حل نظام من عدم المساواة مع حل مفصل. نظام عدم المساواة - الحل

نظام عدم المساواةمن المعتاد تسمية أي مجموعة من متباينتين أو أكثر تحتوي على كمية غير معروفة.

يتم توضيح هذه الصيغة بوضوح، على سبيل المثال، من خلال ما يلي أنظمة عدم المساواة:

حل نظام عدم المساواة - يعني العثور على جميع قيم المتغير المجهول الذي تتحقق عنده كل متباينة في النظام، أو تبرير عدم وجودها .

وهذا يعني أنه لكل فرد عدم المساواة في النظامنحسب المتغير المجهول. بعد ذلك، من القيم الناتجة، يختار فقط تلك الصحيحة لكل من المتباينتين الأولى والثانية. ولذلك، عند استبدال القيمة المحددة، تصبح كلا المتباينتين في النظام صحيحتين.

دعونا نلقي نظرة على حل العديد من عدم المساواة:

لنضع زوجًا من خطوط الأعداد واحدًا أسفل الآخر؛ ضع القيمة في الأعلى س، والتي التباين الأول حول ( س> 1) أصبح صحيحا، وفي الأسفل - القيمة X، والتي هي الحل للمتباينة الثانية ( X> 4).

من خلال مقارنة البيانات على خطوط الأرقاملاحظ أن الحل لكليهما عدم المساواةسوف X> 4. أجب، X> 4.

مثال 2.

حساب الأول عدم المساواةنحصل على -3 X< -6, или س> 2، الثانية - X> -8، أو X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X، حيث يتحقق الأول عدم المساواة في النظام، وإلى خط الأعداد السفلي، كل تلك القيم X، حيث يتحقق عدم المساواة الثانية في النظام.

وبمقارنة البيانات نجد أن كليهما عدم المساواةسيتم تنفيذها لجميع القيم X، مرتبة من 2 إلى 8. مجموعة قيم Xدل عدم المساواة المزدوجة 2 < X< 8.

مثال 3.سوف نجد

نظام عدم المساواة.
مثال 1. العثور على نطاق التعبير
حل.يجب أن يكون هناك عدد غير سالب تحت علامة الجذر التربيعي، مما يعني أنه يجب تحقيق متباينتين في وقت واحد: في مثل هذه الحالات، يقولون إن المشكلة تقتصر على حل نظام من عدم المساواة

لكننا لم نواجه بعد مثل هذا النموذج الرياضي (نظام عدم المساواة). وهذا يعني أننا لم نتمكن بعد من إكمال حل المثال.

يتم دمج المتباينات التي تشكل النظام بقوس متعرج (وينطبق الشيء نفسه على أنظمة المعادلات). على سبيل المثال، سجل

يعني أن المتباينتين 2x - 1 > 3 و 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

في بعض الأحيان يتم كتابة نظام عدم المساواة في شكل متباينة مزدوجة. على سبيل المثال، نظام عدم المساواة

يمكن كتابتها على أنها متباينة مزدوجة 3<2х-1<11.

في دورة الجبر للصف التاسع، سننظر فقط في الأنظمة التي تحتوي على متباينتين.

النظر في نظام عدم المساواة

يمكنك تحديد العديد من الحلول الخاصة بها، على سبيل المثال x = 3، x = 4، x = 3.5. في الواقع، بالنسبة لـ x = 3، تأخذ المتباينة الأولى الصورة 5 > 3، والمتباينة الثانية تأخذ الصورة 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

وفي الوقت نفسه، فإن القيمة x = 5 ليست حلاً لنظام المتباينات. عندما x = 5، تأخذ المتباينة الأولى الشكل 9 > 3 - وهي متباينة عددية صحيحة، والمتباينة الثانية تأخذ الشكل 13< 11- неверное числовое неравенство .
إن حل نظام من المتباينات يعني إيجاد جميع الحلول الخاصة به. من الواضح أن التخمين الموضح أعلاه ليس طريقة لحل نظام من المتباينات. في المثال التالي، سنوضح كيف يفكر الناس عادة عند حل نظام من المتباينات.

مثال 3.حل نظام عدم المساواة:

حل.

أ)لحل المتباينة الأولى للنظام، نجد 2x > 4, x > 2; وبحل المتباينة الثانية للنظام نجد 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
ب)لحل المتباينة الأولى للنظام، نجد x > 2؛ نجد حل المتباينة الثانية للنظام دعونا نضع علامة على هذه الفواصل الزمنية على خط إحداثي واحد، باستخدام الفقس العلوي للفاصل الزمني الأول، والفقس السفلي للثاني (الشكل 23). إن حل نظام المتباينات سيكون تقاطع حلول متباينات النظام، أي. الفاصل الزمني الذي تتزامن فيه كلا الفتحتين. في المثال قيد النظر نحصل على شعاع

الخامس)بحل المتباينة الأولى للنظام نجد x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

دعونا نعمم المنطق الذي تم تنفيذه في المثال قيد النظر. لنفترض أننا بحاجة إلى حل نظام عدم المساواة

لنفترض على سبيل المثال أن الفترة (a, b) تكون حلاً للمتباينة fx 2 > g(x)، والفترة (c, d) تكون حلاً للمتباينة f 2 (x) > s 2 (x) ). دعونا نضع علامة على هذه الفواصل الزمنية على خط إحداثي واحد، باستخدام الفقس العلوي للفاصل الزمني الأول، والفقس السفلي للثاني (الشكل 25). الحل لنظام عدم المساواة هو تقاطع الحلول لعدم المساواة في النظام، أي. الفاصل الزمني الذي يتزامن فيه كلا الفقس. في التين. 25 هي الفترة (ج، ب).

الآن يمكننا بسهولة حل نظام المتباينات الذي حصلنا عليه أعلاه في المثال 1:

لحل المتباينة الأولى للنظام، نجد x > 2؛ وبحل المتباينة الثانية للنظام نجد x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

وبطبيعة الحال، ليس من الضروري أن يتكون نظام عدم المساواة بالضرورة من متباينات خطية، كما كان الحال حتى الآن؛ يمكن أن تحدث أي تفاوتات عقلانية (وليست عقلانية فقط). من الناحية الفنية، فإن العمل مع نظام عدم المساواة العقلانية غير الخطية، بالطبع، أكثر تعقيدا، ولكن لا يوجد شيء جديد بشكل أساسي (مقارنة بأنظمة عدم المساواة الخطية) هنا.

مثال 4.حل نظام عدم المساواة

حل.

1) حل عدم المساواة لدينا
لنضع علامة على النقطتين -3 و3 على خط الأعداد (الشكل 27). يقسمون الخط إلى ثلاث فترات، وفي كل فاصل يحتفظ التعبير p(x) = (x- 3)(x + 3) بإشارة ثابتة - هذه العلامات موضحة في الشكل. 27. نحن مهتمون بالفترات التي تكون فيها المتباينة p(x) > 0 (مظللة في الشكل 27)، والنقاط التي تكون عندها المساواة p(x) = 0، أي. النقاط x = -3، x = 3 (تم تمييزها في الشكل 2 7 بدوائر داكنة). وهكذا، في الشكل. يعرض الشكل 27 نموذجًا هندسيًا لحل المتباينة الأولى.

2) حل عدم المساواة لدينا
لنضع علامة على النقطتين 0 و 5 على خط الأعداد (الشكل 28). يقسمون الخط إلى ثلاث فترات، وعلى كل فاصل التعبير<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (مظللة في الشكل 28)، والنقاط التي تتحقق عندها المساواة g (x) - O، أي. النقاط x = 0، x = 5 (تم تمييزها في الشكل 28 بدوائر داكنة). وهكذا، في الشكل. يعرض الشكل 28 نموذجًا هندسيًا لحل المتباينة الثانية للنظام.

3) دعونا نحدد الحلول التي تم العثور عليها للمتباينتين الأولى والثانية للنظام على نفس خط الإحداثيات، باستخدام التظليل العلوي لحلول المتباينة الأولى، والتظليل السفلي لحلول المتباينة الثانية (الشكل 29). سيكون حل نظام المتباينات هو تقاطع حلول متباينات النظام، أي. الفاصل الزمني الذي تتزامن فيه كلا الفتحتين. مثل هذا الفاصل الزمني هو قطعة.

مثال 5.حل نظام عدم المساواة:

حل:

أ)من المتباينة الأولى نجد x >2. دعونا ننظر في عدم المساواة الثانية. مثلث الحدود المربع x 2 + x + 2 ليس له جذور حقيقية، ومعامله الرئيسي (معامل x 2) موجب. هذا يعني أنه بالنسبة لجميع x فإن المتباينة x 2 + x + 2>0 صحيحة، وبالتالي فإن المتباينة الثانية في النظام ليس لها حلول. ماذا يعني هذا بالنسبة لنظام عدم المساواة؟ وهذا يعني أن النظام ليس لديه حلول.

ب)من المتباينة الأولى نجد x > 2، والمتباينة الثانية تنطبق على أي قيم x. ماذا يعني هذا بالنسبة لنظام عدم المساواة؟ هذا يعني أن حلها له الصيغة x>2، أي يتزامن مع حل المتباينة الأولى.

إجابة:

أ) لا توجد حلول؛ ب)س>2.

وهذا المثال هو توضيح لما يلي المفيد

1. إذا كان هناك نظام مكون من عدة متباينات بمتغير واحد، فإن متباينة واحدة ليس لها حلول، إذًا ليس لدى النظام حلول.

2. إذا كان في نظام مكون من متباينتين بمتغير واحد، يتم استيفاء متباينة واحدة لأي قيم للمتغير، فإن حل النظام هو حل المتباينة الثانية للنظام.

وفي ختام هذا القسم، دعونا نعود إلى مشكلة العدد المقصود الوارد في البداية ونحلها، كما يقولون، وفق جميع القواعد.

مثال 2(انظر ص29). والمقصود هو العدد الطبيعي. ومعلوم أنك إذا أضفت 13 إلى مربع العدد المقصود فإن المجموع سيكون أكبر من حاصل ضرب العدد المقصود والرقم 14. وإذا أضفت 45 إلى مربع العدد المقصود فإن المجموع سيكون يكون أقل من حاصل ضرب العدد المقصود والرقم 18. ما العدد المقصود؟

حل.

المرحلة الأولى. رسم نموذج رياضي .
العدد المقصود x، كما رأينا أعلاه، يجب أن يفي بنظام المتباينات

المرحلة الثانية. العمل مع النموذج الرياضي المترجم دعونا نحول عدم المساواة الأولى للنظام إلى النموذج
س2- 14س+ 13 > 0.

دعونا نجد جذور ثلاثية الحدود x 2 - 14x + 13: x 2 = 1، x 2 = 13. باستخدام القطع المكافئ y = x 2 - 14x + 13 (الشكل 30) نستنتج أن المتباينة التي نهتم بها هي راض في العاشر< 1 или x > 13.

دعونا نحول المتباينة الثانية للنظام إلى الصورة x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لكيفية حل نظام من المتباينات الخطية.

4x + 29 \end(array) \right.\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com)">!}

لحل النظام، تحتاج إلى كل من المتباينات المكونة له. فقط تم اتخاذ القرار بعدم الكتابة بشكل منفصل، ولكن معًا، والجمع بينهما بقوس مجعد.

في كل من متباينات النظام، نقوم بنقل المجهولات إلى جهة، والمعلومة إلى الجهة الأخرى بإشارة معاكسة:

Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

بعد التبسيط، يجب قسمة طرفي المتراجحة على الرقم الموجود أمام X. نقسم المتباينة الأولى على عدد موجب، حتى لا تتغير إشارة المتباينة. ونقسم المتباينة الثانية على عدد سالب، لذا يجب عكس علامة المتباينة:

Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

نحدد حل المتباينات على خطوط الأعداد:

وفي الإجابة على ذلك، نكتب تقاطع الحلول، أي الجزء الذي يوجد فيه تظليل على كلا الخطين.

الإجابة: x∈[-2;1).

في المتباينة الأولى، دعونا نتخلص من الكسر. للقيام بذلك، نضرب كلا الجزأين حدًا تلو الآخر في المقام المشترك الأصغر 2. عند الضرب بعدد موجب، لا تتغير علامة المتباينة.

في المتباينة الثانية نفتح الأقواس. حاصل ضرب مجموع التعبيرين والفرق بينهما يساوي الفرق بين مربعي هذين التعبيرين. على الجانب الأيمن يوجد مربع الفرق بين التعبيرين.

Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

ننقل المجهولات إلى جهة، والمعلومة إلى جهة أخرى بإشارة معاكسة ونبسط:

نقسم طرفي المتراجحة على الرقم الموجود أمام X. في المتباينة الأولى نقسم على عدد سالب، فتنعكس إشارة المتراجحة. وفي الثانية نقسم على عدد موجب لا تتغير علامة المتباينة:

Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

كلا المتباينتين لهما علامة "أقل من" (لا يهم أن تكون إحدى العلامتين "أقل من" بشكل صارم، والأخرى فضفاضة، "أقل من أو يساوي"). لا يمكننا تحديد كلا الحلين، ولكن استخدم القاعدة "". الأصغر هو 1، وبالتالي فإن النظام يقلل من عدم المساواة

نحدد حلها على خط الأعداد:

الإجابة: x∈(-∞;1).

فتح الأقواس. في عدم المساواة الأولى - . وهو يساوي مجموع مكعبات هذه التعبيرات.

وفي الثاني: حاصل ضرب مجموع التعبيرين والفرق بينهما، وهو ما يساوي الفرق بين المربعين. نظرًا لوجود علامة ناقص أمام الأقواس، فمن الأفضل فتحها على مرحلتين: استخدم الصيغة أولاً، وبعد ذلك فقط افتح الأقواس، مع تغيير إشارة كل حد إلى العكس.

نحرك المجهولات في اتجاه والمعلومات في الاتجاه الآخر بالإشارة المعاكسة:

Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

وكلاهما أعظم من العلامات. باستخدام قاعدة "أكثر من أكثر"، نقوم باختزال نظام المتباينات إلى متباينة واحدة. أكبر الرقمين هو 5، وبالتالي،

Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

نحدد حل المتباينة على خط الأعداد ونكتب الإجابة:

الإجابة: س∈(5;∞).

نظرًا لأن عدم المساواة الخطية في أنظمة الجبر لا تحدث فقط كمهام مستقلة، ولكن أيضًا أثناء حل أنواع مختلفة من المعادلات والمتباينات وما إلى ذلك، فمن المهم إتقان هذا الموضوع في الوقت المناسب.

في المرة القادمة سنلقي نظرة على أمثلة لحل أنظمة المتباينات الخطية في حالات خاصة عندما لا يكون لإحدى المتباينات حلول أو يكون حلها أي رقم.

التصنيف: |

هي أي مجموعة من متباينتين خطيتين أو أكثر تحتوي على نفس الكمية غير المعروفة

فيما يلي أمثلة على هذه الأنظمة:

الفاصل الزمني لتقاطع شعاعين هو الحل الذي لدينا. ولذلك، فإن الحل لهذا عدم المساواة هو كل شيء Xتقع بين اثنين وثمانية.

إجابة: X

يُطلق أحيانًا على استخدام هذا النوع من رسم الخرائط لحل نظام من عدم المساواة اسم طريقة السقف.

تعريف:تقاطع مجموعتين أو فيتسمى المجموعة الثالثة التي تضم جميع العناصر المتضمنة فيها أو في في. هذا هو معنى تقاطع مجموعات ذات طبيعة تعسفية. نحن الآن نفكر في المجموعات العددية بالتفصيل، لذلك عند العثور على عدم المساواة الخطية، فإن هذه المجموعات هي أشعة - ذات اتجاه مشترك، وعكس الاتجاه، وما إلى ذلك.

دعونا نكتشف ذلك على أرض الواقع أمثلةإيجاد أنظمة خطية لعدم المساواة، وكيفية تحديد تقاطعات مجموعات الحلول لعدم المساواة الفردية المدرجة في النظام.

دعونا نحسب نظام عدم المساواة:

لنضع خطين للقوة أحدهما تحت الآخر. في الأعلى سوف نرسم تلك القيم X،التي تلبي عدم المساواة الأولى س>7 وفي الأسفل - والتي تعمل كحل للمتباينة الثانية س>10 دعونا نقارن نتائج خطي الأعداد ونكتشف أن المتباينتين ستتحققان متى س>10.

الجواب: (10;+∞).

نحن نفعل ذلك عن طريق القياس مع العينة الأولى. على محور عدد معين، نرسم كل هذه القيم Xالذي يوجد له الأول عدم المساواة في النظاموعلى المحور العددي الثاني الموجود تحت الأول كل تلك القيم X، حيث يتم استيفاء عدم المساواة الثانية في النظام. دعونا نقارن هاتين النتيجتين ونحدد أن كلا المتباينتين ستتحققان في وقت واحد لجميع القيم Xيقع بين 7 و 10، مع مراعاة العلامات، نحصل على 7<× 10

الجواب: (7؛ 10).

يتم حل المشاكل التالية بطريقة مماثلة. أنظمة عدم المساواة.