الدوال الأسية واللوغاريتمية ثامنا

§ 182 الخصائص الأساسية للدالة اللوغاريتمية

في هذا القسم سوف ندرس الخصائص الأساسية للدالة اللوغاريتمية

ذ =log فأس (1)

دعونا نتذكر ذلك تحت أ وفي الصيغة (1) نعني أي ثابت رقم موجب، عدد إيجابي، يختلف عن 1.

الخاصية 1.مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة جميع الأرقام الموجبة.

في الواقع، اسمحوا ب هو رقم إيجابي تعسفي. دعونا نظهر أن سجل التعبير أ ب مُعرف. كما نعلم، سجل أ ب ليس أكثر من جذر المعادلة

و ض = ب (2)

لو أ و ب هي أرقام إيجابية، و أ =/= 1، فإن مثل هذه المعادلة، حسب الخاصيتين 2 و5 للدالة الأسية (انظر الفقرة 179)، لها دائمًا جذر واحد فقط. هذا الجذر هو السجل أ ب . لذلك سجل أ ب الخامس في هذه الحالةمُعرف

دعونا الآن نظهر أنه إذا ب < 0, то выражение logأ ب غير معرف.

وبالفعل، إذا كان هذا التعبير منطقياً، فإنه يعطي جذر المعادلة (2)؛ في هذه الحالة يجب أن تصمد المساواة

أ سجل أ ب = ب .

والحقيقة أن هذه المساواة غير مكتملة، إذ أن جانبها الأيسر موجب، وجانبها الأيمن موجب رقم سلبيأو صفر.

لذلك سجل التعبير أ ب (أ > 0, أ =/=1) محدد لجميع القيم الإيجابية ب ، ولكن لم يتم تعريف أي قيمة سالبة ب ، ولا ل ب = 0. وهذا يعني أن مجال تعريف الدالة ذ =log فأس هي مجموعة جميع الأعداد الموجبة

تم إثبات الخاصية الأولى للدالة اللوغاريتمية. التفسير الهندسي لهذه الخاصية هو الرسم البياني للوظيفة ذ =log فأس يقع بالكامل في نصف المستوى الأيمن، والذي يتوافق فقط القيم الإيجابية X (انظر الشكل 250 و 251).

الملكية 2. نطاق تباين الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة جميع الأرقام.

وهذا يعني أن سجل التعبير فأس في معان مختلفة X يمكن أن تأخذ أي قيمة رقمية.

يترك ب - اِعتِباطِيّ عدد حقيقي. دعونا نظهر أن هناك رقما X ، الذي يفي بالشرط

سجل فأس = ب . (3)

وهذا سيثبت الخاصية 2.

العلاقة (3) تعني نفس العلاقة

و ب = س .

رقم أ - إيجابي. ويتم دائمًا تحديد قوة أي رقم موجب ذي أس عشوائي. لذلك، اختيار القيمة المطلوبة X رقم أ ب ، سنحقق الشرط (3).

الملكية 3. في أ > 1 وظيفة لوغاريتمية ذ =log فأس يتزايد رتابة، ومتى 0 < أ < 1 - يتناقص بشكل رتيب.

يترك أ > 1 و X 2 > X 1 . دعونا نثبت ذلك

سجل فأس 2 >سجل فأس 1 .

لإثبات ذلك، دعونا نفترض العكس: سجل فأس 2 < logفأس 1 أو سجل فأس 2 =log فأس 1 . في أ > 1 وظيفة الأسية في = أ س يزيد رتابة. لذلك، من سجل الحالة فأس 2 < logفأس 1 يترتب على ذلك أ سجل فأس 2 < أ سجل فأس 1، لكن أ سجل فأس 2 = س 2 , أ سجل فأس 1 = س 1 . لذلك، س 2 < س 1 . وهذا يخالف الشرط الذي بموجبه س 2 > س 1. هناك افتراض آخر يؤدي أيضًا إلى التناقض: السجل فأس 2 =log فأس 1 . في هذه الحالة يجب أن يكون هناك أ سجل فأس 2 < أ سجل فأس 1 أو س 2 = س 1 . يبقى أن نعترف بذلك

سجل فأس 2 >سجل فأس 1 .

وهكذا أثبتنا أنه متى أ > 1 وظيفة في =log فأس يتزايد رتابة.

الحالة عندما أ < 1, предлагаем учащимся рассмотреть самостоятельно.

الخاصية الثالثة للدالة اللوغاريتمية تسمح بتفسير هندسي بسيط. في أ > 1 رسم بياني للوظيفة في =log فأس مع النمو X يرتفع أعلى وأعلى (انظر الشكل 250)، ومتى أ < 1 он с ростом X تغرق أقل وأقل (انظر الشكل 251).

عاقبة. إذا كانت لوغاريتمات رقمين لهما نفس الأساس الموجب غير 1، متساوية، فإن هذه الأرقام نفسها متساوية.

بمعنى آخر من الشرط

سجل فأس =log ذ (أ > 0, أ =/= 1)

إنه يتبع هذا

س = ص .

في الواقع، إذا كان أحد الأرقام X و في كان أكبر من الآخر، وذلك بسبب رتابة الدالة اللوغاريتمية لأحدهما سجل الأرقامفأس وسجل ذ سيكون هناك أكثر من الآخر. ولكن هذا ليس صحيحا. لذلك، س = ص .

الخاصية 4. في X =1 وظيفة لوغاريتمية في =log فأس يأخذ قيمة تساوي الصفر.

بيانيا هذا يعني أنه بغض النظر عن أ منحنى في =log فأس يتقاطع مع المحور X عند الإحداثي السيني X = 1 (انظر الشكل 250 و251).

لإثبات الخاصية الرابعة، يكفي ملاحظة ذلك لأي إيجابية أ

أ 0 = 1.

لذلك سجل أ 1 = 0.

العقار 5. يترك أ > 1. ثم في X > 1وظيفة في =log فأسيأخذ إيجابية، وعند 0< X < 1 - отрицательные значения.

لو 0 < أ < 1, ثم، على العكس من ذلك، متى X > 1 وظيفة في =log فأس يأخذ السلبية، ومتى 0 < X < 1 - القيم الإيجابية.

تسمح خاصية الدالة اللوغاريتمية أيضًا بتفسير رسومي بسيط. دعونا، على سبيل المثال، أ >1. ثم هذا الجزء من المنحنى في =log فأس ، والذي يتوافق مع القيم X > 1، يقع فوق المحور X ، وهذا الجزء من هذا المنحنى الذي يتوافق مع القيم 0< X < 1, находится ниже оси X (انظر الشكل 250). الحالة عندما أ < 1 (рис. 251).

الخاصية الخامسة للدالة اللوغاريتمية هي نتيجة بسيطة للخاصيتين الثالثة والرابعة. لكي نكون محددين، دعونا نفكر في الحالة متى أ > 1. ثم بالخاصية الثالثة، الوظيفة في =log فأس سوف تتزايد رتابة. ولذلك إذا X > 1، ثم سجل فأس >سجل أ 1. لكن حسب الرابع خاصية السجلأ 1= 0. لذلك، متى X > سجل واحد فأس > 0. متى X < 1 logفأس < logأ 1، وهذا هو السجل فأس < 0.

يمكن النظر في القضية بالمثل عندما أ < 1. Учащимся предлагается разобрать его самостоятельно.

إلى الخصائص الخمس للدالة اللوغاريتمية التي تم النظر فيها، سنضيف بدون إثبات خاصية أخرى، تنعكس صحتها بوضوح في الشكلين 250 و 251.

العقار 6.لو أ >1, اذا متى X -> 0 قيم الوظيفة في =log فأسانخفاض إلى أجل غير مسمى (في -> - ∞ ). لو 0 < أ < 1, اذا متى X -> 0 قيم الوظيفة في =log فأسزيادة إلى أجل غير مسمى (في -> ∞ ).

تمارين

1390. البحث عن مجالات التعريف الوظائف التالية:

أ) ذ = سجل 2 (1 + X ); د) ذ = سجل 7 | س |;

ب) ذ = سجل 1/3 ( X 2 + 1)؛ ه) ذ = سجل 3 ( س 2 + س - 2);

الخامس) ذ = سجل 10 (4 + X 2) ز) ذ = سجل 0.5 (5 س - س 2 - 6);

ز) ذ = سجل 5 (- X ); ح) ذ = سجل 6 ( س 2 + س + 1).

1391. لماذا القيم X في الفاصل الزمني 0 < X < 2π يتم تعريف التعبيرات:

أ) سجل 2 (الخطيئة X ); ج) سجل 4 (tg X );

ب) سجل 3 (كوس X ); د) سجل 5 (ctg X )?

1392. ماذا يمكنك أن تقول عن أكبر و أدنى القيمالمهام:

أ) ذ = سجل 2 س ; ب) ذ = | سجل 2 س | ?

1393. على أي خاصية للدالة اللوغاريتمية يمكن القول بذلك

أ) سجل 10 5 > سجل 10 4؛ ب) سجل 0.1 5< log 0,1 4?

1394. أي العدد أكبر:

أ) سجل 2 5 أو سجل 2 6؛ ج) سجل 1/3 2 أو سجل 1/3 4؛

ب) سجل 5 1/2 أو سجل 5 1/3؛ د) سجل 1/7 4 / 5 أو سجل 1/7 5 / 6؟

1395. اتخاذ قرار بشأن X عدم المساواة:

أ) سجل 2 X > سجل 2 3؛ د) سجل 1/2 (3 X ) < سجل 1/2 6؛

ب) سجل 3 X 2 > سجل 3 4; ه) سجل 10 ( X 2 - 1) > سجل 10 (4 X + 4);

ج) سجل 1/3 X > سجل 1/3 2؛ ه) سجل 0.1 (1 - X 2) > سجل 0.1 (2 X + 2).

1396. ماذا يقال عن العدد أ ، لو

سجل أ 7 > سجل أ 6؛ ج) السجل أ 1 / 3 < logأ 1 / 2 ;

مدونة أ 5 < logأ 4؛ د) السجل أ 5 > 0?

1397. ماذا يقال عن العدد أ ، إذا كان لأي قيم X

سجل أ (X 2 + ل) > سجل أ X ?

1398. بين ما الأعداد الصحيحة المتتالية اللوغاريتمات المغلقة:

أ) سجل 2 5؛ ب) سجل 3 8؛ ج) سجل 1/3 7؛ د) سجل 1/2 9؟

1399. أي هذه الأرقام موجبة وأيها سلبية:

أ) سجل 2 5؛ ج) سجل 1/2 5؛ ه) سجل 7 1؛ ز) سجل π/ 3 4;

ب) سجل 2 1 / 3؛ د) سجل 1/3 1/2؛ ه) سجل π 3؛ ح) السجل π/ 4 4?

1) بالنسبة لـ a > 0، a = 1، يتم تعريف الدالة y = a x، وهي تختلف عن

ثابت. تسمى هذه الدالة دالة أسية ذات الأساس أ.

2) تسمى الدالة ذات الشكل y = loga x لوغاريتميًا، حيث a هي رقم معين,

أ > 0، أ ≠ 1.

دعونا نفكر في خصائص الدالة اللوغاريتمية.

1) مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة جميع الأرقام الموجبة.

يتبع هذا البيان تعريف اللوغاريتم، لأنه فقط لـ x > 0 يكون التعبير loga x منطقيًا.

2) يتم تمثيل مجموعة قيم الدالة اللوغاريتمية بالمجموعة R لجميع الأعداد الحقيقية.

ينبع هذا البيان من حقيقة أنه لأي رقم b (b هو رقم حقيقي) يوجد رقم موجب x بحيث يكون loga x = b، أي. المعادلة نحن ندرس دالة بالشكل Y = لوغاريتم لأساس A، X، حيث A أكبر من الصفر وA لا تساوي واحدًا.

مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الموجبة، ومجال القيم هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

من الواضح أن الدالة ليست زوجية ولا فردية، لأن مجال التعريف غير متماثل سواء بالنسبة للمحور الإحداثي أو بالنسبة للأصل.

Y = صفر عند نقطة واحدة - عندما X = واحد.

الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية يبدو هكذا. يمر بالنقطة الأولى على المحور X، وهذا في الحالة A أكثر من واحد,

وعندما يكون A أقل من واحد وأكبر من الصفر، فإنه يبدو هكذا.

دعونا نلاحظ فترات علامة الثبات. بالنسبة لـ A أكبر من واحد، تكون Y موجبة في المدى من واحد إلى زائد ما لا نهاية وسالبة في المدى من صفر إلى واحد.

إذا كانت A أقل من واحد، فإن Y تكون موجبة في الفترة من صفر إلى واحد وسالبة في الفترة من واحد إلى زائد ما لا نهاية.

تصبح كل هذه العبارات واضحة إذا نظرت إلى الرسم البياني لهذه الوظيفة.

من الملائم أن نتذكر ليس هذه العبارات، ولكن نوع الرسوم البيانية

عندما يكون A أكبر من واحد وعندما يكون A أقل من واحد، فيمكن بسهولة اشتقاق فترات إشارة الثبات.

ولنلاحظ أيضًا فترات الزيادة والنقصان. عندما تكون A أكبر من واحد، تزداد الدالة على نطاق التعريف بأكمله: من صفر إلى زائد ما لا نهاية،

وعندما يكون A أكبر من الصفر وأقل من واحد، فإنه يتناقص في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله.

الدالة ليس لها نقاط متطرفة.

3) لوغاريتم الرقم ب للأساس أ (ب > 0، أ > 0، أ<>1) هو الأس الذي يجب رفع الرقم a إليه للحصول على الرقم b:

وتسمى هذه المساواة، التي تعبر عن تعريف اللوغاريتم، بالأساسية الهوية اللوغاريتمية. المساواة logab = x تعني أن ax = b.

يحتوي اللوغاريتم الأساسي 10 على تدوين خاص log10 x = log x ويسمى اللوغاريتم العشري. ل اللوغاريتمات العشريةالمساوات صالحة: 10log x = x، log 10n = n

اللوغاريتم للقاعدة e موجود في الرياضيات أهمية عظيمة. الرقم الإلكتروني هو حوالي 2.7. تعبير أكثر دقة: e = 2.718281828459045...

ومع ذلك، فإن الرقم e نفسه غير منطقي. بالنسبة للوغاريتم لهذه القاعدة، يوجد أيضًا تدوين خاص loge x = ln x والاسم اللوغاريتم الطبيعي. من بين خصائص الرقم e، على وجه الخصوص، يمكن ملاحظة ما يلي: يشكل ظل الرسم البياني للدالة y = ex عند النقطة (0؛ 1) زاوية قدرها 45 درجة مع محور الإحداثي السيني. اللوغاريتمات، مثل أي أرقام، يمكن جمعها وطرحها وتحويلها بكل الطرق. ولكن بما أن اللوغاريتمات ليست بالضبط أرقام عادية، هناك قواعد هنا تسمى الخصائص الأساسية.

أنت بالتأكيد بحاجة إلى معرفة هذه القواعد - فبدونها لا يمكن حل أي مشكلة خطيرة. مشكلة لوغاريتمية. بالإضافة إلى ذلك، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكنك تعلم كل شيء في يوم واحد

الرسوم البيانية (انظر الشكل أعلاه) للوظائف y = xn و y =n x متناظرة بالنسبة إلى منصف الربعين الأول والثالث.

مثال 3.4.3. الدالة f(x) = sin x, x [−π/2, π/2] تزايدية ومستمرة. بما أن f(±π/2) = ±1، فمن خلال النظريات 1.1، 3.9، 3.11 هناك دالة عكسية f−1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2]، والتي تكون متزايدة ومستمرة . وتسمى وظيفة أركسين ويشار إليها بأركسين. لذلك، يتم تعيين دالة أركسين لكل رقم x [−1, 1]

يتوافق مع رقم من المقطع "−π 2 ,π 2 # ، جيبه يساوي x.

					ذ ق6
					-1 ثانية

الرسوم البيانية (انظر الشكل) للدوال y = sin x, x " −π 2 ,π 2 # و y = arcsin x,

x [−1, 1] متناظرة بالنسبة إلى منصف الربعين الأول والثالث.

تعليق. وبالمثل، دالة التناقص المستمر y = arccos x، والتي تعمل من [−1, 1] في، ووظيفة الزيادة المستمرة y = arctan x، والتي تعمل من R

في (-π/2، π/2).

3.5 الدوال الأسية واللوغاريتمية والقوة

في دورة مدرسة الجبر وبدأت التحليل تحدده الدرجة أأرقام ص > 0 ث مؤشر عقلاني r، أي على المجموعة Q

أرقام نسبيةتم تعريف الدالة الأسية f(r) = ar وتوضيح بعض خصائصها:

1) أ ص > 0، ص س،

2) يزيد f بمقدار Q إذا كان a > 1؛ f يتناقص على Q إذا كانت (0، 1)،

3) أ ع · عبد القدير = أب+ف , ص, ف س,

4) (أ ع) ف = ا ف ف، ص، ف س،

5) (أ · ب) p = ap · bp , p Q, a > 0 b > 0.

دعونا نثبت العبارات التالية.

ليما 3.5.1.

ليم أ1/ن = 1،

ليم أ−1/ن = 1,

ثم ε > 0 N = N(ε) N: n > N

|a1/n − 1|< ε, |a−1/n − 1| < ε.

دع n0 N و n0 > N. ثم

< a1/n 0 <

ε < a− 1/n 0

ولذلك، إذا δ =

(−δ، δ) تي س

ε < a−1/n 0 < ar < a1/n 0 <

: ص (−δ، δ) T Q

عدل

عدم المساواة |أ

− 1| < ε, что завершает доказательство.

ليما 3.5.2. اجعل a > 0, (r n ) عبارة عن تسلسل متقارب من الأعداد النسبية. ثم تتقارب المتتابعة (a r n).

دعونا نبين أن التسلسل الرقمي (ar n) أمر أساسي. لاحظ أن ن، م ن

|ar n − ع م | = ع م |ar n − ص م − 1|.

بما أن المتتابعة (rn) متقاربة، يوجد عدد نسبي A بحيث يكون rn ≥ A، n N. وبالتالي، n N

ع ن ≥ أأ = ب.

بواسطة Lemma 3.5.1 ε > 0 δ = δ(ε) > 0: r (−δ, δ)T Q يحمل

عدم المساواة

|ع − 1|

ومن أساسية المتتابعة (rn) نحصل على:

N = N(δ) N: n > N, m > N |rn − rm |< δ.

ومن ثم ن > ن، م > ن

|ar n − ع م | = ع م |ar n −ص م − 1|< B ·B ε = ε,

مما يعني أن التسلسل (ar n) أساسي.

التعريف 3.5.1. اجعل a > 0, x 0 R, (r n ) عبارة عن سلسلة من الأرقام المنطقية المتقاربة مع x 0 . هيا نضع

الفأس 0 = ليم ع ن .

ليما 3.5.3. التعريف 3.5.1 صحيح بمعنى أن

تنكر الحد ليملا يعتمد a r n على اختيار التسلسل

الأعداد النسبية (r n ) تتقارب إلى x 0 .

دع (rn 0)، (rn 00) عبارة عن تسلسلات عشوائية من الأرقام العقلانية المتقاربة إلى x0. وفقًا لـ Lemma 3.5.2، فإن المقابلة

تتقارب التسلسلات (ar n0)، (ar n00). دعونا نثبت أن lim ar n0 =

ليم ع ن 00 .

دعونا نؤلف تسلسل جديد(ر) مثل ذلك

ص ن = ر 0 إذا ن = 2 ك − 1,

rk 00 إذا n = 2k، k N.

من الواضح أنها تتقارب مع الرقم x0. بواسطة Lemma 3.5.2، تتقارب المتتابعة (ar n). باعتبار أن المتتاليتين (ar n0)، (ar n00) هي متتابعات للمتتابعة (ar n)، نحصل على

ليم ع ن 0 = ليم ع ن 00 = ليم ع ن .

ن → ∞ ن → ∞ ن → ∞

تعليق. إذا كان x0 =p q عددا نسبيا، فإن قيمة

عقوبة الفأس 0، وجدت حسب التعريف 3.5.1، تتطابق مع قيمة ap/q في القيمة المعروفة سابقًا دورة المدرسةبالمعنى الجبري، لأنه من بين متواليات الأعداد العقلانية المتقاربة إلى x0 =p q هناك

التسلسل (rn): rn =p q، n N، و ar n = ap/q → ap/q.

التعريف 3.5.2. دع a يكون رقمًا موجبًا و 6 = 1. الوظيفة التي يحددها القانون

س ص → الفأس،

دعا الأسي مع قاعدة أ.

دعونا ندرس بعض خصائص الدالة الأسية.

نظرية 3.12. إذا كانت a > 1، فإن الدالة f(x) = a x تزيد بمقدار R. إذا كانت a (0, 1) فإن الدالة f(x) = a x تتناقص بمقدار R.

دعونا نثبت الجزء الأول من البيان.

نقوم بإصلاح الأرقام العشوائية x1 , x2 R بحيث يكون x1< x2 . По принципу Архимеда существуют рациональные числа r1 , r2 такие, что x1 < r1 < r2 < x2 . Пусть {rn 0 }, {rn 00 } - последовательности рациональных чисел, сходящиеся соответственно к x1 и x2 , причем

ص 0< r1 < r2 < rn 00 , n N.

بواسطة الخاصية 2 للدالة الأسية المحددة في مجموعة Q من الأعداد النسبية،

آرن 0< ar 1 < ar 2 < ar n 00 , n N.

بالمرور إلى الحد كـ n → ∞ في حالات عدم المساواة الشديدة ومع الأخذ بعين الاعتبار التعريف 3.5.1، نحصل على

الفأس 1 ≥ ع 1< ar 2 ≤ ax 2 .

×1، ×2 ر: ×1< x2 ax 1 < ax 2 ,

مما يثبت أن الدالة f(x) = ax تزداد على المجموعة R إذا كانت a > 1.

يتم التعامل مع الحالة (0، 1) بالمثل.

نظرية 3.13. الدالة الأسية f(x) = a x على R تأخذ القيم الموجبة فقط.

على وجه التحديد، فكر في دالة أسية ذات الأساس a > 1.

دع x0 يكون رقمًا حقيقيًا عشوائيًا. وفقا لمبدأ أرخميدس، هناك عدد صحيح n0 بحيث يكون n0 ≥ x0< n0 + 1. В силу возрастания функции f(x) = ax , имеем:

0 ≥ الفأس 0

ولكن بواسطة الخاصية 1 للدالة الأسية المحددة في مجموعة Q من الأعداد النسبية، 0 > 0. وبالتالي، ax 0 > 0.

نظرية 3.14. الدالة الأسية f(x) = a x متصلة على المجموعة R من الأعداد الحقيقية.

الدالة f رتيبة في المجموعة R، لذلك لها حدود محدودة من جانب واحد عند النقطة x = 0. بما أن

ليم أ1/ن = ليم أ−1/ن = 1,
ثم f(+0) = f(−0) = 1. لذلك، هناك حد
ليم f(x) = 1 = a0 ,
وهو ما يعني استمرارية الدالة f عند النقطة x = 0.
نقوم الآن بإصلاح نقطة عشوائية x06=0 و عدد التعسفي
ε > 0. لاحظ ذلك
|f(x) − f(x0 )| = |فأس − فأس 0 | = الفأس 0 |الفأس−x 0 − 1|.
بما أن الدالة f مستمرة عند النقطة x = 0، إذن
δ = δ(ε) > 0: x R, |x − x0 |< δ |ax
				الفأس 0
وبالتالي x R: |x − x0 |< δ |ax − ax 0 | < ax 0 ·			= ε، مما يثبت
		الفأس 0

استمرارية الوظيفة f نقطة تعسفية×0 ر.

نظرية 3.15. إذا كان f(x) = ax، فإن f(R) = (0, +∞).

ولكن، كما نعلم، lim an = +					أ−ن = 0. لذلك، من خلال النظرية
هاين على حد الوظيفة
ليم الفأس = +					الفأس = 0.

بالملاحظة 2 إلى النظرية 3.9 f(−∞, +∞) = (0, +∞).

وفقا للنظرية 3.11 على الاستمرارية وظيفة عكسيةإلى رتابة على الفاصل الزمني، الدالة الأسية f(x) = ax لها معكوس f−1 : (0, +∞) → R، وهي مستمرة، وتزداد إذا كانت a > 1، وتتناقص إذا كانت a (0, 1) . يطلق عليه لوغاريتمي ذو الأساس a (a > 0, a 6= 1) ويشار إليه بالرمز loga : (0, +∞) → R. إذا كان a = e، فإن اللوغاريتم يسمى طبيعي ويشار إليه بالرمز ln.

التعريف 3.5.3. دع α يكون عددًا حقيقيًا مختلفًا عن الصفر. تسمى الدالة التي تعين x α لكل x موجب دالة طاقة، و α هو أسها.