ما هو معنى عدد منطقي ؟ ناقص قبل العدد العقلاني

تعيين الأرقام المنطقية

مجموعة من أرقام نسبيةيتم الإشارة إليه ويمكن كتابته على النحو التالي:

لقد أتضح أن إدخالات مختلفةيمكن أن تمثل نفس الكسر، على سبيل المثال، و، (جميع الكسور التي يمكن الحصول عليها من بعضها البعض عن طريق الضرب أو القسمة على نفس عدد طبيعي، تمثل نفس العدد العقلاني). نظرًا لأنه من خلال قسمة بسط ومقام الكسر على القاسم المشترك الأكبر لهما، يمكننا الحصول على تمثيل واحد غير قابل للاختزال لعدد نسبي، فيمكننا التحدث عن مجموعتهما كمجموعة غير القابل للاختزالالكسور ذات البسط الصحيحة الأولية نسبيًا و القاسم الطبيعي:

هنا هو القاسم المشترك الأكبر للأرقام و .

مجموعة الأعداد النسبية هي تعميم طبيعي لمجموعة الأعداد الصحيحة. من السهل أن نرى أنه إذا كان للعدد النسبي مقام، فهو عدد صحيح. توجد مجموعة الأعداد النسبية في كل مكان بكثافة على محور الأعداد: بين أي رقمين نسبيين مختلفين يوجد رقم نسبي واحد على الأقل (وبالتالي مجموعة لا نهائيةأرقام نسبية). ومع ذلك، فقد اتضح أن مجموعة الأعداد النسبية لها عدد أساسي قابل للعد (أي أنه يمكن إعادة ترقيم جميع عناصرها). ولنلاحظ بالمناسبة أن اليونانيين القدماء كانوا مقتنعين بوجود أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر (على سبيل المثال، أثبتوا أنه لا يوجد عدد نسبي مربعه 2).

المصطلح

تعريف رسمي

رسميًا، يتم تعريف الأرقام العقلانية على أنها مجموعة فئات التكافؤ من الأزواج فيما يتعلق بعلاقة التكافؤ if. وفي هذه الحالة يتم تعريف عمليات الجمع والضرب بالطريقة الآتية:

التعريفات ذات الصلة

الكسور الصحيحة وغير الصحيحة والمختلطة

صحيح الكسر الذي بسطه أقل من مقامه يسمى كسرا. تمثل الكسور المناسبة أرقامًا منطقية أقل من واحد. يسمى الكسر غير الصحيح خطأويمثل عددا عقلانيا أكبر من أو يساوي واحد modulo.

يمكن تمثيل الكسر غير الحقيقي كمجموع عدد صحيح و جزء الصحيح، مُسَمًّى جزء مختلط . على سبيل المثال، . يتم تجنب الترميز المماثل (مع عدم وجود علامة الجمع)، على الرغم من استخدامه في الحساب الأولي، في صارم الأدب الرياضيبسبب تشابه التسمية جزء مختلطمع تدوين منتج عدد صحيح وكسر.

ارتفاع النار

ارتفاع جزء مشترك هو مجموع معامل البسط والمقام لهذا الكسر. ارتفاع الرقم العقلاني هو مجموع معامل البسط ومقام الكسر العادي غير القابل للاختزال المقابل لهذا الرقم.

على سبيل المثال، ارتفاع الكسر هو . ارتفاع الرقم العقلاني المقابل يساوي , حيث يمكن تقليل الكسر بمقدار .

تعليق

شرط جزء (جزء)أحيانا [ تحديد] يستخدم كمرادف للمصطلح رقم منطقيوأحيانًا يكون مرادفًا لأي رقم غير صحيح. في الحالة الأخيرة، الأعداد الكسرية والعقلانية هي أشياء مختلفة، منذ ذلك الحين أصبحت الأعداد النسبية غير الصحيحة عادلة حالة خاصةكسور.

ملكيات

الخصائص الأساسية

تلبي مجموعة الأعداد النسبية ستة عشر خاصية أساسية، والتي يمكن استخلاصها بسهولة من خصائص الأعداد الصحيحة.

الانتظام.بالنسبة لأي أرقام نسبية، هناك قاعدة تسمح لك بتحديد علاقة واحدة فقط من العلاقات الثلاثة بينها: "" أو "" أو "". تسمى هذه القاعدة قاعدة الطلبويتم صياغته على النحو التالي: رقمان موجبان ويرتبطان بنفس العلاقة مثل عددين صحيحين و ; رقمان غير موجبين ويرتبطان بنفس العلاقة مثل الرقمين أرقام غير سلبيةو ؛ إذا فجأة لم يكن سلبيا، ولكن - سلبي، ثم .
إضافة الكسور
عملية الإضافة. قاعدة الجمع كميةالأرقام و و يُشار إليها بـ ، وتسمى عملية العثور على هذا الرقم خلاصة. قاعدة الجمع لديها العرض التالي: .
عملية الضرب.لأي أرقام عقلانية هناك ما يسمى قاعدة الضرب، مما يجعلها متوافقة مع بعض الأرقام المنطقية. في هذه الحالة، يتم استدعاء الرقم نفسه عملالأرقام و و يُشار إليها بـ ، وتسمى أيضًا عملية العثور على هذا الرقم عمليه الضرب. قاعدة الضرب لها الشكل التالي: .
انتقالية العلاقة النظامية.لأي ثلاثي من الأعداد النسبية، وإذا أقل وأقل فأقل، وإذا كان متساويًا ومتساويًا فهو متساوٍ.
تبديلية الإضافة.تغيير مواضع الحدود العقلانية لا يغير المجموع.
ترابط الإضافة.الترتيب الذي يتم به إضافة ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
وجود الصفر.هناك رقم منطقي 0 يحافظ على كل الأرقام المنطقية الأخرى عند إضافتها.
وجود أرقام متضادة.أي رقم نسبي له رقم نسبي معاكس، والذي عند إضافته يعطي 0.
إبدالية الضرب.تغيير أماكن العوامل العقلانية لا يغير المنتج.
رابطة الضرب.الترتيب الذي يتم به ضرب ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
توافر الوحدة.هناك رقم نسبي 1 يحافظ على كل الأعداد النسبية الأخرى عند ضربها.
وجود أرقام متبادلة.أي رقم نسبي غير الصفر له رقم نسبي معكوس، والذي عند ضربه يعطي 1.
توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع.يتم تنسيق عملية الضرب مع عملية الجمع من خلال قانون التوزيع:
ربط علاقة الأمر بعملية الإضافة.إلى الأجزاء اليسرى واليمنى عدم المساواة العقلانيةيمكنك إضافة نفس الرقم العقلاني.
العلاقة بين علاقة الترتيب وعملية الضرب.يمكن ضرب الجانبين الأيمن والأيسر للمتباينة المنطقية في نفس العدد المنطقي الموجب.
بديهية أرخميدس.مهما كان العدد النسبي، يمكنك أن تأخذ عددًا كبيرًا من الوحدات بحيث يتجاوز مجموعها.

خصائص إضافية

لم يتم تحديد جميع الخصائص الأخرى المتأصلة في الأعداد النسبية على أنها خصائص أساسية، لأنها، بشكل عام، لم تعد تعتمد بشكل مباشر على خصائص الأعداد الصحيحة، ولكن يمكن إثباتها بناءً على الخصائص الأساسية المعطاة أو مباشرة عن طريق تعريف بعض. كائن رياضي. هذه خصائص إضافيةكثير جدا. ومن المنطقي أن نذكر هنا القليل منها فقط.

إمكانية عد المجموعة

لتقدير عدد الأعداد النسبية، تحتاج إلى العثور على أصل مجموعتها. من السهل إثبات أن مجموعة الأعداد النسبية قابلة للعد. للقيام بذلك، يكفي إعطاء خوارزمية تعداد الأعداد العقلانية، أي إنشاء تناقض بين مجموعات الأعداد العقلانية والطبيعية. مثال على هذا البناء هو الخوارزمية البسيطة التالية. يتم تجميع جدول لا نهاية له من الكسور العادية، في كل صف في كل عمود يوجد به الكسر. وللتأكد من ذلك، من المفترض أن يتم ترقيم صفوف وأعمدة هذا الجدول بدءاً من واحد. يتم تحديد خلايا الجدول، حيث يوجد رقم صف الجدول الذي توجد فيه الخلية، وهو رقم العمود.

يتم اجتياز الجدول الناتج باستخدام "الثعبان" وفقًا للخوارزمية الرسمية التالية.

يتم البحث عن هذه القواعد من أعلى إلى أسفل ويتم تحديد الموضع التالي بناءً على المطابقة الأولى.

في عملية مثل هذا الاجتياز، يرتبط كل رقم نسبي جديد برقم طبيعي آخر. أي أنه يتم تعيين الكسور بالرقم 1، ويتم تعيين الكسور بالرقم 2، وما إلى ذلك. وتجدر الإشارة إلى أن فقط الكسور غير القابلة للاختزال. علامة رسميةعدم القابلية للاختزال هي مساواة القاسم المشترك الأكبر لبسط ومقام الكسر بواحد.

باتباع هذه الخوارزمية، يمكننا تعداد جميع الأعداد النسبية الموجبة. هذا يعني أن مجموعة الأعداد النسبية الموجبة قابلة للعد. من السهل إنشاء تنازع بين مجموعات الأعداد النسبية الإيجابية والسلبية عن طريق تعيين نقيض لكل رقم نسبي. الذي - التي. مجموعة الأرقام العقلانية السالبة قابلة للعد أيضًا. اتحادهم قابل للعد أيضًا من خلال خاصية المجموعات المعدودة. مجموعة الأعداد العقلانية قابلة للعد أيضًا كاتحاد مجموعة قابلة للعد مع مجموعة محدودة.

بالطبع، هناك طرق أخرى لتعداد الأعداد النسبية. على سبيل المثال، يمكنك استخدام هياكل مثل شجرة Kalkin-Wilf أو شجرة Stern-Broko أو سلسلة Farey لهذا الغرض.

قد يسبب البيان حول قابلية عد مجموعة الأعداد العقلانية بعض الارتباك، لأنه للوهلة الأولى يبدو أنها أكثر شمولاً من مجموعة الأعداد الطبيعية. في الواقع، الأمر ليس كذلك، فهناك أعداد طبيعية كافية لتعداد جميع الأعداد العقلانية.

عدم وجود أرقام عقلانية

أنظر أيضا


	الأعداد الكلية

أرقام نسبية

أرقام حقيقية ارقام مركبة الرباعيات

ملحوظات

الأدب

أنا كوشنير. دليل الرياضيات لأطفال المدارس. - كييف: أستارتا، 1998. - 520 ص.
بي إس ألكساندروف. مقدمة في نظرية المجموعات والطوبولوجيا العامة. - م: الفصل. إد. الفيزياء والرياضيات أشعل. إد. "العلم"، 1977
آي إل خميلنيتسكي. مقدمة في نظرية النظم الجبرية

من المحتمل أن يجيب أطفال المدارس الأكبر سناً وطلاب الرياضيات على هذا السؤال بسهولة. ولكن بالنسبة لأولئك الذين هم بعيدون عن هذه المهنة، سيكون الأمر أكثر صعوبة. ما هو حقا؟

الجوهر والتسمية

الأعداد النسبية هي تلك التي يمكن تمثيلها ككسر عادي. يتم تضمين الإيجابية والسلبية والصفر أيضًا في هذه المجموعة. يجب أن يكون بسط الكسر عددًا صحيحًا، كما يجب أن يكون المقام

يُشار إلى هذه المجموعة في الرياضيات بالرمز Q وتسمى "مجال الأعداد العقلانية". ويشمل جميع الأعداد الصحيحة والأعداد الطبيعية، المشار إليها على التوالي بـ Z وN. يتم تضمين المجموعة Q نفسها في المجموعة R. وهذا الحرف هو الذي يشير إلى ما يسمى الحقيقي أو

أداء

كما ذكرنا سابقًا، الأعداد النسبية هي مجموعة تتضمن جميع القيم الصحيحة والكسرية. يمكن تقديمها في أشكال مختلفة. أولاً، في شكل كسر عادي: 5/7، 1/5، 11/15، إلخ. بالطبع، يمكن أيضًا كتابة الأعداد الصحيحة بشكل مماثل: 6/2، 15/5، 0/1، - 10/2، الخ. ثانيا، نوع آخر من التمثيل هو عدد عشريمع جزء كسري محدود: 0.01، -15.001006، وما إلى ذلك. ربما يكون هذا أحد الأشكال الأكثر شيوعًا.

ولكن هناك أيضًا ثالث - جزء دوري. هذا النوع ليس شائعًا جدًا، لكنه لا يزال مستخدمًا. على سبيل المثال، يمكن كتابة الكسر 10/3 بالشكل 3.33333... أو 3,(3). في هذه الحالة، سيتم اعتبار التمثيلات المختلفة أرقامًا متشابهة. الكسور التي تساوي بعضها البعض ستُسمى أيضًا بنفس الاسم، على سبيل المثال 3/5 و6/10. يبدو أنه أصبح من الواضح ما هي الأعداد العقلانية. ولكن لماذا يستخدم هذا المصطلح بالذات للإشارة إليهم؟

أصل الاسم

كلمة "عقلاني" في اللغة الروسية الحديثة الحالة العامةله معنى مختلف قليلا. إنه أشبه بـ "معقول" و "مدروس". لكن المصطلحات الرياضيةقريب من حرفياًهذه الكلمة في اللاتينية تعني "نسبة" أو "كسر" أو "قسمة". وبالتالي، فإن الاسم يجسد جوهر الأعداد العقلانية. غير أن المعنى الثاني

ليس بعيدًا عن الحقيقة.

الإجراءات معهم

عندما تقرر المشاكل الرياضيةنحن نواجه دائمًا أرقامًا عقلانية دون أن نعرفها بأنفسنا. وهم قريبون خصائص مثيرة للاهتمام. وكلها تتبع إما من تعريف المجموعة أو من الأفعال.

أولًا، الأعداد النسبية لها خاصية العلاقة الترتيبية. وهذا يعني أنه لا يمكن أن تكون هناك سوى علاقة واحدة بين رقمين - إما أن يكونا متساويين أو أن أحدهما أكبر أو أقل من الآخر. إنه:

أو أ = ب ;أو أ > ب،أو أ< b.

بالإضافة إلى ذلك، فإن تعددية العلاقة تنبع أيضًا من هذه الخاصية. وهذا هو، إذا أأكثر ب, بأكثر ج، الذي - التي أأكثر ج. في اللغة الرياضية يبدو الأمر كما يلي:

(أ > ب) ^ (ب > ج) => (أ > ج).

ثانيًا، هناك عمليات حسابية بأعداد نسبية، أي الجمع والطرح والقسمة وبالطبع الضرب. وفي الوقت نفسه، في عملية التحولات، يمكن أيضا تحديد عدد من الخصائص.

أ + ب = ب + أ (تغيير أماكن المصطلحات، التبادلية)؛
0 + أ = أ + 0 ;
(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) (الترابط)؛
أ + (-أ) = 0؛
أب = با؛
(أ ب) ج = أ (ج) (التوزيع)؛
أ × 1 = 1 × أ = أ؛
أ س (1 / أ) = 1 (في هذه الحالة لا يساوي 0)؛
(أ + ب) ج = أس + أب؛
(أ > ب) ^ (ج > 0) => (أك> قبل الميلاد).

متى نحن نتحدث عنفيما يتعلق بالأعداد العادية، وليس الأعداد الصحيحة، فإن العمليات معهم يمكن أن تسبب بعض الصعوبات. وبالتالي، فإن الجمع والطرح ممكنان فقط إذا كانت المقامات متساوية. إذا كانت مختلفة في البداية، فيجب عليك العثور على الكسر المشترك عن طريق ضرب الكسر بأكمله بأرقام معينة. غالبًا ما تكون المقارنة ممكنة فقط في حالة استيفاء هذا الشرط.

يتم تقسيم وضرب الكسور العادية وفقًا للكفاية قواعد بسيطة. يؤدي إلى القاسم المشتركلا حاجة. يتم ضرب البسط والمقامات بشكل منفصل، وفي عملية تنفيذ الإجراء، إن أمكن، يجب تقليل الكسر وتبسيطه قدر الإمكان.

وأما القسمة، فهذا الإجراء يشبه الإجراء الأول فرق صغير. بالنسبة للكسر الثاني، يجب أن تجد العكس، أي

"اقلبها. وبالتالي، يجب ضرب بسط الكسر الأول في مقام الكسر الثاني، والعكس صحيح.

وأخيرًا، هناك خاصية أخرى متأصلة في الأعداد العقلانية تسمى بديهية أرخميدس. في كثير من الأحيان يوجد أيضًا اسم "المبدأ" في الأدبيات. وهي صالحة للمجموعة بأكملها أرقام حقيقيةولكن ليس في كل مكان. وبالتالي فإن هذا المبدأ لا ينطبق على بعض السكان. وظائف عقلانية. في الأساس، تعني هذه البديهية أنه نظرًا لوجود كميتين a وb، يمكنك دائمًا أخذ ما يكفي من a لتجاوز b.

منطقة التطبيق

لذلك، بالنسبة لأولئك الذين تعلموا أو تذكروا ما هي الأرقام العقلانية، يصبح من الواضح أنها تستخدم في كل مكان: في المحاسبة والاقتصاد والإحصاء والفيزياء والكيمياء وغيرها من العلوم. وبطبيعة الحال، لديهم أيضا مكان في الرياضيات. لا نعرف دائمًا أننا نتعامل معها، فنحن نستخدم الأرقام العقلانية باستمرار. لا يزال الأطفال الصغار يتعلمون حساب الأشياء، أو تقطيع تفاحة إلى قطع، أو أداء أشياء أخرى خطوات بسيطة، اصطدم بهم. إنهم يحيطون بنا حرفيًا. ومع ذلك، فهي ليست كافية لحل بعض المشاكل، على وجه الخصوص، باستخدام نظرية فيثاغورس كمثال، يمكن للمرء أن يفهم الحاجة إلى تقديم هذا المفهوم

موضوع الأعداد العقلانية واسع جدًا. يمكنك التحدث عنها إلى ما لا نهاية وكتابة أعمال كاملة، وفي كل مرة تتفاجأ بالميزات الجديدة.

ومن أجل تجنب الأخطاء في المستقبل، سنتعمق في هذا الدرس قليلاً في موضوع الأعداد النسبية ونستفيد منه معلومات ضروريةودعونا نمضي قدما.

محتوى الدرس

ما هو العدد العقلاني

العدد العقلاني هو الرقم الذي يمكن تمثيله ككسر، حيث أ-هذا هو بسط الكسر، بهو مقام الكسر. علاوة على ذلك بيجب ألا يكون صفرًا لأن القسمة على صفر غير مسموح بها.

تتضمن الأرقام النسبية فئات الأرقام التالية:

الأعداد الصحيحة (على سبيل المثال −2، −1، 0 1، 2، إلخ.)

الكسور العشرية (على سبيل المثال 0.2، وما إلى ذلك)

الكسور الدورية اللانهائية (على سبيل المثال 0، (3)، وما إلى ذلك)

يمكن تمثيل كل رقم في هذه الفئة ككسر.

مثال 1.يمكن تمثيل العدد الصحيح 2 ككسر. وهذا يعني أن الرقم 2 لا ينطبق فقط على الأعداد الصحيحة، ولكن أيضًا على الأعداد الصحيحة.

مثال 2.يمكن تمثيل الرقم المختلط ككسر. هذا الكسرتم الحصول عليها عن طريق تحويل رقم مختلط إلى جزء غير لائق

وسائل رقم مختلطيشير إلى أرقام عقلانية.

مثال 3.يمكن تمثيل العلامة العشرية 0.2 ككسر. تم الحصول على هذا الكسر عن طريق تحويل الكسر العشري 0.2 إلى كسر عادي. إذا كنت تواجه صعوبة في هذه المرحلة، كرر الموضوع.

بما أن الكسر العشري 0.2 يمكن تمثيله ككسر، فهذا يعني أنه ينتمي أيضًا إلى أرقام منطقية.

مثال 4.يمكن تمثيل الكسر الدوري اللانهائي 0، (3) ككسر. يتم الحصول على هذا الكسر عن طريق تحويل الكسر الدوري النقي إلى كسر عادي. إذا كنت تواجه صعوبة في هذه المرحلة، كرر الموضوع.

بما أن الكسر الدوري اللانهائي 0، (3) يمكن تمثيله ككسر، فهذا يعني أنه ينتمي أيضًا إلى أرقام منطقية.

في المستقبل، سنسمي بشكل متزايد جميع الأرقام التي يمكن تمثيلها ككسر بعبارة واحدة - أرقام نسبية.

الأعداد النسبية على خط الإحداثيات

لقد نظرنا إلى خط الإحداثيات عندما درسنا أرقام سلبية. تذكر أن هذا خط مستقيم تقع عليه عدة نقاط. على النحو التالي:

يوضح هذا الشكل جزءًا صغيرًا من خط الإحداثيات من −5 إلى 5.

إن تحديد الأعداد الصحيحة بالشكل 2، 0، −3 على خط الإحداثيات ليس بالأمر الصعب.

الأمور أكثر إثارة للاهتمام مع الأرقام الأخرى: مع الكسور العادية، والأعداد الكسرية، والكسور العشرية، وما إلى ذلك. تقع هذه الأرقام بين الأعداد الصحيحة وهناك عدد لا نهائي من هذه الأرقام.

على سبيل المثال، لنضع علامة على رقم نسبي على خط الإحداثيات. يقع هذا الرقم بالضبط بين الصفر والواحد

دعونا نحاول أن نفهم لماذا يقع الكسر فجأة بين الصفر والواحد.

كما ذكرنا أعلاه، توجد أرقام أخرى بين الأعداد الصحيحة - الكسور العادية، والكسور العشرية، والأرقام المختلطة، وما إلى ذلك. على سبيل المثال، إذا قمت بزيادة قسم من خط الإحداثيات من 0 إلى 1، يمكنك رؤية الصورة التالية

يمكن أن نرى أنه بين الأعداد الصحيحة 0 و 1 هناك أرقام منطقية أخرى، وهي كسور عشرية مألوفة. هنا يمكنك رؤية الكسر الموجود في نفس مكان الكسر العشري 0.5. يوفر الفحص الدقيق لهذا الشكل إجابة على السؤال حول سبب وجود الكسر هناك بالضبط.

الكسر يعني قسمة 1 على 2. وإذا قسمنا 1 على 2 نحصل على 0.5

يمكن إخفاء الكسر العشري 0.5 ككسور أخرى. من الخاصية الأساسية للكسر، نعلم أنه إذا تم ضرب بسط الكسر ومقامه أو قسمتهما على نفس العدد، فإن قيمة الكسر لا تتغير.

إذا تم ضرب بسط ومقام كسر في أي رقم، مثلا في الرقم 4، فإننا نحصل على كسر جديد، وهذا الكسر يساوي أيضا 0.5

وهذا يعني أنه على خط الإحداثيات يمكن وضع الكسر في نفس المكان الذي يوجد فيه الكسر

مثال 2.دعونا نحاول تحديد رقم منطقي على الإحداثيات. يقع هذا الرقم بالضبط بين الرقمين 1 و 2

قيمة الكسر هي 1.5

وإذا قمنا بزيادة قسم الخط الإحداثي من 1 إلى 2 سنرى الصورة التالية:

يمكن أن نرى أنه بين الأعداد الصحيحة 1 و 2 هناك أرقام نسبية أخرى، وهي كسور عشرية مألوفة. هنا يمكنك رؤية الكسر الموجود في نفس مكان الكسر العشري 1.5.

لقد زادنا شرائح معينةعلى خط الإحداثيات لرؤية الأرقام المتبقية ملقاة على هذا الجزء. ونتيجة لذلك، اكتشفنا الكسور العشرية التي تحتوي على رقم واحد بعد العلامة العشرية.

لكنهم لم يكونوا كذلك أرقام مفردة، ملقاة على هذه القطاعات. هناك عدد لا نهائي من الأرقام الموجودة على خط الإحداثيات.

ليس من الصعب تخمين أنه بين الكسور العشرية التي تحتوي على رقم واحد بعد العلامة العشرية، هناك كسور عشرية أخرى تحتوي على رقمين بعد العلامة العشرية. وبعبارة أخرى، أجزاء من المئات من القطعة.

على سبيل المثال، دعونا نحاول رؤية الأرقام التي تقع بين الكسور العشرية 0.1 و0.2

مثال آخر. الكسور العشرية التي تحتوي على رقمين بعد العلامة العشرية وتقع بين الصفر والرقم النسبي 0.1 تبدو كما يلي:

مثال 3.دعونا نضع علامة على رقم نسبي على خط الإحداثيات. سيكون هذا العدد العقلاني قريبًا جدًا من الصفر

قيمة الكسر هي 0.02

إذا قمنا بزيادة المقطع من 0 إلى 0.1، فسنرى بالضبط أين يقع الرقم المنطقي

يمكن ملاحظة أن العدد النسبي الذي لدينا يقع في نفس مكان الكسر العشري 0.02.

مثال 4.دعونا نضع علامة على الرقم العقلاني 0 على خط الإحداثيات، (3)

الرقم المنطقي 0، (3) هو جزء دوري لا نهائي. له جزءلا تنتهي أبدًا، إنها لا نهاية لها

وبما أن الرقم 0,(3) به جزء كسري لا نهائي، فهذا يعني أننا لن نتمكن من العثور على المكان الدقيق على خط الإحداثيات الذي يقع فيه هذا الرقم. يمكننا فقط الإشارة إلى هذا المكان تقريبًا.

الرقم المنطقي 0.33333... سيكون قريبًا جدًا من الكسر العشري المشترك 0.3

لا يُظهر هذا الشكل الموقع الدقيق للرقم 0(3). هذا مجرد رسم توضيحي لإظهار مدى قرب الكسر الدوري 0.(3) من الكسر العشري العادي 0.3.

مثال 5.دعونا نضع علامة على رقم نسبي على خط الإحداثيات. سيكون هذا الرقم العقلاني موجودًا في المنتصف بين الرقمين 2 و 3

هذا هو 2 (عددان صحيحان) و (ثانية واحدة). ويسمى الكسر أيضًا "النصف". لذلك، قمنا بوضع علامة على قطعتين كاملتين ونصف قطعة أخرى على الخط الإحداثي.

إذا حولنا عددًا مختلطًا إلى كسر غير فعلي، فسنحصل على كسر عادي. سيكون هذا الكسر الموجود على خط الإحداثيات موجودًا في نفس مكان الكسر

قيمة الكسر هي 2.5

وإذا قمنا بزيادة قسم الخط الإحداثي من 2 إلى 3 سنرى الصورة التالية:

يمكن ملاحظة أن الرقم النسبي يقع في نفس مكان الكسر العشري 2.5

ناقص قبل العدد العقلاني

تعلمنا في الدرس السابق الذي كان بعنوان كيفية قسمة الأعداد الصحيحة. كل من الأرقام الإيجابية والسلبية يمكن أن تكون بمثابة أرباح ومقسوم.

دعونا نفكر في أبسط التعبير

(−6) : 2 = −3

في هذا التعبيرالمقسوم (−6) هو رقم سالب.

الآن فكر في التعبير الثاني

6: (−2) = −3

هنا المقسوم عليه (−2) هو بالفعل رقم سالب. لكن في كلتا الحالتين نحصل على نفس الإجابة -3.

بما أن أي قسمة يمكن كتابتها في صورة كسر، يمكننا أيضًا كتابة الأمثلة التي تمت مناقشتها أعلاه في صورة كسر:

وبما أن قيمة الكسر في كلتا الحالتين هي نفسها، فيمكن جعل الطرح في البسط أو المقام مشتركًا بوضعه أمام الكسر

ولذلك يمكنك وضع إشارة المساواة بين التعبيرين و و لأنهما يحملان نفس المعنى

في المستقبل، عند التعامل مع الكسور، إذا واجهنا ناقصًا في البسط أو المقام، فسنجعل هذا الطرح مشتركًا بوضعه أمام الكسر.

عكس الأعداد العقلانية

مثل العدد الصحيح، العدد العقلاني له رقم معاكس.

على سبيل المثال، بالنسبة لعدد عقلاني رقم مضاديكون . وهي تقع على خط الإحداثيات بشكل متناظر بالنسبة للموقع بالنسبة لأصل الإحداثيات. بمعنى آخر، كلا هذين العددين على مسافة متساوية من نقطة الأصل

تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير حقيقية

نحن نعلم أنه لتحويل عدد كسري إلى كسر غير فعلي، علينا ضرب الجزء بأكمله في مقام الجزء الكسري وإضافته إلى بسط الجزء الكسري. الرقم الناتج سيكون البسط جزء جديدلكن القاسم يبقى كما هو..

على سبيل المثال، دعونا نحول رقمًا مختلطًا إلى كسر غير حقيقي

اضرب الجزء كله في مقام الجزء الكسري وأضف بسط الجزء الكسري:

لنحسب هذا التعبير:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

سيكون الرقم الناتج 5 هو بسط الكسر الجديد، لكن المقام سيبقى كما هو:

تماما هذا الإجراءمكتوب على النحو التالي:

لإرجاع الرقم المختلط الأصلي، يكفي تحديد الجزء بأكمله في الكسر

لكن هذه الطريقة لتحويل عدد مختلط إلى كسر غير حقيقي لا تنطبق إلا إذا كان الرقم المختلط موجبًا. لرقم سلبي هذه الطريقةلن تنجح.

دعونا نفكر في الكسر. دعونا نختار الجزء الكامل من هذا الكسر. نحن نحصل

لإرجاع الكسر الأصلي، عليك تحويل الرقم المختلط إلى كسر غير حقيقي. لكن إذا استخدمنا القاعدة القديمة، وهي ضرب الجزء كله في مقام الجزء الكسري وإضافة بسط الجزء الكسري إلى الرقم الناتج، نحصل على التناقض التالي:

لقد حصلنا على كسر، لكن كان يجب أن نحصل على كسر.

نستنتج أن العدد الكسري قد تم تحويله إلى كسر غير حقيقي بشكل غير صحيح

لتحويل عدد كسري سالب إلى كسر غير حقيقي بشكل صحيح، تحتاج إلى ضرب الجزء بأكمله في مقام الجزء الكسري، ومن الرقم الناتج طرح او خصمبسط الجزء الكسري. في هذه الحالة، كل شيء سوف يقع في مكانه بالنسبة لنا

الرقم المختلط السالب هو عكس الرقم المختلط. إذا كان هناك رقم مختلط موجب يقع على الجانب الأيمن ويبدو بهذا الشكل

في هذه المقالة سنبدأ بالاستكشاف أرقام نسبية. وسنقدم هنا تعريفات للأعداد النسبية ونقدم التفسيرات اللازمة ونعطي أمثلة على الأعداد النسبية. بعد ذلك، سوف نركز على كيفية تحديد ما إذا كان رقم معينعقلاني أم لا.

التنقل في الصفحة.

تعريف وأمثلة على الأعداد النسبية

في هذا القسم سنقدم عدة تعريفات للأعداد النسبية. على الرغم من الاختلافات في الصياغة، فإن كل هذه التعريفات لها نفس المعنى: الأعداد النسبية توحد الأعداد الصحيحة والكسور، تمامًا كما توحد الأعداد الصحيحة الأعداد الطبيعية وأضدادها والعدد صفر. وبعبارة أخرى، الأرقام العقلانية تعميم الأعداد الصحيحة و أرقام كسرية.

دعنا نبدء ب تعريفات الأعداد النسبية، وهو ما يُنظر إليه بشكل طبيعي.

ويستنتج من التعريف المذكور أن العدد النسبي هو:

أي عدد طبيعي ن. في الواقع، يمكنك تمثيل أي عدد طبيعي ككسر عادي، على سبيل المثال، 3=3/1.
أي عدد صحيح، وبالأخص الرقم صفر. في الواقع، يمكن كتابة أي عدد صحيح على صورة كسر موجب، أو كسر سالب، أو صفر. على سبيل المثال، 26=26/1، .
أي جزء عادي (إيجابي أو سلبي). يتم تأكيد ذلك مباشرة من خلال التعريف المحدد للأرقام العقلانية.
أي عدد مختلط. في الواقع، يمكنك دائمًا تمثيل رقم مختلط ككسر غير حقيقي. على سبيل المثال، و.
أي كسر عشري محدود أو كسر دوري لا نهائي. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن الكسور العشرية المشار إليها يتم تحويلها إلى كسور عادية. على سبيل المثال، و 0,(3)=1/3.

ومن الواضح أيضًا أن أي كسر عشري غير دوري لا نهائي ليس عددًا نسبيًا، لأنه لا يمكن تمثيله ككسر عادي.

الآن يمكننا أن نعطي بسهولة أمثلة على الأعداد النسبية. الأعداد 4، 903، 100،321 هي أعداد نسبية لأنها أعداد طبيعية. الأعداد الصحيحة 58، −72، 0، −833،333،333 هي أيضًا أمثلة على الأعداد النسبية. الكسور المشتركة 4/9، 99/3 هي أيضًا أمثلة على الأعداد النسبية. الأعداد النسبية هي أيضًا أرقام.

يتضح من الأمثلة السابقة أن هناك أعدادًا نسبية موجبة وسالبة، والعدد النسبي صفر ليس موجبًا ولا سالبًا.

يمكن صياغة التعريف أعلاه للأرقام العقلانية بشكل أكثر إيجازًا.

تعريف.

أرقام نسبيةهي أرقام يمكن كتابتها على شكل كسر z/n، حيث z عدد صحيح وn عدد طبيعي.

دعونا نثبت أن هذا التعريف للأرقام العقلانية يعادل التعريف السابق. نحن نعلم أنه يمكننا اعتبار خط الكسر علامة على القسمة، فمن خصائص قسمة الأعداد الصحيحة وقواعد قسمة الأعداد الصحيحة يتبع صحة المساواة التالية و. وهكذا، هذا هو الدليل.

دعونا نعطي أمثلة على الأرقام العقلانية على أساس هذا التعريف. الأعداد −5، 0، 3، هي أرقام منطقية، حيث يمكن كتابتها على شكل كسور ذات بسط صحيح ومقام طبيعي بالشكل و، على التوالي.

يمكن إعطاء تعريف الأعداد العقلانية في الصيغة التالية.

تعريف.

أرقام نسبيةهي أرقام يمكن كتابتها ككسر عشري دوري محدود أو لا نهائي.

وهذا التعريف أيضًا يعادل التعريف الأول، إذ أن كل كسر عادي يقابل كسرًا عشريًا منتهيًا أو دوريًا والعكس، ويمكن ربط أي عدد صحيح بكسر عشري به أصفار بعد العلامة العشرية.

على سبيل المثال، الأرقام 5، 0، −13، هي أمثلة على الأعداد النسبية لأنه يمكن كتابتها على هيئة الكسور العشرية التالية 5.0، 0.0، −13.0، 0.8، و-7، (18).

ولنختم نظرية هذه النقطة بالعبارات التالية:

تشكل الأعداد الصحيحة والكسور (الموجبة والسالبة) مجموعة الأعداد العقلانية؛
يمكن تمثيل كل رقم نسبي ككسر به بسط صحيح ومقام طبيعي، وكل كسر من هذا القبيل يمثل عددًا نسبيًا معينًا؛
يمكن تمثيل كل رقم نسبي ككسر عشري دوري محدود أو لا نهائي، وكل كسر من هذا القبيل يمثل عددًا نسبيًا.

هل هذا الرقم عقلاني؟

في الفقرة السابقةلقد تعلمنا أن أي عدد طبيعي، وأي عدد صحيح، وأي كسر، وأي عدد مختلط، وأي عدد عشري منته، وأي عدد عشري دوري هو عدد نسبي. تتيح لنا هذه المعرفة "التعرف" على الأعداد النسبية من مجموعة من الأعداد المكتوبة.

ولكن ماذا لو تم إعطاء الرقم على شكل بعض، أو على شكل، وما إلى ذلك، فكيف نجيب على سؤال ما إذا كان هذا العدد نسبيًا؟ في كثير من الحالات يكون من الصعب جدًا الإجابة. دعونا نشير إلى بعض اتجاهات الفكر.

إذا تم إعطاء الرقم في النموذج التعبير العددي، الذي يحتوي فقط على أرقام وعلامات عقلانية عمليات حسابية(+، −، · و:)، فإن قيمة هذا التعبير هي عدد نسبي. يتبع ذلك كيفية تعريف العمليات ذات الأعداد العقلانية. على سبيل المثال، بعد إجراء جميع العمليات في التعبير، نحصل على الرقم النسبي 18.

في بعض الأحيان، بعد تبسيط التعبيرات وأكثر من ذلك نوع معقديصبح من الممكن تحديد ما إذا كان رقم معين عقلانيًا.

دعنا نذهب أبعد من ذلك. الرقم 2 هو عدد نسبي، لأن أي عدد طبيعي هو عدد نسبي. ماذا عن الرقم؟ هل هو عقلاني؟ اتضح أنه لا، إنه ليس رقما عقلانيا، إنه رقم غير عقلاني (يرد إثبات هذه الحقيقة عن طريق التناقض في كتاب الجبر المدرسي للصف الثامن، المدرج أدناه في قائمة المراجع). وقد ثبت ذلك أيضاً الجذر التربيعيعدد طبيعي يكون رقمًا نسبيًا فقط في تلك الحالات التي يحتوي فيها الجذر على رقم يمثل المربع الكامل لبعض الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، و هي أرقام نسبية، حيث أن 81 = 9 2 و 1 024 = 32 2، والأرقام و ليست أرقام نسبية، حيث أن الرقمين 7 و 199 ليسا كذلك المربعات المثاليةالأعداد الطبيعية.

هل العدد منطقي أم لا؟ في في هذه الحالةمن السهل أن نرى أن هذا العدد نسبي. هل الرقم منطقي؟ لقد ثبت أن الجذر k لأي عدد صحيح هو رقم نسبي فقط إذا كان الرقم الموجود تحت علامة الجذر هو القوة k لبعض الأعداد الصحيحة. وبالتالي فهو ليس عددًا نسبيًا، لأنه لا يوجد عدد صحيح قوته الخامسة هي 121.

تسمح طريقة التناقض بإثبات أن لوغاريتمات بعض الأرقام ليست أرقامًا منطقية لسبب ما. على سبيل المثال، دعونا نثبت أن - ليس عددًا نسبيًا.

لنفترض العكس، لنفترض أن هذا رقم نسبي ويمكن كتابته ككسر عادي m/n. ثم نعطي المعادلات التالية : . المساواة الأخيرة مستحيلة، لأنه على الجانب الأيسر هناك لا رقم زوجي 5 ن، وعلى الجانب الأيمن الرقم الزوجي 2 م. لذلك، افتراضنا غير صحيح، وبالتالي ليس عددًا نسبيًا.

في الختام، تجدر الإشارة بشكل خاص إلى أنه عند تحديد عقلانية أو عدم عقلانية الأرقام، ينبغي للمرء الامتناع عن تقديم استنتاجات مفاجئة.

على سبيل المثال، لا يجب أن تؤكد على الفور أن حاصل ضرب الأعداد غير النسبية π وe هو عدد غير نسبي؛ فهذا "يبدو واضحًا"، ولكن لم يتم إثباته. وهذا يثير السؤال: "لماذا يكون المنتج عددًا نسبيًا؟" ولماذا لا، لأنك تستطيع أن تعطي مثالا على الأعداد غير النسبية التي حاصل ضربها يعطي عددا نسبيا: .

ومن غير المعروف أيضًا ما إذا كانت الأرقام والعديد من الأرقام الأخرى عقلانية أم لا. على سبيل المثال، هناك أرقام غير منطقية, درجة غير عقلانيةوهو عدد عقلاني. للتوضيح، نقدم درجة من الشكل، وأساس هذه الدرجة والأس ليسا أرقامًا منطقية، ولكن، و3 هو رقم نسبي.

فهرس.

الرياضيات.الصف السادس: تعليمي. للتعليم العام المؤسسات / [ن. يا فيلينكين وآخرون]. - الطبعة 22، المراجعة. - م: منيموسين، 2008. - 288 ص: مريض. ردمك 978-5-346-00897-2.
الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ إد. إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للمتقدمين إلى المدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.

الأعداد الصحيحة

تعريف الأعداد الطبيعية هو الأعداد الصحيحة أرقام إيجابية. تُستخدم الأعداد الطبيعية لحساب الأشياء ولأغراض أخرى كثيرة. هذه هي الأرقام:

هذه سلسلة طبيعية من الأرقام.
هل الصفر عدد طبيعي؟ لا، الصفر ليس عدداً طبيعياً.
كم عدد الأعداد الطبيعية الموجودة؟ هناك عدد لا نهائي من الأعداد الطبيعية.
ما هو أصغر عدد طبيعي؟ واحد هو أصغر عدد طبيعي.
ما هو أكبر عدد طبيعي؟ ومن المستحيل تحديد ذلك، لأن هناك عددا لا حصر له من الأعداد الطبيعية.

مجموع الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن، نضيف الأعداد الطبيعية a وb:

حاصل ضرب الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن حاصل ضرب العددين الطبيعيين a وb:

ج هو دائما عدد طبيعي.

الفرق بين الأعداد الطبيعية ليس هناك دائما عدد طبيعي. فإذا كان الطرح أكبر من المطروح فإن الفرق بين الأعداد الطبيعية يكون عددا طبيعيا، وإلا فلا يكون.

حاصل قسمة الأعداد الطبيعية ليس دائمًا عددًا طبيعيًا. إذا كان للأعداد الطبيعية أ و ب

حيث أن c عدد طبيعي، فهذا يعني أن a يقبل القسمة على b. في هذا المثال، a هو المقسوم، b هو المقسوم عليه، c هو حاصل القسمة.

المقسوم عليه عدد طبيعي هو عدد طبيعي يقبل القسمة على الرقم الأول.

كل عدد طبيعي يقبل القسمة على الواحد وعلى نفسه.

الأعداد الطبيعية الأولية لا تقبل القسمة إلا على الواحد وعلى نفسها. ونعني هنا الانقسام بالكامل. مثال، أرقام 2؛ 3؛ 5؛ 7 لا يقبل القسمة إلا على الواحد وعلى نفسه. هذه أرقام طبيعية بسيطة.

واحد لا يعتبر عددا أوليا.

أرقام ذلك أكثر من واحدوالتي ليست بسيطة تسمى مركبة. أمثلة الأرقام المركبة:

واحد لا يعتبر رقما مركبا.

مجموعة الأعداد الطبيعية هي واحد الأعداد الأوليةوالأرقام المركبة.

يشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية حرف لاتينين.

خواص جمع وضرب الأعداد الطبيعية:

خاصية التبديل من إضافة

ملكية مشتركةإضافة

(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)؛

الخاصية التبادلية للضرب

الخاصية الترابطية للضرب

(أ ب) ج = أ (قبل الميلاد)؛

خاصية التوزيع للضرب

أ (ب + ج) = أب + أس؛

الأعداد الكلية

الأعداد الصحيحة هي الأعداد الطبيعية، الصفر وأضداد الأعداد الطبيعية.

وعكس الأعداد الطبيعية هي الأعداد الصحيحة السالبة، على سبيل المثال:

1; -2; -3; -4;...

يُشار إلى مجموعة الأعداد الصحيحة بالحرف اللاتيني Z.

أرقام نسبية

الأعداد النسبية هي أعداد صحيحة وكسور.

يمكن تمثيل أي رقم منطقي ككسر دوري. أمثلة:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

يتضح من الأمثلة أن أي عدد صحيح هو كسر دوري دورته صفر.

يمكن تمثيل أي عدد نسبي على شكل كسر m/n، حيث m عدد صحيح، نعدد طبيعي. لنتخيل الرقم 3,(6) من المثال السابق على أنه كسر.