إثبات الموضع النسبي للخط والدائرة. ورقة عمل في الهندسة "الموضع النسبي للخط والدائرة"

لنتذكر تعريفًا مهمًا - تعريف الدائرة]

تعريف:

الدائرة التي مركزها النقطة O ونصف قطرها R هي مجموعة جميع نقاط المستوى الواقعة على مسافة R من النقطة O.

دعونا ننتبه إلى حقيقة أن الدائرة عبارة عن مجموعة الجميعنقاط تلبي الحالة الموصوفة. لنلقي نظرة على مثال:

النقاط A، B، C، D للمربع متساوية البعد عن النقطة E، لكنها ليست دائرة (الشكل 1).

أرز. 1. الرسم التوضيحي على سبيل المثال

في هذه الحالة، يكون الشكل عبارة عن دائرة، حيث إنها عبارة عن مجموعة من النقاط متساوية البعد عن المركز.

إذا قمت بتوصيل أي نقطتين على دائرة، تحصل على وتر حساس. الوتر الذي يمر عبر المركز يسمى القطر.

ميغابايت - وتر. أب - القطر؛ MnB هو قوس، يتم التعاقد عليه بواسطة وتر MV؛

الزاوية تسمى المركزية .

النقطة O هي مركز الدائرة

أرز. 2. الرسم التوضيحي على سبيل المثال

وهكذا تذكرنا ما هي الدائرة وعناصرها الرئيسية. الآن دعنا ننتقل إلى النظر في الموضع النسبي للدائرة والخط المستقيم.

دائرة مركزها O ونصف قطرها r. الخط المستقيم P، المسافة من المركز إلى الخط المستقيم، أي عمودي على OM، تساوي d.

نفترض أن النقطة O لا تقع على الخط P.

إذا كانت لدينا دائرة وخط مستقيم، علينا إيجاد عدد النقاط المشتركة.

حالة 1 - المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أقل من نصف قطر الدائرة:

في الحالة الأولى، عندما تكون المسافة d أقل من نصف قطر الدائرة r، تقع النقطة M داخل الدائرة. من هذه النقطة سوف نقوم برسم جزأين - MA وMB، سيكون طولهما . نحن نعرف قيم r و d، d أقل من r، مما يعني أن التعبير موجود والنقطتان A و B موجودتان. وتقع هاتان النقطتان على خط مستقيم بالبناء. دعونا نتحقق مما إذا كانوا يكذبون على الدائرة. دعونا نحسب المسافة OA وOB باستخدام نظرية فيثاغورس:

أرز. 3. رسم توضيحي للحالة 1

المسافة من المركز إلى نقطتين تساوي نصف قطر الدائرة، وبذلك أثبتنا أن النقطتين A و B تنتميان إلى الدائرة.

إذن النقطتان A وB تنتميان إلى الخط بالبناء، تنتميان إلى الدائرة بما ثبت، فالدائرة والخط لهما نقطتان مشتركتان. دعونا نثبت أنه لا توجد نقاط أخرى (الشكل 4).

أرز. 4. الرسم التوضيحي للإثبات

للقيام بذلك، خذ نقطة عشوائية C على خط مستقيم وافترض أنها تقع على دائرة - المسافة OS = r. في هذه الحالة، المثلث متساوي الساقين ووسيطه ON، الذي لا يتطابق مع القطعة OM، هو الارتفاع. لقد حصلنا على تناقض: تم إسقاط خطين متعامدين من النقطة O على خط مستقيم.

وبالتالي، لا توجد نقاط مشتركة أخرى على الخط P مع الدائرة. لقد أثبتنا أنه في الحالة التي تكون فيها المسافة d أقل من نصف قطر الدائرة r، فإن الخط المستقيم والدائرة يشتركان في نقطتين فقط.

الحالة الثانية - المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم تساوي نصف قطر الدائرة (الشكل 5):

أرز. 5. رسم توضيحي للحالة 2

تذكر أن المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمودي، وفي هذه الحالة OH هو العمودي. وبما أن الطول OH يساوي نصف قطر الدائرة، فإن النقطة H تنتمي إلى الدائرة، وبالتالي فإن النقطة H مشتركة بين الخط والدائرة.

دعونا نثبت أنه لا توجد نقاط مشتركة أخرى. على النقيض من ذلك: لنفترض أن النقطة C على الخط تنتمي إلى الدائرة. في هذه الحالة، مسافة OS تساوي r، ومن ثم OS تساوي OH. لكن في المثلث القائم الزاوية، يكون الوتر OC أكبر من الضلع OH. حصلنا على التناقض. وبالتالي فإن الفرضية خاطئة، ولا توجد نقطة غير H مشتركة بين الخط والدائرة. لقد أثبتنا أنه في هذه الحالة هناك نقطة مشتركة واحدة فقط.

الحالة 3 - المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أكبر من نصف قطر الدائرة:

المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمودي. نرسم عموديًا من النقطة O إلى الخط P، ونحصل على النقطة H، التي لا تقع على الدائرة، لأن OH بشرط أكبر من نصف قطر الدائرة. دعونا نثبت أن أي نقطة أخرى على الخط لا تقع على الدائرة. يمكن رؤية ذلك بوضوح من المثلث القائم، الذي يكون الوتر OM أكبر من الضلع OH، وبالتالي أكبر من نصف قطر الدائرة، وبالتالي فإن النقطة M لا تنتمي إلى الدائرة، مثل أي نقطة أخرى على الخط. لقد أثبتنا أنه في هذه الحالة لا توجد نقاط مشتركة بين الدائرة والخط المستقيم (الشكل 6).

أرز. 6. رسم توضيحي للحالة 3

دعونا نفكر نظرية . لنفترض أن الخط المستقيم AB له نقطتان مشتركتان مع الدائرة (الشكل 7).

أرز. 7. توضيح للنظرية

لدينا وتر AB. النقطة H، حسب التقليد، هي منتصف الوتر AB وتقع على القطر CD.

مطلوب إثبات أنه في هذه الحالة يكون القطر عموديًا على الوتر.

دليل:

النظر في مثلث متساوي الساقين OAB، فهو متساوي الساقين لأن .

النقطة H، حسب التقليد، هي نقطة منتصف الوتر، وهو ما يعني نقطة منتصف متوسط ​​AB لمثلث متساوي الساقين. ونحن نعلم أن متوسط ​​المثلث متساوي الساقين عمودي على قاعدته، أي أنه الارتفاع: وبذلك ثبت أن القطر المار بمنتصف الوتر عمودي عليه.

عادل و نظرية العكس : إذا كان القطر عموديا على الوتر فإنه يمر بمنتصفه.

بالنظر إلى دائرة مركزها O وقطرها CD ووترها AB. ومعلوم أن القطر متعامد على الوتر، ومن الضروري إثبات أنه يمر بمنتصفه (الشكل 8).

أرز. 8. توضيح للنظرية

دليل:

النظر في مثلث متساوي الساقين OAB، فهو متساوي الساقين لأن . OH، وفقًا للاتفاقية، هو ارتفاع المثلث، نظرًا لأن القطر عمودي على الوتر. الارتفاع في المثلث متساوي الساقين هو الوسيط أيضًا، إذًا AN = HB، مما يعني أن النقطة H هي نقطة منتصف الوتر AB، مما يعني أنه ثبت أن القطر المتعامد على الوتر يمر بنقطة منتصفه.

يمكن تعميم النظرية المباشرة والعكسية على النحو التالي.

نظرية:

يكون القطر عموديًا على الوتر إذا وفقط إذا مر بنقطة منتصفه.

لذا، فقد تناولنا جميع حالات الموضع النسبي للخط والدائرة. في الدرس التالي سوف ننظر إلى مماس الدائرة.

فهرس

1. ألكساندروف أ.د. إلخ الهندسة الصف الثامن. - م: التربية، 2006.
2. بوتوزوف ف.ف.، كادومتسيف إس.بي.، براسولوف ف.ف. هندسة 8. - ماجستير: تربية، 2011.
3. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir S.M. الهندسة الصف الثامن. - م: فينتانا-غراف، 2009.

1. Edu.glavsprav.ru ().
2. Webmath.exponenta.ru ().
3. FMclass.ru ().

العمل في المنزل

المهمة 1. أوجد طولي قطعتين من الوتر الذي يقسمه قطر الدائرة، إذا كان طول الوتر 16 سم والقطر عمودي عليه.

المهمة 2. أشر إلى عدد النقاط المشتركة للخط والدائرة إذا:

أ) المسافة من الخط المستقيم إلى مركز الدائرة 6 سم، ونصف قطر الدائرة 6.05 سم؛

ب) المسافة من الخط المستقيم إلى مركز الدائرة 6.05 سم، ونصف قطر الدائرة 6 سم؛

ج) المسافة من الخط المستقيم إلى مركز الدائرة 8 سم، ونصف قطر الدائرة 16 سم.

المهمة 3. أوجد طول الوتر إذا كان القطر متعامدًا عليه، وكان أحد الأجزاء المقطوعة بقطر منه 2 سم.

لنتذكر تعريفًا مهمًا - تعريف الدائرة]

تعريف:

الدائرة التي مركزها النقطة O ونصف قطرها R هي مجموعة جميع نقاط المستوى الواقعة على مسافة R من النقطة O.

دعونا ننتبه إلى حقيقة أن الدائرة عبارة عن مجموعة الجميعنقاط تلبي الحالة الموصوفة. لنلقي نظرة على مثال:

النقاط A، B، C، D للمربع متساوية البعد عن النقطة E، لكنها ليست دائرة (الشكل 1).

أرز. 1. الرسم التوضيحي على سبيل المثال

في هذه الحالة، يكون الشكل عبارة عن دائرة، حيث إنها عبارة عن مجموعة من النقاط متساوية البعد عن المركز.

إذا قمت بتوصيل أي نقطتين على دائرة، تحصل على وتر حساس. الوتر الذي يمر عبر المركز يسمى القطر.

ميغابايت - وتر. أب - القطر؛ MnB هو قوس، يتم التعاقد عليه بواسطة وتر MV؛

الزاوية تسمى المركزية .

النقطة O هي مركز الدائرة

أرز. 2. الرسم التوضيحي على سبيل المثال

وهكذا تذكرنا ما هي الدائرة وعناصرها الرئيسية. الآن دعنا ننتقل إلى النظر في الموضع النسبي للدائرة والخط المستقيم.

دائرة مركزها O ونصف قطرها r. الخط المستقيم P، المسافة من المركز إلى الخط المستقيم، أي عمودي على OM، تساوي d.

نفترض أن النقطة O لا تقع على الخط P.

إذا كانت لدينا دائرة وخط مستقيم، علينا إيجاد عدد النقاط المشتركة.

حالة 1 - المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أقل من نصف قطر الدائرة:

في الحالة الأولى، عندما تكون المسافة d أقل من نصف قطر الدائرة r، تقع النقطة M داخل الدائرة. من هذه النقطة سوف نقوم برسم جزأين - MA وMB، سيكون طولهما . نحن نعرف قيم r و d، d أقل من r، مما يعني أن التعبير موجود والنقطتان A و B موجودتان. وتقع هاتان النقطتان على خط مستقيم بالبناء. دعونا نتحقق مما إذا كانوا يكذبون على الدائرة. دعونا نحسب المسافة OA وOB باستخدام نظرية فيثاغورس:

أرز. 3. رسم توضيحي للحالة 1

المسافة من المركز إلى نقطتين تساوي نصف قطر الدائرة، وبذلك أثبتنا أن النقطتين A و B تنتميان إلى الدائرة.

إذن النقطتان A وB تنتميان إلى الخط بالبناء، تنتميان إلى الدائرة بما ثبت، فالدائرة والخط لهما نقطتان مشتركتان. دعونا نثبت أنه لا توجد نقاط أخرى (الشكل 4).

أرز. 4. الرسم التوضيحي للإثبات

للقيام بذلك، خذ نقطة عشوائية C على خط مستقيم وافترض أنها تقع على دائرة - المسافة OS = r. في هذه الحالة، المثلث متساوي الساقين ووسيطه ON، الذي لا يتطابق مع القطعة OM، هو الارتفاع. لقد حصلنا على تناقض: تم إسقاط خطين متعامدين من النقطة O على خط مستقيم.

وبالتالي، لا توجد نقاط مشتركة أخرى على الخط P مع الدائرة. لقد أثبتنا أنه في الحالة التي تكون فيها المسافة d أقل من نصف قطر الدائرة r، فإن الخط المستقيم والدائرة يشتركان في نقطتين فقط.

الحالة الثانية - المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم تساوي نصف قطر الدائرة (الشكل 5):

أرز. 5. رسم توضيحي للحالة 2

تذكر أن المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمودي، وفي هذه الحالة OH هو العمودي. وبما أن الطول OH يساوي نصف قطر الدائرة، فإن النقطة H تنتمي إلى الدائرة، وبالتالي فإن النقطة H مشتركة بين الخط والدائرة.

دعونا نثبت أنه لا توجد نقاط مشتركة أخرى. على النقيض من ذلك: لنفترض أن النقطة C على الخط تنتمي إلى الدائرة. في هذه الحالة، مسافة OS تساوي r، ومن ثم OS تساوي OH. لكن في المثلث القائم الزاوية، يكون الوتر OC أكبر من الضلع OH. حصلنا على التناقض. وبالتالي فإن الفرضية خاطئة، ولا توجد نقطة غير H مشتركة بين الخط والدائرة. لقد أثبتنا أنه في هذه الحالة هناك نقطة مشتركة واحدة فقط.

الحالة 3 - المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أكبر من نصف قطر الدائرة:

المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمودي. نرسم عموديًا من النقطة O إلى الخط P، ونحصل على النقطة H، التي لا تقع على الدائرة، لأن OH بشرط أكبر من نصف قطر الدائرة. دعونا نثبت أن أي نقطة أخرى على الخط لا تقع على الدائرة. يمكن رؤية ذلك بوضوح من المثلث القائم، الذي يكون الوتر OM أكبر من الضلع OH، وبالتالي أكبر من نصف قطر الدائرة، وبالتالي فإن النقطة M لا تنتمي إلى الدائرة، مثل أي نقطة أخرى على الخط. لقد أثبتنا أنه في هذه الحالة لا توجد نقاط مشتركة بين الدائرة والخط المستقيم (الشكل 6).

أرز. 6. رسم توضيحي للحالة 3

دعونا نفكر نظرية . لنفترض أن الخط المستقيم AB له نقطتان مشتركتان مع الدائرة (الشكل 7).

أرز. 7. توضيح للنظرية

لدينا وتر AB. النقطة H، حسب التقليد، هي منتصف الوتر AB وتقع على القطر CD.

مطلوب إثبات أنه في هذه الحالة يكون القطر عموديًا على الوتر.

دليل:

النظر في مثلث متساوي الساقين OAB، فهو متساوي الساقين لأن .

النقطة H، حسب التقليد، هي نقطة منتصف الوتر، وهو ما يعني نقطة منتصف متوسط ​​AB لمثلث متساوي الساقين. ونحن نعلم أن متوسط ​​المثلث متساوي الساقين عمودي على قاعدته، أي أنه الارتفاع: وبذلك ثبت أن القطر المار بمنتصف الوتر عمودي عليه.

عادل و نظرية العكس : إذا كان القطر عموديا على الوتر فإنه يمر بمنتصفه.

بالنظر إلى دائرة مركزها O وقطرها CD ووترها AB. ومعلوم أن القطر متعامد على الوتر، ومن الضروري إثبات أنه يمر بمنتصفه (الشكل 8).

أرز. 8. توضيح للنظرية

دليل:

النظر في مثلث متساوي الساقين OAB، فهو متساوي الساقين لأن . OH، وفقًا للاتفاقية، هو ارتفاع المثلث، نظرًا لأن القطر عمودي على الوتر. الارتفاع في المثلث متساوي الساقين هو الوسيط أيضًا، إذًا AN = HB، مما يعني أن النقطة H هي نقطة منتصف الوتر AB، مما يعني أنه ثبت أن القطر المتعامد على الوتر يمر بنقطة منتصفه.

يمكن تعميم النظرية المباشرة والعكسية على النحو التالي.

نظرية:

يكون القطر عموديًا على الوتر إذا وفقط إذا مر بنقطة منتصفه.

لذا، فقد تناولنا جميع حالات الموضع النسبي للخط والدائرة. في الدرس التالي سوف ننظر إلى مماس الدائرة.

فهرس

1. ألكساندروف أ.د. إلخ الهندسة الصف الثامن. - م: التربية، 2006.
2. بوتوزوف ف.ف.، كادومتسيف إس.بي.، براسولوف ف.ف. هندسة 8. - ماجستير: تربية، 2011.
3. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir S.M. الهندسة الصف الثامن. - م: فينتانا-غراف، 2009.

1. Edu.glavsprav.ru ().
2. Webmath.exponenta.ru ().
3. FMclass.ru ().

العمل في المنزل

المهمة 1. أوجد طولي قطعتين من الوتر الذي يقسمه قطر الدائرة، إذا كان طول الوتر 16 سم والقطر عمودي عليه.

المهمة 2. أشر إلى عدد النقاط المشتركة للخط والدائرة إذا:

أ) المسافة من الخط المستقيم إلى مركز الدائرة 6 سم، ونصف قطر الدائرة 6.05 سم؛

ب) المسافة من الخط المستقيم إلى مركز الدائرة 6.05 سم، ونصف قطر الدائرة 6 سم؛

ج) المسافة من الخط المستقيم إلى مركز الدائرة 8 سم، ونصف قطر الدائرة 16 سم.

المهمة 3. أوجد طول الوتر إذا كان القطر متعامدًا عليه، وكان أحد الأجزاء المقطوعة بقطر منه 2 سم.

دائرة- شكل هندسي يتكون من جميع نقاط المستوى الواقعة على مسافة معينة من نقطة معينة.

وتسمى هذه النقطة (O). مركز الدائرة.
نصف قطر الدائرة- هذا هو الجزء الذي يربط المركز بأي نقطة في الدائرة. جميع أنصاف الأقطار لها نفس الطول (حسب التعريف).
وتر- القطعة التي تربط نقطتين على الدائرة. يسمى الوتر الذي يمر عبر مركز الدائرة قطر الدائرة. مركز الدائرة هو منتصف أي قطر.
أي نقطتين على الدائرة تقسمها إلى قسمين. ويسمى كل جزء من هذه الأجزاء قوس الدائرة. يسمى القوس نصف دائرةإذا كانت القطعة الواصلة بين طرفيها قطرا.
يُشار إلى طول نصف دائرة الوحدة بـ π .
مجموع قياسات درجات قوسين من دائرة ذات طرفين مشتركين يساوي 360 درجة.
يسمى الجزء من المستوى الذي تحيط به الدائرة في كل مكان.
القطاع الدائري- جزء من دائرة يحدها قوس ونصف قطرين يربطان طرفي القوس بمركز الدائرة. يسمى القوس الذي يحد القطاع قوس القطاع.
يتم استدعاء دائرتين لهما مركز مشترك متحدة المركز.
تسمى دائرتان متقاطعتان بزاوية قائمة متعامد.

الموضع النسبي للخط المستقيم والدائرة

1. إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أقل من نصف قطر الدائرة ( د)، فإن الخط المستقيم والدائرة لديهما نقطتان مشتركتان. في هذه الحالة يتم استدعاء الخط قاطعفيما يتعلق بالدائرة.
2. إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم تساوي نصف قطر الدائرة، فإن الخط المستقيم والدائرة لهما نقطة مشتركة واحدة فقط. هذا الخط يسمى مماس للدائرة، وتسمى النقطة المشتركة بينهما نقطة التماس بين الخط والدائرة.
3. إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أكبر من نصف قطر الدائرة، فالخط المستقيم والدائرة ليس لديهم نقاط مشتركة
.

الزوايا المركزية والمسجلة

الزاوية المركزيةهي زاوية رأسها يقع في مركز الدائرة.
زاوية مكتوبة- الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويتقاطع ضلعاها مع الدائرة.

نظرية الزاوية المنقوشة

تقاس الزاوية المحيطية بنصف القوس الذي تقع عليه.

• النتيجة الطبيعية 1.
  الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس متساوية.


• النتيجة الطبيعية 2.
  الزاوية المحيطية التي يقابلها نصف دائرة هي زاوية قائمة.

نظرية حاصل ضرب شرائح الأوتار المتقاطعة.

إذا تقاطع وتران من دائرة، فإن حاصل ضرب قطعتي الوتر الواحد يساوي حاصل ضرب قطعتي الوتر الآخر.

الصيغ الأساسية

• محيط:

ج = 2∙π∙R

• طول القوس الدائري:

ص = С/(2∙π) = د/2

• قطر الدائرة:

D = C/π = 2∙R

• طول القوس الدائري:

ل = (π∙R) / 180∙α,
أين α - قياس درجة طول القوس الدائري)

• مساحة الدائرة:

S = π∙R 2

• مساحة القطاع الدائري :

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

معادلة الدائرة

• في نظام الإحداثيات المستطيل، معادلة الدائرة ذات نصف القطر هي صتتمركز في نقطة ما ج(x o;y o) له الشكل:

(س - س س) 2 + (ص - ص س) 2 = ص 2

• معادلة دائرة نصف قطرها r ومركزها عند نقطة الأصل لها الشكل:

س 2 + ص 2 = ص 2

ورقة الدراسة

حول موضوع "الموضع النسبي للخط والدائرة. الموقع النسبي لدائرتين"

(3 ساعات)

يعرف:		يكون قادرا على:
شروط الموضع النسبي للخط المستقيم والدائرة؛ تحديد القاطع والمماس للدائرة؛ خصائص مماس الدائرة؛ نظرية تعامد القطر والوتر وعكسه؛ شروط الموضع النسبي لدائرتين؛ تعريف الدوائر متحدة المركز.		ارسم مماسًا للدائرة؛ استخدام خصائص الظل عند حل المسائل؛ حل المسائل باستخدام نظرية عمودي القطر والوتر؛ حل المسائل المتعلقة بشروط الموضع النسبي لخط ودائرة ودائرتين.

نتيجة لدراسة الموضوع تحتاج إلى:

الأدب:

2. الهندسة. الصف السابع. ، . ألماتي "أتامورا". 2012

3. الهندسة. الصف السابع. دليل منهجي. . ألماتي "أتامورا". 2012

4. الهندسة. الصف السابع. المادة التعليمية. . ألماتي "أتامورا". 2012

5. الهندسة. الصف السابع. مجموعة من المهام والتمارين. ، . ألماتي "أتامورا". 2012

طلب العلم شجاعة

وتكثيرهم هو الحكمة،

وتطبيقها بمهارة هو فن عظيم.

تذكر أنك بحاجة إلى العمل وفقًا للخوارزمية.

لا تنسَ إجراء الفحص، وتدوين الملاحظات على الهوامش، وملء ورقة تقييم الموضوع.

من فضلك لا تترك أي أسئلة لديك دون إجابة.

كن موضوعيًا أثناء مراجعة النظراء، فهذا سيساعدك أنت والشخص الذي تقوم بمراجعته.

أتمنى لك النجاح!

التمرين 1

1) النظر فيالموضع النسبي للخط المستقيم والدائرة واملأ الجدول (3ب):

حالة 1: الخط المستقيم ليس له نقطة مشتركة واحدة مع الدائرة (لا يتقاطع)

أ https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width="41" height="20">

الحالة 2 : الخط المستقيم والدائرة لهما نقطة مشتركة واحدة فقط (يتلامسان)

https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width="41" height="20">

الحالة 3: الخط المستقيم له نقطتان مشتركتان مع الدائرة (التقاطع)

https://pandia.ru/text/80/248/images/image005_61.gif" width="45" height="17">

2) اقرأ التعاريف والنظريات والنتائج الطبيعية وتعلمها (5ب):

تعريف: يسمى الخط المستقيم الذي يشترك في نقطتين مع الدائرة قاطع

تعريف : يسمى الخط المستقيم الذي له نقطة مشتركة مع الدائرة ويكون عمودي على نصف القطر مماس للدائرة.

https://pandia.ru/text/80/248/images/image007_19.jpg" محاذاة = "left" width = "127" height = "114 src = "> النتيجة الطبيعية 4: إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أكبر من نصف قطر الدائرة، فإن الخط المستقيم لا يتقاطع مع الدائرة.

النظرية 4:

قطع مماسات الدائرة المرسومة من نقطة واحدة متساوية وتشكل زوايا متساوية ويمر بها خط مستقيم بهذه النقطة ومركز الدائرة.

3) الإجابة على الأسئلة (3ب):

1) كيف يمكن تحديد موقع الخط المستقيم والدائرة في المستوى؟

2) هل يمكن أن يكون للخط المستقيم ثلاث نقاط مشتركة مع الدائرة؟

3) كيف ترسم مماس لدائرة من خلال نقطة تقع على الدائرة؟

4) ما عدد المماسات التي يمكن رسمها لدائرة عبر نقطة ما:

أ) ملقاة على دائرة؛

ب) الكذب داخل الدائرة؛

ج) الكذب خارج الدائرة؟

5) بالنظر إلى الدائرة ω (O; r) ونقطة A تقع داخل الدائرة. كم عدد نقاط التقاطع ستكون: أ) خط مستقيم OA؛ ب) شعاع الزراعة العضوية. ج) الجزء الزراعة العضوية؟

6) كيف يمكن تقسيم وتر الدائرة إلى نصفين؟

تمرير الاختيار رقم 1

المهمة 2

1) اقرأ النص وانظر إلى الصور. قم بعمل رسومات في دفتر ملاحظاتك، واكتب استنتاجاتك وتعلمها (3ب):

دعونا نفكر في الحالات المحتملة للترتيب المتبادل لدائرتين. يرتبط الموقع النسبي لدائرتين بالمسافة بين مركزيهما.

الدوائر المتقاطعة: دائرتين تتقاطع،إذا كان لديهم نقطتان مشتركتان.يترك ر1 و R2 - أنصاف الدوائر ω 1 و ω 2 , د الدوائر ω1 و ω2 تتقاطع إذا وفقط إذا كانت الأرقام ر1, ر 2, د هي أطوال أضلاع مثلث معين، أي أنها تحقق جميع متباينات المثلث:

ر1 + R2> د, ر1+ د> R2, ر 2 + د> ر1.

خاتمة:لو ر1 + R2> د أو|ر1−R2| < د، ثم تتقاطع الدائرتان عند نقطتين.

الدوائر المماسية: دائرتين هَم،إذا كان لديهم نقطة مشتركة واحدة.لديك ظل مشترك أ. يترك ر1 و R2 - أنصاف الدوائر ω 1 و ω 2 , د – المسافة بين مراكزها .

لمس الدوائر خارجيا، إذا كانوا موجودين خارج بعضها البعض. عند التلامس خارجيًا، تقع مراكز الدوائر على جوانب متقابلة من مماسهم المشترك. الدوائر ω1 و ω2 المس خارجيًا إذا وفقط إذا ر1+ R2= د.

لمس الدوائر داخلياإذا كان أحدهما موجودًا داخل الآخر. عند التلامس خارجيًا، تقع مراكز الدوائر على أحد جانبي مماسهم المشترك. الدوائر ω1 و ω2 المس داخليًا إذا وفقط إذا |ر1−R2|=د.

خاتمة:لو ر1 + R2 = د أو|ر1−R2|=د ، ثم تتلامس الدوائر عند نقطة واحدة مشتركة تقع على خط يمر عبر مراكز الدوائر.

دوائر متفرقة:دائرتين لا تتقاطع، اذا هم ليس لديهم نقاط مشتركة. وفي هذه الحالة يقع أحدهما داخل الآخر، أو يقع كل منهما خارج الآخر.

يترك ر1 و R2 - أنصاف الدوائر ω 1 و ω 2 , د – المسافة بين مراكزها .

دائرة ω 1 و ω2 تقع خارج بعضها البعض إذا وفقط إذا ر1 + R2 < د . دائرة ω1يكمن في الداخل ω2ثم وفقط عندما |ر1−R2| > د .

خاتمة:لو ر1 + R2< د أو|ر1−R2| > د، ثم لا تتقاطع الدوائر.

اختبار العمل" href="/text/category/proverochnie_raboti/" rel="bookmark">اختبار العمل رقم 1.

المهمة 4

1) قرر ما إذا كنت ستختار المسائل الزوجية أو الفردية (2ب):

1. حدد عدد النقاط المشتركة للخط والدائرة إذا:

أ) المسافة من الخط المستقيم إلى مركز الدائرة 6 سم، ونصف قطر الدائرة 7 سم؛

ب) المسافة من الخط المستقيم إلى مركز الدائرة 7 سم، ونصف قطر الدائرة 6 سم؛

ج) المسافة من الخط المستقيم إلى مركز الدائرة 8 سم، ونصف قطر الدائرة 8 سم.

2. حدد الموضع النسبي للخط والدائرة إذا:

1. ص = 16 سم، د = 12 سم؛ 2. ص=8 سم، د=1.2 دسم؛ 3. ص = 5 سم، د = 50 مم

3. ما هو الموقع النسبي للدوائر إذا:

د = 1dm، R1 = 0.8dm، R2 = 0.2dm

د = 40 سم، R1 = 110 سم، R2 = 70 سم

د = 12 سم، R1 = 5 سم، R2 = 3 سم

د = 15 دسم، R1 = 10 دسم، R2 = 22 سم

4. حدد عدد نقاط تفاعل دائرتين حسب نصف القطر والمسافة بين المراكز:

أ) R = 4 سم، r = 3 سم، OO1 = 9 سم؛ ب) R = 10 سم، r = 5 سم، ОО1 = 4 سم

ج) R = 4 سم، ص = 3 سم، OO1 = 6 سم؛ د) R = 9 سم، r = 7 سم، OO1 = 4 سم.

1. أوجد طولي قطعتي الوتر التي ينقسم إليها قطر دائرته إذا كان طول الوتر 16 سم والقطر عمودي عليه.

2. أوجد طول الوتر إذا كان القطر متعامداً عليه، وكان أحد القطع المقطوعة بالقطر منه 2 سم.

3) أكمل اختيار مهام البناء الزوجية أو الفردية (2ب):

1. أنشئ دائرتين نصف قطرهما 2 سم و 4 سم والمسافة بين مركزيهما صفر.

2. ارسم دائرتين بأقطار مختلفة (3 سم و 2 سم) بحيث تتلامسان. قم بتمييز المسافة بين مراكزها بقطعة مستقيمة. النظر في الخيارات المتاحة أمامك.

3. أنشئ دائرة نصف قطرها 3 سم وخط مستقيم يقع على مسافة 4 سم من مركز الدائرة.

4. أنشئ دائرة نصف قطرها 4 سم وخط مستقيم يقع على مسافة 2 سم من مركز الدائرة.

تمرير الاختيار رقم 4

المهمة 5

أحسنت! يمكنك البدء اختبار العمل رقم 2.

المهمة 6

1) ابحث عن خطأ في العبارة وقم بتصحيحه مع تبرير رأيك. اختر أي عبارتين (4ب): أ) تتلامس دائرتان خارجيًا. أنصاف أقطارها تساوي R = 8 سم و r = 2 سم، والمسافة بين المراكز هي d = 6.
ب) دائرتان تشتركان في ثلاث نقاط على الأقل.
ب) R = 4، r = 3، d = 5. لا تحتوي الدوائر على نقاط مشتركة.
د) R = 8، r = 6، d = 4. الدائرة الأصغر تقع داخل الدائرة الأكبر.
د) لا يمكن وضع دائرتين بحيث تكون إحداهما داخل الأخرى.

2) قرر ما إذا كنت تريد اختيار المسائل الزوجية أو الفردية (66.):

1. دائرتان تلمسان بعضهما البعض. نصف قطر الدائرة الكبرى 19 سم، ونصف قطر الدائرة الصغيرة أقل 4 سم.

2. دائرتان تلمسان بعضهما البعض. يبلغ نصف قطر الدائرة الكبرى 26 سم، ونصف قطر الدائرة الصغيرة أصغر مرتين. أوجد المسافة بين مراكز الدوائر.

3. خذ نقطتين دو Fلهذا السبب. مدافع = 6 سم. ارسم دائرتين (د، 2 سم)و (و، 3 سم).كيف تقع هاتان الدائرتان بالنسبة لبعضهما البعض؟ استخلاص النتائج.

4. المسافة بين النقاط أو فييساوي 7 سمارسم دوائر مركزها نقاط أو في، نصف القطر يساوي 3 سمو 4 سم. كيف يتم ترتيب الدوائر؟ استخلاص النتائج.

5. بين دائرتين متحدة المركز نصف قطرهما 4 سم و 8 سم، توضع دائرة ثالثة بحيث تلامس الدائرتين الأوليين. ما هو نصف قطر هذه الدائرة؟

6. الدوائر التي يبلغ نصف قطرها 6 سم و 2 سم متقاطعة. علاوة على ذلك، فإن الدائرة الأكبر تمر بمركز الدائرة الأصغر. أوجد المسافة بين مراكز الدوائر.

اجتياز الاختبار رقم 6

اختبار العمل رقم 1

اختر أحد خيارات الاختبار وحل (10 أسئلة، نقطة واحدة لكل منها):

1 خيار أ) وتر. ب) القطر؛ ج) القاطع. د) الظل. 2. من خلال نقطة تقع على دائرة يمكن رسم …….. مماسات واحد؛ ب) اثنان؛ 3. إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أقل من طول نصف قطر الدائرة فإن الخط المستقيم... د) لا توجد إجابة صحيحة. 4. إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أكبر من نصف قطر الدائرة فإن الخط المستقيم... أ) يلمس الدائرة عند نقطة واحدة؛ ب) يتقاطع مع الدائرة عند نقطتين. ج) لا يتقاطع مع الدائرة؛ د) لا توجد إجابة صحيحة. 5. لا تتقاطع الدوائر أو تتلامس إذا... أ) ر1+ R2= د; في) ر1+ R2< د; مع) ر1+ R2> د; د) د = 0. 6. رسم المماس ونصف القطر عند نقطة التماس... أ) بالتوازي. ب) عمودي. ج) يتزامن؛ د) لا توجد إجابة صحيحة. 7. الدوائر تلمس خارجيا. نصف قطر الدائرة الصغرى 3 سم، ونصف قطر الدائرة الكبرى 5 سم. 8. ما هو الموقع النسبي لدائرتين إذا كانت المسافة بين المركزين 4 ونصف القطر 11 و 7: 9. ماذا يمكن أن يقال عن الموضع النسبي للخط المستقيم والدائرة إذا كان قطر الدائرة 7.2 سم والمسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم 0.4 ديسيمتر: 10. بالنظر إلى دائرة مركزها O والنقطة A. أين تقع النقطة A إذا كان نصف قطر الدائرة 7 سم وطول القطعة OA 70 مم؟ أ) داخل الدائرة؛ ب) على شكل دائرة. ج) خارج الدائرة؛ د) لا توجد إجابة صحيحة.

الخيار 2 1. الخط المستقيم الذي له نقطة مشتركة واحدة فقط مع الدائرة ويكون عمودياً على نصف القطر يسمى... أ) وتر. ب) القطر؛ ج) القاطع. د) الظل. 2. من نقطة غير واقعة على الدائرة، يمكنك رسم ...... مماسات للدائرة واحد؛ ب) اثنان؛ ج) لا شيء؛ د) لا توجد إجابة صحيحة. 3. إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم تساوي نصف قطر الدائرة فإن الخط المستقيم أ) يلمس الدائرة عند نقطة واحدة؛ ب) يتقاطع مع الدائرة عند نقطتين. ج) لا يتقاطع مع الدائرة؛ د) لا توجد إجابة صحيحة. 4. تتقاطع الدوائر في نقطتين إذا... أ) ر1+ R2= د; في) ر1+ R2< د; مع) ر1+ R2> د; د) د = 0 . 5. الدوائر تتلامس عند نقطة واحدة إذا... أ) ر1+ R2= د; في) ر1+ R2< د; مع) ر1+ R2> د; د) د = 0 . 6. تسمى الدوائر متحدة المركز إذا... أ) ر1+ R2= د; في) ر1+ R2< د; مع) ر1+ R2> د; د) د = 0 . 7. الدوائر تتلامس داخليًا. نصف قطر الدائرة الصغرى 3 سم، ونصف قطر الدائرة الكبرى 5 سم. أ) 8 سم؛ ب) 2 ق م؛ ج) 15 سم؛ د) 3 سم. 8. ما هو الموقع النسبي لدائرتين إذا كانت المسافة بين المركزين 10 وأنصاف الأقطار 8 و 2: أ) اللمس الخارجي؛ ب) اللمس الداخلي. ج) تتقاطع؛ د) لا تتقاطع. 9. ماذا يمكن أن يقال عن الموضع النسبي للخط والدائرة إذا كان قطر الدائرة 7.2 سم والمسافة من مركز الدائرة إلى الخط 3.25 سم: لمسة؛ ب) لا تتقاطع. ج) تتقاطع؛ د) لا توجد إجابة صحيحة. 10. بالنظر إلى دائرة مركزها O والنقطة A. أين تقع النقطة A إذا كان نصف قطر الدائرة 7 سم وطول القطعة OA هو 4 سم؟ أ) داخل الدائرة؛ ب) على شكل دائرة. ج) خارج الدائرة؛ د) لا توجد إجابة صحيحة.

التقييم: 10 نقاط. – "5"، 9 - 8 ب. – “4”، 7 – 6 ب. - "3"، 5 ب. وتحت - "2"

اختبار العمل رقم 2

1) إملأ الجدول . اختر أحد الخيارات (6 ب):

أ) الموقع النسبي لدائرتين:

ب) الموضع النسبي للخط المستقيم والدائرة:

2) حل مشكلة واحدة للاختيار من بينها (2ب):

1. أوجد طولي قطعتي الوتر التي ينقسم إليها قطر دائرته، إذا كان طول الوتر 0.8 ديسيمتر والقطر عمودي عليه.

2. أوجد طول الوتر إذا كان القطر متعامداً عليه، وكان أحد القطع المقطوعة بالقطر منه يساوي 0.4 ديسيمتر.

3) حل مشكلة واحدة للاختيار من بينها (2ب):

1. أنشئ دوائر تكون المسافة بين مراكزها أقل من فرق أنصاف أقطارها. ضع علامة على المسافة بين مراكز الدائرة. استخلاص النتائج.

2. أنشئ دوائر تكون المسافة بين مراكزها تساوي الفرق في أنصاف أقطار هذه الدوائر. ضع علامة على المسافة بين مراكز الدائرة. استخلاص النتائج.

التقييم: 10 - 9 نقاط. - "5"، 8 - 7 ب. - "4"، 6 - 5 ب. - "3"، 4 ب. وتحت - "2"

لنأخذ دائرة عشوائية مركزها عند النقطة O وخط مستقيم أ.
إذا مر الخط المستقيم a بالنقطة O، فإنه سيتقاطع مع الدائرة المعطاة عند النقطتين K وL، وهما طرفي القطر الواقعين على الخط المستقيم a.

إذا كان الخط المستقيم a لا يمر عبر المركز O للدائرة، فسنقوم ببناء مساعد ونرسم خطًا مستقيمًا أوهعمودي على خط مستقيم أوتشير إلى المسافة الناتجة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أ rasstoyanie متغير. دعونا نحدد عدد النقاط المشتركة التي سيحتوي عليها الخط أوالدوائر اعتمادا على العلاقة بين المتغير rasstoyanie ونصف القطر.
قد يكون هناك 3 خيارات:

1. rasstoyanie < نصف القطر. في هذه الحالة النقطة حسوف تقع في منتصف الدائرة، والتي تقتصر على الدائرة المحددة.

دعونا نضع قطعة على خط مستقيم HD = صadius.

في OHD الوتر التطوير التنظيميالمزيد من الساق عالية الدقة، لهذا التطوير التنظيمي> صadius. ولذلك النقطة دتقع خارج الدائرة التي تحدها الدائرة المعطاة. إذن أحد طرفي المقطع عالية الدقةيقع في وسط الدائرة، والآخر خارج الدائرة. وهكذا على الجزء عالية الدقةيمكنك وضع علامة على نقطة أ، والتي تقع على الدائرة، وهذا هو الزراعة العضوية = صadius.

دعونا تمديد الشعاع ها.ووضع قطعة عليه البوسنة والهرسك، وهو ما يعادل الجزء أن.

تلقى 2 مثلثات قائمة أوهاو أوهب، وهما متساويان على قدمين. ثم تكون أضلاعهما المتناظرة متساوية: OB = الزراعة العضوية = ص. لذلك، بهي أيضًا النقطة المشتركة بين الدائرة والخط. بما أن 3 نقاط من الدائرة لا يمكن أن تقع على نفس الخط، فإن النقاط المشتركة الأخرى على الخط أوالدوائر غير موجودة.
وبالتالي إذا كانت المسافة بين مركز الدائرة والخط المستقيم أقل من نصف قطر الدائرة ( rasstoyanie < r adius)، فإن الخط والدائرة لهما نقطتان مشتركتان.

1. rasstoyanie= صadius . بسبب ال أوه = صadius، ثم أشر حينتمي إلى الدائرة وبالتالي فهو نقطة مشتركة للخط أوالدوائر.

لأي نقاط أخرى على السطر أ(على سبيل المثال، النقاط و م) منحرف - مائل أومالمزيد من الجزء أوه، إنه أوم > أوه = صadius، وبالتالي هذه النقطة ملا ينتمي إلى الدائرة المحددة.
ولذلك إذا كانت المسافة بين مركز الدائرة والخط المستقيم تساوي نصف قطر الدائرة ( rasstoyanie= صadius)، فإن الخط والدائرة لهما نقطة مشتركة واحدة فقط.

1. rasstoyanie> صadius . بما أن OH > نصف القطر، إذن لأي نقطة من الخط أ(على سبيل المثال، النقاط م) عدم المساواة يحمل أوم> أوه> صadius. هذه هي النقطة ملا ينتمي إلى الدائرة.

ولذلك إذا كانت المسافة بين مركز الدائرة والخط المستقيم أكبر من نصف قطر الدائرة ( rasstoyanie> صadius)، فإن الخط والدائرة ليس لهما نقاط مشتركة.