الخطوط التي يتقاطع فيها مستويان متوازيان مع مستوى ثالث. توازي المستويات: الحالة والخصائص

أهداف الدرس:

• التعريف بمفهوم المستويات المتوازية.
• النظر في وإثبات النظريات التي تعبر عن إشارة توازي المستويات وخصائص المستويات المتوازية.
• تتبع تطبيق هذه النظريات في حل المسائل.

خطة الدرس (اكتبها على السبورة):

I. العمل الشفهي التحضيري.

ثانيا. تعلم مواد جديدة:

1. الموقع النسبي لطائرتين في الفضاء.
2. تحديد الطائرات المتوازية.
3. علامة الطائرات المتوازية.
4. خاصية الطائرات المتوازية.

ثالثا. ملخص الدرس.

رابعا. العمل في المنزل.

خلال الفصول الدراسية

1. العمل الشفهي

أود أن أبدأ الدرس باقتباس من رسالة تشاداييف الفلسفية:

"من أين تأتي هذه القوة المعجزة للتحليل في الرياضيات؟ والحقيقة هي أن العقل هنا يتصرف في خضوع كامل لهذه القاعدة.

وسننظر إلى هذه الطاعة للقاعدة في المهمة التالية. لتعلم مواد جديدة، تحتاج إلى تكرار بعض الأسئلة. للقيام بذلك، تحتاج إلى إنشاء عبارة تتبع هذه العبارات وتبرير إجابتك:

ثانيا. تعلم مواد جديدة

1. كيف يمكن وضع طائرتين في الفضاء؟ ما هي مجموعة النقاط التي تنتمي إلى كلا المستويين؟

إجابة:

أ) تزامن (ثم سنتعامل مع مستوى واحد، وهو غير مرض)؛
ب) تقاطع؛
ج) لا تتقاطع ( النقاط المشتركةبالطبع لا).

2. تعريف: إذا لم يتقاطع مستويان، يطلق عليهما متوازيان

3. تعيين:

4. أعط أمثلة على مستويات متوازية من البيئة

5. كيف يمكن معرفة ما إذا كانت هناك طائرتان متوازيتان في الفضاء؟

إجابة:

يمكنك استخدام التعريف، ولكن هذا غير مناسب، لأنه ليس من الممكن دائمًا تحديد تقاطع المستويات. ولذلك لا بد من اعتبار شرط كاف للتأكيد على أن المستويات متوازية.

6. دعونا نفكر في المواقف:

ب) إذا ?

ج) إذا ?

لماذا تكون الإجابة في أ) وب) "ليس دائمًا"، ولكن في ج) "نعم"؟ (الخطوط المتقاطعة تحدد المستوى بطريقة فريدة، مما يعني أنها محددة بشكل فريد!)

الوضع 3 هو علامة على التوازي بين طائرتين.

7. نظرية: إذا كان مستقيمان متقاطعان من مستوى ما متوازيين على التوالي مع مستقيمين من مستوى آخر، فإن هذين المستويين متوازيان.

منح:

يثبت:

دليل:

(يقوم الطلاب بتطبيق التسميات على الرسم.)

1. ملاحظة: . على نفس المنوال:
2. دع : .
3. لدينا: بالمثل:
4. نحصل على: من خلال M يوجد تناقض مع بديهية قياس التخطيط.
5. إذن: غير صحيح، يعني، إلخ.

8. حل رقم 51 (يطبق الطلاب الرموز على الرسم).

منح:

يثبت:

دليل:

1 الطريق

1. دعونا نبني

الطريقة 2

الدخول عبر .

9. دعونا نفكر في خاصيتين للمستويات المتوازية:

نظرية: إذا تقاطع مستويان متوازيان مع مستوى ثالث، فإن مستقيمي تقاطعهما متوازيان.

(يكمل الطلاب أنفسهم البناء ويضعون علامة عليه على الرسم).

منح:

دراسة علاقة توازي المستويات وخصائصها وتطبيقاتها.

تمثيل مرئي لموقع الاثنين

تعطي الطائرات النمذجة باستخدام مستويات أسطح الجدران المجاورة، وسقف وأرضية الغرفة، وأسرة بطابقين، ورقتين مثبتتين من الورق

السحرة، إلخ. (الشكل 242-244).

على الرغم من وجود مجموعة لا نهائيةخيارات الترتيب النسبي للمستويات المختلفة، لتحديد وتوصيف قياسات الزوايا والمسافات التي سيتم استخدامها في المستقبل، سنركز أولاً على تلك التي يعتمد التصنيف فيها (وكذلك الخطوط المستقيمة ذات المستويات) على عدد النقاط المشتركة بينهما.

1. طائرتان على الأقل ثلاثة مشتركةالنقاط التي لا تقع على نفس الخط. تتطابق هذه المستويات (البديهية C 2، §7).

2. تقع النقاط المشتركة لمستويين على خط مستقيم واحد، وهو خط تقاطع هذين المستويين (البديهية ج 3، §7). تتقاطع هذه الطائرات.

3. الطائرتان ليس لهما نقاط مشتركة.

في في هذه الحالة يتم استدعاؤهمموازي-

تسمى طائرتان متوازيتان إذا لم يكن لديهما نقاط مشتركة.

يُشار إلى توازي المستويات بالعلامة ||: α || ب.

كما هو الحال دائما، عند التقديم المفاهيم الهندسيةنشأت

لا توجد مشكلة في وجودهم. وجود تقاطعات-

طائرات شيا ميزة مميزةفضاء،

وقد استخدمنا هذا بالفعل عدة مرات. أقل وضوحا هو

تم الكشف عن وجود طائرات متوازية. لا يوجد

يشك في ذلك، على سبيل المثال، طائرات من الرسوم البيانية المعاكسة

المكعبان متوازيان، أي لا يتقاطعان. ولكن مباشرة

في الواقع، بحكم التعريف، لا يمكن إثبات ذلك. لحل

فهم السؤال المطروح، فضلا عن القضايا الأخرى المتعلقة

توازي المستويات، فمن الضروري أن يكون هناك علامة على التوازي.

للبحث عن علامة، من المستحسن أن تفكر في طائرة،

"منسوجة" من خطوط مستقيمة. ومن الواضح أن كل خط مستقيم هو واحد من

الطائرات المتوازية يجب أن تكون موازية للأخرى.

في خلاف ذلكسيكون للطائرات نقطة مشتركة. كافٍ

هل المستوى β موازي تمامًا لنفس الخط المستقيم α

بحيث تكون الطائرات α و β متوازية؟ قطعاً

لكن لا (تبرير هذا!). والتجربة العملية تظهر ذلك

يكفي وجود خطين متقاطعين من هذا القبيل. ليؤمن

يوجد على الصاري منصة موازية للأرض، فقط ضعها

على عارضتين متصلتين بالصاري بشكل متوازي
أرضي (الشكل 245). هناك أكثر من ذلك بكثير
أمثلة على استخدام تقنية التوفير هذه
التوازي بين الأسطح المسطحة الحقيقية
الكائنات (جرب هذا!).
الاعتبارات المذكورة أعلاه تسمح لنا بصياغة
lyrate البيان التالي.
		(علامة الطائرات المتوازية).
		تقاطع الخطوط المستقيمة لمستوى واحد

إذا كانت المستويات موازية للمستوى الثاني، فإن هذه المستويات متوازية.

 اجعل المستقيمين المتقاطعين a و b للمستوى α موازيين للمستوى β. دعونا نثبت أن المستويين α و β متوازيان بالتناقض. للقيام بذلك، لنفترض أن المستويين α و β يتقاطعان على طول خط مستقيم

ر (الشكل 246). لا يمكن للخطين a وb أن يتقاطعا مع الخطوط وفقًا للشرط. ومع ذلك، في المستوى α يتم رسم خطين مستقيمين من خلال نقطة واحدة لا تتقاطع مع الخط المستقيم، أي الموازي له. هذا تناقض

ويكمل إثبات النظرية.

يتم استخدام علامة التوازي للمستويات عند وضع الهياكل المسطحة أفقيًا (الألواح الخرسانية والأرضيات وقرص أجهزة قياس الزوايا وما إلى ذلك) باستخدام مستويين موضوعين في مستوى الهيكل على خطوط مستقيمة متقاطعة. بناءً على هذه الخاصية، من الممكن بناء مستوى موازٍ لهذا المستوى.

المشكلة 1. من خلال نقطة تقع خارج مستوى معين، ارسم مستوى موازيًا للمستوى المحدد.

 دع المستوى β ونقطة M خارج المستوى تعطى (الشكل 247، أ). لنرسم عبر النقطة M خطين متقاطعين a وb، موازيين للمستوى β. للقيام بذلك، عليك أن تأخذ خطين مستقيمين متقاطعين c و d في المستوى β (الشكل 247، ب). ثم من خلال النقطة M، ارسم الخطين a وb الموازيين للخطين c وd، على التوالي.

ولكن (الشكل 247، ج).

الخطوط المتقاطعة أ و ب بالتوازي مع المستوى β، بناءً على توازي الخط والمستوى (النظرية 1 §11). إنها تحدد المستوى α بشكل فريد. وفق المعيار المثبت α || ب.

مثال 1. بالنظر إلى المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , فإن النقاط M , N , P هي نقاط منتصف الحواف BC , B 1 C 1 , A 1 D 1 , على التوالي. ثَبَّتَ الترتيب المتبادلالطائرات: 1) ABV 1 وPNM؛ 2) NMA و A 1 C 1 C ; 3) 1 نانومتر

وجهاز الكمبيوتر 1 ج؛ 4) درهم 1 و DB 1 ج.

 1) المستويان ABB 1 وRNM (الشكل 248) متوازيان، بناءً على توازي المستويين (النظرية 1). في الواقع، يتقاطع الخطان РN وNM ويتوازيان مع المستوى ABB 1، استنادًا إلى توازي الخط والمستوى (النظرية 1 §11)، لأن القطع РN وNM تربط بين نقاط المنتصف الأطراف المقابلةالمربعات، بحيث تكون موازية لأضلاع المربعات:

РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.

2) تتقاطع المستويات NMA و A 1 C 1 C على طول الخط المستقيم AA 1 (الشكل 249). في الواقع، الخطان AA 1 و CC 1 متوازيان، بناءً على توازي الخطوط (AA 1 ||ВB 1,ВB 1 ||СC 1). ولذلك، فإن الخط المستقيم AA 1 يقع في المستوى A 1 C 1 C. إن انتماء الخط المستقيم AA 1 إلى المستوى NMA له ما يبرره بالمثل.

3) المستويان A 1 NM و РС 1 C (الشكل 250) متوازيان، بناءً على توازي المستويات. في الواقع، NM ||С 1 C . ولذلك، فإن الخط المستقيم NM يوازي المستوى PC 1 C. والقطعتان PC 1 و A 1 N متوازيتان أيضًا، نظرًا لأن الشكل الرباعي PC 1 NA 1 متوازي الأضلاع (A 1 P ||NC 1, A 1 P = نك 1). وبالتالي، فإن الخط A 1 N يوازي المستوى PC 1 C. ويتقاطع الخطان A 1 N وNM.

4) تتقاطع الطائرات MAD 1 وDB 1 C (الشكل 251). على الرغم من أنه ليس من السهل إنشاء خط تقاطعهما، إلا أنه ليس من الصعب الإشارة إلى نقطة واحدة من هذا الخط. في الواقع، الخطان A 1 D و B 1 C متوازيان، لأن الشكل الرباعي A 1 B 1 CD هو متوازي أضلاع (A 1 B 1 = AB = CD , A 1 B 1 || AB , AB || CD ). لذلك، ينتمي الخط A 1 D إلى المستوى DB 1 C. ويتقاطع الخطان A 1 D و AD 1 عند نقطة مشتركة بين المستويين MAD 1 و DB 1 C.

		علامة معينة من التوازي للطائرات
		في بعض الأحيان يكون أكثر ملاءمة للاستخدام بشكل مختلف قليلاً
	1′ (علامة المستويات المتوازية).

إذا كان مستقيمان متقاطعان من مستوى ما متوازيين على التوالي مع مستقيمين من مستوى آخر، فإن هذين المستويين متوازيان.

باستخدام معيار التوازي للخط والمستوى (النظرية 1 §11)، من السهل إثبات أن شرط النظرية 1 يتبع شروط النظرية 1. تطبيق النظرية العكسية على معيار التوازي لـ يكمل الخط والمستوى (النظرية 2 §11) مبرر تكافؤ شروط النظريتين 1 و 1 ′.

وبطبيعة الحال، يطرح السؤال حول تفرد البناء الوارد في المشكلة 1. وبما أنه سيتعين علينا استخدام هذه الخاصية أكثر من مرة، فسوف نسلط الضوء عليها كنظرية منفصلة. ومع ذلك، دعونا ننظر إلى بيان آخر أولا.

النظرية 2 (حول تقاطع طائرتين متوازيتين مع الثالثة).

إذا تقاطع مستويان متوازيان مع مستوى ثالث، فإن خطوط تقاطع المستويين تكون متوازية.

 دع المستويات المتوازية α و β والمستوى γ المتقاطع بينهما (الشكل 252). دعونا نشير إلى خطوط التقاطع

من خلال أ و ب. تقع هذه الخطوط في المستوى γ ولا تتقاطع، نظرًا لعدم وجود نقاط مشتركة بين المستويين α وβ. لذلك مباشرة

أ و ب متوازيان.

النظرية 3 (حول وجود وتفرد المستوى الموازي لهذا المستوى).

من خلال نقطة تقع خارج مستوى معين، يمكن رسم مستوى واحد موازٍ للمستوى المعطى.

 تم تنفيذ بناء مثل هذه الطائرة في المشكلة 1. وسوف نثبت تفرد البناء بالتناقض. لنفترض أن طائرتين مختلفتين α و γ يتم رسمهما عبر النقطة M، pa-

المستويات المتوازية β (الشكل 253)، والخط المستقيم t هو خط تقاطعهما. دعونا نرسم مستوى δ عبر النقطة M، متقاطعًا مع الخط

m والمستوى β (كيف يمكن القيام بذلك؟). دعونا نشير بـ a و b

خط تقاطع المستوي δ مع المستويين α و γ، ومن خلال c - خط تقاطع المستويين δ و β (الشكل 253). وفقا للنظرية 2،أ ||ج

و ب ||ق. أي في المستوى δ

يمر خطان مستقيمان موازيان لخطين مستقيمين بالنقطة M. والتناقض يدل على أن الافتراض غير صحيح.

تحتوي علاقة التوازي بين المستويات على عدد من الخصائص التي لها نظائرها في قياس المستويات.

النظرية 4 (على مقاطع الخطوط المتوازية بين الطائرات المتوازية).

أجزاء الخطوط المتوازية المقطوعة بمستويات متوازية متساوية مع بعضها البعض.

 دعونا نعطي طائرتين متوازيتين α و β وقطاعاتأ.ب

و CD من الخطوط المستقيمة المتوازية a و d، مقطوعة بهذه الطائرات (الشكل 254، أ). دعونا نرسم المستوى γ عبر الخطوط المستقيمة a و d (الشكل 254، ب). يتقاطع المستويان α و β على طول الخطوط المستقيمة AC و BD، والتي، وفقًا للنظرية 2، متوازية. ولذلك فإن الشكل الرباعي ABCD هو متوازي أضلاع، وضلعاه المتقابلان AC و BD متساويان.

ويترتب على الخاصية المذكورة أعلاه أنه إذا قمنا بالرسم من جميع نقاط المستوى

على جانب واحد من الطائرة خطوط متوازية نفس طول، فإن نهايات هذه الأجزاء تشكل طائرتين متوازيتين. على هذه الخاصية يعتمد بناء متوازي السطوح باستخدام ترسيب الأجزاء (الشكل 255).

النظرية 5 (حول العبورية لعلاقة التوازي بين المستويات).

إذا كان كل مستويين موازيين لمستوى ثالث، فإن المستويين متوازيان مع بعضهما البعض.

 اجعل المستويين α و β موازيين للمستوى γ. لنفترض ذلك

α و β ليسا متوازيين. ثم يكون للطائرتين α و β نقطة مشتركة، ومن خلال هذه النقطة يمر مستويان مختلفان موازيان للمستوى γ، وهو ما يتعارض مع النظرية 3. لذلك، فإن المستويين α و β ليس لهما نقاط مشتركة، أي أنهما متوازيان .

النظرية 5 هي علامة أخرى على توازي المستويات. يستخدم على نطاق واسع في كل من الهندسة و الأنشطة العملية. على سبيل المثال، في مبنى متعدد الطوابق، يضمن التوازي بين مستويات الأرضية والسقف في كل طابق توازيها في طوابق مختلفة.

المشكلة 2. أثبت أنه إذا كان الخط المستقيم يتقاطع مع المستوى α، فإنه يتقاطع أيضًا مع كل مستوى موازٍ للمستوى α.

 اجعل المستويين α و β متوازيين، والخط المستقيم a يتقاطع مع المستوى α عند النقطة A. دعونا نثبت أنه يتقاطع مع المستوى أيضًا

ب. لنفترض أن هذا ليس هو الحال. ثم الخط المستقيم a يوازي المستوى β. دعونا نرسم المستوى γ عبر الخط المستقيم و نقطة تعسفيةالطائرة β (الشكل 256).

يتقاطع هذا المستوى مع المستويين المتوازيين α و β على طول الخطوط المستقيمة b. شارك

وفقا للنظرية 2، ب || ج، أي في المستوى γ، يمر خطان a و b عبر النقطة A، بالتوازي مع الخط c . وهذا التناقض يثبت هذا القول.

حاول أن تثبت بنفسك أنه إذا كان المستوى α يتقاطع مع المستوى β، فإنه يتقاطع أيضًا مع كل مستوى موازٍ للمستوى β.

مثال 2. في رباعي السطوح ABCD، النقاط K، F، E هي نقاط منتصف الحواف DA، DC، DB، aM وP - مراكز كتلة الوجوه ABD وВСD، على التوالي.

1) تحديد الموقع النسبي للطائرات KEF وABC؛

دي أف و ABC.

2) إنشاء خط تقاطع طائرتي AFB و KEC.

3) أوجد مساحة المقطع العرضي لرباعي السطوح بمستوى موازٍ للمستوى ABD ويمر عبر النقطة P إذا كانت جميع حواف رباعي السطوح متساوية.

 لنقم بإنشاء رسم يستوفي الشرط (الشكل 257، أ). 1) المستويان KEF وABC متوازيان، بناءً على توازي المستويين (النظرية 1'): الخطان المتقاطعان KE وKF للمستوى KEF متوازيان مع الخطين المتقاطعين AB وAC للمستوى ABC (خطوط الوسط للمستوى المناظرة

المثلثات الموجودة).

يتقاطع المستويان DEF وABC على طول الخط المستقيم BC، نظرًا لأن الخط المستقيم BC ينتمي إلى كلا المستويين، ولا يمكن أن يتطابقا - النقاط A، B، C، D لا تقع في نفس المستوى.

2) يتقاطع المستوى AFB مع المستوى KEC على طول خط مستقيم يحتوي على النقطة P، نظرًا لأن الخطين CE وBF الواقعين في هذه المستويات يقعان في المستوى BCD ويتقاطعان عند النقطة P. نقطة أخرى هي نقطة تقاطع Q للخطوط المستقيمة AF و CK في المستوى ACD (الشكل 257، ب). من الواضح أن هذه النقطة هي مركز كتلة وجه ACD. التقاطع المطلوب هو الخط PQ.

3) أنشئ المقطع المحدد في الشرط باستخدام إشارة توازي المستويات. دعونا نرسم خطوطًا عبر النقطتين P وQ بالتوازي مع الخطين DB وDA، على التوالي (الشكل 257، ج). تتقاطع هذه الخطوط مع المقطع المضغوط عند النقطة L. يتبع الأخير خاصية مركز كتلة المثلث - فهو يقسم متوسطات المثلث بنسبة 2: 1، عد من الرأس. يبقى تطبيق نظرية طاليس. وبالتالي، فإن طائرات PLQ وBDA متوازية. القسم المطلوب هو المثلث LSN.

من خلال البناء، المثلثان BCD وSCL متشابهان مع معامل التشابه CE CP = 3 2. لذلك LS = 3 2 دينار بحريني . على غرار المنشأة

تضاف المعادلات التالية: LN =3 2 AD,NS =3 2 AB. ويترتب على ذلك أن المثلثين LSN وABD متشابهان بمعامل تشابه قدره 3 2. حسب خصائص مساحات المثلثات المتشابهة

S LNS = 4 9 S عبد . يبقى العثور على مساحة المثلث ABD. بواسطة-

نظرًا لأن جميع حواف رباعي السطوح تساوي a، فإن S ABD = 4 3 a 2.

المساحة المطلوبة هي 3 1 3 أ 2 .

ومن المناسب الإشارة إلى أن الإجابة تعتمد فقط على مساحة الوجه ABD. لذلك، فإن المساواة بين جميع الحواف ليست سوى وسيلة للعثور على هذه المنطقة. هكذا، هذه المهمةيمكن تعميمها بشكل كبير.

إجابة. 1)الكاف ||أي بي سي؛ 3)3 1 3 أ 2 .

 أسئلة الاختبار

1. هل صحيح أن المستويين يكونان متوازيين إذا كان كل مستقيم يقع في مستوى واحد يوازي المستوى الآخر؟

2. المستويان α و β متوازيان. هل توجد خطوط انحراف في هذه الطائرات؟

3. ضلعان في المثلث متوازيان لمستوى معين. هل الضلع الثالث من المثلث موازي لهذا المستوى؟

4. جانبان من متوازي الأضلاع متوازيان لمستوى معين. هل صحيح أن مستوى متوازي الأضلاع يوازي المستوى المعطى؟

5. هل يمكن أن تكون قطع الخطين المستقيمين المقطوعة بمستويات متوازية غير متساوية؟

6. هل يمكن أن يكون المقطع العرضي للمكعب شبه منحرف متساوي الساقين؟ هل يمكن أن يكون المقطع العرضي للمكعب البنتاغون العادي؟ هل صحيح أن المستويين الموازيين لنفس الخط متوازيان؟

خطوط تقاطع المستويين α و β مع المستوى γ متوازية مع بعضها البعض. هل المستويان α و β متوازيان؟

هل يمكن أن تكون ثلاثة وجوه للمكعب موازية لنفس المستوى؟

تمارين الرسم

1. يوضح الشكل 258 المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1، والنقاط M، N، K، L، P هي نقاط المنتصف للحواف المقابلة. املأ الجدول حسب المثال المعطى عن طريق التحديد الموقع المطلوبالطائرات α و β.

مشترك

موقع

α || β α = β

α × β α || β α = β

أ1 ب1 ج1			د 1 ك.ب
و شركة تطوير العقبة	و BB1 د	و حركة الأشخاص الطبيعيين	و بي إم إن
	ب 1 ك.ب	A1 DC1	أ1 ج1 ج
و PLN	و DMN	وAB1 ج	و MKP

2. في الشكل. 259 يُظهر رباعي السطوح ABCD، والنقاط K، F، M، N، Q هي نقاط المنتصف للحواف المقابلة. يرجى الإشارة إلى:

1) مستوى يمر عبر النقطة K موازياً للمستوى ABC؛

2) مستوى يمر عبر الخط BD الموازي للمستوى MNQ.

3. حدد قسم الشكل الذي يمر به المستوى عبر النقاط الثلاث المعطاة الموضحة في الشكل.

كاه 260، أ) – ه) و 261، أ) – د).

4. أنشئ رسمًا بناءً على البيانات المعطاة.

1) من رؤوس متوازي الأضلاع ABCD الواقع في أحد المستويين المتوازيين، يتم رسم خطوط متوازية تتقاطع مع المستوى الثاني عند النقاط A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , على التوالي.

2) المثلث A 1 B 1 C 1 هو إسقاط المثلث ABC على المستوى α الموازي له. النقطة M هي منتصف الشمس، M 1 هي إسقاط النقطة M على المستوى α.

207. في المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 النقاط O، O 1 هي مراكز الوجوه ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1، على التوالي، M هو منتصف الحافة AB.

1°) تحديد الموقع النسبي للطائرات MO 1 O

و ADD 1 و ABD 1 و CO 1 C 1.

2°) أنشئ نقطة تقاطع المستوي DCC 1 والخط المستقيم MO 1 وخط تقاطع المستويين MCC 1 و A 1 D 1 C 1.

3) أوجد مساحة مقطع المكعب بمستوى موازي للمستوى AD 1 C 1 ويمر بالنقطة O 1 إذا كانت حافة المكعب تساوي أ.

208. في رباعي السطوح ABCD، النقاط K، L، P هي مراكز كتلة الوجوه ABD، BDC، ABC، على التوالي، وaM هو منتصف الحافة AD.

1°) تحديد الموقع النسبي لطائرات ACD

وKLP، وMLK وABC.

2°) أنشئ نقطة تقاطع المستوى ABC مع الخط ML وخط تقاطع المستويين MKL و ABC.

3) أوجد مساحة المقطع العرضي لرباعي السطوح بواسطة مستوى يمر بالنقاط K وL وM الموازية للخط المستقيم AD، إذا كانت جميع حواف رباعي السطوح متساوية.

209. نظرا لمكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . النقاط L وM وM 1 هي نقاط منتصف الحواف AB وAD وA 1 D 1 على التوالي.

1°) تحديد الموقع النسبي للطائرات B 1 D 1 D

و LMM1.

2) أنشئ مستوى يمر بالنقطة M موازياً للمستوى ACC 1.

3) أنشئ مقطعًا من المكعب بمستوى يمر بالنقطة M 1 موازيًا للمستوى CDD 1.

4) تحديد الموقع النسبي للطائرات MA 1 B 1

و آلية التنمية النظيفة1.

5) إنشاء مستوى يمر عبر الخط C 1 D 1 الموازي للمستوى CDM 1.

210. في الهرم الرباعي المنتظم SABCD، جميع الحواف متساوية مع بعضها البعض. النقاط L وM وN هي نقاط المنتصف للحواف AS وBS وCS على التوالي.

1°) تحديد الموقع النسبي لـ: الخطوط المستقيمة LM وBC؛ الخط المستقيم LN والمستوى ABD؛ طائرات LMN وBDC.

2°) أثبت أن المثلثين ABC و LMN متشابهان.

3) إنشاء جزء من الهرم باستخدام المستوى AMN؛ الطائرة LMN؛ طائرةLBC.

4*) أي أجزاء الهرم التي تمر بالقمة S لها أكبر مساحة؟

توازي الخطوط والطائرات

في رباعي السطوح SABC جميع الوجوه موجودة مثلثات منتظمة. النقاط L وM وN هي نقاط المنتصف للحواف AS وBS وCS على التوالي. 1°) تحديد الموقع النسبي للخطوط المستقيمة LM وBC. 2°) تحديد الموقع النسبي للخط المستقيم LN والمستوى ABC.

3) أثبت أن المثلثين LMN و ABC متشابهان.

من رؤوس متوازي الأضلاع ABCD يقع في أحدها
طائرتان متوازيتان، مرسومة في أزواج متوازية
خطوط مستقيمة خطية تتقاطع مع المستوى الثاني المقابل
وتحديداً عند النقاط أ 1، ب 1، ج 1، د 1.
1°) أثبت أن الشكل الرباعي A 1 B 1 C 1 D 1 متوازي
2°) إثبات أن متوازي الأضلاع ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1
متساوون مع بعضهم البعض.
3°) تحديد الموقع النسبي للطائرات ABC 1
وDD1 C1.
4) ارسم المستوى 1 في منتصف القطعة AA
بحيث يتقاطع مع هذه الخطوط في النقاط التي هي
رؤوس متوازي الأضلاع تساوي متوازي الأضلاع
مو ABCD.
بالنظر إلى طائرتين متوازيتين ونقطة O، لا تنتمي إلى
الضغط على أي من هذه الطائرات وعدم الكذب بينها
هم. من النقطة O		يتم رسم ثلاثة أشعة تتقاطع مع المستوى
العظام على التوالي عند النقاط أ، ب، ج و أ 1، ب 1، ج 1 ولا تكذب
الكذب في نفس الطائرة.
1°) تحديد الموقع النسبي لهذه الطائرات
والطائرة التي تمر عبر نقاط المنتصف للقطاعات AA 1، BB 1، CC 1.
2) أوجد محيط المثلث A 1 B 1 C 1 ifOA = m،
AA 1 = n، AB = c، AC = b، BC = a.
المثلث أ 1 ب 1 ج 1 هو إسقاط المثلث ABC
على المستوى α الموازي له. النقطة م - منتصف المائة
ron BC ;M 1 - إسقاط النقطة M			على المستوى α. النقطة ن
يقسم الجانب AB		بنسبة 1:2.	الطائرة M 1 MN ومستقيمة
1) إنشاء نقطة التقاطع رقم 1
بلدي أ1 ب1 .
2) تحديد شكل الشكل الرباعي M 1 N 1 NM .
	M يقع خارج مستوى شبه المنحرف ABCB من القاعدة-
ميل م	وقبل الميلاد. إنشاء خط تقاطع الطائرات:
1°) القذائف المضادة للقذائف التسيارية وآلية التنمية النظيفة؛		2) تدابير بناء الثقة و ADM.

أنشئ مقطعًا من المكعب يكون: 1°) مثلث متساوي الاضلاع; 2) الخماسي.

217. أنشئ مقطعًا من رباعي الأسطح متوازي الأضلاع.

218 درجة. أثبت أن الأوجه المتقابلة لمتوازي السطوح متوازية.

219. إثبات أن مجموعة من جميع الخطوط التي تمر عبر هذه النقطةوموازيًا لمستوى معين، يشكل مستوى موازيًا للمستوى المعطى.

220. بالنظر إلى أربع نقاط A، B، C، D، لا تقع في نفس المستوى. أثبت أن كل مستوى موازي للخطين AB و CD يتقاطع مع الخطوط AC، AD، BD، BC عند رؤوس متوازي الأضلاع.

221. أثبت أن المستوى والخط الذي لا ينتمي إلى هذا المستوى يكونان متوازيين لبعضهما البعض إذا كانا كلاهما موازيين لنفس المستوى.

222. من خلال النقطة O من تقاطع أقطار المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 يتم رسم مستوى موازٍ للوجه ABCD. يتقاطع هذا المستوى مع الحافتين BB 1 وCC 1 عند النقطتين M وN على التوالي. أثبت أن الزاوية MON هي زاوية قائمة.

223. أثبت أن المستويين متوازيان إذا وفقط إذا كان كل خط مستقيم يتقاطع مع أحد المستويين يتقاطع مع الثاني أيضًا.

224*. في الهرم الثلاثي SABC، من خلال المقطعين AD وCE، حيث D هي نقطة المنتصف SB، وE هي نقطة المنتصف SA، ارسم أقسام الهرم الموازية لبعضها البعض.

225. البحث عن الأماكن الهندسية:

1) نقاط المنتصف لجميع الأجزاء التي تنتهي على بياناتين طائرات متوازية; 2*) نقاط المنتصف للقطاعات التي تنتهي على خطين متقاطعين محددين.

226*. الضلع AB للمثلث ABC الواقع في المستوى α يوازي المستوى β. مثلث متساوي الأضلاع 1 ب 1 ج 1 هو الإسقاط الموازيالمثلث ABC على المستوى β;AB = 5، BC = 6، AC = 9.

1) تحديد الموقع النسبي للخطوط المستقيمة AB و A 1 B 1،

قبل الميلاد وB1 C1، A1 C1 وAC.

2) أوجد مساحة المثلث أ 1 ب 1 ج 1.

227*. نظرا لخطين متقاطعين. أشر إلى مجموعة جميع النقاط في الفضاء التي يمكن من خلالها رسم خط يتقاطع مع كل خط من الخطين المعينين.

التعريف الأساسي

يتم استدعاء الطائرتين

متوازيان،

إذا لم يكن لديهم نقاط مشتركة.

البيانات الرئيسية

علامة التوازي - إذا كان خطان مستقيمان متقاطعان لمستوى واحد من المستوى متوازيين على التوالي لخطين مستقيمين من المستوى الثاني، فإن هذه المستويات

العظام متوازية.

نظرية التقاطع إذا تقاطع مستويان غير متوازيين متقاطعين بمستوى ثالث، فإن خطوط التقاطع الثالث للمستوى

فهي متوازية.

أ α,b α,a ×b ,c β,d β,a ||c ,b ||d α || ب

α || β, أ = γ∩α,ب = γ∩βa ||ب

م ألفا

β: α || β، م β

الاستعداد للموضوع

للتقييم حول موضوع "توازي الخطوط والطائرات"

مهام ضبط النفس

1. النقاط الأربع لا تنتمي إلى نفس المستوى. هل يمكن لثلاثة منها أن تقع على نفس الخط المستقيم؟

2. هل يمكن لثلاث طائرات مختلفة أن تشترك في نقطتين بالضبط؟

3. هل يمكن لخطين منحرفين أن يكونا موازيين لخط ثالث في نفس الوقت؟

4. هل صحيح أن على التوالي a و b ليسا متوازيين إذا لم يكن هناك مستقيم c موازي لـ a و b؟

5. هل يمكنهم شرائح متساويةلديك توقعات غير متكافئة؟

6. هل يمكن أن يكون الشعاع إسقاطًا موازيًا لخط ما؟

7. هل يمكن للمربع أن يكون صورة لمكعب؟

8. هل صحيح أنه من خلال نقطة معينة في الفضاء يمكن رسم مستوى واحد فقط موازيًا لمستقيم معين؟

9. هل من الممكن دائمًا رسم خط عبر نقطة معينة موازيًا لطائرتين محددتين لا تحتويان على هذه النقطة؟

10. هل من الممكن رسم مستويين متوازيين من خلال خطين متقاطعين؟

إجابات على مهام ضبط النفس

عينة الاختبار

يوجد متوازيا أضلاع ABCD وABC 1 D 1 في مستويين مختلفين.

1°) تحديد الموضع النسبي للخطوط المستقيمة CD وC 1 D 1.

2°) حدد الموضع النسبي للخط المستقيم C 1 D 1 والمستوى

3°) إنشاء خط تقاطع المستويين DD 1 C 1 و ВСС 1.

4°) تحديد الموقع النسبي للطائرات ADD 1 وBCC 1.

5) من خلال النقطة M، بتقسيم الجزء AB بنسبة 2:1، عد من النقطة A، ارسم مستوى α موازيًا للمستوى C 1 BC. 6) أنشئ نقطة تقاطع الخط المستقيم AC مع المستوى α وأوجد النسبة التي تقسم بها هذه النقطة القطعة AC.

		توازي الخطوط والطائرات
الموقع النسبي للخطوط في الفضاء
			الجدول 21
	عدد النقاط المشتركة
اثنان على الأقل
		تكمن في واحدة	لا تكذب في واحد
		طائرة	طائرة

الموقع النسبي للخطوط المستقيمة والطائرات في الفضاء

			الجدول 22
	عدد النقاط المشتركة
اثنان على الأقل		لا أحد

أ يكمن في α	ويتقاطع مع α	وأنا α - بالتوازي
(ألفا)	(أ × α)	نيويورك (أ || α)
الترتيب المتبادل للطائرات في الفضاء
		الجدول 23
	عدد النقاط المشتركة
ثلاثة على الأقل	واحد على الأقل، ولكن	لا أحد
لا يكذب على	لا توجد نقاط مشتركة ولا نقاش
خط مستقيم واحد	الضغط على خط مستقيم واحد

حساب المثاثات

لقد تعاملت بالفعل مع الدوال المثلثية في دروس الهندسة. حتى الآن، كانت تطبيقاتهم مقتصرة بشكل أساسي على حل المثلثات، أي أننا كنا نتحدث عن إيجاد بعض عناصر المثلث من عناصر أخرى. ومن المعروف من تاريخ الرياضيات أن ظهور علم المثلثات ارتبط بقياس الأطوال والزوايا. ومع ذلك، الآن المجال

ها التطبيقات أوسع بكثير مما كانت عليه في العصور القديمة.

كلمة "علم المثلثات" تأتي من اليونانية τριγωνον

(trigonon) – مثلث و μετρεω (metreo) – قياس، قياس-

أنا أنبح. حرفيا يعني قياس المثلثات.

في ينظم هذا الفصل المواد المعروفة لك بالفعل من دورة الهندسة، ويواصل الدراسة الدوال المثلثيةوتطبيقاتها لتوصيف العمليات المجمعة، على وجه الخصوص حركة دورانية, العمليات التذبذبيةوما إلى ذلك وهلم جرا.

تتعلق معظم تطبيقات علم المثلثات على وجه التحديد بالعمليات الدورية، أي العمليات التي تتكرر على فترات زمنية منتظمة. شروق الشمس وغروبها، تغير الفصول، دوران العجلة - هذه هي أبسط الأمثلة على هذه العمليات. الميكانيكية و الاهتزازات الكهرومغناطيسيةهي أيضًا أمثلة مهمة على العمليات الدورية. ولذلك فإن دراسة العمليات الدورية مهمة هامة. ودور الرياضيات في حلها حاسم.

الاستعداد لدراسة موضوع "الدوال المثلثية"

ومن المستحسن البدء بدراسة موضوع "الدوال المثلثية" من خلال مراجعة تعريفات وخصائص الدوال المثلثية لزوايا المثلثات وتطبيقاتها لحل المثلثات القائمة والتعسفية.

جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام للزوايا المستطيلة

مثلث

الجدول 24

جيب الزاوية الحادة هو النسبة الجانب المعاكسإلى الوتر:

الخطيئة α = أ ج .

جيب تمام الزاوية الحادة هو النسبة الساق المجاورةإلى الوتر:

cosα = ب ج .

ظل الزاوية الحادة هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور:

تيراغرام α = أ ب .

ظل التمام للزاوية الحادة هو نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل:

ctgα = أ ب .

جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام للزوايا من 0° إلى 180°

الجدول 25

الخطيئة α = ر ذ ; كوسα = ر س ;

تيراغرام α = س ص ; cotgα = س ذ.

(X;في) - إحداثيات النقطة أتقع في نصف الدائرة العلوية، α - الزاوية التي يشكلها نصف القطر الزراعة العضويةدائرة ذات محور X.

قيم الجيب، جيب التمام، الظل، ظل التمام

بعض الزوايا

الجدول 26

ركن ر

0°

90°

180°

خطيئة ر

كوس ر

tg ر

ctg ر

الدوال المثلثية

حل المثلثات التعسفية

الجدول 27

نظرية الجيب

تتناسب أضلاع المثلث مع جيب الزوايا المتقابلة:

خطيئة أα = خطيئة بβ = خطيئة جγ .

نظرية جيب التمام

مربع الجانب التعسفي للمثلث يساوي مجموع مربعي الجانبين الآخرين دون ضعف ناتج هذين الجانبين في جيب تمام الزاوية بينهما:

ج2 = أ2 + ب2 − 2 أبكوس γ ،ب2 = أ2 + ج2 − 2 تيار مترددكوس β , أ2 = ب2 + ج2 − 2 قبل الميلادكوس α .

مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب ضلعيه وجيب الزاوية بينهما:

س=1 2 أبخطيئةγ = 1 2 تيار مترددخطيئةβ = 1 2 قبل الميلادخطيئةα .

الهويات المثلثية الأساسية

)

الجدول 28

0 ° ≥ α ≥ 180 درجة

خطيئة 2 α + كوس 2 α = 1

0 ° ≥ α ≥ 180°، α ≠ 90°

1 +tgα = كوس2 α

0 ° < α < 180°

1 + ctg 2 α =

خطيئة 2 α

نظرا للمثلث اي بي سي,مع= 90 درجة، شمس=3 ,أ.ب= 2. ما يساوي

في ?

ب. 45 °.

في. 60 °.

أ. 30 °.

ز.من المستحيل الحساب بدون أدوات حاسوبية.

نظرا للمثلث

اي بي سي , مع

شمس= 3,

في= 60 درجة. ما يساوي

أ.ب ?

أ. 3

ب. 6.

3 .

بحسب هذه الأطراف مثلث قائميجد

جيب تمام الزاوية الأصغر: أ= 3,ب= 4,ج

أ. 0,8.

أي من القيم المعطاة لا يمكن أن تأخذ الانحراف

نوس زاوية حادة؟

7 − 1

7 2

أ.

5. قارن مجموع الجيوب زوايا حادةالمثلث الأيمن التعسفي (نشير إليه بـأ) مع واحد.

< 1. ب.أ= 1.

> 1. ز.من المستحيل المقارنة. ترتيب الأرقام ترتيباً تصاعدياً: أ= خطيئة 30°، ب= جتا 30°،

= تيراغرام 30 درجة.

< ب<ج.ب.أ<ج<ب

الدوال المثلثية

ما هي الزوايا الحادة التي يكون جيب التمام فيها أقل من جيب التمام؟

للجميع.

للصغار 45 درجة.

للكبيرة 45 درجة.

ز.ليس لأحد.

ما هو جتا يساوي؟

α، إذا كانت α زاوية حادة في مثلث مستطيل

مربع و خطيئةα =

12 .

طول ظل الشجرة 15 م، وتشكل أشعة الشمس زاوية

30° مع سطح الأرض. ما هو الارتفاع التقريبي؟

شجرة؟ حدد النتيجة الأكثر دقة.

ب. 13 م.

في. 7 م.

ما هي قيمة التعبير

1 − س2

في X= – 0,8?

ب. –0,6.

ز.≈ 1,34.

من الصيغة أ2 +ب2 =4 يعبر ب< 0 черезأ.

أ.ب=4 −أ2 .

ب.ب=أ2 −4 .

ب= −أ2

− 4 .

ب= −4 −أ2 .

نقطة أ

تقع في الربع الثالث على مسافة 3 من المحور Xو

على المسافة

10 من الأصل. ما هي الإحداثيات

لديه نقطة أ?

ب.(−1; 3).

في.(−1; −3).

ز.(−3; −1).

النقاط التالية

ينتمي

دائرة

س 2+ ذ 2

= 1?

ب.(0,5; 0,5).

. ز.

15. تحديد إحداثيات النقطةأمستلقياً على دائرة نصف قطرها 1 (انظر الشكل).

(−1; 0).ب.(1; 0).

(0; − 1). ز.(0; 1).أ.في.

سنتناول في هذا الدرس ثلاث خصائص للمستويات المتوازية: تقاطع مستويين متوازيين مع مستوى ثالث؛ حول المقاطع المتوازية المحصورة بين مستويات متوازية؛ وحول قطع جوانب الزاوية بمستويات متوازية. بعد ذلك، سوف نقوم بحل العديد من المسائل باستخدام هذه الخصائص.

الموضوع: توازي الخطوط والمستويات

درس: خواص المستويات المتوازية

إذا تقاطع مستويان متوازيان مع مستوى ثالث، فإن مستقيمي تقاطعهما متوازيان.

دليل

دع الطائرات المتوازية تعطى والمستوى الذي يتقاطع مع الطائرات وعلى طول خطوط مستقيمة أو بوفقًا لذلك (الشكل 1).

مباشر أو بتقع في نفس المستوى، أي في المستوى γ. دعونا نثبت أن الخطوط المستقيمة أو بلا تتقاطع.

إذا كان مستقيما أو بمتقاطع، أي سيكون له نقطة مشتركة، فإن هذه النقطة المشتركة ستنتمي إلى طائرتين و و، وهو أمر مستحيل، لأنهما متوازيان بشرط.

لذلك، على التوالي أو بمتوازيان، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

قطع الخطوط المتوازية الموجودة بين المستويات المتوازية متساوية.

دليل

دع الطائرات المتوازية والخطوط المتوازية تعطى أ.بو معدالتي تتقاطع مع هذه المستويات (الشكل 2). دعونا نثبت أن القطاعات أ.بو معدمتساوون.

خطين متوازيين أ.بو معدتشكيل طائرة واحدة γ, γ = أ.بدمع. المستوى γ يتقاطع مع مستويات متوازية وعلى خطوط متوازية (حسب الخاصية الأولى). لذلك فهو مستقيم تكييفو فيدموازي.

مباشر أ.بو معدمتوازيان أيضًا (حسب الحالة). إذن فهو شكل رباعي أ.بدمع- متوازي الأضلاع، لأن أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج.

من خصائص متوازي الأضلاع يترتب على ذلك الأجزاء أ.بو معدمتساويان، كما هو مطلوب لإثبات.

تقطع الطائرات المتوازية جوانب الزاوية إلى أجزاء متناسبة.

دليل

دعونا نحصل على المستويين المتوازيين اللذين يقطعان أضلاع الزاوية أ(تين. 3.). ومن الضروري إثبات ذلك.

طائرات متوازية ومقطعة بمستوى زاوية أ. لنسمي خط تقاطع مستوى الزاوية أوالطائرات - شمس،وخط تقاطع مستوى الزاوية أوالطائرات - ب1ج1. وفقا للخاصية الأولى، خطوط التقاطع شمسو ب1ج1موازي.

هكذا مثلثات اي بي سيو أ ب 1 ج 1مشابه. نحن نحصل:

3. الموقع الرياضي لفيتالي ستانيسلافوفيتش تسيجلني ()

4. مهرجان الأفكار التربوية "الدرس المفتوح" ()

1. نقطة عن- نقطة الوسط المشتركة لكل قطعة أأ 1، ب ب ​​1، س س 1، والتي لا تقع في نفس المستوى. اثبات أن الطائرات اي بي سيو أ1 ب1 ج1موازي.

2. أثبت أنه يمكن رسم مستويين متوازيين من خلال خطين منحرفين.

3. أثبت أن الخط الذي يتقاطع مع أحد المستويين المتوازيين يتقاطع مع المستوى الثاني أيضًا.

4. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام (المستويات الأساسية والمتخصصة) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة، مصححة وموسعة - م: منيموسين، 2008. - 288 ص: مريض.

المهام 6، 8، 9 ص 29

توازي الطائرات. إذا كان مستقيمان متقاطعان من مستوى ما متوازيين على التوالي مع مستقيمين متقاطعين من مستوى آخر، فإن هذين المستويين متوازيان.
دليل. يترك أو ب- بيانات الطائرة، أ 1و 2– خطوط مستقيمة في المستوى أ، متقاطعة عند النقطة A، ب 1و ب 2وبالتالي الخطوط الموازية لها في المستوى ب. لنفترض أن الطائرات أو بغير متوازيين، أي أنهما يتقاطعان على طول خط مستقيم ما مع. مستقيم أ 1 موازي للخط ب 1: يعني أنه موازي للمستوى نفسه ب(علامة التوازي بين الخط والمستوى). مستقيم أ 2 موازي للخط ب 2,هذا يعني أنه موازي للمستوى نفسه ب(علامة التوازي بين الخط والمستوى). مستقيم معينتمي إلى الطائرة أ، وهو ما يعني واحدًا على الأقل من الخطوط المستقيمة أ 1أو 2يتقاطع مع خط مع،أي أن لها نقطة مشتركة معها. ولكن على التوالي معينتمي أيضًا إلى الطائرة ب، وهو ما يعني تجاوز الخط مع،مستقيم أ 1أو 2يتقاطع مع الطائرة بوهو ما لا يمكن أن يكون، لأنهما مستقيمان أ 1و 2موازية للطائرة ب. ويترتب على ذلك أن الطائرات أو بلا يتقاطعان، أي أنهما متوازيان.

النظرية 1 . إذا تقاطع مستويان متوازيان في أثلاث، فإن خطوط التقاطع المستقيمة تكون متوازية.
دليل. يترك أو ب- طائرات متوازية، و ز - الطائرة التي تتقاطع معهم. طائرة أتتقاطع مع الطائرة ز في خط مستقيم أ.طائرة بتتقاطع مع الطائرة زفي خط مستقيم ب.خطوط التقاطع أو بتكمن في نفس الطائرة ز وبالتالي يمكن أن تكون خطوطًا متقاطعة أو متوازية. ولكن، ينتمون إلى طائرتين متوازيتين، لا يمكن أن يكون لديهم نقاط مشتركة. ولذلك فهي متوازية.

النظرية 2. قطع المستقيمات المتوازية المحصورة بين مستويين متوازيين متساوية.
دليل. يترك أو ب- طائرات متوازية، و أ و ب- خطوط متوازية تتقاطع معها. من خلال الخطوط المستقيمة أو بسوف نقوم بإجراء طائرة ز (هذه الخطوط متوازية، مما يعنيتعريف الطائرة، وواحد فقط). طائرة أتتقاطع مع الطائرة ز في خط مستقيم AB . طائرة بتتقاطع مع الطائرة زعلى طول الخط المستقيم SD، وفقا للنظرية السابقة، الخط المستقيم معبالتوازي مع الخط د. مباشر أ،ب،أ.ب و SD تنتمي إلى الطائرة زالشكل الرباعي الذي يحده هذه الخطوط هو متوازي أضلاع (أضلاعه المتقابلة متوازية). وبما أن هذا متوازي أضلاع، فإن أضلاعه المتقابلة متساوية، أي AD = BC

ه خاصية السلطة الفلسطينية الخطوط المتوازية تسمى متعديةتماثل:

• إذا كان المستقيمان a وb متوازيان مع المستقيم الثالث c، فإنهما متوازيان لنا لبعضنا البعض.

ولكن من الصعب إثبات هذه الخاصية في القياس المجسم. على المستوى، يجب أن تتقاطع الخطوط غير المتوازية، وبالتالي لا يمكن أن تكون موازية لخط ثالث في نفس الوقت (وإلا يتم انتهاك البديهية المتوازية). في المواليةفي الفضاء هناك غير متوازية وحجم الخطوط المنفصلةإذا كانوا يكمن في طائرات مختلفة. ويقال إن مثل هذه الخطوط المستقيمة تتقاطع.

في التين. 4 يظهر مكعب. الخطوط المستقيمة AB و BC متقاطعة، AB و CDمتوازيان، وAB وB مع هجن. في المستقبل، سوف نلجأ في كثير من الأحيان إلى مساعدة المكعب للتوضيحفرز مفاهيم وحقائق القياس المجسم. تم لصق المكعب الخاص بنا معًا من ستة وجوه مربعة. وعلى هذا سنستمد خصائصه الأخرى. على سبيل المثال، يمكننا القول أن المستقيم AB يوازي المستقيم Cد،لأن كلاهما موازيان للجانب المشترك للقرص المضغوطالمربعات التي تحملهم.

في القياس الفراغي، يتم أيضًا أخذ علاقة التوازي في الاعتبار بالنسبة للطائرات: طائرتانيكون المستقيم أو الخط والمستوى متوازيين إذا لم يكن بينهما نقاط مشتركة. من الملائم اعتبار الخط المستقيم والمستوى متوازيين حتى عندما يقعان في المستوى. بالنسبة للطائرات والخطوط المستقيمة، فإن النظريات التالية حول العبورية صالحة:

• إذا كان مستويان موازيان لمستوى ثالث، فإنهما متوازيان لبعضهما البعض.
• إذا كان الخط والمستوى متوازيين مع خط (أو مستوى)، فإنهما متوازيان لبعضهما البعض.

الحالة الخاصة الأكثر أهمية للنظرية الثانية هي علامة التوازي بين الخط والمستوى:

• يكون المستقيم موازيًا للمستوى إذا كان موازيًا لخط ما في هذا المستوى.

وهنا علامة على الطائرات المتوازية:

• إذا كان مستقيمان متقاطعان في مستوى ما متوازيين على التوالي مع مستقيمين متقاطعين في مستوى آخر، فإن المستويين متوازيان.

غالبًا ما يتم استخدام النظرية البسيطة التالية:

• الخطوط التي يتقاطع فيها مستويان متوازيان مع المستوى الثالث تكون متوازية مع بعضها البعض.

دعونا نلقي نظرة على المكعب مرة أخرى (الشكل 4). ومن علامة التوازي بين خط ومستوى يتبع، على سبيل المثال، ذلك الخط المستقيم A في موازي للمستوى ABCD (لأنه موازي للخط AB في هذا المستوى)، والأوجه المقابلة للمكعب، وخاصة A في مع د و ABCD، التوازي على أساس توازي المستويات: الخطوط المستقيمة أ ب وب مع في أحد وجهيه يوازي على التوالي الخطوط المستقيمة AB وBC في الوجه الآخر. ومثال أقل بساطة قليلا. المستوى الذي يحتوي على خطوط متوازية AA و س.س, تقاطع المستويين المتوازيين ABCD و A ب ج د على طول خطوط مستقيمة AC و A مع, وهذا يعني أن هذه الخطوط متوازية: وكذلك الخطوط المتوازية ب ج و أ D. وبالتالي، طائرات متوازية AB ج و أ DC متقاطعة مع المكعب في مثلثات.

ثالثا. صورة الأرقام المكانية.

هناك مثل هذه الهندسة القول المأثورإنه إغراءالقدرة على التفكير بشكل صحيح على رسم غير صحيح. والواقع أننا إذا عدنا إلىوبناء على المنطق أعلاه يتبين:

الفائدة الوحيدة التي حصلنا عليها من الرسم المصاحب للمكعب هي أنه وفر لنا بعض المساحة في الشرحتدوينات NI. يمكن تصويره بسهولة مثل الجسم في الشكل. 4، أنا، على الرغم من أنه من الواضح أن الشيء الممثل عليه ليس فقط مكعبًا، ولكنه أيضًا ليس متعدد السطوح. ومع ذلك، فإن القول المأثور أعلاه يحتوي فقط على جزء من الحقيقة. بعد كل شيء، قبل المناقشةتقديم دليل نهائي، يجب أن يكونيفكر. ولهذا عليك أن تتخيل بوضوح الشكل المحدد، والعلاقات بين عناصره. الرسم الجيد يساعد على تطوير مثل هذه الفكرة. وعلاوة على ذلك، كما سنرى، في القياس المجسم يمكن رسم ناجحلا يمكن أن تصبح مجرد مثال، ولكن الأساس لحل المشكلة.

فنان (أو بالأحرى فنان واقعي).يرسم مكعبنا بالطريقة التي نراها (الشكل 5، ب)، أي في المنظور، أو المركزيلا الإسقاط. مع إسقاط مركزي من النقطة O (مركز الإسقاط) على المستوى أ،يتم تمثيل النقطة العشوائية X بالنقطة X التي يتقاطع عندها الخط المستقيم OX (الشكل 6). يحافظ الإسقاط المركزي على الاستقامةالترتيب الخطي للنقاط، ولكن، كقاعدة عامة، يحول الخطوط المتوازية إلى تقاطعاتيتغير، ناهيك عن أنه يغير المسافات والزوايا. دراسة خصائصه فيأدى إلى ظهور قسم مهم من الهندسة (انظر مقال الهندسة الإسقاطية).

ولكن في الرسومات الهندسية يتم استخدام إسقاط مختلف. يمكننا القول أنه تم الحصول عليه من المركز المركزي عندما يتحرك المركز O بعيدًا إلى ما لا نهاية وتصبح الخطوط المستقيمة OX paموازي.

دعونا نختار المستوى a والخط المستقيم l الذي يتقاطع معه. دعونا نرسم خطًا مستقيمًا عبر النقطة X، paالموازي ل. النقطة X التي يلتقي عندها هذا الخط a هي إسقاط موازي لـ X على المستوى، a على طول الخط المستقيم l (الشكل 7). عنيتكون إسقاط الشكل من إسقاطات جميع نقاطه. في الهندسة، صورة الشكل هي إسقاطه الموازي.

على وجه التحديد، صورة خط مستقيمهل هو خط مستقيم أم (في حالات استثنائية)الشاي، عندما يكون الخط موازيا لاتجاه الإسقاط). هناك موازية في الصورة