الرياضيات
الجبر الخطي والهندسة التحليلية
(الحساب القياسي)
المبادئ التوجيهية ومهام التحكم
ل عمل مستقلطلاب
التخصصات الجبلية وقت كاملتمرين
تم جمعها بواسطة M. K. Kurchin
تمت الموافقة عليه في اجتماع القسم
اللجنة التربوية والمنهجية
التخصصات 130403
البروتوكول رقم 10 تاريخ 27/04/2009
يتم تخزين نسخة إلكترونية
في مكتبة المبنى الرئيسي
جو كوزGTU
| |
هذا العمليخدم التنفيذ عالي الجودة للحسابات القياسية من قبل طلاب السنة الأولى في السنة الأولى الفصل الدراسي الأكاديميحسب الموضوع " الجبر الخطي" و " الهندسة التحليلية" يوصى باستخدام "Kurchin M.K. الجبر والهندسة للمهندسين: كتاب مدرسي" باعتباره الكتاب المدرسي الرئيسي. بدل / جامعة ولاية KuzGTU. – كيميروفو، 2004. – 158 ص. وهي، وفقا لهذا الكتاب المدرسي، يتم الإشارة إلى فقرات العمل المستقل في الحلول المحددة للمشاكل. تحتوي الإرشادات على مثال لإجراء عملية حسابية نموذجية (ستة مهام) ومهام التحكم بمبلغ 36 خيارًا. في نهايةالمطاف تعليمات منهجيةيتم إعطاء الإجابات على جميع المشاكل.
مثال على الحساب النموذجي
المشكلة 1. حل النظام
أ) الطريقة القضاء متسلسلمجهول؛
ب) طريقة المحددات. ج) طريقة المصفوفة.
حل. أ) يجب علينا (§1) كتابة مصفوفة من معاملات النظام، وإرفاق عمود من الحدود الحرة بها، مفصولة بشريط عمودي للراحة، وإجراء جميع التحويلات على صفوف هذه المصفوفة الموسعة.
دعونا نحول المصفوفة الموسعة لهذا النظام: 
. ليست هناك حاجة إلى مزيد من التحولات للمصفوفة الموسعة.
وهكذا نصل إلى نظام المعادلات
أو 
امتلاك الحل الوحيد X = –1, ذ = -2, ض = 1.
تبين أن النظام الأولي محدد.
ب). بالنسبة لنظامنا (§5 و§6) نقوم بحساب جميع المحددات الضرورية. هنا:
,
,
,
,
الآن نجد ذلك.
ج) مصفوفة معاملات المجهول هي:
. محددها D = | أ| = 2 إذن مصفوفة معكوسة أ- 1 موجود (§44 و §45)، و
ستكون مصفوفة الأعمدة للشروط الحرة لمعادلات النظام هي: . سيكون حل النظام هو المصفوفة:
، أي.
|
المشكلة 2. رؤوس المثلث تقع عند النقاط أ(–5; 1; 3), ب(-5؛ 4؛ 7) و ج(5؛ -4؛ -7). أوجد إحداثيات مركز ثقل المثلث، ومقدار الزاوية أواتجاه جيب التمام لمنصف هذه الزاوية.
حل. للعثور على إحداثيات نقطة Fهو مركز ثقل المثلث، علماً أنه يقسم الوسط دينار بحرينيبنسبة 2:1، عد من الأعلى ب، و نقطة ديقسم الجانب إعلانفي النصف (§§7-15). أوجد إحداثيات النقطة د، والتي نستخدم فيها الصيغ لتقسيم القطعة إلى النصف:
لذا، 
والفترة Fيقسم شريحة دينار بحرينيفى علاقة
.
العثور على إحداثيات النقطة F:
ومركز ثقل المثلث يقع عند النقطة 
من أجل العثور على الزاوية أنشير إلى المتجهات (الشكل 1)
و 
(اطرح إحداثيات البداية من إحداثيات النهاية) وأوجد أطوالها:
ثم 
,
والزاوية نفسها أسيكون مساوياً "37.17 درجة.
جيب تمام الاتجاه لمنصفات الزوايا أيمكن العثور عليها بطريقتين. دعونا ننظر إليهم.
1 الطريق. منصف الزاوية الداخليةيقسم المثلث الجانب الآخرإلى أجزاء متناسبة مع الجوانب المجاورة. وعلى هذا نستنتج أن هذه النقطة كيقسم شريحة شمال شرقفى علاقة 
العثور على إحداثيات النقطة ك:
|
لذلك، وناقل المنصف
طوله 
الطريقة 2. في اتجاهات المتجهات سننظر فيها ناقلات الوحدة
و 
.
إذا أضفنا هذه المتجهات، فسنحصل على متوازي الأضلاع مكافحة غسل الأموالسيكون في نفس الوقت المعين، وقطره السيكون منصف الزاوية أ. لذلك، 
لنجد طول هذا المتجه: 
المشكلة 3. حساب المسافة من النقطة ك(2؛ -1؛ -2) إلى المستوى ر، مرورا بالنقطة م 1 (3؛ -3؛ -5) وخط مستقيم 
رمن النقطة ك.
حل. يمر الخط المستقيم المعطى عبر هذه النقطة م 0 (6؛ 1؛ 2) موازي للمتجه = (6؛ 8؛ –5) (§27، المشكلة 4). دعونا نجد المتجه =(–3; –4; –7). ناقل الطائرة العادي رعمودي على المتجهات و ، حتى نتمكن من اتخاذها كمتجه عادي منتج ناقلاتناقلات و .
|
.
من الأفضل لنا أن نعتبره متجهًا، فالمتجه أقصر بـ19 مرة، أي = (4; –3; 0). الآن دعونا نكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة م 1 عمودي على المتجه:
4(س – 3) – 3(ذ + 3) = 0, ص: 4س – 3ذ – 21 = 0.
يبقى لحساب مسافة النقطة كمن الطائرة ر:
.
واكتب معادلة الخط العمودي الذي يسقط من النقطة كالى الطائرة ر:
.
المشكلة 4. المعادلات المعطاة X – 2في – 1 = 0, X + 3في– 6 = 0 و 3 X – في+ 2 = 0 ضلعي المثلث والوسيط. اكتب معادلات للضلع الثالث من المثلث وارتفاعه إلى هذا الجانب.
حل. دع معادلات الجانبين
أ.ب: X – 2في– 1 = 0 و قبل الميلاد: X + 3في – 6 = 0.
أوجد (§28) إحداثيات الرأس ب: 
ب(3; 1).
إحداثيات قمة الرأس بالمعادلة المتوسطة غير مرضية: 3 3 – 1 – 6 ¹ 0. لنرسم الوسيط من الرأس أإلى الجانب قبل الميلاد. أوجد إحداثيات الرأس
|
أ: 
أ(–1; –1).
دعونا الآن نوجد إحداثيات النقطة كتقاطع متوسط أ.ك.مع الجانب قبل الميلاد:
ك: 
ك(0; 2).
نقطة جيقسم شريحة ك.خارجيا فيما يتعلق 
.
لذلك، ج(–3; 3).
المتجه 
ومعادلة الجانب مكيف الهواءكمرور عبر نقطة أ، بالتوازي مع المتجه، سيتم كتابتها:
أو 2 س + ذ + 3 = 0.
ارتفاع ب.ح.يمر عبر الأعلى بوباعتباره ناقلًا عاديًا، يمكنك أخذ المتجه. ثم ستكتب معادلتها:
–2(س – 3) + 4(ذ– 1) = 0 أو س – 2ذ – 1 = 0.
المشكلة 5. من خلال النقطة في(8; -3) رسم خط مستقيم بحيث تكون مساحة المثلث الذي يتكون منه ومحاور الإحداثيات تساوي وحدة مربعة واحدة.
حل. لنأخذ معادلة الخط المستقيم على شكل معادلة خط مستقيم مقطع، حيث أو ب– قيم القطع المقطوعة بخط مستقيم عند محاور الإحداثيات(الفقرة 28).
|
المشكلة لها حلين واحد مستقيم ل 1 يتقاطع مع زاوية الإحداثيات الأولى أ > 0, ب> 0 و أب> 0. خط مستقيم آخر ل 2 يتقاطع مع زاوية الإحداثيات الثالثة، والتي أ < 0, ب < 0 и أب > 0.
مساحة المثلث وبما أننا لدينا على أية حال
بالإضافة إلى ذلك، يمر الخط المستقيم المطلوب عبر هذه النقطة فيوإحداثيات الأخير تحقق معادلة الخط المستقيم.
وبالتالي، وفقا لشروط المشكلة، لدينا النظام
دعونا نحل هذا النظام:
أو 
سيكون حل هذا النظام عبارة عن زوجين من القيم:
و
ولذلك فإن الخطوط المستقيمة المطلوبة لها المعادلات التالية:
|
أو س + 2ذ – 2 = 0;
أو 9 س + 32ذ – 24 = 0.
إجابة: X + 2في -2 = 0; 9X +32في –24 = 0.
المشكلة 6. من النقطة ب(4؛ 0) يتم توجيه الشعاع بزاوية قوسية على الخط المستقيم س – 2ذ
حل. 1). دع الشعاع الساقط يتجه في خط مستقيم بكالوريوس.، وبالتالي الزاوية باك س – 2ذ بكالوريوس.، يتم الحصول عليها عن طريق تدوير المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية φ. دعونا نستخدم الصيغ لحساب إحداثيات المتجه الذي يتم الحصول عليه عن طريق الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة ناقلات معينةفي زاوية ما (§20):
(1)
كمتجه، يمكنك أن تأخذ ناقلات ممتدة، أي. سوف تأخذ الصيغ (1) النموذج:
أو مع بيانات المهمة 
.
دعونا نجد معادلة الخط أ.ب، مرورا بالنقطة بولها ناقل عادي (§28):
4(س – 4) –3(ذ-0) = 0 أو 4 س – 3ذ = 16.
العثور على إحداثيات النقطة أ: 
بالنسبة للشعاع المنعكس، يمكن الحصول على المتجه العادي عن طريق تدوير المتجه بنفس الزاوية φ، ولكن الآن في اتجاه عقارب الساعة. باستبدال الزاوية φ بالزاوية –φ في صيغ حساب إحداثيات المتجه المحول، نحصل على النظام:
أو مع بيانات المهمة 
لتحديد إحداثيات المتجه كأعداد صحيحة، خذ المتجه 
. ثم ستكتب معادلة الشعاع المنعكس:
0(س – 10) – 5(ذ– 8) = 0 أو ذ = 8.
2). دع الآن يتم توجيه الشعاع الساقط في خط مستقيم قبل الميلاد، وبالتالي الزاوية قبل الميلاد.يساوي φ = القطب الشمالي. ناقل عادي لخط معين س – 2ذ+ 6 = 0 سيكون هناك أيضًا متجه، المتجه الطبيعي للشعاع الساقط مستقيم قبل الميلاد، يتم الحصول عليها عن طريق تدوير المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية π – φ، وهو ما يعادل – حتى اختيار الاتجاه – تدوير المتجه في اتجاه عقارب الساعة بزاوية φ. ولكن هذا سيكون مجرد ناقل . حادثة راي المعادلة قبل الميلادسيتم التسجيل: 0( س – 4) – 5(ذ– 0) = 0 أو ذ= 0. ثم مع(-6; 0) وبالنسبة للأشعة المنعكسة سيكون المتجه الطبيعي . وأخيرًا ستكتب معادلة الشعاع المنعكس: 4( س + 6) – 3(ذ– 0) = 0 أو 4 س – 3ذ + 24 = 0.
الجواب: 1) ذ = 8; 2) 4س – 3ذ + 24 = 0.
1. الجبر الخطي.
حل النظام المعادلات الخطيةأ) بطريقة الاستبعاد المتسلسل للمجهول؛ ب) طريقة المحددات. ج) طريقة المصفوفة.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 23. 24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
2. الجبر المتجه.
رؤوس المثلث تقع عند النقاط أ, فيو مع. أوجد إحداثيات مركز ثقل المثلث، واتجاه جيب تمام منصف الزاوية أوحجم هذه الزاوية .
| خيار | ||||||
| أ | –4;–2;–4 | –4; 2; –2 | –1; 2; –8 | –6; 3; –2 | –8; 2; –4 | –3; –2; –2 |
| ب | –3; 2; 4 | 4; –6; 2 | –3; –6; 8 | –6; 6; 2 | –7; 6; 4 | 4; 2; 2 |
| ج | 4; 2; 4 | –2; 6; 2 | 3; 6; –1 | 6; –6; –2 | 8; –6; –2 | –1; 2; 2 |
| خيار | ||||||
| أ | 2; –1; –1 | –5; 3; –2 | 7; 2; 0 | –1; 3; –5 | –8; 2; –3 | 5; –6; –4 |
| ب | 1; –3; –3 | 6; –7; –4 | –7; –6; –8 | 1; 7; –1 | –4; 6; 4 | –5; 5; –6 |
| ج | –2; 3; –3 | –2; 9; 4 | 8; 6; 8 | 1; –7; 6 | 8; –6; –5 | 5; 0; 4 |
| خيار | ||||||
| أ | 4; –1; 4 | –6; –4; 2 | –2; 1; –1 | 6; –3; –4 | 4; 5; 0 | 3; –2; –1 |
| ب | –4;–3;–12 | –8; 0; 6 | 2; –3; 1 | –10;–5; 4 | 5; 9; 8 | 5; 2; 3 |
| ج | 5; 3; 12 | 8; 4; –6 | –1; 3; 1 | 10; 5; 4 | –4;–9;–8 | –5; 2; –2 |
| خيار | ||||||
| أ | 5; 2; 1 | –6;–6;–3 | 1; –8; –4 | –6; 1; –2 | –1;–4;–8 | –7;–4;–3 |
| ب | –9;–6;–7 | –3; 0; 3 | –1; 8; 4 | –4; 5; 2 | 1; 4; 8 | –3; 4; 5 |
| ج | 9; 6; 8 | 6; 6; 3 | 2; –4; 4 | 6; –5; 2 | 0;–2;–6 | 7; 4; 5 |
| خيار | ||||||
| أ | 4; 2; –7 | –1;–4;–8 | 0;–3;–4 | 5; –1; 4 | –1; –8; 1 | 3; –3; 1 |
| ب | 5; 6; 1 | 1; 4; 8 | 3; –3; 0 | 6; 1; 6 | –3; 8; –7 | 7; 5; 9 |
| ج | –4; –6; 7 | 1; 0; –4 | 0; 3; 4 | –6; 1; –6 | 3; –4; 8 | –7;–5;–10 |
| خيار | ||||||
| أ | –5;–6;–4 | –1; 4; 3 | 4; –8; –4 | 3; 1; –2 | –2; 2; –6 | –8;–1;–4 |
| ب | 4; 6; –4 | 1; –7; –7 | 5; –4; 4 | –4; –3; 2 | 2; 6; 1 | –7; 3; 4 |
| ج | –4; –2; 4 | –1; 7; 7 | –4; 8; –2 | 4; 3; 0 | –2; –7; 6 | 8; –3; 4 |
3. المستوى والخط المستقيم في الفضاء.
1. حساب المسافة من النقطة ك(-5؛ 3؛ -2) إلى المستوى ر، مرورا بالنقطة م 0 (3؛ 2؛ 4) بالتوازي مع المتجه 
وعمودي على المستوى 4 س + ذ – 3ض – 7 = 0, رمن النقطة ك.
2. حساب المسافة من النقطة ك(1؛ -1؛ 4) إلى الطائرة ر، مرورا بالنقطة م 0 (–2; –5; 3) عمودي على الخط المستقيم 
واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
3. حساب المسافة من النقطة ك(-3; 0; 1) إلى المستوى ر، مرورا بالخط 
بالتوازي مع المتجه 
، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
4. حساب المسافة من النقطة ك(1 ؛ 1 ؛ 5) إلى الطائرة ر، مرورا بالنقطة م 0 (2;-1;-3) عمودي على طائرتين 5 س – 2ذ + 12ض+ 4 = 0 و 10 س + 7ذ + 24ض رمن النقطة ك.
5. حساب المسافة من النقطة ك(2 ؛ 5 ؛ 3) إلى الطائرة ر، مرورا بالنقطة م 0 (–4; 3; –1) موازية لخطين مستقيمين 
و 
، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
6. حساب المسافة من النقطة ك(4؛ -1؛ -2) إلى المستوى ر، مرورا بالخط 
عمودي على المستوى -4 س + 7ض+ 3 = 0، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
7. حساب المسافة من النقطة ك(4 ؛ 1 ؛ 3) إلى الطائرة ريمر عبر نقطتين م 1 (5؛ 3؛ -4) و م 2 (–8; 4; 8) رمن النقطة ك.
8. حساب المسافة من النقطة ك(4؛ -5؛ -2) إلى المستوى ر 
و 
، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
9. حساب المسافة من النقطة ك(1؛ -2؛ 3) إلى الطائرة ر، مرورا بالنقطة م 0 (4; –3; 1) بالتوازي مع متجهين 
رمن النقطة ك.
10. حساب المسافة من النقطة ك(1; -1; 0) إلى الطائرة ر، مرورا بالنقطة م 0 (5؛ 2؛ –2) وخط مستقيم، واكتب معادلات العمود العمودي الذي يسقط على المستوى رمن النقطة ك.
11. حساب المسافة من النقطة ك(2؛ -1؛ -2) إلى المستوى ر، مرورا بالنقطة م 0 (2; –4; 0) بالتوازي مع المتجه 
وعمودي على المستوى ذ + 3ض رمن النقطة ك.
12. حساب المسافة من النقطة ك(3 ؛ 1 ؛ 2) إلى الطائرة ر، مرورا بالنقطة م 0 (-4; –5;1) عمودي على الخط المستقيم 
واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
13. حساب المسافة من النقطة ك(2؛ -3؛ 4) إلى الطائرة ر، مرورا بالخط 
بالتوازي مع المتجه 
، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
14. حساب المسافة من النقطة ك(–3; 4; –8) إلى المستوى ر، مرورا بالنقطة م 0 (–1; 3; –5) عمودي على طائرتين 4 س – 2ذ + 3ض– 1 = 0 و 5 س + ض+ 9 = 0، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
15. حساب المسافة من النقطة ك(7 ؛ 2 ؛ 5) إلى الطائرة ر، مرورا بالنقطة م 0 (3; –2;11) موازي لخطين مستقيمين 
و 
، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
16. حساب المسافة من النقطة ك(3 ؛ 1 ؛ 6) إلى الطائرة ر، مرورا بالخط 
عمودي على المستوى -8 س + 3ذ + 5ض– 1 = 0، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
17. حساب المسافة من النقطة ك(3؛ 6؛ –6) إلى المستوى ريمر عبر نقطتين م 1 (2; 4; -5) و م 2 (2; 5; –6) بالتوازي مع المتجه 
، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
18. حساب المسافة من النقطة ك(-2؛ -1؛ 7) إلى المستوى رالمرور عبر خطين متوازيين 
و 
، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
19. حساب المسافة من نقطة ما ك(2 ؛ 1 ؛ 6) إلى الطائرة ر، مرورا بالنقطة م 0 (–1; –4; 8) موازية لمتجهين 
و 
، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
20. حساب المسافة من نقطة ما ك(1 ؛ 3 ؛ 1) إلى الطائرة ر، مرورا بالنقطة م 0 (5;2;-2) وخط مستقيم 
، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
21. حساب المسافة من نقطة ما ك(6 ؛ 3 ؛ 3) إلى الطائرة ر، مرورا بالنقطة م 0 (4; –3; 5) بالتوازي مع المتجه 
وعمودي على المستوى 7 س + 4ذ + 3ض– 2 = 0، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
22. حساب المسافة من نقطة ما ك(-3؛ 5؛ 3) إلى المستوى ر، مرورا بالنقطة م 0 (–3; 1; 2) عمودي على الخط المستقيم 
واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
23. حساب المسافة من نقطة ما ك(1؛ -2؛ 4) إلى الطائرة ر، مرورا بالخط 
موازيًا للمتجه، واكتب معادلات الخط العمودي الذي يسقط على المستوى رمن النقطة ك.
24. حساب المسافة من نقطة ما ك(7 ؛ 2 ؛ 5) إلى الطائرة ر، مرورا بالنقطة م س + 3ذ – 4ض+ 8 = 0 و ذ + ض رمن النقطة ك.
25. حساب المسافة من نقطة ما ك(–1; 4; –3) إلى المستوى ر، مرورا بالنقطة م 0 (4; –5; –2) موازية لخطين مستقيمين 
و 
، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
26. حساب المسافة من نقطة ما ك(-1؛ -1؛ -9) إلى المستوى ر، مرورا بالخط 
عمودي على الطائرة 3 س + ض+ 4 = 0، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
27. حساب المسافة من نقطة ما ك(-6؛ -1؛ -4) إلى المستوى ريمر عبر نقطتين م 1 (–1; 2; –6) و م 2 (4; –1; 2) بالتوازي مع المتجه 
، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
28. حساب المسافة من نقطة ما ك(2؛ 3؛ –3) إلى المستوى رالمرور عبر خطين متوازيين 
و 
، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
29. حساب المسافة من نقطة ما ك(–2; 3; –1) إلى المستوى ر، مرورا بالنقطة م 0 (1; -2; 3) بالتوازي مع متجهين 
و ، واكتب معادلات الشكل العمودي الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
30. حساب المسافة من نقطة ما ك(0؛ –1؛ –2) إلى المستوى ر، مرورا بالنقطة م 0 (3؛ -3؛ -5) ومباشر 
، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
31. حساب المسافة من نقطة ما ك(0; 2; –1) إلى المستوى ر، مرورا بالنقطة م 0 (–1; 1; –2) موازي للمتجه 
وعمودي على المستوى 2 س + 5ذ+ 6 = 0، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
32. حساب المسافة من نقطة ما ك(2 ؛ 4 ؛ 1) إلى الطائرة ر، مرورا بالنقطة م 0 (5; 2; –4) عمودي على الخط المستقيم 
واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
33. حساب المسافة من نقطة ما ك(4؛ -2؛ 3) إلى الطائرة ر، مرورا بالخط 
موازيًا للمتجه، واكتب معادلات الخط العمودي الذي يسقط على المستوى رمن النقطة ك.
34. حساب المسافة من نقطة ما ك(7؛ 2؛ –4) إلى المستوى ر، مرورا بالنقطة م 0 (2؛ -4؛ 1) عمودي على طائرتين 4 س + 3ذ – 4ض+ 8 = 0 و ذ + ض– 3 = 0، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
35. حساب المسافة من نقطة ما ك(-3؛ -2؛ -5) إلى المستوى ر، مرورا بالنقطة م 0 (1; 4; –3) موازية لخطين مستقيمين 
و ، واكتب معادلات الشكل العمودي الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
36. حساب المسافة من نقطة ما ك(2؛ -4؛ 1) إلى الطائرة ر، مرورا بالخط 
عمودي على الطائرة 7 س – 4ذ– 3 = 0، واكتب معادلات العمود الذي سقط على المستوى رمن النقطة ك.
4. مباشرة على متن الطائرة.
1. المعادلات المعطاة 2 X + 7في– 4 = 0 و 4 X – 5في+ 30 = 0 للضلعين المتجاورين لمتوازي الأضلاع ونقطة م(-6؛ 5) تقاطع قطريه. اكتب معادلات الضلعين الآخرين وقطري متوازي الأضلاع.
2. قم بتكوين معادلات الجوانب وحساب إحداثيات رؤوس المعين، مع معرفة أحد رؤوسه أ(6؛ -1)، النقطة يا(0؛ 1) تقاطع الأقطار والنقطة F(٢؛ ٣) من أحد الجوانب.
3. في المستطيل ا ب ت ثيتم إعطاء المعادلات X + 3في– 17 = 0 و X + 3في+ 3 = 0 من طرفيه والمعادلة X + 7في– 37 = 0 قطري. أوجد معادلتي الضلعين الآخرين والقطر الثاني للمستطيل.
4. نظرا لاثنين مع(-3؛ 2) و د(1، 4) القمم المجاورة لمتوازي الأضلاع ا ب ت ثوالفترة س(0; -1) تقاطع قطريه. اكتب معادلات لجميع الأضلاع والارتفاع المرسوم من الرأس أإلى الجانب شمسمتوازي الاضلاع.
5. احسب إحداثيات الرءوس واكتب معادلات أضلاع المعين إذا كانت المعادلات معروفة X – 7في+ 38 = 0 و X – 7في+ 8 = 0 من طرفيه والمعادلة X – 2في+ 8 = 0 لأحد قطريه.
6. نظرا لاثنين من القمم في(3 ؛ 7) و مع(-11؛ -7) مثلث ونقطة ر(٤ ؛ ٣) تقاطع مرتفعاتها. اكتب معادلات الأضلاع والوسيط المرسوم من الرأس الثالث للمثلث.
7. في المثلث اي بي سيالمعطى: المعادلة الجانبية أ.ب: X + في+ 1 = 0 ومعادلات الارتفاعين: أن: 3X – 8في+ 3 = 0 و VK: 3X + 2في+ 9 = 0. اكتب معادلة الوسيط المرسوم من الرأس المقابل للضلع المعطى.
8. إيجاد إحداثيات الرءوس وإنشاء معادلات لأضلاع المثلث بمعرفة أحد رءوسه أ(1، 3) والمعادلات 4 X + 7في– 1 = 0 و X – 4في– 13 = 0 ارتفاعين. اكتب معادلة ارتفاعه الثالث.
9. المعادلات المعطاة X – 2في – 4 = 0, 5X – في+ 7 = 0 و X + في– 1 = 0 لضلعي المثلث والوسيط. اكتب معادلات للضلع الثالث من المثلث وارتفاعه إلى هذا الجانب.
10. أنشئ معادلات لأضلاع المثلث بمعرفة أحد رؤوسه في(-1؛ 5)، وكذلك معادلات الارتفاع 3 X + في+ 5 = 0 والوسيط 3 X + 2في+ 4 = 0 مرسوم من رأس واحد.
11. إنشاء معادلات الجوانب وحساب إحداثيات رؤوس المعين، ومعرفة أحد رؤوسه في(2 ؛ 1) نقطة س(3؛ 3) تقاطع الأقطار والنقطة ر(١؛ ٢) على أحد الجانبين (مارًا بالرأس). في).
12. المعادلات المعطاة X + 3في + 7 = 0, 3X – 8في+ 4 = 0 و 4 X – 5في– 6 = 0 لضلعي المثلث والوسيط. اكتب معادلات للضلع الثالث من المثلث وارتفاعه إلى هذا الجانب.
13. في المستطيل ا ب ت ثالمعادلات المعطاة 4 X – في+ 34 = 0 و 4 X – في– 17 = 0 من طرفيه والمعادلة 7 X + 11في– 17 = 0 قطري. أوجد معادلتي الضلعين الآخرين والقطر الثاني للمستطيل.
14. نظرا لاثنين من القمم مع(-4؛ -4) و أ(3؛ -3) المثلثات والنقطة س(-١؛ ٥) تقاطع مرتفعاتها. اكتب معادلات الأضلاع والوسيط المرسوم من الرأس الثالث للمثلث.
15. نظرا لاثنين د(4 ؛ 1) و أ(-2؛ 3) القمم المجاورة لمتوازي الأضلاع ا ب ت ثوالفترة ر(1، 0) تقاطع قطريه. اكتب معادلات لجميع الأضلاع والارتفاع المرسوم من الرأس فيإلى الجانب قرص مضغوطمتوازي الاضلاع.
16. إيجاد إحداثيات الرءوس وإنشاء معادلات لأضلاع المثلث بمعرفة أحد رءوسه في(-3؛ 4) والمعادلات X – 5في+ 4 = 0 و 4 X – 3في+ 5 = 0 ارتفاعين. اكتب معادلة ارتفاعه الثالث.
17. احسب إحداثيات الرءوس واكتب معادلات أضلاع المعين إذا كانت المعادلات معروفة 13 X – في+ 28 = 0 و 13 X – في– 108 = 0 من طرفيه والمعادلة 3 X + 5في– 4 = 0 لأحد قطريه .
18. إنشاء معادلات لأضلاع المثلث بمعرفة أحد رؤوسه مع(5، 2)، وكذلك معادلات الارتفاع 2 X – في– 2 = 0 والمتوسطات X – في= 0، مأخوذة من قمة واحدة.
19. المعادلات المعطاة 2 X + في+ 5 = 0 و 4 X + 7في= 0 لضلعين متجاورين لمتوازي الأضلاع ونقطة م(1; -2) تقاطع قطريه. اكتب معادلات الضلعين الآخرين وقطري متوازي الأضلاع.
20. في المثلث اي بي سيالمعطى: المعادلة الجانبية شمس: 7X – 2في+ 13 = 0 ومعادلات الارتفاعين: ريال سعودى: 5X + 2في– 1 = 0 و ر: 3X – 5في– 11 = 0. اكتب معادلة الوسيط المرسوم من الرأس المقابل للجانب المعطى.
21. في المستطيل ا ب ت ثيتم إعطاء المعادلات X – في+ 2 = 0 و X – في+ 6 = 0 من طرفيه والمعادلة 3 X – 7في+ 26 = 0 قطري. أوجد معادلتي الضلعين الآخرين والقطر الثاني للمستطيل.
22. نظرا لاثنين من القمم أ(-10؛ 8) و في(11؛ 1) المثلث والنقطة ن(5; -7) تقاطع مرتفعاتها. اكتب معادلات الأضلاع والوسيط المرسوم من الرأس الثالث للمثلث.
23. نظرا لاثنين أ(2؛ -4) و في(4؛ 2) القمم المجاورة لمتوازي الأضلاع ا ب ت ثوالفترة يا(1; -1) تقاطع قطريه. اكتب معادلات لجميع الأضلاع والارتفاع المرسوم من الرأس معإلى الجانب إعلانمتوازي الاضلاع.
24. إيجاد إحداثيات الرءوس وإنشاء معادلات لأضلاع المثلث، ومعرفة إحداها ورءوسها مع(-2؛ -4) والمعادلات 6 X + 5في– 16 = 0 و X + 2في– 6 = 0 ارتفاعين. اكتب معادلة ارتفاعه الثالث.
25. احسب إحداثيات الرءوس واكتب معادلات أضلاع المعين إذا كانت المعادلات معروفة X + 4في+ 9 = 0 و X + 4في– 21 = 0 من طرفيه والمعادلة X – في– 1 = 0 لأحد قطريه .
26. إنشاء معادلات لأضلاع المثلث بمعرفة أحد رؤوسه أ(3;-7)، وكذلك معادلات الارتفاع 2 X + 3في+ 5 = 0 والوسيط X + 3في+ 7 = 0 مرسوم من رأس واحد.
27. المعادلات المعطاة 3 X – 5في+ 7 = 0 و X + 5في+ 9 = 0 للضلعين المتجاورين لمتوازي الأضلاع ونقطة ر(1، 0) تقاطع قطريه. اكتب معادلات الضلعين الآخرين وقطري متوازي الأضلاع.
28. في المثلث اي بي سيالمعطى: المعادلة الجانبية تكييف: X – 3في– 10 = 0 ومعادلات ذات ارتفاعين: AQ: 3 X + في= 0 و سم: X – 5في– 4 = 0. اكتب معادلة الوسيط المرسوم من الرأس المقابل للجانب المعطى.
29. إنشاء معادلات الجوانب وحساب إحداثيات رؤوس المعين مع معرفة أحد رؤوسه د(-4؛ 1)، النقطة ن( 2; – 1) تقاطع الأقطار والنقطة ت(-5؛ -1) على أحد الجانبين.
30. المعادلات المعطاة X – في + 4 = 0, 2X + 3في– 17 = 0 و في– 3 = 0 لضلعي المثلث والوسيط. اكتب معادلة للضلع الثالث من المثلث وانخفض ارتفاعه إلى ذلك الجانب.
31. نظرا لاثنين في(-3؛ 1) و مع(1؛ -4) القمم المجاورة لمتوازي الأضلاع ا ب ت ثوالفترة ن(2، 2) تقاطع قطريه. اكتب معادلات لجميع الأضلاع والارتفاع المرسوم من الرأس دإلى الجانب أ.بمتوازي الاضلاع.
32. إيجاد إحداثيات الرءوس وإنشاء معادلات لأضلاع المثلث بمعرفة أحد رؤوسه أ(3؛ -3) والمعادلات 7 X – 4في+ 2 = 0 و X – 7في+ 11 = 0 ارتفاعين. اكتب معادلة ارتفاعه الثالث.
33. احسب إحداثيات الرءوس واكتب معادلات أضلاع المعين إذا كانت المعادلات معروفة X – 8في+ 11 = 0 و X – 8في– 49 = 0 من طرفيه والمعادلة 2 X – في– 8 = 0 لأحد قطريه .
34. أنشئ معادلات لأضلاع المثلث بمعرفة أحد رؤوسه في(-9؛ -6)، وكذلك معادلات الارتفاع 4 X + في+ 13 = 0 والوسيط 2 X – في+ 5 = 0 مرسوم من رأس واحد.
35. المعادلات المعطاة 7 X + 4في+ 63 = 0 و 3 X + 10في+ 27 = 0 للضلعين المتجاورين لمتوازي الأضلاع ونقطة ك(-2؛ -5) تقاطع قطريه. اكتب معادلات الضلعين الآخرين وقطري متوازي الأضلاع.
36. في المثلث اي بي سيالمعطى: المعادلة الجانبية أ.ب: X + في+ 2 = 0 ومعادلات الارتفاعين: أن: 4X + في+ 11 = 0 و في دي: 6X – في+ 5 = 0. اكتب معادلة الوسيط المرسوم من الرأس المقابل للجانب المعطى.
5. معادلة الخط المستقيم في القطاعات.
من خلال النقطة معرسم خط مستقيم بحيث تكون مساحة المثلث الذي يتكون منه ومحاور الإحداثيات متساوية سوحدات مربعة.
| خيار | |||||||||
| مع | –8; –9 | 2; –2 | 8; 3 | –4; 2 | 1; 2 | 6; 1 | –4; –5 | 9; –4 | –8; 6 |
| س، مربع. وحدات | 1,5 | ||||||||
| خيار | |||||||||
| مع | 4; 3 | 2; –3 | 2; –9 | –3; 8 | 6; 6 | 5; –6 | –2; 2 | 4; 4 | –3; 2 |
| س، مربع. وحدات | 1,5 | 7,5 | 1,5 | ||||||
| خيار | |||||||||
| مع | 2; 4 | –8; 1 | –6; –2 | 8; –5 | 1; –4 | 4; 6 | 4; –1 | 6; 8 | –2; –6 |
| س، مربع. وحدات | |||||||||
| خيار | |||||||||
| مع | 8; –1 | –4; 3 | –8; –2 | 5; –4 | 6; 5 | –5; –8 | 3; 2 | 8; 3 | 4; –2 |
| س، مربع. وحدات | 7,5 |
6. تدوير المتجه بزاوية.
1. بالنظر إلى معادلات ضلعين للمربع: س – 3ذ+ 8 = 0 و س – 3ذ– 2 = 0. أكتب معادلات لضلعيه الآخرين بشرط أن تكون النقطة أ(-6، -6) يقع على جانب هذا المربع.
2. نقطة ب(1، 4) هو رأس المربع الذي يقع قطره على السطر 3 س – 4ذ– 12 = 0. أوجد إحداثيات الرءوس المتبقية للمربع.
3. ب مثلث قائمفي القمة مع(4؛ -1) زاوية حادة يساوي أركان 3 ومكافئ. الجانب المعاكس 2س + ذ– 2 = 0. أوجد إحداثيات الرءوس المتبقية للمستطيل.
4. نظرا لاثنين القمم المعاكسةمربع أ(5 ؛ 1) و مع(-4 ؛ 2). أوجد إحداثيات الرأسين الآخرين واكتب معادلات قطري المربع.
5. من نقطة ما F(0; -4) يتم توجيه الشعاع بزاوية arctan2 إلى الخط المستقيم 2 س – ذ+ 6 = 0. أوجد معادلة الشعاع المنعكس من هذا الخط.
6. نقطة مع(-4, -5) هو رأس المربع الذي يقع أحد أضلاعه على الخط المستقيم س – 2ذ+ 4 = 0. أوجد إحداثيات الرءوس المتبقية للمربع.
7. أوجد إحداثيات رؤوس المستطيل مثلث متساوي الساقينمعرفة معادلة الوتر 2 س – 3ذ– 5 = 0 وأعلى زاوية مستقيمة أ(–1; 2).
8. إعطاء معادلات ضلعين للمربع س + 2ذ– 9 = 0 و س + 2ذ+ 6 = 0. اكتب معادلات الضلعين الآخرين بشرط أن تكون النقطة F(-4; 4) تقع على جانب هذا المربع.
9. نقطة مع(2؛ 5) هو رأس المربع الذي يقع قطره على الخط 2 س + 3ذ– 6 = 0. أوجد إحداثيات الرءوس المتبقية للمربع.
10. في المثلث القائم عند قمة الرأس أ(-9; 5) الزاوية الحادة تساوي arctan5 ومعادلة الساق المقابلة س + 2ذ+ 4 = 0. أوجد إحداثيات الرءوس المتبقية للمستطيل.
11. بالنظر إلى رأسين متقابلين للمربع في(-3؛ 1) و د(3 ؛ 3). أوجد إحداثيات الرأسين الآخرين واكتب معادلات قطري المربع.
12. من نقطة ن(-8; 8) بزاوية arctan4 إلى الخط المستقيم 3 س – 2ذ– 12 = 0 شعاع موجه . أوجد معادلة الشعاع المنعكس من هذا الخط.
13. نقطة د(-5; 1) هو رأس المربع الذي يقع أحد أضلاعه على الخط المستقيم س + 2ذ– 7 = 0. أوجد إحداثيات الرءوس المتبقية للمربع.
14. أوجد إحداثيات رؤوس المثلث متساوي الساقين القائم، بمعرفة معادلة الوتر 2 س + 3ذ= 0 ورأس الزاوية القائمة في(3; 5).
15. بالنظر إلى معادلتي ضلعي المربع 4 س + ذ+ 33 = 0 و 4 س + ذ– 18 = 0. أكتب معادلات لضلعيه الآخرين بشرط أن تكون النقطة ن(-1؛ 5) يقع على جانب هذا المربع.
16. نقطة د(-8، -5) هو رأس المربع الذي يقع قطره على الخط 3 س + 5ذ+ 15 = 0. أوجد إحداثيات الرءوس المتبقية للمربع.
17. في المثلث القائم عند قمة الرأس في(5؛ 1) الزاوية الحادة تساوي arctan2 ومعادلة الضلع المقابل لها هي 2 س – ذ+ 6 = 0. أوجد إحداثيات الرءوس المتبقية للمثلث.
18. بالنظر إلى رأسين متقابلين للمربع مع(6 ؛ 2) و أ(-5؛ 3). أوجد إحداثيات الرأسين الآخرين واكتب معادلات قطري المربع.
19. من نقطة ر(1؛ 4) يتم توجيه الشعاع بزاوية على الخط المستقيم س + 3ذ– 3 = 0. أوجد معادلة الشعاع المنعكس من هذا الخط.
20. نقطة أ(2؛ 4) هو رأس المربع الذي يقع أحد أضلاعه على السطر 7 س + 5ذ+ 40 = 0. أوجد إحداثيات الرءوس المتبقية للمربع.
21. أوجد إحداثيات رؤوس المثلث متساوي الساقين القائم بمعرفة معادلة الوتر 11 س – 5ذ– 13 = 0 ورأس الزاوية القائمة مع(6; –4).
22. بالنظر إلى معادلتي ضلعي المربع 2 س – 5ذ– 45 = 0 و 2 س – 5ذ+ 13 = 0. اكتب معادلات الضلعين الآخرين بشرط أن تكون النقطة ر(3; -2) يقع على جانب هذا المربع.
23. نقطة أ(-1, -4) هو رأس المربع الذي يقع قطره
1.137 قدم مربع وحدات 2.10؛ 20. 3. 4. 
,
,
.
5. 
و 
6. 
,
,
.
7. 
,
,
,
.
8. 
,
,
. 9.1) دائرة مركزها القطب ونصف قطرها 6. 2) شعاع يخرج من القطب مائلاً على المحور القطبي بزاوية . 3) خط مستقيم متعامد مع المحور القطبي، يقطع قطعة منه، عد من القطب 
. 4) خط مستقيم يقع في النصف العلوي من المستوى الموازي للمحور القطبي ويبعد عنه مسافة 6. 5) دائرة مركزها 
ونصف قطرها 3. 6) دائرة ذات مركز 
ونصف القطر 1. 10. القطع الناقص 
,
,
,
,
. 11. الغلو 
.
,
,
. 12. الغلو 
. 13. القطع المكافئ: ب) ج) 
14. أ) -7، ب) -21، ج) -139، د) -2. 15. 
.
16. 
.
17. 
,
,
,
.
18. -2. 19. -2. 20. 
.
21. 
.
22. 
,
.
23. 
,
.
24. 
,
.
25.
.
26. 
.
27. -29. 28. 
- الحق ثلاثة. 29. 
مكعب وحدات 30. - 6.
31. .
32. .
33. .
34. 
.
35. 
.
36. 
.
37. 
و 
..
38. 
.
39. 
.
40. 
.
41. 
.
42. 
.
43. 
.
44. 
.
45. 1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) ,
5) 
.
47. 
,
.
48. 
، أين 
.
49. 
,
,
,
. 50. أ) 
، ب) 
.
51. 
,
,
.
52. أ) نعم، ب) لا. 53. 
- أي رقم. 54. نعم. 55. أ) الإسقاط على الطائرة ش
ب) الانعكاس بالنسبة للمحور 
. 56. المشغل 
خطي؛
– مصفوفتها في الأساس 
.
57. 
,
,
.
58. القيم الذاتية: 
,
,
، المتجهات الذاتية: ل 
,
، أين 
; ل 
,
، أين 
; ل 
,
أين 
.
الخيار رقم 23
الهندسة التحليلية على المستوى: المهام البسيطة للهندسة التحليلية على المستوى؛ مباشرة على متن الطائرة؛ خطوط النظام الثاني على متن الطائرة
1. بالنظر إلى رأسين متجاورين للمربع أ(2، 1) و في(6، -1). احسب مساحتها.
2. نظرا لثلاثة رؤوس أ(4, -6), في(6, -6), مع(-1، 6) متوازي الأضلاع اي بي سيد، الذروة الرابعة دعكس في. حدد أطوال أقطار متوازي الأضلاع هذا.
3. ابحث عن إحداثيات النقطة م 1 , نقطة متناظرة م 2 (0، 1) نسبة إلى الخط المار بالنقاط أ(8, 2), في(5, 0).
4. بالنظر إلى رؤوس المثلث أ(4, 1), في(1, –1), مع(5، 2). اكتب معادلة ارتفاعاته.
5. شريحة محدودة بالنقاط أ(7، 10) و في(١٣، ١٣)، مقسمة إلى ثلاثة أجزاء متساوية. تحديد إحداثيات نقاط التقسيم.
6. نظرا لاثنين من القمم أ(-5، 2) و في(3، -2) مثلث اي بي سيوالفترة ن(2، 2) تقاطع مرتفعاتها. اكتب معادلات أضلاع هذا المثلث.
7. نقطة أ(-2، 5) هو رأس المربع الذي يقع قطره على الخط 
. اكتب معادلات جوانب هذا المربع.
8. إنشاء معادلات لأضلاع المثلث اي بي سي,
إذا تم إعطاء أحد القمم أ(2، 8) ومعادلات متوسطين 
,
.
ملحوظة. تأكد من النقطة أ
والفترة أ
. يترك 
و 
- رؤوس المثلث الواقعة على المتوسطات 
و 
على التوالي، والنقاط 
و 
- نقاط المنتصف للقطاعات أ.بو تكييفعلى التوالى. بعد ذلك، عليك العثور على إحداثيات القمم فيو معمثلث. منذ النقاط مو معتقع على الوسيط 
، الذي - التي 
. ثم من العلاقة 
يجد 
; مزيد من استبدال القيمة العددية 
في المعادلة ل 
، يجد 
. ثم معرفة 
و 
، يجد 
وفقا للصيغة 
. بعد ذلك، استبدال القيمة العددية 
في المعادلة ل 
، يجد 
. معرفة 
و 
، من العلاقة 
يجد 
. وأخيرًا، بمعرفة إحداثيات جميع رؤوس المثلث، أوجد المعادلات العامة لأضلاعه.
9. حدد الخطوط المحددة في الإحداثيات القطبية بالمعادلات التالية (قم بإنشائها على الرسم):
أ) 
; ب) 
; الخامس) 
; ز) 
;
د) 
; ه) 
.
10. حدد الخط الذي تحدده المعادلة. أوجد إحداثيات مركزها، وشبه المحور، والانحراف المركزي. جعل الرسم.
11. اكتب معادلة للقطع الزائد وأوجد إحداثيات مركزه وشبه محوره، إذا علم أن الرأس الأيسر للقطع الزائد يقع عند البؤرة اليمنى للقطع الناقص: بينما الرأس الأيمن للقطع الزائد يقع عند قمة القطع المكافئ 
، الانحراف المركزي للقطع الزائد يساوي 
.
12. أنشئ معادلة خط مستقيم، لكل نقطة المسافة من النقطة أ(١، ٢) ضعف المسافة من الخط المستقيم 
. تحديد الخط الذي هو عليه؛ جعل الرسم.
13. يتم إعطاء الخط بالمعادلة 
الخامس النظام القطبيالإحداثيات
المطلوب: أ) إنشاء خط باستخدام النقاط التي تبدأ من 
قبل 
والعطاء 
القيم عبر الفاصل الزمني 
;
ب) العثور على معادلة هذا الخط في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، حيث يتطابق الأصل مع القطب، ويتطابق نصف المحور الموجب مع المحور القطبي؛
ج) باستخدام المعادلة الناتجة، حدد الخط الذي ينتمي إليه.
المحددات. الأساس في الفضاء. إحداثيات المتجهات
14. احسب المحددات:
أ) وفقا لقاعدة المثلث؛
ب) التوسع في عناصر الصف الأول؛
ج) التوسع في عناصر العمود الثاني؛
د) الاختزال إلى الشكل الثلاثي:
أ) 
، ب) 
، الخامس) 
، ز) 
.
15. يتم إعطاء المتجهات: 
1 =(3,
-2, 1);
2 =(0,
-1, 3);
3 =(2,
4, 0);
=(-9، 4، 3) في بعض الأساس. أظهر أن المتجهات الثلاثة الأولى نفسها تشكل أساسًا وأوجد إحداثيات المتجه 
على هذا الأساس.
3. العمليات الخطية على المتجهات. إسقاط المتجه على المحور. العددية والمتجهة والمنتجات المختلطة من المتجهات.
16. ابحث عن إحداثيات متجه الوحدة (orta) 
، الاتجاه المشترك مع المتجه 
=(7,
-4, 4).
17. ناقلان 
=(6، 2، -3) و 
=(-1، –2، 2) يتم تطبيقها على نقطة واحدة. البحث عن الإحداثيات:
أ) أورتوف 
و 
ثلاثة أبعاد 
و 
;
ب) ناقلات 
+
;
ج) ناقلات 
، موجهة على طول منصف الزاوية بين المتجهات 
و 
بشرط 
.
18. أوجد إسقاط المتجه 
=(2، 4، 3) على اتجاه المتجه 
.
19. أوجد إسقاط المتجه 
لكل محور، مكون مع محاور الإحداثيات 
و 
الزوايا 
ومع المحور 
زاوية منفرجة 
.
20. إعطاء مربع ا ب ت ث
(يتم تحديد القمم في اتجاه عقارب الساعة)، وطول ضلعها 8. نقطة عنيتم اختياره في الطائرة المربعة بحيث 
,
. يجد 
.
أ) إدخال نظام الإحداثيات المستطيل الديكارتي 
بدءا من نقطة عنبحيث يكون المحور 
تم توجيهه على طول المتجه 
، والمحور 
أشر نحو موقع الساحة.
ب) حساب الطول 
أقطار المربع، تأكد (باستخدام نظرية فيثاغورس) من ذلك 
- مستطيلي ( 
)، وبالتالي 
;
ج) أوجد إحداثيات المتجه 
، أوجد إحداثيات المتجهات 
و 
(بوضوح 
)، وذلك باستخدام المساواة 
، أوجد إحداثيات المتجه 
;
د) معرفة إحداثيات المتجهات 
و 
، يجد 
، أين 
، و 
.
21. المتجهات 
(0، -2، -4) و 
هي جوانب متوازي الأضلاع OASV. النقطة N هي منتصف الجانب شمس. يجد 
.
22. نظرا 
2,
3,
. يجد 
وحجم الزاوية بين المتجهات 
و 
، لو 
.
23. احسب إحداثيات منتج المتجهات 
وطوله 
، لو 
=(1,
3, 0), 
.
24. بالنظر إلى رؤوس المثلث اي بي سي: أ(1, -1, 2),في(2، 1، 0) و مع(6، 3، 4). أوجد مساحة المثلث وطول الارتفاع المسقط من رأسه أ.
25. المتجهات 
، متعامد مع المحور 
وناقلات 
(-3، 4، 1) وأشكال ذات المحور 
زاوية حادة. البحث عن إحداثيات المتجهات 
، لو 
15.
26. أوجد مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات 
و 
، لو 
,
و 
.
27. حساب المنتج المختلط للمتجهات 
,
(1,
-2, 0), 
(-1,
0, 2).
28. على الأساس الصحيح 
يتم إعطاء المتجهات: 
,
,
. أظهر أن هذه المتجهات الثلاثة ليست مستوية؛ ضبط اتجاه المتجه الثلاثي 
.
29. احسب حجم الهرم الذي رؤوسه أ(1, 2, 1), في(–2, 3, –3), مع(1, 3, 3), د(2, 1, -3).
30. المتجهات 
عمودي على المتجهات 
و 
. احسب 
، لو 
,
,
1,
4، والثلاثة ناقلات 
- غادر.
4. الهندسة التحليلية في الفضاء: المستوي والخط المستقيم في الفضاء؛ أسطح الدرجة الثانية
31. أنشئ معادلة لمستوى يمر بالنقطة M 0 (1، 2، -1)، موازياً للمستوى 
.
32. إنشاء معادلة لمستوى يمر بالنقطة M 0 (3، 4، 0) والخط المستقيم 
.
33. اكتب معادلة لمستوى يمر عبر خط 
عمودي على الطائرة 
.
34. أنشئ معادلة لمستوى يمر بالنقطة M 0 (3, 0, 2) عمودي على مستويين 
و .
35. أوجد المسافة 
من النقطة M 0 (2، 2، -1) إلى المستوى.
36. بالنظر إلى رؤوس المثلث أ(2, 2, -1), في(4, 3, 1), مع(2، -3، -2). قم بتكوين المعادلات القانونية لمنصف زاويته الداخلية عند الرأس في.
37. على المحور 
العثور على إحداثيات النقاط الواقعة على مسافة من الطائرة 
=2.
38. قم بتكوين المعادلات القانونية للخط الذي يمر عبر النقطة M 0 (1، 2، –1)، الموازي للخط، 
,
,
.
39. أوجد إحداثيات نقطة تقاطع الخط 
والطائرات 
.
40. العثور على إسقاط نقطة ر(3، 3، 0) إلى الخط المستقيم 
,
+1,
.
41. العثور على إحداثيات نقطة س، نقطة متناظرة ر(3، 3، 4) نسبة إلى المستوى 
.
42. العثور على إحداثيات نقطة س، نقطة متناظرة ر(5، 2، 4) نسبة إلى الخط المستقيم 
.
43. حساب المسافة 
من النقطة ر(1، -2، -2) إلى الخط المستقيم 
.
44. أوجد المعادلات القانونية للخط 
، الذي يمر بالنقطة M 0 (5، 1، 7) الموازية للمستوى ويتقاطع مع الخط 
.
ملحوظة. استخدم تسلسل الإجراءات:
أ) إنشاء معادلة المستوى 
، مروراً بالنقطة M 0، موازية للطائرة 
;
ب) أوجد إحداثيات النقطة M 1 من تقاطع الخط 
مع الطائرة 
(انظر المشكلة 39)؛
ج) قم بتكوين المعادلات الأساسية للخط الذي يمر عبر النقطتين M 0 و M 1.
45. بالنظر إلى إحداثيات رؤوس الهرم أ 1 (–1, 3, 3), أ 2 (4, 2, 4), أ 3 (2، 0، 1)، أ4 (3، 3، 5). يجد:
الزاوية بين الأضلاع أ 1 أ 2 و أ 1 أ 4 ;
زاوية الحافة أ 1 أ 4 والحافة أ 1 أ 2 أ 3 ;
معادلة الخط أ 1 أ 2 ;
معادلة الطائرة أ 1 أ 2 أ 3 ;
5) معادلة الارتفاع المسقط من الرأس أ 4 إلى الحافة أ 1 أ 2 أ 3 .
46. أنشئ رسماً تخطيطياً لجسم محاط بأسطح:
أ) 
,
,
(
).
ب) 
,
,
.
5. عناصر الجبر الخطي: أنظمة المعادلات الخطية. المصفوفات. مساحة المتجهات الخطية؛ العوامل الخطية
47. حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس
48. ابحث عن جميع المصفوفات الحقيقية التي تنتقل مع المصفوفة 
.
49. ابحث عن المصفوفة حيث
أ= 
، الخامس= 
، ج= 
.
50. أوجد رتبة المصفوفات:
أ) 
; ب) 
.
51. نظرا لنظام المعادلات الخطية
إثبات توافقها وحلها بثلاث طرق:
أ) طريقة غاوس.
ب) عن طريق حساب التفاضل والتكامل المصفوفة.
ج) وفقا لصيغ كريمر.
52. هل المساحات الخطية الحقيقية:
أ) مجموعة جميع المصفوفات الحقيقية من الدرجة الثانية للنموذج 
، أين 
;
ب) مجموعة جميع المصفوفات الحقيقية من الدرجة الثانية للنموذج 
، أين 
.
53. البحث عن جميع القيم 
، والتي ناقلات 
يتم التعبير عنها خطيًا من حيث المتجهات 
، لو 
=(1,
–2, 
),
=(-1,
-1, -1), 
=(1,
1, 2), 
=(2,
4, 6).
54. معرفة ما إذا كان هذا النظامناقلات من 
تعتمد خطيا؟ 
=(1,
2, 0, 1), 
=(2,
1, -1, -1), 
=(1,
2, 2, 2), 
=(3,
3, -1, 0).
55. اكتشف المعنى الهندسي لعمل العوامل الخطية المعطاة في الفضاء العادي أوهض، التي ترتبط مصفوفاتها بالأساس المتعامد 
لديك النموذج:
أ) 
; ب) 
.
56. في الفضاء ر 2
جميع كثيرات الحدود درجة 
عطوف 
، أين 
المشغل أو العامل 
يعمل مثل هذا: 
. اثبات أن المشغل 
خطية وإيجاد مصفوفتها في الأساس 
,
,
.
57. في الفضاء العادي، العامل الخطي 
مرايا المتجهات بالنسبة إلى الخط المستقيم 
، والمشغل الخطي 
مشاريع المتجهات بشكل متعامد على المستوى 
. البحث عن مصفوفات العوامل الخطية 
,
,
في الأساس 
.
58. أوجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للتحول الخطي المحدد على أساس معين بواسطة المصفوفة 
.
§ 14. المعادلة العادية للخط. مشكلة تحديد المسافة من نقطة إلى خط
السماح على متن الطائرة xOyيتم إعطاء خط مستقيم. دعونا نرسم عمودًا على هذا الخط من خلال نقطة أصل الإحداثيات ونطلق عليه العمودي. دعونا نشير
خلال رنقطة تقاطع العمودي مع خط معين وضبط الاتجاه الإيجابي للعمودي من هذه النقطة عنالى حد، الى درجة ر.
إذا كانت a هي الزاوية القطبية للعمودي، ص- طول المقطع (الشكل 10)، فيمكن كتابة معادلة هذا الخط المستقيم على الصورة
xcosα + ذ الخطيئة α - ع = 0؛
تسمى المعادلة من هذا النوع عادية.
دعونا نعطي بعض النقاط المستقيمة والتعسفية
هراء. 10 م*؛دعونا نشير بواسطة d إلى مسافة النقطة م*من هذا الخط. انحراف النقطة م*من خط يسمى الرقم +d , لو نقطة معينةوأصل الإحداثيات يقع على طول جوانب مختلفةمن سطر معين، و - و،إذا كانت نقطة معينة ونقطة الأصل تقعان على نفس الجانب من خط معين. (بالنسبة للنقاط الواقعة على الخط المستقيم = 0.)
إذا تم إعطاء إحداثيات x*، ص*نقاط م*والمعادلة العادية للخط xcosα + ذ الخطيئةα -ع = 0;ثم الانحراف https://pandia.ru/text/79/428/images/image003_21.gif" width="15" height="19"> = ×*كوسألفا أ + ذ * الخطيئة α - ر.
وبالتالي، للعثور على انحراف أي نقطة M * من خط مستقيم معين، تحتاج إلى ذلك الجهه اليسرىالمعادلة العادية لهذا الخط، بدلًا من الإحداثيات الحالية، استبدل بإحداثيات النقطة م*.سيكون الرقم الناتج مساوياً للانحراف المطلوب.
للعثور على المسافة d من نقطة إلى خط، يكفي حساب الانحراف وأخذ وحدته: d =
إذا أعطيت المعادلة العامةخط مستقيم Аx+Bу+С=0، ثم للوصول إلى الشكل الطبيعي، تحتاج إلى ضرب جميع حدود هذه المعادلة بعامل التطبيع μ ., تحددها الصيغة
تم تحديد علامة عامل التطبيع علامة المعاكسالمدى الحر للمعادلة الطبيعية.
309. حدد أي المعادلات الخطية التالية طبيعية:
1) س- ذ-3=0; 2) النمط EN-US = "اللون: أسود">x - ذ-1 = 0;
3) https://pandia.ru/text/79/428/images/image010_3.gif" width = "21" height = "41 src = "> في + 2 = 0; 4)-اللون:أسود">+اللون:أسود">- 2 = 0;
5) - X + 2 = 0; 6) X - 2 = 0; 7) في + 2 = 0; 8) - في - 2 = 0.
310. اخفض المعادلة العامة للخط إلى صورتها الطبيعية في كل من الحالات التالية:
1) 4X -3في-10 = 0; 2) س -ذ+10 = 0;
3) 12X - 5في + 13 = 0; 4) X + 2 = 0; 5) 2X - في -= 0.
311. يتم إعطاء معادلات الخطوط:
1) X-2 = 0; 2) X + 2 = 0; 3) في -3 = 0; 4) في + 3 = 0;
5) س + في-6 = 0; 6) X-في+2 = 0; 7) X + في+2 = 0;
8) سكوس ب -y الخطيئة ب - س = 0, س >0; ب - الزاوية الحادة.
9) سكوس ب + ذ الخطيئة ب + س = 0, س > 0; ب - الزاوية الحادة .
تحديد الزاوية القطبية للعموديأ والجزء رلكل سطر من هذه السطور؛ على أساس قيم المعلمة التي تم الحصول عليهاأ و رارسم هذه الخطوط على الرسم (وفي الحالتين الأخيرتين، قم ببناء الخط المستقيم عن طريق العدب = 30 درجة و س = 2).
312. احسب مقدار الانحرافد والمسافة دنقطة من خط مستقيم في كل من الحالات التالية:
1)أ(2;-1)) 4X + 3في+10 = 0;
2) في(0; - 3), 5X-12في-23=0;
3) ر(-2; 3), 3X -4في -2 = 0;
4) س(ل؛ -2)، X-2في -5 = 0.
313. تحديد ما إذا كانت النقطة تكمن م(1; -3) وأصل الإحداثيات على أحد الجانبين أو الجهة المقابلة لكل من الخطوط التالية:
1) 2X-في + 5 = 0; 2) X -3في -5 = 0; 3) 3X+2في-1 = 0;
2) X-3في+ 2 = 0; 5) 10X + 24في+15 = 0.
314. نقطة أ(2؛ -5) هو طول المربع الذي يقع أحد أضلاعه على خط مستقيم
X - 2في- 7 = 0.
احسب مساحة هذا المربع.
315. بالنظر إلى معادلات ضلعين للمستطيل
3X -2في - 5 = 0, 2X + 3في + 7 = 0
وأحد قممها أ(-2؛ 1). احسب مساحة هذا المستطيل.
316. أثبت أنه مستقيم
2X+في+3 = 0
يتقاطع مع قطعة تحدها نقاط أ(-5؛ 1) و في(3; 7).
317. أثبت أنه مستقيم
2X -3في+6 = 0
لا يتقاطع مع قطعة الخط محدودة بالنقاط م1(- 2؛ -3) وM2(1؛ -2).
318. الرؤوس المتتالية للشكل الرباعي هي نقاط أ(-3; 5), في(- 1; -4), ج(7؛- 1) و د(2 ؛ 9). حدد ما إذا كان هذا الشكل الرباعي محدبًا أم لا.
319. الرؤوس المتتالية للشكل الرباعي هي نقاط أ(-1; 6), ب(1; -3), مع(4 ؛ 10) و د(9 ؛ 0). حدد ما إذا كان هذا الشكل الرباعي محدبًا أم لا.
320. بالنظر إلى رؤوس المثلث: أ(-10; -13), في(- 2؛ 3) و مع(2 ؛ 1). احسب طول العمود الذي سقط من قمة الرأس فيإلى الوسيط المرسوم من الرأس مع.
321. الجوانب AB، شمسو سامثلث اي بي سييتم إعطاءها على التوالي بواسطة المعادلات
X+ 21في - 22 = 0, 5X- 12في+ 7 = 0, 4X - 33في+ 146 = 0.
احسب المسافة من مركز ثقل هذا المثلث إلى ضلعه شمس.
322. حساب المسافة دبين الخطوط المتوازية في كل من الحالات التالية:
1) 3X -4في-10 = 0, 2) 5X-12في + 26 = 0,
6X -8في+ 5 = 0; 5X-12في-13 = 0;
3) 4X - 3في+ 15 = 0, 4) 24X-10في + 39 = 0,
8X-6في+ 25 = 0; 12X -2في -26 = 0.
323. ضلعان للمربع يقعان على خطوط مستقيمة
5X- 12في - 65 = 0, 5X- 12في + 26 = 0.
احسب مساحتها.
324. إثبات أن الخط
5X- 2في- 1 = 0
موازية لخطوط مستقيمة
5X -2في + 7 = 0, 5X -2في-9 = 0
ويقسم المسافة بينهما إلى النصف.
325. نظرا لثلاثة خطوط متوازية
10X+15في -3 = 0, 2X+3في + 5 = 0, 2X+3في -9 = 0.
أثبت أن أولهما يقع بين الاثنين الآخرين، واحسب النسبة التي يقسم بها المسافة بينهما.
326. أثبت ذلك من خلال نقطة ف (2؛ 7) يمكنك رسم خطين مستقيمين بحيث تكون المسافة بينهما من النقطة س(ل؛ 2) كانت تساوي 5. اكتب معادلات هذه الخطوط.
327. أثبت ذلك من خلال نقطة ر(2؛ 5) يمكن رسم خطين مستقيمين بحيث تتباعد المسافة بينهما عن النقطة س(5؛ 1) كانت تساوي 3. اكتب معادلات هذه الخطوط.
328. أثبت ذلك من خلال نقطة مع(7;-2) من الممكن رسم خط مستقيم واحد فقط بحيث تكون المسافة بينه وبين النقطة أ(4؛ - 6) كان يساوي 5. كوّن معادلته.
329. أثبت ذلك من خلال نقطة في(4; -5) من المستحيل رسم خط مستقيم بحيث تكون المسافة بينه وبين النقطة مع(- 2؛ 3) كان يساوي 12.
330. اشتقاق المعادلة موضعالنقاط التي يكون انحرافها عن الخط المستقيم 8 X-15في- 25 = 0 يساوي -2.
331. اكتب معادلات الخطوط الموازية للخط 3 X-4في- 10 = 0 وتقع على مسافة منه د=3.
332. بالنظر إلى رأسين متجاورين للمربع أ(2 ؛ 0) و في(-1؛ 4). اكتب معادلات لأضلاعها.
333. نقطة أ(5؛ -1) هو رأس المربع الذي يقع أحد أضلاعه على الخط المستقيم
4X - 3في - 7 = 0.
اكتب معادلات الخطوط التي تقع عليها أضلاع هذا المربع المتبقية.
334. بالنظر إلى معادلات ضلعين للمربع
4X -3في + 3 = 0, 4X-3في-17 = 0
وأحد قممها أ(2؛ -3). اكتب معادلات للضلعين الآخرين من هذا المربع.
335. بالنظر إلى معادلات ضلعين للمربع
5X+12في-10 = 0, 5X+12في+29 = 0.
اكتب معادلات لضلعيه الآخرين بشرط أن تكون النقطة م 1(-3; 5) يقع على جانب هذا المربع.
336. نقطة الانحرافات ممن المباشر
5X-12في-13=0 و3 X -4في-19 = 0
تساوي - 3 و - 5 على التوالي، حدد إحداثيات النقطة م.
337. اكتب معادلة للمستقيم الذي يمر عبر نقطة ف(-2؛ 3) على مسافات متساوية من النقاط أ(5؛ - 1) و في(3; 7).
338. أنشئ معادلة لمكان النقاط المتساوية البعد عن خطين متوازيين:
1) 3X- في+ 7 = 0, 2) X - 2في + 3 = 0, 3) 5X - 2في - 6 = 0,
3X- في- 3 = 0; X -2في + 7 = 0; X-4 يو + 3 = 0.
339. اكتب معادلات منصفات الزوايا المتكونة من خطين متقاطعين:
1) X - 3في + 5 = 0, 2) X - 2في - 3 = 0, 3) 3X + 4في - 1 = 0,
3X-في -2 = 0; 2X + 4في + 7 = 0; 5X+ 12في - 2 = 0.
340. اكتب معادلات الخطوط التي تمر عبر نقطة ر(2؛ -1) ومعها خطوط مستقيمة
2X- في + 5 = 0, 3X + 6في - 1 = 0
تشكيل مثلثات متساوية الساقين.
341. تحديد ما إذا كانت النقطة تكمن م(1؛ -2) وأصل الإحداثيات في واحد أو في مجاورة أو الزوايا العمودية، يتكون من تقاطع خطين:
1) 2X-في -5 = 0, 2) 4X+3في-10 = 0, 3) X - 2في- 1=0,
3X+في+10 = 0; 12X-5في -5 = 0; 3X-في -2 = 0.
342. تحديد ما إذا كانت النقاط تكمن م(2 ؛ 3) و ن(5;-1) في زاويتين واحدتين متجاورتين أو رأسيتين تتكونان من تقاطع خطين مستقيمين:
1) X-3في-5 = 0, 2)2X+7في -5 = 0, 3) 12X+في- 1=0,
2X+9في -2 = 0; X + 3في + 7 = 0; 13X + 2في-5 = 0.
343. تحديد ما إذا كان الأصل يقع داخل أو خارج المثلث الذي يتم الحصول على أضلاعه من خلال المعادلات
7X -5في-11=0, 8X+ 3في+ 31=0, X + 8في-19 = 0.
344. تحديد ما إذا كانت النقطة تكمن م(- 3; 2) داخل أو خارج المثلث الذي تعطى أضلاعه بالمعادلات
X + في -4 = 0, 3X - 7في + 8 = 0, 4X - في - 31 = 0.
345. تحديد أي من الزوايا، الحادة أو المنفرجة، التي تتكون من خطين مستقيمين
3X - 2في + 5 = 0 و 2 X + في - 3 = 0,
يحتوي على الأصل.
346. تحديد أي من الزوايا، الحادة أو المنفرجة، التي تتكون من خطين مستقيمين
3X -5في-4 = 0 و X + 2في + 3 = 0,
يحتوي على نقطة م(2; - 5).
347. اكتب معادلة منصف الزاوية بين السطور 3 X-ذ- 4= 0 و 2 X+6في+3 = 0، حيث يكمن أصل الإحداثيات.
348.
X-7ص+5= 0, 5س+ 5ذ- 3 = 0,
المجاورة للزاوية التي تحتوي على نقطة الأصل.
349. اكتب معادلة لمنصف الزاوية بين السطور X + 2في-11 = 0 و 3 X - 6في- 5 = 0، حيث تقع النقطة م(1;-3).
350. اكتب معادلة لمنصف الزاوية بين السطور
2X - 3في - 5 = 0, 6X - 4في+ 7 = أوه،
المجاورة للزاوية التي تحتوي على النقطة ج(2؛-1).
351. اكتب معادلة المنصف زاوية حادة، مكونة من خطين مستقيمين
3س+4ذ -5 = 0, 5X-12في+3 = 0.
352. اكتب معادلة المنصف زاوية منفرجة، مكونة من خطين مستقيمين X- 3في+ 5 = 0, 3X- في+15 = 0.