إمكانية استخدام الأعداد المركبة في مقرر الرياضيات بالمرحلة الثانوية. النظريات الكلاسيكية للهندسة الأولية

إمكانية استخدام الأرقام المعقدة

في دورة الرياضيات في مدرسة التعليم العام

المستشار العلمي:

المؤسسة التعليمية البلدية

مدرسة بيرفومايسكايا الثانوية

مع. مدينة كيشمينجسكي

شارع. زارشنايا 38

العمل المقدم مخصص لدراسة الأعداد المركبة. ملاءمة: حل العديد من المشاكل في الفيزياء والتكنولوجيا يؤدي إلى المعادلات التربيعية مع التمييز السلبي. هذه المعادلات ليس لها حل في مجال الأعداد الحقيقية. لكن حل العديد من هذه المشاكل له معنى فيزيائي محدد للغاية.

أهمية عملية:ارقام مركبةوتستخدم وظائف المتغيرات المعقدة في العديد من مسائل العلوم والتكنولوجيا، ويمكن استخدامها في المدرسة لحل المعادلات التربيعية.

منطقة الكائن: الرياضيات. موضوع البحث: المفاهيم والإجراءات الجبرية. موضوع البحث- ارقام مركبة. مشكلة: لا يتم تدريس الأعداد المركبة في دورات الرياضيات .مدرسة ثانويةعلى الرغم من إمكانية استخدامها لحل المعادلات التربيعية. إمكانية إدخال الأعداد المركبة فيها مهام امتحان الدولة الموحدةفي المستقبل. فرضية:يمكنك استخدام الأعداد المركبة لحل المعادلات التربيعية في المدرسة الثانوية. هدف:لدراسة إمكانية استخدام الأعداد المركبة في دراسة الرياضيات في الصف العاشر بالمرحلة الثانوية. مهام: 1. دراسة نظرية الأعداد المركبة 2. النظر في إمكانية استخدام الأعداد المركبة في مقرر الرياضيات للصف العاشر. 3. تطوير واختبار المهام ذات الأعداد المركبة.

للحصول على حلول المعادلات الجبريةلا توجد أرقام حقيقية كافية. ولذلك فمن الطبيعي أن نسعى جاهدين لجعل هذه المعادلات قابلة للحل، الأمر الذي يؤدي بدوره إلى التوسع في مفهوم العدد..gif" width="10" height="65 src=">

https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" width = "10" height = "62">.gif" width = "97" height = "28 src = ">

كل ما عليك فعله هو الموافقة على التعامل مع هذه التعبيرات وفقًا لقواعد الجبر العادي وافتراض ذلك

في عام 1572، تم نشر كتاب من تأليف عالم الجبر الإيطالي ر. بومبيلي، والذي تم فيه وضع القواعد الأولى للعمليات الحسابية على هذه الأرقام، حتى استخلاصها منها جذور مكعبة. تم تقديم اسم "الأرقام الخيالية" في عام 1637. عالم الرياضيات والفيلسوف الفرنسي ر. ديكارت، وفي عام 1777 واحد من أكبر علماء الرياضيات الثامنالقرن العاشر..gif" width="58" height="19"> كمثال على استخدام الأعداد المركبة عند دراسة الرياضيات في الصف العاشر. ومن هنا. الرقم x الذي مربعه يساوي -1، تسمى الوحدة التخيلية ويشار إليها بـ i. ومن هنا ..gif" width="120" height="27 src=">.gif" width="100" height="27 src=">الصف الثامن " href="/text/category/8_klass/" rel ="bookmark">الصف الثامن في الجبر.- م: التربية، 1994.-ص134-139.

2. القاموس الموسوعيعالم الرياضيات الشاب / شركات. إي-68. - م: علم أصول التدريس، 19 ق

جزء النص من المنشور

محتوى
مقدمة………………………………………………………………….3 الفصل الأول. من تاريخ الأعداد المركبة …………………………… ……………………… ...........4 الفصل الثاني. أساسيات طريقة الأعداد المركبة…………………………… 6 الفصل الثالث. هندسة المثلث في الأعداد المركبة ............ 12 الفصل الرابع. حل مشاكل امتحان الدولة الموحدةوالأولمبياد المختلفة باستخدام طريقة الأعداد المركبة ……………………………………………….20 الخاتمة ……………………………. ……… …………………………………….24 قائمة المراجع ……………………………………………………………………….25 قائمة المراجع

مقدمة
إن الأهمية الكبيرة للأعداد المركبة في الرياضيات وتطبيقاتها معروفة على نطاق واسع. يمكن استخدام جبر الأعداد المركبة بنجاح الهندسة الابتدائيةوعلم المثلثات ونظرية الحركة وأوجه التشابه وكذلك في الهندسة الكهربائية والميكانيكية المختلفة مشاكل جسدية. في علم القياس، تتيح لك طريقة الأعداد المركبة حل المشكلات عن طريق الحساب المباشر باستخدام الصيغ الجاهزة. هذه هي بساطة هذه الطريقة مقارنة بالمتجهات و طرق التنسيقوذلك بطريقة التحويلات الهندسية التي تتطلب من الطلاب ذكاءً كبيرًا وبحثًا طويلًا. لعدة آلاف السنين، كان المثلث رمزا للهندسة. يمكنك حتى أن تقول أن المثلث هو ذرة الهندسة. يمكن تقسيم أي مضلع إلى مثلثات، وتتلخص دراسة خصائصه في دراسة خصائص المثلثات المكونة له. دعونا نلقي نظرة على كيفية عمل طريقة الأعداد المركبة عند إثبات خصائص المثلث دورة المدرسةقياس المساحة، وكذلك لحل المشكلات C-4 من امتحان الدولة الموحدة. 2

الفصل الأول. من تاريخ الأعداد المركبة،،
لأول مرة، على ما يبدو، تم ذكر الكميات الخيالية في العمل الشهير "الفن العظيم، أو حول". القواعد الجبرية» كاردانو (1545)، كجزء من حل شكلي لمشكلة حساب رقمين مجموعهما 10 وعند ضربهما يعطي 40. ولهذه المشكلة، حصل على معادلة تربيعية لأحد الحدود، ووجد جذورها: 5 + √ − 15 و 5 − √ − 15 . وكتب في تعليقه على القرار: “هؤلاء الكميات الأكثر تعقيدا"عديمة الفائدة، على الرغم من أنها ذكية جدًا" و"الاعتبارات الحسابية تصبح مراوغة أكثر فأكثر، وتصل إلى حد دقيق بقدر ما هي عديمة الفائدة." إمكانية استخدام الكميات التخيلية عند حل المعادلة التكعيبية، فيما يسمى بالحالة غير القابلة للاختزال (عندما يتم التعبير عن الجذور الحقيقية لكثيرة الحدود من خلال جذور مكعبةبكميات خيالية)، تم وصفها لأول مرة من قبل بومبيلي (1572). كان أول من وصف قواعد الجمع والطرح والضرب والقسمة للأعداد المركبة، لكنه ما زال يعتبرها "اختراعًا" عديم الفائدة وماكرًا. التعبيرات التي يمكن تمثيلها بالشكل a + b √ − 1، تظهر عند حل المعادلات التربيعية و المعادلات التكعيبية، بدأ يطلق عليه اسم "خيالي" في القرون السادس عشر إلى السابع عشربتحريض من ديكارت الذي أطلق عليهم ذلك، رافضًا حقيقتهم، وللعديد من التخصصات الأخرى العلماء السابع عشرلعدة قرون، بدت طبيعة وحق وجود الكميات الخيالية موضع شك كبير، تمامًا كما كانوا يعتبرون ذلك مشكوكًا فيه في ذلك الوقت أرقام غير منطقيةوحتى القيم السلبية. وعلى الرغم من ذلك، تقدم علماء الرياضيات بجرأة الأساليب الرسميةحصل جبر الكميات الحقيقية والمعقدة على نتائج حقيقية صحيحة حتى من الكميات المتوسطة المعقدة، وهذا لا يمكن إلا أن يبدأ في إلهام الثقة. لفترة طويلة، لم يكن من الواضح ما إذا كانت جميع العمليات على الأعداد المركبة تؤدي إلى نتائج معقدة أو حقيقية، أو ما إذا كان استخراج الجذر، على سبيل المثال، يمكن أن يؤدي إلى اكتشاف نوع جديد من الأعداد. مشكلة التعبير عن جذور الدرجة n من رقم معينتم حلها في أعمال موافر (1707) وكوتس (1722). تم اقتراح الرمز للدلالة على الوحدة التخيلية من قبل أويلر (1777، نُشر عام 1794)، الذي أخذ الحرف الأول من الكلمة اللاتينية لهذا الغرض. خيالي - خيالي. كما قام أيضًا بتوسيع جميع الوظائف القياسية، بما في ذلك اللوغاريتم، إلى المجال المعقد. أعرب أويلر أيضًا عن فكرة في عام 1751 مفادها أن مجال الأعداد المركبة مغلق جبريًا. توصل دالمبيرت (1747) إلى نفس النتيجة، لكن أول دليل صارم على هذه الحقيقة يعود إلى غاوس (1799). كان غاوس هو من صاغ مصطلح "العدد المركب" ليستخدم على نطاق واسع في عام 1831، على الرغم من أن هذا المصطلح سبق أن استخدم بنفس المعنى من قبل عالم الرياضيات الفرنسي لازار كارنو في عام 1803. 3
تم إنشاء النموذج الحسابي (القياسي) للأعداد المركبة كأزواج من الأعداد الحقيقية بواسطة هاميلتون (1837)؛ وهذا يثبت اتساق خصائصهم. وقبل ذلك بكثير، في عام 1685، أظهر واليس (إنجلترا) ذلك في عمله "الجبر". جذور معقدة معادلة من الدرجة الثانيةمع المعاملات الحقيقية يمكن تمثيلها هندسيا، من خلال نقاط على المستوى. لكنها مرت دون أن يلاحظها أحد. في المرة التالية ظهر تفسير هندسي للأعداد المركبة والعمليات عليها في أعمال فيسيل (1799). بدأ استخدام التمثيل الهندسي الحديث، الذي يُطلق عليه أحيانًا "مخطط أرجاند"، بعد نشر أعمال جي آر أرجاند في عامي 1806 و1814، والتي كررت بشكل مستقل استنتاجات فيسيل. تم تقديم مصطلحات "المعامل" و"الوسيطة" و"الرقم المرافق" بواسطة كوشي. وهكذا، تم اكتشاف أن الأعداد المركبة مناسبة أيضًا للتنفيذ الخالص. العمليات الجبريةالجمع والطرح والضرب والقسمة للمتجهات على المستوى، مما أدى إلى تغيير كبير في جبر المتجهات. 4

الباب الثاني. أساسيات طريقة الأعداد المركبة
[ 1 ]
,
[2]، [3] [4] التفسير الهندسي للأعداد المركبة طول القطعة المعطاة بشكل مستطيل النظام الديكارتيالإحداثيات على المستوى، يمكن أن يكون الرقم المركب z = x+iy (i 2 = -1) واحدًا لواحد مرتبطًا بالنقطة M من المستوى بإحداثيات x، y (الشكل 1): z = x + iy ↔M (x, y ) ↔M (z) . يُطلق على الرقم z بعد ذلك الإحداثي المركب للنقطة M. وبما أن مجموعة نقاط المستوى الإقليدي تتوافق مع مجموعة الأعداد المركبة، فإن هذا المستوى يُسمى أيضًا مستوى الأعداد المركبة. يُطلق على الأصل O لنظام الإحداثيات الديكارتية اسم النقطة الأولية أو نقطة الصفر لمستوى الأعداد المركبة. عندما = 0 يكون الرقم z حقيقيا. يتم تمثيل الأعداد الحقيقية بنقاط على المحور السيني، ولهذا يطلق عليه المحور الحقيقي. عند x=0، يكون الرقم z وهميًا تمامًا: z=iy. يتم تمثيل الأعداد التخيلية بنقاط على المحور y، ولهذا السبب يطلق عليه المحور التخيلي. الصفر هو رقم حقيقي وخيالي بحت. تسمى المسافة من بداية المستوى O إلى النقطة M(z) بمعامل الرقم المركب z ويشار إليها بالرمز |z| أو ص: | ض | = ص = | أوم | = √ x 2 + y 2 إذا كانت φ هي الزاوية الموجهة التي يشكلها المتجه ⃗ OM مع المحور x، فمن خلال تعريف دالة الجيب وجيب التمام sin φ = y r، cos φ = x r 5
حيث x = r cos φ، y = r sin φ، وبالتالي z = r (cos φ + sin φ). هذا التمثيل للرقم المركب z يسمى به
علم المثلثات

تشيسك
استمارة. يسمى التمثيل الأصلي z=x+iy
جبري
شكل هذا الرقم. في التمثيل المثلثيتسمى الزاوية  وسيطة الرقم المركب ويشار إليها أيضًا بـ arg z: φ = arg z إذا تم إعطاء رقم مركب z = x + iy، فسيتم استدعاء الرقم ´ z = x − iy
المكورات معقدة
(أو ببساطة
المترافقة
) إلى هذا الرقم ض. ومن الواضح أن الرقم z مرتبط أيضًا بالرقم ´z. النقطتان M(z) وM 1 (´z) متناظرتان حول المحور x. ومن المساواة z = ´z يترتب على ذلك أن y = 0 والعكس صحيح. هذا يعني انه
عدد يساوي

لمرافقته حقيقي والعكس صحيح.
النقاط ذات الإحداثيات المعقدة z و -z تكون متناظرة بالنسبة للنقطة الأولية O. النقاط ذات الإحداثيات المعقدة z و- ´z تكون متناظرة بالنسبة للمحور y. من المساواة z = ´z يترتب على ذلك أن x = 0 والعكس صحيح. لذلك، فإن الشرط z =− ´z هو معيار لعدد وهمي بحت. لأي رقم z، من الواضح | ض | = | ´ ض | =¿− ض ∨¿∨−´ ض ∨¿ .
المجموع والمنتج
العددان المركبان المترافقان هما أرقام حقيقية: z + ´ z = 2 z، z ´ z = x 2 + y 2 =¿ z 2 ∨¿. رقم مقترن بمجموع أو حاصل ضرب أو حاصل المركب 6
الأرقام هي، على التوالي، مجموع أو حاصل ضرب أو حاصل الأعداد المترافقة مع أرقام مركبة معينة: ´ z 1 + z 2 = ´ z 1 + ´ z 2 ؛ ´ ض 1 ض 2 = ´ ض 1 ´ ض 2 ; ´ z 1: z 2 = ´ z 1: ´ z 2 يمكن التحقق من هذه المساواة بسهولة باستخدام صيغ العمليات على الأعداد المركبة. إذا كانت a وb هي الإحداثيات المعقدة للنقطتين A وB، على التوالي، فإن الرقم c = a + b هو إحداثي النقطة C، بحيث يكون ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (الشكل 3). عدد مركب d = a − b يقابل النقطة D بحيث ⃗ OD = ⃗ OA − ⃗ OB . المسافة بين النقطتين A و B هي | ⃗ بكالوريوس | = | ⃗ التطوير التنظيمي | =¿ a − b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a − b ∨¿ (1) بما أن ¿ z ∨ 2 = z ´ z , إذن ¿ AB ∨ 2 =(a − b) (´ a − ´ b) . (2)
المعادلة
ض ´ ض = ص 2
يحدد دائرة مع المركز

حول نصف القطر

ص.
العلاقة AC CB = روسا، (ط ≠ − 1) التي تنقسم فيها النقطة C هذا الجزء AB، يتم التعبير عنها من خلال الإحداثيات المعقدة لهذه النقاط على النحو التالي: lect = c − a b − c, lect = ´ lect، من حيث c = a + lectb 1 + lect (3) بالنسبة إلى lect = 1، النقطة C هي نقطة المنتصف للقطعة AB والعكس. ثم: ج = 1 2 (أ + ب) (4) ضرب الأعداد المركبة يتم ضرب الأعداد المركبة وفقًا للصيغة، أي | أ ب | = | أ || ب | ، و 7
التوازي والتعامد العلاقة الخطية المتداخلة لثلاث نقاط دع النقطتين A(a) و B(b) تعطى على مستوى الأعداد المركبة. يتم توجيه المتجهات ⃗ OA و ⃗ OB بشكل مشترك إذا وفقط إذا كانت arg a = arg b، أي عندما arg a – arg b=arg a b =0 (عند قسمة الأعداد المركبة، يتم طرح وسيطة المقسوم عليه من وسيطة توزيعات ارباح). من الواضح أيضًا أن هذه المتجهات يتم توجيهها في اتجاهين متعاكسين إذا وفقط إذا كانت arg a - arg b= arg a b = ± π. الأعداد المركبة ذات الوسائط 0، π، - π حقيقية.
معيار العلاقة الخطية المتداخلة للنقاط O، A، B:
لكي تكون النقطتان A(a) وB(b) على خط واحد مع النقطة الأولية O، فمن الضروري والكافي أن يكون حاصل القسمة a b عدد حقيقي، أي أ ب = ´ أ ´ ب أو أ ´ ب = ´ أ ب (6) الآن خذ النقاط A(a)، B(b)، C(c)، D(d). تكون المتجهات ⃗ BA و ⃗ DC Collie غير ثابتة إذا وفقط إذا كانت النقاط المحددة بواسطة مركب أرقام أ-بو с-d، على خط واحد مع البداية O. ملاحظة: 1. بناءً على (6) لدينا: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a − b) (´ c − ´ d) =(´ a − ´ b) ) (ج - د) ; (8) 2. إذا كانت النقاط A، B، C، D تنتمي إلى دائرة الوحدة z ´ z = 1، فإن ´ a = 1 a؛ ´ ب = 1 ب ; ´ ج = 1 ج ; ´ d = 1 d وبالتالي فإن الشرط (8) يأخذ الشكل التالي: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. تتميز العلاقة الخطية المتداخلة للنقاط A، B، C بالعلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهين ⃗AB و ⃗AC. باستخدام (8) نحصل على: (a − b) (´ a −´ c) =(´ a − ´ b) (a − c) (10) هذا هو المعيار لانتماء النقاط A، B، C إلى نفس الخط المستقيم. يمكن تمثيلها بالشكل المتماثل a (´ b −´ c) + b (´ c −´ a) + c (´ a − ´ b) = 0 (11) 8
إذا كانت النقطتان A وB تنتميان إلى دائرة الوحدة z ´ z = 1، فإن ´ a = 1 a؛ ´ b = 1 b وبالتالي تتحول كل من العلاقات (10) و (11) (بعد الاختزال بواسطة (a-b) إلى ما يلي: c + ab ´ c = a + b (12) النقطتان A و B ثابتتان، والنقطة سنعتبر C متغيرًا، ونعيد تحديد إحداثيتها بـ z. ثم ستكون كل من العلاقات الناتجة (10)، (11)، (12) معادلة للخط المستقيم AB: (´ a − ´ b) z + (b − a) ´ z + a ´ b − b ´ a = 0، (10a) z + ab ´ z = a + b. (12a) على وجه الخصوص، الزراعة العضوية المباشرة لها المعادلة a ´ z = ´ a ض. الأعداد المركبة ذات الوسيطات π 2 و − π 2 هي أرقام خيالية تمامًا، لذلك، OA ⊥ OB↔ a b = − ´ a ´ b أو OA ⊥ OB↔a ´ b + ´ a b = 0 (13) يتم تحديد AB وCD من خلال المساواة (a − b) (´ c − ´ d) + (´ a − ´ b) (c − d) = 0 (14) على وجه الخصوص، عند النقاط A، B، C، D تنتمي إلى دائرة الوحدة z ´ z = 1، ثم يتم تبسيط الاعتماد (14): ab + cd = 0 (15) المنتج العددي للمتجهات. المنتج العدديالمتجهات ⃗ OA و ⃗ OB من خلال الإحداثيات المعقدة a و b للنقطتين A و B. Let a=x 1 +iy 1 , b=x 2 +iy 2 . ثم a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 −iy 2)+(x 1 −iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ الزراعة العضوية∙⃗OB. إذن، ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (أ ب + أ ب) (16) 9
دعونا الآن نعطي أربع نقاط عشوائية A(a)، B(b)، C(c)، D(d) مع إحداثياتها المعقدة. ثم 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) الزوايا دعونا نتفق على أن نشير بالرمز ∠ (AB ,CD) إلى الزاوية ذات الاتجاه الموجب خلال والذي يجب أن يدور المتجه ⃗ AB بحيث يصبح في اتجاه مشترك مع المتجه ⃗ CD. إذن، cos ∠ (AB, CD)= (d − c) (´ b − ´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 | د − ج || ب - أ | (18) الخطيئة ∠ (AB ,CD)= (d − c) (´ b −´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 i | د − ج || ب - أ | (19) نقطة تقاطع قاطعات الدائرة إذا كانت النقاط A وB وC وD تقع على الدائرة z ´ z = 1، فسيتم العثور على الإحداثيات المعقدة لنقطة التقاطع بالصيغة ´ z = (a + b) − (c + d) ab − cd (20) إذا كانت AB متعامدة مع CD، فإن z= 1 2 (a+b+c+d) (21) نقطة تقاطع مماسات الدائرة 10
تم العثور على الإحداثيات المعقدة لنقطة تقاطع مماسات الدائرة z ´ z =1 عند نقطتيها A(a) و B(b) بواسطة الصيغة z= 2ab a + b (22) إسقاط متعامد لنقطة ما على خط مستقيم إسقاط متعامد لنقطة M(m) على خط مستقيم AB، حيث يتم العثور على A(a) وB(b) بواسطة الصيغة في الحالة التي ينتمي فيها A وB إلى دائرة الوحدة z= 1 2 (أ + ب + م − ج ب م) .
الفصل الثالث.

هندسة المثلثات في الأعداد المركبة
على مستوى الأعداد المركبة، يتم تعريف المثلث بثلاثة أرقام مركبة تتوافق مع رؤوسه. النقطه الوسطى و orthocenter للمثلث. [ 2 ] من المعروف أنه بالنسبة للنقطه الوسطى G (نقطة تقاطع المتوسطات) للمثلث ABC وأي نقطة O تكون المساواة التالية صحيحة: ⃗ OG = 1 3 (⃗ OA + ⃗ OB + ⃗ OC). لذلك، يتم حساب الإحداثيات المعقدة g للنقطه الوسطى G بالصيغة g = 1 3 (a + b + c) (23) دعونا نعبر عن الإحداثيات المعقدة لمركز تقويم العظام H للمثلث ABC من خلال الإحداثيات a، b، ج رؤوسها. دع الخطوط AH، BH، CH تتقاطع مع الدائرة المحيطة بالمثلث عند النقاط A1، B1، C1، على التوالي. دع هذه الدائرة تحتوي على المعادلة z ´ z =1، إذن وفقًا لـ (15) لدينا: a 1 = − bc a , b 1 = − ca b , c 1 = − ab c بالصيغة (20) h = (a) + أ 1 ) −(ب + ب 1) أ أ 1 − ب 1 = أ + ق + كاليفورنيا أ ب = 1 أ + 1 ب + 1 ج 11
من أين يأتي h=a+b+c. (24) يتضمن التعبير الناتج إحداثيات رءوس المثلث بشكل متماثل، وبالتالي فإن الارتفاع الثالث للمثلث يمر بنقطة تقاطع الأولين مثلثات متشابهة [2،1] مثلثات ABC و A 1 B 1 C 1 متشابهة ومتماثلة التوجه (تشابه النوع الأول)، إذا كانت B 1 = kAB، A 1 B 1 = kAC والزوايا B 1 A 1 C 1 و BAC متساوية (الزوايا موجهة). باستخدام الأعداد المركبة، يمكن كتابة هذه المعادلات كما يلي: |a 1 −b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|,arg c 1 − a 1 b 1 − أ 1 =arg c − أ ب − أ . المتساويتان مكافئتان لواحد مع 1 − a 1 c − a = b 1 − a 1 b − a = σ , (25) حيث σ عدد مركب، |σ|=k-معامل التشابه. إذا كانت σ حقيقية، فإن c 1 − a 1 c − a = ´ c 1 − ´ a 1 ´ c − ´ a , حيث AC║A 1 C 1. وبالتالي، المثلثان ABC و A 1 B 1 C 1 متماثلان. العلاقة (25) ضرورية و شرط كافبحيث يكون المثلثان ABC و A 1 B 1 C 1 متشابهين ومتساويين في الاتجاه. يمكن إعطاؤه شكل متماثل ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) مثلثات متساوية إذا | σ | = 1، إذن المثلثان ABC و A 1 B 1 C 1 متساويان. فالعلاقة (25) هي علامة تساوي المثلثات المتماثلة التوجه، والعلاقة (26) هي علامة تساوي المثلثات ذات الاتجاه المعاكس. مثلثات منتظمة إذا كنت تحتاج إلى ذلك المثلث ABCكان مشابهًا للمثلث الموجه BCA، فسيكون المثلث ABC منتظمًا. 12
لذلك من (25) نحصل على الشرط الضروري والكافي لكي يكون المثلث ABC منتظمًا (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 =0 (27) مساحة المثلث (أثبته المؤلف) نشتق صيغة المساحة S للمثلث موجب التوجه ABC: S = 1 2 | أ ب || مكيف | الخطيئة ∠ (AB , AC)= 1 4i ((c − a) (´ b − ´ a) − (b − a) (´ c − ´ a)) = − 1 4i (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b)) أو S = i 4 (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b) )) (28) إذا المثلث ABCالمدرج في الدائرة z ´ z = 1، ثم تتحول الصيغة (28) إلى الشكل: S = i 4 (a − b)(b − c)(c − a) abc (29) نظرية حول خط الوسط لـ a مثلث (أثبته المؤلف)
نظرية
. خط الوسطالمثلث يوازي القاعدة ويساوي نصفها. دليل. لتكن النقطتان M و N نقطتي منتصف الضلعين AB و BC، ثم m = b 2 ; ن = ب + ج 2 . بما أن z 2 =z ´ z، إذن MN 2 =(m-n)(´ m - ´ n)=(b 2 - b + c 2)(´ b 2 – ´ b + ´ c 2)= b ´ b 4 − ب ´ ب + ب ´ ج 4 − ب ´ ب + ´ ب ج 4 + ب ´ ب + ب ´ ج + ´ ب ج + ج ´ ج 4 = ج ´ ج 4 13
4MN 2 =c ´ c, AC 2 =(c-0)(c-0)=c ´ c، وبالتالي 4MN 2 = AC 2 أو 2MN=AC. الشرط (8) من العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات MN وAC مستوفي أيضًا ، وبالتالي MN ║AC. نظرية طاليس (أثبتها المؤلف)
نظرية
. إذا كانت الخطوط المتوازية على أحد جانبي الزاوية تقطع أجزاء متساوية، فإنها على الجانب الآخر من الزاوية تقطع أجزاء متساوية. دليل لنفترض أن c=kb. ثم إذا كان BD||CE، فلدينا (b-d)(´ c − 2 ´ d ¿= (´ b − ´ d) (c − 2d) فتح الأقواس وإحضارها مصطلحات مماثلة، نحصل على المعادلة b ´ c − 2 b ´ d −´ c d = ´ b c − 2 ´ b d − c ´ d بالتعويض عن c ب kb و ´ c ب k ´ b ، نحصل على bk ´ b -2b ´ d -dk ´ ب = ´ ب كيلو بايت-2 ´ ب د-كيلو بايت ´ د . بجلب المصطلحات المتشابهة مرة أخرى ونقل كل شيء إلى جانب واحد، نحصل على 2b ´ d + dk ´ b − 2 ´ b d − kb ´ d =0. سوف نخرجها المضاعف المشتركونحصل على 2(b ´ d − ´ b d ¿+ k (´ b d − b ´ d) = 0. وبالتالي k=2، أي c=2b. وبالمثل، ثبت أن f=3b، إلخ. نظرية فيثاغورس ( أثبته المؤلف) ب مثلث قائممربع الوتر يساوي المبلغأرجل مربعة 14
دليل. المسافة بين النقطتين B وC تساوي BC=|b-c|=b، BC 2 =b ´ b. منذ |z| 2 = z ´ z , ثم AC 2 =(a-c)(c ´ a − ´ ¿ ¿=(a − 0) (´ a - 0)=a ´ a . AB 2 =(a-b)(´ a − ´ b ¿= a ´ a − a ´ b - ´ a b+b ´ b بما أن b عدد حقيقي، أي b= ´ b، ثم -a ´ b =− ab، وبما أن النقطة A تقع على محور أوي، إذن a = - ´ a، أي - ´ ab = ab، وبالتالي، AB 2 = a ´ a -a ´ b - ´ ab +b ´ b = a ´ a +b ´ b = AC 2 + BC 2. تم إثبات خط أويلر المستقيم (أثبته المؤلف) دعونا نثبت أن مركز التعامد والنقط الوسطى والمركز المحيطي للمثلث يقع على نفس الخط المستقيم (يسمى هذا الخط المستقيم بخط أويلر المستقيم)، وأن OG = 1/2GH. 15
الدليل: النقطة G(g) هي المركز الأوسط للمثلث ABC، وH(h) هي المركز المتعامد، وO(o) هي مركز الدائرة المحدودة للمثلث. لكي تكون هذه النقاط على خط واحد، يجب تحقيق المساواة (10): (g-о)(´ g - ´ h ¿ -(´ g − ´ o ¿ (g − h) =0 لنأخذ النقطة O كنقطة الأصل، ثم g(´ g - ´ h ¿ - ´ g (g − h) =g 2 -g ´ h −¿ (g 2 - h ´ g ¿ =-g ´ h + h ´ g (30) يتم حساب الإحداثيات المعقدة لمركز تقويم العظام وفقًا للصيغة (24) h=a+b+c، (30a) والنقطه الوسطى وفقًا للصيغة (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) استبدل في ( 30)، نحصل على 1 3 (a+b +c)(´ a + b + c)-(a+b+c)(´ a + b + c 1 3 ¿)) = 0. المساواة (10) هي وبالتالي، فإن النقطتين الوسطى والمركزية ومركز المثلث المحيط تقعان على نفس الخط المستقيم OG=g= 1 3 (a+b+c) GH=h-g=a+b+c- 1 3 (a+ b+c)= 2 3 (a+b+c) حصلنا على أن OG= 1 2 GH. تم إثبات النظرية 16
دائرة أويلر (دائرة ذات تسع نقاط). أثبته المؤلف فكر في المثلث ABC. فلنتفق على أن‌ | الزراعة العضوية | = | أوب | = | أوك | =1، أي تنتمي جميع رؤوس المثلث إلى دائرة الوحدة z ´ z = 1 (مركز الدائرة المحيطة O هو الأصل، ونصف القطر هو وحدة الطول). دعونا نثبت أن القواعد لها ثلاثة ارتفاعات مثلث تعسفي، تقع نقاط منتصف أضلاعه الثلاثة ومنتصف الأجزاء الثلاثة التي تربط رءوسه بمركزه على نفس الدائرة، ومركزه هو منتصف القطعة OH، حيث H، أذكر، هو مركز تقويم المثلث ABC. تسمى هذه الدائرة
دائرة أويلر
. لتكن النقاط K وL وM نقاط منتصف أضلاع المثلث ABC، والنقاط Q وN وP قواعد ارتفاعاته، والنقاط F وE وD نقاط منتصف الأجزاء الثلاثة التي تربط رؤوسها بالمركز المتعامد. لنثبت أن النقاط D، E، F، K، L، M، N، P، Q تنتمي إلى نفس الدائرة، وقم بتعيين الإحداثيات المعقدة المقابلة للنقاط: k = a + b 2 , l = b + c 2 ; م = أ + ج 2 ,س 1 = ح 2 = أ + ب + ج 2 د = 2أ + ب + ج 2 ; ه = 2 ج + أ + ب 2 ; f = 2 b + a + c 2 n = 1 2 (a + b + c − ab c) , q = 1 2 (a + c + b − ac b) , p = 1 2 (c + b + a − cb أ) O 1 K = | س 1 – ك | = | ج2 | ,يا 1 لتر = | س 1 – ل | = | أ2 | , يا 1 م = | س 1 – م | = | ب2 | يا 1 د = | س 1 – د | = | أ2 | ,يا 1 ه = | س 1 – ه | = | ج2 | ,يا 1 ف = | س 1 – و | = | ب2 | يا 1 ن= | س 1 – ن | = 1 2 | أب ج | = 1 2 | أ || ب | | ج | , يا 1 س= 1 2 | أ || ج | | ب | , يا 1 ف= 1 2 | ب || ج | | أ | . 17
لأن المثلث ABC مدرج في الدائرة z ´ z = 1 ثم | أ | = | ب | = | ج | = 1، → | أ2 | = | ب2 | = | ج2 | = 1 2 | أ || ب | | ج | = 1 2 | أ || ج | | ب | = 1 2 | ب || ج | | أ | = 1 2 إذن، النقاط D، E، F، K، L، M، N، Q، F تنتمي إلى نفس الدائرة نظرية جاوس إذا تقاطع خط مع الخطوط التي تحتوي على الأضلاع BC، CA، AB للمثلث ABC، على التوالي، عند النقاط A 1، B 1، C 1، ثم نقاط المنتصف للقطاعات AA 1، BB 1، СС 1 على خط واحد. باستخدام (11) نكتب شروط العلاقة الخطية المتداخلة للنقاط الثلاثية AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () c - ب (أ 0،) ج - ب أ() ب - أ () أ - ج ب(0،) أ - ج ب() ج - ب () ب - أ ج(0،) ب - أ (ج) أ - ج () c - b a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1           b c a b (31) إذا كانت M، N، P هي نقاط المنتصف لـ الأجزاء AA 1، BB 1، CC 1، ثم علينا أن نظهر أن 0) () () (      n m p m p n p n m (32) منذ)، (2 1)، (2 1)، (2 1) 1 1 1 c c p b b n a a m +      فإن المساواة التي يتم إثباتها (31) تعادل هذا: 0))(())(())((1 1 1 1 1 1 1 1               ب ب أ ج ج أ ج ج ب ج ج ب أ أ أو بعد الضرب: 0) () () () () () () () () () () () (1 1 1 1 1 1 1 1 1) 1 1 1 1 1 1 1 1                            b a c b a with b a c b a c a c b a with b a c b a c b c b a c b a c b a c b a (33) الآن أصبح من السهل رؤية ذلك أن (33) يتم الحصول عليها عن طريق جمع المتساويات حدًا تلو الآخر (31).الدليل كامل. . 18

الفصل الرابع.

حل مسائل الاستخدام والأولمبياد المختلفة باستخدام طريقة الأعداد المركبة.
المشكلة 1. امتحان الدولة الموحدة -2012، P-4 على خط يحتوي على الوسيط AD للمثلث القائم ABC والزاوية القائمة C، يتم أخذ نقطة E، بعيدة عن الرأس A على مسافة تساوي 4. أوجد مساحة المثلث BCE إذا كان BC=6، AC=4. الحل الأول. وفقا لنظرية فيثاغورس AD=5. ثم ED=1 لتقع النقطة E على الشعاع AD. المتوسط ​​AD أطول من AE، والنقطة E تقع داخل المثلث ABC (الشكل 1)، دعونا نسقط العمود EF من النقطة E إلى الخط BC ونفكر في مثلثات قائمة مماثلة DEF وDAC. ومن تشابه هذه المثلثات نجد: EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
ولذلك، S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2.4. دعونا الآن نشير إلى الكذبة بين E وD (الشكل 2). في هذه الحالة ED=9 و EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . ثم S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21.6. الجواب: 2.4؛ 21.6. حل المسألة باستخدام الأعداد المركبة. الحالة الأولى: النقطة E تقع على الشعاع AD. بما أن D هو منتصف CB، فإن CD = 3. وبما أن CA=4 فمن الواضح أن AD=5، أي DE=1. لنأخذ النقطة C كنقطة البداية، والخطين CA وCB كمحورين حقيقي وتخيلي. ثم A(4)، C(0)، B(6i)، D(3i)، E(e). النقاط A و E و D على خط واحد، ثم e − 4 3i − e = 4 أي e= 12i + 4 5 . وفقًا للصيغة (25) S CBE =│ ´ i 4 (e6 ´ i +6i(− ´ e)│= e e − ´ ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2.4 الحالة الثانية: النقطة A تقع بين النقطتين D و E , ثم 4 − e 3i − 4 = 4 5 , أي e= 36 − 12 i 5 S CBE = | 3 i 2 2 (36 − 12 i 5 − − 36 − 12i 5) | =21.6 الإجابة : 2.4 و 21.6 للحل مشكلة باستخدام الطريقة الأولى، من الضروري أن يكون لديك عدد من التخمينات، والتي قد لا تظهر على الفور، ولكن بعد فترة طويلة من التفكير.على الرغم من أنه إذا كان الطالب مستعدًا جيدًا، فسيتم تشكيل الحل نفسه على الفور. حل المسألة باستخدام الطريقة الثانية، نستخدم صيغ جاهزة، مما يوفر الوقت في البحث، ومع ذلك، نحن نفهم أنه بدون معرفة الصيغ، لا يمكن حل المسائل باستخدام طريقة الأعداد المركبة، وكما ترون، كل طريقة لها إيجابيات وسلبيات.
المهمة 2 (MIOO، 2011):
"النقطة M تقع على القطعة AB. على دائرة قطرها AB، تؤخذ النقطة C، بعيداً عن النقاط A وM وB على مسافات 20 و14 و15 على التوالي. أوجد مساحة المثلث BMC." 20
الحل: بما أن AB هو قطر الدائرة، فإن ∆ ABC مستطيل، ∠ C = 90 ° لنأخذ C كـ نقطة الصفرالمستوى، ثم A(20i)، B(15)، M(z). بما أن CM=14، فإن المساواة z ´ z = 196 صحيحة، أي النقطة M ∈ دائرة مركزها النقطة C وr=14. لنجد نقاط تقاطع هذه الدائرة مع الخط AB: معادلة الخط AB (10a): 20 i (15 −´ z) + 15 (´ z + 20 i) + z (− 20 i − 15) = 0 استبدال ´ z مع 196 z وضرب المعادلة بأكملها في (4 i − 3) نحصل على معادلة تربيعية لـ z: 25 z 2 + 120 i (4 i − 3) z + 196 (4 i − 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 − 4 i) (6 i± √ 13) 5 باستخدام الصيغة (28)، نجد المساحة ∆ MBC: S = i 4 (z (´ b − ´ c) + b (´ c) − ´ z) + c (´ z − ´ b)) حيث c = 0، ´ c = 0، b = 15، ´ b = 15، ´ z = 196 ∗ 5 2 (3 − 4 i) (6 i ± √ 13) بعد الانتهاء التحولات المكافئة، نحصل على S = 54 ± 12 √ 13 مربع. وحدات إجابة. 54 ± 12 √ 13 قدم مربع وحدات إذا قمت بحل المشكلة طرق هندسية، فمن الضروري النظر في حالتين مختلفتين: النقطة الأولى M تقع بين A و D؛ الثاني - بين د و ب 21


عند حل مسألة بطريقة الأعداد المركبة يتم الحصول على ازدواجية الحل لوجود نقطتي تقاطع الدائرة والخط. هذا الظرف يسمح لنا بتجنب الخطأ الشائع.
المشكلة 3
تتقاطع المتوسطات AA 1 و BB 1 و CC 1 للمثلث ABC عند النقطة M. ومن المعروف أن AB=6MC 1. أثبت أن المثلث ABC مثلث قائم الزاوية. الحل: اجعل C هي نقطة الصفر للمستوى، وقم بتعيين وحدة حقيقية للنقطة A. ثم تتلخص المشكلة في إثبات أن b هو رقم وهمي بحت. أ ب 2 = (ب − 1) (´ ب − 1) . M هو النقطه الوسطى، وإحداثيتها هي 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 − 1 2 b − 1 2)(1 3 ´ b + 1 3 − 1 2 ´ b − 1 2) = 1 3 b (b + 1) (´ b + 1) بما أن AB=6MC 1, إذن (b − 1) (´ b − 1) = (b + 1) (´ b + 1) . وبعد إجراء التحويلات نحصل على b =− ´ b، أي أن b عدد وهمي بحت، أي أن الزاوية C عبارة عن خط مستقيم.
المهمة 4.
22
نتيجة للدوران بزاوية 90 درجة حول النقطة O، تحول الجزء AB إلى الجزء A "B". أثبت أن متوسط ​​OM للمثلث OAB " عمودي على الخط A " B . الحل: اجعل الإحداثيات O، A، B تساوي 0.1، b، على التوالي. ثم النقطتان A " و B " سيكون لهما إحداثيات a" = i و b" = bi، والوسط M للقطعة AB " سيكون له إحداثيات m = 1 2 (1 + bi). نجد: a " − b m − 0 = i − b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i − b) i − b = 2i عدد وهمي بحت. بناءً على معيار التعامد (القطع AB وCD تكون متعامدة إذا وفقط إذا كان الرقم a − b c − d وهميًا تمامًا)، يكون الخطان OM وA ’ B متعامدين.
المشكلة 5
. 23
ومن قاعدة ارتفاع المثلث يسقط عموديان على ضلعين لا يتوافقان مع هذا الارتفاع. أثبت أن المسافة بين قاعدتي هذه المتعامدين لا تعتمد على اختيار ارتفاع المثلث. الحل: لنفترض أن المثلث ABC، والدائرة المحيطة به لها المعادلة z ´ z = 1. إذا كان CD هو ارتفاع المثلث، فإن d = 1 2 (a + b + c − ab c) الإحداثيات المعقدة للقاعدتين M وN للعمودين الساقطين من النقطة D إلى AC وBC، على التوالي، تساوي m = 1 2 (a + c + d − ac ´ d 2) n = 1 2 (b + c + d − bc ´ d 2) نجد: m − n = 1 2 (a − b + c ´ d ( b − a)) = 1 2 ( a − b) (1 − c ´ d) = (a − b) (a − c) (b − c) 4 ab منذ | أ | = | ب | = 1، ثم | م – ن | = | (أ − ب) × (ب − ج) (ج − أ) | 4 . هذا التعبير متماثل بالنسبة لـ a، b، c، أي. المسافة MN لا تعتمد على اختيار ارتفاع المثلث.
خاتمة
24
"بالتأكيد! يمكن حل جميع المسائل بدون أعداد مركبة. لكن حقيقة الأمر هي أن جبر الأعداد المركبة شيء آخر طريقة فعالةحل المسائل التخطيطية. لا يمكننا التحدث إلا عن اختيار طريقة أكثر فعالية لمهمة معينة. إن الخلافات حول مزايا طريقة معينة لا معنى لها إذا نظرنا إلى هذه الطرق بشكل عام، دون تطبيق على مشكلة محددة" [2]. تشغل مجموعة من الصيغ مكانًا كبيرًا في دراسة الطريقة. هذا هو
العيب الرئيسي
الطريقة وفي نفس الوقت
كرامة
، لأنه يسمح لك بحل ما يكفي المهام المعقدةوفقا للصيغ الجاهزة مع الحسابات الأولية. بالإضافة إلى ذلك، أعتقد أنه عند حل مشاكل Planimetry هذه الطريقةعالمي.
فهرس
1. Markushevich A. I. الأعداد المركبة والخرائط المطابقة - م: دار النشر الحكومية للأدب التقني والنظري، 1954. - 52 ص. 25
2. بونارين يا بي جبر الأعداد المركبة في المشكلات الهندسية: كتاب لطلاب الفصول الرياضية بالمدارس والمعلمين وطلاب الجامعات التربوية - م: MTsNMO، 2004. - 160 ص. 3. شفيتسوف د. من خط سيمسون إلى نظرية دروز-فارني، كفانت. - العدد 6، 2009. - ص. 44-48 4. ياجلوم آي.م. التحولات الهندسية. التحولات الخطية والدائرية. - دار النشر الحكومية للأدب الفني والنظري 1956. – 612 ص. 5. ياجلوم آي إم الأعداد المركبة وتطبيقاتها في الهندسة - م: فيزماتجيز، 1963. - 192 ص. 6. موركوفيتش أ.ج. وغيرها الجبر وبدايات التحليل الرياضي الصف العاشر. في ساعتين الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام (المستوى الشخصي) - م: منيموسين ، 2012. - 343 ص. 7. أندرونوف إ.ك. رياضيات الأعداد الحقيقية والمعقدة - م: Prosveshchenie، 1975. - 158 ص. 26

طلب

النظريات الكلاسيكيةالهندسة الابتدائية

نظرية نيوتن.
في الشكل الرباعي المحاط بدائرة، تكون نقاط منتصف الأقطار على خط واحد مع مركز الدائرة. 27
دليل. لنأخذ مركز الدائرة كنقطة الأصل، ونجعل نصف قطرها يساوي واحدًا. دعونا نشير إلى نقاط الاتصال لجوانب هذا المثلث الرباعي A o B o C o D o بواسطة A، B، C، D (بترتيب دائري) (الشكل 4). اجعل M و N هما نقطتا المنتصف للقطرين A o C o و B o D o على التوالي. بعد ذلك، وفقًا لصيغة نقاط تقاطع مماسات الدائرة z = 2ab a + b، فإن النقاط A o , B o , C o , D o سيكون لها إحداثيات معقدة، على التوالي: , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc c b a ab b d a ad a       حيث a، b، c، d هي الإحداثيات المعقدة للنقاط A، B، C، D. لذلك.) (2 1 ،) (2 1 0 0 0 0 d c cd b a ab d b n c b bc d a ad c a m          احسب.))(())((a d c b d c b a n m      منذ، 1 ، 1 ب ب أ   , 1 , 1 d d c c   فمن الواضح مباشرة أن n m n m  بناءً على (6) ، تكون النقاط O و M و N على خط واحد.
نظرية باسكال

.
تقع نقاط تقاطع الخطوط التي تحتوي على جوانب متقابلة للشكل السداسي المنقوش على نفس الخط. 28
دليل. دع الشكل السداسي ABCDEF و P FA CD N EF BC M DE AB   ) () (،) () (،) () (   (الشكل 6) يُدرج في دائرة (الشكل 6). لنأخذ مركز الدائرة كنقطة الصفر للمستوى، ونصف قطرها لكل وحدة طول، ثم وفقًا للرقم (17)، لدينا: ,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n de ab e d b a m                احسب) )(())((ef bc de ab ab fa ef de cd bc e b n m           ومثله .))(())((fa cd ef bc bc ab fa ef de cd f c p n           بعد ذلك نجد: .))(())((de ab c f fa cd e b p n n m        بما أن الأرقام f e d c b a متساوية على التوالي، f e d c b a 1 , 1 , 1 , 1 , 1, 1، فإن الفحص الشفهي يكشف أن التعبير الذي تم العثور عليه يتطابق مع مرافقه، أي أنه رقم حقيقي. وهذا يعني العلاقة الخطية المتداخلة للنقاط M، N، P.
نظرية مونج.
في الشكل الرباعي المدرج في دائرة، تمر الخطوط بمنتصف الجوانب و. ويكون كل قطري متعامدًا على الجانبين المتقابلين، وبالتالي يتقاطع القطر الآخر عند نقطة واحدة. وتسمى نقطة Monge للشكل الرباعي الدائري. دليل. تتقاطع المنصفات المتعامدة على جانبي الشكل الرباعي ABCD عند مركز الدائرة المحددة، والتي نتخذها نقطة البداية. لكل نقطة M(z) من المنصف العمودي على [AB] الرقم b a b a z   ) (2 1 وهمي بحت. 29
على وجه الخصوص، بالنسبة لـ z=0 فهو يساوي) (2) (b a b a    . بالنسبة لكل نقطة N(z) من الخط الذي يمر عبر منتصف القرص المضغوط الجانبي المتعامد مع (AB)، يكون الرقم b a d c z   ) (2 1 يجب أن يكون خياليًا بحتًا والعكس صحيح. لكن بالنسبة إلى z=) (2 1 d c b a    فهو يساوي) (2 b a b a   أي خيالي بحت. لذلك، النقطة E ذات إحداثيات معقدة) ( 2 1 d c b a    يقع على السطر المشار إليه وهذا التعبير متماثل بالنسبة للأحرف a, b, c, d لذلك فإن الخطوط الخمسة الأخرى المبنية بالمثل تحتوي على النقطة E. 30

  • سنعتمد على الروابط، وليس على الصيغ الميكانيكية.
  • دعونا نعتبر الأعداد المركبة مكملة لنظام الأعداد لدينا، مثل الصفر أو الأعداد الكسرية أو السالبة.
  • نحن نتصور الأفكار في الرسومات لفهم الجوهر بشكل أفضل، وليس فقط تقديمها في نص جاف.

ولنا سلاح سري: التعلم بالقياس. سوف نصل إلى الأعداد المركبة من خلال البدء بأسلافهم، الأعداد السالبة. إليك دليل صغير لك:

في الوقت الحالي، هذا الجدول لا معنى له، ولكن فليكن هناك. بحلول نهاية المقال سوف يصبح كل شيء في مكانه.

دعونا نفهم حقا ما هي الأرقام السالبة

الأرقام السالبة ليست بهذه البساطة. تخيل أنك عالم رياضيات أوروبي في القرن الثامن عشر. لديك 3 و4، ويمكنك كتابة 4 – 3 = 1. الأمر بسيط.

ولكن ما هو 3-4؟ ماذا يعني حقا هذا؟ كيف يمكنك أن تأخذ 4 بقرات من 3؟ كيف يمكن أن يكون لديك أقل من لا شيء؟

كان يُنظر إلى الأرقام السالبة على أنها محض هراء، وهو أمر "يلقي بظلاله على نظرية المعادلات بأكملها" (فرانسيس ماسيريس، 1759). اليوم سيكون من الهراء الكامل أن نفكر في الأرقام السالبة كشيء غير منطقي وغير مفيد. اسأل معلمك إذا كانت الأرقام السالبة تنتهك الرياضيات الأساسية.

ماذا حدث؟ لقد اخترعنا عددًا نظريًا له خصائص مفيدة. الأرقام السالبة لا يمكن لمسها أو الشعور بها، لكنها جيدة في وصف علاقات معينة (مثل الديون، على سبيل المثال). هذه فكرة مفيدة للغاية.

بدلاً من القول، "أنا مدين لك بـ 30"، وقراءة الكلمات لمعرفة ما إذا كنت أرتدي اللون الأسود أم الأسود، يمكنني فقط كتابة "-30" ومعرفة ما يعنيه ذلك. إذا كسبت المال وسددت ديوني (-30 + 100 = 70)، فيمكنني بسهولة كتابة هذه المعاملة بأحرف قليلة. سأبقى مع +70.

تلتقط علامات الزائد والناقص الاتجاه تلقائيًا - لا تحتاج إلى جملة كاملة لوصف التغييرات بعد كل معاملة. أصبحت الرياضيات أبسط وأكثر أناقة. لم يعد يهم ما إذا كانت الأرقام السالبة "ملموسة" - فقد كانت لها خصائص مفيدة، واستخدمناها حتى أصبحت راسخة في حياتنا اليومية. إذا كان شخص ما تعرفه لم يفهم بعد جوهر الأرقام السالبة، فسوف تساعده الآن.

ولكن دعونا لا نقلل معاناة إنسانية: كانت الأرقام السالبة تحولا حقيقيا في الوعي. حتى أويلر، العبقري الذي اكتشف الرقم e وغيره الكثير، لم يفهم الأعداد السالبة كما نفهمها اليوم. وكان يُنظر إليها على أنها نتائج حسابات "لا معنى لها".

من الغريب أن نتوقع من الأطفال أن يفهموا بهدوء الأفكار التي كانت تربك حتى أفضل علماء الرياضيات.

إدخال أرقام خيالية

إنها نفس القصة مع أرقام خيالية. يمكننا حل معادلات مثل هذه طوال اليوم:

الإجابات ستكون 3 و -3. لكن لنتخيل أن شخصًا ذكيًا أضاف علامة ناقص هنا:

حسنا حسنا. هذا هو نوع السؤال الذي يجعل الناس يشعرون بالإحباط عندما يرونه لأول مرة. هل تريد حساب الجذر التربيعي لرقم أقل من الصفر؟ هذا أمر لا يمكن تصوره! (تاريخيا كان هناك حقا أسئلة مماثلةولكن من الأنسب بالنسبة لي أن أتخيل شخصًا حكيمًا مجهول الهوية حتى لا أحرج علماء الماضي).

يبدو الأمر جنونيًا، تمامًا مثل الأرقام السالبة والصفر والأرقام غير المنطقية (الأرقام غير المتكررة) التي كانت موجودة في الماضي. لا يوجد معنى "حقيقي" لهذا السؤال، أليس كذلك؟

لا، هذا ليس صحيحا. إن ما يسمى "الأرقام الخيالية" طبيعية مثل أي أرقام أخرى (أو غير طبيعية تمامًا): فهي أداة لوصف العالم. بنفس الروح التي نتخيل فيها أن -1 و0.3 و0 "موجود"، لنفترض أن هناك رقمًا ما i، حيث:

بمعنى آخر، تضرب i في نفسها لتحصل على -1. ماذا يحدث الآن؟

حسنًا، في البداية نشعر بالتأكيد بالصداع. ولكن من خلال لعب لعبة "دعونا نتظاهر بأنني موجود" فإننا في الواقع نجعل الرياضيات أبسط وأكثر أناقة. تظهر اتصالات جديدة يمكننا وصفها بسهولة.

لن تؤمن بـ i، تمامًا كما لم يؤمن علماء الرياضيات القدامى بوجود -1. من الصعب إدراك جميع المفاهيم الجديدة التي تحول الدماغ إلى أنبوب، ولا يظهر معناها على الفور، حتى بالنسبة لأويلر العبقري. ولكن كما أظهرت لنا الأرقام السالبة، فإن الأفكار الجديدة الغريبة يمكن أن تكون مفيدة للغاية.

أنا لا أحب مصطلح "الأرقام الخيالية" في حد ذاته - يبدو أنه تم اختياره خصيصًا للإساءة إلى مشاعري. الرقم i طبيعي مثل الأرقام الأخرى، لكن اللقب "التخيلي" التصق به، لذا سنستخدمه أيضًا.

الفهم البصري للأعداد السالبة والمعقدة

المعادلة x^2 = 9 تعني في الواقع ما يلي:

أي تحويل لـ x إذا تم تطبيقه مرتين يحول 1 إلى 9؟

هناك إجابتان: "س = 3" و"س = -3". أي أنه يمكنك "القياس بمقدار" 3 مرات أو "القياس بمقدار 3 والقلب" (عكس النتيجة أو أخذ معكوسها كلها تفسيرات للضرب بالسالب).

الآن دعونا نفكر في المعادلة x^2 = -1، والتي يمكن كتابتها على النحو التالي:

أي تحويل لـ x إذا تم تطبيقه مرتين يحول 1 إلى -1؟ حسنًا.

  • لا يمكننا أن نتضاعف مرتين رقم موجب، عدد إيجابيلأن النتيجة ستكون إيجابية.
  • لا يمكننا ضرب عدد سالب مرتين لأن النتيجة ستكون موجبة مرة أخرى.

ماذا عن...التناوب! يبدو الأمر غير عادي بالطبع، ولكن ماذا لو فكرنا في x باعتباره "دورانًا بمقدار 90 درجة"، فعند تطبيق x مرتين سنقوم بإجراء دوران بمقدار 180 درجة محور الإحداثياتوسيتحول 1 إلى -1!

رائع! وإذا فكرنا في الأمر أكثر من ذلك بقليل، يمكننا القيام بثورتين الاتجاه المعاكس، وانتقل أيضًا من 1 إلى -1. هذا تدوير أو ضرب "سلبي" بـ -i:

إذا ضربنا بـ -i مرتين، ففي الضرب الأول نحصل على -i من 1، وفي الثانية -1 من -i. إذن هناك في الواقع اثنان الجذور التربيعية-1: أنا و -أنا.

هذا رائع! لدينا شيء يشبه الحل، لكن ماذا يعني؟

  • i هو "البعد التخيلي الجديد" لقياس العدد
  • i (أو -i) هو ما تصبح عليه الأرقام عند تدويرها
  • الضرب في i يدور بزاوية 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة
  • الضرب بـ -i هو دوران بمقدار 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة.
  • التدوير مرتين في أي اتجاه يعطي -1: فهو يعيدنا إلى البعد "العادي" للأرقام الموجبة والسالبة (المحور السيني).

جميع الأرقام ثنائية الأبعاد. نعم، من الصعب قبول ذلك، ولكن كان من الصعب أيضًا على الرومان القدماء قبوله. الكسور العشريةأو القسمة المطولة (كيف يكون هناك المزيد من الأرقام بين 1 و 2؟). يبدو غريبا مثل أي شخص طريق جديدأعتقد في الرياضيات.

سألنا "كيف نحول 1 إلى -1 في عمليتين؟" ووجدت الإجابة: تدوير 190 درجة مرتين. طريقة غريبة وجديدة للتفكير في الرياضيات. ولكنها مفيدة جدا. (بالمناسبة، ظهر هذا التفسير الهندسي للأعداد المركبة بعد عقود فقط من اكتشاف الرقم i نفسه).

ولا تنس أيضًا أن القيام بالثورة عكس اتجاه عقارب الساعة هو أمر كذلك نتيجة ايجابية- هذه اتفاقية بشرية بحتة، ويمكن أن يكون كل شيء مختلفا تماما.

البحث عن مجموعات

دعونا نتعمق قليلاً في التفاصيل. عند ضرب الأرقام السالبة (مثل -1)، تحصل على المجموعة:

  • 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

نظرًا لأن -1 لا يغير حجم الرقم، بل يغير الإشارة فقط، فستحصل على نفس الرقم إما بعلامة "+" أو بعلامة "-". بالنسبة للرقم x تحصل على:

  • س، -x، س، -x، س، -x ...

هذه فكرة مفيدة للغاية. يمكن أن يمثل الرقم "x" الأسابيع الجيدة والسيئة. دعونا نتخيل ذلك اسبوع جيديستبدل السيء؛ إنه أسبوع جيد. كيف سيكون الأسبوع 47؟

X تعني أنه سيكون أسبوعًا سيئًا. انظر كيف تتبع الأرقام السالبة الإشارة - يمكننا ببساطة إدخال (-1)^47 في الآلة الحاسبة بدلاً من العد ("الأسبوع الأول جيد، الأسبوع الثاني سيئ... الأسبوع الثالث جيد..."). الأشياء التي تتناوب باستمرار يمكن صياغتها بشكل مثالي باستخدام الأرقام السالبة.

حسنًا، ماذا يحدث إذا واصلنا الضرب في i؟

مضحك جدًا، دعنا نبسط الأمر قليلًا:

وهنا نفس الشيء معروض بيانيا:

نكرر الدورة كل دورة رابعة. هذا بالتأكيد منطقي، أليس كذلك؟ سيخبرك أي طفل أن 4 دورات إلى اليسار هي نفس عدم الدوران على الإطلاق. الآن خذ استراحة من الأعداد التخيلية (i، i^2) وانظر إلى المجموعة الإجمالية:

  • X، Y، -X، -Y، X، Y، -X، -Y...

بالضبط كيف يتم نمذجة الأرقام السالبة انعكاس المرآةالأرقام، يمكن للأرقام التخيلية أن تمثل أي شيء يدور بين بعدين "X" و"Y". أو أي شيء له اعتماد دوري ودائري - هل لديك أي شيء في الاعتبار؟

فهم الأعداد المركبة

هناك تفصيل آخر يجب أخذه في الاعتبار: هل يمكن أن يكون الرقم "حقيقيًا" و"خياليًا"؟

لا تشك في ذلك. من قال أنه يجب علينا أن ندور 90 درجة بالضبط؟ فإذا وقفنا بقدم واحدة على البعد "الحقيقي" والأخرى على البعد "الخيالي"، فسيبدو الأمر كما يلي:

نحن عند علامة 45 درجة، حيث الأجزاء الحقيقية والتخيلية هي نفسها، والرقم نفسه هو "1 + i". إنه مثل الهوت دوج، حيث يوجد الكاتشب والخردل معًا - من قال أنه عليك اختيار أحدهما أو الآخر؟

في الأساس، يمكننا اختيار أي مجموعة من الأجزاء الحقيقية والخيالية وصنع مثلث منها كلها. تصبح الزاوية "زاوية الدوران". العدد المركب هو اسم خيالي للأرقام التي تحتوي على جزء حقيقي وجزء وهمي. يتم كتابتها كـ "a + bi" حيث:

  • أ - الجزء الحقيقي
  • ب - الجزء التخيلي

ليس سيئًا. ولكن هناك واحد فقط اليسار السؤال الأخير: ما مدى "كبر" الرقم المركب؟ لا يمكننا قياس الجزء الحقيقي أو الجزء التخيلي بشكل منفصل لأننا سنفتقد الصورة الكبيرة.

دعونا نعود خطوة إلى الوراء. مقاس عدد السلبيهي المسافة من الصفر:

هذه طريقة أخرى للعثور عليها قيمه مطلقه. ولكن كيف يمكن قياس كلا المكونين عند 90 درجة للأعداد المركبة؟

هل هو طائر في السماء... أم طائرة... فيثاغورس قادم للإنقاذ!

تظهر هذه النظرية كلما أمكن ذلك، حتى في الأعداد التي تم اختراعها بعد 2000 عام من النظرية نفسها. نعم، نحن نصنع مثلثًا، ووتره سيكون مساويًا للمسافة من الصفر:

على الرغم من أن قياس عدد مركب ليس بهذه البساطة "مجرد حذف علامة -"، إلا أن الأعداد المركبة لها أهمية كبيرة تطبيقات مفيدة. دعونا ننظر إلى بعض منهم.

مثال حقيقي: التناوب

لن ننتظر حتى كلية الفيزياء للتدرب على الأعداد المركبة. سنفعل هذا اليوم. يمكن قول الكثير عن موضوع ضرب الأعداد المركبة، لكن في الوقت الحالي عليك أن تفهم الشيء الرئيسي:

  • الضرب في عدد مركب يدور بزاويته

دعونا نرى كيف يعمل. تخيل أنني على متن قارب، أتحرك في مسار مكون من ثلاث وحدات إلى الشرق كل أربع وحدات إلى الشمال. أريد تغيير مساري بمقدار 45 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة. ماذا ستكون دراستي الجديدة؟

قد يقول قائل: "إنه أمر سهل! احسب جيب التمام وجيب التمام وابحث في Google عن قيمة الظل... وبعد ذلك..." أعتقد أنني كسرت الآلة الحاسبة الخاصة بي...

دعونا نذهب أكثر بطريقة بسيطة: نحن في مسار 3 + 4i (لا يهم ما هي الزاوية، لا يهمنا الآن) ونريد أن نتحول إلى 45 درجة. حسنًا، 45 درجة هي 1 + i (القطر المثالي). حتى نتمكن من مضاعفة معدلنا بهذا الرقم!

وهنا جوهر:

  • الاتجاه الأولي: 3 وحدات شرقًا، 4 وحدات شمالًا = 3 + 4i
  • تدوير عكس اتجاه عقارب الساعة 45 درجة = اضرب في 1 + i

عند الضرب نحصل على:

ملكنا معلم جديد- وحدة واحدة إلى الغرب (-1 إلى الشرق) و 7 وحدات إلى الشمال، يمكنك رسم الإحداثيات على الرسم البياني ومتابعتها.

لكن! لقد وجدنا الإجابة في 10 ثوانٍ، دون أي جيب أو جيب تمام. لم تكن هناك متجهات ولا مصفوفات ولا تتبع للربع الذي كنا فيه. لقد كانت عملية حسابية بسيطة وقليلًا من الجبر لحل المعادلة. الأرقام الخيالية رائعة للتدوير!

علاوة على ذلك، فإن نتيجة مثل هذا الحساب مفيدة للغاية. لدينا مسار (-1, 7) بدلاً من الزاوية (atan(7/-1) = 98.13، ومن الواضح على الفور أننا في الربع الثاني. كيف خططت بالضبط لرسم ومتابعة الزاوية المشار إليها هل تستخدم منقلة في متناول اليد؟

لا، يمكنك تحويل الزاوية إلى جيب التمام وجيب التمام (-0.14 و0.99)، والعثور على النسبة التقريبية بينهما (حوالي 1 إلى 7) ورسم مثلث. وهنا تفوز الأعداد المركبة بلا شك - بدقة وبسرعة البرق وبدون آلة حاسبة!

إذا كنت مثلي، ستجد هذا الاكتشاف مذهلًا. إذا لم يكن الأمر كذلك، أخشى أن الرياضيات لا تثير اهتمامك على الإطلاق. آسف!

علم المثلثات جيد، لكن الأعداد المعقدة تجعل العمليات الحسابية أسهل بكثير (مثل إيجاد cos(a + b)). هذا مجرد إعلان صغير. وفي المقالات التالية سأزودك بالقائمة الكاملة.

الاستطراد الغنائي: يعتقد بعض الناس شيئًا كهذا: "مرحبًا، ليس من الملائم أن يكون لديك مسار شمال/شرق بدلاً من زاوية بسيطةلمرور السفينة!

هل هذا صحيح؟ حسنًا، انظر إلى حالك اليد اليمنى. ما هي الزاوية بين قاعدة إصبعك الصغير والطرف؟ السبابة؟ حظا سعيدا في طريقة الحساب الخاصة بك.

أو يمكنك ببساطة الإجابة، "حسنًا، الرأس هو X بوصة إلى اليمين وY بوصة لأعلى"، ويمكنك أن تفعل شيئًا حيال ذلك.

هل تقترب الأعداد المركبة؟

لقد مررنا باكتشافاتي الأساسية في مجال الأعداد المركبة مثل الإعصار. انظر إلى الرسم التوضيحي الأول، يجب أن يصبح الآن أكثر وضوحًا.

هناك الكثير مما يمكن اكتشافه في هذه الأرقام الجميلة والرائعة، لكن ذهني متعب بالفعل. كان هدفي بسيطًا:

  • إقناعك بأن الأعداد المركبة كان يُنظر إليها على أنها "مجنونة" فقط، ولكنها في الواقع يمكن أن تكون مفيدة جدًا (تمامًا مثل الأعداد السالبة)
  • أظهر كيف يمكن للأعداد المعقدة تبسيط بعض المسائل مثل التدوير.

إذا كنت أبدو قلقًا للغاية بشأن هذا الموضوع، فهناك سبب لذلك. لقد كانت الأرقام الخيالية هاجسًا بالنسبة لي لسنوات عديدة، وكان عدم فهمها يزعجني.

لكن إضاءة شمعة أفضل من الخوض في ظلام دامس: هذه هي أفكاري، وأنا متأكد من أن النور سيضيء في أذهان القراء.

الخاتمة: لكنهم ما زالوا غريبين جدًا!

أعلم أنهم ما زالوا يبدون غريبين بالنسبة لي أيضًا. أحاول أن أفكر مثل أول شخص اكتشف فكرة الصفر.

الصفر فكرة غريبة للغاية، "الشيء" يمثل "لا شيء"، وهذا لا يمكن فهمه بأي شكل من الأشكال. روما القديمة. والأمر نفسه ينطبق على الأعداد المركبة، فهي طريقة جديدة للتفكير. لكن كلا من الأعداد الصفرية والمعقدة تبسط الرياضيات إلى حد كبير. لو لم نقم بإدخال أشياء غريبة مثل أنظمة الأعداد الجديدة، لكنا نعد كل شيء على أصابعنا.

أكرر هذا التشبيه لأنه من السهل جدًا البدء في التفكير بأن الأعداد المركبة "ليست عادية". دعونا نكون منفتحين على الابتكار: في المستقبل، سوف يمزح الناس فقط حول كيف أن شخصًا ما حتى القرن الحادي والعشرين لم يكن يؤمن بالأعداد المركبة.

23 أكتوبر 2015