موضوع:
خصائص عناصر المثلث القائم الزاوية. خاصية المنصف زاوية المثلث.
مدرس رياضيات في مؤسسة تعليمية بلدية
متوسط .مدرسة ثانوية №13
كوستروما 2009
ملاحظة توضيحية
عند تجميع هذه المواد التعليمية، تم تحديد الأهداف التالية:
مساعدة المعلم على التنظيم العملية التعليميةعند دراسة موضوعي "خاصية منصف زاوية المثلث" و"خاصية الارتفاع الساقط من قمة الرأس" زاوية مستقيمةإلى الوتر"
قم بتكملة كتاب الهندسة المدرسي حول هذه المواضيع بمهام عمل مستقلطلاب؛
تحديد المهام للتحضير لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات.
تساعد هذه المواد التعليمية على تعزيز مهارات حل المهام باستخدام الخصائص الناشئة عن تشابه المثلثات القائمة. يمكن استخدام مجموعة مختارة من المهام للتحكم الحالي والنهائي، للعمل المستقل، ل توقيع فرديفي المنزل، سواء في الصف التاسع أو في الصفوف 10-11 عند تكرار المواد والتحضير لامتحان الدولة الموحدة. تعرض المواد 22 مشكلة، نصفها مصحوبة بالحلول. يتم تقديم المشكلات التي تتشابه حلولها مع تلك التي تم النظر فيها إما كحل مستقل في الفصل أو كحل العمل في المنزل. يتم ترتيب المهام حسب الصعوبة المتزايدة.
لماذا أحتاج كمدرس إلى مجموعة مختارة من المهام حول هذا الموضوع بالذات؟ هناك عدة إجابات هنا. أولاً، في الكتاب المدرسي الذي أعمل عليه، لا توجد أي مشاكل تقريبًا حول هذا الموضوع (مشكلتان فقط: رقم 40 ص 106 والعديد من المشكلات الأخرى في المواد التعليمية)، لكنها من نفس النوع ولا توجد بشكل عام يعكس حالات مختلفةلتطبيق الخصائص. لا توجد مشاكل على الإطلاق في تطبيق خصائص منصف زاوية المثلث.
ثانيا: لقد تم طرح هذا الموضوع أكثر من مرة مواد امتحان الدولة الموحدة، وبالتالي أرى أنه من الضروري توضيح هذا الموضوع بمزيد من التفصيل للطلاب. زاد عدد المسائل الهندسية في امتحان الرياضيات
الأدب:
« أسئلة الامتحانوالإجابات على 5"
"دليل المتقدمين للجامعات"
Zelensky I. I. "الهندسة في المشاكل". سلسلة الرياضيات: "إعادة التشغيل"
"مجموعة من المشاكل في الهندسة"
زيف إيه جي "مشاكل الهندسة"
جوسيف أ. المواد التعليميةفي الهندسة"
عنوان
العقار رقم 1
ارتفاع المثلث القائم المرسوم من قمة الزاوية القائمة هو المتوسط المتناسب بين إسقاطات الأرجل على الوتر
العقار رقم 2
ساق المثلث القائم الزاوية هي الوسط المتناسب بين الوتر وإسقاطه على الوتر
العقار رقم 3
يقسم منصف المثلث الضلع المقابل إلى أجزاء متناسبة مع الضلعين الآخرين
المستوى أ
A1 محيط المثلث 25 سم، ومنصفه يقسم الضلع المقابل إلى قطع تساوي 7.5 سم، 2.5 سم، أوجد أضلاع المثلث.
A2 محيط المثلث 35 سم أوجد القطع التي يقسم إليها منصف المثلث الضلع المقابل.
A3 طول أحد أضلاع المثلث القائم الزاوية 10 dm، وقطره على الوتر 8 dm. أوجد الساق الثانية والوتر.
A4 أوجد أرجل المثلث القائم الزاوية إذا كان ارتفاعها إلى الوتر 36 سم 64 سم.
A5 أوجد ارتفاع المثلث القائم الزاوية المرسوم من رأس الزاوية القائمة إذا كانت قاعدته تقسم الوتر إلى قطعتين 4 سم و9 سم.
A6 ارتفاع المثلث القائم الزاوية المرسوم من رأس الزاوية القائمة إلى الوتر هو 4. أوجد الوتر إذا كان طول أحد الأرجل 8.
المستوى ب
ب1 ب مثلث قائميبلغ الارتفاع المرسوم على الوتر 36 سم ويقسمه إلى أجزاء بنسبة 9:16. ابحث عن RAVS
https://pandia.ru/text/78/060/images/image003_197.gif" width="71" height="23">; SK2= AK ∙ HF;
362 = 9x∙16x; 1296 = 144x2; س2 = 9؛ س = 3
أك = 27 سم؛ فك = 48 سم؛ أ ب = 75 سم.
2) من ∆ AKS وفقًا لنظرية فيثاغورس: AC= https://pandia.ru/text/78/060/images/image006_144.gif" width="49" height="24 src=">=45 (cm) )
من ∆ ABC وفقًا لنظرية فيثاغورس: BC===60 (cm)
3) ف ABC = AC+AB+BC؛ رابك = 180 سم.
الإجابة 180 سم
B2 في المثلث القائم، الارتفاع المرسوم على الوتر يقسمه إلى أجزاء بنسبة 16:9. أطول ساق في المثلث 60 سم. أوجد طول هذا الارتفاع. (هذه المشكلة مشابهة للمشكلة السابقة وبالتالي لا يتم النظر في حلها )
الجواب: 36 سم
B3 يرسم عمودي من نقطة على الدائرة على القطر، فيقسم القطر إلى أجزاء أطوالها بنسبة 9:4. أوجد المحيط إذا كان الطول العمودي عليه ٢٤ سم.
https://pandia.ru/text/78/060/images/image010_107.gif" width="12" height="19">AO = 26 سم
3) للعثور على المحيط، طبق الصيغة: L = 2https://pandia.ru/text/78/060/images/image011_97.gif" width="15" height="15 src="> cm
الإجابة: 52https://pandia.ru/text/78/060/images/image012_89.gif" width = "208" height = "172 src = "> الحل
1) دعونا نطبق خاصية الارتفاع المرسوم
من قمة الزاوية اليمنى ∆ABC إلى الوتر AC: VK= https://pandia.ru/text/78/060/images/image014_72.gif" width="83" height="27">cm, AK =4 سم، كانساس = 16 سم.
2) من ∆AKV حسب نظرية فيثاغورس:
3) من ∆VKS حسب نظرية فيثاغورس:
4) SAVSD =AB ∙ ; S ABCD = 160 سم2
الجواب: 160 سم2
ب6 من رؤوس الزوايا المتقابلة للمستطيل، يتم رسم خطوط عمودية على القطر الذي تكون المسافة بين قاعدتيه 16 سم. أوجد مساحة المستطيل إذا كانت أطوال هذه المتعامدة 6 سم. (المشكلة مشابهة للمشكلة السابقة لذلك لم يتم طرح حلها)
الجواب: 120 سم2
يمكن تقديم المسائل B7 وB8 وB9 للطلاب إما كواجب منزلي أو نقلها إلى الفصل. قرار مستقلفي الفصل
س7 مساحة المثلث القائم الزاوية 150 وأحد أضلاعه 15. أوجد طول الارتفاع الساقط من رأس الزاوية القائمة
س8 ارتفاع المثلث القائم الزاوية المرسوم من رأس الزاوية القائمة إلى الوتر يساوي إيجاد الوتر إذا كان طول أحد الأرجل 8.
Q9 ارتفاع المثلث القائم الزاوية، المخفض إلى الوتر، يساوي b، وقياس إحدى زواياه الحادة 60○. أوجد الوتر.
ب10 منصف زاوية حادة في مثلث قائم يقسم ساقا طولها 12 سم و 15 سم. أوجد مساحة المثلث باستخدام القطع.
https://pandia.ru/text/78/060/images/image022_49.gif" width="148" height="41">
دع x يكون معامل التناسب، إذن
5x - الجانب AB، 4x - الجانب AC
2) بالنسبة لـ ∆ACV نطبق نظرية فيثاغورس
AB2 = AC2 + BC2؛
25x2 = 16x2 +729;
3) قم بتطبيق الصيغة الخاصة بمساحة المثلث: S∆ = AC∙BC؛ أس = 36 (سم)؛ الشمس = 27 (سم)
S∆ASV = 486 سم2
الجواب: 486 سم2
Q11، Q12 مشابهة للمشكلة السابقة.
B11 يقسم منصف الزاوية القائمة للمثلث وترها إلى قطع طول كل منها 15 سم و20 سم. أوجد مساحة المثلث.
الجواب: 294 سم2
س12 في المثلث القائم، يقسم منصف الزاوية الحادة الساق المقابلة إلى قطعتين طول كل منهما 8 سم، 10 سم، أوجد محيط هذا المثلث.
الجواب: 72 سم
B13 منصف الزاوية القائمة للمثلث القائم يقسم الوتر إلى أجزاء طولها 20 سم و 15 سم. أوجد نصف قطر الدائرة المنقوشة.
https://pandia.ru/text/78/060/images/image025_41.gif" width="148" height="41">
2) اجعل x هو معامل التناسب، ثم AC -4x، CB-3x
بالنسبة إلى ∆ASV نطبق نظرية فيثاغورس:
AB2 = AC2+CB2
س = 7 أس = 28 سم، CB = 21 سم
3) للعثور على نصف قطر الدائرة المنقوشة، استخدم الصيغة: r;ص = سم
الجواب: 7 سم
B14 منصف الزاوية الحادة للمثلث القائم يقسم الساق إلى قطع طولها 10 سم و 26 سم. أوجد نصف قطر الدائرة المحيطة بهذا المثلث.
أب - 13x، أس - 5x
3) دعونا نطبق نظرية فيثاغورس على ∆ ASV:
AB2 = AC2 + BC2
169x2= 1396+25x2https://pandia.ru/text/78/060/images/image030_35.gif">4) لأن مركز الدائرة المحصورة حول مثلث قائم الزاوية هو منتصف الوترR= R=19.5 سم
الجواب: 19.5 سم
يمكن تعيين الأسئلة Q15، Q16، Q17 في المنزل، يليها اختبار في الفصل الدراسي.
المسألة رقم 15: منصف الزاوية القائمة للمثلث القائم يقسم الوتر إلى أجزاء بنسبة 4:3. ابحث عن هذه الأجزاء إذا كان نصف قطر الدائرة المنقوشة 7.
الجواب: 32 سم و 24 سم
في 1 6 منصف مسحوب من رأس مستطيل يقسم قطره إلى قطعتين 65 سم و 156 سم أوجد مساحة المستطيل.
الإجابة 17340 سم2
س17طول الدائرة المحيطة بالمثلث القائم الزاوية هو 39https://pandia.ru/text/78/060/images/image023_47.gif" width="16" height="41">DВ∙DК; ВD - ? DК - ؟
2) لنوجد S∆ABC باستخدام صيغة هيرون: p = 21، S∆ABC = 84.
3) من ناحية أخرى، S ∆ABC = AC∙DB AC∙DB = 2S؛ دف = ; ديسيبل = 12؛
4) لنأخذ AK = x، ثم SC = 14 - x؛ دعونا نطبق خاصية منصف زاوية المثلث: =https://pandia.ru/text/78/060/images/image036_29.gif" width="21" height="41 src=">.gif" width = "20" الارتفاع = "16 src = "> x = 6.5: AK = 6.5
5) DK = AK – AD..gif" width="16" height="41 src=">∙12∙1.5 = 9.
المثلث - مضلع ذو ثلاثة أضلاع، أو مغلق خط متقطعبثلاث وصلات، أو شكل مكون من ثلاثة أجزاء تربط بين ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم (انظر الشكل 1).
العناصر الأساسية للمثلث ABC
القمم - النقاط أ، ب، ج؛
حفلات - المقاطع a = BC، وb = AC، وc = AB التي تربط القمم؛
الزوايا - α، β، γ مكونة من ثلاثة أزواج من الجوانب. غالبًا ما يتم تحديد الزوايا بنفس طريقة تسمية الرءوس، بالأحرف A وB وC.
والزاوية التي تتكون من أضلاع المثلث والواقعة في باطنه تسمى زاوية داخلية، والمجاورة لها هي الزاوية المجاورة للمثلث (2، ص 534).
الارتفاعات والمتوسطات والمنصفات وخطوط الوسط في المثلث
بالإضافة إلى العناصر الرئيسية في المثلث، يتم أيضًا أخذ الأجزاء الأخرى ذات الخصائص المثيرة للاهتمام في الاعتبار: الارتفاعات والمتوسطات والمنصفات وخطوط الوسط.
ارتفاع
ارتفاعات المثلث- هي عموديات تسقط من رؤوس المثلث إلى الجانبين المتقابلين.
لرسم الارتفاع، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:
1) ارسم خطًا مستقيمًا يحتوي على أحد أضلاع المثلث (إذا كان الارتفاع مرسومًا من رأس زاوية حادة في مثلث منفرج)؛
2) من الرأس المقابل للخط المرسوم، ارسم قطعة من النقطة إلى هذا الخط، وصنع زاوية قدرها 90 درجة معها.
تسمى النقطة التي يتقاطع فيها الارتفاع مع جانب المثلث قاعدة الارتفاع (انظر الشكل 2).
خصائص ارتفاعات المثلث
في المثلث القائم، الارتفاع المرسوم من رأس الزاوية القائمة يقسمه إلى مثلثين مشابهين للمثلث الأصلي.
في المثلث حاد الزوايا، يقطع ارتفاعاه المثلثات المتشابهة عنه.
إذا كان المثلث حادا فإن جميع قواعد الارتفاعات تنتمي إلى أضلاع المثلث، و مثلث منفرج الزاويةيقع ارتفاعان على استمرار الجانبين.
ثلاثة ارتفاعات في مثلث حاد الزواياتتقاطع في نقطة واحدة وتسمى هذه النقطة مركز تقويم العظام مثلث.
الوسيط
الوسطاء(من اللاتينية mediana - "الوسطى") - هذه هي الأجزاء التي تربط رؤوس المثلث بنقاط منتصف الجوانب المقابلة (انظر الشكل 3).
لتكوين الوسيط يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:
1) العثور على منتصف الجانب؛
2) قم بتوصيل النقطة التي تقع في منتصف جانب المثلث بالرأس المقابل بقطعة.
خصائص متوسطات المثلث
يقسم الوسيط المثلث إلى مثلثين متساويين في المساحة.
تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة، مما يقسم كل منها بنسبة 2:1، اعتبارًا من الرأس. هذه النقطة تسمى مركز الجاذبية مثلث.
يتم تقسيم المثلث بأكمله بواسطة متوسطاته إلى ستة مثلثات متساوية.
منصف
منصفات(من اللاتينية مكرر - مرتين وسيكو - قطع) هي قطع الخط المستقيم المحاطة داخل المثلث الذي يشطر زواياه (انظر الشكل 4).
لبناء منصف، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:
1) إنشاء شعاع يخرج من رأس الزاوية وتقسيمه إلى قسمين متساويين (منصف الزاوية).
2) العثور على نقطة تقاطع منصف زاوية المثلث مع الجانب المقابل؛
3) حدد القطعة التي تربط قمة المثلث بنقطة التقاطع على الجانب الآخر.
خصائص منصفات المثلث
منصف زاوية المثلث يقسم الضلع المقابل في النسبة يساوي النسبةجانبين متجاورين.
منصفات زوايا داخليةالمثلثات تتقاطع عند نقطة واحدة. تسمى هذه النقطة مركز الدائرة المنقوشة.
منصفات الزوايا الداخلية والخارجية متعامدة.
إذا كان المنصف الزاوية الخارجيةمثلث يتقاطع مع استمرار الضلع المقابل، إذن ADBD=ACBC.
تتقاطع منصفات إحدى الزوايا الداخلية والزاويتين الخارجيتين للمثلث عند نقطة واحدة. وهذه النقطة هي مركز إحدى النقاط الثلاث دوائرهذا المثلث.
تقع قواعد منصفات زاويتين داخلية وواحدة خارجية للمثلث على نفس الخط المستقيم إذا لم يكن منصف الزاوية الخارجية موازياً للضلع المقابل للمثلث.
إذا كانت منصفات الزوايا الخارجية للمثلث غير متوازية مع أضلاع متقابلة، فإن قاعدتيها تقعان على نفس الخط المستقيم.
مرحبا عزيزي القراء! اليوم سنبدأ في حل المشاكلخصائص المنصف والوسيط في المثلث.
أولاً، دعونا نتذكر ما هو المنصف والوسيط.
منصف - هذا هو المقطع CD الذي يمتد من رأس زاوية المثلث، يشطر زاوية وينتهي على الجانب الآخر.
الوسيط هو قطعة من CM، والتييربط قمة المثلثمع منتصف الجانب الآخر.
بما أن المثلث له ثلاثة رؤوس وثلاثة أضلاع، فسيكون له أيضًا ثلاثة منصفات متوسطة.
مهمة 1. نظرا مستطيلة المثلث ABC. يتم رسم الوسيط AD والمنصف AM من الرأس A إلى الجانب BC. الزاوية بين الوسيط والمنصف هي 17 درجة. يجد زوايا حادةمثلث.
حل:بما أن AM منصف، إذن الزاوية BAM يساوي الزاوية MAC وهي تساوي 45 درجة. لكن الزاوية DAM هي 17°. ومن ثم، فإن زاوية VAD تساوي الفرق بين الزاويتين VAM وLAM، أو 45-17 = 28 درجة.
نحن نعرف ذلك الوسيط المرسوم من قمة الزاوية القائمة للمثلث القائم يقسم هذا المثلث إلى مثلثين متساويين الساقين. وهي المثلثات АВД و АДС.
والآن بما أن المثلث ABC متساوي الساقين، فإن زوايا قاعدته متساوية، أي. الزاوية VAD تساوي الزاوية AAD وكلاهما يساوي 28°.
هذا يعني أن الزاوية B في المثلث القائم الزاوية قياسها 28°.
لكن مجموع الزوايا الحادة في المثلث القائم هو 90 درجة. وبالتالي فإن الزاوية C ستساوي 90 - 28 = 62 درجة.
إجابة:الزوايا الحادة في المثلث القائم هي 28° و62°.
المهمة 2. اثبات أن المنصفات الزوايا المجاورةعمودي.
حل:نحن نعرف خاصية قياس الزوايا، والتي تنص على ذلك إذا تم رسم الأشعة داخل زاوية فإنها ستقسمها إلى عدة زوايا ويكون مجموع قياسات درجات هذه الزوايا مساوياً لـ قياس درجةالزاوية الأصلية.
وبالتالي لدينا: α+α+β+β = 180°.
أو 2α+2β = 180°.
نختصر الحق و الجهه اليسرىالمعادلة بـ 2 نحصل على: α + β = 90°.
أولئك. زاوية DVK بين المنصفين VD وVK للزوايا المجاورةدائما يساوي 90 درجة بغض النظر عن حجم الزوايا المجاورة.
المهمة 3. نظرا لشبه منحرف ABCD. يتقاطع منصفات الزاويتين A وB عند النقطة M.
أوجد AB إذا كان AM = 24، BM = 18.
الحل: من المهمة السابقةاكتشفنا ذلك منصفات الزوايا المجاورة تشكل دائمًا زاوية قدرها 90 درجة.
المنصفات المرسومة من زوايا شبه المنحرف المجاورة للجانب تشكل أيضًا زاوية قدرها 90 درجة.
في الواقع: يبلغ مجموع قياسات الزاويتين A وB لشبه المنحرف 180 درجة، وكذلك الزوايا أحادية الجانب ذات الخطوط المتوازية AD وBC والقاطع AB.
هذا يعني أن مجموع نصفي هذه الزوايا سيصل إلى 90 درجة.
وإذا كان مجموع زاويتين في مثلث يساوي 90 درجة، فإن الزاوية الثالثة ستكون 90 درجة، لأن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو 180°.
إذن هذا مثلث قائم الزاوية. نحن نعلم أن له ساقين، ويمكننا إيجاد الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس.
AB² = AM² + BM² = 24² + 18² = 900. ومن ثم، AB = 30.
الجواب: أ ب = 30.
من بين المواد العديدة في المدرسة الثانوية هناك موضوع مثل "الهندسة". يُعتقد تقليديًا أن مؤسسي هذا العلم المنهجي هم اليونانيون. اليوم، تسمى الهندسة اليونانية الابتدائية، لأنها كانت هي التي بدأت دراسة أبسط الأشكال: الطائرات والخطوط المستقيمة والمثلثات. سنركز اهتمامنا على الأخير، أو بالأحرى على منصف هذا الشكل. بالنسبة لأولئك الذين نسوا بالفعل، فإن منصف المثلث هو قطعة من منصف إحدى زوايا المثلث، والتي تقسمها إلى نصفين وتربط قمة الرأس بنقطة تقع على الجانب الآخر.
يحتوي منصف المثلث على عدد من الخصائص التي تحتاج إلى معرفتها عند حل بعض المشكلات:
- منصف الزاوية هو موضعالنقاط التي تمت إزالتها بواسطة مسافات متساويةمن الجوانب المجاورة للزاوية.
- يقسم المنصف في المثلث الضلع المقابل للزاوية إلى أجزاء تتناسب مع الأضلاع المجاورة. على سبيل المثال، بالنظر إلى مثلث MKB، حيث يخرج منصف من الزاوية K، ويربط قمة هذه الزاوية بالنقطة A على الجانب الآخر MB. وقد تم تحليلها هذا العقاروالمثلث لدينا MA/AB=MK/KB.
- النقطة التي تتقاطع عندها منصفات زوايا المثلث الثلاث هي مركز الدائرة المحصورة في نفس المثلث.
- تكون قاعدتا منصفات الزاوية الخارجية والزاويتين الداخليتين على نفس الخط المستقيم، بشرط ألا يكون منصف الزاوية الخارجية موازياً للضلع المقابل للمثلث.
- إذا كان هناك منصفان لواحد فهذا
وتجدر الإشارة إلى أنه إذا تم إعطاء ثلاثة منصفات، فإن بناء مثلث منها، حتى بمساعدة البوصلة، أمر مستحيل.
في كثير من الأحيان، عند حل المشكلات، يكون منصف المثلث غير معروف، ولكن من الضروري تحديد طوله. لحل هذه المشكلة عليك معرفة الزاوية التي ينصفها المنصف والأضلاع المجاورة لهذه الزاوية. في هذه الحالة، يتم تعريف الطول المطلوب على أنه نسبة ضعف منتج الجوانب المجاورة للزاوية وجيب تمام الزاوية مقسومًا على النصف إلى مجموع الجوانب المجاورة للزاوية. على سبيل المثال، نظرا لنفس المثلث MKB. يخرج المنصف من الزاوية K ويتقاطع مع الجانب الآخر من MV عند النقطة A. ويشار إلى الزاوية التي يخرج منها المنصف بالرمز y. الآن دعونا نكتب كل ما يقال بالكلمات في شكل صيغة: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).
إذا كانت قيمة الزاوية التي يخرج منها منصف المثلث مجهولة، ولكن جميع أضلاعه معروفة، فحساب طول المنصف سنستخدم متغيرًا إضافيًا، والذي سنسميه نصف المحيط ونشير إليه بـ الحرف P: P=1/2*(MK+KB+MB). بعد ذلك سنقوم ببعض التغييرات على الصيغة السابقة التي تم من خلالها تحديد طول المنصف، أي أننا في بسط الكسر نضع ضعف حاصل ضرب أطوال الأضلاع المجاورة للزاوية بنصف المحيط والحاصل، حيث يتم طرح طول الضلع الثالث من نصف المحيط. سنترك القاسم دون تغيير. في شكل صيغة، ستبدو كما يلي: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).
منصف مثلث متساوي الساقينمعا مع الخصائص العامةلديها العديد من تلقاء نفسها. دعونا نتذكر أي نوع من المثلث هو هذا. مثل هذا المثلث له جانبان متساويان وزوايا متساوية مجاورة للقاعدة. ويترتب على ذلك أن المنصفات التي تنزل إليها الجانبينمثلث متساوي الساقين، متساويان مع بعضهما البعض. بالإضافة إلى ذلك، فإن المنصف الذي تم إنزاله إلى القاعدة هو الارتفاع والوسيط.
سوف تحتاج
- - مثلث قائم؛
- - طول الساقين المعروف؛
- - طول الوتر المعروف؛
- - زوايا معروفةوأحد الطرفين؛
- - الأطوال المعروفة للأجزاء التي يقسم إليها المنصف الوتر.
تعليمات
استخدم النظرية التالية: علاقات الأرجل وعلاقات الأجزاء المجاورة التي يوجد عليها خط مباشر زاويةيقسم الوتر متساويين. أي أن تقسم الأرجل إلى بعضها البعض وتساويها مع النسبة x/(c-x). وفي الوقت نفسه، تأكد من أن البسط يحتوي على الساق المجاورة لـ x. حل المعادلة الناتجة وابحث عن x.
بعد أن اكتشف طول القطع التي يكون منصفها خطًا مستقيمًا زاويةبتقسيم الوتر، أوجد طول الوتر نفسه باستخدام نظرية الجيب. أنت تعرف أن الزاوية بين الساق والمنصف هي 45 درجة، على الجانبين المثلث الداخلينفس.
عوّض بالبيانات في نظرية الجيب: x/sin45⁰=l/sinα. بتبسيط التعبير، تحصل على l=2xsinα/√2. استبدل x الموجود: l=2c*cosα*sinα/√2(sinα+cosα)=c*sin2α/2cos(45⁰-α). هذا هو منصف الخط زاوية، معبرا عنها من خلال الوتر.
إذا تم إعطاؤك أرجلًا، فلديك خياران: إما العثور على طول الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس، والتي بموجبها يكون مجموع مربعات الأرجل يساوي مربع الوتر وحل المشكلة بالطريقة المذكورة أعلاه. أو استخدم الصيغة الجاهزة التالية: l=√2*ab/(a+b)، حيث a وb هما طولا الساقين.
مصادر:
- كيفية العثور على طول الخط المستقيم
إن تقسيم الزاوية إلى النصف وحساب طول الخط المرسوم من قمتها إلى الجانب المقابل هو أمر يجب أن يكون القاطعون والمساحون والتركيبون والأشخاص من بعض المهن الأخرى قادرين على القيام به.
سوف تحتاج
- أدوات قلم رصاص حاكم منقلة جيب التمام وجداول جيب التمام الصيغ الرياضيةوالمفاهيم: تعريف المنصف نظريات الجيب وجيب التمام نظرية المنصف
تعليمات
بناء مثلث بالحجم المطلوب اعتمادا على ما يعطى لك؟ dfe الجوانب والزاوية بينهما، وثلاثة جوانب أو زاويتين والجانب الواقع بينهما.
قم بتسمية رؤوس الزوايا والجوانب بالأحرف اللاتينية التقليدية A وB وC. تشير رؤوس الزوايا إلى، الجانبين المتعارضين- أحرف صغيرة. قم بتسمية الزوايا الحروف اليونانية؟،؟ و؟
باستخدام نظريتي الجيب وجيب التمام، احسب الزوايا والأضلاع مثلث.
تذكر المنصفات. منصف - تقسيم الزاوية إلى النصف. زاوية منصف مثلثيقسم المقابل إلى قسمين متساويين في النسبة بين الضلعين المتجاورين مثلث.
ارسم منصفات الزوايا. قم بتسمية الأجزاء الناتجة بأسماء الزوايا المكتوبة أحرف صغيرة، مع منخفض l. ينقسم الجانب c إلى مقطعين a وb مع وجود مؤشرات l.
احسب أطوال الأجزاء الناتجة باستخدام قانون الجيب.
فيديو حول الموضوع
ملحوظة
يتم حساب طول القطعة، والتي هي في نفس الوقت جانب المثلث الذي يتكون من أحد أضلاع المثلث الأصلي والمنصف والقطعة نفسها، باستخدام قانون الجيب. لحساب طول قطعة أخرى من نفس الضلع، استخدم النسبة بين القطع الناتجة والأضلاع المجاورة للمثلث الأصلي.
لتجنب الارتباك، رسم منصفات زوايا مختلفة ألوان مختلفة.
نصيحة 3: كيفية العثور على المنصف في المثلث القائم
المنصف هو الشعاع الذي يقسم الزاوية إلى نصفين. بالإضافة إلى ذلك، يحتوي المنصف على العديد من الخصائص والوظائف. ومن أجل حساب طوله بالمستطيل مثلث، سوف تحتاج إلى الصيغ والتعليمات أدناه.
سوف تحتاج
- - آلة حاسبة
تعليمات
اضرب الضلع أ، الضلع ب، نصف محيط المثلث ص والرقم أربعة 4*أ*ب. بعد ذلك، يجب ضرب المبلغ الناتج بالفرق بين نصف المحيط p والضلع c 4*a*b*(p-c). استخرج جذر ما حصلت عليه سابقًا. SQR(4*أ*ب*(ص-ج)). وتقسيم النتيجة على مجموع الجانبين أ و ب. وهكذا، حصلنا على إحدى الصيغ لإيجاد المنصف باستخدام نظرية ستيوارت. يمكن تفسيرها بطريقة مختلفة، وتقديمها بهذه الطريقة: SQR(a*b*(a+b+c)(a+b-c)). هناك العديد من الخيارات الأخرى لهذه الصيغة، والتي تم الحصول عليها على أساس نفس النظرية.
اضرب جنبًا إلى جنب ب. من النتيجة، اطرح أطوال القطع e و d التي يقسم فيها المنصف l الجانب c. تبدو النتائج كما يلي: أ*ب-ه*د. بعد ذلك، تحتاج إلى استخراج جذر الفرق المعروض SQR (a*b-e*d). هذه طريقة أخرى لحساب طول المنصف في المثلثات. قم بإجراء جميع الحسابات بعناية، وكررها مرتين على الأقل الأخطاء المحتملة.
اضرب اثنين في الجانبين أ و ب، بالإضافة إلى جيب تمام الزاوية ج مقسمة إلى نصفين. بعد ذلك، يجب تقسيم المنتج الناتج على مجموع الجانبين أ و ب. بشرط أن تكون جيب التمام معروفة، ستكون طريقة الحساب هذه هي الأكثر ملاءمة لك.
اطرح جيب تمام الزاوية b من جيب تمام الزاوية a. ثم قسّم الفرق الناتج إلى النصف. تم حساب المقسوم عليه الذي سنحتاجه لاحقًا. الآن كل ما تبقى هو تقسيم الارتفاع المرسوم على الجانب c على الرقم المحسوب مسبقًا. الآن تم عرض طريقة حسابية أخرى لإيجاد المنصف في شكل مستطيل مثلث. إن اختيار طريقة العثور على الأرقام التي تحتاجها أمر متروك لك، ويعتمد أيضًا على ما هو منصوص عليه في الشروط الخاصة بهذا أو ذاك الشكل الهندسي.
فيديو حول الموضوع
دعونا نعطي خطين متقاطعين من معادلاتهما. مطلوب إيجاد معادلة الخط الذي، الذي يمر عبر نقطة تقاطع هذين الخطين، ينصف الزاوية بينهما تمامًا، أي أنه سيكون منصفًا.