ما هو أمثلة الكسر العقلاني. الكسور العقلانية

تعريف.يُطلق على مجموع القوى الصحيحة غير السالبة لـ X غير المعروفة، المأخوذة مع معاملات عددية معينة، اسم كثير الحدود.

هنا: - أرقام حقيقية.

ن- درجة كثير الحدود.

العمليات على كثيرات الحدود.

1). عند جمع (طرح) كثيرتي الحدود، يتم إضافة (طرح) المعاملات درجات متساويةغير معروف ×.

2). تكون كثيرتا الحدود متساويتين إذا كان لهما نفس الدرجة والمعاملات المتساوية عند نفس قوى X.

3). درجة كثيرة الحدود التي يتم الحصول عليها عن طريق ضرب كثيرتي الحدود تساوي مجموع درجات كثيرات الحدود التي يتم ضربها.

4). العمليات الخطية على كثيرات الحدود لها خصائص الترابط والإبدال والتوزيع.

5) يمكن إجراء قسمة كثيرة الحدود على كثيرة الحدود باستخدام قاعدة "القسمة على الزاوية".

تعريف. يُسمى الرقم x=a جذر كثيرة الحدود إذا كان استبدالها بكثيرة الحدود يحولها إلى صفر، أي.

نظرية بيزوت. باقي كثير الحدود
بواسطة ذات الحدين (x-a) تساوي قيمة كثيرة الحدود عند x=a، أي.

دليل.

دع أين

وبوضع x=a في المساواة نحصل على

1). عند قسمة كثيرة الحدود على ذات الحدين (x-a)، سيكون الباقي دائمًا رقمًا.

2). إذا كان a هو جذر كثيرة الحدود، فإن كثيرة الحدود تكون قابلة للقسمة على ذات الحدين (x-a) بدون باقي.

3) عند قسمة كثيرة الحدود من الدرجة n على ذات الحدين (x-a)، نحصل على كثيرة الحدود من الدرجة (n-1).

النظرية الأساسية للجبر.أي كثير الحدود من الدرجةن (ن>1) له جذر واحد على الأقل(مقدم بدون دليل).

عاقبة.أي كثير الحدود من الدرجة ن لديه بالضبط ن تتحلل الجذور وعلى مجال الأعداد المركبة إلى المنتج ن العوامل الخطية، أي من بين جذور كثير الحدود قد تكون هناك أرقام متكررة (جذور متعددة). بالنسبة لكثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية، يمكن أن تظهر الجذور المعقدة فقط في أزواج مترافقة. دعونا نثبت البيان الأخير.

يترك
- جذر معقدمتعدد الحدود، ثم على أساس الملكية العامةوبالتالي يمكن ذكر الأعداد المركبة
- جذر أيضًا.

كل زوج من الجذور المترافقة المعقدة لكثيرة الحدود يتوافق مع ثلاثية حدود مربعة ذات معاملات حقيقية.

هنا ص, س- الأعداد الحقيقية (أظهر المثال).

خاتمة.يمكننا تمثيل أي كثيرة حدود كحاصل ضرب العوامل الخطية وثلاثية الحدود المربعة بمعاملات حقيقية.

الكسور العقلانية.

الكسر العقلاني هو النسبة بين كثيرتي الحدود.

لو
، فإن الكسر العقلاني يسمى الصحيح. في خلاف ذلكالكسر غير صحيح. يمكن تمثيل أي كسر غير فعلي كمجموع كثير الحدود (حاصل القسمة) وكسر منطقي مناسب عن طريق قسمة كثير الحدود في البسط على كثير الحدود في المقام.

- جزء عقلاني غير لائق.

يمكن الآن تمثيل هذا الكسر العقلاني غير الصحيح بالشكل التالي.

مع الأخذ بعين الاعتبار ما تم عرضه، سننظر في المستقبل فقط في الكسور المنطقية المناسبة.

هناك ما يسمى بالكسور المنطقية البسيطة - وهي كسور لا يمكن تبسيطها بأي شكل من الأشكال. تبدو هذه الكسور الأبسط كما يلي:

يمكن دائمًا تمثيل الكسر العقلاني المناسب ذو الشكل الأكثر تعقيدًا كمجموع لأبسط الكسور الكسرية. يتم تحديد مجموعة الكسور من خلال مجموعة جذور كثيرة الحدود التي تظهر في مقام الكسر المنطقي غير القابل للاختزال. قاعدة تحليل الكسر إلى أبسطها هي كما يلي.

دع الكسر العقلاني يتم تمثيله بالشكل التالي.

هنا، يحتوي بسط الكسور الأبسط على معاملات غير معروفة، والتي يمكن تحديدها دائمًا بالطريقة معاملات غير مؤكدة. يتمثل جوهر الطريقة في مساواة المعاملات بنفس قوى X لكثير الحدود في بسط الكسر الأصلي ومتعدد الحدود في بسط الكسر الذي تم الحصول عليه بعد اختزال أبسط الكسور إلى قاسم مشترك.

دعونا نساوي المعاملات لنفس قوى X.

حل نظام المعادلات للمعاملات المجهولة نحصل عليه.

لذا، جزء معينيمكن تمثيله بمجموعة من الكسور البسيطة التالية.

يؤدي إلى القاسم المشتركنحن نتأكد من حل المشكلة بشكل صحيح.

يمكن كتابة أي تعبير كسري (البند 48) بالصيغة، حيث P وQ عبارة عن تعبيرات عقلانية، وQ تحتوي بالضرورة على متغيرات. ويسمى هذا الكسر بالكسر العقلاني.

أمثلة على الكسور المنطقية:

يتم التعبير عن الخاصية الرئيسية للكسر من خلال هوية عادلة في ظل الظروف هنا - تعبير عقلاني كامل. هذا يعني أن بسط ومقام الكسر النسبي يمكن ضربهما أو قسمتهما على نفس العدد غير الصفري، سواء كان أحادي الحد أو متعدد الحدود.

على سبيل المثال، يمكن استخدام خاصية الكسر لتغيير علامات أعضاء الكسر. إذا تم ضرب بسط ومقام الكسر في -1، نحصل على ذلك، وبالتالي فإن قيمة الكسر لن تتغير إذا تغيرت إشارات البسط والمقام في وقت واحد. إذا قمت بتغيير إشارة البسط فقط أو المقام فقط، فإن الكسر سيغير إشارته:

على سبيل المثال،

60. تقليل الكسور العقلانية.

إن تقليل الكسر يعني قسمة بسط الكسر ومقامه على عامل مشترك. تعود إمكانية مثل هذا التخفيض إلى الخاصية الأساسية للكسر.

لتبسيط الكسر المنطقي، عليك تحليل البسط والمقام. إذا اتضح أن البسط والمقام لهما عوامل مشتركة، فيمكن تبسيط الكسر. إذا لم تكن هناك عوامل مشتركة، فإن تحويل الكسر عن طريق الاختزال أمر مستحيل.

مثال. تقليل جزء

حل. لدينا

يتم إجراء تخفيض الكسر في ظل الشرط.

61. اختزال الكسور المنطقية إلى قاسم مشترك.

القاسم المشترك لعدة كسور عقلانية هو تعبير عقلاني كامل مقسوم على مقام كل كسر (انظر الفقرة 54).

على سبيل المثال، المقام المشترك للكسور هو متعدد الحدود لأنه قابل للقسمة على كليهما وعلى ومتعدد الحدود ومتعدد الحدود ومتعدد الحدود، وما إلى ذلك. وعادةً ما يأخذون مثل هذا المقام المشترك بحيث يكون أي مقام مشترك آخر قابلاً للقسمة على إيكوسن. هذه أبسط مقامويسمى أحيانا القاسم المشترك الأدنى.

في المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، القاسم المشترك هو لدينا

يتم تقليل هذه الكسور إلى مقام مشترك عن طريق ضرب بسط ومقام الكسر الأول في 2. ويطلق على بسط ومقام الكسر الثاني بواسطة كثيرات الحدود عوامل إضافية للكسرين الأول والثاني على التوالي. العامل الإضافي لكسر معين يساوي حاصل قسمة المقام المشترك على مقام الكسر المعطى.

لتقليل عدة كسور عقلانية إلى قاسم مشترك، تحتاج إلى:

1) عامل مقام كل كسر؛

2) إنشاء قاسم مشترك من خلال تضمين جميع العوامل التي تم الحصول عليها في الخطوة 1) من التوسعات كعوامل؛ إذا كان هناك عامل معين موجود في العديد من التوسعات، فسيتم أخذه بأس يساوي أكبر العوامل المتاحة؛

3) العثور على عوامل إضافية لكل من الكسور (لهذا، يتم تقسيم القاسم المشترك على مقام الكسر)؛

4) عن طريق ضرب البسط والمقام لكل كسر بعامل إضافي، أوصل الكسر إلى مقام مشترك.

مثال. اختزال الكسر إلى قاسم مشترك

حل. دعونا نحلل المقامات:

ويجب أن تشمل العوامل التالية في القاسم المشترك: والمضاعف المشترك الأصغر للأعداد 12، 18، 24، أي. وهذا يعني أن القاسم المشترك له الشكل

عوامل إضافية: للكسر الأول للثاني للثالث، فنحصل على:

62. جمع وطرح الكسور العقلانية.

مجموع اثنين (وبشكل عام أي عدد محدود) الكسور العقلانية مع نفس القواسميساوي بشكل مماثل كسرًا له نفس المقام والبسط، يساوي المبلغبسط الكسور المضافة:

والوضع مشابه في حالة طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة:

مثال 1: تبسيط التعبير

حل.

لإضافة أو طرح الكسور المنطقية مع قواسم مختلفةيجب عليك أولاً تقليل الكسور إلى مقام مشترك، ثم إجراء العمليات على الكسور الناتجة التي لها نفس المقامات.

مثال 2: تبسيط التعبير

حل. لدينا

63. ضرب وقسمة الكسور المنطقية.

إن ناتج اثنين (وبشكل عام أي عدد محدود) من الكسور المنطقية يساوي بشكل مماثل الكسر الذي بسطه يساوي المنتجالبسط والمقام - منتج مقامات الكسور المضروبة:

حاصل قسمة كسرين كسريين يساوي تمامًا الكسر الذي بسطه يساوي حاصل ضرب بسط الكسر الأول ومقام الكسر الثاني، والمقام هو حاصل ضرب مقام الكسر الأول ومقام الكسر الثاني بسط الكسر الثاني:

تنطبق قواعد الضرب والقسمة المصاغة أيضًا على حالة الضرب أو القسمة على كثير الحدود: يكفي كتابة كثير الحدود هذا في شكل كسر مقامه 1.

نظرًا لإمكانية تقليل الكسر العقلاني الذي تم الحصول عليه نتيجة ضرب أو قسمة الكسور الكسرية، فإنهم عادةً ما يسعون جاهدين إلى تحليل بسط ومقامات الكسور الأصلية قبل إجراء هذه العمليات.

مثال 1: إجراء الضرب

حل. لدينا

باستخدام قاعدة ضرب الكسور نحصل على:

مثال 2: إجراء القسمة

حل. لدينا

وباستخدام قاعدة القسمة نحصل على:

64. رفع الكسر العقلاني إلى القوة الكاملة.

لرفع جزء عقلاني - ل درجة طبيعية، تحتاج إلى رفع بسط ومقام الكسر إلى هذه القوة بشكل منفصل؛ التعبير الأول هو البسط، والتعبير الثاني هو مقام النتيجة:

مثال 1: تحويل إلى جزء من القوة 3.

الحل الحل.

عند رفع الكسر إلى عدد صحيح درجة سلبيةيتم استخدام هوية صالحة لجميع قيم المتغيرات التي .

مثال 2: تحويل تعبير إلى كسر

65. تحويل التعبيرات العقلانية.

يتلخص تحويل أي تعبير عقلاني في جمع وطرح وضرب وقسمة الكسور المنطقية، بالإضافة إلى رفع الكسر إلى قوة طبيعية. يمكن تحويل أي تعبير عقلاني إلى كسر، يكون بسطه ومقامه عبارة عن تعبيرات عقلانية كاملة؛ وهذا، كقاعدة عامة، هو هدف تحولات الهوية التعبيرات العقلانية.

مثال. تبسيط التعبير

66. أبسط تحويلات الجذور الحسابية (الجذور).

عند تحويل الكوريات الحسابية، يتم استخدام خصائصها (انظر الفقرة 35).

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة على استخدام الخصائص الجذور الحسابيةلأبسط التحولات الجذرية. في هذه الحالة، سنعتبر أن جميع المتغيرات تأخذ قيمًا غير سالبة فقط.

مثال 1. استخرج جذر المنتج

حل. وبتطبيق الخاصية 1° نحصل على:

مثال 2. قم بإزالة المضاعف من تحت علامة الجذر

حل.

يسمى هذا التحويل إزالة العامل من تحت علامة الجذر. الغرض من التحويل هو تبسيط التعبير الجذري.

مثال 3: تبسيط.

حل. بواسطة خاصية 3° التي لدينا عادة يحاولون تبسيط التعبير الجذري، حيث يأخذون العوامل من علامة كوريوم. لدينا

المثال 4: تبسيط

حل. دعونا نحول التعبير عن طريق إدخال عامل تحت إشارة الجذر: حسب الخاصية 4° لدينا

المثال 5: تبسيط

حل. بواسطة خاصية 5°، يحق لنا تقسيم أس الجذر وأس التعبير الجذري إلى نفس الشيء عدد طبيعي. إذا قمنا في المثال قيد النظر بتقسيم المؤشرات المشار إليها على 3، نحصل على .

مثال 6. تبسيط التعبيرات:

الحل، أ) بالخاصية 1° نجد أنه لضرب الجذور من نفس الدرجة، يكفي ضرب التعبيرات الجذرية واستخراج جذر نفس الدرجة من النتيجة التي تم الحصول عليها. وسائل،

ب) أولا وقبل كل شيء، يجب علينا تقليل الجذور إلى مؤشر واحد. وفقا لخاصية 5°، يمكننا ضرب أس الجذر وأس التعبير الجذري بنفس العدد الطبيعي. لذلك، بعد ذلك، لدينا الآن النتيجة الناتجة بقسمة أسس الجذر ودرجة التعبير الجذري على 3، نحصل عليها.

لنبدأ ببعض التعريفات. متعدد الحدود الدرجة التاسعة(أو الترتيب n) سنستدعي تعبيرًا بالصيغة $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n) )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. على سبيل المثال، التعبير $4x^(14)+87x^2+4x-11$ هو متعدد الحدود ودرجته $14$. ويمكن الإشارة إليه على النحو التالي: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

تسمى النسبة بين كثيرتي الحدود $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ وظيفة عقلانيةأو جزء عقلاني. لكي نكون أكثر دقة، هذا هو وظيفة عقلانيةمتغير واحد (أي المتغير $x$).

يسمى الكسر العقلاني صحيح، إذا $ن< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, درجة أقلكثير الحدود في المقام. بخلاف ذلك (إذا كان $n ≥ m$) يتم استدعاء الكسر خطأ.

المثال رقم 1

وضح أي الكسور التالية عقلانية. إذا كان الكسر عقلانيًا، فاكتشف ما إذا كان صحيحًا أم لا.

1. $\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
2. $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
3. $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$);
4. $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.

1) هذا الكسر غير نسبي لأنه يحتوي على $\sin x$. الكسر العقلاني لا يسمح بذلك.

2) لدينا نسبة اثنين من كثيرات الحدود: $5x^2+3x-8$ و $11x^9+25x^2-4$. لذلك، وفقًا للتعريف، فإن التعبير $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ هو كسر نسبي. بما أن درجة كثيرة الحدود في البسط تساوي $2$، ودرجة كثيرة الحدود في المقام تساوي $9$، فإن هذا الكسر صحيح (نظرًا لأن $2< 9$).

3) يحتوي كل من البسط والمقام لهذا الكسر على كثيرات الحدود (مقسمة إلى عوامل). لا يهمنا على الإطلاق الشكل الذي يتم به تقديم كثيرات الحدود في البسط والمقام: سواء تم تحليلها أم لا. نظرًا لأن لدينا نسبة بين اثنين من كثيرات الحدود، وفقًا للتعريف فإن التعبير $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x) ^6+9x ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ كسر نسبي.

للإجابة على سؤال ما إذا كان الكسر صحيحًا أم لا، يجب تحديد قوى كثيرات الحدود في البسط والمقام. لنبدأ بالبسط، أي. من التعبير $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. لتحديد درجة كثير الحدود هذا، يمكنك بالطبع فتح الأقواس. ومع ذلك، فمن الأسهل بكثير التصرف بعقلانية، لأننا مهتمون فقط أعظم درجةالمتغير $x$. ومن كل قوس نختار المتغير $x$ إلى أقصى درجة. من القوس $(2x^3+8x+4)$ نأخذ $x^3$، من القوس $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ نأخذ $(x^4) ^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$، ومن القوس $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ نختار $x^7$. بعد ذلك، بعد فتح الأقواس، ستكون القوة الأكبر للمتغير $x$ كما يلي:

$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46). $$

درجة كثيرة الحدود الموجودة في البسط هي $46$. الآن دعونا ننتقل إلى القاسم، أي. إلى التعبير $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$. يتم تحديد درجة كثير الحدود هذا بنفس طريقة تحديد البسط، أي.

$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41). $$

يحتوي المقام على كثيرة الحدود من الدرجة 41. بما أن درجة كثيرة الحدود في البسط (أي 46) لا تقل عن درجة كثيرة الحدود في المقام (أي 41)، فإن الكسر العقلاني هو $\frac((2x^3+8x+4)(8x) ^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ غير صحيح.

4) بسط الكسر $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ يحتوي على الرقم $3$، أي. متعدد الحدود درجة الصفر. رسميًا، يمكن كتابة البسط على النحو التالي: $3x^0=3\cdot1=3$. في المقام لدينا كثيرة الحدود درجتها تساوي $6\cdot 4=24$. النسبة بين كثيرتي الحدود هي كسر نسبي. منذ 0 دولار< 24$, то данная дробь является правильной.

إجابة: 1) الكسر ليس عقلانيا. 2) الكسر العقلاني (السليم)؛ 3) الكسر العقلاني (غير منتظم)؛ 4) الكسر العقلاني (السليم).

الآن دعنا ننتقل إلى مفهوم الكسور الأولية (وتسمى أيضًا أبسط الكسور المنطقية). هناك أربعة أنواع من الكسور المنطقية الأولية:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

ملاحظة (يُفضل الحصول على فهم أكثر اكتمالاً للنص): إظهار\إخفاء

لماذا هناك حاجة إلى الشرط $p^2-4q؟< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим معادلة تربيعية$x^2+px+q=0$. مميز هذه المعادلة هو $D=p^2-4q$. في الأساس، الشرط $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет جذور حقيقية. أولئك. لا يمكن تحليل التعبير $x^2+px+q$. إن عدم التحلل هذا هو ما يهمنا.

على سبيل المثال، بالنسبة للتعبير $x^2+5x+10$ نحصل على: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. منذ $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

بالمناسبة، لإجراء هذا التحقق، ليس من الضروري على الإطلاق أن يكون المعامل قبل $x^2$ مساويًا لـ 1. على سبيل المثال، بالنسبة إلى $5x^2+7x-3=0$ نحصل على: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 دولارات. بما أن $D > 0$، فإن التعبير $5x^2+7x-3$ قابل للتحليل.

المهمة هي كما يلي: معين صحيحتمثل كسرًا عقلانيًا كمجموع الكسور العقلانية الأولية. المواد المعروضة في هذه الصفحة مخصصة لحل هذه المشكلة. تحتاج أولاً إلى التأكد من أنك قد أكملت الشرط التالي: يتم تحليل كثير الحدود في مقام الكسر المنطقي بطريقة تجعل هذا التوسع يحتوي فقط على أقواس من الشكل $(x-a)^n$ أو $(x^2+px+q)^n$ ($p) ^2-4ف< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:

1. كل قوس من النموذج $(x-a)$ الموجود في المقام يتوافق مع الكسر $\frac(A)(x-a)$.
2. كل قوس من النموذج $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$) الموجود في المقام يتوافق مع مجموع $n$ الكسور: $\frac(A_1)(x-a)+ \frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$.
3. كل قوس من النموذج $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
4. كل قوس من النموذج $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.

إذا كان الكسر غير صحيح، فقبل تطبيق المخطط أعلاه، يجب عليك تقسيمه إلى مجموع الجزء الصحيح (متعدد الحدود) والكسر العقلاني المناسب. سننظر في كيفية القيام بذلك بالضبط (انظر المثال رقم 2، النقطة 3). بضع كلمات حول تسميات الحروف في البسط (مثل $A$ و$A_1$ و$C_2$ وما شابه). يمكنك استخدام أي حروف لتناسب ذوقك. من المهم فقط أن تكون هذه الحروف متنوعفي جميع الكسور الأولية. للعثور على قيم هذه المعلمات، استخدم طريقة المعاملات غير المحددة أو طريقة استبدال القيم الجزئية (انظر الأمثلة رقم 3 ورقم 4 ورقم 5).

المثال رقم 2

قم بتحليل الكسور المنطقية المعطاة إلى كسور أولية (دون العثور على المعلمات):

1. $\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
2. $\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$);
3. $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.

1) لدينا كسر عقلاني. يحتوي بسط هذا الكسر على كثيرة حدود من الدرجة 4، ويحتوي المقام على كثيرة حدود درجتها تساوي $17$ (كيفية تحديد هذه الدرجة موضحة بالتفصيل في الفقرة رقم 3 من المثال رقم 1). وبما أن درجة كثيرة الحدود في البسط أقل من درجة كثيرة الحدود في المقام، فإن هذا الكسر صحيح. دعنا ننتقل إلى مقام هذا الكسر. لنبدأ بالأقواس $(x-5)$ و$(x+2)^4$، والتي تقع بالكامل تحت الشكل $(x-a)^n$. بالإضافة إلى ذلك، هناك أيضًا قوسين $(x^2+3x+10)$ و$(x^2+11)^5$. التعبير $(x^2+3x+10)$ له الصيغة $(x^2+px+q)^n$، حيث $p=3$; $q=10$، $n=1$. منذ $p^2-4q=9-40=-31< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем الإخراج التالي: يتم تحليل كثير الحدود في المقام بطريقة تجعل هذا التحليل يحتوي فقط على أقواس من الشكل $(x-a)^n$ أو $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:

$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$

ويمكن كتابة النتيجة على النحو التالي:

$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$

ثم يمكن تمثيل الكسر $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ بشكل آخر:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2 +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+ 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8). $$

الكسر $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ هو كسر نسبي مناسب، لأن درجة كثير الحدود في البسط (أي 2) أقل من درجة كثيرة الحدود في المقام ( أي 3). الآن دعونا نلقي نظرة على مقام هذا الكسر. يحتوي المقام على كثيرة الحدود التي تحتاج إلى تحليلها. في بعض الأحيان يكون مخطط هورنر مفيدًا للتحليل، ولكن في حالتنا يكون من الأسهل التعامل مع طريقة "المدرسة" القياسية لتجميع المصطلحات:

$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x -2)\cdot(x^2+4)) $$

باستخدام نفس الأساليب كما في الفقرات السابقة، نحصل على:

$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$

إذن، أخيرًا لدينا:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$

وسيستمر هذا الموضوع في الجزء الثاني.

من دورة الجبر المنهج المدرسيدعونا ننكب على التفاصيل. في هذا المقال سوف ندرس بالتفصيل نوع خاصالتعبيرات العقلانية - الكسور العقلانية، وفكر أيضًا في الخصائص المتطابقة تحويلات الكسور العقلانيةتحدث.

دعونا نلاحظ على الفور أن الكسور العقلانية بالمعنى الذي نعرّفها به أدناه تسمى الكسور الجبرية في بعض كتب الجبر المدرسية. أي أننا في هذه المقالة سنفهم أن الكسور المنطقية والجبرية تعني نفس الشيء.

كالعادة، لنبدأ بالتعريف والأمثلة. سنتحدث بعد ذلك عن جلب الكسر النسبي إلى مقام جديد وتغيير إشارات أعضاء الكسر. بعد ذلك، سننظر في كيفية تقليل الكسور. أخيرًا، دعونا ننظر إلى تمثيل الكسر العقلاني كمجموع لعدة كسور. وسنقدم جميع المعلومات مع الأمثلة أوصاف مفصلةالقرارات.

التنقل في الصفحة.

تعريف وأمثلة على الكسور العقلانية

الكسور العقلانيةيتم دراستها في دروس الجبر في الصف الثامن. سوف نستخدم تعريف الكسر العقلاني الوارد في كتاب الجبر للصف الثامن من تأليف Yu.

في هذا التعريفلم يتم تحديد ما إذا كانت كثيرات الحدود في البسط والمقام للكسر العقلاني يجب أن تكون كثيرة الحدود عرض قياسيأم لا. لذلك، سنفترض أن رموز الكسور النسبية يمكن أن تحتوي على كثيرات الحدود القياسية وغير القياسية.

وهنا عدد قليل أمثلة على الكسور العقلانية. لذلك، س / 8 و - الكسور العقلانية. والكسور ولا تتناسب مع التعريف المعلن للكسر العقلاني، حيث أن البسط في الأول منهما لا يحتوي على كثيرة الحدود، وفي الثانية، يحتوي كل من البسط والمقام على تعبيرات ليست كثيرة الحدود.

تحويل البسط والمقام لكسر نسبي

البسط والمقام لأي كسر مكتفيان بذاتهما التعبيرات الرياضية، في حالة الكسور المنطقية، فهي متعددة الحدود، وفي حالة معينة، أحادية الحد والأرقام. لذلك، يمكن إجراء تحويلات متطابقة مع بسط ومقام الكسر النسبي، كما هو الحال مع أي تعبير. بمعنى آخر، يمكن استبدال التعبير الموجود في بسط الكسر النسبي بتعبير متساوٍ تمامًا، تمامًا مثل المقام.

يمكنك إجراء تحويلات متطابقة في بسط ومقام الكسر المنطقي. على سبيل المثال، في البسط يمكنك التجميع والتقليل مصطلحات مماثلةوفي المقام - استبدل منتج عدة أرقام بقيمته. وبما أن البسط والمقام للكسر العقلاني هما متعددو الحدود، فمن الممكن إجراء تحويلات مميزة لكثيرات الحدود معهم، على سبيل المثال، الاختزال إلى شكل قياسي أو التمثيل في شكل منتج.

من أجل الوضوح، دعونا نفكر في حلول لعدة أمثلة.

مثال.

تحويل الكسر العقلاني بحيث يحتوي البسط على كثيرة حدود ذات صيغة قياسية، والمقام يحتوي على حاصل ضرب كثيرات الحدود.

حل.

يُستخدم اختزال الكسور المنطقية إلى مقام جديد بشكل أساسي في جمع وطرح الكسور المنطقية.

تغيير العلامات أمام الكسر، وكذلك في بسطه ومقامه

يمكن استخدام الخاصية الرئيسية للكسر لتغيير علامات أعضاء الكسر. في الواقع، ضرب بسط ومقام الكسر المنطقي في -1 يعادل تغيير إشاراتهما، والنتيجة هي كسر مساوٍ تمامًا للكسر المعطى. يجب استخدام هذا التحويل كثيرًا عند التعامل مع الكسور المنطقية.

وبالتالي، إذا قمت بتغيير علامات البسط والمقام في وقت واحد للكسر، فستحصل على كسر مساوٍ للكسر الأصلي. ويرد على هذا البيان بالمساواة.

دعونا نعطي مثالا. يمكن استبدال الكسر العقلاني بكسر متساوٍ تمامًا مع تغيير علامات البسط والمقام في النموذج.

يمكنك فعل شيء آخر بالكسور: تحول الهوية، حيث تتغير إشارة البسط أو المقام. دعونا نذكر القاعدة المقابلة. إذا قمت باستبدال إشارة الكسر مع إشارة البسط أو المقام، فستحصل على كسر مساوٍ تمامًا للكسر الأصلي. البيان المكتوب يتوافق مع المساواة و .

وإثبات هذه المساواة ليس بالأمر الصعب. يعتمد الدليل على خصائص ضرب الأعداد. فلنثبت أولها : . باستخدام تحويلات مماثلة، تم إثبات المساواة.

على سبيل المثال، يمكن استبدال الكسر بالتعبير أو.

في ختام هذه النقطة، نقدم اثنين من المساواة أكثر فائدة و. أي أنك إذا غيرت إشارة البسط فقط أو المقام فقط، فإن الكسر سيغير إشارته. على سبيل المثال، و .

غالبًا ما تُستخدم التحويلات المدروسة، والتي تسمح بتغيير إشارة حدود الكسر، عند تحويل التعبيرات المنطقية الكسرية.

تقليل الكسور العقلانية

التحويل التالي للكسور المنطقية، والذي يسمى اختزال الكسور المنطقية، يعتمد على نفس الخاصية الأساسية للكسر. يتوافق هذا التحويل مع المساواة، حيث a وb وc هي بعض كثيرات الحدود، وb وc غير صفرية.

ومن المساواة المذكورة أعلاه يتضح أن تقليل الكسر العقلاني يعني التخلص منه المضاعف المشتركفي بسطه ومقامه.

مثال.

إلغاء الكسر العقلاني.

حل.

العامل المشترك 2 مرئي على الفور، فلنجري الاختزال به (عند الكتابة، من المناسب شطب العوامل المشتركة التي يتم الاختزال بها). لدينا . بما أن x 2 =x x و y 7 = y 3 y 4 (انظر إذا لزم الأمر)، فمن الواضح أن x عامل مشترك بين البسط والمقام للكسر الناتج، كما هو الحال مع y 3. دعونا نقلل من خلال هذه العوامل: . هذا يكمل التخفيض.

أعلاه قمنا بتخفيض الكسور العقلانية بالتتابع. أو كان من الممكن إجراء الاختزال في خطوة واحدة، مما يؤدي على الفور إلى تقليل الكسر بمقدار 2 x y 3. في هذه الحالة سيكون الحل كالتالي: .

إجابة:

.

عند تقليل الكسور المنطقية، المشكلة الرئيسية هي أن العامل المشترك للبسط والمقام ليس مرئيًا دائمًا. علاوة على ذلك، فهو ليس موجودًا دائمًا. للعثور على عامل مشترك أو التحقق من غيابه، عليك تحليل بسط ومقام الكسر النسبي. إذا لم يكن هناك عامل مشترك، فلا حاجة إلى تقليل الكسر العقلاني الأصلي، وإلا فسيتم إجراء التخفيض.

يمكن أن تنشأ فروق دقيقة مختلفة في عملية تقليل الكسور العقلانية. تمت مناقشة التفاصيل الدقيقة الرئيسية في المقالة لتقليل الكسور الجبرية باستخدام الأمثلة وبالتفصيل.

في ختام الحديث عن اختزال الكسور المنطقية، نلاحظ أن هذا التحويل متطابق، وتكمن الصعوبة الرئيسية في تنفيذه في تحليل كثيرات الحدود في البسط والمقام.

تمثيل الكسر العقلاني كمجموع الكسور

محدد تمامًا، ولكن في بعض الحالات مفيد جدًا، هو تحويل الكسر العقلاني، والذي يتكون من تمثيله كمجموع عدة كسور، أو مجموع تعبير كامل وكسر.

يمكن دائمًا كتابة الكسر العقلاني، الذي يحتوي بسطه على كثيرة حدود تمثل مجموع عدة أحاديات، كمجموع كسور لها نفس المقامات، والتي تحتوي بسطاتها على أحاديات الحد المقابلة. على سبيل المثال، . يتم تفسير هذا التمثيل من خلال قاعدة جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة.

بشكل عام، يمكن التعبير عن أي كسر كسري كمجموع الكسور بعدة طرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الكسر a/b كمجموع كسرين - كسر عشوائي c/d وكسر يساوي الفرق بين الكسرين a/b وc/d. وهذا القول صحيح، لأن المساواة قائمة . على سبيل المثال، يمكن تمثيل الكسر العقلاني كمجموع الكسور بطرق مختلفة: لنتخيل الكسر الأصلي كمجموع تعبير عدد صحيح وكسر. وبقسمة البسط على المقام بعمود نحصل على المساواة . قيمة التعبير n 3 +4 لأي عدد صحيح n هي عدد صحيح. وتكون قيمة الكسر عددًا صحيحًا إذا وفقط إذا كان مقامه 1 أو −1 أو 3 أو −3. تتوافق هذه القيم مع القيم n=3 و n=1 و n=5 و n=−1 على التوالي.

إجابة:

−1 , 1 , 3 , 5 .

مراجع.

• الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. التعليم العام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ تم تحريره بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف السابع. الساعة 2 بعد الظهر الجزء 1. الكتاب المدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية/ أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة 13، المراجعة. - م: منيموسين، 2009. - 160 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01198-9.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف الثامن. في ساعتين الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة، محذوفة. - م: منيموسين، 2009. - 215 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01155-2.
• غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.