الجذر يساوي التعبير. صيغ الجذر

تهانينا: سننظر اليوم إلى الجذور - وهو أحد أكثر المواضيع إثارة للذهن في الصف الثامن :).

كثير من الناس يرتبكون بشأن الجذور، ليس لأنها معقدة (الأمر المعقد فيها هو بضعة تعريفات وبعض الخصائص الأخرى)، ولكن لأنه في معظم الكتب المدرسية يتم تعريف الجذور من خلال مثل هذه الغابة التي لا يعرفها سوى مؤلفي الكتب المدرسية أنفسهم يمكن أن يفهموا هذه الكتابة. وحتى ذلك الحين فقط مع زجاجة من الويسكي الجيد.

لذلك، سأقدم الآن التعريف الأكثر صحة وكفاءة للجذر - وهو الوحيد الذي يجب أن تتذكره حقًا. وبعد ذلك سأشرح: لماذا نحتاج إلى كل هذا وكيفية تطبيقه عمليًا.

لكن أولاً، تذكر نقطة مهمة واحدة، والتي "ينساها" العديد من جامعي الكتب المدرسية لسبب ما:

يمكن أن تكون الجذور ذات درجة زوجية (المفضلة لدينا $\sqrt(a)$، بالإضافة إلى جميع أنواع $\sqrt(a)$ وحتى $\sqrt(a)$) والدرجة الفردية (جميع أنواع $\sqrt (أ)$، $\sqrt(a)$، وما إلى ذلك). وتعريف جذر الدرجة الفردية يختلف بعض الشيء عن الدرجة الزوجية.

ربما يكون 95٪ من جميع الأخطاء وسوء الفهم المرتبط بالجذور مخفيًا في هذا "المختلف إلى حد ما" اللعين. لذلك دعونا نوضح المصطلحات مرة واحدة وإلى الأبد:

تعريف. حتى الجذر نمن الرقم $a$ هو أي غير سلبيالرقم $b$ هو $((b)^(n))=a$. والجذر الفردي لنفس الرقم $a$ هو عمومًا أي رقم $b$ يحمل نفس المساواة: $((b)^(n))=a$.

على أية حال، يُشار إلى الجذر على النحو التالي:

\(أ)\]

الرقم $n$ في مثل هذا الترميز يسمى الأس الجذر، والرقم $a$ يسمى التعبير الجذري. على وجه الخصوص، بالنسبة إلى $n=2$، نحصل على الجذر التربيعي "المفضل" لدينا (بالمناسبة، هذا جذر من الدرجة الزوجية)، وبالنسبة إلى $n=3$ نحصل على الجذر التكعيبي (الدرجة الفردية)، وهو وغالبا ما توجد أيضا في المشاكل والمعادلات.

أمثلة. الأمثلة الكلاسيكية للجذور التربيعية:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \النهاية(محاذاة)\]

بالمناسبة، $\sqrt(0)=0$، و $\sqrt(1)=1$. وهذا أمر منطقي تمامًا، نظرًا لأن $((0)^(2))=0$ و$((1)^(2))=1$.

الجذور التكعيبية شائعة أيضًا - لا داعي للخوف منها:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \النهاية(محاذاة)\]

حسنًا، بعض "الأمثلة الغريبة":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \النهاية(محاذاة)\]

إذا كنت لا تفهم ما هو الفرق بين الدرجة الزوجية والدرجة الفردية، أعد قراءة التعريف مرة أخرى. انها مهمة جدا!

في غضون ذلك، سننظر في إحدى السمات غير السارة للجذور، والتي بسببها كنا بحاجة إلى تقديم تعريف منفصل للأسس الزوجية والفردية.

لماذا هناك حاجة للجذور على الإطلاق؟

بعد قراءة التعريف، سيتساءل العديد من الطلاب: "ما الذي كان علماء الرياضيات يدخنونه عندما توصلوا إلى هذا؟" وحقا: لماذا نحتاج كل هذه الجذور على الإطلاق؟

للإجابة على هذا السؤال، دعونا نعود إلى المدرسة الابتدائية للحظة. تذكر: في تلك الأوقات البعيدة، عندما كانت الأشجار أكثر خضرة والزلابية ألذ، كان همنا الرئيسي هو مضاعفة الأرقام بشكل صحيح. حسنًا، شيء مثل "خمسة في خمسة - خمسة وعشرون"، هذا كل شيء. ولكن يمكنك مضاعفة الأرقام ليس في أزواج، ولكن في ثلاثة توائم وأربعة أضعاف ومجموعات كاملة بشكل عام:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

ومع ذلك، هذه ليست النقطة. الحيلة مختلفة: علماء الرياضيات أناس كسالى، لذا فقد واجهوا صعوبة في كتابة ضرب العشرة بخمسات مثل هذا:

ولهذا السبب توصلوا إلى درجات علمية. لماذا لا تكتب عدد العوامل كخط مرتفع بدلاً من سلسلة طويلة؟ شيء من هذا القبيل:

انها مريحة للغاية! تم تقليل جميع الحسابات بشكل كبير، ولن تضطر إلى إهدار مجموعة من أوراق الرق والدفاتر لتدوين حوالي 5183. تم استدعاء هذا السجل قوة الرقم؛ تم العثور على مجموعة من الخصائص فيه، لكن السعادة تبين أنها قصيرة الأجل.

بعد حفلة شرب فخمة، تم تنظيمها فقط من أجل "اكتشاف" الدرجات، تساءل بعض علماء الرياضيات العنيدين بشكل خاص: "ماذا لو كنا نعرف درجة الرقم، ولكن الرقم نفسه غير معروف؟" الآن، في الواقع، إذا كنا نعلم أن عددًا معينًا $b$، على سبيل المثال، أس 5 يعطي 243، فكيف يمكننا تخمين ما يساوي الرقم $b$ نفسه؟

تبين أن هذه المشكلة أكثر عالمية مما قد تبدو للوهلة الأولى. لأنه اتضح أنه بالنسبة لمعظم القوى "الجاهزة" لا توجد مثل هذه الأرقام "الأولية". أحكم لنفسك:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \النهاية(محاذاة)\]

ماذا لو $((ب)^(3))=50 دولارًا؟ اتضح أننا بحاجة إلى إيجاد عدد معين، عندما نضربه في نفسه ثلاث مرات، نحصل على 50. ولكن ما هو هذا العدد؟ ومن الواضح أنها أكبر من 3، حيث أن 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. هذا هو يقع هذا الرقم في مكان ما بين ثلاثة وأربعة، لكنك لن تفهم ما يساويه.

وهذا هو بالضبط سبب توصل علماء الرياضيات إلى الجذور $n$th. وهذا هو بالضبط سبب ظهور الرمز الجذري $\sqrt(*)$. لتعيين الرقم $b$ نفسه، والذي سيعطينا إلى الدرجة المشار إليها قيمة معروفة مسبقًا

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

أنا لا أجادل: غالبًا ما يتم حساب هذه الجذور بسهولة - لقد رأينا العديد من هذه الأمثلة أعلاه. لكن مع ذلك، في معظم الحالات، إذا فكرت في رقم اعتباطي ثم حاولت استخراج جذر درجة اعتباطية منه، فسوف تواجه مشكلة مروعة.

ماذا هنالك! حتى $\sqrt(2)$ الأبسط والأكثر شيوعًا لا يمكن تمثيله بالشكل المعتاد - كعدد صحيح أو كسر. وإذا قمت بإدخال هذا الرقم في الآلة الحاسبة، فسوف ترى هذا:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

كما ترون، بعد العلامة العشرية هناك تسلسل لا نهاية له من الأرقام التي لا تخضع لأي منطق. يمكنك بالطبع تقريب هذا الرقم للمقارنة بسرعة مع الأرقام الأخرى. على سبيل المثال:

\[\sqrt(2)=1.4142...\حوالي 1.4 \lt 1.5\]

أو هنا مثال آخر:

\[\sqrt(3)=1.73205...\حوالي 1.7 \gt 1.5\]

لكن كل هذه التقريبات، أولاً، قاسية جدًا؛ وثانيًا، يجب أيضًا أن تكون قادرًا على العمل بقيم تقريبية، وإلا يمكنك التقاط مجموعة من الأخطاء غير الواضحة (بالمناسبة، مهارة المقارنة والتقريب مطلوبة للاختبار في امتحان الدولة الموحد للملف الشخصي).

لذلك، في الرياضيات الجادة، لا يمكنك الاستغناء عن الجذور - فهي نفس الممثلين المتساويين لمجموعة جميع الأعداد الحقيقية $\mathbb(R)$، تمامًا مثل الكسور والأعداد الصحيحة التي كنا نعرفها منذ فترة طويلة.

عدم القدرة على تمثيل الجذر ككسر من النموذج $\frac(p)(q)$ يعني أن هذا الجذر ليس عددًا نسبيًا. وتسمى هذه الأرقام غير عقلانية، ولا يمكن تمثيلها بدقة إلا بمساعدة الإنشاءات الجذرية أو غيرها من الإنشاءات المصممة خصيصًا لهذا الغرض (اللوغاريتمات، والقوى، والحدود، وما إلى ذلك). و المزيد لاحقا.

لنفكر في عدة أمثلة حيث، بعد كل الحسابات، ستظل الأرقام غير المنطقية موجودة في الإجابة.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\approx -1.2599... \\ \end(align)\]

بطبيعة الحال، من مظهر الجذر، يكاد يكون من المستحيل تخمين الأرقام التي ستأتي بعد العلامة العشرية. ومع ذلك، يمكنك الاعتماد على الآلة الحاسبة، ولكن حتى حاسبة التاريخ الأكثر تقدمًا لا تعطينا سوى الأرقام القليلة الأولى من رقم غير نسبي. ولذلك، فمن الأصح بكثير كتابة الإجابات في النموذج $\sqrt(5)$ و$\sqrt(-2)$.

وهذا هو بالضبط سبب اختراعهم. لتسجيل الإجابات بشكل مريح.

لماذا هناك حاجة إلى تعريفين؟

ربما لاحظ القارئ اليقظ بالفعل أن جميع الجذور التربيعية الواردة في الأمثلة مأخوذة من أرقام موجبة. حسنا، على الأقل من الصفر. لكن يمكن استخراج الجذور المكعبة بهدوء من أي رقم على الإطلاق - سواء كان موجبًا أو سالبًا.

لماذا يحدث هذا؟ ألقِ نظرة على الرسم البياني للدالة $y=((x)^(2))$:

الرسم البياني للدالة التربيعية يعطي جذرين: موجب وسالب

دعونا نحاول حساب $\sqrt(4)$ باستخدام هذا الرسم البياني. للقيام بذلك، يتم رسم خط أفقي $y=4$ على الرسم البياني (معلم باللون الأحمر)، والذي يتقاطع مع القطع المكافئ عند نقطتين: $((x)_(1))=2$ و$((x )_(2)) =-2$. وهذا أمر منطقي تماما، منذ ذلك الحين

كل شيء واضح مع الرقم الأول - فهو موجب، فهو الجذر:

ولكن ماذا تفعل إذن بالنقطة الثانية؟ مثلا، أربعة له جذوران في وقت واحد؟ بعد كل شيء، إذا قمنا بتربيع الرقم −2، فسنحصل أيضًا على 4. لماذا لا نكتب $\sqrt(4)=-2$ إذن؟ ولماذا ينظر المعلمون إلى مثل هذه المنشورات وكأنهم يريدون أكلك :)؟

المشكلة هي أنه إذا لم تفرض أي شروط إضافية، فسيكون للرباعية جذران تربيعيان - إيجابي وسالب. وأي عدد موجب سيحتوي أيضًا على رقمين. لكن الأعداد السالبة لن يكون لها جذور على الإطلاق - ويمكن ملاحظة ذلك من نفس الرسم البياني، نظرًا لأن القطع المكافئ لا يقع أبدًا أسفل المحور ذ، أي. لا يقبل القيم السلبية.

تحدث مشكلة مماثلة لجميع الجذور ذات الأس الزوجي:

1. بالمعنى الدقيق للكلمة، سيكون لكل رقم موجب جذرين لهما أس زوجي $n$؛
2. من الأرقام السالبة، لا يتم استخراج الجذر الذي يحتوي على $n$ على الإطلاق.

ولهذا السبب، ينص تعريف جذر الدرجة الزوجية $n$ على وجه التحديد على أن الإجابة يجب أن تكون رقمًا غير سالب. وبهذه الطريقة نتخلص من الغموض.

لكن بالنسبة إلى $n$ الغريب لا توجد مثل هذه المشكلة. لرؤية ذلك، دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني للدالة $y=((x)^(3))$:

يمكن للقطع المكافئ المكعب أن يأخذ أي قيمة، لذا يمكن أخذ الجذر التكعيبي من أي رقم

يمكن استخلاص استنتاجين من هذا الرسم البياني:

1. فروع القطع المكافئ المكعب، على عكس المعتاد، تذهب إلى اللانهاية في كلا الاتجاهين - لأعلى ولأسفل. لذلك، بغض النظر عن الارتفاع الذي نرسمه خطًا أفقيًا، فمن المؤكد أن هذا الخط سيتقاطع مع الرسم البياني لدينا. وبالتالي، يمكن دائمًا استخراج الجذر التكعيبي من أي رقم على الإطلاق؛
2. بالإضافة إلى ذلك، سيكون هذا التقاطع فريدًا دائمًا، لذلك لا تحتاج إلى التفكير في الرقم الذي يعتبر الجذر "الصحيح" وأي رقم يجب تجاهله. ولهذا السبب يكون تحديد جذور الدرجة الفردية أسهل من تحديد الدرجة الزوجية (ليس هناك شرط لعدم السالبة).

ومن المؤسف أن هذه الأشياء البسيطة لم يتم شرحها في معظم الكتب المدرسية. وبدلاً من ذلك، تبدأ أدمغتنا في التحليق بكل أنواع الجذور الحسابية وخصائصها.

نعم، أنا لا أجادل: أنت بحاجة أيضًا إلى معرفة ما هو الجذر الحسابي. وسأتحدث عن هذا بالتفصيل في درس منفصل. اليوم سنتحدث عنه أيضًا، لأنه بدونه ستكون كل الأفكار حول جذور التعدد $n$-th غير مكتملة.

لكن عليك أولاً أن تفهم بوضوح التعريف الذي قدمته أعلاه. خلاف ذلك، بسبب وفرة المصطلحات، ستبدأ مثل هذه الفوضى في رأسك أنك في النهاية لن تفهم أي شيء على الإطلاق.

كل ما عليك فعله هو فهم الفرق بين المؤشرات الزوجية والفردية. لذلك، دعونا مرة أخرى نجمع كل ما تحتاج لمعرفته حول الجذور:

1. يوجد جذر الدرجة الزوجية فقط من رقم غير سالب ويكون في حد ذاته دائمًا رقمًا غير سالب. بالنسبة للأرقام السالبة، يكون هذا الجذر غير محدد.
2. لكن جذر الدرجة الفردية موجود من أي رقم ويمكن أن يكون في حد ذاته أي رقم: بالنسبة للأرقام الموجبة يكون موجبًا، وبالنسبة للأرقام السالبة، كما يشير الغطاء، يكون سالبًا.

هل هي صعبة؟ لا، ليس من الصعب. انها واضحة؟ نعم، الأمر واضح تمامًا! والآن سوف نتدرب قليلًا على العمليات الحسابية.

الخصائص والقيود الأساسية

للجذور العديد من الخصائص والقيود الغريبة - سيتم مناقشة ذلك في درس منفصل. لذلك، الآن سننظر فقط في "الخدعة" الأكثر أهمية، والتي تنطبق فقط على الجذور ذات الفهرس الزوجي. لنكتب هذه الخاصية كصيغة:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| س\يمين|\]

بمعنى آخر، إذا رفعنا عددًا إلى قوة زوجية ثم استخرجنا جذر القوة نفسها، فلن نحصل على العدد الأصلي، بل على مقياسه. هذه نظرية بسيطة يمكن إثباتها بسهولة (يكفي النظر إلى $x$ غير السالبة بشكل منفصل، ثم السالبة بشكل منفصل). يتحدث المعلمون باستمرار عن هذا الموضوع، وهو موجود في كل كتاب مدرسي. ولكن بمجرد أن يتعلق الأمر بحل المعادلات غير المنطقية (أي المعادلات التي تحتوي على علامة جذرية)، ينسى الطلاب بالإجماع هذه الصيغة.

لفهم المشكلة بالتفصيل، دعونا ننسى جميع الصيغ لمدة دقيقة ونحاول حساب رقمين للأمام مباشرة:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

هذه أمثلة بسيطة للغاية. معظم الناس سوف يحلون المثال الأول، ولكن الكثير من الناس يعلقون في المثال الثاني. لحل أي مشكلة من هذا القبيل دون مشاكل، فكر دائمًا في الإجراء:

1. أولاً، يتم رفع العدد إلى القوة الرابعة. حسنًا، الأمر سهل نوعًا ما. سوف تحصل على رقم جديد يمكن العثور عليه حتى في جدول الضرب؛
2. والآن من هذا الرقم الجديد لا بد من استخراج الجذر الرابع. أولئك. لا يحدث "اختزال" للجذور والقوى - فهذه إجراءات متسلسلة.

دعونا نلقي نظرة على التعبير الأول: $\sqrt(((3)^(4)))$. من الواضح أنك تحتاج أولاً إلى حساب التعبير الموجود تحت الجذر:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

ثم نستخرج الجذر الرابع للرقم 81:

الآن دعونا نفعل الشيء نفسه مع التعبير الثاني. أولًا، نرفع العدد −3 إلى القوة الرابعة، وهو ما يتطلب ضربه في نفسه 4 مرات:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ يسار(-3 \يمين)=81\]

لقد حصلنا على رقم موجب، نظرًا لأن العدد الإجمالي للسلبيات في المنتج هو 4، وسوف تلغي جميعها بعضها البعض (بعد كل شيء، ناقص ناقص يعطي علامة زائد). ثم نستخرج الجذر مرة أخرى:

من حيث المبدأ، لا يمكن أن يكون هذا السطر مكتوبًا، لأنه ليس من المنطقي أن تكون الإجابة هي نفسها. أولئك. الجذر الزوجي لنفس القوة الزوجية "يحرق" السلبيات، وبهذا المعنى لا يمكن تمييز النتيجة عن الوحدة النمطية العادية:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \يمين|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \صحيح|=3. \\ \النهاية(محاذاة)\]

تتوافق هذه الحسابات بشكل جيد مع تعريف جذر الدرجة الزوجية: النتيجة دائمًا غير سالبة، كما تحتوي علامة الجذر دائمًا على رقم غير سالب. وإلا فإن الجذر غير محدد.

ملاحظة حول الإجراء

1. الترميز $\sqrt(((a)^(2)))$ يعني أننا نقوم أولاً بتربيع الرقم $a$ ثم نأخذ الجذر التربيعي للقيمة الناتجة. لذلك، يمكننا التأكد من وجود رقم غير سالب دائمًا تحت علامة الجذر، نظرًا لأن $((a)^(2))\ge 0$ على أي حال؛
2. لكن التدوين $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$، على العكس من ذلك، يعني أننا نأخذ أولاً جذر رقم معين $a$ وبعد ذلك فقط نقوم بتربيع النتيجة. لذلك، لا يمكن أن يكون الرقم $a$ سالبًا بأي حال من الأحوال - وهذا مطلب إلزامي مدرج في التعريف.

وبالتالي، لا ينبغي بأي حال من الأحوال تقليل الجذور والدرجات دون تفكير، وبالتالي يُزعم "تبسيط" التعبير الأصلي. لأنه إذا كان الجذر يحتوي على رقم سالب وأسه زوجي، فسنحصل على مجموعة من المشاكل.

ومع ذلك، فإن كل هذه المشاكل ذات صلة فقط بالمؤشرات.

إزالة علامة الطرح من تحت علامة الجذر

وبطبيعة الحال، فإن الجذور ذات الأسس الفردية لها أيضًا ميزة خاصة بها، والتي من حيث المبدأ غير موجودة مع الأسس الزوجية. يسمى:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

باختصار، يمكنك إزالة الطرح من تحت علامة الجذور ذات الدرجة الفردية. هذه خاصية مفيدة للغاية تسمح لك "بالتخلص" من جميع العيوب:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(محاذاة)\]

تعمل هذه الخاصية البسيطة على تبسيط العديد من الحسابات إلى حد كبير. الآن لا داعي للقلق: ماذا لو تم إخفاء تعبير سلبي تحت الجذر، ولكن تبين أن الدرجة عند الجذر متساوية؟ يكفي فقط "التخلص" من كل السلبيات خارج الجذور، وبعد ذلك يمكن مضاعفة بعضها البعض، وتقسيمها، والقيام بشكل عام بالعديد من الأشياء المشبوهة، والتي في حالة الجذور "الكلاسيكية" تضمن أن تقودنا إلى خطا.

وهنا يظهر تعريف آخر على الساحة - وهو نفس التعريف الذي تبدأ به معظم المدارس دراسة التعبيرات غير العقلانية. وبدون ذلك سيكون تفكيرنا ناقصا. يقابل!

الجذر الحسابي

لنفترض للحظة أنه تحت علامة الجذر يمكن أن يكون هناك أرقام موجبة فقط، أو في الحالات القصوى، صفر. دعونا ننسى المؤشرات الزوجية/الفردية، دعونا ننسى جميع التعريفات المذكورة أعلاه - سنعمل فقط مع الأرقام غير السالبة. ماذا بعد؟

وبعد ذلك سنحصل على جذر حسابي - فهو يتداخل جزئيًا مع تعريفاتنا "المعيارية"، لكنه لا يزال يختلف عنها.

تعريف. الجذر الحسابي للدرجة $n$th للرقم غير السالب $a$ هو رقم غير سالب $b$ بحيث يكون $((b)^(n))=a$.

وكما نرى، لم نعد مهتمين بالتكافؤ. وبدلاً من ذلك، ظهر قيد جديد: أصبح التعبير الجذري الآن دائمًا غير سلبي، والجذر نفسه أيضًا غير سلبي.

لفهم كيفية اختلاف الجذر الحسابي عن الجذر الحسابي بشكل أفضل، ألقِ نظرة على الرسوم البيانية للقطع المكافئ المربع والمكعب الذي نعرفه بالفعل:

منطقة البحث عن الجذر الحسابي - أرقام غير سالبة

كما ترون، من الآن فصاعدا نحن مهتمون فقط بتلك الأجزاء من الرسوم البيانية الموجودة في الربع الإحداثي الأول - حيث تكون الإحداثيات $x$ و $y$ موجبة (أو على الأقل صفر). لم تعد بحاجة إلى النظر إلى المؤشر لفهم ما إذا كان لدينا الحق في وضع رقم سالب تحت الجذر أم لا. لأن الأرقام السالبة لم تعد تعتبر من حيث المبدأ.

قد تسأل: "حسنًا، لماذا نحتاج إلى مثل هذا التعريف المخصٍ؟" أو: "لماذا لا نستطيع التعامل مع التعريف القياسي المذكور أعلاه؟"

حسنًا، سأقدم خاصية واحدة فقط يصبح التعريف الجديد مناسبًا بسببها. على سبيل المثال، قاعدة الأس:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((أ)^(ك)))\]

يرجى ملاحظة: يمكننا رفع التعبير الجذري إلى أي قوة وفي نفس الوقت ضرب الجذر الأسي بنفس القوة - وستكون النتيجة نفس الرقم! فيما يلي أمثلة:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

ذلك ما الصفقة الكبيرة؟ لماذا لم نتمكن من القيام بذلك من قبل؟ هذا هو السبب. لنفكر في تعبير بسيط: $\sqrt(-2)$ - هذا الرقم طبيعي تمامًا في فهمنا الكلاسيكي، ولكنه غير مقبول على الإطلاق من وجهة نظر الجذر الحسابي. دعونا نحاول تحويله:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

كما ترون، في الحالة الأولى قمنا بإزالة الطرح من تحت الجذر (لدينا كل الحق، لأن الأس فردي)، وفي الحالة الثانية استخدمنا الصيغة أعلاه. أولئك. من وجهة نظر رياضية، كل شيء يتم وفقًا للقواعد.

ماهذا الهراء؟! كيف يمكن أن يكون نفس العدد موجبًا وسالبًا؟ مستحيل. كل ما في الأمر هو أن صيغة الأس، التي تعمل بشكل جيد مع الأعداد الموجبة والصفر، تبدأ في إنتاج بدعة كاملة في حالة الأعداد السالبة.

ومن أجل التخلص من هذا الغموض تم اختراع الجذور الحسابية. تم تخصيص درس كبير منفصل لهم، حيث نعتبر جميع خصائصهم بالتفصيل. لذلك لن نتناولها الآن - لقد تبين أن الدرس طويل جدًا بالفعل.

الجذر الجبري: لمن يريد معرفة المزيد

فكرت لفترة طويلة فيما إذا كنت سأضع هذا الموضوع في فقرة منفصلة أم لا. وفي النهاية قررت أن أتركها هنا. هذه المادة مخصصة لأولئك الذين يرغبون في فهم الجذور بشكل أفضل - ليس على مستوى "المدرسة" المتوسط، ولكن على مقربة من مستوى الأولمبياد.

لذلك: بالإضافة إلى التعريف "الكلاسيكي" للجذر $n$th للرقم والتقسيم المرتبط به إلى أسس زوجية وفردية، هناك تعريف أكثر "للبالغين" لا يعتمد على الإطلاق على التكافؤ والتفاصيل الدقيقة الأخرى. وهذا ما يسمى جذر جبري.

تعريف. الجذر الجبري $n$th لأي $a$ هو مجموعة جميع الأرقام $b$ بحيث $((b)^(n))=a$. لا يوجد تحديد محدد لهذه الجذور، لذلك سنضع شرطة في الأعلى:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

والفرق الأساسي عن التعريف القياسي الوارد في بداية الدرس هو أن الجذر الجبري ليس رقمًا محددًا، بل مجموعة. وبما أننا نعمل مع الأعداد الحقيقية، فإن هذه المجموعة تأتي في ثلاثة أنواع فقط:

1. مجموعة فارغة. يحدث عندما تحتاج إلى إيجاد جذر جبري لدرجة زوجية من رقم سالب؛
2. مجموعة مكونة من عنصر واحد. جميع جذور القوى الفردية، وكذلك جذور القوى الزوجية للصفر، تقع ضمن هذه الفئة؛
3. أخيرًا، يمكن أن تتضمن المجموعة رقمين - نفس $((x)_(1))$ و$((x)_(2))=-((x)_(1))$ التي رأيناها في دالة تربيعية بيانية. وبناء على ذلك، فإن مثل هذا الترتيب ممكن فقط عند استخراج جذر الدرجة الزوجية من رقم موجب.

الحالة الأخيرة تستحق دراسة أكثر تفصيلا. دعونا نعد بضعة أمثلة لفهم الفرق.

مثال. تقييم التعبيرات:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

حل. التعبير الأول بسيط:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

إنه رقمان يشكلان جزءًا من المجموعة. لأن كل واحد منهم تربيع يعطينا أربعة.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

نرى هنا مجموعة تتكون من رقم واحد فقط. وهذا أمر منطقي تماما، لأن الأس الجذر غريب.

وأخيرا التعبير الأخير:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

لقد حصلنا على مجموعة فارغة. لأنه لا يوجد رقم حقيقي واحد، عند رفعه إلى القوة الرابعة (أي حتى!) سيعطينا الرقم السالب −16.

الملاحظة النهائية. يرجى ملاحظة: لم يكن من قبيل الصدفة أن لاحظت في كل مكان أننا نعمل بأرقام حقيقية. نظرًا لوجود أرقام معقدة أيضًا - فمن الممكن جدًا حساب $\sqrt(-16)$ هناك، والعديد من الأشياء الغريبة الأخرى.

ومع ذلك، فإن الأعداد المركبة لا تظهر أبدًا في دورات الرياضيات المدرسية الحديثة. لقد تمت إزالتها من معظم الكتب المدرسية لأن المسؤولين لدينا يعتبرون الموضوع "صعب الفهم للغاية".

هذا كل شئ. في الدرس التالي، سنلقي نظرة على جميع الخصائص الأساسية للجذور وسنتعلم أخيرًا كيفية تبسيط التعبيرات غير المنطقية :).

نظرت مرة أخرى إلى اللافتة... ودعنا نذهب!

لنبدأ بشيء بسيط:

دقيقة فقط. هذا، مما يعني أنه يمكننا كتابتها بهذه الطريقة:

فهمتها؟ إليك التالي لك:

هل جذور الأعداد الناتجة لم يتم استخراجها بالضبط؟ لا مشكلة - إليك بعض الأمثلة:

ماذا لو لم يكن هناك اثنان، بل المزيد من المضاعفات؟ نفس الشيء! تعمل صيغة ضرب الجذور مع أي عدد من العوامل:

الآن بمفردك تمامًا:

الإجابات:أحسنت! أوافق، كل شيء سهل للغاية، والشيء الرئيسي هو معرفة جدول الضرب!

تقسيم الجذر

لقد قمنا بفرز الجذور، والآن دعونا ننتقل إلى خاصية القسمة.

دعني أذكرك أن الصيغة العامة تبدو كما يلي:

مما يعنى جذر حاصل القسمة يساوي حاصل قسمة الجذور.

حسنًا، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

هذا هو كل العلم. هنا مثال:

كل شيء ليس سلسا كما في المثال الأول، ولكن، كما ترون، لا يوجد شيء معقد.

ماذا لو صادفتك هذا التعبير:

تحتاج فقط إلى تطبيق الصيغة في الاتجاه المعاكس:

وهذا مثال:

قد تصادف أيضًا هذا التعبير:

كل شيء هو نفسه، هنا فقط عليك أن تتذكر كيفية ترجمة الكسور (إذا كنت لا تتذكر، انظر إلى الموضوع والعودة!). هل تذكر؟ الآن دعونا نقرر!

أنا متأكد من أنك قد تعاملت مع كل شيء، والآن دعونا نحاول رفع الجذور إلى درجات.

الأس

ماذا يحدث إذا كان الجذر التربيعي تربيعيا؟ الأمر بسيط، تذكر معنى الجذر التربيعي للرقم - هذا رقم يساوي جذره التربيعي.

إذن، إذا قمنا بتربيع عدد جذره التربيعي يساوي، فماذا نحصل؟

حسنا بالطبع، !

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

انها بسيطة، أليس كذلك؟ وماذا لو كان الجذر بدرجة مختلفة؟ لا بأس!

اتبع نفس المنطق وتذكر الخصائص والإجراءات الممكنة بدرجات.

اقرأ النظرية حول الموضوع "" وسيصبح كل شيء واضحًا للغاية بالنسبة لك.

هنا، على سبيل المثال، التعبير التالي:

في هذا المثال، الدرجة زوجية، لكن ماذا لو كانت فردية؟ مرة أخرى، نطبق خصائص القوى ونقوم بتحليل كل شيء:

يبدو كل شيء واضحًا في هذا، ولكن كيف يمكن استخراج جذر الرقم للقوة؟ وهنا، على سبيل المثال، هذا:

بسيطة جدا، أليس كذلك؟ وماذا لو كانت الدرجة أكثر من اثنتين؟ نحن نتبع نفس المنطق باستخدام خصائص الدرجات:

حسنًا، هل كل شيء واضح؟ ثم قم بحل الأمثلة بنفسك:

وهنا الإجابات:

الدخول تحت علامة الجذر

ما الذي لم نتعلم فعله بالجذور! كل ما تبقى هو التدرب على إدخال الرقم تحت علامة الجذر!

انها حقا سهلة!

لنفترض أن لدينا رقمًا مكتوبًا

ماذا يمكننا أن نفعل حيال ذلك؟ حسنًا، بالطبع، قم بإخفاء الثلاثة تحت الجذر، وتذكر أن الثلاثة هو الجذر التربيعي لـ!

لماذا نحتاج هذا؟ نعم فقط لتوسيع قدراتنا عند حل الأمثلة:

كيف تحب خاصية الجذور هذه؟ هل يجعل الحياة أسهل بكثير؟ بالنسبة لي، هذا صحيح تمامًا! فقط يجب أن نتذكر أنه لا يمكننا إدخال سوى أرقام موجبة تحت علامة الجذر التربيعي.

حل هذا المثال بنفسك -
هل تستطيع فعلها؟ دعونا نرى ما يجب أن تحصل عليه:

أحسنت! لقد تمكنت من إدخال الرقم تحت علامة الجذر! دعنا ننتقل إلى شيء لا يقل أهمية - دعونا نلقي نظرة على كيفية مقارنة الأرقام التي تحتوي على جذر تربيعي!

مقارنة الجذور

لماذا نحتاج أن نتعلم مقارنة الأعداد التي تحتوي على جذر تربيعي؟

بسيط جدا. في كثير من الأحيان، في التعبيرات الكبيرة والطويلة التي نواجهها في الامتحان، نتلقى إجابة غير منطقية (تذكر ما هذا؟ لقد تحدثنا بالفعل عن هذا اليوم!)

نحتاج إلى وضع الإجابات المستلمة على خط الإحداثيات، على سبيل المثال، لتحديد الفاصل الزمني المناسب لحل المعادلة. وهنا تظهر المشكلة: لا توجد آلة حاسبة في الامتحان، وبدونها كيف تتخيل أي رقم أكبر وأي رقم أقل؟ هذا كل شيء!

على سبيل المثال، حدد أيهما أكبر: أم؟

لا يمكنك معرفة ذلك على الفور. حسنًا، دعنا نستخدم الخاصية المفككة لإدخال رقم تحت علامة الجذر؟

إذن إمض قدما:

حسنًا، من الواضح أنه كلما زاد الرقم الموجود أسفل علامة الجذر، زاد حجم الجذر نفسه!

أولئك. اذا ثم، .

ومن هذا نستنتج ذلك بقوة. ولن يقنعنا أحد بغير ذلك!

استخراج الجذور من الأعداد الكبيرة

قبل هذا أدخلنا المضاعف تحت إشارة الجذر، لكن كيف نزيله؟ كل ما عليك فعله هو تحليلها إلى عوامل واستخراج ما تستخرجه!

وكان من الممكن اتخاذ مسار مختلف والتوسع في عوامل أخرى:

ليس سيئا، أليس كذلك؟ أي من هذه الأساليب صحيح، قرر كما يحلو لك.

يعد التخصيم مفيدًا جدًا عند حل المشكلات غير القياسية مثل:

دعونا لا نخاف، بل نتصرف! دعونا نحلل كل عامل تحت الجذر إلى عوامل منفصلة:

الآن جرب ذلك بنفسك (بدون آلة حاسبة! لن يكون ذلك في الامتحان):

هل هذه النهاية؟ دعونا لا نتوقف في منتصف الطريق!

هذا كل شيء، ليس مخيفا جدا، أليس كذلك؟

حدث؟ أحسنت، هذا صحيح!

الآن جرب هذا المثال:

لكن المثال صعب الكسر، لذلك لا يمكنك معرفة كيفية التعامل معه على الفور. لكن بالطبع يمكننا التعامل مع الأمر.

حسنا، دعونا نبدأ التخصيم؟ دعونا نلاحظ على الفور أنه يمكنك قسمة عدد على (تذكر علامات القسمة):

الآن، جرب ذلك بنفسك (مرة أخرى، بدون آلة حاسبة!):

حسنا، هل نجحت؟ أحسنت، هذا صحيح!

دعونا نلخص ذلك

1. الجذر التربيعي (الجذر التربيعي الحسابي) لعدد غير سالب هو رقم غير سالب مربعه يساوي.
   .
2. إذا أخذنا الجذر التربيعي لشيء ما، فسنحصل دائمًا على نتيجة واحدة غير سلبية.
3. خصائص الجذر الحسابي:
4. عند مقارنة الجذور التربيعية، من الضروري أن نتذكر أنه كلما زاد الرقم تحت علامة الجذر، كلما زاد حجم الجذر نفسه.

كيف هو الجذر التربيعي؟ كله واضح؟

حاولنا أن نشرح لك دون أي ضجة كل ما تحتاج إلى معرفته في الامتحان حول الجذر التربيعي.

إنه دورك. اكتب لنا هل هذا الموضوع صعب عليك أم لا.

هل تعلمت شيئًا جديدًا أم أن كل شيء كان واضحًا بالفعل؟

اكتب في التعليقات ونتمنى لك حظا سعيدا في امتحاناتك!

\(\sqrt(a)=b\)، إذا \(b^2=a\)، حيث \(a≥0,b≥0\)

أمثلة:

\(\sqrt(49)=7\)، بما أن \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\)، منذ \(0.2^2=0.04\)

كيفية استخراج الجذر التربيعي لعدد؟

لاستخراج الجذر التربيعي لرقم ما، عليك أن تسأل نفسك السؤال: ما هو الرقم المربع الذي سيعطي التعبير تحت الجذر؟

على سبيل المثال. استخراج الجذر: a)\(\sqrt(2500)\); ب) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); ج) \(\sqrt(0.001)\); د) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

أ) ما هو الرقم المربع الذي سيعطيه \(2500\)؟

\(\sqrt(2500)=50\)

ب) ما هو الرقم المربع الذي سيعطيه \(\frac(4)(9)\) ؟

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

ج) ما هو الرقم المربع الذي سيعطيه \(0.0001\)؟

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

د) ما هو الرقم المربع الذي سيعطيه \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)؟ للإجابة على السؤال، تحتاج إلى تحويله إلى السؤال الخطأ.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

تعليق: على الرغم من أن \(-50\)، \(-\frac(2)(3)\)، \(-0.01\)،\(- \frac(7)(6)\)، أجب أيضًا عن أسئلة الأسئلة، لكنها لا تؤخذ بعين الاعتبار، لأن الجذر التربيعي يكون موجبًا دائمًا.

الخاصية الرئيسية للجذر

كما تعلمون، في الرياضيات، أي إجراء له معكوس. الجمع له طرح، والضرب له قسمة. معكوس التربيع هو أخذ الجذر التربيعي. ولذلك فإن هذه الإجراءات تعوض بعضها البعض:

\((\sqrt(a))^2=a\)

هذه هي الخاصية الرئيسية للجذر، والتي يتم استخدامها غالبًا (بما في ذلك في OGE)

مثال . (مهمة من OGE). أوجد قيمة التعبير \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

حل :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36) )=\فارك(4)(6)=\فارك(2)(3)\)

مثال . (مهمة من OGE). أوجد قيمة التعبير \((\sqrt(85)-1)^2\)

حل:

إجابة: \(86-2\sqrt(85)\)

بالطبع، عند العمل مع الجذور التربيعية، تحتاج إلى استخدام الآخرين.

مثال . (مهمة من OGE). أوجد قيمة التعبير \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
حل:

إجابة: \(220\)

4 قواعد ينساها الناس دائمًا

لا يتم استخراج الجذر دائمًا

مثال: \(\sqrt(2)\)،\(\sqrt(53)\)،\(\sqrt(200)\)،\(\sqrt(0,1)\)، إلخ. – استخراج جذر الرقم ليس ممكنًا دائمًا وهذا طبيعي!

جذر الرقم، وهو أيضًا رقم

ليست هناك حاجة للتعامل مع \(\sqrt(2)\)، \(\sqrt(53)\)، بأي طريقة خاصة. هذه أرقام، ولكنها ليست أعدادا صحيحة، نعم، ولكن ليس كل شيء في عالمنا يقاس بالأعداد الصحيحة.

يتم أخذ الجذر فقط من الأرقام غير السالبة

ولذلك، في الكتب المدرسية لن ترى مثل هذه الإدخالات \(\sqrt(-23)\)،\(\sqrt(-1)\)، وما إلى ذلك.

لنأخذ الرقم 9. تسعة مقسومة على 3 والنتيجة تساوي المقسوم عليه 3 => 9/3 = 3، أي 3.3 = 9 أو 3 2 = 9. لنأخذ رقمًا آخر، على سبيل المثال 27، 27 = 3.3.3 = 3 3. وهكذا اكتشفنا أن 9 و 27 هما في الواقع الرقم 3 مع قوى 2 و 3.

بشكل عام، الجذر الحسابي (المشار إليه فيما بعد بالجذر) هو دالة تقوم بإيجاد مقسوم على رقم، والذي، عند رفعه إلى قوة الجذر، يعطينا النتيجة مرة أخرى لهذا الرقم. في بعض الأحيان، لا يكون هذا المقسوم عليه عددًا نسبيًا. من حيث المبدأ، الجذر هو الدالة العكسية للأس. ولكن يمكن حتى أن تكون مكتوبة باستخدام درجة. إذن، في حالتنا، الجذر التربيعي لـ 9 هو 3، √9 والجذر التكعيبي لـ 27 هو 3 = 3 √ 27

إذا كان a عدد حقيقي موجب، فإن المعادلة x 2 = a لها حلان: x = +√ أأو س = -√ أ.

$\sqrt(x)$ = $\sqrt(x)$

إذا كان a عدد حقيقي، فإن المعادلة x 3 = a لها حل واحد فقط => x = 3√أ. يمكن حل المعادلات التربيعية والمكعبية باستخدام المعادلات المذكورة أعلاه. يمكن كتابة الجذر كدرجة باستخدام القاعدة المذكورة أعلاه:

$x^(\frac(m)(n))=\sqrt[n](x^m)=(\sqrt[n](x))^m$

صيغة الجذر الحسابي

لو ن حتى:
$\sqrt[n](x^n)=x$

لو ن غريب:
$\sqrt[n](x^n)=|x|$

مثال: $\sqrt(x^3)=x$، لكن $\sqrt(x^4)=|x|$

$\sqrt[n](a \cdot b)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$

دليل:دعونا نتناولها n√abوالتي تساوي (ab) 1/n، والتي، باستخدام الصيغة الأساسية للقوة، يمكن كتابتها بالشكل 1/n .b 1/n، أو ن √ أ ن √ ب

$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))$

دليل: ن √ أ/ب = (أ/ب) 1/نوالتي، باستخدام الصيغة الأساسية للدرجة، يمكن كتابتها بالشكل 1/n /b 1/n ، أو ن √ أ / ن √ ب

$\sqrt[n](\sqrt[m](a))=\sqrt(a)$

دليل:إن كان هناك ن√ m√aوهو يساوي ن √أ 1/م، والتي تساوي (a 1/m) 1/n والتي، باستخدام الصيغة الأساسية للدرجة، يمكن كتابتها كـ 1/(m.n) ، أو n . m√a