عند فتح القوسين تتغير الإشارة إلى العكس. توسيع الأقواس – المعرفة هايبر ماركت

تنمية القدرة على فتح الأقواس، مع مراعاة الإشارة الموجودة أمام الأقواس؛

النامية:

يطور التفكير المنطقيالاهتمام والكلام الرياضي والقدرة على التحليل والمقارنة والتعميم واستخلاص النتائج؛

مقوي:

تشكيل المسؤولية والاهتمام المعرفي بالموضوع

خلال الفصول الدراسية

I. اللحظة التنظيمية.

التحقق من ذلك الأصدقاء
هل أنت مستعد للفصل؟
هل كل شيء في مكانه؟ كل شيء على ما يرام؟
قلم وكتاب ودفتر.
هل الجميع يجلس بشكل صحيح؟
هل يراقب الجميع بعناية؟

أريد أن أبدأ الدرس بسؤال لك:

ما رأيك هو الشيء الأكثر قيمة على وجه الأرض؟ (إجابات الأطفال.)

لقد أثار هذا السؤال قلق البشرية منذ آلاف السنين. وهذا هو جواب العالم الشهير البيروني: “المعرفة أفضل الممتلكات. الجميع يسعى لتحقيق ذلك، لكنه لا يأتي من تلقاء نفسه."

دع هذه الكلمات تصبح شعار درسنا.

ثانيا. تحديث المعرفة والمهارات والقدرات السابقة:

العد اللفظي:

1.1. ما هو تاريخ اليوم؟

2. أخبرني ماذا تعرف عن الرقم 20؟

3. أين يقع هذا الرقم على خط الإحداثيات؟

4. أعط الرقم المعاكس.

5. قم بتسمية الرقم المقابل.

6. ما اسم الرقم 20؟

7. ما هي الأرقام التي تسمى الأضداد؟

8. ما هي الأرقام التي تسمى سلبية؟

9. ثان المعامل متساويرقم 20؟ - 20؟

10. ما هو مجموع الأعداد المتضادة؟

2. اشرح الإدخالات التالية:

أ) ولد عالم الرياضيات العبقري أرخميدس عام 0287.

ب) ولد عالم الرياضيات الروسي اللامع ن.آي لوباتشيفسكي عام 1792.

أولاً الألعاب الأولمبيةوقعت في اليونان عام 776.

د) أقيمت أول دورة ألعاب أولمبية دولية في عام 1896.

هـ) أقيمت دورة الألعاب الأولمبية الشتوية الثانية والعشرون في عام 2014.

3. تعرف على الأرقام التي تدور على "الدوامة الرياضية" (يتم تنفيذ جميع الإجراءات شفهيًا).

ثانيا. تكوين معارف ومهارات وقدرات جديدة.

هل تعلمت كيفية الأداء إجراءات مختلفةمع الأعداد الصحيحة. ماذا سنفعل بعد ذلك؟ كيف سنحل الأمثلة والمعادلات؟

دعونا نجد معنى هذه التعبيرات

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

ما هو الإجراء في المثال 1؟ كم هو بين قوسين؟ ما هو الإجراء في المثال الثاني؟ نتيجة الإجراء الأول؟ ماذا يمكنك أن تقول عن هذه التعبيرات؟

بالطبع نتائج التعبيرين الأول والثاني هي نفسها، مما يعني أنه يمكنك وضع إشارة المساواة بينهما: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

ماذا فعلنا بالقوسين؟ (لقد خفضوها).

ماذا تعتقد أننا سنفعل في الصف اليوم؟ (يقوم الأطفال بصياغة موضوع الدرس.) في مثالنا، ما هي العلامة التي تأتي قبل القوسين؟ (زائد.)

وهكذا نأتي إلى القاعدة التالية:

إذا كانت هناك علامة + أمام القوسين، فيمكنك حذف القوسين وهذه العلامة +، مع الحفاظ على علامات المصطلحات الموجودة بين القوسين. إذا كان الحد الأول بين القوسين مكتوبًا بدون إشارة، فيجب كتابته بعلامة +.

ولكن ماذا لو كانت هناك علامة ناقص قبل القوسين؟

في هذه الحالة، تحتاج إلى التفكير بنفس الطريقة التي تستخدمها عند الطرح: تحتاج إلى إضافة الرقم المقابل للرقم الذي يتم طرحه:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

- إذن، فتحنا القوسين عندما كانت هناك علامة الطرح أمامهما.

قاعدة فتح الأقواس هي عندما تكون الأقواس مسبوقة بعلامة "-".

لفتح الأقواس المسبوقة بعلامة -، عليك استبدال هذه العلامة بـ +، وتغيير علامات جميع المصطلحات الموجودة بين الأقواس إلى العكس، ثم فتح الأقواس.

دعونا نستمع إلى قواعد فتح القوسين في الشعر:

هناك علامة زائد قبل القوسين.
هذا ما يتحدث عنه
لماذا تحذف الأقواس؟
اترك كل العلامات!
قبل القوسين يكون الطرح صارما
سوف يعيق طريقنا
لإزالة الأقواس
نحن بحاجة إلى تغيير العلامات!

نعم يا شباب، علامة الطرح ماكرة للغاية، إنها "حارس" عند البوابة (بين قوسين)، ولا تطلق الأرقام والمتغيرات إلا عندما يغيرون "جوازات السفر"، أي علاماتهم.

لماذا تحتاج إلى فتح الأقواس على الإطلاق؟ (عندما تكون هناك أقواس، هناك لحظة من عنصر عدم الاكتمال، نوع من الغموض. إنها مثل باب مغلق يوجد خلفه شيء مثير للاهتمام.) لقد اكتشفنا اليوم هذا السر.

رحلة قصيرة في التاريخ:

تظهر الأقواس المتعرجة في كتابات فييتا (1593). أصبحت الأقواس مستخدمة على نطاق واسع فقط في النصف الأول من القرن الثامن عشر، وذلك بفضل لايبنتز، وبشكل خاص بفضل أويلر.

دقيقة التربية البدنية.

ثالثا. توحيد المعارف والمهارات والقدرات الجديدة.

العمل وفق الكتاب المدرسي:

رقم 1234 (فتح القوسين) – شفهياً.

رقم 1236 (فتح القوسين) – شفهياً.

رقم 1235 (ابحث عن معنى اللفظ) - كتابياً.

رقم 1238 (تبسيط العبارات) – العمل في أزواج.

رابعا. تلخيص الدرس.

1. يتم إعلان الدرجات.

2. المنزل. يمارس. فقرة 39 رقم 1254 (أ، ب، ج)، 1255 (أ، ب، ج)، 1259.

3. ماذا تعلمنا اليوم؟

ما الجديد الذي تعلمته؟

وأريد أن أنهي الدرس بتمنياتي لكل واحد منكم:

"نحو الرياضيات تظاهر بالقدرة,
لا تكن كسولاً، بل تطور كل يوم.
اضرب، اقسم، اعمل، فكر،
لا تنس أن تكون صديقًا للرياضيات.

تُستخدم الأقواس للإشارة إلى الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات في التعبيرات الرقمية والحرفية والمتغيرة. من السهل الانتقال من التعبير الذي يحتوي على أقواس إلى التعبير المماثل يساوي التعبيربدون قوسين. تسمى هذه التقنية الأقواس المفتوحة.

توسيع الأقواس يعني إزالة الأقواس من التعبير.

هناك نقطة أخرى تستحق اهتمامًا خاصًا، والتي تتعلق بخصائص قرارات التسجيل عند فتح الأقواس. يمكننا كتابة التعبير الأولي بين قوسين والنتيجة التي تم الحصول عليها بعد فتح القوسين على قدم المساواة. على سبيل المثال، بعد فك الأقواس بدلاً من التعبير
3−(5−7) نحصل على التعبير 3−5+7. يمكننا كتابة هذين التعبيرين على صورة المساواة 3−(5−7)=3−5+7.

و واحدة اخرى نقطة مهمة. في الرياضيات، لتقصير الرموز، من المعتاد عدم كتابة علامة الجمع إذا ظهرت أولاً في تعبير أو بين قوسين. على سبيل المثال، إذا أضفنا رقمين موجبين، على سبيل المثال، سبعة وثلاثة، فإننا لا نكتب +7+3، بل ببساطة 7+3، على الرغم من أن سبعة هو أيضًا رقم موجب. وكذلك إذا رأيت مثلاً التعبير (5+x) - فاعلم أن قبل القوس علامة زائد وهي غير مكتوبة، وقبل الخمسة علامة زائد +(+5+x).

قاعدة فتح القوسين أثناء الجمع

عند فتح الأقواس، إذا كان هناك علامة زائد أمام الأقواس، فسيتم حذف هذه العلامة مع الأقواس.

مثال. افتح القوسين في التعبير 2 + (7 + 3) هناك علامة زائد أمام القوسين، مما يعني أننا لا نغير الإشارات الموجودة أمام الأرقام الموجودة بين القوسين.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

قاعدة فتح الأقواس عند الطرح

إذا كان هناك ناقص قبل القوسين، فسيتم حذف هذا الطرح مع القوسين، لكن الحدود التي كانت بين القوسين تغير إشارتها إلى العكس. عدم وجود علامة قبل الحد الأول بين قوسين يعني وجود علامة +.

مثال. فك الأقواس في التعبير 2 − (7 + 3)

يوجد علامة ناقص قبل الأقواس، مما يعني أنك بحاجة إلى تغيير الإشارات الموجودة أمام الأرقام الموجودة بين القوسين. لا يوجد بين القوسين إشارة قبل الرقم 7، هذا يعني أن سبعة موجب، ويعتبر أن هناك إشارة + أمامه.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

عند فتح القوسين نحذف من المثال السالب الذي كان أمام القوسين، والقوسين أنفسهما 2 − (+ 7 + 3)، ونغير الإشارات التي كانت بين القوسين إلى علامات معاكسة.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

فك الأقواس عند الضرب

إذا كانت هناك علامة ضرب أمام القوسين، فسيتم ضرب كل رقم داخل القوسين في العامل الموجود أمام القوسين. في هذه الحالة، ضرب ناقص في ناقص يعطي زائد، وضرب ناقص في زائد، مثل ضرب زائد في ناقص، يعطي ناقص.

وبالتالي، يتم فك الأقواس في حواصل الضرب وفقًا لخاصية توزيع الضرب.

مثال. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

عند ضرب قوس في قوس، يتم ضرب كل حد في القوس الأول في كل حد في القوس الثاني.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

في الواقع، ليست هناك حاجة لتذكر جميع القواعد، يكفي أن نتذكر واحدة فقط، وهي: c(a−b)=ca−cb. لماذا؟ لأنه إذا قمت باستبدال واحد بدلا من ج، فستحصل على القاعدة (a−b)=a−b. وإذا عوضنا بواحد، فسنحصل على القاعدة −(a−b)=−a+b. حسنًا، إذا قمت باستبدال قوس آخر بدلاً من c، فيمكنك الحصول على القاعدة الأخيرة.

فتح الأقواس عند القسمة

إذا كانت هناك علامة القسمة بعد القوسين، فإن كل رقم داخل القوسين يقسم على المقسوم عليه بعد القوسين، والعكس صحيح.

مثال. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

كيفية توسيع الأقواس المتداخلة

إذا كان التعبير يحتوي على أقواس متداخلة، فسيتم توسيعها بالترتيب، بدءًا من الأقواس الخارجية أو الداخلية.

في هذه الحالة، من المهم أنه عند فتح أحد الأقواس، لا تلمس الأقواس المتبقية، فقط قم بإعادة كتابتها كما هي.

مثال. 12 - (أ + (6 - ب) - 3) = 12 - أ - (6 - ب) + 3 = 12 - أ - 6 + ب + 3 = 9 - أ + ب

في هذه المقالة سننظر بالتفصيل في القواعد الأساسية لذلك موضوع مهمدورة الرياضيات، مثل فتح الأقواس. أنت بحاجة إلى معرفة قواعد فتح الأقواس من أجل حل المعادلات التي يتم استخدامها فيها بشكل صحيح.

كيفية فتح الأقواس بشكل صحيح عند الإضافة

قم بتوسيع الأقواس التي تسبقها علامة "+".

وهذا هو أبسط الحالات، لأنه إذا كانت هناك إشارة جمع أمام القوسين فإن الإشارات الموجودة بداخلهما لا تتغير عند فتح القوسين. مثال:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

كيفية فك الأقواس مسبوقة بعلامة "-".

في في هذه الحالةتحتاج إلى إعادة كتابة جميع المصطلحات بدون قوسين، ولكن في نفس الوقت قم بتغيير جميع العلامات الموجودة بداخلها إلى العلامات المعاكسة. تتغير العلامات فقط للمصطلحات الموجودة بين الأقواس التي سبقتها العلامة "-". مثال:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

كيفية فتح الأقواس عند الضرب

قبل القوسين يوجد رقم مضاعف

في هذه الحالة، عليك ضرب كل حد بعامل وفتح الأقواس دون تغيير العلامات. إذا كان المضاعف يحتوي على علامة "-"، فعند الضرب يتم عكس علامات الحدود. مثال:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

كيفية فتح قوسين بينهما علامة الضرب

في هذه الحالة، عليك ضرب كل حد من القوسين الأولين في كل حد من القوسين الثانيين ثم إضافة النتائج. مثال:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

كيفية فتح الأقواس في المربع

إذا تم تربيع مجموع حدين أو الفرق بينهما، فيجب فتح القوسين حسب الصيغة التالية:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

في حالة وجود ناقص داخل الأقواس، لا تتغير الصيغة. مثال:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

كيفية توسيع الأقواس إلى درجة أخرى

إذا تم رفع مجموع أو اختلاف الحدود، على سبيل المثال، إلى القوة الثالثة أو الرابعة، فأنت بحاجة فقط إلى تقسيم قوة القوس إلى "مربعات". تضاف قوى العوامل المتماثلة، وعند القسمة تطرح قوة المقسوم عليه من قوة المقسوم. مثال:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

كيفية فتح 3 أقواس

هناك معادلات يتم فيها ضرب 3 أقواس مرة واحدة. في هذه الحالة، عليك أولاً ضرب حدود القوسين الأولين معًا، ثم ضرب مجموع هذا الضرب في حدود القوس الثالث. مثال:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

تنطبق قواعد فتح الأقواس هذه بالتساوي على حل المعادلات الخطية والمثلثية.

في القرن الخامس قبل الميلاد، صاغ الفيلسوف اليوناني القديم زينون الإيلي مفارقاته الشهيرة، وأشهرها مفارقات “أخيل والسلحفاة”. وهنا ما يبدو وكأنه:

لنفترض أن أخيل يجري أسرع بعشر مرات من السلحفاة ويتخلف عنها بألف خطوة. خلال الوقت الذي يستغرقه أخيل في قطع هذه المسافة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. فعندما يركض أخيل مائة خطوة، تزحف السلحفاة عشر خطوات أخرى، وهكذا. ستستمر العملية إلى ما لا نهاية، ولن يتمكن أخيل من اللحاق بالسلحفاة أبدًا.

أصبح هذا المنطق بمثابة صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو، ديوجين، كانط، هيجل، هيلبرت... كلهم ​​اعتبروا معضلة زينون بطريقة أو بأخرى. وكانت الصدمة قوية لدرجة " ...وتستمر المناقشات حتى يومنا هذا، للتوصل إلى رأي مشترك حول جوهر المفارقات المجتمع العلميوحتى الآن لم يكن ذلك ممكنا... لقد شاركنا في دراسة الموضوع التحليل الرياضي، مجموعة النظرية، المادية الجديدة و المقاربات الفلسفية; ولم يصبح أي منها حلاً مقبولاً بشكل عام للمشكلة ..."[ويكيبيديا، "أبوريا زينو". الجميع يفهم أنه يتم خداعهم، ولكن لا أحد يفهم ما يتكون الخداع.

من وجهة نظر رياضية، أظهر زينون في كتابه المحرج بوضوح الانتقال من الكمية إلى . يتضمن هذا الانتقال التطبيق بدلاً من التطبيقات الدائمة. بقدر ما أفهم، جهاز رياضيإن استخدام وحدات القياس المتغيرة إما أنه لم يتم تطويره بعد، أو أنه لم يتم تطبيقه على مفارقة زينون. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن، بسبب الجمود في التفكير، نطبق وحدات زمنية ثابتة على القيمة المتبادلة. مع النقطة الماديةمن وجهة نظر يبدو الأمر وكأن الزمن يتباطأ حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يلحق فيها أخيل بالسلحفاة. إذا توقف الزمن، لن يتمكن أخيل من التفوق على السلحفاة.

إذا قلبنا منطقنا المعتاد، فإن كل شيء يقع في مكانه. أخيل يركض مع سرعة ثابتة. كل جزء لاحق من طريقه أقصر بعشر مرات من الجزء السابق. وعليه فإن الوقت المستغرق في التغلب عليها أقل بعشر مرات من الوقت السابق. وإذا طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة، فمن الصحيح أن نقول "أخيل سوف يلحق بالسلحفاة بسرعة لا متناهية".

كيفية تجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابقى في وحدات ثابتةقياسات الزمن ولا تذهب إلى الكميات المتبادلة. في لغة زينو يبدو الأمر كما يلي:

في الوقت الذي يستغرقه أخيل في الجري ألف خطوة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. للفترة الزمنية القادمة، يساوي الأولسيركض أخيل ألف خطوة أخرى، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. والآن يتقدم أخيل على السلحفاة بثمانمائة خطوة.

يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. ولكن الأمر ليس كذلك الحل الكاملمشاكل. إن عبارة أينشتاين حول عدم مقاومة سرعة الضوء تشبه إلى حد كبير مقولة زينو "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة بلا حدود، بل بوحدات القياس.

تحكي aporia أخرى مثيرة للاهتمام لزينو عن سهم طائر:

السهم الطائر لا يتحرك، لأنه في كل لحظة من الزمن يكون ساكنًا، وبما أنه ساكن في كل لحظة من الزمن، فهو ساكن دائمًا.

في هذه المعضلة، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة من الزمن يكون السهم الطائر في حالة سكون عند نقاط مختلفة في الفضاء، وهو في الواقع حركة. هناك نقطة أخرى يجب الإشارة إليها هنا. من خلال صورة واحدة لسيارة على الطريق، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد ما إذا كانت السيارة تتحرك، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نفس النقطة لحظات مختلفةالوقت، لكن لا يمكن تحديد المسافة منهم. لتحديد المسافة إلى السيارة، تحتاج إلى صورتين مأخوذتين منها نقاط مختلفةالفضاء في وقت ما، ولكن من المستحيل تحديد حقيقة الحركة منها (بطبيعة الحال، لا تزال هناك حاجة إلى بيانات إضافية لإجراء العمليات الحسابية، وسوف يساعدك علم المثلثات). ما أريد أن أشير إليه انتباه خاص، هو أن النقطتين في الزمان ونقطتين في المكان هما شيئان مختلفان ولا ينبغي الخلط بينهما، لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للبحث.

الأربعاء 4 يوليو 2018

تم وصف الاختلافات بين المجموعة والمجموعات المتعددة بشكل جيد للغاية على ويكيبيديا. دعنا نرى.

كما ترون، "لا يمكن أن يكون هناك عنصرين متطابقين في مجموعة"، ولكن إذا كان هناك عناصر متطابقة في مجموعة، فإن هذه المجموعة تسمى "مجموعة متعددة". لن تفهم الكائنات العاقلة مثل هذا المنطق السخيف. هذا هو المستوى الببغاوات الناطقةوالقرود المدربة التي ليس لديها أي ذكاء من كلمة "تماما". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين، ويبشروننا بأفكارهم السخيفة.

في يوم من الأيام، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبار الجسر. وإذا انهار الجسر مات المهندس المتوسط ​​تحت ركام خلقه. وإذا كان الجسر قادرا على تحمل الأحمال، فقد قام المهندس الموهوب ببناء جسور أخرى.

مهما اختبأ علماء الرياضيات وراء عبارة "تبا لي، أنا في البيت"، أو بالأحرى "دراسات الرياضيات" المفاهيم المجردة"، هناك حبل سري واحد يربطهم بالواقع بشكل لا ينفصم. هذا الحبل السري هو المال. تقدم بطلبك النظرية الرياضيةمجموعات لعلماء الرياضيات أنفسهم.

لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن نجلس عند ماكينة تسجيل المدفوعات النقدية ونوزع الرواتب. لذلك يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب له المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة، حيث نضع فيها أوراقًا نقدية من نفس الفئة. ثم نأخذ ورقة واحدة من كل كومة ونسلمها إلى عالم الرياضيات" مجموعة رياضيةالرواتب." نوضح للرياضيين أنه لن يحصل على الفواتير المتبقية إلا عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي مجموعة ذات عناصر متطابقة. وهنا تبدأ المتعة.

بادئ ذي بدء، سيعمل منطق النواب: "يمكن تطبيق هذا على الآخرين، ولكن ليس علي!" ثم سيبدأون في طمأنتنا بأن الأوراق النقدية من نفس الفئة لها أرقام فواتير مختلفة، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها نفس العناصر. حسنًا، لنحسب الرواتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سيبدأ عالم الرياضيات في تذكر الفيزياء بشكل محموم: هناك عملات معدنية مختلفة كميات مختلفةطين، الهيكل البلوريوترتيب الذرات في كل عملة فريد من نوعه...

والآن لدي أكثر اسأل الفائدة: أين هو الخط الذي تتحول بعده عناصر المجموعة المتعددة إلى عناصر مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان، والعلم ليس قريبًا حتى من الكذب هنا.

انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم بنفس مساحة الملعب. مساحات الحقول هي نفسها - مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا نظرنا إلى أسماء هذه الملاعب نفسها، فسنحصل على الكثير منها، لأن الأسماء مختلفة. كما ترون، نفس مجموعة العناصر هي مجموعة ومتعددة. ايهم صحيح؟ وهنا يقوم عالم الرياضيات الشامان الحاد بسحب الآس من الأوراق الرابحة من جعبته ويبدأ في إخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. وفي كل الأحوال سيقنعنا بأنه على حق.

لفهم كيفية عمل الشامان الحديثين مع نظرية المجموعات، وربطها بالواقع، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم، دون أي عبارة "لا يمكن تصورها كوحدة واحدة" أو "لا يمكن تصورها ككل واحد".

الأحد 18 مارس 2018

مجموع أرقام الرقم هو رقصة الشامان مع الدف، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم، في دروس الرياضيات، يتم تعليمنا كيفية العثور على مجموع أرقام الرقم واستخدامها، ولكن هذا هو السبب في أنهم شامان، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.

هل تحتاج إلى دليل؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد صيغة في الرياضيات يمكن استخدامها لإيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء، الأرقام هي الرموز الرسوميةالتي نكتب بها الأرقام وفي لغة الرياضيات تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم." لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة، لكن الشامان يمكنهم حلها بسهولة.

دعونا نكتشف ماذا وكيف نفعل للعثور على مجموع الأرقام رقم معين. إذن، دعونا نحصل على الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا الرقم؟ دعونا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.

1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز رقم رسومي. هذه ليست عملية رياضية.

2. نقوم بقص الصورة الناتجة إلى عدة صور تحتوي على أرقام فردية. إن قطع الصورة ليس عملية رياضية.

3. تحويل الرموز الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.

4. أضف الأرقام الناتجة. الآن هذه هي الرياضيات.

مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القطع والخياطة" التي يدرسها الشامان والتي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.

من وجهة نظر رياضية، لا يهم في أي نظام أرقام نكتب رقمًا. لذلك، في أنظمة مختلفةفي حساب التفاضل والتكامل، سيكون مجموع أرقام نفس العدد مختلفا. في الرياضيات، يُشار إلى نظام الأرقام كحرف منخفض على يمين الرقم. مع عدد كبير 12345 لا أريد أن أخدع رأسي، فلننظر إلى الرقم 26 من المقالة التي تتحدث عن . لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأرقام الثنائية والثمانية والعشرية والست عشرية. لن ننظر إلى كل خطوة تحت المجهر؛ لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا ننظر إلى النتيجة.

كما ترون، في أنظمة الأرقام المختلفة، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. الأمر نفسه كما لو حددت مساحة المستطيل بالمتر والسنتيمتر، فستحصل على نتائج مختلفة تمامًا.

يبدو الصفر متماثلًا في جميع أنظمة الأرقام ولا يحتوي على مجموع أرقام. وهذه حجة أخرى لصالح حقيقة ذلك. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يكون الشيء الذي ليس رقما محددا في الرياضيات؟ ماذا، بالنسبة لعلماء الرياضيات لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ أستطيع أن أسمح بهذا للشامان، ولكن ليس للعلماء. الواقع لا يتعلق بالأرقام فقط.

يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها دليلاً على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس للأرقام. بعد كل شيء، لا يمكننا مقارنة الأرقام مع وحدات مختلفةقياسات. فإذا كانت نفس الأفعال مع وحدات قياس مختلفة لنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها، فهذا لا علاقة له بالرياضيات.

ما هي الرياضيات الحقيقية؟ هذا عندما تكون النتيجة عملية حسابيةلا يعتمد على حجم الرقم ووحدة القياس المستخدمة ومن يقوم بالإجراء.

التوقيع على الباب يفتح الباب ويقول:

أوه! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحببة أثناء صعودها إلى السماء! هالة في الأعلى والسهم لأعلى. ما المرحاض الآخر؟

أنثى... الهالة الموجودة في الأعلى والسهم لأسفل هما ذكران.

إذا كان هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم،

إذن ليس من المستغرب أن تجد فجأة رمزًا غريبًا في سيارتك:

أنا شخصياً أبذل جهداً لرؤية سالب أربع درجات في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تركيبة من عدة صور: علامة الطرح، الرقم أربعة، تسمية الدرجات). وأنا لا أعتقد أن هذه الفتاة غبية، لا على دراية بالفيزياء. لديها فقط صورة نمطية مقوسة للإدراك الصور الرسومية. وعلماء الرياضيات يعلموننا هذا طوال الوقت. هنا مثال.

1A ليس "ناقص أربع درجات" أو "واحد أ". هذا هو "رجل التغوّط" أو الرقم "ستة وعشرون" بالتدوين السداسي العشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يدركون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.

سننتقل الآن إلى فتح الأقواس في التعبيرات التي يتم فيها ضرب التعبير الموجود بين قوسين برقم أو تعبير. دعونا نضع قاعدة لفتح الأقواس مسبوقة بعلامة الطرح: يتم حذف الأقواس مع علامة الطرح، ويتم استبدال علامات جميع الحدود الموجودة بين القوسين بأضدادها.

أحد أنواع تحويل التعبير هو فك الأقواس. رقمي، التعبيرات الحرفيةويمكن تكوين التعبيرات ذات المتغيرات باستخدام الأقواس، والتي يمكن أن تشير إلى الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات، وتحتوي على رقم سالب، وما إلى ذلك. لنفترض أنه في التعبيرات الموضحة أعلاه، بدلا من الأرقام والمتغيرات، يمكن أن يكون هناك أي تعبيرات.

ودعونا ننتبه إلى نقطة أخرى تتعلق بخصائص كتابة الحل عند فتح الأقواس. لقد تناولنا في الفقرة السابقة ما يسمى بفتح الأقواس. وللقيام بذلك، هناك قواعد لفتح الأقواس، والتي سنراجعها الآن. هذه القاعدة تمليها حقيقة ذلك أرقام إيجابيةمن المعتاد الكتابة بدون أقواس؛ في هذه الحالة، الأقواس غير ضرورية. يمكن كتابة التعبير (−3.7)−(−2)+4+(−9) بدون قوسين بالشكل −3.7+2+4−9.

وأخيرًا، الجزء الثالث من القاعدة يرجع ببساطة إلى خصوصيات كتابة الأعداد السالبة على اليسار في التعبير (والتي ذكرناها في القسم الخاص بالأقواس لكتابة الأعداد السالبة). قد تواجه تعبيرات مكونة من أرقام وعلامات ناقص وعدة أزواج من الأقواس. إذا قمت بفتح الأقواس، وانتقلت من الداخلي إلى الخارجي، فسيكون الحل كما يلي: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5) )=−( 5)=−5.

كيفية فتح الأقواس؟

إليك تفسير: −(−2 x) هو +2 x، وبما أن هذا التعبير يأتي أولاً، يمكن كتابة +2 x بالشكل 2 x، −(x2)=−x2، +(−1/ x)=−1 /x و -(2 x y2:z)=−2 x y2:z. يتبع الجزء الأول من القاعدة المكتوبة لفتح الأقواس مباشرة من قاعدة ضرب الأرقام السالبة. الجزء الثاني هو نتيجة لقاعدة ضرب الأرقام علامات مختلفة. دعنا ننتقل إلى أمثلة فتح الأقواس في منتجات وحواصل رقمين بعلامات مختلفة.

الأقواس المفتوحة: القواعد والأمثلة والحلول.

تأخذ القاعدة المذكورة أعلاه في الاعتبار السلسلة الكاملة لهذه الإجراءات وتسريع عملية فتح الأقواس بشكل كبير. تسمح لك نفس القاعدة بفتح الأقواس في التعبيرات التي تكون عبارة عن منتجات وتعبيرات جزئية بعلامة الطرح التي لا تمثل مجاميع وفروقات.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لتطبيق هذه القاعدة. دعونا نعطي القاعدة المقابلة. لقد واجهنا أعلاه بالفعل تعبيرات من النموذج −(a) و −(−a)، والتي يتم كتابتها بدون قوسين كـ −a و a، على التوالي. على سبيل المثال، -(3)=3، و. وهذه حالات خاصة للقاعدة المذكورة. الآن دعونا نلقي نظرة على أمثلة للأقواس المفتوحة عندما تحتوي على مجموع أو فروق. دعونا نعرض أمثلة على استخدام هذه القاعدة. لنرمز إلى التعبير (b1+b2) بالرمز b، وبعد ذلك نستخدم قاعدة ضرب القوس في التعبير من الفقرة السابقة، لدينا (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·ب=(أ1·ب+أ2·ب)=أ1·ب+أ2·ب.

ومن خلال الاستقراء، يمكن توسيع هذا البيان ليشمل عددًا عشوائيًا من المصطلحات في كل قوس. يبقى فتح الأقواس في التعبير الناتج باستخدام القواعد من الفقرات السابقة، ونتيجة لذلك نحصل على 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

القاعدة في الرياضيات هي فتح القوسين إذا كان هناك (+) و (-) قبل القوسين.

هذا التعبير هو حاصل ضرب ثلاثة عوامل (2+4)، 3، (5+7·8). سيكون عليك فتح الأقواس بالتتابع. الآن نستخدم قاعدة ضرب القوس في عدد، لدينا ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). الدرجات التي أساسها بعض العبارات المكتوبة بين قوسين، مع عينيايمكن اعتبارها نتاج عدة أقواس.

على سبيل المثال، دعونا نحول التعبير (a+b+c)2. أولًا، نكتبه كحاصل ضرب قوسين (a+b+c)·(a+b+c)، الآن نضرب قوسًا في قوس، نحصل على a·a+a·b+a·c+ ب·أ+ب· ب+ب·ج+ج·أ+ج·ب+ج·ج.

لنفترض أيضًا أنه يتم جمع مجموع واختلاف رقمين في درجة طبيعيةمن المستحسن استخدام صيغة نيوتن ذات الحدين. على سبيل المثال، (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. ليس أقل ملاءمة استبدال القسمة أولاً بالضرب، ثم استخدام القاعدة المقابلة لفتح الأقواس في المنتج.

يبقى أن نفهم ترتيب فتح الأقواس باستخدام الأمثلة. لنأخذ التعبير (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). نعوض بهذه النتائج في التعبير الأصلي: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . كل ما تبقى هو الانتهاء من فتح الأقواس، ونتيجة لذلك لدينا −5+3·2:4+6·7. وهذا يعني أنه عند الانتقال من الجانب الأيسر من المساواة إلى اليمين، حدث فتح القوسين.

لاحظ أننا في الأمثلة الثلاثة قمنا ببساطة بإزالة الأقواس. أولاً، أضف 445 إلى 889. يمكن تنفيذ هذا الإجراء ذهنيًا، لكنه ليس سهلاً للغاية. دعونا نفتح الأقواس ونرى أن الإجراء الذي تم تغييره سوف يبسط الحسابات بشكل كبير.

كيفية توسيع الأقواس إلى درجة أخرى

توضيح المثال و القاعدة . لنلقي نظرة على مثال: . يمكنك العثور على قيمة تعبير عن طريق جمع 2 و5، ثم أخذ الرقم الناتج بالإشارة المعاكسة. لا تتغير القاعدة إذا لم يكن هناك حدان، بل ثلاثة أو أكثر بين قوسين. تعليق. يتم عكس العلامات فقط أمام الشروط. لفتح القوسين، علينا في هذه الحالة أن نتذكر خاصية التوزيع.

للأرقام الفردية بين قوسين

خطأك ليس في العلامات بل في التعامل الخاطئ مع الكسور؟ في الصف السادس التقينا بإيجابية و أرقام سلبية. كيف سنحل الأمثلة والمعادلات؟

كم هو بين قوسين؟ ماذا يمكنك أن تقول عن هذه التعبيرات؟ بالطبع نتيجة المثالين الأول والثاني هي نفسها، مما يعني أنه يمكننا وضع إشارة المساواة بينهما: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. ماذا فعلنا بين القوسين؟

عرض الشريحة 6 مع قواعد فتح الأقواس. ومن ثم، فإن قواعد فتح الأقواس ستساعدنا في حل الأمثلة وتبسيط العبارات. بعد ذلك، يُطلب من الطلاب العمل في أزواج: عليهم استخدام الأسهم لربط التعبير الذي يحتوي على أقواس مع التعبير المقابل بدون أقواس.

الشريحة 11. بمجرد وصول زنايكا ودونو إلى مدينة صني سيتي، تجادلا حول أي منهما قام بحل المعادلة بشكل صحيح. بعد ذلك، يحل الطلاب المعادلة بمفردهم باستخدام قواعد فتح الأقواس. "حل المعادلات" أهداف الدرس: تعليمية (تعزيز المعرفة حول موضوع: "فتح الأقواس.

موضوع الدرس: "فتح الأقواس. في هذه الحالة، عليك ضرب كل حد من القوسين الأولين في كل حد من القوسين الثانيين ثم إضافة النتائج. أولاً، يتم أخذ العاملين الأولين، ووضعهما في قوس آخر، وداخل هذه الأقواس يتم فتح الأقواس وفقًا لإحدى القواعد المعروفة بالفعل.

Rawalan.freezeet.ru

الأقواس المفتوحة: القواعد والأمثلة (الصف السابع)

وتتمثل المهمة الرئيسية للأقواس في تغيير ترتيب الإجراءات عند حساب القيم التعبيرات العددية . على سبيل المثال، الخامس عدديا\(5·3+7\) سيتم حساب الضرب أولا ثم الجمع: \(5·3+7 =15+7=22\). لكن في التعبير \(5·(3+7)\) سيتم حساب الجمع بين القوسين أولاً، وبعدها فقط الضرب: \(5·(3+7)=5·10=50\).

ومع ذلك، إذا كنا نتعامل مع تعبير جبري تحتوي عامل- على سبيل المثال، هكذا: \(2(x-3)\) - إذن من المستحيل حساب القيمة الموجودة بين القوسين، المتغير في الطريق. لذلك، في هذه الحالة، يتم "فتح" الأقواس باستخدام القواعد المناسبة.

قواعد فتح الأقواس

إذا كانت هناك علامة زائد أمام القوس، فسيتم إزالة القوس ببساطة، ويظل التعبير فيه دون تغيير. بعبارة أخرى:

وهنا لا بد من توضيح أنه في الرياضيات، لتقصير الرموز، من المعتاد عدم كتابة علامة الجمع إذا ظهرت أولاً في التعبير. على سبيل المثال، إذا أضفنا رقمين موجبين، على سبيل المثال، سبعة وثلاثة، فإننا لا نكتب \(+7+3\)، ولكن ببساطة \(7+3\)، على الرغم من أن سبعة هو أيضًا رقم موجب . وبالمثل، إذا رأيت، على سبيل المثال، التعبير \((5+x)\) - فاعلم ذلك قبل القوس هناك علامة زائد، وهي غير مكتوبة.

مثال . افتح القوس وأحضره مصطلحات مماثلة: \((x-11)+(2+3x)\).
حل : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

إذا كانت هناك علامة ناقص أمام القوس، فعند إزالة القوس، تتغير إشارة كل حد من التعبير بداخله إلى عكسه:

هنا من الضروري توضيح أنه أثناء وجوده بين القوسين، كان لديه علامة زائد (لم يكتبوها للتو)، وبعد إزالة القوس، تغيرت علامة الزائد إلى ناقص.

مثال : بسّط التعبير \(2x-(-7+x)\).
حل : يوجد داخل القوس حدان: \(-7\) و\(x\)، وقبل القوس يوجد علامة ناقص. هذا يعني أن العلامات ستتغير - وستكون السبعة الآن علامة زائد، وX الآن ناقص. افتح القوس و نقدم مصطلحات مماثلة .

مثال. افتح القوس وأعط مصطلحات مشابهة \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
حل : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

إذا كان هناك عامل أمام القوس، فإن كل فرد من أفراد القوس يضرب به، أي:

مثال. قم بتوسيع الأقواس \(5(3-x)\).
حل : في القوس لدينا \(3\) و\(-x\)، وقبل القوس يوجد خمسة. وهذا يعني أن كل عضو في القوس مضروب بـ \(5\) - أذكرك بذلك لا تتم كتابة علامة الضرب بين الرقم والأقواس في الرياضيات لتقليل حجم الإدخالات.

مثال. قم بتوسيع الأقواس \(-2(-3x+5)\).
حل : كما في المثال السابق، يتم ضرب \(-3x\) و \(5\) بين القوسين في \(-2\).

يبقى أن ننظر في الوضع الأخير.

عند ضرب قوس في قوس، يُضرب كل حد من القوس الأول في كل حد من الحد الثاني:

مثال. قم بتوسيع الأقواس \((2-x)(3x-1)\).
حل : لدينا منتج بين قوسين ويمكن توسيعه على الفور باستخدام الصيغة أعلاه. ولكن لكي لا نرتبك، دعونا نفعل كل شيء خطوة بخطوة.
الخطوة 1. قم بإزالة القوس الأول وضرب كل عضو في القوس الثاني:

الخطوة 2. قم بتوسيع منتجات الأقواس والعامل كما هو موضح أعلاه:
- اهم الاشياء اولا...

الخطوة 3. الآن نقوم بالضرب وتقديم مصطلحات مماثلة:

ليس من الضروري وصف جميع التحولات بمثل هذه التفاصيل؛ حيث يمكنك مضاعفتها على الفور. ولكن إذا كنت تتعلم فقط كيفية فتح الأقواس، والكتابة بالتفصيل، فستكون فرصة ارتكاب الأخطاء أقل.

ملاحظة للقسم بأكمله.في الواقع، لا تحتاج إلى تذكر القواعد الأربع جميعها، ما عليك سوى تذكر قاعدة واحدة، وهي: \(c(a-b)=ca-cb\) . لماذا؟ لأنه إذا قمت باستبدال واحد بدلاً من c، فستحصل على القاعدة \((a-b)=a-b\) . وإذا عوضنا بواحد، نحصل على القاعدة \(-(a-b)=-a+b\) . حسنًا، إذا قمت باستبدال قوس آخر بدلاً من c، فيمكنك الحصول على القاعدة الأخيرة.

بين قوسين داخل قوسين

في بعض الأحيان، من الناحية العملية، توجد مشاكل مع الأقواس المتداخلة داخل أقواس أخرى. فيما يلي مثال على هذه المهمة: قم بتبسيط التعبير \(7x+2(5-(3x+y))\).

لحل بنجاح مهام مماثلة، بحاجة ل:
- فهم بعناية تداخل الأقواس - أي منها؛
— افتح الأقواس بالتتابع، بدءًا من الأعمق على سبيل المثال.

من المهم عند فتح أحد الأقواس لا تلمس بقية التعبير، مجرد إعادة كتابتها كما هي.
دعونا نلقي نظرة على المهمة المكتوبة أعلاه كمثال.

مثال. افتح الأقواس ثم اكتب مصطلحات مشابهة \(7x+2(5-(3x+y))\).
حل:

لنبدأ المهمة بفتح القوس الداخلي (الذي بالداخل). بتوسيعها، نحن نتعامل فقط مع ما يتعلق بها مباشرة - وهذا هو القوس نفسه والطرح الذي أمامه (مظلل باللون الأخضر). نعيد كتابة كل شيء آخر (لم يتم تسليط الضوء عليه) بنفس الطريقة التي كانت عليها.

حل مسائل الرياضيات عبر الإنترنت

آلة حاسبة على الانترنت.
تبسيط كثيرة الحدود.
ضرب كثيرات الحدود.

باستخدام هذا برنامج الرياضياتيمكنك تبسيط كثير الحدود.
أثناء تشغيل البرنامج:
- ضرب كثيرات الحدود
- يلخص أحاديات الحد (يعطي مماثلة)
- يفتح بين قوسين
- يرفع كثيرة الحدود إلى قوة

برنامج تبسيط كثيرات الحدود لا يعطي الإجابة على المشكلة فحسب، بل يقدم أيضًا حل مفصلمع التفسيرات، أي. يعرض عملية الحل بحيث يمكنك التحقق من معرفتك بالرياضيات و/أو الجبر.

قد يكون هذا البرنامج مفيدا للطلاب المدارس الثانويةاستعدادا ل الاختباراتوالامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، ليتمكن الآباء من التحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك تريد فقط إنجاز الأمر في أسرع وقت ممكن؟ العمل في المنزلفي الرياضيات أو الجبر؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.

بهذه الطريقة يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو التدريب الخاص بك. الأخوة الأصغر سناأو الأخوات، في حين يرتفع مستوى التعليم في مجال المشاكل التي يتم حلها.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
من فضلك انتظر ثانية.

القليل من النظرية.

منتج أحادي الحد ومتعدد الحدود. مفهوم كثير الحدود

من بين التعبيرات المختلفة التي يتم أخذها في الاعتبار في الجبر، تحتل مجموعات أحاديات الحد مكانًا مهمًا. فيما يلي أمثلة على هذه التعبيرات:

مجموع أحاديات الحد يسمى متعدد الحدود. تسمى المصطلحات الموجودة في كثير الحدود مصطلحات كثيرة الحدود. يتم تصنيف أحاديات الحد أيضًا على أنها متعددات الحدود، معتبرا أن أحادية الحد هي متعددة الحدود تتكون من عضو واحد.

دعونا نمثل جميع الحدود في شكل أحاديات الحد طريقة العرض القياسية:

دعونا نقدم مصطلحات مماثلة في كثير الحدود الناتج:

والنتيجة هي كثيرة الحدود، وجميع حدودها هي أحادية الحد بالشكل القياسي، ولا يوجد بينها مثيل. تسمى كثيرات الحدود هذه كثيرات الحدود من النموذج القياسي.

خلف درجة كثير الحدودذات الشكل القياسي تأخذ أعلى صلاحيات أعضائها. وبالتالي، فإن ذات الحدين لها الدرجة الثالثة، وثلاثية الحدود لها الدرجة الثانية.

عادة، يتم ترتيب حدود كثيرات الحدود ذات الشكل القياسي التي تحتوي على متغير واحد بترتيب تنازلي للأسس. على سبيل المثال:

يمكن تحويل (تبسيط) مجموع العديد من كثيرات الحدود إلى كثير حدود بالشكل القياسي.

في بعض الأحيان يجب تقسيم حدود كثيرة الحدود إلى مجموعات، مع وضع كل مجموعة بين قوسين. بما أن الأقواس المغلقة هي تحويل عكسي للأقواس المفتوحة، فمن السهل صياغتها قواعد فتح الأقواس:

إذا وضعت إشارة "+" قبل القوسين فإن المصطلحات التي بين القوسين تكتب بنفس الإشارة.

إذا وضعت إشارة "-" قبل القوسين، فإن المصطلحات التي بين القوسين تكتب بإشارة معاكسة.

تحويل (تبسيط) منتج أحادي الحد ومتعدد الحدود

باستخدام خصائص التوزيعيمكن تحويل الضرب (مبسطًا) إلى كثيرة الحدود، أي حاصل ضرب أحادية الحد ومتعددة الحدود. على سبيل المثال:

إن حاصل ضرب أحادية الحد ومتعددة الحدود يساوي بشكل متطابق مجموع منتجات أحادية الحد وكل حد من حدود كثيرة الحدود.

عادة ما يتم صياغة هذه النتيجة كقاعدة.

لضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود، يجب عليك ضرب تلك الأحادية الحد في كل حد من حدود كثيرة الحدود.

لقد استخدمنا هذه القاعدة بالفعل عدة مرات للضرب في مجموع.

منتج كثيرات الحدود. تحويل (تبسيط) منتج متعدد الحدود

بشكل عام، حاصل ضرب كثيرتي الحدود يساوي بشكل مماثل مجموع حاصل ضرب كل حد من كثيرات الحدود وكل حد من الحدود الأخرى.

عادة ما يتم استخدام القاعدة التالية.

لضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، تحتاج إلى ضرب كل حد من كثيرة الحدود في كل حد من الحدود الأخرى وإضافة المنتجات الناتجة.

صيغ الضرب المختصرة. مجموع المربعات والاختلافات والفرق بين المربعات

مع بعض التعبيرات في التحولات الجبريةيجب التعامل معها في كثير من الأحيان أكثر من غيرها. ولعل التعبيرات الأكثر شيوعاً هي u، أي مربع المجموع، ومربع الفرق، وفرق المربعات. لقد لاحظت أن أسماء هذه التعبيرات تبدو غير مكتملة، على سبيل المثال، هذا بالطبع ليس مربع المجموع فحسب، بل مربع مجموع a و b. ومع ذلك، فإن مربع مجموع A و B لا يحدث في كثير من الأحيان؛ كقاعدة عامة، بدلا من الحروف A و B، فإنه يحتوي على تعبيرات مختلفة، وأحيانا معقدة للغاية.

يمكن تحويل (تبسيط) التعبيرات بسهولة إلى كثيرات الحدود بالشكل القياسي؛ في الواقع، لقد واجهت مثل هذه المهمة بالفعل عند ضرب كثيرات الحدود:

ومن المفيد أن نتذكر الهويات الناتجة وتطبيقها دون حسابات وسيطة. تساعد الصيغ اللفظية المختصرة على ذلك.

- مربع المبلغ يساوي المبلغالمربعات ومضاعفة المنتج.

- مربع الفرق يساوي مجموع المربعات بدون المنتج المزدوج.

- الفرق بين المربعين يساوي حاصل ضرب الفرق والمجموع.

تسمح هذه الهويات الثلاث للفرد باستبدال الأجزاء اليسرى بأجزاء يمنى في التحولات والعكس - الأجزاء اليمنى بأجزاء يسرى. أصعب شيء هو رؤية التعبيرات المقابلة وفهم كيفية استبدال المتغيرين a وb فيها. دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لاستخدام صيغ الضرب المختصرة.

الكتب (الكتب المدرسية) ملخصات امتحانات الدولة الموحدة و اختبارات أوجي ألعاب على الانترنت، الألغاز وظائف الرسوم البيانية القاموس الإملائيقاموس اللغة الروسية للعامية الشبابية كتالوج المدارس الروسية كتالوج المؤسسات التعليمية الثانوية في روسيا كتالوج الجامعات الروسية قائمة المهام إيجاد GCD و LCM تبسيط كثيرات الحدود (ضرب كثيرات الحدود) قسمة كثيرات الحدود على كثيرات الحدود بعمود حساب الكسور العدديةحل المسائل التي تنطوي على النسب المئوية ارقام مركبة: المجموع والفرق والحاصل وحاصل نظام 2 المعادلات الخطيةمع اثنين حل المتغيرات معادلة من الدرجة الثانيةتربيع ذات الحدين وتحليلها ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةحل المتباينات حل أنظمة المتباينات رسم رسم بياني وظيفة من الدرجة الثانيةرسم بياني دالة خطية كسريةحل العمليات الحسابية و التقدم الهندسيحل المثلثات ، الأسي ، المعادلات اللوغاريتميةحساب الحدود، المشتقة، تكامل الظل، الحل المضادالمثلثات حسابات الإجراءات مع المتجهات حسابات الإجراءات مع الخطوط والطائرات المساحة الأشكال الهندسيةمحيط الأشكال الهندسية الحجم الهيئات الهندسيةمساحة سطح المواد الصلبة الهندسية
منشئ حالة المرور
الطقس - الأخبار - الأبراج

www.mathsolution.ru

توسيع الأقواس

نواصل دراسة أساسيات الجبر. في هذا الدرس سوف نتعلم كيفية فك الأقواس في التعبيرات. توسيع الأقواس يعني إزالة الأقواس من التعبير.

لفتح الأقواس، تحتاج إلى حفظ قاعدتين فقط. مع الممارسة المنتظمة، يمكنك فتح الأقواس باستخدام عيون مغلقة، ويمكن نسيان تلك القواعد التي كان مطلوبًا حفظها بأمان.

القاعدة الأولى لفتح الأقواس

خذ بعين الاعتبار التعبير التالي:

قيمة هذا التعبير هي 2 . دعونا نفتح الأقواس في هذا التعبير. إن فتح الأقواس يعني التخلص منها دون التأثير على معنى العبارة. أي بعد التخلص من الأقواس، قيمة التعبير 8+(−9+3) ينبغي أن لا يزال يساوي اثنين.

القاعدة الأولى لفتح الأقواس هي كما يلي:

عند فتح الأقواس، إذا كان هناك علامة زائد أمام الأقواس، فسيتم حذف هذه العلامة مع الأقواس.

لذلك، نرى ذلك في التعبير 8+(−9+3) هناك علامة زائد قبل القوسين. يجب حذف هذه العلامة بالإضافة إلى الأقواس. بمعنى آخر، ستختفي الأقواس مع علامة الزائد التي كانت أمامها. وما كان بين قوسين سيكتب دون تغيير:

8−9+3 . هذا التعبيريساوي 2 ، مثل التعبير السابق بين قوسين، كان يساوي 2 .

8+(−9+3) و 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

مثال 2.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 3 + (−1 − 4)

توجد علامة زائد أمام القوسين، مما يعني حذف علامة الزائد مع القوسين. ما كان بين قوسين سيبقى دون تغيير:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

مثال 3.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 2 + (−1)

في في هذا المثالأصبح فتح الأقواس نوعًا من العملية العكسية لاستبدال الطرح بالجمع. ماذا يعني ذلك؟

في التعبير 2−1 يحدث الطرح، ولكن يمكن استبداله بالجمع. ثم نحصل على التعبير 2+(−1) . ولكن إذا كان في التعبير 2+(−1) افتح الأقواس، تحصل على الأصل 2−1 .

لذلك، يمكن استخدام القاعدة الأولى لفتح الأقواس لتبسيط العبارات بعد إجراء بعض التحويلات. أي تخليصه من الأقواس وتبسيطه.

على سبيل المثال، دعونا نبسط التعبير 2أ+أ−5ب+ب .

لتبسيط هذا التعبير، يمكن إعطاء مصطلحات مماثلة. دعونا نتذكر أنه لتبسيط الحدود المتشابهة، تحتاج إلى إضافة معاملات الحدود المتشابهة وضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك:

حصلت على التعبير 3أ+(−4ب). دعونا نزيل الأقواس في هذا التعبير. توجد علامة زائد أمام الأقواس، لذلك نستخدم القاعدة الأولى لفتح الأقواس، وهي أن نحذف الأقواس مع علامة الزائد التي تأتي قبل هذه الأقواس:

هكذا التعبير 2أ+أ−5ب+بيبسط ل 3أ−4ب .

بعد أن فتحت بعض الأقواس، قد تواجه أخرى على طول الطريق. نحن نطبق عليهم نفس القواعد كما في القواعد الأولى. على سبيل المثال، دعونا نوسع الأقواس في التعبير التالي:

هناك مكانان حيث تحتاج إلى فتح الأقواس. وفي هذه الحالة تنطبق القاعدة الأولى لفتح القوسين، وهي حذف القوسين مع علامة الجمع التي تسبق هذين القوسين:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

مثال 3.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 6+(−3)+(−2)

وفي كلا الموضعين اللذين يوجد فيهما قوسان، يسبقهما علامة زائد. هنا مرة أخرى تنطبق القاعدة الأولى لفتح الأقواس:

في بعض الأحيان يتم كتابة الفصل الأول بين قوسين بدون إشارة. على سبيل المثال، في التعبير 1+(2+3−4) المصطلح الأول بين قوسين 2 مكتوب بدون علامة. والسؤال الذي يطرح نفسه ما هي العلامة التي ستظهر أمام الاثنين بعد حذف القوسين وعلامة الجمع التي أمام القوسين؟ الجواب يقترح نفسه - سيكون هناك علامة زائد أمام الاثنين.

في الواقع، حتى لو كان بين قوسين، توجد علامة زائد أمام الاثنين، لكننا لا نراها لأنها غير مكتوبة. لقد قلنا بالفعل أن التدوين الكامل للأرقام الإيجابية يبدو كذلك +1, +2, +3. ولكن وفقا للتقاليد، لا يتم تسجيل الإيجابيات، ولهذا السبب نرى أرقاما إيجابية مألوفة لنا 1, 2, 3 .

ولذلك، لتوسيع الأقواس في التعبير 1+(2+3−4) ، عليك حذف الأقواس كالمعتاد، مع علامة الجمع الموجودة أمام هذه الأقواس، لكن اكتب الحد الأول الذي كان بين القوسين بعلامة الجمع:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

مثال 4.قم بتوسيع الأقواس في التعبير −5 + (2 − 3)

توجد علامة زائد أمام الأقواس، لذلك نطبق القاعدة الأولى لفتح الأقواس، وهي أن نحذف القوسين مع علامة الزائد التي قبل هذه الأقواس. لكن الحد الأول الذي نكتبه بين قوسين بعلامة الجمع:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

مثال 5.قم بتوسيع الأقواس في التعبير (−5)

توجد علامة زائد بين القوسين، ولكنها لا تكتب لأنه لم يكن هناك أرقام أو تعبيرات أخرى قبلها. مهمتنا هي إزالة الأقواس بتطبيق القاعدة الأولى لفتح الأقواس، وهي حذف الأقواس مع علامة الجمع هذه (حتى لو كانت غير مرئية)

مثال 6.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 2أ + (−6أ + ب)

توجد علامة زائد أمام القوسين، مما يعني حذف علامة الزائد مع القوسين. ما كان بين قوسين سيتم كتابته دون تغيير:

2أ + (−6أ + ب) = 2أ −6أ + ب

مثال 7.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 5أ + (−7ب + 6ج) + 3أ + (−2د)

هناك مكانان في هذا التعبير حيث تحتاج إلى توسيع الأقواس. وفي كلا القسمين علامة زائد قبل القوسين، مما يعني حذف علامة الزائد مع القوسين. ما كان بين قوسين سيتم كتابته دون تغيير:

5أ + (−7ب + 6ج) + 3أ + (−2د) = 5أ −7ب + 6ج + 3أ − 2د

القاعدة الثانية لفتح الأقواس

الآن دعونا نلقي نظرة على القاعدة الثانية لفتح الأقواس. يتم استخدامه عندما يكون هناك علامة ناقص قبل القوسين.

إذا كان هناك ناقص قبل القوسين، فسيتم حذف هذا الطرح مع القوسين، لكن الحدود التي كانت بين القوسين تغير إشارتها إلى العكس.

على سبيل المثال، دعونا نوسع الأقواس في التعبير التالي

نرى أن هناك علامة ناقص قبل القوسين. هذا يعني أنك بحاجة إلى تطبيق قاعدة التوسيع الثانية، وهي حذف الأقواس مع علامة الطرح الموجودة أمام هذه الأقواس. وفي هذه الحالة فإن المصطلحات التي كانت بين قوسين ستتغير إشارتها إلى العكس:

لقد حصلنا على تعبير بدون قوسين 5+2+3 . هذا التعبير يساوي 10، تمامًا كما كان التعبير السابق بين قوسين يساوي 10.

وهكذا بين العبارات 5−(−2−3) و 5+2+3 يمكنك وضع علامة يساوي، حيث أنهما متساويان في القيمة:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

مثال 2.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 6 − (−2 − 5)

يوجد ناقص قبل الأقواس، لذلك نطبق القاعدة الثانية لفتح الأقواس، وهي أن نحذف القوسين مع الطرح الذي قبل هذه الأقواس. وفي هذه الحالة نكتب المصطلحات التي كانت بين قوسين مع علامات عكسها:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

مثال 3.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 2 − (7 + 3)

يوجد علامة ناقص قبل القوسين، لذلك نطبق القاعدة الثانية لفتح القوسين:

مثال 4.قم بتوسيع الأقواس في التعبير −(−3 + 4)

مثال 5.قم بتوسيع الأقواس في التعبير −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

هناك مكانان حيث تحتاج إلى فتح الأقواس. في الحالة الأولى، عليك تطبيق القاعدة الثانية لفتح الأقواس، وعندما يتعلق الأمر بالتعبير +(−9−2) عليك تطبيق القاعدة الأولى:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

مثال 6.قم بتوسيع الأقواس في التعبير -(-أ − 1)

مثال 7.قم بتوسيع الأقواس في التعبير -(4أ + 3)

مثال 8.قم بتوسيع الأقواس في التعبير أ − (4ب + 3) + 15

مثال 9.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 2 أ + (3ب − ب) − (3ج + 5)

هناك مكانان حيث تحتاج إلى فتح الأقواس. في الحالة الأولى، عليك تطبيق القاعدة الأولى لفتح الأقواس، وعندما يتعلق الأمر بالتعبير -(3ج+5)عليك تطبيق القاعدة الثانية:

2أ + (3ب − ب) − (3ج + 5) = 2أ + 3ب − ب − 3ج − 5

مثال 10.قم بتوسيع الأقواس في التعبير -أ − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

هناك ثلاثة أماكن حيث تحتاج إلى فتح الأقواس. تحتاج أولاً إلى تطبيق القاعدة الثانية لفتح الأقواس، ثم الأولى، ثم الثانية مرة أخرى:

−أ − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = -أ + 4أ − 6ب + 8ج − 15

آلية فتح القوس

تعتمد قواعد فتح الأقواس التي درسناها الآن على قانون توزيع الضرب:

في الحقيقة فتح الأقواساستدعاء الإجراء عندما المضاعف المشتركمضروبا في كل مصطلح بين قوسين. ونتيجة لهذا الضرب، تختفي الأقواس. على سبيل المثال، دعونا نوسع الأقواس في التعبير 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

لذلك، إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في تعبير بين قوسين (أو ضرب تعبير بين قوسين في رقم)، فيجب أن تقول دعونا نفتح الأقواس.

لكن كيف يرتبط قانون توزيع الضرب بقواعد فتح القوسين التي تناولناها سابقًا؟

والحقيقة هي أنه قبل أي قوسين هناك عامل مشترك. في المثال 3×(4+5)العامل المشترك هو 3 . وفي المثال أ(ب+ج)العامل المشترك هو متغير أ.

إذا لم تكن هناك أرقام أو متغيرات قبل الأقواس، فإن العامل المشترك هو 1 أو −1 ، اعتمادًا على العلامة الموجودة أمام القوسين. إذا كان هناك علامة زائد أمام القوسين، فإن العامل المشترك هو 1 . إذا كان هناك ناقص قبل القوسين، فإن العامل المشترك هو −1 .

على سبيل المثال، دعونا نوسع الأقواس في التعبير -(3ب−1). توجد علامة ناقص أمام الأقواس، لذا عليك استخدام القاعدة الثانية لفتح الأقواس، وهي حذف الأقواس مع علامة الطرح الموجودة أمام الأقواس. واكتب العبارة التي كانت بين القوسين ذات الإشارات المتضادة:

قمنا بفك الأقواس باستخدام قاعدة فك الأقواس. لكن نفس هذه الأقواس يمكن فتحها باستخدام قانون التوزيع للضرب. للقيام بذلك، اكتب أولاً قبل القوسين العامل المشترك 1، الذي لم يتم كتابته:

تشير علامة الطرح التي كانت موجودة سابقًا قبل الأقواس إلى هذه الوحدة. يمكنك الآن فتح الأقواس باستخدام قانون التوزيع للضرب. ولهذا الغرض العامل المشترك −1 تحتاج إلى الضرب في كل مصطلح بين قوسين وإضافة النتائج.

ولتسهيل الأمر، نستبدل الفرق بين القوسين بالمبلغ:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

كما في آخر مرةلقد حصلنا على التعبير −3ب+1. سيوافق الجميع على أنه تم قضاء المزيد من الوقت هذه المرة في حل مثل هذا المثال البسيط. ولذلك فمن الحكمة استخدام القواعد الجاهزة لفتح الأقواس، والتي ناقشناها في هذا الدرس:

لكن لا يضر معرفة كيفية عمل هذه القواعد.

في هذا الدرس تعلمنا شيئا آخر تحول متطابق. جنبًا إلى جنب مع فتح الأقواس، وإخراج العام من الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة، يمكنك توسيع نطاق المشكلات التي يتعين حلها قليلاً. على سبيل المثال:

هنا تحتاج إلى تنفيذ إجراءين - أولا افتح الأقواس، ثم قم بإحضار مصطلحات مماثلة. لذا بالترتيب:

1) افتح الأقواس:

2) نقدم مصطلحات مماثلة:

في التعبير الناتج −10ب+(−1)يمكنك توسيع الأقواس:

مثال 2.افتح القوسين وأضف مصطلحات مماثلة في التعبير التالي:

1) لنفتح الأقواس:

2) دعونا نقدم مصطلحات مماثلة.هذه المرة، لتوفير الوقت والمكان، لن نكتب كيفية ضرب المعاملات في جزء الحرف المشترك

مثال 3.تبسيط التعبير 8 م + 3 موالعثور على قيمتها في م=−4

1) أولا، دعونا نبسط التعبير. لتبسيط التعبير 8 م + 3 م، يمكنك إخراج العامل المشترك فيه مخارج الأقواس:

2) أوجد قيمة التعبير م(8+3)في م=−4. للقيام بذلك، في التعبير م(8+3)بدلا من متغير ماستبدال الرقم −4

م (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44