منذ مجيئك إلى هنا، ربما تكون قد رأيت بالفعل هذه الصيغة في الكتاب المدرسي

وجعل الوجه مثل هذا:

صديق، لا تقلق! في الواقع، كل شيء هو مجرد الفاحشة. سوف تفهم بالتأكيد كل شيء. طلب واحد فقط - اقرأ المقال ببطء، حاول أن تفهم كل خطوة. لقد كتبت ببساطة ووضوح قدر الإمكان، ولكن لا تزال بحاجة إلى فهم الفكرة. وتأكد من حل المهام من المقال.

ما هي الوظيفة المعقدة؟

تخيل أنك تنتقل إلى شقة أخرى وبالتالي تقوم بتعبئة الأشياء في صناديق كبيرة. لنفترض أنك بحاجة إلى جمع بعض العناصر الصغيرة، على سبيل المثال، مواد الكتابة المدرسية. إذا قمت برميهم في صندوق ضخم، فسوف يضيعون من بين أشياء أخرى. لتجنب ذلك، تقوم أولاً بوضعها، على سبيل المثال، في كيس، ثم تضعها في صندوق كبير، وبعد ذلك تقوم بإغلاقه. يتم عرض هذه العملية "المعقدة" في الرسم البياني أدناه:

يبدو أن ما علاقة الرياضيات به؟ نعم، على الرغم من حقيقة ذلك وظيفة معقدةتشكلت بنفس الطريقة بالضبط! نحن فقط "نحزم" ليس الدفاتر والأقلام، بل \(x\)، في حين أن "الحزم" و"الصناديق" مختلفة.

على سبيل المثال، لنأخذ x ونجمعه في دالة:

ونتيجة لذلك، نحصل بالطبع على \(\cos⁡x\). هذه هي "حقيبة الأشياء" لدينا. والآن دعونا نضعها في "صندوق" - ونضعها، على سبيل المثال، في دالة تكعيبية.

ماذا سيحدث في النهاية؟ نعم، هذا صحيح، سيكون هناك "كيس من الأشياء في صندوق"، أي "جيب تمام X المكعب".

التصميم الناتج هو وظيفة معقدة. وهو يختلف عن البسيط في ذلك يتم تطبيق العديد من "التأثيرات" (الحزم) على X واحدة على التواليويبدو الأمر كما لو كانت "وظيفة من وظيفة" - "تغليف داخل عبوة".

في دورة المدرسةهناك أنواع قليلة جدًا من هذه "الحزم"، أربعة فقط:

دعونا الآن "نجمع" X أولاً في دالة أسية ذات الأساس 7، ثم في دالة مثلثية. نحن نحصل:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

الآن دعونا "نحزم" X مرتين الدوال المثلثية، أولاً في ، ثم في:

\(x → الخطيئة⁡x → cotg⁡ (الخطيئة⁡x)\)

بسيطة، أليس كذلك؟

الآن اكتب الوظائف بنفسك، حيث x:
- أولاً يتم "تعبئتها" في جيب التمام، ثم في دالة أسية ذات الأساس \(3\);
- أولا إلى القوة الخامسة، ثم إلى الظل؛
- أولًا لوغاريتم القاعدة \(4\) ، ثم إلى السلطة \(-2\).

ابحث عن إجابات هذه المهمة في نهاية المقال.

هل يمكننا "حزم" X ليس مرتين، بل ثلاث مرات؟ لا مشكلة! وأربعة وخمسة وخمسة وعشرين مرة. هنا، على سبيل المثال، دالة يتم فيها "تعبئة" x \(4\) مرات:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4))))\)

لكن مثل هذه الصيغ لن يتم العثور عليها في الممارسة المدرسية (الطلاب أكثر حظًا - قد تكون صيغهم أكثر تعقيدًا☺).

"تفريغ" وظيفة معقدة

انظر إلى الوظيفة السابقة مرة أخرى. هل يمكنك معرفة تسلسل "التعبئة"؟ ما تم حشو X به أولاً، وماذا بعد ذلك، وهكذا حتى النهاية. بمعنى ما هي الوظيفة المتداخلة ضمن أي منها؟ خذ قطعة من الورق واكتب ما تعتقده. يمكنك القيام بذلك بسلسلة بها أسهم كما كتبنا أعلاه أو بأي طريقة أخرى.

الآن الإجابة الصحيحة هي: أولاً، تم "تعبئة" x في القوة \(4\) ثم تم تجميع النتيجة في جيب الجيب، وتم وضعها بدورها في اللوغاريتم للقاعدة \(2\) ، وفي النهاية تم حشو هذا البناء بأكمله في قوة الخمسات.

أي أنك تحتاج إلى فك التسلسل بترتيب عكسي. وإليك تلميحًا حول كيفية القيام بذلك بشكل أسهل: انظر فورًا إلى علامة X - يجب أن ترقص منها. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

على سبيل المثال، إليك الدالة التالية: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). ننظر إلى X - ماذا يحدث له أولاً؟ مأخوذ منه. وثم؟ يتم أخذ ظل النتيجة. سيكون التسلسل هو نفسه:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

مثال آخر: \(y=\cos⁡((x^3))\). دعونا نحلل - أولاً قمنا بتجميع X، ثم أخذنا جيب التمام للنتيجة. هذا يعني أن التسلسل سيكون: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). انتبه، يبدو أن الوظيفة مشابهة للوظيفة الأولى (حيث تحتوي على صور). لكن هذه دالة مختلفة تمامًا: هنا في المكعب يوجد x (أي، \(\cos⁡((x·x·x)))\)، ويوجد في المكعب جيب التمام \(x\) ( أي \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). ينشأ هذا الاختلاف من تسلسلات "التعبئة" المختلفة.

المثال الأخير (مع معلومات مهمةفيه): \(y=\sin⁡((2x+5))\). من الواضح ما فعلوه هنا أولاً عمليات حسابيةمع x، ثم أخذ جيب النتيجة: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). وهذا نقطة مهمة: على الرغم من أن العمليات الحسابية ليست وظائف في حد ذاتها، إلا أنها تعمل هنا أيضًا كوسيلة "للتعبئة". دعونا نتعمق قليلاً في هذه الدقة.

كما قلت أعلاه، في الوظائف البسيطة، يتم "تعبئة" x مرة واحدة، وفي الوظائف المعقدة - مرتين أو أكثر. علاوة على ذلك، فإن أي مجموعة من الوظائف البسيطة (أي مجموعها أو فرقها أو ضربها أو قسمتها) تكون أيضًا كذلك وظيفة بسيطة. على سبيل المثال، \(x^7\) هي دالة بسيطة وكذلك \(ctg x\). هذا يعني أن جميع مجموعاتها عبارة عن وظائف بسيطة:

\(x^7+ ctg x\) - بسيط،
\(x^7 · المهد x\) - بسيط،
\(\frac(x^7)(ctg x)\) - بسيط، وما إلى ذلك.

ومع ذلك، إذا تم تطبيق وظيفة أخرى على مثل هذه المجموعة، فسوف تصبح وظيفة معقدة، حيث سيكون هناك "حزمتان". انظر الرسم البياني:

حسنًا، تفضل الآن. اكتب تسلسل وظائف "التغليف":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(ص=5^(س^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
الإجابات مرة أخرى في نهاية المقال.

وظائف داخلية وخارجية

لماذا نحتاج إلى فهم تداخل الوظائف؟ ماذا يعطينا هذا؟ الحقيقة هي أنه بدون مثل هذا التحليل لن نتمكن من العثور بشكل موثوق على مشتقات الوظائف التي تمت مناقشتها أعلاه.

ومن أجل المضي قدمًا، سنحتاج إلى مفهومين آخرين: الوظائف الداخلية والخارجية. هذا جدا شيء بسيطعلاوة على ذلك، في الواقع، لقد قمنا بالفعل بتحليلها أعلاه: إذا تذكرنا تشبيهنا في البداية، فإن الوظيفة الداخلية هي "حزمة"، والوظيفة الخارجية هي "مربع". أولئك. ما تم "تغليفه" X في البداية هو وظيفة داخلية، وما تم "تغليفه" الوظيفة الداخلية به هو بالفعل خارجي. حسنًا، السبب واضح - إنها بالخارج، وهذا يعني أنها خارجية.

في هذا المثال: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\)، الدالة \(\log_2⁡x\) داخلية، و
- خارجي.

وفي هذا: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\)، \(x^3+2x+1\) داخلي، و
- خارجي.

أكمل الممارسة الأخيرة لتحليل الدوال المعقدة، ودعنا أخيرًا ننتقل إلى ما بدأنا جميعًا من أجله - سنجد مشتقات الدوال المعقدة:

املأ الفراغات في الجدول:

مشتق من وظيفة معقدة

برافو لنا، لقد وصلنا أخيرًا إلى "رئيس" هذا الموضوع - في الواقع، مشتق دالة معقدة، وبالتحديد، إلى تلك الصيغة الرهيبة جدًا من بداية المقال.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

تقرأ هذه الصيغة كما يلي:

مشتقة دالة معقدة يساوي حاصل ضرب مشتقة الدالة الخارجية بالنسبة إلى دالة داخلية ثابتة ومشتقة الدالة الداخلية.

وانظر على الفور إلى مخطط التحليل وفقًا للكلمات حتى تفهم ما يجب فعله بما:

آمل ألا يسبب المصطلحان "مشتق" و"منتج" أي صعوبات. "الوظيفة المعقدة" - لقد قمنا بحلها بالفعل. المشكلة تكمن في "مشتقة دالة خارجية بالنسبة إلى دالة داخلية ثابتة". ما هو؟

الإجابة: هذا هو المشتق المعتاد للدالة الخارجية، حيث تتغير الدالة الخارجية فقط، وتبقى الدالة الداخلية كما هي. لا يزال غير واضح؟ حسنا، دعونا نستخدم مثالا.

دعونا نحصل على دالة \(y=\sin⁡(x^3)\). ومن الواضح أن الوظيفة الداخلية هنا هي \(x^3\) والخارجية
. دعونا الآن نوجد مشتقة الخارج بالنسبة إلى الثابت الداخلي.

مشتق من وظيفة معقدة. أمثلة على الحلول

في هذا الدرس سوف نتعلم كيفية إيجاد مشتق من وظيفة معقدة. الدرس هو استمرار منطقي للدرس كيفية العثور على المشتق؟والتي درسنا فيها أبسط المشتقات وتعرفنا أيضاً على قواعد التفاضل وبعض الأساليب التقنيةإيجاد المشتقات. وبالتالي، إذا لم تكن جيدًا في التعامل مع مشتقات الدوال أو أن بعض النقاط في هذه المقالة ليست واضحة تمامًا، فاقرأ الدرس أعلاه أولاً. من فضلك، كن في حالة مزاجية جدية - المادة ليست بسيطة، لكنني سأظل أحاول تقديمها ببساطة ووضوح.

من الناحية العملية، يتعين عليك التعامل مع مشتقة دالة معقدة في كثير من الأحيان، بل وأود أن أقول، دائمًا تقريبًا، عندما يتم تكليفك بمهام للعثور على المشتقات.

وننظر إلى الجدول في القاعدة (رقم 5) للتمييز بين دالة معقدة:

دعونا معرفة ذلك. بادئ ذي بدء، دعونا ننتبه إلى الإدخال. لدينا هنا وظيفتان - و، والدالة، بالمعنى المجازي، متداخلة داخل الوظيفة. دالة من هذا النوع (عندما تتداخل دالة داخل أخرى) تسمى دالة معقدة.

سأتصل بالوظيفة وظيفة خارجية، والوظيفة - وظيفة داخلية (أو متداخلة)..

! هذه التعريفات ليست نظرية ولا ينبغي أن تظهر في التصميم النهائي للواجبات. أنا أتقدم بطلب التعبيرات غير الرسمية"وظيفة خارجية"، وظيفة "داخلية" فقط لتسهيل فهم المادة.

لتوضيح الموقف خذ بعين الاعتبار:

مثال 1

أوجد مشتقة الدالة

تحت جيب الزاوية ليس لدينا الحرف "X" فحسب، بل لدينا تعبير كامل، لذا فإن العثور على المشتقة مباشرة من الجدول لن ينجح. ونلاحظ أيضًا أنه من المستحيل تطبيق القواعد الأربع الأولى هنا، يبدو أن هناك فرقًا، لكن الحقيقة هي أن الجيب لا يمكن "تمزيقه إلى أجزاء":

في في هذا المثالبالفعل من خلال تفسيراتي، من الواضح بشكل حدسي أن الوظيفة هي وظيفة معقدة، وأن متعددة الحدود كذلك وظيفة داخلية(الاستثمار)، و – وظيفة خارجية.

الخطوة الأولىما عليك القيام به عند العثور على مشتق دالة معقدة هو فهم أي وظيفة داخلية وأيها خارجية.

متى أمثلة بسيطةيبدو من الواضح أن كثيرة الحدود مضمنة تحت الجيب. ولكن ماذا لو لم يكن كل شيء واضحًا؟ كيف تحدد بدقة أي وظيفة خارجية وأيها داخلية؟ للقيام بذلك، أقترح استخدام التقنية التالية، والتي يمكن القيام بها عقليًا أو في مسودة.

لنتخيل أننا بحاجة إلى حساب قيمة التعبير على الآلة الحاسبة (بدلاً من واحد يمكن أن يكون هناك أي رقم).

ماذا سنحسب أولا؟ أولاًستحتاج إلى تنفيذ الإجراء التالي: وبالتالي فإن كثيرة الحدود ستكون دالة داخلية:

ثانيًاسوف تحتاج إلى العثور عليها، لذا فإن sine – ستكون دالة خارجية:

بعد نحن نفذمع الوظائف الداخلية والخارجية، حان الوقت لتطبيق قاعدة التفريق بين الوظائف المعقدة.

لنبدأ في اتخاذ القرار. من الصف كيفية العثور على المشتق؟نتذكر أن تصميم حل أي مشتق يبدأ دائمًا على هذا النحو - نضع التعبير بين قوسين ونضع حدًا في أعلى اليمين:

في البدايهنجد مشتقة الدالة الخارجية (جيب الجيب)، وننظر إلى جدول مشتقات الدوال الأولية ونلاحظ ذلك. جميع صيغ الجدول قابلة للتطبيق أيضًا إذا تم استبدال "x" بتعبير معقد، الخامس في هذه الحالة:

يرجى ملاحظة أن الوظيفة الداخلية لم يتغير، نحن لا نلمسه.

حسنًا، من الواضح تمامًا ذلك

تبدو النتيجة النهائية لتطبيق الصيغة كما يلي:

مضاعف ثابتتوضع عادةً في بداية التعبير:

إذا كان هناك أي سوء فهم، فاكتب الحل على الورق واقرأ الشرح مرة أخرى.

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة

وكعادتنا نكتب:

دعونا نكتشف أين لدينا وظيفة خارجية وأين لدينا وظيفة داخلية. للقيام بذلك، نحاول (ذهنيًا أو في مسودة) حساب قيمة التعبير عند . ما الذى ينبغى عليك فعله اولا؟ أولًا، عليك أن تحسب ما يساويه الأساس: وبالتالي فإن كثير الحدود هو دالة داخلية:

وعندها فقط يتم تنفيذ الأسي، وبالتالي، وظيفة الطاقةهي وظيفة خارجية:

وفقًا للصيغة، عليك أولاً إيجاد مشتقة الدالة الخارجية، وهي الدرجة في هذه الحالة. تبحث عنه في الجدول الصيغة المطلوبة: . ونكرر مرة أخرى: أي صيغة جدوليةصالحة ليس فقط لـ "x"، ولكن أيضًا للتعبيرات المعقدة. وبالتالي فإن نتيجة تطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة هي كما يلي:

وأؤكد مرة أخرى أنه عندما نأخذ مشتقة الدالة الخارجية فإن وظيفتنا الداخلية لا تتغير:

الآن كل ما تبقى هو العثور على مشتق بسيط جدًا للدالة الداخلية وتعديل النتيجة قليلاً:

مثال 4

أوجد مشتقة الدالة

وهذا مثال ل قرار مستقل(الإجابة في نهاية الدرس).

لتعزيز فهمك لمشتق وظيفة معقدة، سأقدم مثالا دون تعليقات، حاول معرفة ذلك بنفسك، والسبب حيث تكون الوظيفة الخارجية وأين الوظيفة الداخلية، لماذا يتم حل المهام بهذه الطريقة؟

مثال 5

أ) أوجد مشتقة الدالة

ب) أوجد مشتقة الدالة

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة

لدينا هنا جذر، ومن أجل التمييز بين الجذر، يجب تمثيله كقوة. وبالتالي، نقوم أولاً بإحضار الدالة إلى الشكل المناسب للتمايز:

وبتحليل الدالة نستنتج أن مجموع الحدود الثلاثة هو دالة داخلية، والرفع إلى قوة هو دالة خارجية. نحن نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة:

نحن نمثل الدرجة مرة أخرى كجذر (جذر)، وبالنسبة لمشتقة الوظيفة الداخلية، فإننا نطبق قاعدة بسيطة للتمييز بين المجموع:

مستعد. يمكنك أيضًا إعطاء التعبير بين قوسين القاسم المشتركواكتب كل شيء في صورة كسر واحد. إنها جميلة بالطبع، ولكن عندما تحصل على مشتقات طويلة مرهقة، فمن الأفضل عدم القيام بذلك (من السهل أن تتشوش، وترتكب خطأً غير ضروري، وسيكون من غير المناسب للمعلم التحقق منه).

مثال 7

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

ومن المثير للاهتمام ملاحظة أنه في بعض الأحيان بدلاً من قاعدة اشتقاق دالة معقدة، يمكنك استخدام قاعدة اشتقاق خارج القسمة لكن مثل هذا الحل سيبدو وكأنه انحراف مضحك. هنا مثال نموذجي:

مثال 8

أوجد مشتقة الدالة

هنا يمكنك استخدام قاعدة التمايز بين الحاصل ولكن من الأكثر ربحية العثور على المشتق من خلال قاعدة التمايز لوظيفة معقدة:

نجهز الدالة للاشتقاق - ننقل علامة الطرح من علامة المشتقة، ونرفع جيب التمام إلى البسط:

جيب التمام هو وظيفة داخلية، الأس هو وظيفة خارجية.
دعونا نستخدم قاعدتنا:

نجد مشتقة الوظيفة الداخلية ونعيد تعيين جيب التمام إلى الأسفل:

مستعد. في المثال المذكور، من المهم عدم الخلط بين العلامات. بالمناسبة، حاول حلها باستخدام القاعدة ، يجب أن تتطابق الإجابات.

مثال 9

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

لقد نظرنا حتى الآن في الحالات التي كان لدينا فيها تداخل واحد فقط في وظيفة معقدة. في المهام العملية، يمكنك غالبًا العثور على مشتقات، حيث، مثل دمى التعشيش، واحدة داخل الأخرى، 3 أو حتى 4-5 وظائف متداخلة في وقت واحد.

مثال 10

أوجد مشتقة الدالة

دعونا نفهم مرفقات هذه الوظيفة. دعونا نحاول حساب التعبير باستخدام القيمة التجريبية. كيف يمكننا الاعتماد على الآلة الحاسبة؟

تحتاج أولاً إلى العثور على، مما يعني أن arcsine هو التضمين الأعمق:

يجب بعد ذلك تربيع قوس القوس هذا:

وأخيرًا، نرفع سبعة إلى قوة:

أي أنه في هذا المثال لدينا ثلاثة وظائف مختلفةواثنين من التضمينات، حيث تكون الدالة الأعمق هي قوس الجيب والدالة الخارجية هي الدالة الأسية.

لنبدأ في اتخاذ القرار

وفقًا للقاعدة، عليك أولاً أن تأخذ مشتقة الدالة الخارجية. ننظر إلى جدول المشتقات ونجد المشتقة وظيفة الأسية: الفرق الوحيد هو أنه بدلاً من "X" لدينا تعبير معقدوهو ما لا ينفي صحة هذه الصيغة. وبالتالي فإن نتيجة تطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة هي كما يلي:

تحت السكتة الدماغية لدينا وظيفة معقدة مرة أخرى! لكن الأمر أسهل بالفعل. من السهل التحقق من أن الوظيفة الداخلية هي قوس الجيب، والدالة الخارجية هي الدرجة. وفقًا لقاعدة اشتقاق دالة معقدة، عليك أولًا أن تأخذ مشتقة القوة.

والتي درسنا فيها أبسط المشتقات، وتعرفنا أيضًا على قواعد التفاضل وبعض التقنيات الفنية لإيجاد المشتقات. وبالتالي، إذا لم تكن جيدًا في التعامل مع مشتقات الدوال أو أن بعض النقاط في هذه المقالة ليست واضحة تمامًا، فاقرأ الدرس أعلاه أولاً. من فضلك، كن في حالة مزاجية جدية - المادة ليست بسيطة، لكنني سأظل أحاول تقديمها ببساطة ووضوح.

من الناحية العملية، يتعين عليك التعامل مع مشتقة دالة معقدة في كثير من الأحيان، بل وأود أن أقول، دائمًا تقريبًا، عندما يتم تكليفك بمهام للعثور على المشتقات.

وننظر إلى الجدول في القاعدة (رقم 5) للتمييز بين دالة معقدة:

دعونا معرفة ذلك. بادئ ذي بدء، دعونا ننتبه إلى الإدخال. لدينا هنا وظيفتان - و، والدالة، بالمعنى المجازي، متداخلة داخل الوظيفة. دالة من هذا النوع (عندما تتداخل دالة داخل أخرى) تسمى دالة معقدة.

سأتصل بالوظيفة وظيفة خارجية، والوظيفة - وظيفة داخلية (أو متداخلة)..

! هذه التعريفات ليست نظرية ولا ينبغي أن تظهر في التصميم النهائي للواجبات. أستخدم التعبيرات غير الرسمية مثل "وظيفة خارجية" و"وظيفة داخلية" فقط لتسهيل فهم المادة.

لتوضيح الموقف خذ بعين الاعتبار:

مثال 1

أوجد مشتقة الدالة

تحت جيب الزاوية ليس لدينا الحرف "X" فحسب، بل لدينا تعبير كامل، لذا فإن العثور على المشتقة مباشرة من الجدول لن ينجح. ونلاحظ أيضًا أنه من المستحيل تطبيق القواعد الأربع الأولى هنا، يبدو أن هناك فرقًا، لكن الحقيقة هي أن الجيب لا يمكن "تمزيقه إلى أجزاء":

في هذا المثال، أصبح من الواضح بالفعل من خلال شرحي أن الدالة هي دالة معقدة، وأن كثير الحدود هو دالة داخلية (تضمين)، ودالة خارجية.

الخطوة الأولىما عليك القيام به عند العثور على مشتق دالة معقدة هو فهم أي وظيفة داخلية وأيها خارجية.

في حالة الأمثلة البسيطة، يبدو من الواضح أن كثيرة الحدود مضمنة تحت جيب الجيب. ولكن ماذا لو لم يكن كل شيء واضحًا؟ كيف تحدد بدقة أي وظيفة خارجية وأيها داخلية؟ للقيام بذلك، أقترح استخدام التقنية التالية، والتي يمكن القيام بها عقليًا أو في مسودة.

لنتخيل أننا بحاجة إلى حساب قيمة التعبير على الآلة الحاسبة (بدلاً من واحد يمكن أن يكون هناك أي رقم).

ماذا سنحسب أولا؟ أولاًستحتاج إلى تنفيذ الإجراء التالي: وبالتالي فإن كثيرة الحدود ستكون دالة داخلية:

ثانيًاسوف تحتاج إلى العثور عليها، لذا فإن sine – ستكون دالة خارجية:

بعد نحن نفذمع الوظائف الداخلية والخارجية، حان الوقت لتطبيق قاعدة التفريق بين الوظائف المعقدة .

لنبدأ في اتخاذ القرار. من الدرس كيفية العثور على المشتق؟نتذكر أن تصميم حل أي مشتق يبدأ دائمًا على هذا النحو - نضع التعبير بين قوسين ونضع حدًا في أعلى اليمين:

في البدايهنجد مشتقة الدالة الخارجية (جيب الجيب)، وننظر إلى جدول مشتقات الدوال الأولية ونلاحظ ذلك. جميع صيغ الجدول قابلة للتطبيق أيضًا إذا تم استبدال "x" بتعبير معقد، في هذه الحالة:

يرجى ملاحظة أن الوظيفة الداخلية لم يتغير، نحن لا نلمسه.

حسنًا، من الواضح تمامًا ذلك

نتيجة تطبيق الصيغة في شكله النهائي يبدو مثل هذا:

عادة ما يتم وضع العامل الثابت في بداية التعبير:

إذا كان هناك أي سوء فهم، فاكتب الحل على الورق واقرأ الشرح مرة أخرى.

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة

وكعادتنا نكتب:

دعونا نكتشف أين لدينا وظيفة خارجية وأين لدينا وظيفة داخلية. للقيام بذلك، نحاول (ذهنيًا أو في مسودة) حساب قيمة التعبير عند . ما الذى ينبغى عليك فعله اولا؟ أولًا، عليك أن تحسب ما يساويه الأساس: وبالتالي فإن كثير الحدود هو دالة داخلية:

وعندها فقط يتم إجراء الأس، وبالتالي فإن وظيفة الطاقة هي وظيفة خارجية:

وفقا للصيغة ، عليك أولاً إيجاد مشتقة الدالة الخارجية، وهي الدرجة في هذه الحالة. نبحث عن الصيغة المطلوبة في الجدول: . ونكرر مرة أخرى: أي صيغة جدولية صالحة ليس فقط لـ "X"، ولكن أيضًا للتعبير المعقد. وبالتالي نتيجة تطبيق قاعدة التفريق بين دالة معقدة التالي:

وأؤكد مرة أخرى أنه عندما نأخذ مشتقة الدالة الخارجية فإن وظيفتنا الداخلية لا تتغير:

الآن كل ما تبقى هو العثور على مشتق بسيط جدًا للدالة الداخلية وتعديل النتيجة قليلاً:

مثال 4

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

لتعزيز فهمك لمشتق وظيفة معقدة، سأقدم مثالا دون تعليقات، حاول معرفة ذلك بنفسك، والسبب حيث تكون الوظيفة الخارجية وأين الوظيفة الداخلية، لماذا يتم حل المهام بهذه الطريقة؟

مثال 5

أ) أوجد مشتقة الدالة

ب) أوجد مشتقة الدالة

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة

لدينا هنا جذر، ومن أجل التمييز بين الجذر، يجب تمثيله كقوة. وبالتالي، نقوم أولاً بإحضار الدالة إلى الشكل المناسب للتمايز:

وبتحليل الدالة نستنتج أن مجموع الحدود الثلاثة هو دالة داخلية، والرفع إلى قوة هو دالة خارجية. نحن نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة :

نحن نمثل الدرجة مرة أخرى كجذر (جذر)، وبالنسبة لمشتقة الوظيفة الداخلية، فإننا نطبق قاعدة بسيطة للتمييز بين المجموع:

مستعد. يمكنك أيضًا اختصار التعبير إلى قاسم مشترك بين قوسين وكتابة كل شيء في صورة كسر واحد. إنها جميلة بالطبع، ولكن عندما تحصل على مشتقات طويلة مرهقة، فمن الأفضل عدم القيام بذلك (من السهل أن تتشوش، وترتكب خطأً غير ضروري، وسيكون من غير المناسب للمعلم التحقق منه).

مثال 7

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

ومن المثير للاهتمام ملاحظة أنه في بعض الأحيان بدلاً من قاعدة اشتقاق دالة معقدة، يمكنك استخدام قاعدة اشتقاق خارج القسمة ولكن مثل هذا الحل سيبدو وكأنه انحراف غير عادي. هنا هو مثال نموذجي:

مثال 8

أوجد مشتقة الدالة

هنا يمكنك استخدام قاعدة التمايز بين الحاصل ولكن من الأكثر ربحية العثور على المشتق من خلال قاعدة التمايز لوظيفة معقدة:

نجهز الدالة للاشتقاق - ننقل علامة الطرح من علامة المشتقة، ونرفع جيب التمام إلى البسط:

جيب التمام هو وظيفة داخلية، الأس هو وظيفة خارجية.
دعونا نستخدم القاعدة لدينا :

نجد مشتقة الوظيفة الداخلية ونعيد تعيين جيب التمام إلى الأسفل:

مستعد. في المثال المذكور، من المهم عدم الخلط بين العلامات. بالمناسبة، حاول حلها باستخدام القاعدة ، يجب أن تتطابق الإجابات.

مثال 9

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

لقد نظرنا حتى الآن في الحالات التي كان لدينا فيها تداخل واحد فقط في وظيفة معقدة. في المهام العملية، يمكنك غالبًا العثور على مشتقات، حيث، مثل دمى التعشيش، واحدة داخل الأخرى، 3 أو حتى 4-5 وظائف متداخلة في وقت واحد.

مثال 10

أوجد مشتقة الدالة

دعونا نفهم مرفقات هذه الوظيفة. دعونا نحاول حساب التعبير باستخدام القيمة التجريبية. كيف يمكننا الاعتماد على الآلة الحاسبة؟

تحتاج أولاً إلى العثور على، مما يعني أن arcsine هو التضمين الأعمق:

يجب بعد ذلك تربيع قوس القوس هذا:

وأخيرًا، نرفع سبعة إلى قوة:

أي أنه في هذا المثال لدينا ثلاث دوال مختلفة واثنين من التضمينات، في حين أن الدالة الأعمق هي قوس الجيب، والدالة الخارجية هي الدالة الأسية.

لنبدأ في اتخاذ القرار

وفقا للقاعدة عليك أولاً أن تأخذ مشتق الوظيفة الخارجية. ننظر إلى جدول المشتقات ونجد مشتقة الدالة الأسية: الفرق الوحيد هو أنه بدلاً من "x" لدينا تعبير معقد، وهو ما لا ينفي صحة هذه الصيغة. إذن، نتيجة تطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة التالي.

إذا اتبعت التعريف، فإن مشتقة الدالة عند نقطة ما هو حد نسبة زيادة الدالة Δ ذإلى زيادة الوسيطة Δ س:

يبدو أن كل شيء واضح. لكن حاول استخدام هذه الصيغة لحساب مشتقة الدالة، على سبيل المثال F(س) = س 2 + (2س+ 3) · ه سخطيئة س. إذا فعلت كل شيء بحكم التعريف، فبعد بضع صفحات من الحسابات، سوف تغفو ببساطة. ولذلك، هناك طرق أبسط وأكثر فعالية.

في البداية، نلاحظ أنه من بين مجموعة الوظائف المتنوعة، يمكننا التمييز بين ما يسمى بالوظائف الأولية. انها نسبية تعبيرات بسيطة، والتي تم حساب مشتقاتها وإدراجها في الجدول منذ فترة طويلة. من السهل جدًا تذكر مثل هذه الوظائف - بالإضافة إلى مشتقاتها.

مشتقات الوظائف الأولية

الوظائف الأولية هي جميع تلك المذكورة أدناه. ويجب أن تكون مشتقات هذه الوظائف معروفة عن ظهر قلب. علاوة على ذلك، فإن حفظها ليس بالأمر الصعب على الإطلاق - ولهذا السبب فهي أولية.

لذلك، مشتقات الوظائف الأولية:

اسم	وظيفة	المشتق
ثابت	F(س) = ج, ج ∈ ر	0 (نعم، صفر!)
القوة مع الأس العقلاني	F(س) = س ن	ن · س ن − 1
التجويف	F(س) = خطيئة س	كوس س
جيب التمام	F(س) = كوس س	-الخطيئة س(ناقص جيب)
الظل	F(س) = تيراغرام س	1/كوس 2 س
ظل التمام	F(س) =ctg س	- 1/الخطيئة 2 س
اللوغاريتم الطبيعي	F(س) = سجل س	1/س
اللوغاريتم التعسفي	F(س) = سجل أ س	1/(س ln أ)
الدالة الأسية	F(س) = ه س	ه س(لا شيء تغير)

إذا تم ضرب دالة أولية بثابت اختياري، فيمكن أيضًا حساب مشتق الدالة الجديدة بسهولة:

(ج · F)’ = ج · F ’.

بشكل عام، يمكن إخراج الثوابت من إشارة المشتقة. على سبيل المثال:

(2س 3)' = 2 · ( س 3)' = 2 3 س 2 = 6س 2 .

من الواضح أنه يمكن إضافة الوظائف الأولية إلى بعضها البعض وضربها وتقسيمها - وغير ذلك الكثير. هذه هي الطريقة التي ستظهر بها الوظائف الجديدة، التي لم تعد أولية بشكل خاص، ولكنها قابلة للتمييز أيضًا فيما يتعلق قواعد معينة. وتناقش هذه القواعد أدناه.

مشتق من المجموع والفرق

دع الوظائف تعطى F(س) و ز(س) ومشتقاته معروفة لدينا. على سبيل المثال، يمكنك أن تأخذ الوظائف الأولية التي تمت مناقشتها أعلاه. ثم يمكنك العثور على مشتق مجموع هذه الوظائف والفرق بينها:

1. (F + ز)’ = F ’ + ز ’
2. (F − ز)’ = F ’ − ز ’

لذا، فإن مشتق مجموع (الفرق) لوظيفتين يساوي مجموع (الفرق) للمشتقات. قد يكون هناك المزيد من الشروط. على سبيل المثال، ( F + ز + ح)’ = F ’ + ز ’ + ح ’.

بالمعنى الدقيق للكلمة، لا يوجد مفهوم "الطرح" في الجبر. هناك مفهوم " عنصر سلبي" ولذلك الفرق F − زيمكن إعادة كتابتها كمجموع F+ (−1) زوبعد ذلك تبقى صيغة واحدة فقط - مشتق المجموع.

F(س) = س 2 + الخطيئة س؛ ز(س) = س 4 + 2س 2 − 3.

وظيفة F(س) هو مجموع وظيفتين أساسيتين، وبالتالي:

F ’(س) = (س 2 + الخطيئة س)’ = (س 2)' + (خطيئة س)’ = 2س+ كوس س؛

نحن نسبب بالمثل لهذه الوظيفة ز(س). فقط هناك بالفعل ثلاثة مصطلحات (من وجهة نظر الجبر):

ز ’(س) = (س 4 + 2س 2 − 3)’ = (س 4 + 2س 2 + (−3))’ = (س 4)’ + (2س 2)’ + (−3)’ = 4س 3 + 4س + 0 = 4س · ( س 2 + 1).

إجابة:
F ’(س) = 2س+ كوس س؛
ز ’(س) = 4س · ( س 2 + 1).

مشتق من المنتج

الرياضيات علم منطقي، لذلك يعتقد الكثير من الناس أنه إذا كانت مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات، فإن مشتقة حاصل الضرب يضرب">يساوي منتج المشتقات. لكن اللعنة عليك! يتم حساب مشتق المنتج باستخدام صيغة مختلفة تمامًا. وهي:

(F · ز) ’ = F ’ · ز + F · ز ’

الصيغة بسيطة، ولكن غالبا ما يتم نسيانها. وليس فقط تلاميذ المدارس، ولكن الطلاب أيضا. والنتيجة هي مشاكل تم حلها بشكل غير صحيح.

مهمة. البحث عن مشتقات الوظائف: F(س) = س 3 كوس س؛ ز(س) = (س 2 + 7س− 7) · ه س .

وظيفة F(س) هو نتاج وظيفتين أساسيتين، لذلك كل شيء بسيط:

F ’(س) = (س 3 كوس س)’ = (س 3) كوس س + س 3 (كوس س)’ = 3س 2 كوس س + س 3 (- الخطيئة س) = س 2 (3كوس س − سخطيئة س)

وظيفة ز(س) العامل الأول هو أكثر تعقيدا قليلا، ولكن المخطط العامهذا لا يتغير. من الواضح أن العامل الأول للوظيفة ز(س) هي كثيرة الحدود ومشتقتها هي مشتقة المجموع. لدينا:

ز ’(س) = ((س 2 + 7س− 7) · ه س)’ = (س 2 + 7س− 7)’ · ه س + (س 2 + 7س− 7) · ( ه س)’ = (2س+ 7) · ه س + (س 2 + 7س− 7) · ه س = ه س· (2 س + 7 + س 2 + 7س −7) = (س 2 + 9س) · ه س = س(س+ 9) · ه س .

إجابة:
F ’(س) = س 2 (3كوس س − سخطيئة س);
ز ’(س) = س(س+ 9) · ه س .

يرجى ملاحظة أنه في الخطوة الأخيرة يتم تحليل المشتق. رسميًا، لا يلزم القيام بذلك، لكن معظم المشتقات لا يتم حسابها من تلقاء نفسها، ولكن لفحص الدالة. وهذا يعني أنه بعد ذلك سيتم مساواة المشتقة بالصفر، وسيتم تحديد علاماتها، وما إلى ذلك. في مثل هذه الحالة، من الأفضل أن يتم تحليل التعبير.

إذا كان هناك وظيفتين F(س) و ز(س)، و ز(س) ≠ 0 على المجموعة التي نهتم بها، يمكننا تحديدها ميزة جديدة ح(س) = F(س)/ز(س). لمثل هذه الوظيفة يمكنك أيضًا العثور على المشتق:

ليس ضعيفا، هاه؟ من أين أتى الناقص؟ لماذا ز 2؟ ومثل هذا! هذا هو واحد من أكثر الصيغ المعقدة- لا يمكنك معرفة ذلك بدون زجاجة. لذلك من الأفضل دراستها في أمثلة محددة.

مهمة. البحث عن مشتقات الوظائف:

يحتوي بسط ومقام كل كسر على دوال أولية، لذا كل ما نحتاجه هو صيغة مشتقة خارج القسمة:

وفقًا للتقاليد، دعونا نحلل البسط إلى عوامل - وهذا سيبسط الإجابة إلى حد كبير:

الوظيفة المعقدة ليست بالضرورة صيغة طولها نصف كيلومتر. على سبيل المثال، يكفي أن تأخذ الوظيفة F(س) = خطيئة سواستبدال المتغير س، يقول على س 2 + ج س. سوف تنجح F(س) = الخطيئة ( س 2 + ج س) - هذه وظيفة معقدة. كما أن لديها مشتق، ولكن لن يكون من الممكن العثور عليه باستخدام القواعد التي تمت مناقشتها أعلاه.

ماذا علي أن أفعل؟ في مثل هذه الحالات، يساعد استبدال المتغير والصيغة لمشتقة دالة معقدة على:

F ’(س) = F ’(ر) · ر'، لو سلقد بدل بواسطة ر(س).

كقاعدة عامة، فإن الوضع مع فهم هذه الصيغة أكثر حزنا من مشتق الحاصل. لذلك، من الأفضل أيضًا شرح ذلك بأمثلة محددة وصف تفصيليكل خطوة.

مهمة. البحث عن مشتقات الوظائف: F(س) = ه 2س + 3 ; ز(س) = الخطيئة ( س 2 + ج س)

لاحظ أنه إذا كان في الوظيفة F(س) بدلاً من التعبير 2 س+ 3 سيكون سهلا س، ثم سوف تنجح وظيفة أولية F(س) = ه س. لذلك، نقوم بإجراء استبدال: دع 2 س + 3 = ر, F(س) = F(ر) = ه ر. نحن نبحث عن مشتق دالة معقدة باستخدام الصيغة:

F ’(س) = F ’(ر) · ر ’ = (ه ر)’ · ر ’ = ه ر · ر ’

والآن - انتبه! نقوم بإجراء الاستبدال العكسي: ر = 2س+ 3. نحصل على:

F ’(س) = ه ر · ر ’ = ه 2س+ 3 (2 س + 3)’ = ه 2س+ 2 3 = 2 ه 2س + 3

الآن دعونا نلقي نظرة على الوظيفة ز(س). من الواضح أنه يحتاج إلى استبداله س 2 + ج س = ر. لدينا:

ز ’(س) = ز ’(ر) · ر= (خطيئة ر)’ · ر' = كوس ر · ر ’

الاستبدال العكسي: ر = س 2 + ج س. ثم:

ز ’(س) = كوس ( س 2 + ج س) · ( س 2 + ج س)' = كوس ( س 2 + ج س) · (2 س + 1/س).

هذا كل شئ! كما يتبين من التعبير الأخير، تم اختصار المشكلة برمتها إلى حساب المبلغ المشتق.

إجابة:
F ’(س) = 2 · ه 2س + 3 ;
ز ’(س) = (2س + 1/س) كوس ( س 2 + ج س).

في كثير من الأحيان في دروسي، بدلاً من مصطلح "مشتق"، أستخدم كلمة "رئيسي". على سبيل المثال، رئيس الوزراء من المبلغ يساوي المبلغحدود. هل هذا أوضح؟ حسنا هذا جيد.

وبالتالي، فإن حساب المشتق يأتي للتخلص من هذه الضربات نفسها وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها أعلاه. مثل المثال الأخيردعنا نعود إلى القوة المشتقة باستخدام الأس العقلاني:

(س ن)’ = ن · س ن − 1

قليل من الناس يعرفون ذلك في هذا الدور نقد يتصرف بشكل جيد رقم كسري. على سبيل المثال، الجذر هو س 0.5. ماذا لو كان هناك شيء فاخر تحت الجذر؟ مرة أخرى، ستكون النتيجة وظيفة معقدة - فهم يحبون إعطاء مثل هذه الإنشاءات الاختباراتوالامتحانات.

مهمة. العثور على مشتق من وظيفة:

أولاً، دعونا نعيد كتابة الجذر كقوة ذات أس نسبي:

F(س) = (س 2 + 8س − 7) 0,5 .

الآن نقوم بإجراء بديل: دع س 2 + 8س − 7 = ر. نجد المشتق باستخدام الصيغة:

F ’(س) = F ’(ر) · ر ’ = (ر 0.5)' · ر' = 0.5 · ر-0.5 · ر ’.

لنقم بالاستبدال العكسي: ر = س 2 + 8س− 7. لدينا:

F ’(س) = 0.5 · ( س 2 + 8س− 7) −0.5 · ( س 2 + 8س− 7)' = 0.5 · (2 س+ 8) ( س 2 + 8س − 7) −0,5 .

وأخيراً العودة إلى الجذور: