميع نظريات النظرية. في الواقع، يكفي حساب قائمة البديهيات فقط، ويمكن الحصول على جميع النظريات بكفاءة من هذه القائمة.

أول نظرية لعدم الاكتمال كانت بعنوان "النظرية السادسة" في ورقة غودل عام 1931 حول المقترحات غير القابلة للتقرير رسميًا في مبادئ الرياضيات والأنظمة ذات الصلة I. في التسجيل الأصلي لجودل بدا الأمر كما يلي:

"الاستنتاج العام حول وجود القضايا غير القابلة للحسم هو كما يلي:

النظرية السادسة .

لكل فئة عودية متسقة kمعادلة هناك العوديةعلامات ص بحيث لا (الخامسالجنرال ص)، ولا ¬( الخامسالجنرال ص)لا تنتمي إلى Flg (ك)(حيث v هومتغير مجاني ص ) ».

تعيين فلوريدايأتي منه. Folgerungsmenge- العديد من التسلسلات، الجنراليأتي منه. تعميم- التعميم.

بالمعنى التقريبي، بيان جودل زيقول: "الحقيقة زلا يمكن إثباته". لو زإذا أمكن إثباتها في إطار النظرية، ففي هذه الحالة تحتوي النظرية على نظرية تناقض نفسها، وبالتالي تكون النظرية متناقضة. لكن اذا زغير قابلة للإثبات، فهي صحيحة، وبالتالي فإن النظرية غير مكتملة (البيان زلا يمكن الاستدلال فيه).

وهذا شرح باللغة الإنجليزية البسيطة لغة طبيعية، وبالتالي ليست صارمة رياضيا تماما. ولتقديم دليل صارم، قام جودل بترقيم البيانات باستخدام الأعداد الطبيعية. في هذه الحالة، تنتمي النظرية التي تصف الأعداد أيضًا إلى مجموعة العبارات. يمكن تمثيل الأسئلة حول إمكانية إثبات العبارات في هذه الحالة على شكل أسئلة حول خصائص الأعداد الطبيعية، والتي يجب أن تكون قابلة للحساب إذا كانت النظرية كاملة. في هذه الشروط، يقول بيان جودل أنه لا يوجد رقم له خاصية معينة. سيكون الرقم الذي يحمل هذه الخاصية دليلاً على عدم تناسق النظرية. إذا كان هذا الرقم موجودا، فإن النظرية غير متسقة، على عكس الافتراض الأصلي. لذلك، على افتراض أن النظرية متسقة (كما هو مفترض في فرضية النظرية)، يتبين أن مثل هذا الرقم غير موجود، وبيان جودل صحيح، ولكن في إطار النظرية من المستحيل إثبات ذلك ( وبالتالي فإن النظرية غير مكتملة). إحدى النقاط المفاهيمية المهمة هي أنه من الضروري افتراض أن النظرية متسقة من أجل إعلان صحة عبارة جودل.

نظرية عدم الاكتمال الثانية لجودل

تنص نظرية عدم الاكتمال الثانية لجودل على ما يلي:

بالنسبة لأي نظرية قابلة للتعداد بشكل متكرر (أي تم إنشاؤها بشكل فعال) T، بما في ذلك بيانات الحقيقة الحسابية الأساسية وبعض بيانات قابلية الإثبات الرسمية، هذه النظريةيتضمن T ادعاء الاتساق الذاتي إذا وفقط إذا كانت النظرية T غير متسقة.

وبعبارة أخرى، لا يمكن إثبات اتساق نظرية غنية بما فيه الكفاية عن طريق هذه النظرية. ومع ذلك، قد يتبين أن اتساق واحد نظرية محددةيمكن تثبيتها باستخدام آخر، أكثر قوة النظرية الرسمية. ولكن بعد ذلك يطرح السؤال حول مدى اتساق هذه النظرية الثانية، وما إلى ذلك.

استخدم هذه النظرية لإثبات ذلك نشاط ذكيالأمر لا يتعلق بالحسابات، لقد حاول الكثيرون. على سبيل المثال، في عام 1961، توصل عالم المنطق الشهير جون لوكاس إلى برنامج مماثل. تبين أن تفكيره كان ضعيفًا للغاية - لكنه حدد المهمة على نطاق أوسع. يتخذ روجر بنروز نهجًا مختلفًا بعض الشيء، وهو ما تم توضيحه في الكتاب بالكامل، "من الصفر".

مناقشات

تؤثر عواقب النظريات على فلسفة الرياضيات، وخاصة تلك الشكليات التي تستخدم المنطق الرسمي لتحديد مبادئها. ويمكننا إعادة صياغة نظرية عدم الاكتمال الأولى على النحو التالي: " من المستحيل العثور على نظام شامل من البديهيات التي يمكن إثباتها الجميعالحقائق الرياضية، وليس كذبة واحدة" من ناحية أخرى، من وجهة نظر شكلية صارمة، فإن إعادة الصياغة هذه ليس لها أي معنى معنى خاصلأنه يفترض أن مفهومي "الحقيقة" و"الخطأ" محددان بالمعنى المطلق وليس بالمعنى النسبي لكل نظام محدد.