المعادلة الخطية ذات المتغيرين هي أي معادلة لها الشكل التالي: أ*س + ب*ص =س.هنا x وy متغيران، a,b,c هي بعض الأرقام.
وفيما يلي عدد قليل أمثلة على المعادلات الخطية.
1. 10*س + 25*ص = 150;
مثل المعادلات ذات مجهول واحد، فإن المعادلة الخطية ذات متغيرين (مجهولين) لها حل أيضًا. على سبيل المثال، المعادلة الخطية x-y=5، حيث x=8 وy=3 تتحول إلى الهوية الصحيحة 8-3=5. في هذه الحالة، يقال أن زوج الأرقام x=8 و y=3 هو حل للمعادلة الخطية x-y=5. يمكنك أيضًا القول أن زوجًا من الأرقام x=8 وy=3 يحقق المعادلة الخطية x-y=5.
حل المعادلة الخطية
وبالتالي فإن حل المعادلة الخطية a*x + b*y = c هو أي زوج من الأرقام (x,y) يحقق هذه المعادلة، أي يحول المعادلة ذات المتغيرات x و y إلى مساواة عددية صحيحة. لاحظ كيف يتم كتابة زوج الأرقام x و y هنا. هذا الإدخال أقصر وأكثر ملاءمة. عليك فقط أن تتذكر أن المقام الأول في مثل هذا السجل هو قيمة المتغير x، والثاني هو قيمة المتغير y.
يرجى ملاحظة أن الأرقام x=11 وy=8 وx=205 وy=200 x= 4.5 وy= -0.5 تحقق أيضًا المعادلة الخطية x-y=5، وبالتالي فهي حلول لهذه المعادلة الخطية.
حل معادلة خطية ذات مجهولين ليس الوحيد.كل معادلة خطية في مجهولين لها عدد لا نهائي من الحلول المختلفة. وهذا هو، هناك كثيرة لا نهائية مختلفةرقمان x وy يحولان المعادلة الخطية إلى هوية حقيقية.
إذا كانت هناك عدة معادلات ذات متغيرين لها حلول متطابقة، فإن هذه المعادلات تسمى معادلات متكافئة. تجدر الإشارة إلى أنه إذا لم يكن للمعادلات ذات المجهولين حلول، فإنها تعتبر متكافئة أيضًا.
الخصائص الأساسية للمعادلات الخطية ذات المجهولين
1. يمكن لأي من حدود المعادلة أن ينتقل من جزء إلى آخر، لكن من الضروري تغيير إشارته إلى الطرف المقابل له. المعادلة الناتجة ستكون معادلة للمعادلة الأصلية.
2. يمكن قسمة طرفي المعادلة على أي رقم ليس صفراً. ونتيجة لذلك، نحصل على معادلة تعادل المعادلة الأصلية.
يعد حل المعادلات بالأعداد الصحيحة أحد أقدم المشكلات الرياضية. بالفعل في بداية الألفية الثانية قبل الميلاد. ه. عرف البابليون كيفية حل أنظمة مثل هذه المعادلات بمتغيرين. وصل هذا المجال من الرياضيات إلى أعظم ازدهار له في اليونان القديمة. مصدرنا الرئيسي هو حساب ديوفانتوس، الذي يحتوي على أنواع مختلفة من المعادلات. في ذلك، يتوقع ديوفانتوس (بعد اسمه اسم المعادلات معادلات ديوفانتين) عددًا من الطرق لدراسة المعادلات من الدرجة الثانية والثالثة، والتي تطورت فقط في القرن التاسع عشر.
أبسط المعادلات الديوفانتينية هي ax + y = 1 (معادلة ذات متغيرين من الدرجة الأولى) x2 + y2 = z2 (معادلة ذات ثلاثة متغيرات من الدرجة الثانية)
تمت دراسة المعادلات الجبرية بشكل كامل، وكان حلها أحد أهم المشكلات في الجبر في القرنين السادس عشر والسابع عشر.
بحلول بداية القرن التاسع عشر، بحثت أعمال P. Fermat وL. Euler وK. Gauss في معادلة ديوفانتية من الشكل: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0، حيث a، b، c , d, e, f هي أرقام؛ x، y متغيرات غير معروفة.
هذه معادلة من الدرجة الثانية مع مجهولين.
طور K. Gauss نظرية عامة للأشكال التربيعية، وهي الأساس لحل أنواع معينة من المعادلات بمتغيرين (معادلات ديوفانتين). هناك عدد كبير من معادلات ديوفانتين المحددة التي يمكن حلها باستخدام الطرق الأولية. / ع>
المادة النظرية.
في هذا الجزء من العمل، سيتم وصف المفاهيم الرياضية الأساسية وتحديد المصطلحات وصياغة نظرية التمدد باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة، والتي تمت دراستها وأخذها في الاعتبار عند حل المعادلات ذات المتغيرين.
التعريف 1: معادلة النموذج ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0، حيث a، b، c، d، e، f هي أرقام؛ تسمى المتغيرات x و y غير المعروفة بمعادلة من الدرجة الثانية بمتغيرين.
في مقرر الرياضيات المدرسية، تتم دراسة المعادلة التربيعية ax2 + bx + c = 0، حيث a، b، c للرقم x هو متغير بمتغير واحد. هناك عدة طرق لحل هذه المعادلة:
1. إيجاد الجذور باستخدام المميز؛
2. إيجاد جذور المعامل الزوجي في (حسب D1=)؛
3. إيجاد الجذور باستخدام نظرية فييتا؛
4. إيجاد الجذور عن طريق عزل المربع الكامل من ذات الحدين.
حل المعادلة يعني إيجاد جميع جذورها أو إثبات عدم وجودها.
التعريف 2: جذر المعادلة هو الرقم الذي يشكل، عند استبداله في المعادلة، مساواة حقيقية.
التعريف 3: حل معادلة ذات متغيرين يسمى زوج من الأرقام (x، y) وعند استبداله في المعادلة يتحول إلى مساواة حقيقية.
عادةً ما تتكون عملية إيجاد حلول للمعادلة من استبدال المعادلة بمعادلة مكافئة، ولكن معادلة أسهل في الحل. تسمى هذه المعادلات مكافئة.
تعريف 4: يقال أن معادلتين متكافئتين إذا كان كل حل من معادلة واحدة هو حل للمعادلة الأخرى، والعكس، وتعتبر المعادلتان في نفس المجال.
لحل المعادلات ذات المتغيرين، استخدم نظرية تحليل المعادلة إلى مجموع المربعات الكاملة (بطريقة المعاملات غير المحددة).
بالنسبة للمعادلة من الدرجة الثانية ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1)، يحدث التوسع a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)
دعونا نقوم بصياغة الشروط التي يتم بموجبها التوسع (2) للمعادلة (1) لمتغيرين.
النظرية: إذا كانت المعاملات a، b، c للمعادلة (1) تستوفي الشروط a0 و4ab – c20، فسيتم تحديد التوسع (2) بطريقة فريدة.
بمعنى آخر يمكن اختزال المعادلة (1) ذات المتغيرين إلى الصورة (2) باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة إذا تحققت شروط النظرية.
دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية تنفيذ طريقة المعاملات غير المحددة.
الطريقة رقم 1. حل المعادلة باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة
2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
1. دعونا نتحقق من استيفاء شروط النظرية، أ=2، ب=1، ج=2، مما يعني أ=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. تحققت شروط النظرية ويمكن توسيعها حسب الصيغة (2).
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h، بناءً على شروط النظرية، كلا جزئي الهوية متساويان. دعونا نبسط الجانب الأيمن من الهوية.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. نقوم بمساواة معاملات المتغيرات المتطابقة مع صلاحياتها.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. لنحصل على نظام المعادلات ونحله ونجد قيم المعاملات.
7. نعوض المعاملات في (2) فتأخذ المعادلة الشكل
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0
وبالتالي فإن المعادلة الأصلية تعادل المعادلة
2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3)، هذه المعادلة تعادل نظامًا من معادلتين خطيتين.
الجواب: (-١؛١).
إذا انتبهت إلى نوع المفكوك (3)، فستلاحظ أنه مطابق من حيث الشكل لعزل مربع كامل من معادلة تربيعية بمتغير واحد: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
دعونا نطبق هذه التقنية عند حل معادلة ذات متغيرين. دعونا نحل، باستخدام اختيار مربع كامل، معادلة تربيعية بمتغيرين تم حلها بالفعل باستخدام النظرية.
الطريقة رقم 2: حل المعادلة 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
الحل: 1. لنتخيل 2x2 كمجموع حدين x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
2. دعونا نجمع الحدود بطريقة تمكننا من طيها باستخدام صيغة المربع الكامل.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.
3. حدد المربعات الكاملة من التعبيرات الموجودة بين قوسين.
(س + ص)2 + (س + 1)2 = 0.
4. هذه المعادلة تعادل نظام المعادلات الخطية.
الجواب: (-1;1).
إذا قارنت النتائج، يمكنك أن ترى أن المعادلة التي تم حلها بالطريقة رقم 1 باستخدام النظرية وطريقة المعاملات غير المحددة والمعادلة التي تم حلها بالطريقة رقم 2 باستخدام استخراج المربع الكامل لهما نفس الجذور.
الاستنتاج: يمكن توسيع المعادلة التربيعية ذات المتغيرين إلى مجموع المربعات بطريقتين:
➢ الطريقة الأولى هي طريقة المعاملات غير المحددة والتي تعتمد على النظرية والتوسع (2).
➢ الطريقة الثانية هي استخدام تحويلات الهوية التي تسمح لك بتحديد مربعات كاملة بشكل تسلسلي.
وطبعا عند حل المسائل يفضل الطريقة الثانية لأنها لا تحتاج إلى حفظ التوسعة (2) وشروطها.
يمكن أيضًا استخدام هذه الطريقة للمعادلات التربيعية ذات ثلاثة متغيرات. إن عزل مربع كامل في مثل هذه المعادلات يتطلب جهدًا أكبر. سأقوم بهذا النوع من التحول في العام المقبل.
من المثير للاهتمام ملاحظة أن الدالة التي لها الشكل: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f تسمى دالة تربيعية لمتغيرين. تلعب الدوال التربيعية دورًا مهمًا في مختلف فروع الرياضيات:
في البرمجة الرياضية (البرمجة التربيعية)
في الجبر الخطي والهندسة (الأشكال التربيعية)
في نظرية المعادلات التفاضلية (إرجاع معادلة خطية من الدرجة الثانية إلى الشكل القانوني).
عند حل هذه المسائل المختلفة، يجب على المرء أن يطبق إجراء عزل مربع كامل من معادلة تربيعية (متغير واحد أو متغيرين أو أكثر).
الخطوط التي توصف معادلاتها بمعادلة تربيعية لمتغيرين تسمى منحنيات الدرجة الثانية.
هذه دائرة، قطع ناقص، قطع زائد.
عند إنشاء الرسوم البيانية لهذه المنحنيات، يتم أيضًا استخدام طريقة عزل مربع كامل تسلسليًا.
دعونا نلقي نظرة على كيفية عمل طريقة التحديد التسلسلي لمربع كامل باستخدام أمثلة محددة.
الجزء العملي.
حل المعادلات باستخدام طريقة عزل مربع كامل بالتتابع.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(س +1)2 + (س + ص)2 = 0؛
الجواب:(-1;1).
2.x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(س + ص)2 + (2ص + 1)2 = 0؛
الجواب:(0.5; - 0.5).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(س-ص)2 + (ص-1)2 = 0;
الجواب:(-1;1).
حل المعادلات:
1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 =0
(اختصر إلى الشكل: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
الجواب: (-3؛ -3)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(اختصر إلى الشكل: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)
الجواب: (-1؛ 1)
3.x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0
(اختصر إلى الشكل: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)
الجواب: (7؛ -7)
خاتمة.
وفي هذا العمل العلمي تمت دراسة المعادلات ذات متغيرين من الدرجة الثانية والنظر في طرق حلها. تم الانتهاء من المهمة، وتمت صياغة ووصف طريقة أقصر للحل، استنادًا إلى عزل مربع كامل واستبدال المعادلة بنظام معادلات مكافئ، ونتيجة لذلك، أصبح الإجراء الخاص بإيجاد جذور معادلة ذات متغيرين تم تبسيطها.
إحدى النقاط المهمة في العمل هي أن التقنية قيد النظر تُستخدم عند حل المشكلات الرياضية المختلفة المتعلقة بالدالة التربيعية، وإنشاء منحنيات من الدرجة الثانية، وإيجاد أكبر (أصغر) قيمة للتعبيرات.
وبالتالي، فإن تقنية تحليل معادلة من الدرجة الثانية ذات متغيرين إلى مجموع المربعات لها أكبر عدد من التطبيقات في الرياضيات.
نهج المؤلف لهذا الموضوع ليس من قبيل الصدفة. تمت مواجهة المعادلات ذات المتغيرين لأول مرة في دورة الصف السابع. معادلة واحدة بمتغيرين لها عدد لا نهائي من الحلول. ويظهر ذلك بوضوح من خلال الرسم البياني للدالة الخطية، الموضحة بالشكل ax + by=c. يدرس الطلاب في المقرر المدرسي أنظمة من معادلتين بمتغيرين. ونتيجة لذلك، فإن سلسلة كاملة من المشاكل ذات الشروط المحدودة لمعامل المعادلة، وكذلك طرق حلها، تقع خارج نطاق رؤية المعلم، وبالتالي الطالب.
نحن نتحدث عن حل معادلة ذات مجهولين في أعداد صحيحة أو أعداد طبيعية.
تتم دراسة الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة في المدرسة في الصفوف 4-6. بحلول الوقت الذي يتخرجون فيه من المدرسة، لا يتذكر جميع الطلاب الاختلافات بين مجموعات هذه الأرقام.
ومع ذلك، فإن مشكلة مثل "حل معادلة من الشكل ax + by=c بالأعداد الصحيحة" موجودة بشكل متزايد في امتحانات القبول بالجامعات وفي مواد امتحانات الدولة الموحدة.
حل المعادلات غير المؤكدة ينمي التفكير المنطقي والذكاء والاهتمام بالتحليل.
أقترح تطوير عدة دروس حول هذا الموضوع. ليس لدي توصيات واضحة بشأن توقيت هذه الدروس. يمكن أيضًا استخدام بعض العناصر في الصف السابع (لفصل قوي). يمكن اتخاذ هذه الدروس كأساس وتطوير دورة اختيارية صغيرة حول التدريب ما قبل المهني في الصف التاسع. وبالطبع يمكن استخدام هذه المادة في الصفوف 10-11 للتحضير للامتحانات.
الغرض من الدرس:
- تكرار وتعميم المعرفة حول موضوع "المعادلات من الدرجة الأولى والثانية"
- تنمية الاهتمام المعرفي بالموضوع
- تطوير القدرة على التحليل وإجراء التعميمات ونقل المعرفة إلى موقف جديد
الدرس 1.
خلال الفصول الدراسية.
1) المنظمة. لحظة.
2) تحديث المعرفة الأساسية.
تعريف. المعادلة الخطية في متغيرين هي معادلة من الشكل
mx + ny = k، حيث m، n، k أرقام، x، y متغيرات.
مثال: 5س+2ص=10
تعريف. حل المعادلة ذات المتغيرين هو زوج من قيم المتغيرات الذي يحول المعادلة إلى مساواة حقيقية.
تسمى المعادلات التي تحتوي على متغيرين لهما نفس الحلول مكافئة.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
يمكن أن تحتوي هذه المعادلة على أي عدد من الحلول. للقيام بذلك، يكفي أن تأخذ أي قيمة x وتجد قيمة y المقابلة.
دع x = 2، y = -2.5 2+6 = 1
س = 4، ص = -2.5 4+6 =- 4
أزواج من الأرقام (2؛1)؛ (4;-4) – حلول المعادلة (1).
هذه المعادلة لديها عدد لا نهائي من الحلول.
3) الخلفية التاريخية
المعادلات غير المحددة (ديوفانتين) هي معادلات تحتوي على أكثر من متغير واحد.
في القرن الثالث. إعلان - كتب ديوفانتوس السكندري كتاب "الحساب" الذي وسع فيه مجموعة الأعداد إلى أرقام عقلانية وأدخل الرمزية الجبرية.
كما نظر ديوفانتوس في مسائل حل المعادلات غير المحددة وأعطى طرقًا لحل المعادلات غير المحددة من الدرجة الثانية والثالثة.
4) دراسة مواد جديدة.
تعريف: معادلة ديوفانتينية غير متجانسة من الدرجة الأولى مع مجهولين x، y هي معادلة من الشكل mx + ny = k، حيث m، n، k، x، y Z k0
البيان 1.
إذا كان الحد الحر k في المعادلة (1) غير قابل للقسمة على القاسم المشترك الأكبر (GCD) للرقمين m وn، فإن المعادلة (1) ليس لها حلول أعداد صحيحة.
مثال: 34س – 17ص = 3.
GCD (34; 17) = 17، 3 لا يقبل القسمة على 17، ولا يوجد حل في الأعداد الصحيحة.
دع k مقسومًا على gcd (m، n). من خلال قسمة جميع المعاملات، يمكننا التأكد من أن m وn يصبحان أوليين نسبيًا.
البيان 2.
إذا كان m وn في المعادلة (1) عددين أوليين نسبيًا، فإن هذه المعادلة لها حل واحد على الأقل.
البيان 3.
إذا كان المعاملان m وn للمعادلة (1) عبارة عن أرقام أولية، فإن هذه المعادلة لها عدد لا نهائي من الحلول:
حيث (؛ ) هو أي حل للمعادلة (1)، t Z
تعريف. معادلة ديوفانتينية متجانسة من الدرجة الأولى ذات مجهولين x,y هي معادلة من الصيغة mx + ny = 0، حيث (2)
البيان 4.
إذا كان m وn عددين أوليين، فإن أي حل للمعادلة (2) له الصيغة 
5) الواجبات المنزلية. حل المعادلة بالأعداد الصحيحة:
- 9س – 18ص = 5
- س + ص = س ص
- كان العديد من الأطفال يقطفون التفاح. جمع كل ولد 21 كجم، وجمعت الفتاة 15 كجم. في المجموع جمعوا 174 كجم. كم عدد الأولاد وكم فتاة قطفت التفاح؟
تعليق. لا يقدم هذا الدرس أمثلة على حل المعادلات في الأعداد الصحيحة. لذلك، يقوم الأطفال بحل الواجبات المنزلية بناءً على العبارة 1 والاختيار.
الدرس 2.
1) اللحظة التنظيمية
2) التحقق من الواجبات المنزلية
1) 9س - 18ص = 5
5 لا يقبل القسمة على 9، ولا توجد حلول للأعداد الصحيحة.
باستخدام طريقة الاختيار يمكنك إيجاد حل
الإجابة: (0;0)، (2;2)
3) لنجعل المعادلة:
دع الأولاد يكونون x، x Z، والبنات y، y Z، ثم يمكننا إنشاء المعادلة 21x + 15y = 174
لن يتمكن العديد من الطلاب، بعد أن كتبوا معادلة، من حلها.
الجواب: 4 أولاد و 6 بنات.
3) تعلم مواد جديدة
بعد أن واجهوا صعوبات في إكمال الواجبات المنزلية، كان الطلاب مقتنعين بالحاجة إلى تعلم أساليبهم في حل المعادلات غير المؤكدة. دعونا ننظر إلى بعض منهم.
I. طريقة النظر في بقايا القسمة.
مثال. حل المعادلة بالأعداد الصحيحة 3x – 4y = 1.
الجانب الأيسر من المعادلة يقبل القسمة على 3، لذلك يجب أن يكون الجانب الأيمن قابلاً للقسمة. دعونا ننظر في ثلاث حالات.
الجواب: أين م ز.
تعتبر الطريقة الموصوفة ملائمة للاستخدام إذا لم تكن الأرقام m و n صغيرة، ولكن يمكن تقسيمها إلى عوامل بسيطة.
مثال: حل المعادلات بالأعداد الصحيحة.
افترض أن y = 4n، ثم 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n) مقسومة على 4.
y = 4n+1، ثم 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n لا يقبل القسمة على 4.
y = 4n+2، ثم 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n لا يقبل القسمة على 4.
y = 4n+3، ثم 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n لا يقبل القسمة على 4.
لذلك ص = 4ن، ثم
4س = 16 - 7 4ن = 16 - 28ن، س = 4 - 7ن
الجواب: حيث ن ز.
ثانيا. معادلات غير مؤكدة من الدرجة الثانية
سنتطرق اليوم في الدرس فقط إلى حل معادلات ديوفانتاين من الدرجة الثانية.
ومن بين جميع أنواع المعادلات، سننظر في الحالة التي يمكننا فيها تطبيق صيغة فرق المربعات أو طريقة أخرى للتحليل.
مثال: حل معادلة بأعداد صحيحة.
13 هو عدد أولي، لذلك لا يمكن تحليله إلا بأربع طرق: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
دعونا ننظر في هذه الحالات
الجواب: (7;-3)، (7;3)، (-7;3)، (-7;-3).
4) الواجبات المنزلية.
أمثلة. حل المعادلة بالأعداد الصحيحة:
(س - ص)(س + ص)=4
| 2س = 4 | 2س = 5 | 2س = 5 |
| س = 2 | س = 5/2 | س = 5/2 |
| ص = 0 | لا يصلح | لا يصلح |
| 2س = -4 | لا يصلح | لا يصلح |
| س = -2 | ||
| ص = 0 |
الجواب: (-2;0)، (2;0).
الإجابات: (-10;9)، (-5;3)، (-2;-3)، (-1;-9)، (1;9)، (2;3)، (5;-3) ، (10؛-9).
الخامس) 
الإجابة: (2;-3)، (-1;-1)، (-4;0)، (2;2)، (-1;3)، (-4;5).
نتائج. ماذا يعني حل المعادلة بالأعداد الصحيحة؟
ما هي طرق حل المعادلات غير المؤكدة التي تعرفها؟
طلب:
تمارين للتدريب.
1) حل الأعداد الصحيحة.
| أ) 8س + 12ص = 32 | س = 1 + 3ن، ص = 2 - 2ن، ن ض |
| ب) 7س + 5ص = 29 | س = 2 + 5ن، ص = 3 – 7ن، ن ض |
| ج) 4س + 7ص = 75 | س = 3 + 7ن، ص = 9 – 4ن، ن ض |
| د) 9س – 2ص = 1 | س = 1 – 2 م، ص = 4 + 9 م، م ض |
| هـ) 9س – 11ص = 36 | س = 4 + 11ن، ص = 9ن، ن ض |
| هـ) 7س – 4ص = 29 | س = 3 + 4ن، ص = -2 + 7ن، ن ض |
| ز) 19س – 5ص = 119 | س = 1 + 5ب، ص = -20 + 19ب، ص ض |
| ح) 28س – 40ص = 60 | س = 45 + 10ر، ص = 30 + 7ر، ر ض |
2) أوجد الحلول الصحيحة غير السالبة للمعادلة.
في دورة الرياضيات للصف السابع نواجه لأول مرة المعادلات مع متغيرينولكن يتم دراستها فقط في سياق أنظمة المعادلات ذات المجهولين. وهذا هو السبب في أن سلسلة كاملة من المشكلات التي يتم فيها إدخال شروط معينة على معاملات المعادلة التي تحدها تختفي عن الأنظار. بالإضافة إلى ذلك، يتم أيضًا تجاهل طرق حل المشكلات مثل "حل معادلة بالأعداد الطبيعية أو الصحيحة"، على الرغم من وجود مشكلات من هذا النوع بشكل متزايد في مواد امتحانات الدولة الموحدة وفي امتحانات القبول.
ما المعادلة التي ستسمى معادلة ذات متغيرين؟
لذا، على سبيل المثال، المعادلات 5x + 2y = 10 أو x 2 + y 2 = 20 أو xy = 12 هي معادلات في متغيرين.
خذ بعين الاعتبار المعادلة 2x – y = 1. تصبح صحيحة عندما يكون x = 2 و y = 3، لذا فإن هذا الزوج من القيم المتغيرة هو حل للمعادلة المعنية.
وبالتالي فإن حل أي معادلة ذات متغيرين هو مجموعة من الأزواج المرتبة (x;y)، وهي قيم المتغيرات التي تحول هذه المعادلة إلى مساواة عددية حقيقية.
يمكن للمعادلة ذات المجهولين أن:
أ) لديك حل واحد.على سبيل المثال، المعادلة x 2 + 5y 2 = 0 لها حل فريد (0؛ 0)؛
ب) لديها حلول متعددة.على سبيل المثال، (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 له 4 حلول: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2)؛
الخامس) ليس لديهم حلول.على سبيل المثال، المعادلة x 2 + y 2 + 1 = 0 ليس لها حلول؛
ز) لديها العديد من الحلول لا حصر لها.على سبيل المثال، x + y = 3. حلول هذه المعادلة ستكون أرقام مجموعها يساوي 3. يمكن كتابة مجموعة الحلول لهذه المعادلة في الصورة (k; 3 – k)، حيث k هي أي قيمة حقيقية رقم.
الطرق الرئيسية لحل المعادلات ذات المتغيرين هي الطرق التي تعتمد على تحليل التعبيرات، وعزل مربع كامل، واستخدام خصائص المعادلة التربيعية، والتعبيرات المحدودة، وطرق التقدير. عادة ما يتم تحويل المعادلة إلى شكل يمكن من خلاله الحصول على نظام للعثور على المجهول.
التخصيم
مثال 1.
حل المعادلة: xy – 2 = 2x – y.
حل.
نقوم بتجميع المصطلحات لغرض التحليل:
(ص + ص) – (2س + 2) = 0. من كل قوس نخرج عاملاً مشتركًا:
ص(س + 1) – 2(س + 1) = 0;
(س + 1)(ص - 2) = 0. لدينا:
y = 2، x – أي عدد حقيقي أو x = -1، y – أي عدد حقيقي.
هكذا، الجواب هو جميع أزواج النموذج (x; 2)، x € R و (-1؛ y)، y € R.
مساواة الأعداد غير السالبة بالصفر
مثال 2.
حل المعادلة: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
حل.
التجميع:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. الآن يمكن طي كل قوس باستخدام صيغة الفرق التربيعي.
(3س - 2) 2 + (2ص - 3) 2 = 0.
مجموع تعبيرين غير سالبين يكون صفرًا فقط إذا كان 3x – 2 = 0 و2y – 3 = 0.
هذا يعني أن x = 2/3 و y = 3/2.
الجواب: (2/3؛ 3/2).
طريقة التقدير
مثال 3.
حل المعادلة: (س 2 + 2س + 2)(ص 2 – 4ص + 6) = 2.
حل.
في كل قوس نختار مربعًا كاملاً:
((x + 1) 2 + 1)((ص – 2) 2 + 2) = 2. دعونا نقدر 
معنى العبارات الموجودة بين قوسين.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 و (y – 2) 2 + 2 ≥ 2، فإن الطرف الأيسر من المعادلة يكون دائمًا على الأقل 2. تكون المساواة ممكنة إذا:
(س + 1) 2 + 1 = 1 و (ص – 2) 2 + 2 = 2، مما يعني أن س = -1، ص = 2.
الجواب: (-1؛2).
دعونا نتعرف على طريقة أخرى لحل المعادلات ذات متغيرين من الدرجة الثانية. تتكون هذه الطريقة من معالجة المعادلة على أنها مربع فيما يتعلق ببعض المتغيرات.
مثال 4.
حل المعادلة: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
حل.
دعونا نحل المعادلة كمعادلة تربيعية لـ x. لنجد المميز:
د = 36 – 4(ص – 4√ص + 13) = -4ص + 16√ص – 16 = -4(√ص – 2) 2 . سيكون للمعادلة حل فقط عندما يكون D = 0، أي إذا كانت y = 4. نعوض بقيمة y في المعادلة الأصلية ونجد أن x = 3.
الجواب: (3؛ 4).
غالبًا ما تشير في المعادلات ذات المجهولين القيود على المتغيرات.
مثال 5.
حل المعادلة بالأعداد الصحيحة: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
حل.
لنعيد كتابة المعادلة على الصورة x 2 = -5y 2 + 20x + 2. الطرف الأيمن من المعادلة الناتجة عند القسمة على 5 يعطي الباقي 2. لذلك، x 2 لا يقبل القسمة على 5. لكن مربع a العدد الذي لا يقبل القسمة على 5 يعطي الباقي 1 أو 4. وبالتالي فإن المساواة مستحيلة ولا توجد حلول.
الجواب: لا جذور.
مثال 6.
حل المعادلة: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
حل.
دعونا نسلط الضوء على المربعات الكاملة في كل قوس:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. الطرف الأيسر من المعادلة دائمًا أكبر من أو يساوي 3. المساواة ممكنة بشرط |x| - 2 = 0 و y + 3 = 0. وبالتالي، x = ± 2، y = -3.
الجواب: (2؛ -3) و (-2؛ -3).
مثال 7.
لكل زوج من الأعداد الصحيحة السالبة (x;y) التي تحقق المعادلة
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33، احسب المجموع (x + y). يرجى الإشارة إلى أصغر مبلغ في إجابتك.
حل.
دعونا نختار المربعات الكاملة:
(س 2 – 2 س ص + ص 2) + (ص 2 + 4 ص + 4) = 37؛
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. بما أن x وy عددان صحيحان، فإن مربعاتهما هي أيضًا أعداد صحيحة. نحصل على مجموع مربعي عددين صحيحين يساوي 37 إذا أضفنا 1 + 36. وبالتالي:
(س - ص) 2 = 36 و (ص + 2) 2 = 1 
(س - ص) 2 = 1 و (ص + 2) 2 = 36.
وبحل هذه الأنظمة مع مراعاة أن x و y سالبتين نجد الحلول: (-7؛ -1)، (-9؛ -3)، (-7؛ -8)، (-9؛ -8).
الجواب: -17.
لا تيأس إذا كنت تواجه صعوبة في حل المعادلات ذات المجهولين. مع القليل من الممارسة، يمكنك التعامل مع أي معادلة.
لا تزال لديك أسئلة؟ لا تعرف كيفية حل المعادلات في متغيرين؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
الدرس الأول مجاني!
موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.
المساواة و(س؛ ص) = 0يمثل معادلة ذات متغيرين. الحل لمثل هذه المعادلة هو زوج من القيم المتغيرة التي تحول المعادلة ذات المتغيرين إلى مساواة حقيقية.
إذا كانت لدينا معادلة بمتغيرين، فطبقًا للتقليد، يجب أن نضع x في المركز الأول وy في المركز الثاني.
خذ بعين الاعتبار المعادلة x - 3y = 10. الأزواج (10؛ 0)، (16؛ 2)، (-2؛ -4) هي حلول للمعادلة قيد النظر، في حين أن الزوج (1؛ 5) ليس حلاً.
للعثور على أزواج أخرى من الحلول لهذه المعادلة، من الضروري التعبير عن متغير واحد بدلالة متغير آخر - على سبيل المثال، x بدلالة y. ونتيجة لذلك، نحصل على المعادلة
س = 10 + 3ص. دعونا نحسب قيم x عن طريق اختيار قيم عشوائية لـ y.
إذا كان y = 7، فإن x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.
إذا كانت y = -2، فإن x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.
وبالتالي، فإن الأزواج (31؛ 7)، (4؛ -2) هي أيضًا حلول للمعادلة المعطاة.
إذا كانت المعادلات التي تحتوي على متغيرين لها نفس الجذور، فإن هذه المعادلات تسمى مكافئة.
بالنسبة للمعادلات ذات المتغيرين، تكون النظريات المتعلقة بالتحويلات المكافئة للمعادلات صالحة.
النظر في الرسم البياني للمعادلة مع متغيرين.
دعونا نعطي معادلة ذات متغيرين f(x; y) = 0. يمكن تمثيل جميع حلولها بنقاط على المستوى الإحداثي، والحصول على مجموعة معينة من النقاط على المستوى. تسمى مجموعة النقاط هذه على المستوى بالرسم البياني للمعادلة f(x; y) = 0.
وبالتالي، فإن الرسم البياني للمعادلة y – x 2 = 0 هو القطع المكافئ y = x 2؛ الرسم البياني للمعادلة y – x = 0 هو خط مستقيم؛ الرسم البياني للمعادلة y – 3 = 0 هو خط مستقيم موازي للمحور x، إلخ.
تسمى المعادلة من الشكل ax + by = c، حيث x وy متغيرات وa وb وc أرقام، تسمى خطية؛ الأرقام أ، ب تسمى معاملات المتغيرات، ج هو الحد الحر.
الرسم البياني للمعادلة الخطية ax + by = c هو:
لنرسم المعادلة 2x - 3y = -6.
1. لأن لا يساوي أي من معاملات المتغيرات صفرًا، فإن الرسم البياني لهذه المعادلة سيكون خطًا مستقيمًا.
2. لبناء خط مستقيم، علينا أن نعرف نقطتين على الأقل من نقاطه. استبدل قيم x في المعادلات واحصل على قيم y والعكس:
إذا س = 0، ثم ص = 2؛ (0 ∙ س – 3ص = -6);
إذا كانت ص = 0، ثم س = -3؛ (2س – 3 ∙ 0 = -6). 
إذن، حصلنا على نقطتين على الرسم البياني: (0; 2) و(-3; 0).
3. لنرسم خطًا مستقيمًا عبر النقاط التي تم الحصول عليها ونحصل على رسم بياني للمعادلة
2س – 3ص = -6.
إذا كانت المعادلة الخطية ax + by = c لها الصيغة 0 ∙ x + 0 ∙ y = c، فيجب أن نأخذ في الاعتبار حالتين:
1. ج = 0. في هذه الحالة، أي زوج (x; y) يحقق المعادلة، وبالتالي فإن الرسم البياني للمعادلة هو المستوى الإحداثي بأكمله؛
2. ج ≠ 0. في هذه الحالة، المعادلة ليس لها حل، مما يعني أن الرسم البياني الخاص بها لا يحتوي على نقطة واحدة.
blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.