تحتاج إلى ضرب الأرقام بعلامات مختلفة. ضرب وقسمة الأعداد السالبة

الآن دعونا نتعامل مع الضرب والقسمة.

لنفترض أننا بحاجة إلى ضرب +3 في -4. كيف افعلها؟

دعونا ننظر في مثل هذه الحالة. دخل ثلاثة أشخاص في الديون وكان على كل منهم 4 دولارات. ما هو إجمالي الدين؟ للعثور عليه، عليك جمع الديون الثلاثة: 4 دولارات + 4 دولارات + 4 دولارات = 12 دولارًا. قررنا أن جمع ثلاثة أرقام 4 يُشار إليه بـ 3x4. منذ ذلك الحين في في هذه الحالةنحن نتحدث عن الديون، هناك علامة "-" قبل الرقم 4. نحن نعلم أن إجمالي الدين هو 12 دولارًا، لذا تصبح مشكلتنا الآن 3x(-4)=-12.

وسنحصل على نفس النتيجة إذا كان كل واحد من الأشخاص الأربعة، وفقًا للمسألة، عليه دين قدره 3 دولارات. بمعنى آخر، (+4)x(-3)=-12. وبما أن ترتيب العوامل لا يهم، نحصل على (-4)x(+3)=-12 و (+4)x(-3)=-12.

دعونا تلخيص النتائج. عندما تضرب رقمًا موجبًا وعددًا سالبًا، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا سالبًا. ستكون القيمة العددية للإجابة هي نفسها كما في حالة الأرقام الموجبة. المنتج (+4)x(+3)=+12. إن وجود علامة "-" يؤثر فقط على الإشارة، لكنه لا يؤثر على القيمة العددية.

كيفية مضاعفة رقمين سلبيين؟

لسوء الحظ، من الصعب جدًا التوصل إلى مثال واقعي مناسب حول هذا الموضوع. من السهل أن نتخيل دينًا بقيمة 3 أو 4 دولارات، لكن من المستحيل تمامًا أن نتخيل -4 أو -3 أشخاص وقعوا في الديون.

ربما سنذهب بطريقة مختلفة. في الضرب، عندما تتغير إشارة أحد العوامل، تتغير إشارة حاصل الضرب. فإذا غيرنا إشارة كلا العاملين، فلا بد أن نتغير مرتين علامة العمل، أولاً من الموجب إلى السالب، ثم العكس من السالب إلى الموجب، أي أن المنتج سيكون له علامة أولية.

لذلك، فمن المنطقي تمامًا، على الرغم من غرابته بعض الشيء، أن (-3) × (-4) = +12.

موقف التوقيعوعندما تتضاعف تتغير هكذا:

• رقم موجب، عدد إيجابي x رقم موجب = رقم موجب؛
• رقم سالب × رقم موجب = رقم سالب؛
• رقم موجب × رقم سالب = رقم سالب؛
• العدد السالب × العدد السالب = العدد الموجب.

بعبارة أخرى، ضرب رقمين مع علامات متطابقة، نحصل على رقم موجب. ضرب رقمين ب علامات مختلفة، نحصل على رقم سالب.

نفس القاعدة تنطبق على الفعل المعاكس للضرب - ل.

يمكنك التحقق من ذلك بسهولة عن طريق التشغيل عمليات الضرب العكسية. في كل من الأمثلة أعلاه، إذا قمت بضرب الناتج في المقسوم عليه، فستحصل على المقسوم وتأكد من أنه يحمل نفس الإشارة، على سبيل المثال (-3)x(-4)=(+12).

نظرًا لأن فصل الشتاء قادم، فقد حان الوقت للتفكير فيما يجب تغييره في حذاء حصانك الحديدي، حتى لا ينزلق على الجليد ويشعر بالثقة على الجليد. الطرق الشتوية. يمكنك، على سبيل المثال، شراء إطارات يوكوهاما على موقع الويب: mvo.ru أو بعض المواقع الأخرى، والشيء الرئيسي هو أنها ذات جودة عالية، ويمكنك معرفة المزيد من المعلومات والأسعار على موقع Mvo.ru.

في هذه المقالة سوف نتعامل معها ضرب الأعداد بإشارات مختلفة. وسنقوم هنا أولاً بصياغة قاعدة ضرب الأعداد الموجبة والسالبة، وتبريرها، ثم النظر في تطبيق هذه القاعدة عند حل الأمثلة.

التنقل في الصفحة.

قاعدة ضرب الأعداد بإشارات مختلفة

يتم ضرب عدد موجب بعدد سالب، وكذلك ضرب عدد سالب بعدد موجب، على النحو التالي: قاعدة ضرب الأعداد بإشارات مختلفة: لضرب الأرقام بعلامات مختلفة، تحتاج إلى الضرب ووضع علامة الطرح أمام المنتج الناتج.

دعونا نكتب هذه القاعدة في شكل حرف. لأي عدد حقيقي موجب a وأي عدد حقيقي سالب −b، المساواة أ·(−ب)=−(|أ|·|ب|) ، وكذلك بالنسبة للرقم السالب -a والرقم الموجب b المساواة (−أ)·ب=−(|أ|·|ب|) .

تتوافق قاعدة ضرب الأرقام بعلامات مختلفة تمامًا مع خصائص العمليات على الأعداد الحقيقية. في الواقع، على أساسها، من السهل إظهار أنه بالنسبة للأرقام الحقيقية والإيجابية a و b، هناك سلسلة من المساواة في النموذج أ·(−ب)+أ·ب=أ·((−ب)+ب)=أ·0=0، مما يثبت أن a·(-b) وab·b موجودان أرقام متضادة، مما يعني المساواة a·(−b)=−(a·b) . ومنه يترتب صحة قاعدة الضرب المعنية.

وتجدر الإشارة إلى أن القاعدة المذكورة لضرب الأعداد ذات العلامات المختلفة صالحة لكليهما أرقام حقيقيةسواء بالنسبة للأعداد النسبية أو للأعداد الصحيحة. يأتي هذا من حقيقة أن العمليات باستخدام الأعداد النسبية والأعداد الصحيحة لها نفس الخصائص التي تم استخدامها في الدليل أعلاه.

من الواضح أن ضرب الأعداد ذات العلامات المختلفة وفقًا للقاعدة الناتجة يؤدي إلى ضرب الأعداد الموجبة.

يبقى فقط النظر في أمثلة لتطبيق قاعدة الضرب المفككة عند ضرب الأرقام بعلامات مختلفة.

أمثلة على ضرب الأعداد بعلامات مختلفة

دعونا نلقي نظرة على عدة حلول أمثلة على ضرب الأعداد بعلامات مختلفة. دعنا نبدء ب حالة بسيطةللتركيز على خطوات القاعدة بدلاً من التعقيدات الحسابية.

مثال.

اضرب الرقم السالب −4 في الرقم الموجب 5.

حل.

وفقا لقاعدة ضرب الأعداد بإشارات مختلفة، نحتاج أولا إلى ضرب القيم المطلقة للعوامل الأصلية. معامل −4 هو 4، ومعامل 5 هو 5، وضرب الأعداد الطبيعية 4 و5 يعطي 20. أخيرًا، يبقى وضع علامة الطرح أمام الرقم الناتج، لدينا −20. هذا يكمل الضرب.

باختصار، يمكن كتابة الحل على النحو التالي: (−4)·5=−(4·5)=−20.

إجابة:

(−4)·5=−20.

عند ضرب الكسور ذات العلامات المختلفة، يجب أن تكون قادرًا على ضرب الكسور العادية، وضرب الكسور العشرية ومجموعاتها من العلامات الطبيعية و أرقام مختلطة.

مثال.

اضرب الأرقام ذات العلامات المختلفة 0 و (2) و .

حل.

عن طريق تحويل الكسر العشري الدوري إلى كسر عادي، وأيضا عن طريق التحويل من عدد كسري إلى كسر غير فعلي، من الناتج الأصلي وسوف نأتي إلى حاصل ضرب الكسور العادية ذات علامات الشكل المختلفة. هذا المنتج، وفقًا لقاعدة ضرب الأعداد ذات العلامات المختلفة، يساوي . كل ما تبقى لدينا هو ضرب الكسور العادية بين قوسين .

تلتقي الأرقام الكسرية العادية لأول مرة مع تلاميذ المدارس في الصف الخامس وترافقهم طوال حياتهم، لأنه في الحياة اليومية غالبا ما يكون من الضروري النظر في كائن ما أو استخدامه ليس ككل، ولكن في أجزاء منفصلة. ابدأ بدراسة هذا الموضوع - الأسهم. الأسهم هي أجزاء متساوية، حيث يتم تقسيم هذا الكائن أو ذاك. بعد كل شيء، ليس من الممكن دائمًا التعبير، على سبيل المثال، عن طول المنتج أو سعره كرقم صحيح؛ يجب أن تؤخذ في الاعتبار أجزاء أو كسور من بعض المقاييس. تشكلت من الفعل "الانقسام" - التقسيم إلى أجزاء، ولها جذور عربية، نشأت كلمة "الكسر" نفسها في اللغة الروسية في القرن الثامن.

التعبيرات الكسرية منذ وقت طويليعتبر أصعب فرع من الرياضيات. في القرن السابع عشر، عندما ظهرت الكتب المدرسية الأولى في الرياضيات، كانت تسمى "الأعداد المكسورة"، وكان من الصعب جدًا على الناس فهمها.

نظرة حديثةالبقايا الكسرية البسيطة، التي يتم فصل أجزائها بدقة خط أفقيساهم لأول مرة فيبوناتشي - ليوناردو بيزا. يعود تاريخ أعماله إلى عام 1202. لكن الغرض من هذه المقالة هو أن نشرح للقارئ ببساطة ووضوح كيفية ضرب الكسور المختلطة قواسم مختلفة.

ضرب الكسور ذات المقامات المختلفة

في البداية الأمر يستحق التحديد أنواع الكسور:

• صحيح؛
• غير صحيح؛
• مختلط.

بعد ذلك، عليك أن تتذكر كيفية ضرب الأعداد الكسرية نفس القواسم. من السهل صياغة قاعدة هذه العملية بشكل مستقل: نتيجة الضرب كسور بسيطةبنفس المقامات عبارة عن تعبير كسري، بسطه هو حاصل ضرب البسطين، والمقام هو حاصل ضرب مقامات هذه الكسور. وهذا يعني، في جوهره، قاسم جديديوجد مربع لأحد المربعات الموجودة أصلاً.

عند الضرب كسور بسيطة ذات مقامات مختلفةلعاملين أو أكثر لا تتغير القاعدة:

أ/ب * ج/د = أ*ج / ب * د.

والفرق الوحيد هو أن رقم شكلتتحت الخط الكسري سيكون ناتج أرقام مختلفة، وبطبيعة الحال، مربع واحد التعبير العدديمن المستحيل تسميتها.

يجدر النظر في ضرب الكسور ذات القواسم المختلفة باستخدام الأمثلة:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

تستخدم الأمثلة طرقًا لتقليل التعبيرات الكسرية. يمكنك فقط تقليل أرقام البسط التي تكون أرقام المقامات بجوار بعضها البعض مضاعفات القيمةلا يمكنك الاختصار أعلى أو أسفل الخط الكسري.

جنبا إلى جنب مع بسيطة أرقام كسرية، هناك مفهوم الكسور المختلطة. يتكون العدد الكسري من عدد صحيح وجزء كسري، أي أنه مجموع هذه الأعداد:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

كيف يعمل الضرب؟

يتم تقديم عدة أمثلة للنظر فيها.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

يستخدم المثال ضرب رقم في عادي الجزء الكسري ، يمكن كتابة قاعدة هذا الإجراء على النحو التالي:

أ* ب/ج = أ*ب /ج.

في جوهرها، مثل هذا المنتج هو مجموع البقايا الكسرية المتطابقة، ويشير عدد المصطلحات إلى ذلك عدد طبيعي. حالة خاصة:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

يوجد حل آخر لضرب عدد في باقي كسري. كل ما عليك فعله هو تقسيم المقام على هذا الرقم:

د* ه/F = ه/و: د.

هذه التقنية مفيدة عند قسمة المقام على عدد طبيعي بدون باقي، أو كما يقولون على عدد صحيح.

تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير حقيقية والحصول على الناتج بالطريقة الموضحة سابقاً:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

يتضمن هذا المثال طريقة لتمثيل الكسر المختلط ككسر غير فعلي، ويمكن أيضًا تمثيله على أنه صيغة عامة:

أ بج = أ*ب+ج/ج، أين هو القاسم جزء جديديتكون من ضرب الجزء كله بالمقام وإضافته إلى بسط الباقي الكسري الأصلي، ويظل المقام كما هو.

تعمل هذه العملية أيضًا في الجانب المعاكس. لفصل الجزء الكامل والباقي الكسري، تحتاج إلى قسمة بسط الكسر غير الفعلي على مقامه باستخدام "الزاوية".

عمليه الضرب الكسور غير المناسبة يتم إنتاجه بطريقة مقبولة بشكل عام. عند الكتابة تحت سطر كسر واحد، تحتاج إلى تقليل الكسور حسب الضرورة لتقليل الأرقام باستخدام هذه الطريقة وتسهيل حساب النتيجة.

هناك العديد من المساعدين على الإنترنت لحل المشكلات المعقدة. مسائل حسابيةفي اختلافات البرنامج المختلفة. يقدم عدد كافٍ من هذه الخدمات مساعدتهم في حساب ضرب الكسور أرقام مختلفةفي المقامات - ما يسمى بالآلات الحاسبة عبر الإنترنت لحساب الكسور. إنهم قادرون ليس فقط على التكاثر، ولكن أيضًا إنتاج كل ما هو أبسط عمليات حسابيةمع الكسور العادية والأعداد الكسرية. من السهل العمل معه؛ حيث تقوم بملء الحقول المناسبة على صفحة الموقع واختيار العلامة عملية حسابيةوانقر على "حساب". يقوم البرنامج بالحساب تلقائيا.

موضوع عمليات حسابيةمع الأعداد الكسرية ذات صلة في جميع أنحاء تعليم طلاب المدارس المتوسطة والثانوية. في المدرسة الثانوية، لم يعودوا يعتبرون أبسط الأنواع، ولكن جميع التعبيرات الكسرية ولكن المعرفة بقواعد التحويل والحسابات التي تم الحصول عليها مسبقًا يتم تطبيقها في شكلها الأصلي. تعلمت جيدا معرفة أساسيةإعطاء الثقة الكاملة في قرار ناجحمعظم المهام المعقدة.

في الختام، من المنطقي أن نقتبس كلمات ليف نيكولايفيتش تولستوي، الذي كتب: "الرجل جزء صغير. وليس في قدرة الإنسان أن يزيد بسطه - فضائله - ولكن يمكن لأي إنسان أن ينقص مقامه - رأيه في نفسه، وبهذا النقصان يقترب من كماله.

) والمقام بالمقام (نحصل على مقام المنتج).

صيغة ضرب الكسور:

على سبيل المثال:

قبل أن تبدأ في ضرب البسط والمقامات، عليك التحقق مما إذا كان من الممكن تبسيط الكسر. إذا تمكنت من تقليل الكسر، فسيكون من الأسهل عليك إجراء المزيد من الحسابات.

قسمة كسر عادي على كسر.

قسمة الكسور التي تحتوي على أعداد طبيعية.

انها ليست مخيفة كما يبدو. كما في حالة الجمع، نحول العدد الصحيح إلى كسر به واحد في المقام. على سبيل المثال:

ضرب الكسور المختلطة.

قواعد ضرب الكسور (مختلطة):

• تحويل الكسور المختلطة إلى الكسور غير الحقيقية.
• ضرب بسط ومقامات الكسور؛
• تقليل الكسر
• إذا حصلت على كسر غير حقيقي، فإننا نقوم بتحويل الكسر غير الحقيقي إلى كسر مختلط.

ملحوظة!لمضاعفه جزء مختلطإلى كسر مختلط آخر، يجب عليك أولاً تحويلها إلى صورة كسور غير حقيقية، ثم ضربها وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.

الطريقة الثانية لضرب الكسر في عدد طبيعي.

قد يكون من الأنسب استخدام الطريقة الثانية للضرب جزء مشتركلكل رقم.

ملحوظة!لضرب كسر في عدد طبيعي، عليك قسمة مقام الكسر على هذا الرقم، وترك البسط دون تغيير.

من المثال المذكور أعلاه، من الواضح أن هذا الخيار أكثر ملاءمة للاستخدام عندما يتم قسمة مقام الكسر بدون باقي على عدد طبيعي.

كسور متعددة الطوابق.

في المدرسة الثانوية، غالبا ما تتم مواجهة الكسور المكونة من ثلاثة طوابق (أو أكثر). مثال:

ولإرجاع هذا الكسر إلى شكله المعتاد، استخدم القسمة على نقطتين:

ملحوظة!عند قسمة الكسور، فإن ترتيب القسمة مهم جدًا. كن حذرًا، فمن السهل أن تتشوش هنا.

ملحوظة، على سبيل المثال:

عند قسمة واحد على أي كسر، فإن النتيجة ستكون نفس الكسر، معكوسة فقط:

نصائح عملية لضرب وقسمة الكسور:

1. أهم شيء عند العمل بالتعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه. قم بإجراء جميع الحسابات بعناية ودقة وتركيز ووضوح. من الأفضل أن تكتب بضعة أسطر إضافية في مسودتك بدلًا من الضياع في الحسابات الذهنية.

2. في المهام مع أنواع مختلفةالكسور - انتقل إلى شكل الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور حتى لا يكون من الممكن تقليلها.

4. نقوم بتحويل التعبيرات الكسرية متعددة المستويات إلى تعبيرات عادية باستخدام القسمة على نقطتين.

5. اقسم الوحدة على كسر في رأسك، ببساطة قم بقلب الكسر.