نظام الإحداثيات القطبية (الإحداثيات القطبية)

نظام الإحداثيات القطبية على المستوى هو مزيج من النقطة O، التي تسمى القطب، ونصف الخط OX، الذي يسمى المحور القطبي. وبالإضافة إلى ذلك، يتم تحديده شريحة النطاقلقياس المسافات من نقاط المستوى إلى القطب. كقاعدة عامة، يتم تحديد المتجه \vec(i) على المحور القطبي، ويطبق على النقطة O، التي يؤخذ طولها كقيمة مقطع المقياس، ويحدد اتجاه المتجه الاتجاه الموجب على القطبي المحور (الشكل 2.28 أ).

موضع النقطة M النظام القطبييتم تحديد الإحداثيات بالمسافة ص ( نصف القطر القطبي) من النقطة M إلى القطب (أي. r=\vert\overrightarrow(OM)\vert) والزاوية \varphi (الزاوية القطبية) بين المحور القطبي والمتجه \overrightarrow(OM). نصف القطر القطبي والزاوية القطبية هما الإحداثيات القطبيةالنقاط M، والتي يتم كتابتها كـ M(r,\varphi) . تقاس الزاوية القطبية بالراديان وتقاس من المحور القطبي:

في الاتجاه الموجب (عكس اتجاه عقارب الساعة)، إذا كانت قيمة الزاوية موجبة؛

في الاتجاه السالب (اتجاه عقارب الساعة) إذا كانت قيمة الزاوية سالبة.

يتم تعريف نصف القطر القطبي لأي نقطة في المستوى ويأخذ قيمًا غير سالبة r\geqslant0 . يتم تعريف الزاوية القطبية \varphi لأي نقطة في المستوى، باستثناء القطب O، وتأخذ القيم -\باي<\varphi\leqslant\pi ، مُسَمًّى القيم الرئيسية للزاوية القطبية. في بعض الحالات، من المستحسن افتراض أن الزاوية القطبية محددة بالحدود 2\pi n ، حيث n\in\mathbb(Z) . في هذه الحالة، تتوافق قيم \varphi+2\pi n للزاوية القطبية لجميع n\in\mathbb(Z) مع نفس اتجاه متجه نصف القطر.

يمكن أن يرتبط نظام الإحداثيات القطبية Or\varphi بنظام إحداثيات مستطيل O\vec(i)\vec(j)، أصله O يتزامن مع القطب، ومحور الإحداثي المحوري (بشكل أكثر دقة، شبه الإحداثي الموجب المحور) يتزامن مع المحور القطبي. يكتمل المحور الإحداثي بشكل عمودي على محور الإحداثي السيني بحيث يتم الحصول على نظام إحداثيات مستطيل الشكل (الشكل 2.28، ب). يتم تحديد أطوال المتجهات الأساسية بواسطة مقطع المقياس على المحور القطبي.

على العكس من ذلك، إذا تم إعطاء نظام إحداثيات مستطيل الشكل على المستوى الأيمن، فعند أخذ نصف المحور الموجب للإحداثيات المحورية كمحور قطبي، نحصل على نظام إحداثيات قطبي (مرتبط بالنظام المستطيل المحدد).

دعونا نشتق الصيغ التي تربط الإحداثيات المستطيلة x,y للنقطة M، والمختلفة عن النقطة O، وإحداثياتها القطبية r,\varphi. وفقا للشكل 2.28،ب نحصل على

\begin(cases)x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi.\end(cases)

تتيح لك هذه الصيغ العثور على إحداثيات مستطيلة من الإحداثيات القطبية المعروفة. يتم تنفيذ الانتقال العكسي وفقًا للصيغ:

\left\(\begin(aligned)r&= \sqrt(x^2+y^2),\\ \cos\varphi&= \frac(x)(r)=\frac(x)(\sqrt(x^ 2+y^2))),\\ \sin\varphi&= \frac(y)(r)=\frac(y)(\sqrt(x^2+y^2)).\end(محاذاة)\يمين .

تحدد المتساويتان الأخيرتان الزاوية القطبية حتى الحدود 2\pi n ، حيث n\in\mathbb(Z) . بالنسبة لـ x\ne0 يتبع ذلك \اسم المشغل(tg)\frac(y)(x)\varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi) تم العثور عليه وفقًا للصيغ (الشكل 2.29):

\varphi=\left\(\begin(محاذاة)\operatorname(arctg)\frac(y)(x),\quad&x>0,\\\pi+\operatorname(arctg)\frac(y)(x),\ رباعية&x<0,\,y\geqslant0,\\-\pi+\operatorname{arctg}\frac{y}{x},\quad&x<0,\,y<0,\\\frac{\pi}{2},\quad&x=0,\,y>0,\\-\frac(\pi)(2),\quad&x=0,\,y<0.\end{aligned}\right.

مثال 2.9.في نظام الإحداثيات القطبية Or\varphi :

أ) رسم خطوط الإحداثيات r=1,~r=2,~r=3,~\varphi=\frac(\pi)(4),~\varphi=\frac(\pi)(2);

ب) تصوير النقاط M_1،~M_2 بإحداثيات قطبية r_1=3,~\varphi_1=\frac(9\pi)(4),~r_2=3,~\varphi=-\frac(7\pi)(4). أوجد القيم الأساسية للزوايا القطبية لهذه النقاط؛

ج) أوجد الإحداثيات المستطيلة للنقاط M_1,~M_2.

حل.أ) خطوط الإحداثيات r=1,~r=2,~r=3 تمثل دوائر ذات أنصاف أقطار مقابلة، والخطوط \varphi=\frac(\pi)(4)، \varphi=\frac(\pi)(2)و \varphi=\frac(3\pi)(4)- شبه مستقيم (الشكل 2.30، أ).

ب) دعونا نرسم النقاط M_1\!\left(3,\frac(9\pi)(4)\يمين)و M_2\!\left(3,-\frac(7\pi)(4)\يمين)(الشكل 2.30، ب، ج). تختلف إحداثياتها في الزاوية القطبية، إلا أنها تحمل نفس المعنى الرئيسي \varphi=\frac(\pi)(4). ولذلك فهذه هي النقطة نفسها التي تتطابق مع النقطة M\!\left(3,\frac(\pi)(4)\يمين)، كما هو موضح في الشكل 2.30، أ.

ج) مع الأخذ في الاعتبار النقطة "ب"، فلنوجد الإحداثيات المستطيلة للنقطة M. باستخدام الصيغ (2.17) نحصل على:

x=r\cdot\cos\varphi=3\cdot\cos\frac(\pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2);~y=r\cdot\sin\frac( \pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2),إنه M\!\left(\frac(3\sqrt(2))(2)،\frac(3\sqrt(2))(2)\يمين).

ملاحظات 2.8

1. يمكن اختيار القيمة الرئيسية للزاوية القطبية بشكل مختلف، على سبيل المثال، 0\leqslant\varphi<2\pi .

2. المسافة بين نقطتين M_1(r_1,\varphi_1)و M_2(r_2,\varphi_2)(طول المقطع M_1M_2) يتم حسابه بواسطة الصيغة

M_1M_2=\sqrt(r_1^2+r_2^2-2\cdot r_1\cdot r_2\cdot\cos(\varphi_2-\varphi_1))،

الذي يتبع من نظرية جيب التمام (الشكل 2.31).

3. المنطقة الموجهة S_(\ast)^(\land) لمتوازي الأضلاع (الشكل 2.31)، المبنية على متجهات نصف القطر و ، تم العثور عليها بواسطة الصيغة

S_(\ast\overrightarrow(OM_1),\overrightarrow(OM_2))^(\land)=\overrightarrow(OM_1)\land\overrightarrow(OM_2)=r_1\cdot r_2\cdot\sin(\varphi_2-\varphi_1) .

إنه أمر إيجابي إذا \varphi_1<\varphi_2 (في هذه الحالة، اتجاه زوج من ناقلات نصف القطر \overrightarrow(OM_1)و \overrightarrow(OM_2)صحيح)، والنفي إذا \varphi_1>\varphi_2(اتجاه زوج من ناقلات نصف القطر \overrightarrow(OM_1)و \overrightarrow(OM_2)غادر).

مثال 2.10.يتم إعطاء الإحداثيات القطبية \varphi_A=\frac(\pi)(3),~r_A=4و \varphi_B=\frac(2\pi)(3),~r_B=2النقطتان A و B (الشكل 2.32). تحتاج لتجد:

أ) المنتج العددي \bigl\langle\overrightarrow(OA)،\overrightarrow(OB)\bigl\rangle;

ب) طول الجزء AB؛

ج) المنتج الخارجي \overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB);

د) المنطقة S_(OAB) للمثلث OAB؛

هـ) إحداثيات المركز C للجزء AB في نظام إحداثيات مستطيل مرتبط بنظام قطبي معين.

حل.أ) من خلال تعريف المنتج العددي نجد

\left\langle\overrightarrow(OA)،\overrightarrow(OB)\right\rangle=\left|\overrightarrow(OA)\right|(\cdot)\left|\overrightarrow(OB)\right|\!\cdot \cos\psi=r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A)=4\cdot2\cdot\cos\frac(\pi)(3)=4.

ب) أوجد طول المقطع (انظر الفقرة 2 من الملاحظة 2.8):

AB=\sqrt(r_A^2+r_B^2-2\cdot r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A))=\sqrt(4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\ cdot\frac(1)(2))=2\sqrt(3).

ج) نجد المنتج الخارجي باعتباره المنطقة الموجهة لمتوازي الأضلاع المبني على المتجهات و:

\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)=r_A\cdot r_B\cdot\sin(\varphi_B-\varphi_A)=2\cdot4\cdot\sin\frac(\pi)(3)=4\sqrt( 3).

المنطقة إيجابية، منذ النواقل \overrightarrow(OA)و \overrightarrow(OB)تشكيل الزوج الصحيح (\varphi_A<\varphi_B) .

د) تم العثور على مساحة المثلث OAB على أنها نصف مساحة متوازي الأضلاع المبني على متجهات نصف القطر \overrightarrow(OA)و \overrightarrow(OB).

لأن S_(\ast\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB))=\left|\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)\right|=4\sqrt(3)(انظر الفقرة "ج")، إذن S_(OAB)=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(3)=2\sqrt(3).

هـ) باستخدام الصيغ (2.17) نجد الإحداثيات المستطيلة للنقطتين A و B:

\begin(مجمع)x_A=r_A\cdot\cos\varphi_A=4\cdot\frac(1)(2)=2,\quad y_A=r_A\cdot\sin\varphi_A=4\cdot\frac(\sqrt( 3))(2)=2\sqrt(3);\\ x_B=r_B\cdot\cos\varphi_B=2\cdot\frac(-1)(2)=-1,\quad y_B=r_B\cdot\ الخطيئة\varphi_B=2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)=\sqrt(3).\end(مجمع)

ثم إحداثيات المنتصف C للجزء AB (انظر الفقرة 3 من الملاحظة 2.1):

x_C=\frac(x_A+x_b)(2)=\frac(2+(-1))(2)=\frac(1)(2);\quad y_C=\frac(y_A+y_B)(2) =\frac(2\sqrt(3)+\sqrt(3))(2)=\frac(3\sqrt(3))(2).

مثال 2.11.تم وضع علامة على النقطة A(4,-3) على مستوى الإحداثيات أوكسي. يجد:

أ) الإحداثيات القطبية للنقطة أ"، صورة النقطة أ عند تدوير ناقل نصف القطر \overrightarrow(OA)بالزاوية \frac(\pi)(3) حول نقطة الأصل (الشكل 2.33)؛

ب) الإحداثيات القطبية للنقطة A_1، صورة النقطة A عندما يكون المستوى مقلوبًا بالنسبة إلى دائرة نصف قطرها وحدة يكون مركزها عند نقطة الأصل (انظر المثال ب لتحولات المستوى في القسم 2.2.4).

حل.أ) أوجد الإحداثيات القطبية للنقطة أ. وفقا للصيغ (2.17)، مع الأخذ بعين الاعتبار الشكل. 2.29، نحصل على:

r_A=\sqrt(x_A^2+y_A^2)=\sqrt(4^2+(-3)^2)=5;\quad\varphi_A=\اسم المشغل(arctg)\frac(y_A)(x_A)= \ اسم المشغل (arctg) \ frac (-3) (4) = - \ اسم المشغل (arctg) \ frac (3) (4)،

نظرًا لأن النقطة A تقع في ربع \text(IV).

عند تدوير ناقل نصف القطر \overrightarrow(OA)حول القطب بزاوية \frac(\pi)(3)، لا يتغير نصف القطر القطبي، بل تزداد الزاوية القطبية. وبالتالي فإن الإحداثيات القطبية للنقطة A: r_(A")=r_(A)=5, \varphi_(A")=\varphi_(A)+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(3)-\اسم المشغل(arctg)\frac(3)(4)، و \varphi_(A") هي القيمة الرئيسية للزاوية القطبية (-\باي<\varphi_{A"}\leqslant\pi) .

ب) عند الانقلاب بالنسبة إلى دائرة نصف قطرها R، يتم التعبير عن الإحداثيات القطبية r"،\varphi" للصورة من خلال الإحداثيات القطبية r،\varphi للصورة المعكوسة بالصيغة التالية:

r"=\frac(R^2)(r),\quad\varphi"=\varphi.

لذلك، ومع مراعاة النقطة "أ" نجد (بالنسبة لـ R=1):

r_(A_1)=\frac(1)(r_A)=\frac(1)(5)،\quad\varphi_(A_1)=\varphi_(A)=-\اسم المشغل(arctg)\frac(3)(4) ).

صفحة 1

إحداثيات y لأي نقطة في الربع الأول تكون موجبة.

النقاط في الربعين الثالث والرابع لها إحداثيات Y سالبة، وفي الربع الثالث تكون إحداثيات X للنقاط سالبة.

تعرض لوحة الإحداثيات إحداثيات X وY الدقيقة للموقع الحالي لمؤشر ArchiCAD في نظام الإحداثيات المستخدم.

في الربع الثاني، تكون إحداثيات X للنقاط موجبة، وإحداثيات Y سالبة.

تكمن الصعوبة في أن موقع الملكات يتم تحديده فقط من خلال إحداثيات Y الخاصة بها، وأن إحداثيات X غير موجودة بشكل واضح في تمثيل الموضع.

عند البحث عن الحل استخدم البرنامج الموضح في الصورة 4.7، يختبر قيمًا مختلفة لإحداثيات Y للملكات. أين يتم تحديد ترتيب تعداد الخيارات البديلة في البرنامج؟

نظرًا لأنه من المعتاد كتابة إحداثي X لنقطة ما أولاً، ثم إحداثي Y، فإن التعبير - r - / Q - P لا يحدد بعد القيمة المطلوبة. والنتيجة تساوي حاصل قسمة الفرق في الإحداثيات على طول المحور X على الفرق في قيم الإحداثيات على طول المحور Y، والذي يعطي حسب التعريف القيمة العكسية لميل الخط.

قيم التنسيق) ويضعها في جدول رسائل الإخراج وقائمة بيانات الإخراج. وبعد ذلك، سيتم إرسال هذا الأمر، الذي يحتوي على إحداثيات X وY لموضع الشاشة المحدد، إلى الكمبيوتر الرئيسي.

سيتم تحديد موضع النظام الجديد XOt Y بالنسبة للنظام القديم xOy إذا كانت الإحداثيات a و b للأصل الجديد O معروفة حسب النظام القديم والزاوية a بين المحورين Ox و OtX. دعونا نشير بواسطة x وy إلى إحداثيات النقطة العشوائية M نسبة إلى النظام القديم، وبالإحداثيات X وY لنفس النقطة بالنسبة إلى النظام الجديد. مهمتنا هي التعبير عن الإحداثيات القديمة x وy من خلال الإحداثيات الجديدة X وY. ومن الواضح أن صيغ التحويل الناتجة يجب أن تتضمن الثوابت a وb وoc. سوف نحصل على حل لهذه المشكلة العامة من خلال النظر في حالتين خاصتين.

يشير إلى عنصرين في قائمة البيانات - X وY. يحتوي معالج العرض الخاص بالمحطة لدينا على أوامر منفصلة لتحريك الشعاع إلى موضع جديد في إحداثيات X وY. لذلك، يجب أن يقوم روتين الأمر SET ORIGIN بإنشاء أمرين لمعالج العرض. بالإضافة إلى ذلك، يجب عليك تحديد ما إذا كان الكائن الذي تتم تهيئته باستخدام أمر SET ORIGIN عبارة عن قطعة أم عنصر. للقيام بذلك، يستعلم الإجراء عن جدول الارتباط باستخدام حقل معلمة الأمر. في حالة المقطع، يتم تحديد الموضع على الشاشة بالإحداثيات المطلقة، في حالة العنصر - بالإحداثيات النسبية. يجب أن يقوم الروتين الذي ينفذ أمر SET ORIGIN بتعيين أو مسح بت خاص لأوامر معالج العرض المقابلة.

سوف يستكشف البرنامج هذه المنطقة اللانهائية من الفضاء إلى ما لا نهاية، ولن يقترب أبدًا من الهدف. للوهلة الأولى، يحتوي فضاء الحالة لمشكلة الملكات الثمانية، المحدد في هذا القسم، على فخ من هذا النوع بالضبط. ولكن اتضح أنها لا تزال محدودة، حيث يتم اختيار إحداثيات Y من مجموعة محدودة، وبالتالي لا يمكن وضع أكثر من ثماني ملكات بأمان على اللوحة.

يوفر الإجراء الذي ينفذ هذا الأمر أربعة أنواع من الوسائل لإنشاء الكائنات بشكل تفاعلي. الأداة الأولى هي إجراء معمم لرسم الخطوط المستقيمة. ويتم الرسم عن طريق تحريك علامة خاصة إلى بداية السطر ومن ثم نقلها إلى نهاية السطر. عندما تقوم بنقل تسمية إلى نهاية السطر، يتم إنشاء متجه يربط بداية السطر والموضع الحالي للملصق. من خلال تحرير المفتاح الموجود على جسم القلم الضوئي، يمكنك نقل العلامة من أحد طرفي الخط الذي ترسمه إلى الطرف الآخر. عندما يشير المستخدم إلى زر الضوء "قبول"، يتم إنشاء أمر L4، والذي يتم من خلاله نقل إحداثيات X وY للخط المرسوم إلى الكمبيوتر الرئيسي.

الصفحات: 1

يتكون نظام الإحداثيات المستطيل على المستوى من محوري إحداثيات متعامدين بشكل متبادل OX وOY. تتقاطع محاور الإحداثيات عند النقطة O والتي تسمى نقطة الأصل، ويتم اختيار الاتجاه الموجب على كل محور. في نظام الإحداثيات الأيمن، يتم اختيار الاتجاه الإيجابي للمحاور بحيث عندما يتم توجيه محور OY لأعلى، فإن محور OX يواجه اليمين.

الزوايا الأربع (I، II، III، IV) التي تشكلها محاور الإحداثيات X"X و Y"Y تسمى زوايا الإحداثيات أو الأرباع

يتم تحديد موضع النقطة A على المستوى بإحداثيتين x و y. الإحداثي x يساوي طول المقطع OB، والإحداثي y يساوي طول المقطع OC في وحدات القياس المحددة. يتم تعريف القطع OB وOC بخطوط مرسومة من النقطة A الموازية للمحورين Y"Y" وX"X، على التوالي. يسمى الإحداثي x بإحداثي النقطة A، ويسمى الإحداثي y بإحداثي النقطة A. وهو مكتوب على النحو التالي: .

إذا كانت النقطة A تقع في الزاوية الإحداثية I، فإن النقطة A لها إحداثي وإحداثي موجب. إذا كانت النقطة A تقع في الزاوية الإحداثية II، فإن النقطة A لها حد سالب وإحداثي موجب. إذا كانت النقطة A تقع في الزاوية الإحداثية III، فإن النقطة A لها الإحداثيات والإحداثيات السالبة. إذا كانت النقطة A تقع في الزاوية الإحداثية IV، فإن النقطة A لها حد موجب وإحداثي سالب.

نظام الإحداثيات المستطيلة في الفضاءيتكون من ثلاثة محاور إحداثية متعامدة بشكل متبادل OX وOY وOZ. تتقاطع محاور الإحداثيات عند النقطة O والتي تسمى الأصل، ويتم تحديد اتجاه موجب على كل محور، ويشار إليه بالأسهم، ووحدة قياس للقطاعات الموجودة على المحاور. الوحدات عادة ما تكون واحدة لجميع المحاور (وهذا ليس إلزاميا). OX - محور الإحداثي السيني، OY - المحور الإحداثي، OZ - المحور التطبيقي.

إذا تم أخذ إبهام اليد اليمنى كاتجاه X، وإصبع السبابة كاتجاه Y، والإصبع الأوسط كاتجاه Z، فسيتم تشكيل نظام إحداثي لليد اليمنى. تشكل الأصابع المتشابهة لليد اليسرى نظام الإحداثيات الأيسر. بمعنى آخر يتم اختيار الاتجاه الموجب للمحاور بحيث أنه عند تدوير محور OX عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90° فإن اتجاهه الموجب يتطابق مع الاتجاه الموجب لمحور OY، إذا لوحظ هذا الدوران من الاتجاه الموجب لـ OZ محور. من المستحيل الجمع بين أنظمة الإحداثيات اليمنى واليسرى بحيث تتزامن المحاور المقابلة.

يتم تحديد موضع النقطة A في الفضاء بثلاثة إحداثيات x وy وz. الإحداثي x يساوي طول المقطع OB، والإحداثي y هو طول المقطع OC، والإحداثي z هو طول المقطع OD في وحدات القياس المحددة. يتم تعريف المقاطع OB وOC وOD بمستويات مرسومة من النقطة A بالتوازي مع المستويات YOZ وXOZ وXOY، على التوالي. يسمى الإحداثي x بإحداثي النقطة A، ويسمى الإحداثي y بإحداثي النقطة A، ويسمى الإحداثي z تطبيق النقطة A. وهو مكتوب على النحو التالي: .

المساعدة الإنمائية الرسمية. يسمى نظام الإحداثيات (O; , , ) . مستطيل إذا: 1) المتجهات الأساسية لها وحدة الطول: = = =1؛

2) المتجهات الأساسية متعامدة بشكل زوجي (متعامد): ⏊ ⏊ .

يشار عادة إلى المتجهات الأساسية باسم المتجهات الأساسية، والإحداثيات هي x، y، z. تسمى محاور الإحداثيات: محور الثور - محور الإحداثي، أوي - محور الإحداثي، أوز - محور التطبيق.

نظرية.طول المتجه =(X,Y,Z) يساوي جذر مجموع مربعات إحداثياته: | |= .

وثيقة. يتم تمثيل المتجه بقطر متوازي مستطيل ذو جوانب X، .

أطوال أضلاع متوازي السطوح تساوي |X|،|Y|،|Z|. يساوي مجموع مربعات أطوال أضلاعه (تحتاج إلى تطبيق نظرية فيثاغورس مرتين). من هنا نحصل على الصيغة المطلوبة.

عاقبة.المسافة بين النقطتين A() و B() تساوي AB=.

وثيقة. أب=| |، =().

13. حجم إسقاط المتجه على المحور. جيب التمام الاتجاه.

المحور هو الخط المستقيم الذي يتم اختيار الاتجاه عليه. دع الاتجاه على المحور يعطى بواسطة متجه الوحدة.

اترك متجهًا تعسفيًا ودع A΄ وB΄ هما الإسقاطات المتعامدة للنقطتين A وB على الخط المستقيم l. اسم المتجهات إسقاط المتجه على المحور l.

المساعدة الإنمائية الرسمية. يسمى حجم إسقاط المتجه على المحور l. إحداثيات المتجه على الخط l نسبة إلى المتجه الأساسي، أي مثل هذا الرقم الذي = ، .

وهكذا نميز بين إسقاط المتجه على محور ومقدار إسقاط المتجه على المحور: الأول متجه، والثاني رقم. عند نقل متجه على التوازي، ينزاح المتجه أيضًا على التوازي على المحور l. ولذلك، فإن حجم إسقاط المتجه لا يعتمد على اختيار ممثل المتجه. كما أن حجم إسقاط مجموع المتجهات يساوي مجموع مقادير إسقاطها.

نظرية.مقدار إسقاط المتجه على المحور يساوي حاصل ضرب طول هذا المتجه وجيب تمام الزاوية بين المتجه والمحور: =| |cosφ، حيث φ=<().

وثيقة.لنتأمل حالتين: 1) زاوية حادة، 2) زاوية منفرجة.

جيب التمام الاتجاه.

دع α، β، γ هي الزوايا التي يصنعها المتجه =(X,Y,Z) مع محاور الإحداثيات. تسمى جيب التمام لهذه الزوايا، cosα، cosβ، cosγ. جيب تمام الاتجاه للمتجه.

α=<(Ox. ); β=<(Oy ); γ=<(Oz, .

ومن الواضح أن إحداثيات المتجه تساوي مقادير إسقاطات هذا المتجه على محاور الإحداثيات. لذلك X= = |cosα; Y= = |cosβ; Z= = |cosγ.

من هنا يمكننا إيجاد جيب تمام الاتجاه: cos = = ; كوس بيتا = ; cosγ=