شرط أن تكون المتجهات متعامدة
تكون المتجهات متعامدة إذا وفقط إذا كان حاصل ضربها القياسي صفرًا.
نظرا لمتجهين a(xa;ya) وb(xb;yb). ستكون هذه المتجهات متعامدة إذا كان التعبير xaxb + yayb = 0.
تكون المتجهات متوازية إذا كان حاصل ضربها الاتجاهي صفرًا
معادلة الخط المستقيم على المستوى. المسائل الأساسية على خط مستقيم على متن الطائرة.
يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى Ax + By + C = 0، والثوابت A وB لا تساويان الصفر في نفس الوقت، أي. A2 + B2 0. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى بالمعادلة العامة للخط. اعتمادًا على قيم الثوابت A وB وC، تكون الحالات الخاصة التالية ممكنة: - C = 0، A 0، B 0 – يمر الخط المستقيم عبر نقطة الأصل - A = 0، B 0 ، ج 0 ( بواسطة
C = 0) - خط مستقيم موازٍ لمحور Oy - B = 0، A 0، C 0 ( Ax + C = 0) - خط مستقيم موازٍ لمحور Oy - B = C = 0، A 0 - يتزامن الخط المستقيم مع محور Oy - A = C = 0, B 0 - يتزامن الخط المستقيم مع محور Oy. يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي شروط أولية معينة.
إذا كان واحد على الأقل من المعاملات A، B، C للمستوى Ax+By+C=0 يساوي 0، المستوى
مُسَمًّى غير مكتمل. ومن خلال شكل معادلة الخط المستقيم يمكن الحكم على موضعه
التسطيح أوكسو. الحالات المحتملة:
1 C=0 L: Ax+By=0 t O(0,0) تحقق هذه المعادلة، مما يعني أنها مستقيمة
يمر عبر الأصل
2 A=0 L: Ву+С=0 - الدوران الطبيعي n=(0,B) متعامد مع محور OX من هنا
ويترتب على ذلك أن الخط المستقيم موازي لمحور OX
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - القيمة الاسمية n=(A,0) متعامدة مع محور OY من هنا
ويترتب على ذلك أن الخط المستقيم موازي لمحور المرجع أمبير
4 أ=0، ج=0 ل: بواسطة=0(ص=0(ل=OX
5 ب=0، ج=0 ل: الفأس=0(س=0(L=OY
6 أ (0، ب (0، ج (0 ل؛ - لا يمر بالأصل ويتقاطع
كلا المحورين.
معادلة الخط المستقيم على المستوى الذي يمر بنقطتين معلومتين و: 
الزاوية بين الطائرات.
حساب المحددات
يعتمد حساب المحددات على خصائصها المعروفة، والتي تنطبق على محددات جميع الرتب. هذه هي الخصائص:
1. إذا قمت بإعادة ترتيب صفين (أو عمودين) من المحدد، فسوف يتغير المحدد.
2. إذا كانت العناصر المتناظرة في عمودين (أو صفين) من المحدد متساوية أو متناسبة، فإن المحدد يساوي الصفر.
3. لن تتغير قيمة المحدد إذا قمت بتبديل الصفوف والأعمدة، مع الحفاظ على ترتيبها.
4. إذا كانت جميع عناصر الصف (أو العمود) لها عامل مشترك، فيمكن إخراجه من علامة المحدد.
5. لن تتغير قيمة المحدد إذا أضيفت العناصر المقابلة لصف (أو عمود) آخر إلى عناصر صف (أو عمود) واحد مضروبة في نفس الرقم.
المصفوفة والإجراءات فوقها
مصفوفة- كائن رياضي مكتوب على شكل جدول مستطيل للأرقام (أو عناصر حلقة) ويسمح بإجراء العمليات الجبرية (الجمع والطرح والضرب وغيرها) بينه وبين كائنات أخرى مماثلة. عادة، يتم تمثيل المصفوفات كجداول ثنائية الأبعاد (مستطيلة). في بعض الأحيان يتم أخذ المصفوفات متعددة الأبعاد أو المصفوفات غير المستطيلة بعين الاعتبار.
عادة، يتم الإشارة إلى المصفوفة بحرف كبير من الأبجدية اللاتينية ويتم تمييزها بأقواس مستديرة "(...)" (يتم تمييزها أيضًا بين قوسين مربعين "[...]" أو خطوط مستقيمة مزدوجة "||...||").
غالبًا ما يُشار إلى الأرقام التي تشكل المصفوفة (عناصر المصفوفة) بنفس حرف المصفوفة نفسها، ولكن بأحرف صغيرة (على سبيل المثال، a11 هو عنصر من عناصر المصفوفة A).
يحتوي كل عنصر مصفوفة على اشتراكين (aij) - يشير الحرف "i" الأول إلى رقم الصف الذي يوجد فيه العنصر، بينما يشير الحرف "j" الثاني إلى رقم العمود. يقولون "مصفوفة الأبعاد"، وهذا يعني أن المصفوفة تحتوي على عدد m من الصفوف وعدد n من الأعمدة. دائما في نفس المصفوفة
العمليات على المصفوفات
لتكن aij عناصر المصفوفة A، وbij تكون عناصر المصفوفة B.
العمليات الخطية:
ضرب المصفوفة A برقم lect (الرمز: lectA) يتكون من بناء مصفوفة B، يتم الحصول على عناصرها عن طريق ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة A بهذا الرقم، أي أن كل عنصر من عناصر المصفوفة B يساوي
إضافة المصفوفات A + B هي عملية إيجاد مصفوفة C، جميع عناصرها تساوي المجموع الزوجي لجميع العناصر المقابلة للمصفوفات A و B، أي أن كل عنصر من عناصر المصفوفة C يساوي
يتم تعريف طرح المصفوفات A − B بشكل مشابه لعملية الجمع، وهي عملية إيجاد المصفوفة C التي عناصرها
الجمع والطرح مسموح فقط للمصفوفات ذات الحجم نفسه.
هناك مصفوفة صفرية Θ بحيث أن إضافتها إلى مصفوفة أخرى A لا يغير A، أي
جميع عناصر المصفوفة الصفرية تساوي الصفر.
العمليات غير الخطية:
ضرب المصفوفة (التعيين: AB، في كثير من الأحيان مع علامة الضرب) هي عملية حساب مصفوفة C، عناصرها تساوي مجموع منتجات العناصر في الصف المقابل للعامل الأول وعمود الثاني .cij = ∑ آيكبكج ك
يجب أن يحتوي العامل الأول على نفس عدد الأعمدة مثل عدد الصفوف في العامل الثاني. إذا كانت المصفوفة A لها البعد B -، فإن بُعد منتجها AB = C هو. ضرب المصفوفة ليس تبادلياً.
ضرب المصفوفة هو ترابطي. يمكن فقط رفع المصفوفات المربعة إلى قوى.
تبديل المصفوفة (الرمز: AT) هي عملية تنعكس فيها المصفوفة بالنسبة إلى القطر الرئيسي، أي
إذا كانت A مصفوفة حجم، فإن AT هي مصفوفة حجم
مشتق من وظيفة معقدة
الدالة المعقدة لها الشكل: F(x) = f(g(x)))، أي. هي وظيفة وظيفة. على سبيل المثال، y = sin2x، y = ln(x2+2x)، إلخ.
إذا كانت الدالة g(x) عند النقطة x لها مشتق g"(x)، وعند النقطة u = g(x) فإن الدالة f(u) لها مشتق f"(u)، فإن مشتق الدالة الدالة المعقدة f(g(x)) عند النقطة x موجودة وتساوي f"(u)g"(x).
مشتقة دالة ضمنية
في العديد من المسائل، يتم تحديد الدالة y(x) ضمنيًا. على سبيل المثال، للوظائف أدناه
من المستحيل الحصول على التبعية y(x) بشكل صريح.
خوارزمية حساب المشتق y"(x) من دالة ضمنية هي كما يلي:
تحتاج أولاً إلى التمييز بين طرفي المعادلة فيما يتعلق بـ x، بافتراض أن y هي دالة قابلة للتفاضل لـ x واستخدام القاعدة لحساب مشتق دالة معقدة؛
حل المعادلة الناتجة للمشتقة y"(x).
دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة للتوضيح.
ميّز الدالة y(x) المعطاة بالمعادلة.
لنفرق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير x:
ما يؤدي إلى النتيجة
حكم لابيتال
قاعدة لوبيتال. دع الدالة f(x) وg(x) موجودة في البيئة. t-ki x0 pr-nye f' and g' باستثناء إمكانية حدوث ذلك تمامًا t-tu x0. دع lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 بحيث يعطي f(x)/g(x) لـ x®x0 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4)، عندما يتزامن مع حد نسبة الدالة lim(x®x0)f(x)/g(x)= ليم(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)
44
.1.(معيار رتابة دالة لها مشتقة على المجال) دع الدالة 
مستمر على
(a,b)، وله مشتق f"(x) عند كل نقطة. ثم
1)f يزيد بمقدار (a,b) إذا وفقط إذا
2) يتناقص بمقدار (أ،ب) إذا وفقط إذا
2. (شرط كافٍ للرتابة الصارمة لدالة لها مشتق في الفاصل الزمني) دع الوظيفة 
متصلة على (a,b)، ولها مشتقة f"(x) عند كل نقطة
1) إذا كان f يزيد بشكل صارم على (a،b)؛
2) إذا كان f يتناقص بشكل صارم على (a،b).
والعكس عموماً ليس صحيحاً. يمكن أن يختفي مشتق دالة رتيبة تمامًا. ومع ذلك، فإن مجموعة النقاط التي لا يكون فيها المشتق صفرًا يجب أن تكون كثيفة على الفترة (a,b). بتعبير أدق، هو كذلك.
3. (معيار الرتابة الصارمة للدالة التي لها مشتق في الفاصل الزمني) دع ويتم تعريف المشتق f"(x) في كل مكان على الفاصل الزمني. ثم تزداد f بشكل صارم على الفاصل الزمني (a،b) إذا وفقط إذا تم استيفاء الشرطين التاليين:
المنتج النقطي للمتجهات. الزاوية بين المتجهات. حالة التوازي أو التعامد بين المتجهات.
المنتج القياسي للمتجهات هو حاصل ضرب أطوالها وجيب تمام الزاوية بينهما:
تم إثبات العبارات التالية بنفس الطريقة تمامًا كما في قياس التخطيط:
المنتج القياسي لمتجهين غير صفريين يكون صفرًا إذا وفقط إذا كان المتجهان متعامدين.
المربع القياسي للمتجه، أي المنتج القياسي لنفسه ولنفسه، يساوي مربع طوله.
يمكن حساب المنتج العددي لمتجهين والمعطى بإحداثياتهما باستخدام الصيغة
تكون المتجهات متعامدة إذا وفقط إذا كان حاصل ضربها القياسي صفرًا. مثال. نظرا لاثنين من المتجهات و . ستكون هذه المتجهات متعامدة إذا كان التعبير x1x2 + y1y2 = 0. الزاوية بين المتجهات غير الصفرية هي الزاوية بين الخطوط المستقيمة التي تكون هذه المتجهات بمثابة أدلة لها. بحكم التعريف، تعتبر الزاوية بين أي متجه والمتجه الصفري مساوية للصفر. إذا كانت الزاوية بين المتجهات 90 درجة، فإن هذه المتجهات تسمى متعامدة. سنشير إلى الزاوية بين المتجهات على النحو التالي:
تكشف هذه المقالة معنى عمودي متجهين على مستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد وإيجاد إحداثيات متجه عمودي على واحد أو زوج كامل من المتجهات. ينطبق هذا الموضوع على المسائل التي تتضمن معادلات الخطوط والمستويات.
سننظر في الشرط الضروري والكافي لتعامد متجهين، ونحل طريقة إيجاد متجه عمودي على متجه معين، ونتطرق إلى حالات العثور على متجه عمودي على متجهين.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
شرط ضروري وكاف لتعامد متجهين
دعونا نطبق القاعدة المتعلقة بالمتجهات المتعامدة على المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد.
التعريف 1
بشرط أن تكون الزاوية بين متجهين غير صفريين تساوي 90 درجة (π 2 راديان) تسمى عمودي.
ماذا يعني هذا، وفي أي الحالات من الضروري معرفة عموديهما؟
من الممكن إنشاء عمودي من خلال الرسم. عند رسم متجه على مستوى من نقاط معينة، يمكنك قياس الزاوية بينهما هندسيًا. حتى لو تم تحديد عمودي المتجهات، فلن يكون دقيقًا تمامًا. في أغلب الأحيان، لا تسمح لك هذه المهام بالقيام بذلك باستخدام المنقلة، لذا فإن هذه الطريقة قابلة للتطبيق فقط عندما لا يكون هناك أي شيء آخر معروف عن المتجهات.
معظم حالات إثبات تعامد متجهين غير صفريين على المستوى أو في الفضاء تتم باستخدام شرط ضروري وكاف لتعامد متجهين.
النظرية 1
المنتج العددي لمتجهين غير صفريين a → و b → يساوي الصفر لتحقيق المساواة a → , b → = 0 يكفي لتعامدهما.
الدليل 1
دع المتجهات المعطاة a → و b → تكون متعامدة، ثم سنثبت المساواة a ⇀ , b → = 0 .
من تعريف المنتج النقطي للمتجهاتونحن نعلم أنه يساوي حاصل ضرب أطوال المتجهات المعطاة وجيب تمام الزاوية بينهما. حسب الحالة، فإن a → و b → متعامدان، مما يعني، بناءً على التعريف، أن الزاوية بينهما هي 90 درجة. ثم لدينا → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
الجزء الثاني من الإثبات
بشرط أن يكون a ⇀، b → = 0، يثبت عمودي a → و b →.
والواقع أن الدليل هو عكس الدليل السابق. من المعروف أن a → و b → غير صفر، مما يعني أنه من المساواة a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ نجد جيب التمام. ثم نحصل على cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . نظرًا لأن جيب التمام هو صفر، يمكننا أن نستنتج أن الزاوية a →، b → ^ للمتجهات a → وb → تساوي 90 درجة. بحكم التعريف، هذه خاصية ضرورية وكافية.
حالة العمودية على المستوى الإحداثي
الفصل المنتج العددي في الإحداثياتيوضح عدم المساواة (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , صالح للمتجهات ذات الإحداثيات a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y)، على المستوى و (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y للمتجهات a → = (a x , a y , az) و b → = (b x , b y , b z) في الفضاء. الشرط الضروري والكافي لتعامد متجهين في المستوى الإحداثي هو a x · b x + a y · b y = 0، للفضاء ثلاثي الأبعاد a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
دعونا نضع ذلك موضع التنفيذ وننظر إلى الأمثلة.
مثال 1
تحقق من خاصية التعامد بين متجهين a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
حل
لحل هذه المشكلة، تحتاج إلى العثور على المنتج العددي. فإذا كان حسب الشرط يساوي صفراً، فإنهما متعامدان.
(أ → , ب →) = أ س · ب س + أ ص · ب ص = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . تم استيفاء الشرط، وهو ما يعني أن المتجهات المعطاة متعامدة مع المستوى.
إجابة:نعم، المتجهان a → وb → متعامدان.
مثال 2
يتم إعطاء المتجهات الإحداثية i →، j →، k →. تحقق مما إذا كانت المتجهات i → - j → وi → + 2 · j → + 2 · k → يمكن أن تكون متعامدة.
حل
لكي تتذكر كيفية تحديد إحداثيات المتجهات، عليك قراءة المقال عنه إحداثيات المتجهات في نظام الإحداثيات المستطيل.وهكذا، نجد أن المتجهات المعطاة i → - j → وi → + 2 · j → + 2 · k → لها إحداثيات مقابلة (1، - 1، 0) و (1، 2، 2). نعوض بالقيم العددية ونحصل على: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
التعبير لا يساوي الصفر، (i → + 2 j → + 2 k →، i → - j →) ≠ 0، مما يعني أن المتجهات i → - j → وi → + 2 j → + 2 k → ليست متعامدة، لأن الشرط لم يتحقق.
إجابة:لا، المتجهات i → - j → وi → + 2 · j → + 2 · k → ليست متعامدة.
مثال 3
بالنظر إلى المتجهات a → = (1, 0, - 2) و b → = (lect, 5, 1). أوجد قيمة التي تكون عندها هذه المتجهات متعامدة.
حل
نستخدم شرط تعامد متجهين في الفضاء على شكل مربع، ثم نحصل عليه
أ x ب x + أ y ب y + أ ض ب ض = 0 ⇔ 1 lect + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ lect = 2
إجابة:تكون المتجهات متعامدة عند القيمة lect = 2.
هناك حالات تكون فيها مسألة التعامد مستحيلة حتى في ظل ظروف ضرورية وكافية. بالنظر إلى البيانات المعروفة على الجوانب الثلاثة للمثلث على متجهين، فمن الممكن العثور عليها الزاوية بين المتجهاتوالتحقق من ذلك.
مثال 4
إذا كان لديك مثلث A B C أضلاعه A B = 8، A C = 6، B C = 10 سم، تحقق من المتجهين A B → و A C → للتعامد.
حل
إذا كان المتجهان A B → و A C → متعامدين، فإن المثلث A B C يعتبر مستطيلاً. ثم نطبق نظرية فيثاغورس، حيث B C هو وتر المثلث. المساواة ب ج 2 = أ ب 2 + أ ج 2 يجب أن تكون صحيحة. يترتب على ذلك أن 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. هذا يعني أن A B و A C هما ساقان للمثلث A B C، وبالتالي فإن A B → و A C → متعامدان.
من المهم أن تتعلم كيفية العثور على إحداثيات المتجه المتعامد مع المتجه المعطى. وهذا ممكن على المستوى وفي الفضاء، بشرط أن تكون المتجهات متعامدة.
إيجاد متجه عمودي على متجه معين في المستوى.
يمكن أن يحتوي المتجه غير الصفري a → على عدد لا نهائي من المتجهات المتعامدة على المستوى. دعونا نصور هذا على خط الإحداثيات.
نظرًا لمتجه غير صفري a → يقع على الخط المستقيم أ. ثم يصبح b →، الموجود على أي خط عمودي على الخط a، عموديًا على →. إذا كان المتجه i → متعامدًا مع المتجه j → أو أي من المتجهات lect · j → مع lect يساوي أي رقم حقيقي غير الصفر، ثم ابحث عن إحداثيات المتجه b → المتعامد مع a → = (a x , a y ) يتم اختزاله إلى مجموعة لا حصر لها من الحلول. لكن من الضروري إيجاد إحداثيات المتجه العمودي على a → = (a x , a y) . للقيام بذلك، من الضروري كتابة حالة عمودية المتجهات بالشكل التالي: a x · b x + a y · b y = 0. لدينا b x وb y، وهما الإحداثيات المطلوبة للمتجه العمودي. عندما تكون a x ≠ 0، تكون قيمة b y غير صفرية، ويمكن حساب b x من عدم المساواة a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. بالنسبة لـ a x = 0 و a y ≠ 0، نقوم بتعيين b x أي قيمة غير الصفر، ونجد b y من التعبير b y = - a x · b x a y .
مثال 5
بالنظر إلى متجه بإحداثيات a → = (- 2 , 2) . أوجد متجهًا عموديًا على هذا.
حل
دعونا نشير إلى المتجه المطلوب كـ b → (b x , b y) . يمكن إيجاد إحداثياتها بشرط أن يكون المتجهان a → و b → متعامدين. ثم نحصل على: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . لنخصص b y = 1 ونعوض: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . وبالتالي، من الصيغة نحصل على b x = - 2 - 2 = 1 2. هذا يعني أن المتجه b → = (1 2 , 1) هو متجه عمودي على a → .
إجابة:ب → = (1 2 ، 1) .
وإذا طرح السؤال عن الفضاء ثلاثي الأبعاد، فإن المشكلة تحل وفق نفس المبدأ. بالنسبة لمتجه معين a → = (a x , a y , a z) يوجد عدد لا نهائي من المتجهات المتعامدة. سيتم إصلاح هذا على مستوى الإحداثيات ثلاثي الأبعاد. نظرا → الكذب على الخط أ. يُشار إلى المستوى المتعامد على المستقيم a بالرمز α. في هذه الحالة، أي متجه غير صفري b → من المستوى α يكون متعامدًا مع →.
من الضروري إيجاد إحداثيات b → عمودي على المتجه غير الصفري a → = (a x , a y , a z) .
دع b → يُعطى بالإحداثيات b x و b y و b z . للعثور عليهم، من الضروري تطبيق تعريف حالة عمودي متجهين. يجب استيفاء المساواة a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0. من الشرط أن → غير صفر، مما يعني أن أحد الإحداثيات له قيمة لا تساوي الصفر. لنفترض أن x ≠ 0، (a y ≠ 0 أو z ≠ 0). لذلك، لدينا الحق في تقسيم المتباينة بأكملها a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 على هذا الإحداثي، نحصل على التعبير b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + أ ض · ب ض أ س . نقوم بتعيين أي قيمة للإحداثيات b y و b x، ونحسب قيمة b x بناءً على الصيغة، b x = - a y · b y + a z · b z a x. سيكون للمتجه العمودي المطلوب القيمة a → = (a x, a y, a z).
دعونا نلقي نظرة على الدليل باستخدام مثال.
مثال 6
نظرًا لمتجه بإحداثيات a → = (1، 2، 3) . أوجد المتجه العمودي على المتجه المعطى.
حل
دعونا نشير إلى المتجه المطلوب بواسطة b → = (b x , b y , b z) . بناءً على شرط أن تكون المتجهات متعامدة، يجب أن يكون حاصل الضرب القياسي مساويًا للصفر.
أ ⇀ , ب ⇀ = 0 ⇔ أ س ب س + أ ص ب ص + أ ض ب ض = 0 ⇔ 1 ب س + 2 ب ص + 3 ب ض = 0 ⇔ ب س = - (2 ب ص + 3 ب ض)
إذا كانت قيمة b y = 1، b z = 1، فإن b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. ويترتب على ذلك أن إحداثيات المتجه b → (- 5 , 1 , 1) . المتجه b → هو أحد المتجهات المتعامدة مع المعطى.
إجابة:ب → = (- 5 , 1 , 1) .
إيجاد إحداثيات متجه عمودي على متجهين معلومين
علينا إيجاد إحداثيات المتجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد. وهو عمودي على المتجهات غير الخطية a → (a x , a y , a z) و b → = (b x , b y , b z) . بشرط أن يكون المتجهان a → و b → على خط واحد، سيكون كافيًا العثور على متجه عمودي على a → أو b → في المشكلة.
عند الحل، يتم استخدام مفهوم المنتج المتجه للمتجهات.
منتج متجه من المتجهات a → و b → هو متجه متعامد في نفس الوقت على كل من a → و b →. لحل هذه المشكلة، يتم استخدام المنتج المتجه a → × b →. بالنسبة للفضاء ثلاثي الأبعاد، يكون له الشكل a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
دعونا نلقي نظرة على المنتج المتجه بمزيد من التفاصيل باستخدام مثال للمسألة.
مثال 7
يتم إعطاء المتجهات b → = (0، 2، 3) و → = (2، 1، 0). ابحث عن إحداثيات أي متجه عمودي على البيانات في وقت واحد.
حل
لحل هذه المشكلة، عليك إيجاد حاصل ضرب المتجهات للمتجهات. (يرجى الرجوع إلى الفقرة حساب محدد المصفوفةللعثور على المتجه). نحن نحصل:
أ → × ب → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 ط → + (- 6) ي → + 4 ك →
إجابة: (3 , - 6 , 4) - إحداثيات المتجه المتعامد في نفس الوقت على المعطى a → و b → .
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
أوم للقيام بذلك، نقدم أولاً مفهوم القطعة.
التعريف 1
سنسمي القطعة جزءًا من الخط الذي يحده نقاط على كلا الجانبين.
التعريف 2
نهايات القطعة هي النقاط التي تحدها.
لتقديم تعريف المتجه، نسمي أحد طرفي القطعة بدايته.
التعريف 3
سوف نسمي المتجه (القطعة الموجهة) المقطع الذي يُشار فيه إلى النقطة الحدودية التي هي بدايته والتي هي نهايته.
ملاحظة: \overline(AB) هو متجه AB يبدأ عند النقطة A وينتهي عند النقطة B.
بخلاف ذلك، بحرف واحد صغير: \overline(a) (الشكل 1).
التعريف 4
سنسمي المتجه الصفري أي نقطة تنتمي إلى المستوى.
الرمز: \overline(0) .
دعونا الآن نقدم مباشرة تعريف المتجهات الخطية.
وسنقدم أيضًا تعريف المنتج العددي، والذي سنحتاج إليه لاحقًا.
التعريف 6
المنتج القياسي لمتجهين محددين هو رقم (أو رقم) يساوي منتج أطوال هذين المتجهين مع جيب تمام الزاوية بين هذين المتجهين.
رياضيا قد يبدو مثل هذا:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
يمكن أيضًا إيجاد حاصل الضرب النقطي باستخدام إحداثيات المتجهات كما يلي
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
علامة العمودية من خلال التناسب
النظرية 1
لكي تكون المتجهات غير الصفرية متعامدة مع بعضها البعض، من الضروري والكافي أن يكون حاصل ضربها القياسي لهذه المتجهات يساوي صفرًا.
دليل.
ضرورة: دعونا نحصل على المتجهات \overline(α) و \overline(β) التي لها إحداثيات (α_1,α_2,α_3) و (β_1,β_2,β_3) على التوالي، وهي متعامدة مع بعضها البعض. ثم نحن بحاجة إلى إثبات المساواة التالية
نظرًا لأن المتجهين \overline(α) و\overline(β) متعامدان، فإن الزاوية بينهما هي 90^0. دعونا نوجد المنتج القياسي لهذه المتجهات باستخدام الصيغة من التعريف 6.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
الكفاية : لتكن المساواة صحيحة \overline(α)\cdot \overline(β)=0. دعونا نثبت أن المتجهين \overline(α) و\overline(β) سيكونان متعامدين مع بعضهما البعض.
بموجب التعريف 6، ستكون المساواة صحيحة
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
لذلك، فإن المتجهين \overline(α) و \overline(β) سيكونان متعامدين مع بعضهما البعض.
لقد تم إثبات النظرية.
مثال 1
أثبت أن المتجهات ذات الإحداثيات (1,-5,2) و (2,1,3/2) متعامدة.
دليل.
دعونا نجد المنتج القياسي لهذه المتجهات باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
وهذا يعني، وفقًا للنظرية 1، أن هذه المتجهات متعامدة.
إيجاد متجه عمودي على متجهين معلومين باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي
دعونا أولاً نقدم مفهوم المنتج المتجه.
التعريف 7
سيكون حاصل ضرب المتجه لمتجهين متجهًا متعامدًا على كلا المتجهين المعطاين، وسيكون طوله مساويًا لمنتج أطوال هذين المتجهين مع جيب الزاوية بين هذين المتجهين، وكذلك هذا المتجه مع اثنين الأولية لها نفس اتجاه نظام الإحداثيات الديكارتية.
تعيين: \overline(α)x\overline(β)x.
للعثور على المنتج المتجه، سوف نستخدم الصيغة
\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
بما أن متجه حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين متعامد على كلا المتجهين، فسيكون هو المتجه. وهذا يعني أنه من أجل العثور على متجه عمودي على متجهين، تحتاج فقط إلى العثور على منتجهما المتجه.
مثال 2
ابحث عن متجه عمودي على المتجهات بإحداثيات \overline(α)=(1,2,3) و \overline(β)=(-1,0,3)
دعونا نجد المنتج المتجه لهذه المتجهات.
\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) س
تعليمات
إذا تم تصوير المتجه الأصلي في الرسم في نظام إحداثيات مستطيل ثنائي الأبعاد ويحتاج إلى إنشاء نظام عمودي هناك، فانتقل من تعريف عمودي المتجهات على المستوى. تنص على أن الزاوية بين هذا الزوج من الأجزاء الموجهة يجب أن تكون مساوية 90 درجة. يمكن بناء عدد لا نهائي من هذه المتجهات. لذلك، ارسم عموديًا على المتجه الأصلي في أي مكان مناسب على المستوى، ثم ضع قطعة عليه تساوي طول زوج معين من النقاط وقم بتعيين أحد طرفيه كبداية للمتجه العمودي. افعل ذلك باستخدام المنقلة والمسطرة.
إذا تم إعطاء المتجه الأصلي بإحداثيات ثنائية الأبعاد ā = (X₁;Y₁)، فافترض أن المنتج القياسي لزوج من المتجهات المتعامدة يجب أن يساوي الصفر. هذا يعني أنك بحاجة إلى تحديد المتجه المطلوب ō = (X₂,Y₂) مثل هذه الإحداثيات التي ستحمل المساواة (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. يمكن القيام بذلك على النحو التالي: اختر أي قيمة غير صفرية للإحداثي X₂، وحساب الإحداثي Y₂ باستخدام الصيغة Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. على سبيل المثال، بالنسبة للمتجه ā = (15;5) سيكون هناك متجه ō، مع الإحداثي يساوي واحدًا والإحداثي يساوي -(15*1)/5 = -3، أي. ō = (1؛-3).
بالنسبة لنظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد وأي نظام إحداثيات متعامد آخر، يكون نفس الشرط الضروري والكافي لتعامد المتجهات صحيحًا - يجب أن يكون منتجها العددي مساويًا للصفر. لذلك، إذا تم إعطاء المقطع الموجه الأولي بالإحداثيات ā = (X₁,Y₁,Z₁)، فحدد لزوج النقاط المرتب ō = (X₂,Y₂,Z₂) المتعامد عليه مثل الإحداثيات التي تستوفي الشرط (ā,ō) ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. أسهل طريقة هي تعيين قيم فردية لـ X₂ وY₂، وحساب Z₂ من المساواة المبسطة Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. على سبيل المثال، بالنسبة للمتجه ā = (3,5,4) سيأخذ هذا الشكل التالي: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. ثم خذ الإحداثي الإحداثي والإحداثي للخط المتجه المتعامد هو واحد، وفي هذه الحالة سيكون مساويًا لـ -(3+5)/4 = -2.
مصادر:
- أوجد المتجه إذا كان متعامدًا
يطلق عليهم عمودي المتجه، الزاوية بينهما 90 درجة. يتم إنشاء المتجهات المتعامدة باستخدام أدوات الرسم. إذا كانت إحداثياتها معروفة، فيمكن التحقق من عمودي المتجهات أو العثور عليه باستخدام الطرق التحليلية.
سوف تحتاج
- - منقلة
- - بوصلة؛
- - مسطرة.
تعليمات
اضبطه على نقطة البداية للمتجه. ارسم دائرة بنصف قطر عشوائي. ثم قم ببناء اثنين مركزهما عند النقاط التي تقاطعت فيها الدائرة الأولى مع الخط الذي يقع عليه المتجه. يجب أن تكون أنصاف أقطار هذه الدوائر متساوية مع بعضها البعض وأكبر من الدائرة الأولى التي تم إنشاؤها. عند نقاط تقاطع الدائرتين، أنشئ خطًا مستقيمًا يكون متعامدًا مع المتجه الأصلي عند أصله، ثم رسم عليه متجهًا عموديًا على هذا المتجه.
أوجد متجهًا عموديًا على المتجه الذي إحداثياته تساوي (x;y). للقيام بذلك، ابحث عن زوج من الأرقام (x1;y1) من شأنه أن يحقق المساواة x x1+y y1=0. في هذه الحالة، سيكون المتجه ذو الإحداثيات (x1;y1) متعامدًا مع المتجه ذو الإحداثيات (x;y).