تكامل الدوال الكسرية الدالة الكسرية - الدالة الكسرية أبسط الكسور الكسرية تحليل الكسر الكسرى إلى كسور بسيطة تكامل الكسور البسيطة قاعدة عامة لتكامل الكسور الكسرية

متعدد الحدود من الدرجة ن. دالة كسرية عقلانية دالة كسرية عقلانية هي دالة تساوي النسبة بين كثيرتي الحدود: ويسمى الكسر الصحيح إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام، أي م< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

دالة كسرية - عقلانية اختزل الكسر غير الحقيقي إلى الشكل الصحيح: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 × × × 342 23 × × 2 15 ×

أبسط الكسور المنطقية الكسور المنطقية الصحيحة من النموذج: تسمى أبسط الكسور المنطقية من الأنواع. الفأس أ)؛ 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2؛ 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V،

نظرية تحليل الكسر العقلاني إلى كسور بسيطة: أي كسر عقلاني مناسب، يتم تحليل مقامه: علاوة على ذلك، يمكن تمثيله بطريقة فريدة في شكل مجموع الكسور البسيطة: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx.M)(

تحليل الكسر المنطقي إلى كسور بسيطة دعونا نشرح صياغة النظرية باستخدام الأمثلة التالية: للعثور على المعاملات غير المؤكدة A، B، C، D...، يتم استخدام طريقتين: طريقة مقارنة المعاملات وطريقة من القيم الجزئية للمتغير. دعونا نلقي نظرة على الطريقة الأولى باستخدام مثال. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 × × 2 21 × أ 22 2)1)(4(987 × × × 4 ×

تحلل الكسر المنطقي إلى كسور بسيطة قدم الكسر كمجموع كسور بسيطة: دعنا نجلب أبسط الكسور إلى مقام مشترك نساوي بسط الكسور الناتجة والأصلية نساوي المعاملات بنفس القوى x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

تكامل أبسط الكسور دعونا نوجد تكاملات أبسط الكسور النسبية: لننظر إلى تكامل الكسور من النوع 3 باستخدام مثال. dx ax A k dx qpxx NMx 2 axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

تكامل الكسور البسيطةdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

تكامل الكسور البسيطة تكامل من هذا النوع باستخدام الاستبدال: يتم اختزاله إلى مجموع تكاملين: يتم حساب التكامل الأول بإدخال t تحت العلامة التفاضلية. يتم حساب التكامل الثاني باستخدام صيغة التكرار: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

تكامل الكسور البسيطة a = 1; ك = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

القاعدة العامة لتكامل الكسور النسبية إذا كان الكسر غير صحيح، فقم بتمثيله كمجموع كثير الحدود وكسر حقيقي. بعد تحليل مقام الكسر الصحيح، قم بتمثيله كمجموع كسور بسيطة ذات معاملات غير محددة، ابحث عن المعاملات غير المحددة بطريقة مقارنة المعاملات أو بطريقة القيم الجزئية للمتغير. دمج كثير الحدود والمجموع الناتج من الكسور البسيطة.

مثال لنضع الكسر في الصورة الصحيحة. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 2 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 234 234 234 234 234 234 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 48 52 5 xxx 5105 2 × 2 × 2 xx

مثال لنحلل مقام كسر مناسب لنمثل الكسر كمجموع كسور بسيطة لنوجد المعاملات غير المحددة باستخدام طريقة القيم الجزئية للمتغير xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx.Bxx.A 48)1()1(22 xx. Cxx.Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

مثال dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

"إن عالم الرياضيات، مثله مثل الفنان أو الشاعر، يخلق الأنماط. وإذا كانت أنماطه أكثر استقرارا، فذلك فقط لأنها مكونة من أفكار... أنماط عالم الرياضيات، تماما مثل أنماط الفنان أو الشاعر، يجب أن تكون جميلة؛ الأفكار، مثل الألوان أو الكلمات، يجب أن تتوافق مع بعضها البعض. الجمال هو المطلب الأول: لا مكان في العالم للرياضيات القبيحة».

جي إتش هاردي

في الفصل الأول، لوحظ أن هناك مشتقات عكسية لدوال بسيطة إلى حد ما لم يعد من الممكن التعبير عنها من خلال الدوال الأولية. في هذا الصدد، فإن فئات الدوال التي يمكننا أن نقول عنها بدقة أن مشتقاتها العكسية هي دوال أولية، تكتسب أهمية عملية هائلة. تتضمن هذه الفئة من الوظائف وظائف عقلانية، تمثل نسبة اثنين من كثيرات الحدود الجبرية. تؤدي العديد من المشكلات إلى تكامل الكسور المنطقية. لذلك، من المهم جدًا أن تكون قادرًا على دمج هذه الوظائف.

2.1.1. وظائف عقلانية كسرية

جزء عقلاني(أو دالة عقلانية كسرية) تسمى العلاقة بين اثنين من كثيرات الحدود الجبرية:

أين و هي كثيرات الحدود.

دعونا نذكركم بذلك متعدد الحدود (متعدد الحدود, وظيفة عقلانية كاملة) نالدرجة العاشرةتسمى وظيفة النموذج

أين - أرقام حقيقية. على سبيل المثال،

- كثيرة الحدود من الدرجة الأولى؛

- متعدد الحدود من الدرجة الرابعة، الخ.

يسمى الكسر العقلاني (2.1.1). صحيح، إذا كانت الدرجة أقل من الدرجة، أي. ن<موإلا يسمى الكسر خطأ.

يمكن تمثيل أي كسر غير فعلي كمجموع كثير الحدود (الجزء الكامل) وكسر حقيقي (الجزء الكسري).يمكن فصل الأجزاء الكاملة والكسرية للكسر غير الحقيقي وفقًا لقاعدة تقسيم كثيرات الحدود بـ "الزاوية".

مثال 2.1.1.حدد الأجزاء الكاملة والكسرية للكسور النسبية غير الحقيقية التالية:

أ) ، ب) .

حل . أ) باستخدام خوارزمية القسمة "الزاوية"، نحصل على

وهكذا نحصل

.

ب) نستخدم هنا أيضًا خوارزمية التقسيم "الزاوية":

ونتيجة لذلك، نحصل على

.

دعونا نلخص. في الحالة العامة، يمكن تمثيل التكامل غير المحدد للكسر الكسرى كمجموع تكاملات كثير الحدود والكسر الكسرى المناسب. العثور على المشتقات العكسية لكثيرات الحدود ليس بالأمر الصعب. لذلك، فيما يلي سننظر بشكل أساسي في الكسور المنطقية الصحيحة.

2.1.2. أبسط الكسور المنطقية وتكاملها

من بين الكسور المنطقية المناسبة، هناك أربعة أنواع، والتي يتم تصنيفها على أنها أبسط الكسور المنطقية (الابتدائية):

3) ,

4) ,

أين هو عدد صحيح، ، أي. ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية ليس له جذور حقيقية.

لا يمثل دمج الكسور البسيطة من النوعين الأول والثاني أي صعوبات كبيرة:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

دعونا الآن نتناول تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث، لكننا لن نفكر في الكسور من النوع الرابع.

لنبدأ بتكاملات النموذج

.

عادة ما يتم حساب هذا التكامل عن طريق عزل المربع الكامل للمقام. والنتيجة هي جدول متكامل من النموذج التالي

أو .

مثال 2.1.2.أوجد التكاملات:

أ) ، ب) .

حل . أ) اختر مربعًا كاملاً من ثلاثية الحدود التربيعية:

من هنا نجد

ب) بعزل مربع كامل من ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية نحصل على:

هكذا،

.

للعثور على التكامل

يمكنك عزل مشتقة المقام في البسط وتوسيع التكامل إلى مجموع تكاملين: أولهما بالتعويض يأتي إلى المظهر

,

والثاني - لتلك التي تمت مناقشتها أعلاه.

مثال 2.1.3.أوجد التكاملات:

.

حل . لاحظ أن . دعونا نعزل مشتقة المقام في البسط:

يتم حساب التكامل الأول باستخدام الاستبدال :

في التكامل الثاني، نختار المربع الكامل في المقام

وأخيراً وصلنا

2.1.3. توسيع الكسر العقلاني السليم
لمجموع الكسور البسيطة

أي جزء عقلاني مناسب يمكن تمثيلها بطريقة فريدة كمجموع الكسور البسيطة. للقيام بذلك، يجب أن يتم تحليل المقام. ومن المعروف من الجبر الأعلى أن كل كثيرة حدود لها معاملات حقيقية

واحدة من أهم فئات الوظائف، والتي يتم التعبير عن تكاملاتها من خلال الوظائف الأولية، هي فئة الوظائف العقلانية.

التعريف 1. وظيفة النموذج حيث
- كثيرات الحدود من الدرجاتنوميسمى عقلاني. وظيفة عقلانية كاملة، أي. متعدد الحدود، يتكامل مباشرة. يمكن العثور على تكامل الدالة الكسرية عن طريق التحليل إلى مصطلحات، والتي يتم تحويلها بطريقة قياسية إلى التكاملات الجدولية الرئيسية.

التعريف 2. الكسر
ويسمى الصحيح إذا كانت درجة البسطنأقل من قوة القاسمم. الكسر الذي تكون فيه درجة البسط أكبر من أو تساوي درجة المقام يسمى غير صحيح.

يمكن تمثيل أي كسر غير حقيقي كمجموع كثير الحدود وكسر حقيقي. ويتم ذلك عن طريق قسمة كثيرة الحدود على كثيرة الحدود، مثل قسمة الأعداد.

مثال.

دعونا نتخيل الكسر
كمجموع كثير الحدود والكسر المناسب:

س - 1

3

3

3

الفصل الدراسي الأول
في الحاصل يتم الحصول عليه نتيجة لتقسيم المصطلح الرئيسي
، مقسومًا على المصطلح الرئيسي Xمقسم ثم نتضاعف
لكل المقسوم عليه س-1ويتم طرح النتيجة الناتجة من الأرباح؛ تم العثور على الشروط المتبقية من الحاصل غير المكتمل بالمثل.

وبتقسيم كثيرات الحدود نحصل على:

يسمى هذا الإجراء اختيار جزء كامل.

التعريف 3. أبسط الكسور هي الكسور المنطقية الصحيحة من الأنواع التالية:

أنا.

ثانيا.
(ك=2، 3،…).

ثالثا.
أين هو مربع ثلاثي الحدود

رابعا.
حيث ك=2، 3، …؛ ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية
ليس له جذور حقيقية.

أ) قم بتوسيع المقام
إلى أبسط العوامل الحقيقية (وفقًا للنظرية الأساسية للجبر، يمكن أن يحتوي هذا التوسع على ذوات حدين خطية من النموذج
و ثلاثية الحدود
، ليس لها جذور)؛

ب) اكتب رسمًا تخطيطيًا لتحلل كسر معين إلى مجموع الكسور البسيطة. وعلاوة على ذلك، كل عامل من النموذج
يتوافق كمكونات النوع الأول والثاني:

لكل عامل من النموذج
يتوافق مع مصطلحات البريد من النوعين الثالث والرابع:

مثال.

اكتب مخطط توسيع الكسر
إلى مجموع أبسط.

ج) إجراء إضافة أبسط الكسور التي تم الحصول عليها. اكتب المساواة بين بسط الكسور الناتجة والأصلية؛

د) أوجد معاملات التمدد المقابل:
(ستتم مناقشة طرق الحل أدناه)؛

ه) استبدل القيم الموجودة للمعاملات في مخطط التحلل.

يؤدي دمج أي كسر منطقي مناسب بعد التحليل إلى أبسط مصطلحاته إلى إيجاد تكاملات لأحد الأنواع التالية:

(كو ه =2, 3, …).

حساب التكامل يختزل إلى الصيغة III:

أساسي - إلى الصيغة الثانية:

أساسي يمكن العثور عليها من خلال القاعدة المحددة في نظرية تكامل الدوال التي تحتوي على ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية؛ - من خلال التحويلات الموضحة أدناه في المثال رقم 4.

مثال 1.

أ) عامل المقام:

ب) اكتب رسمًا تخطيطيًا لتحليل التكامل إلى مصطلحات:

ج) إجراء إضافة الكسور البسيطة:

دعونا نكتب المساواة بين بسط الكسور:

د) هناك طريقتان لإيجاد المعاملات المجهولة A، B، C.

تكون كثيرتا الحدود متساويتين إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما متساوية لنفس القوى X، حتى تتمكن من إنشاء نظام المعادلات المقابل. وهذه إحدى طرق الحل.

معاملات في

الأعضاء الأحرار (معامل في ):4أ=8.

بعد حل النظام، نحصل على أ = 2, ب = 1, ج= - 10.

طريقة أخرى - القيم الخاصة - سيتم مناقشتها في المثال التالي؛

هـ) استبدل القيم الموجودة في مخطط التحلل:

وبالتعويض بالمجموع الناتج تحت علامة التكامل وتكامل كل حد على حدة نجد:

مثال 2.

الهوية هي مساواة صالحة لأي قيم للمجهول المتضمن فيها. بناء على هذا طريقة القيمة الخاصةيمكن ان اعطي Xأي القيم. من الملائم أكثر للحسابات أن تأخذ تلك القيم التي تجعل أي حدود على الجانب الأيمن من المساواة تختفي.

يترك س = 0. ثم 1 = أ 0(0+2)+V 0 (0-1)+ج (0-1)(0+2).

بالمثل ل س = - 2لدينا 1= - 2 فولت*(-3)، في س = 1لدينا 1 = 3أ.

لذلك،

مثال 3.

د) أولا نستخدم طريقة القيمة الجزئية.

يترك س = 0، ثم 1 = أ 1، أ = 1.

في س = - 1لدينا - 1+4+2+1 = - ب(1+1+1)أو 6 = - 3 فولت, ب = - 2.

للعثور على المعاملين C وD، عليك إنشاء معادلتين إضافيتين. لهذا يمكنك أن تأخذ أي قيم أخرى X، على سبيل المثال س = 1و س = 2. يمكنك استخدام الطريقة الأولى، أي. معاملات متساوية في أي صلاحيات مماثلة X، على سبيل المثال متى و . نحن نحصل

1 = أ + ب + ج و 4 = ج +د- في.

معرفة أ = 1, ب = -2، سوف نجد ج = 2, د = 0 .

وبالتالي، يمكن الجمع بين الطريقتين عند حساب المعاملات.

التكامل الأخير نجدها بشكل منفصل وفق القاعدة المحددة في طريقة تحديد متغير جديد. لنختار مربعًا مثاليًا في المقام:

دعنا نقول
ثم
نحن نحصل:

=

بالتعويض في المساواة السابقة نجد

مثال 4.

يجد

ب)

د)

بالتكامل نحصل على:

دعونا نحول التكامل الأول إلى الصيغة III:

دعونا نحول التكامل الثاني إلى الصيغة II:

في التكامل الثالث نستبدل المتغير:

(عند إجراء التحويلات، استخدمنا صيغة علم المثلثات

أوجد التكاملات:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

أسئلة الاختبار الذاتي.

أي من هذه الكسور المنطقية صحيح:

2. هل الرسم التخطيطي لتحليل الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة مكتوب بشكل صحيح؟

تكامل دالة كسرية عقلانية.
طريقة معامل غير مؤكدة

نواصل العمل على تكامل الكسور. لقد نظرنا بالفعل إلى تكاملات بعض أنواع الكسور في الدرس، ويمكن اعتبار هذا الدرس، بمعنى ما، استمرارًا. لفهم المادة بنجاح، يلزم وجود مهارات التكامل الأساسية، لذلك إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة التكاملات، أي أنك مبتدئ، فأنت بحاجة إلى البدء بالمقالة تكامل غير محدد. أمثلة على الحلول.

ومن الغريب أننا الآن لن ننخرط كثيرًا في إيجاد التكاملات، ولكن... في حل أنظمة المعادلات الخطية. في هذا الصدد بشكل عاجلأوصي بحضور الدرس، أي أنك بحاجة إلى أن تكون على دراية جيدة بطرق الاستبدال (طريقة "المدرسة" وطريقة الجمع (الطرح) لمعادلات النظام على حدة).

ما هي وظيفة عقلانية كسرية؟ بكلمات بسيطة، الدالة الكسرية هي الكسر الذي يحتوي بسطه ومقامه على كثيرات الحدود أو منتجات كثيرات الحدود. علاوة على ذلك، فإن الكسور أكثر تعقيدًا من تلك التي تمت مناقشتها في المقالة دمج بعض الكسور.

دمج دالة كسرية-عقلانية مناسبة

على الفور مثال وخوارزمية نموذجية لحل تكامل دالة كسرية.

مثال 1

الخطوة 1.أول شيء نفعله دائمًا عند حل تكامل دالة كسرية هو توضيح السؤال التالي: هل الكسر صحيح؟يتم تنفيذ هذه الخطوة لفظيًا، والآن سأشرح الطريقة:

أولًا، ننظر إلى البسط ونكتشف ذلك درجة عليامتعدد الحدود:

القوة الرئيسية للبسط هي اثنان.

الآن ننظر إلى المقام ونكتشف ذلك درجة علياالمقام - صفة مشتركة - حالة. الطريقة الواضحة هي فتح الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة، ولكن يمكنك القيام بذلك بشكل أسهل كلالعثور على أعلى درجة بين قوسين

والضرب ذهنياً: - وبذلك تكون أعلى درجة للمقام تساوي ثلاثة. ومن الواضح أننا إذا فتحنا القوسين بالفعل، فلن نحصل على درجة أكبر من ثلاثة.

خاتمة: الدرجة الكبرى من البسط بشكل صارمأقل من أعلى قوة للمقام، مما يعني أن الكسر صحيح.

إذا كان البسط في هذا المثال يحتوي على كثير الحدود 3، 4، 5، إلخ. درجة، ثم سيكون الكسر خطأ.

الآن سننظر فقط في الدوال العقلانية الكسرية الصحيحة. سيتم مناقشة الحالة التي تكون فيها درجة البسط أكبر من أو تساوي درجة المقام في نهاية الدرس.

الخطوة 2.دعونا نحلل المقام. دعونا نلقي نظرة على القاسم لدينا:

بشكل عام، هذا بالفعل نتاج عوامل، ولكن مع ذلك نسأل أنفسنا: هل من الممكن توسيع شيء آخر؟ سيكون موضوع التعذيب بلا شك هو الثلاثي المربع. حل المعادلة التربيعية:

المميز أكبر من الصفر، مما يعني أن ثلاثية الحدود يمكن تحليلها إلى عوامل:

القاعدة العامة: كل شيء في المقام يمكن تحليله

لنبدأ في صياغة الحل:

الخطوه 3.باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة، نقوم بتوسيع التكامل إلى مجموع الكسور البسيطة (الابتدائية). الآن سوف يكون أكثر وضوحا.

دعونا نلقي نظرة على وظيفة التكامل لدينا:

وكما تعلمون، بطريقة ما تنبثق فكرة بديهية مفادها أنه سيكون من الجيد تحويل الكسر الكبير إلى عدة أجزاء صغيرة. على سبيل المثال، مثل هذا:

السؤال الذي يطرح نفسه، هل من الممكن القيام بذلك؟ دعونا نتنفس الصعداء، تنص نظرية التحليل الرياضي المقابلة على أن هذا ممكن. مثل هذا التحلل موجود وهو فريد من نوعه.

هناك صيد واحد فقط، والاحتمالات هي الوداعنحن لا نعرف، ومن هنا الاسم – طريقة المعاملات غير المحددة.

كما خمنت، فإن حركات الجسم اللاحقة تكون هكذا، لا تثرثر! سوف يهدف فقط إلى التعرف عليهم - لمعرفة ما يساويهم.

كن حذرا، سأشرح بالتفصيل مرة واحدة فقط!

لذلك، دعونا نبدأ الرقص من:

على الجانب الأيسر نقوم بتقليل التعبير إلى قاسم مشترك:

الآن يمكننا التخلص بأمان من القواسم (لأنها متماثلة):

على الجانب الأيسر نفتح الأقواس، لكن لا نلمس المعاملات المجهولة الآن:

وفي الوقت نفسه، نكرر القاعدة المدرسية المتمثلة في ضرب كثيرات الحدود. عندما كنت مدرسًا، تعلمت نطق هذه القاعدة بوجه مستقيم: من أجل ضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، يتعين عليك ضرب كل حد من كثيرة الحدود في كل حد من كثيرة الحدود الأخرى.

من وجهة نظر شرح واضح، من الأفضل وضع المعاملات بين قوسين (على الرغم من أنني شخصيا لا أفعل ذلك أبدا لتوفير الوقت):

نحن نؤلف نظام المعادلات الخطية.
أولاً نبحث عن الدرجات العليا:

ونكتب المعاملات المقابلة في المعادلة الأولى للنظام:

تذكر النقطة التالية جيداً. ماذا سيحدث لو لم يكن هناك حرف s على الجانب الأيمن على الإطلاق؟ لنفترض، هل سيتم عرضه بدون أي مربع؟ في هذه الحالة، في معادلة النظام سيكون من الضروري وضع صفر على اليمين: . لماذا الصفر؟ ولكن لأنه على الجانب الأيمن يمكنك دائمًا تعيين نفس المربع بصفر: إذا لم يكن هناك متغيرات و/أو حد حر على الجانب الأيمن، فإننا نضع أصفارًا على الجانب الأيمن من المعادلات المقابلة للنظام.

نكتب المعاملات المقابلة في المعادلة الثانية للنظام:

وأخيرا، المياه المعدنية، نختار الأعضاء الأحرار.

إيه...كنت أمزح نوعًا ما. بغض النظر عن النكات - الرياضيات علم جاد. في مجموعة معهدنا، لم يضحك أحد عندما قالت الأستاذة المساعدة إنها ستقوم بنثر الحدود على طول خط الأعداد واختيار أكبرها. دعونا نكون جادين. مع ذلك... من يعيش ليرى نهاية هذا الدرس سيظل يبتسم بهدوء.

النظام جاهز:

نحن نحل النظام:

(1) من المعادلة الأولى نعبر عنها ونعوضها في المعادلتين الثانية والثالثة للنظام. في الواقع، كان من الممكن التعبير (أو حرف آخر) من معادلة أخرى، ولكن في هذه الحالة من المفيد التعبير عنها من المعادلة الأولى، حيث أن هناك أصغر الاحتمالات.

(2) نقدم مصطلحات مماثلة في المعادلتين الثانية والثالثة.

(3) نجمع المعادلتين الثانية والثالثة حداً تلو الآخر ونحصل على المساواة ويترتب على ذلك أن

(4) نعوض في المعادلة الثانية (أو الثالثة) حيث نجد ذلك

(5) عوض في المعادلة الأولى لتحصل على .

إذا واجهتك أي صعوبات في طرق حل النظام، قم بالتدرب عليها في الفصل. كيفية حل نظام المعادلات الخطية؟

بعد حل النظام، من المفيد دائمًا التحقق من استبدال القيم الموجودة كلمعادلة النظام، ونتيجة لذلك يجب أن "يتقارب" كل شيء.

اوشكت على الوصول. تم العثور على المعاملات، و:

يجب أن تبدو المهمة النهائية كما يلي:

كما ترون، كانت الصعوبة الرئيسية للمهمة هي تكوين (بشكل صحيح!) وحل (بشكل صحيح!) نظام من المعادلات الخطية. وفي المرحلة النهائية، كل شيء ليس صعبا للغاية: نستخدم الخصائص الخطية للتكامل غير المحدد والتكامل. مع ملاحظة أنه تحت كل تكامل من التكاملات الثلاثة لدينا دالة معقدة "حرة" وقد تحدثت عن مميزات تكاملها في الدرس طريقة التغيير المتغير في التكامل غير المحدد.

تحقق: ميّز الإجابة:

تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على التكامل بشكل صحيح.
أثناء التحقق، كان علينا اختزال التعبير إلى قاسم مشترك، وهذا ليس من قبيل الصدفة. إن طريقة المعاملات غير المحددة واختزال التعبير إلى قاسم مشترك هما إجراءان عكسيان.

مثال 2

أوجد التكامل غير المحدد.

دعنا نعود إلى الكسر من المثال الأول: . من السهل ملاحظة أن جميع العوامل مختلفة في المقام. السؤال الذي يطرح نفسه هو ماذا تفعل إذا تم إعطاء الكسر التالي على سبيل المثال: ؟ هنا لدينا درجات في المقام، أو رياضياً، مضاعفات. بالإضافة إلى ذلك، هناك ثلاثية حدود تربيعية لا يمكن تحليلها (من السهل التحقق من أن مميز المعادلة سالبة، لذلك لا يمكن تحليل ثلاثية الحدود). ما يجب القيام به؟ سيبدو التوسع في مجموع الكسور الأولية بهذا الشكل مع معاملات غير معروفة في الأعلى أو أي شيء آخر؟

مثال 3

تقديم وظيفة

الخطوة 1.التحقق مما إذا كان لدينا كسر مناسب
البسط الرئيسي: 2
أعلى درجة للمقام: 8
مما يعني أن الكسر صحيح.

الخطوة 2.هل من الممكن تحليل شيء ما في المقام؟ من الواضح لا، كل شيء تم وضعه بالفعل. لا يمكن توسيع ثلاثي الحدود المربع إلى منتج للأسباب المذكورة أعلاه. كَبُّوت. عمل أقل.

الخطوه 3.دعونا نتخيل دالة كسرية عقلانية كمجموع الكسور الأولية.
في هذه الحالة، يكون التوسع على الشكل التالي:

دعونا نلقي نظرة على القاسم لدينا:
عند تحليل دالة كسرية إلى مجموع الكسور الأولية، يمكن تمييز ثلاث نقاط أساسية:

1) إذا كان المقام يحتوي على عامل "وحيد" للقوة الأولى (في حالتنا)، فإننا نضع معاملًا غير محدد في الأعلى (في حالتنا). الأمثلة رقم 1، 2 تتألف فقط من هذه العوامل "الوحيدة".

2) إذا كان القاسم موجودا عديدالمضاعف، فأنت بحاجة إلى تحليله على النحو التالي:
- أي المرور بجميع درجات "X" من الدرجة الأولى إلى الدرجة التاسعة بالتتابع. في مثالنا هناك عاملان متعددان: و، ألقِ نظرة أخرى على التوسيع الذي قدمته وتأكد من توسيعهما تمامًا وفقًا لهذه القاعدة.

3) إذا كان المقام يحتوي على كثير حدود غير قابل للتحلل من الدرجة الثانية (في حالتنا)، فعند التحلل في البسط تحتاج إلى كتابة دالة خطية بمعاملات غير محددة (في حالتنا بمعاملات غير محددة و ).

في الواقع، هناك حالة رابعة أخرى، لكنني سألتزم الصمت عنها، لأنها نادرة للغاية في الممارسة العملية.

مثال 4

تقديم وظيفة كمجموع كسور أولية ذات معاملات غير معروفة.

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
اتبع الخوارزمية بدقة!

إذا فهمت المبادئ التي تحتاج من خلالها إلى توسيع الدالة الكسرية إلى مجموع، فيمكنك مضغ أي تكامل من النوع قيد النظر تقريبًا.

مثال 5

أوجد التكامل غير المحدد.

الخطوة 1.من الواضح أن الكسر صحيح:

الخطوة 2.هل من الممكن تحليل شيء ما في المقام؟ يستطيع. هنا مجموع المكعبات . عامل المقام باستخدام صيغة الضرب المختصرة

الخطوه 3.باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة، نقوم بتوسيع التكامل إلى مجموع الكسور الأولية:

يرجى ملاحظة أن كثيرة الحدود لا يمكن تحليلها (تأكد من أن المميز سلبي)، لذلك نضع في الأعلى دالة خطية ذات معاملات غير معروفة، وليس حرفًا واحدًا فقط.

نأتي الكسر إلى قاسم مشترك:

دعونا نؤلف ونحل النظام:

(1) نعبر من المعادلة الأولى ونعوض بها في المعادلة الثانية للنظام (هذه هي الطريقة الأكثر عقلانية).

(2) نقدم مصطلحات مماثلة في المعادلة الثانية.

(3) نجمع المعادلتين الثانية والثالثة من حد النظام بحده.

جميع الحسابات الإضافية تكون، من حيث المبدأ، شفهية، لأن النظام بسيط.

(1) نكتب مجموع الكسور حسب المعاملات الموجودة.

(2) نستخدم الخصائص الخطية للتكامل غير المحدد. ماذا حدث في التكامل الثاني؟ يمكنك التعرف على هذه الطريقة في الفقرة الأخيرة من الدرس. دمج بعض الكسور.

(3) مرة أخرى نستخدم خصائص الخطية. في التكامل الثالث نبدأ بعزل المربع الكامل (الفقرة قبل الأخيرة من الدرس دمج بعض الكسور).

(4) نأخذ التكامل الثاني، وفي الثالث نختار المربع الكامل.

(5) خذ التكامل الثالث. مستعد.

يتم إجراء اختبار على تكامل الوظائف، بما في ذلك الكسور النسبية، لطلاب السنة الأولى والثانية. ستكون أمثلة التكاملات موضع اهتمام علماء الرياضيات والاقتصاديين والإحصائيين بشكل أساسي. تم طرح هذه الأمثلة أثناء الاختبار في LNU. أنا فرانك. شروط الأمثلة التالية هي "أوجد التكامل" أو "احسب التكامل"، لذلك لم يتم كتابتها لتوفير المساحة والوقت.

مثال 15. لقد توصلنا إلى تكامل الدوال الكسرية-الكسرية. إنها تحتل مكانة خاصة بين التكاملات لأنها تتطلب الكثير من الوقت للحساب ومساعدة المعلمين على اختبار معرفتك ليس فقط بالتكامل. لتبسيط الدالة ضمن التكامل، نجمع ونطرح تعبيرًا في البسط مما سيسمح لنا بتقسيم الدالة تحت التكامل إلى دالتين بسيطتين

نتيجة لذلك، نجد تكاملا واحدا بسرعة كبيرة، في الثانية نحتاج إلى توسيع الكسر إلى مجموع الكسور الأولية

عند اختزالها إلى قاسم مشترك، نحصل على الأرقام التالية

بعد ذلك، افتح الأقواس والمجموعة

نحن نساوي قيمة نفس قوى "x" على اليمين واليسار. ونتيجة لذلك، وصلنا إلى نظام من ثلاث معادلات خطية (SLAE) مع ثلاثة مجهولين.

كيفية حل أنظمة المعادلات موصوفة في مقالات أخرى على الموقع. في الإصدار النهائي سوف تتلقى حل SLAE التالي
أ = 4؛ ب=-9/2؛ ج=-7/2.
نعوض بالثوابت في مفككة الكسور إلى كسور بسيطة ونقوم بالتكامل


هذا يختتم المثال.

مثال 16. مرة أخرى، نحتاج إلى إيجاد تكامل دالة كسرية. في البداية، سنقوم بتحليل المعادلة التكعيبية الموجودة في مقام الكسر إلى عوامل بسيطة

بعد ذلك، نقوم بتحليل الكسر إلى أبسط صوره

نختصر الطرف الأيمن إلى قاسم مشترك ونفتح الأقواس في البسط.


نحن نساوي المعاملات لنفس درجات المتغير. دعونا نأتي إلى SLAE مرة أخرى مع ثلاثة مجهولين

نعوض بقيم A، B، C في الموسع ونحسب التكامل

أول فترتين تعطيان اللوغاريتم، ومن السهل أيضًا العثور على الحد الأخير.

مثال 17. في مقام الدالة الكسرية لدينا الفرق بين المكعبات. وباستخدام صيغ الضرب المختصرة، نقوم بتحليلها إلى عاملين بسيطين

بعد ذلك، نكتب الدالة الكسرية الناتجة في مجموع الكسور البسيطة ونختصرها إلى مقام مشترك

في البسط نحصل على التعبير التالي.

ومنه نشكل نظام معادلات خطية لحساب 3 مجاهيل

أ = 1/3؛ ب=-1/3؛ ج = 1/3.
نعوض بـ A، B، C في الصيغة ونجري التكامل. ونتيجة لذلك نصل إلى الإجابة التالية:


هنا تم تحويل بسط التكامل الثاني إلى لوغاريتم، والباقي تحت التكامل يعطي ظل قوسي.
هناك الكثير من الأمثلة المشابهة حول تكامل الكسور النسبية على الإنترنت. يمكنك العثور على أمثلة مماثلة من المواد أدناه.