تعريف. المنتج المتجه للمتجه a (المضاعف) والمتجه غير الخطي (المضاعف) هو المتجه الثالث c (المنتج)، والذي يتم إنشاؤه على النحو التالي:

1) وحدتها تساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع في الشكل. 155) مبني على المتجهات، أي أنه يساوي الاتجاه العمودي على مستوى متوازي الأضلاع المذكور؛

3) في هذه الحالة، يتم اختيار اتجاه المتجه c (من اثنين محتملين) بحيث تشكل المتجهات c نظامًا أيمنًا (§ 110).

التسمية: أو

إضافة إلى التعريف. إذا كانت المتجهات على خط واحد، فاعتبار الشكل (مشروطًا) متوازي أضلاع، فمن الطبيعي تعيين مساحة صفرية. ولذلك، فإن المنتج المتجه للمتجهات الخطية المتداخلة يعتبر مساوياً للمتجه الفارغ.

وبما أنه يمكن تعيين المتجه الفارغ في أي اتجاه، فإن هذه الاتفاقية لا تتعارض مع الفقرتين 2 و3 من التعريف.

الملاحظة 1. في مصطلح "المنتج المتجه" تشير الكلمة الأولى إلى أن نتيجة الإجراء هي متجه (على عكس المنتج القياسي؛ راجع الفقرة 104، الملاحظة 1).

مثال 1. ابحث عن منتج المتجه حيث توجد المتجهات الرئيسية لنظام الإحداثيات الصحيح (الشكل 156).

1. بما أن أطوال المتجهات الرئيسية تساوي وحدة قياس واحدة، فإن مساحة متوازي الأضلاع (المربع) تساوي واحدًا عدديًا. وهذا يعني أن معامل حاصل الضرب المتجه يساوي واحدًا.

2. بما أن العمودي على المستوى هو محور، فإن منتج المتجه المطلوب هو متجه على خط مستقيم مع المتجه k؛ وبما أن كلاهما لهما معامل 1، فإن المنتج المتجه المطلوب يساوي إما k أو -k.

3. من بين هذين المتجهين المحتملين، يجب اختيار الأول، حيث أن المتجهات k تشكل نظامًا أيمنًا (والمتجهات نظامًا أعسرًا).

مثال 2. أوجد حاصل الضرب الاتجاهي

حل. كما في المثال 1، نستنتج أن المتجه يساوي إما k أو -k. ولكن الآن نحن بحاجة إلى اختيار -k، لأن المتجهات تشكل نظامًا أيمنًا (وتشكل المتجهات نظامًا أعسرًا). لذا،

مثال 3. المتجهات لها أطوال تساوي 80 و 50 سم، على التوالي، وتشكل زاوية قدرها 30 درجة. بأخذ المتر كوحدة للطول، أوجد طول حاصل الضرب المتجه أ

حل. مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات تساوي طول منتج المتجه المطلوب يساوي

مثال 4. أوجد طول حاصل ضرب المتجهات لنفس المتجهات، مع اعتبار السنتيمترات وحدة الطول.

حل. بما أن مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات متساوية، فإن طول منتج المتجهات يساوي 2000 سم، أي

من المقارنة بين المثالين 3 و4، يتضح أن طول المتجه لا يعتمد فقط على أطوال العوامل، بل أيضًا على اختيار وحدة الطول.

المعنى المادي للمنتج المتجه.من بين الكميات الفيزيائية العديدة التي يمثلها المنتج المتجه، سننظر فقط في عزم القوة.

دع A تكون نقطة تطبيق القوة. تسمى لحظة القوة بالنسبة للنقطة O منتجًا متجهًا نظرًا لأن معامل هذا المنتج المتجه يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع (الشكل 157) ، فإن معامل العزم يساوي حاصل ضرب القاعدة والارتفاع، أي القوة مضروبة في المسافة من النقطة O إلى الخط المستقيم الذي تؤثر فيه القوة.

في الميكانيكا، ثبت أنه لكي يكون الجسم الصلب في حالة توازن، من الضروري ألا يكون مجموع المتجهات التي تمثل القوى المطبقة على الجسم مساويًا للصفر فحسب، بل أيضًا مجموع لحظات القوى. في الحالة التي تكون فيها جميع القوى متوازية مع مستوى واحد، يمكن استبدال جمع المتجهات التي تمثل العزوم بجمع وطرح مقاديرها. ولكن مع التوجيهات التعسفية للقوى، فإن مثل هذا الاستبدال مستحيل. وفقًا لهذا، يتم تعريف منتج المتجه بدقة على أنه متجه، وليس كرقم.

7.1. تعريف المنتج المتقاطع

ثلاثة نواقل غير متحدة المستوى أ، ب، ج، مأخوذة بالترتيب المشار إليه، تشكل ثلاثية يمينية إذا شوهد من نهاية المتجه الثالث ج، أقصر دورة من المتجه الأول أ إلى المتجه الثاني ب تكون عكس اتجاه عقارب الساعة، وثلاثية أعسر إذا كانت في اتجاه عقارب الساعة (انظر الشكل 16).

يسمى المنتج المتجه للمتجه أ والمتجه ب المتجه ج، والذي:

1. عمودي على المتجهين a و b، أي c ^ a و c ^ ب ؛

2. له طول يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات a وبكما في الجوانب (انظر الشكل 17)، أي.

3. تشكل المتجهات a وb وc ثلاثية قائمة.

يُشار إلى المنتج المتقاطع بـ x b أو [a,b]. العلاقات التالية بين متجهات الوحدة أتبعها مباشرة من تعريف منتج المتجه، يو ك(انظر الشكل 18):

i x j = k، j x k = i، k x i = j.
دعونا نثبت ذلك، على سبيل المثالأنا xj = ك.

1) ك ^ ط، ك ^ ي ;

2) |ك |=1، لكن | ط س ي| = |أنا | |ي | الخطيئة (90 درجة) = 1؛

3) المتجهات ط، ي و كشكل ثلاثيًا قائمًا (انظر الشكل 16).

7.2. خصائص المنتج المتقاطع

1. عند إعادة ترتيب العوامل، تتغير إشارة المنتج المتجه، أي. و xb =(b xa) (انظر الشكل 19).

المتجهات a xb و b xa متداخلة، ولها نفس الوحدات (تبقى مساحة متوازي الأضلاع دون تغيير)، ولكنها موجهة بشكل معاكس (ثلاثية a، b، a xb و a، b، b x a ذات اتجاه معاكس). إنه com.axb = -(ب أ).

2. المنتج المتجه له خاصية الدمج فيما يتعلق بالعامل العددي، أي l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

دع ل> 0. المتجه l (a xb) متعامد مع المتجهين a وb. المتجه ( لفأس بهو أيضا عمودي على المتجهات و ب(المتجهات أ، لولكن تكمن في نفس الطائرة). وهذا يعني أن المتجهات ل(أ إكس ب) و ( لفأس بعلى استطراد. ومن الواضح أن اتجاهاتهم متطابقة. لديهم نفس الطول:

لهذا ل(أ إكس ب)= لإكس بي. وقد ثبت بالمثل بالنسبة ل<0.

3. متجهان غير صفريين a و بتكون على خط مستقيم إذا وفقط إذا كان منتجها المتجه يساوي المتجه الصفري، أي a ||b<=>وكسب = 0.

على وجه الخصوص، i *i =j *j =k *k =0 .

4. المنتج المتجه له خاصية التوزيع:

(أ+ب)س ج = أ س ج + ب xs.

سوف نقبل بدون دليل.

7.3. التعبير عن المنتج الاتجاهي بدلالة الإحداثيات

سوف نستخدم جدول الضرب الاتجاهي للمتجهات i، يو ك:

إذا كان اتجاه أقصر مسار من المتجه الأول إلى الثاني يتزامن مع اتجاه السهم، فإن المنتج يساوي المتجه الثالث إذا لم يتطابق، يتم أخذ المتجه الثالث بعلامة ناقص.

دع المتجهين a =a x i +a y معطى ي+أ ض كو ب = ب س أنا+ب ي ي+ب ض ك. دعونا نجد المنتج المتجه لهذه المتجهات عن طريق ضربها في كثيرات الحدود (وفقًا لخصائص المنتج المتجه):

يمكن كتابة الصيغة الناتجة بشكل أكثر إيجازًا:

وبما أن الجانب الأيمن من المساواة (7.1) يتوافق مع مفكوك المحدد الثالث بدلالة عناصر الصف الأول (7.2) فمن السهل تذكره.

7.4. بعض تطبيقات المنتج المتقاطع

إنشاء علاقة خطية متداخلة من المتجهات

إيجاد مساحة متوازي الأضلاع والمثلث

حسب تعريف المنتج المتجه للمتجهات أوب |أ إكس بي | =|أ | * |b |sin g، أي أزواج S = |a x b |. وبالتالي، D S =1/2|a x b |.

تحديد عزم القوة حول نقطة ما

دع القوة تطبق عند النقطة A و = أ بدعها تذهب عن- نقطة ما في الفضاء (انظر الشكل 20).

ومن المعروف من الفيزياء أن لحظة القوة F نسبة إلى النقطة عنيسمى ناقل م،الذي يمر عبر النقطة عنو:

1) عمودي على المستوى الذي يمر عبر النقاط يا، أ، ب؛

2) يساوي عدديًا حاصل ضرب القوة لكل ذراع

3) يشكل ثلاثيًا قائمًا مع المتجهات OA وAB.

وبالتالي، M = الزراعة العضوية × F.

إيجاد سرعة الدوران الخطية

سرعة الخامسالنقطة M لجسم صلب يدور بسرعة زاوية ثحول محور ثابت، يتم تحديده بواسطة صيغة أويلر v =w xr، حيث r =OM، حيث O هي نقطة ثابتة في المحور (انظر الشكل 21).

تعريف يتم استدعاء مجموعة مرتبة من (x 1 , x 2 , ... , x n) n من الأعداد الحقيقية ناقلات الأبعاد نوالأرقام x i (i = ) - عناصر،أو الإحداثيات,

مثال. على سبيل المثال، إذا كان مصنع سيارات معين يجب أن ينتج 50 سيارة و100 شاحنة و10 حافلات و50 مجموعة من قطع غيار السيارات و150 مجموعة للشاحنات والحافلات في كل وردية عمل، فيمكن كتابة برنامج الإنتاج لهذا المصنع كمتجه (50، 100، 10، 50، 150)، مكونة من خمسة مكونات.

الرموز. تتم الإشارة إلى المتجهات بأحرف صغيرة غامقة أو أحرف مع شريط أو سهم في الأعلى، على سبيل المثال. أأو. يتم استدعاء المتجهين متساويإذا كان لديهم نفس عدد المكونات وكانت المكونات المقابلة لها متساوية.

لا يمكن تبديل المكونات المتجهة، على سبيل المثال، (3، 2، 5، 0، 1)و (2، 3، 5، 0، 1) ناقلات مختلفة.
العمليات على المتجهات.العمل س= (x 1 , x 2 , ... ,x n) بعدد حقيقيλ يسمى ناقلλ س= (××1،××2،...،××ن).

كميةس= (x 1 , x 2 , ... ,x n) و ذ= (y 1 , y 2 , ... ,y n) يسمى متجهًا س+ص= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

مساحة المتجهات.ن -الفضاء المتجه الأبعاد ريتم تعريف n على أنه مجموعة من جميع المتجهات ذات الأبعاد n التي يتم من خلالها تحديد عمليات الضرب بالأعداد الحقيقية والجمع.

التوضيح الاقتصادي. التوضيح الاقتصادي لمساحة المتجهات ذات الأبعاد n: مساحة البضائع (بضائع). تحت بضائعسوف نفهم بعض السلع أو الخدمات التي تم طرحها للبيع في وقت معين في مكان معين. لنفترض أن هناك عددا محدودا من السلع المتاحة؛ وتتميز كميات كل منها التي يشتريها المستهلك بمجموعة من السلع

س= (س 1، س 2، ...، س ن)،

حيث تشير x i إلى مقدار السلعة i التي اشتراها المستهلك. سنفترض أن جميع السلع تتمتع بخاصية القابلية للقسمة التعسفية، بحيث يمكن شراء أي كمية غير سالبة من كل منها. إذن جميع مجموعات البضائع الممكنة هي ناقلات لمساحة البضائع C = ( س= (x 1 , x 2 , ... , x n)س ط ≥ 0، ط =).

الاستقلال الخطي. نظام ه 1 , ه 2 , ... , هتسمى المتجهات ذات الأبعاد n تعتمد خطيا، إذا كان هناك مثل هذه الأرقام lect 1 , lect 2 , ... , lectm ، منها واحد على الأقل غير الصفر، بحيث تكون المساواة 1 ه 1 + 2 ه 2 +... + α م هم = 0؛ خلاف ذلك، يسمى هذا النظام من المتجهات مستقل خطياأي أن المساواة المشار إليها لا تكون ممكنة إلا في حالة وجود الجميع . المعنى الهندسي للاعتماد الخطي للمتجهات في ر 3، تفسر على أنها شرائح موجهة، اشرح النظريات التالية.

النظرية 1. النظام الذي يتكون من متجه واحد يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كان هذا المتجه صفرًا.

النظرية 2. لكي يكون المتجهان معتمدين خطياً، من الضروري والكافي أن يكونا على خط واحد (متوازيين).

النظرية 3 . لكي تكون ثلاثة نواقل مستقلة خطياً، من الضروري والكافي أن تكون متحدة المستوى (تقع في نفس المستوى).

ثلاثية اليسار واليمين من المتجهات. ثلاثية من المتجهات غير متحدة المستوى أ، ب، جمُسَمًّى يمينإذا تجاوز الراصد من أصلهما المشترك أطراف المتجهات أ، ب، جبالترتيب المعطى يبدو أنه يحدث في اتجاه عقارب الساعة. خلاف ذلك أ، ب، ج -غادر ثلاثة. يتم استدعاء جميع ثلاثيات المتجهات اليمنى (أو اليسرى). نفس الشيء الموجهة.

الأساس والإحداثيات. الترويكا ه 1, ه 2 , ه 3 ناقلات غير متحدة المستوى في ر 3 يسمى أساس، والمتجهات نفسها ه 1, ه 2 , ه 3 - أساسي. أي ناقل أيمكن توسيعها بشكل فريد إلى ناقلات أساسية، أي ممثلة في النموذج

أ= × 1 ه 1+x2 ه 2 + × 3 ه 3, (1.1)

يتم استدعاء الأرقام x 1 , x 2 , x 3 في التوسع (1.1). الإحداثياتأفي الأساس ه 1, ه 2 , ه 3 وتم تعيينهم أ(× 1، × 2، × 3).

أساس متعامد. إذا كانت ناقلات ه 1, ه 2 , ه 3 أزواج متعامدة وطول كل منها يساوي واحدا، فيسمى الأساس متعامد، والإحداثيات × 1، × 2، × 3 - مستطيلي.سيتم الإشارة إلى المتجهات الأساسية للأساس المتعامد بواسطة ط، ي، ك.

وسوف نفترض ذلك في الفضاء ر 3 تم تحديد النظام الصحيح للإحداثيات المستطيلة الديكارتية (0، ط، ي، ك}.

ناقلات العمل الفني. ناقلات العمل الفني أإلى المتجه بيسمى ناقل ج، والذي يتم تحديده بالشروط الثلاثة التالية:

1. طول المتجه جيساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات أو ب،أي.
ج= |أ||ب|الخطيئة( أ^ب).

2. المتجهات جعمودي على كل من المتجهات أو ب.

3. المتجهات أ، بو ج، مأخوذة بالترتيب المشار إليه، تشكل ثلاثية صحيحة.

لمنتج متقاطع جتم تقديم التعيين ج =[أب] أو
ج = أ × ب.

إذا كانت ناقلات أو بعلى خط مستقيم، ثم الخطيئة( أ ^ ب) = 0 و [ أب] = 0، على وجه الخصوص، [ أأ] = 0. منتجات المتجهات لمتجهات الوحدة: [ اي جاي]=ك، [jk] = أنا, [كي]=ي.

إذا كانت ناقلات أو بالمحددة في الأساس ط، ي، كالإحداثيات أ(أ 1، أ 2، أ 3)، ب(ب1، ب2، ب3)، ثم

عمل مختلط. إذا كان المنتج المتجه لمتجهين أو بمضروبة بشكل عددي بالمتجه الثالث ج،ثم يسمى هذا المنتج من ثلاثة ناقلات عمل مختلطويشار إليه بالرمز أ ب ج.

إذا كانت ناقلات أ، بو جفي الأساس ط، ي، كنظرا لإحداثياتهم
أ(أ 1، أ 2، أ 3)، ب(ب1، ب2، ب3)، ج(ج1، ج2، ج3)، ثم

.

المنتج المختلط له تفسير هندسي بسيط - فهو عددي، يساوي القيمة المطلقة لحجم متوازي السطوح المبني على ثلاثة ناقلات معينة.

إذا شكلت المتجهات ثلاثيًا قائمًا، فإن منتجها المختلط يكون رقمًا موجبًا يساوي الحجم المشار إليه؛ إذا كان ثلاثة أ، ب، ج -اليسار، ثم أ ب ج<0 и V = - أ ب جوبالتالي V =|أ ب ج|.

من المفترض أن تكون إحداثيات المتجهات التي تمت مواجهتها في مسائل الفصل الأول معطاة بالنسبة إلى الأساس المتعامد الصحيح. وحدة متجه codirectional مع المتجه أ،يشار إليه بالرمز أيا. رمز ص=أوميُشار إليه بمتجه نصف القطر للنقطة M أو الرموز a أو AB أو|أ|, | أ ب|يتم الإشارة إلى وحدات المتجهات أو أ.ب.

مثال 1.2. أوجد الزاوية بين المتجهات أ= 2م+4نو ب= م-ن، أين مو ن-ناقلات الوحدة والزاوية بينهما مو نيساوي 120 س.

حل. لدينا: كوس φ = أب/أب أب =(2م+4ن) (م-ن) = 2م 2 - 4ن 2 +2مليون=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; أ = ; أ 2 = (2م+4ن) (2م+4ن) =
= 4م 2 +16مليون+16ن 2 = 4+16(-0.5)+16=12، مما يعني أ = . ب = ; ب 2 =
= (م-ن)(م-ن) = م 2 -2مليون+ن 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3، مما يعني ب = . وأخيرا لدينا: كوسφ = = -1/2، φ = 120 س.

مثال 1.3.معرفة المتجهات أ.ب(-3،-2.6) و قبل الميلاد(-2،4،4)، احسب طول الارتفاع AD للمثلث ABC.

حل. بالدلالة على مساحة المثلث ABC بواسطة S، نحصل على:
ق = 1/2 ق.م. م. ثم AD=2S/BC، BC= = = 6,
ق = 1/2| أ ب ×تكييف |. أس = أ ب + ق، وهو ما يعني ناقلات مكيف الهواءلديه إحداثيات
. .

مثال 1.4 . يتم إعطاء ناقلين أ(11،10،2) و ب(4،0،3). أوجد متجه الوحدة ج،متعامد على المتجهات أو بوتوجيهها بحيث يتم ترتيب الثلاثي من المتجهات أ، ب، جكان صحيحا.

حل.دعونا نشير إلى إحداثيات المتجه جفيما يتعلق بأساس متعامد صحيح معين من حيث x، y، z.

بسبب ال ج ⊥ أ، ج ⊥ب، الذي - التي كاليفورنيا= 0، سي بي= 0. حسب شروط المشكلة يشترط أن يكون c = 1 و أ ب ج >0.

لدينا نظام معادلات لإيجاد x,y,z: 11x +10y + 2z = 0، 4x+3z=0، x 2 + y 2 + z 2 = 0.

من المعادلتين الأولى والثانية للنظام نحصل على z = -4/3 x، y = -5/6 x. بتعويض y وz في المعادلة الثالثة، نحصل على: x 2 = 36/125، ومن هنا
س =± . استخدام الشرط أ ب ج > 0 نحصل على عدم المساواة

مع الأخذ في الاعتبار تعبيرات z وy، نعيد كتابة المتباينة الناتجة بالصيغة: 625/6 x > 0، مما يعني أن x>0. لذا، x = , y = - , z =- .

سنتناول في هذا الدرس عمليتين أخريين باستخدام المتجهات: ناقلات المنتج من ناقلاتو منتج مختلط من المتجهات (رابط فوري لمن يحتاجه). لا بأس، أحيانًا يحدث ذلك من أجل السعادة الكاملة، بالإضافة إلى ذلك المنتج العددي للمتجهات، مطلوب المزيد والمزيد. هذا هو إدمان المتجهات. قد يبدو أننا ندخل في غابة الهندسة التحليلية. هذا خطأ. في هذا القسم من الرياضيات العليا، يوجد القليل من الخشب عمومًا، ربما باستثناء ما يكفي لبينوكيو. في الواقع، المادة شائعة جدًا وبسيطة - ولا تكاد تكون أكثر تعقيدًا من نفس المادة المنتج العددي، سيكون هناك عدد أقل من المهام النموذجية. الشيء الرئيسي في الهندسة التحليلية، كما سيقتنع الكثيرون أو اقتنعوا بالفعل، هو عدم ارتكاب الأخطاء في الحسابات. كرر مثل التعويذة وستكون سعيدًا =)

إذا كانت المتجهات تتألق في مكان ما بعيدًا، مثل البرق في الأفق، فلا يهم، ابدأ بالدرس ناقلات للدمىلاستعادة أو إعادة اكتساب المعرفة الأساسية حول المتجهات. يمكن للقراء الأكثر استعدادا التعرف على المعلومات بشكل انتقائي؛ حاولت جمع المجموعة الأكثر اكتمالا من الأمثلة التي غالبا ما توجد في العمل العملي

ما الذي سيجعلك سعيدا على الفور؟ عندما كنت صغيراً، كنت أستطيع التوفيق بين كرتين أو حتى ثلاث كرات. لقد سار الأمر بشكل جيد. الآن لن تضطر إلى التوفيق على الإطلاق، لأننا سننظر في ذلك المتجهات المكانية فقط، وسيتم استبعاد المتجهات المسطحة ذات الإحداثيتين. لماذا؟ هذه هي الطريقة التي ولدت بها هذه الإجراءات - يتم تعريف المتجه والمنتج المختلط للمتجهات ويعملان في مساحة ثلاثية الأبعاد. إنه بالفعل أسهل!

تتضمن هذه العملية، تمامًا مثل المنتج العددي، اثنين من المتجهات. لتكن هذه الحروف خالدة.

الفعل نفسه يُشار إليه بـبالطريقة الآتية: . توجد خيارات أخرى، لكنني معتاد على الإشارة إلى حاصل ضرب المتجهات للمتجهات بهذه الطريقة، بين قوسين مربعين مع علامة علامة متقاطعة.

وعلى الفور سؤال: إذا في المنتج العددي للمتجهاتهناك متجهان متضمنان، وهنا يتم ضرب متجهين أيضًا ماهو الفرق؟ الفرق الواضح هو أولاً وقبل كل شيء في النتيجة:

نتيجة المنتج العددي للمتجهات هي NUMBER:

نتيجة الضرب الاتجاهي للمتجهات هي VECTOR: أي أننا نضرب المتجهات ونحصل على متجه مرة أخرى. نادي مغلق. في الواقع، هذا هو المكان الذي يأتي منه اسم العملية. في الأدبيات التعليمية المختلفة، قد تختلف التسميات أيضا؛

تعريف المنتج المتقاطع

أولا سيكون هناك تعريف بالصورة، ثم التعليقات.

تعريف: منتج المتجهات غير خطيةثلاثة أبعاد، اتخذت بهذا الترتيب، يسمى المتجه، طولوهو رقميا يساوي مساحة متوازي الأضلاع، مبني على هذه النواقل؛ المتجه متعامد على المتجهات، ويتم توجيهه بحيث يكون للأساس اتجاه صحيح:

دعونا نحلل التعريف قطعة قطعة، فهناك الكثير من الأشياء المثيرة للاهتمام هنا!

لذا يمكن تسليط الضوء على النقاط الهامة التالية:

1) المتجهات الأصلية، المشار إليها بالأسهم الحمراء، حسب التعريف ليس على خط مستقيم. سيكون من المناسب النظر في حالة المتجهات الخطية بعد ذلك بقليل.

2) يتم أخذ المتجهات بترتيب محدد بدقة: – "أ" مضروبة في "كن"، وليس "يكون" مع "أ". نتيجة مضاعفة المتجهاتهو VECTOR، المشار إليه باللون الأزرق. إذا تم ضرب المتجهات بترتيب عكسي، نحصل على متجه متساوي في الطول ومعاكس في الاتجاه (لون التوت). أي أن المساواة صحيحة .

3) الآن دعونا نتعرف على المعنى الهندسي للمنتج المتجه. هذه نقطة مهمة جدا! طول المتجه الأزرق (وبالتالي المتجه القرمزي) يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات. في الشكل، متوازي الأضلاع هذا مظلل باللون الأسود.

ملحوظة : الرسم تخطيطي، وبطبيعة الحال، فإن الطول الاسمي للمنتج المتجه لا يساوي مساحة متوازي الأضلاع.

لنتذكر إحدى الصيغ الهندسية: مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب الجوانب المجاورة وجيب الزاوية بينهما. لذلك، بناءً على ما ورد أعلاه، تكون صيغة حساب طول المنتج المتجه صالحة:

أؤكد أن الصيغة تدور حول طول المتجه، وليس حول المتجه نفسه. ما هو المعنى العملي؟ والمعنى هو أنه في مشاكل الهندسة التحليلية، غالبًا ما يتم العثور على مساحة متوازي الأضلاع من خلال مفهوم المنتج المتجه:

دعونا نحصل على الصيغة المهمة الثانية. قطري متوازي الأضلاع (الخط الأحمر المنقط) يقسمه إلى مثلثين متساويين. لذلك، يمكن إيجاد مساحة المثلث المبني على المتجهات (التظليل الأحمر) باستخدام الصيغة:

4) هناك حقيقة لا تقل أهمية وهي أن المتجه متعامد مع المتجهات، أي . وبطبيعة الحال، فإن المتجه ذو الاتجاه المعاكس (سهم التوت) متعامد أيضًا مع المتجهات الأصلية.

5) يتم توجيه المتجه بحيث أساسلقد يمينتوجيه. في الدرس حول الانتقال إلى أساس جديدلقد تحدثت بتفاصيل كافية عنه اتجاه الطائرةوالآن سنكتشف ما هو الاتجاه الفضائي. سأشرح على أصابعك اليد اليمنى. الجمع عقليا السبابةمع ناقلات و الاصبع الوسطىمع ناقلات. البنصر والإصبع الصغيراضغط عليه في راحة يدك. نتيجة ل إبهام- سوف يبحث المنتج المتجه عن الأعلى. هذا أساس موجه نحو اليمين (هذا هو الموجود في الشكل). الآن قم بتغيير المتجهات ( السبابة والأصابع الوسطى) في بعض الأماكن، ونتيجة لذلك، سوف يستدير الإبهام، وسوف ينظر المنتج المتجه إلى الأسفل بالفعل. وهذا أيضًا أساس موجه نحو اليمين. قد يكون لديك سؤال: ما هو الأساس الذي ترك التوجه؟ "تعيين" لنفس الأصابع اليد اليسرىالمتجهات، والحصول على الأساس الأيسر والاتجاه الأيسر للفضاء (في هذه الحالة، سيتم وضع الإبهام في اتجاه المتجه السفلي). بالمعنى المجازي، هذه القواعد "تلتف" أو توجه الفضاء في اتجاهات مختلفة. ولا ينبغي اعتبار هذا المفهوم شيئًا بعيد المنال أو مجردًا - على سبيل المثال، يتم تغيير اتجاه الفضاء بواسطة المرآة الأكثر عادية، وإذا قمت "بسحب الجسم المنعكس من الزجاج المنظر"، ففي الحالة العامة يكون ذلك لن يكون من الممكن دمجها مع "الأصل". بالمناسبة، ضع ثلاثة أصابع أمام المرآة وقم بتحليل الانعكاس ;-)

... كم هو جيد أنك تعرف الآن عنه موجهة لليمين واليسارقواعد، لأن تصريحات بعض المحاضرين عن تغيير التوجه مخيفة =)

المنتج الاتجاهي للمتجهات الخطية المتسامتة

تمت مناقشة التعريف بالتفصيل، ويبقى معرفة ما يحدث عندما تكون المتجهات على خط واحد. إذا كانت المتجهات على خط واحد، فيمكن وضعها على خط مستقيم واحد، كما أن متوازي الأضلاع الخاص بنا "يطوي" أيضًا في خط مستقيم واحد. مساحة هذا، كما يقول علماء الرياضيات، منحطمتوازي الأضلاع يساوي الصفر. ويترتب على ذلك نفس الصيغة - جيب الزاوية صفر أو 180 درجة يساوي صفرًا، مما يعني أن المساحة تساوي صفرًا

وهكذا إذاً . بالمعنى الدقيق للكلمة، فإن منتج المتجه نفسه يساوي المتجه الصفري، ولكن في الممارسة العملية غالبًا ما يتم إهمال هذا ويتم كتابته أنه يساوي الصفر ببساطة.

هناك حالة خاصة وهي الضرب الاتجاهي للمتجه مع نفسه:

باستخدام المنتج المتجه، يمكنك التحقق من العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات ثلاثية الأبعاد، وسنقوم أيضًا بتحليل هذه المشكلة، من بين أمور أخرى.

لحل الأمثلة العملية قد تحتاج الجدول المثلثيللعثور على قيم الجيوب منه.

حسنًا، فلنشعل النار:

مثال 1

أ) أوجد طول المنتج المتجه للمتجهات إذا

ب) أوجد مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات إذا

حل: لا، هذا ليس خطأ مطبعي، لقد تعمدت جعل البيانات الأولية في البنود هي نفسها. لأن تصميم الحلول سيكون مختلفاً!

أ) وفقا للحالة، تحتاج إلى العثور عليها طولالمتجه (المنتج المتقاطع). وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة:

وبما أن السؤال كان عن الطول، فإننا نشير إلى البعد في الإجابة - الوحدات.

ب) وفقا للحالة، تحتاج إلى العثور عليها مربعمتوازي الأضلاع مبني على المتجهات. مساحة متوازي الأضلاع هذا تساوي عدديًا طول منتج المتجه:

إجابة:

مع العلم أن الإجابة لا تتحدث عن المنتج المتجه مطلقًا؛ مساحة الشكلوبناء على ذلك، فإن البعد هو وحدات مربعة.

نحن ننظر دائمًا إلى ما نحتاج إلى العثور عليه وفقًا للحالة، وعلى هذا الأساس نقوم بصياغته واضحإجابة. قد يبدو الأمر حرفيًا، لكن هناك الكثير من المعلمين الحرفيين بينهم، والمهمة لديها فرصة جيدة لإعادتها للمراجعة. على الرغم من أن هذا ليس مراوغة بعيدة المنال بشكل خاص - إذا كانت الإجابة غير صحيحة، فسيحصل المرء على انطباع بأن الشخص لا يفهم الأشياء البسيطة و/أو لم يفهم جوهر المهمة. يجب أن تظل هذه النقطة تحت السيطرة دائمًا عند حل أي مشكلة في الرياضيات العليا وفي المواد الأخرى أيضًا.

أين ذهب الحرف الكبير "en"؟ من حيث المبدأ، كان من الممكن إرفاقه بشكل إضافي بالحل، ولكن من أجل تقصير الإدخال، لم أفعل ذلك. أتمنى أن يفهم الجميع ذلك ويكون بمثابة تسمية لنفس الشيء.

مثال شائع لحل DIY:

مثال 2

أوجد مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا

ترد صيغة العثور على مساحة المثلث من خلال المنتج المتجه في التعليقات على التعريف. الحل والجواب في نهاية الدرس .

في الممارسة العملية، المهمة شائعة جدًا حقًا؛ يمكن للمثلثات أن تعذبك بشكل عام.

لحل المشاكل الأخرى سنحتاج إلى:

خصائص المنتج المتجه للنواقل

لقد نظرنا بالفعل في بعض خصائص المنتج المتجه، ومع ذلك، سأقوم بإدراجها في هذه القائمة.

بالنسبة للمتجهات العشوائية والأرقام العشوائية، تكون الخصائص التالية صحيحة:

1) في مصادر المعلومات الأخرى، عادة لا يتم تسليط الضوء على هذا العنصر في الخصائص، ولكنه مهم جدًا من الناحية العملية. لذا فليكن.

2) - تمت مناقشة الخاصية أيضًا أعلاه، وأحيانًا يطلق عليها اسم مكافحة التبادل. وبعبارة أخرى، فإن ترتيب المتجهات مهم.

3) - النقابي أو ترابطيقوانين المنتجات ناقلات. يمكن نقل الثوابت بسهولة خارج المنتج المتجه. حقاً، ماذا عليهم أن يفعلوا هناك؟

4) – التوزيع أو التوزيعيةقوانين المنتجات ناقلات. لا توجد مشاكل في فتح الأقواس أيضًا.

للتوضيح، دعونا نلقي نظرة على مثال قصير:

مثال 3

اكتشف إذا

حل:يتطلب الشرط مرة أخرى إيجاد طول منتج المتجه. دعونا نرسم المنمنمة لدينا:

(1) وفقًا للقوانين الترابطية، فإننا نأخذ الثوابت خارج نطاق حاصل الضرب المتجه.

(2) ننقل الثابت خارج الوحدة، و"تأكل" الوحدة علامة الطرح. لا يمكن أن يكون الطول سالبًا.

(٣) والباقي واضح.

إجابة:

حان الوقت لإضافة المزيد من الخشب إلى النار:

مثال 4

احسب مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا

حل: أوجد مساحة المثلث باستخدام الصيغة . المشكلة هنا هي أن المتجهين "tse" و"de" يتم تقديمهما كمجموعات من المتجهات. الخوارزمية هنا قياسية وتذكرنا إلى حد ما بالمثالين رقم 3 و4 من الدرس المنتج النقطي للمتجهات. وللتوضيح سنقسم الحل إلى ثلاث مراحل:

1) في الخطوة الأولى، نعبر عن حاصل الضرب المتجه من خلال حاصل الضرب المتجه، في الواقع، دعونا نعبر عن المتجه بدلالة المتجه. لا توجد كلمة حتى الآن على أطوال!

(1) استبدل تعبيرات المتجهات.

(2) باستخدام قوانين التوزيع، نفتح الأقواس وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود.

(3) باستخدام القوانين الترابطية، نقوم بنقل جميع الثوابت إلى ما هو أبعد من منتجات المتجهات. مع قليل من الخبرة، يمكن تنفيذ الخطوتين 2 و 3 في وقت واحد.

(4) الحدان الأول والأخير يساويان صفر (متجه صفر) بسبب الخاصية اللطيفة. في المصطلح الثاني نستخدم خاصية عكس التبادل لمنتج متجه:

(5) نقدم مصطلحات مماثلة.

ونتيجة لذلك، تبين أن المتجه يتم التعبير عنه من خلال ناقل، وهو ما كان مطلوب تحقيقه:

2) في الخطوة الثانية، نجد طول المنتج المتجه الذي نحتاجه. هذا الإجراء مشابه للمثال 3:

3) أوجد مساحة المثلث المطلوب:

يمكن كتابة المراحل 2-3 من الحل في سطر واحد.

إجابة:

المشكلة التي يتم تناولها شائعة جدًا في الاختبارات، إليك مثال لحلها بنفسك:

مثال 5

اكتشف إذا

حل قصير وإجابة في نهاية الدرس. لنرى مدى انتباهك عند دراسة الأمثلة السابقة ;-)

المنتج الاتجاهي للمتجهات في الإحداثيات

، محددة على أساس متعامد ، يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة:

الصيغة بسيطة حقًا: في السطر العلوي من المحدد، نكتب المتجهات الإحداثية، وفي السطرين الثاني والثالث "نضع" إحداثيات المتجهات، ونضعها بترتيب صارم- أولاً إحداثيات المتجه "ve"، ثم إحداثيات المتجه "ve المزدوج". إذا كانت هناك حاجة إلى ضرب المتجهات بترتيب مختلف، فيجب تبديل الصفوف:

مثال 10

تحقق مما إذا كانت المتجهات الفضائية التالية على خط واحد:
أ)
ب)

حل: يعتمد التحقق على إحدى العبارات الواردة في هذا الدرس: إذا كانت المتجهات على خط واحد، فإن حاصل ضربها المتجه يساوي صفرًا (صفر متجه): .

أ) ابحث عن المنتج المتجه:

وبالتالي، فإن المتجهات ليست على خط واحد.

ب) ابحث عن المنتج المتجه:

إجابة: أ) ليست على استقامة واحدة، ب)

ربما تكون هنا جميع المعلومات الأساسية حول حاصل ضرب المتجهات للمتجهات.

لن يكون هذا القسم كبيرًا جدًا، حيث توجد مشكلات قليلة حيث يتم استخدام المنتج المختلط للمتجهات. في الواقع، كل شيء سيعتمد على التعريف والمعنى الهندسي واثنين من صيغ العمل.

المنتج المختلط للمتجهات هو منتج ثلاثة ناقلات:

لذلك اصطفوا مثل القطار ولا يمكنهم الانتظار حتى يتم التعرف عليهم.

أولا، مرة أخرى، تعريف وصورة:

تعريف: العمل المختلط غير متحد المستوىثلاثة أبعاد، اتخذت بهذا الترتيب، مُسَمًّى حجم متوازي، مبني على هذه المتجهات، مزود بعلامة "+" إذا كان الأساس صحيحًا، وعلامة "-" إذا كان الأساس يسارًا.

دعونا نفعل الرسم. يتم رسم الخطوط غير المرئية بالنسبة لنا بخطوط منقطة:

دعونا نتعمق في التعريف:

2) يتم أخذ المتجهات بترتيب معينأي أن إعادة ترتيب المتجهات في المنتج، كما قد تتخيل، لا يحدث بدون عواقب.

3) قبل التعليق على المعنى الهندسي، أود أن أشير إلى حقيقة واضحة: المنتج المختلط للمتجهات هو رقم: . في الأدبيات التعليمية، قد يكون التصميم مختلفًا بعض الشيء؛ فأنا معتاد على الإشارة إلى المنتج المختلط بالرمز "pe" ونتيجة العمليات الحسابية.

أ-بريوري المنتج المختلط هو حجم متوازي السطوح، مبني على المتجهات (الشكل مرسوم بمتجهات حمراء وخطوط سوداء). أي أن العدد يساوي حجم متوازي السطوح المعطى.

ملحوظة : الرسم تخطيطي.

4) دعونا لا نقلق مرة أخرى بشأن مفهوم اتجاه الأساس والفضاء. معنى الجزء الأخير هو أنه يمكن إضافة علامة الطرح إلى المجلد. بكلمات بسيطة، يمكن أن يكون المنتج المختلط سلبيًا: .

مباشرة من التعريف يتبع صيغة حساب حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

قبل إعطاء مفهوم المنتج المتجه، دعونا ننتقل إلى مسألة اتجاه ثلاثية مرتبة من المتجهات a →، b →، c → في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

في البداية، دعونا نضع جانبًا المتجهات a → , b → , c → من نقطة واحدة. يمكن أن يكون اتجاه الثلاثي a → , b → , c → يمينًا أو يسارًا، اعتمادًا على اتجاه المتجه c → نفسه. سيتم تحديد نوع الثلاثي a → , b → , c → من الاتجاه الذي يتم فيه أقصر دورة من المتجه a → إلى b → من نهاية المتجه c → .

إذا تم تنفيذ أقصر دورة عكس اتجاه عقارب الساعة، فسيتم استدعاء ثلاثية المتجهات a → , b → , c → يمين، إذا كان في اتجاه عقارب الساعة - غادر.

بعد ذلك، خذ متجهين غير خطيين a → وb →. دعونا بعد ذلك نرسم المتجهات A B → = a → و A C → = b → من النقطة A. لنقم ببناء المتجه A D → = c →، والذي يكون متعامدًا في الوقت نفسه على كل من A B → وAC →. وهكذا، عند بناء المتجه نفسه A D → = c →، يمكننا أن نفعل شيئين، نعطيه إما اتجاه واحد أو الاتجاه المعاكس (انظر الشكل التوضيحي).

يمكن لثلاثية المتجهات المرتبة a → , b → , c → أن تكون، كما اكتشفنا، يمينًا أو يسارًا اعتمادًا على اتجاه المتجه.

مما سبق يمكننا تقديم تعريف المنتج المتجه. يتم تقديم هذا التعريف لمتجهين محددين في نظام إحداثيات مستطيل لمساحة ثلاثية الأبعاد.

التعريف 1

المنتج المتجه لمتجهين a → و b → سوف نسمي هذا المتجه المحدد في نظام إحداثيات مستطيل لمساحة ثلاثية الأبعاد مثل:

• إذا كان المتجهان a → و b → على خط واحد، فسيكون صفرًا؛
• سيكون عموديًا على كل من المتجه a → ​​​​ والمتجه b → أي. ∠ أ → ج → = ∠ ب → ج → = π 2 ;
• يتم تحديد طوله بالصيغة: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• ثلاثية المتجهات a → , b → , c → لها نفس اتجاه نظام الإحداثيات المحدد.

يحتوي المنتج المتجه للمتجهات a → و b → على الترميز التالي: a → × b →.

إحداثيات المنتج المتجه

بما أن أي متجه له إحداثيات معينة في نظام الإحداثيات، فيمكننا تقديم تعريف ثانٍ لمنتج المتجهات، مما سيسمح لنا بإيجاد إحداثياته ​​باستخدام الإحداثيات المعطاة للمتجهات.

التعريف 2

في نظام إحداثي مستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد المنتج المتجه لمتجهين a → = (a x ; a y ; a z) و b → = (b x ; b y ; b z) يسمى المتجه c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → حيث i → , j → , k → هي متجهات إحداثية.

يمكن تمثيل حاصل الضرب المتجه كمحدد لمصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة، حيث يحتوي الصف الأول على المتجهات المتجهة i → , j → , k → , ويحتوي الصف الثاني على إحداثيات المتجه a → , والصف الثالث يحتوي على إحداثيات المتجه b → في نظام إحداثيات مستطيل معين، وهذا هو محدد المصفوفة كما يلي: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

بتوسيع هذا المحدد إلى عناصر الصف الأول، نحصل على المساواة: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × ب → = (أ ذ ب ض - أ ض ب ذ) i → + (أ ض ب س - أ س ب ض) ي → + (أ س ب ص - أ ذ ب س) ك →

خصائص المنتج المتقاطع

من المعروف أن حاصل الضرب المتجه في الإحداثيات يمثل كمحدد للمصفوفة c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ، ثم على الأساس خصائص محدد المصفوفةيتم عرض ما يلي خصائص المنتج المتجه:

1. مضاد التبادل أ → × ب → = - ب → × أ → ;
2. التوزيعية أ (1) → + أ (2) → × ب = أ (1) → × ب → + أ (2) → × ب → أو أ → × ب (1) → + ب (2) → = أ → × ب (1) → + أ → × ب (2) → ;
3. الترابط π a → × b → = π a → × b → أو a → × (lect b →) = π a → × b →، حيث π هو رقم حقيقي تعسفي.

هذه الخصائص لها براهين بسيطة.

على سبيل المثال، يمكننا إثبات الخاصية المضادة للتبديل للمنتج المتجه.

إثبات مضاد التبديل

حسب التعريف، a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z و b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . وإذا تم تبديل صفين من المصفوفة، فيجب أن تتغير قيمة محدد المصفوفة إلى العكس، وبالتالي، a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → والذي يثبت أن المنتج المتجه مضاد للتبادل.

منتج المتجهات - الأمثلة والحلول

في معظم الحالات، هناك ثلاثة أنواع من المشاكل.

في المسائل من النوع الأول، عادةً ما يتم إعطاء طولي متجهين والزاوية بينهما، وتحتاج إلى إيجاد طول حاصل ضرب المتجه. في هذه الحالة، استخدم الصيغة التالية c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

مثال 1

أوجد طول حاصل ضرب المتجهات للمتجهين a → وb → إذا كنت تعرف a → = 3، b → = 5، ∠ a →، b → = π 4.

حل

من خلال تحديد طول المنتج المتجه للمتجهين a → و b →، نحل هذه المشكلة: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

إجابة: 15 2 2 .

مشاكل النوع الثاني لها علاقة بإحداثيات المتجهات، حيث يوجد منتج المتجهات وطوله وما إلى ذلك. يتم البحث من خلال الإحداثيات المعروفة للمتجهات المعطاة أ → = (أ س؛ أ ص؛ أ ض) و ب → = (ب س ; ب ص ; ب ض) .

بالنسبة لهذا النوع من المشاكل، يمكنك حل الكثير من خيارات المهام. على سبيل المثال، لا يمكن تحديد إحداثيات المتجهين a → وb →، ولكن يمكن تحديد توسعاتهم في المتجهات الإحداثية للنموذج ب → = ب س · أنا → + ب ذ · ي → + ب ض · ك → و c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →، أو يمكن تحديد المتجهات a → و b → بإحداثيات بدايتها ونقاط النهاية.

النظر في الأمثلة التالية.

مثال 2

في نظام الإحداثيات المستطيل، يتم إعطاء متجهين: a → = (2; 1; - 3)، b → = (0; - 1; 1). ابحث عن منتجهم المتقاطع.

حل

بالتعريف الثاني، نجد حاصل الضرب المتجه لمتجهين في الإحداثيات المعطاة: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( أ س · ب ص - أ ص · ب س) · ك → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · ي → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · ك → = = - 2 ط → - 2 ي → - 2 ك → .

إذا كتبنا حاصل الضرب المتجه من خلال محدد المصفوفة، فإن حل هذا المثال يبدو كما يلي: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 ط → - 2 ي → - 2 ك → .

إجابة: أ → × ب → = - 2 ط → - 2 ي → - 2 ك → .

مثال 3

أوجد طول حاصل ضرب المتجهات للمتجهات i → - j → وi → + j → + k →، حيث i →، j →، k → هي متجهات الوحدة لنظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل.

حل

أولاً، دعونا نوجد إحداثيات منتج متجه معين i → - j → × i → + j → + k → في نظام إحداثيات مستطيل معين.

من المعروف أن المتجهات i → - j → و i → + j → + k → لها إحداثيات (1؛ - 1؛ 0) و (1؛ 1؛ 1)، على التوالي. لنوجد طول حاصل الضرب المتجه باستخدام محدد المصفوفة، ثم لدينا i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - ي → + 2 ك → .

ولذلك، فإن المنتج المتجه i → - j → × i → + j → + k → له إحداثيات (- 1 ; - 1 ; 2) في نظام الإحداثيات المحدد.

نجد طول حاصل ضرب المتجه باستخدام الصيغة (انظر القسم الخاص بإيجاد طول المتجه): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

إجابة: أنا → - ي → × أنا → + ي → + ك → = 6 . .

مثال 4

في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، يتم إعطاء إحداثيات ثلاث نقاط A (1، 0، 1)، B (0، 2، 3)، C (1، 4، 2). أوجد متجهًا متعامدًا على A B → و A C → في نفس الوقت.

حل

المتجهان A B → و A C → لهما الإحداثيات التالية (- 1 ; 2 ; 2) و (0 ; 4 ; 1) على التوالي. بعد العثور على المنتج المتجه للمتجهين A B → و A C →، فمن الواضح أنه متجه عمودي حسب التعريف لكل من A B → و A C →، أي أنه حل لمشكلتنا. لنجدها A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

إجابة: - 6 ط → + ي → - 4 ك → . - أحد المتجهات المتعامدة.

وتتركز مشاكل النوع الثالث على استخدام خصائص المنتج المتجه للمتجهات. وبعد تطبيق ذلك سنحصل على حل للمشكلة المحددة.

مثال 5

المتجهان a → و b → متعامدان وأطوالهما هي 3 و 4 على التوالي. أوجد طول المنتج المتجه 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · أ → × - 2 · ب → + - ب → × أ → + - ب → × - 2 · ب → .

حل

من خلال الخاصية التوزيعية للمنتج المتجه، يمكننا كتابة 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 أ → × أ → + 3 أ → × - 2 ب → + - ب → × أ → + - ب → × - 2 ب →

بواسطة خاصية الترابط، نخرج المعاملات العددية من إشارة نواتج المتجهات في التعبير الأخير: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - ب → × - 2 · ب → = = 3 · أ → × أ → + 3 · (- 2) · أ → × ب → + (- 1) · ب → × أ → + (- 1) · (- 2) · ب → × ب → = = 3 أ → × أ → - 6 أ → × ب → - ب → × أ → + 2 ب → × ب →

منتجات المتجهات a → × a → و b → × b → تساوي 0، حيث أن a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 و b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0، ثم 3 · أ → × أ → - 6 · أ → × ب → - ب → × أ → + 2 · ب → × ب → = - 6 · أ → × ب → - ب → × أ → . .

من عكسية المنتج المتجه يتبع - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ب → . .

باستخدام خصائص المنتج المتجه، نحصل على المساواة 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

حسب الحالة، يكون المتجهان a → و b → متعامدين، أي أن الزاوية بينهما تساوي π 2. الآن كل ما تبقى هو استبدال القيم التي تم العثور عليها في الصيغ المقابلة: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → ب → · الخطيئة (أ → ، ب →) = 5 · 3 · 4 · الخطيئة π 2 = 60 .

إجابة: 3 أ → - ب → × أ → - 2 ب → = 60.

طول المنتج المتجه للمتجهات حسب التعريف يساوي a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . حيث أنه من المعروف (من المقرر الدراسي) أن مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب طولي ضلعيه مضروباً في جيب الزاوية الواقعة بين هذين الضلعين. وبالتالي، فإن طول منتج المتجه يساوي مساحة متوازي الأضلاع - مثلث مضاعف، أي منتج الجوانب في شكل ناقلات a → و b →، المنصوص عليها من نقطة واحدة، بواسطة جيب الزاوية بينهما الخطيئة ∠ أ →، ب →.

هذا هو المعنى الهندسي للمنتج المتجه.

المعنى المادي للمنتج ناقلات

في الميكانيكا، أحد فروع الفيزياء، بفضل المنتج المتجه، يمكنك تحديد عزم القوة بالنسبة إلى نقطة ما في الفضاء.

التعريف 3

بحلول لحظة تطبيق القوة F → على النقطة B، بالنسبة إلى النقطة A، سوف نفهم المنتج المتجه التالي A B → × F →.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter