ما يسمى ظل جيب التمام للمثلث القائم الزاوية. يجيب الطلاب على أسئلة المعلم ويستخلصون النتائج

سنبدأ دراستنا لعلم المثلثات بالمثلث القائم الزاوية. دعونا نحدد ما هو الجيب وجيب التمام، وكذلك الظل وظل التمام زاوية حادة. هذه هي أساسيات علم المثلثات.

دعونا نذكركم بذلك الزاوية اليمنىهي زاوية تساوي 90 درجة. وبعبارة أخرى، نصف زاوية منعطفة.

زاوية حادة- أقل من 90 درجة.

زاوية منفرجة- أكبر من 90 درجة. فيما يتعلق بهذه الزاوية، فإن "منفرجة" ليست إهانة، ولكنها مصطلح رياضي :-)

لنرسم مثلثًا قائمًا. عادة ما يتم الإشارة إلى الزاوية اليمنى بواسطة . يرجى ملاحظة أن الجانب المقابل للزاوية يُشار إليه بالحرف نفسه، ولكنه صغير فقط. وبالتالي، يتم تعيين الجانب المقابل للزاوية A .

يتم الإشارة إلى الزاوية المقابلة الرسالة اليونانية.

الوترللمثلث القائم هو الجانب المقابل الزاوية اليمنى.

الساقين- الجوانب المتقابلة بزوايا حادة.

تسمى الساق الواقعة مقابل الزاوية عكس(بالنسبة للزاوية). وتسمى الساق الأخرى التي تقع على أحد جانبي الزاوية مجاور.

الجيوب الأنفيةالزاوية الحادة في المثلث القائم هي النسبة الساق المقابلةإلى الوتر:

جيب التمامالزاوية الحادة في المثلث القائم - النسبة الساق المجاورةإلى الوتر:

الظلالزاوية الحادة في المثلث القائم - نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور:

تعريف آخر (معادل): ظل الزاوية الحادة هو نسبة جيب الزاوية إلى جيب تمامها:

ظل التمامالزاوية الحادة في المثلث الأيمن - نسبة الجانب المجاور إلى المقابل (أو، وهي نفسها، نسبة جيب التمام إلى الجيب):

لاحظ العلاقات الأساسية للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام أدناه. ستكون مفيدة لنا عند حل المشكلات.

دعونا نثبت بعض منهم.

حسنًا، لقد قدمنا ​​تعريفات وكتبنا الصيغ. ولكن لماذا لا نزال بحاجة إلى الجيب وجيب التمام والظل والظل؟

نحن نعرف ذلك مجموع زوايا أي مثلث يساوي.

نحن نعرف العلاقة بين الأطرافالمثلث الأيمن. وهذه هي نظرية فيثاغورس: .

اتضح أنه بمعرفة زاويتين في المثلث، يمكنك العثور على الثالثة. بمعرفة ضلعي المثلث القائم الزاوية، يمكنك العثور على الثالث. وهذا يعني أن الزوايا لها نسبها الخاصة، والأضلاع لها نسبها الخاصة. ولكن ماذا يجب أن تفعل إذا كنت تعرف زاوية واحدة (باستثناء الزاوية القائمة) وضلعًا واحدًا في المثلث القائم، لكنك بحاجة إلى العثور على الجوانب الأخرى؟

وهذا ما واجهه الناس في الماضي عند عمل خرائط للمنطقة والسماء المرصعة بالنجوم. ففي النهاية، ليس من الممكن دائمًا قياس جميع جوانب المثلث بشكل مباشر.

جيب التمام وجيب التمام والظل - يطلق عليهم أيضًا وظائف الزاوية المثلثية- إعطاء العلاقات بين الأطرافو زوايامثلث. بمعرفة الزاوية، يمكنك العثور على كل ذلك الدوال المثلثيةوفق جداول خاصة. وبمعرفة جيب التمام وجيب التمام وظلال زوايا المثلث وأحد أضلاعه، يمكنك إيجاد الباقي.

سنقوم أيضًا برسم جدول لقيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا "الجيدة" من إلى.

يرجى ملاحظة الشرطتين الأحمرتين في الجدول. عند قيم الزاوية المناسبة، لا يوجد ظل وظل التمام.

دعونا نلقي نظرة على العديد من مسائل علم المثلثات من بنك مهام FIPI.

1. في المثلث، الزاوية هي . يجد .

يتم حل المشكلة في أربع ثوان.

منذ ، .

2. في المثلث تكون الزاوية , . يجد .

دعونا نجدها باستخدام نظرية فيثاغورس.

تم حل المشكلة.

غالبًا ما توجد في المشكلات مثلثات بزوايا أو بزوايا و. حفظ النسب الأساسية لهم عن ظهر قلب!

بالنسبة للمثلث ذو الزوايا والساق المقابلة للزاوية تساوي نصف الوتر.

مثلث ذو زوايا وهو متساوي الساقين. فيه يكون الوتر أكبر من الساق مرات.

نظرنا إلى المسائل المتعلقة بحل المثلثات القائمة الزاوية، أي إيجادها أطراف غير معروفةأو الزوايا. ولكن هذا ليس كل شيء! في خيارات امتحان الدولة الموحدةفي الرياضيات هناك العديد من المسائل التي تتضمن جيب التمام أو جيب التمام أو الظل أو ظل التمام للزاوية الخارجية للمثلث. المزيد عن هذا في المقالة التالية.

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتما هذا العمل، يرجى تنزيل النسخة الكاملة.

أهداف الدرس:

• تقديم مفاهيم الجيب وجيب التمام والظل للزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية؛
• إظهار كيفية استخدام جيب التمام وجيب التمام والظل في حل المشكلات؛
• تنمية مهارات الملاحظة والمقارنة والتحليل واستخلاص النتائج.

تقدم الدرس

تحديث المعرفة (تحديد المشكلة الرئيسية للدرس)

أجريت في شكل مسح أمامي.

مدرس.على السبورة ترى ملخصًا لـ 6 مشاكل< Рисунок 1>. تذكر أي من هذه المشاكل تعرف بالفعل كيفية حلها؟ حل هذه المشاكل. صياغة النظريات المقابلة.

الشكل 1

طلاب:

المهمة 1.الجواب: 5. في المثلث القائم، تكون الساق مقابلة للزاوية التي قياسها 30 درجة يساوي النصفالوتر.

المهمة 2.الجواب: 41 درجة. مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو 180 درجة.

المهمة 3.الجواب: 10. مربع الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي الساقين.

المشاكل 4-6لا يمكننا أن نقرر.

مدرس.لماذا لا تستطيع حل المسائل 4-6؟ ما السؤال الذي يطرح نفسه؟

طلاب.نحن لا نعرف ما هي tgB، sinA، cosB.

مدرس. تتم قراءة sinA وcosB وtanB: "جيب الزاوية A" و"جيب تمام الزاوية B" و"ظل الزاوية B". اليوم سوف نتعلم ما يعنيه كل من هذه التعبيرات ونتعلم كيفية حل المسائل مثل 4-6.

إدخال مواد جديدة

أجريت في شكل محادثة إرشادية.

مدرس.ارسم مثلثات قائمة ذات الأرجل 3 و4 و6 و8. قم بتسميتها ABC وA 1 B 1 C 1 بحيث تكون B وB 1 زاويتين متقابلتين للأرجل 4 و8، والزوايا القائمة هي C وC 1. هل الزاويتان B و B1 متساويتان؟ لماذا؟

طلاب. متساويين لأن المثلثين متشابهان. AC: BC = A1 C1: B1 C1 (3: 4 = 6: 8) والزوايا بينهما قائمة.<Рисунок 2>

مدرس. مساواة ما هي العلاقات الأخرى التي تنجم عن تشابه المثلثات ABC و A 1 B 1 C 1؟

طلاب. ق: أ ب = ب 1 ج 1: أ 1 ب 1، أ: أ ب = أ 1 ج 1: أ 1 ب 1.

مدرس. أ: أ ب = أ 1 ج 1: أ 1 ب 1 = خطيئة ب = خطيئة ب 1.

قبل الميلاد: AB = ب 1 ج 1: أ 1 ب 1 = cosB = cosB 1. أ: قبل الميلاد = أ 1 ج 1: ب 1 ج 1 = tgB = tgB 1. الساق AC مقابلة للزاوية B، والساق BC مجاورة لهذه الزاوية. اذكر تعريفات الجيب وجيب التمام والظل.

طلاب. جيب الزاوية الحادة للمثلث القائم هو نسبة الضلع المقابل إلى الوتر.

جيب تمام الزاوية الحادة للمثلث القائم هو نسبة الساق المجاورة إلى الوتر.

ظل الزاوية الحادة للمثلث القائم هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور.

مدرس. اكتب جيب التمام وجيب التمام وظل الزاوية A بنفسك (الشريحة 1). الصيغ الناتجة (1)، (2)، (3):

(1)

لذلك، تعلمنا ما هي جيب التمام وجيب التمام والظل للزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية. بشكل عام، مفاهيم الجيب وجيب التمام والظل لها تاريخ طويل. ومن خلال دراسة العلاقة بين أضلاع المثلث وزواياه، وجد العلماء القدماء طرقًا للحساب عناصر مختلفةمثلث. تم استخدام هذه المعرفة بشكل رئيسي لحل مشاكل علم الفلك العملي، لتحديد المسافات التي يتعذر الوصول إليها.

توحيد

مدرس. دعونا نحل المشكلة رقم 591 (أ، ب).

يتم عرض المهمة على الشاشة (الشريحة 2). تم حل المهمة "أ" على السبورة مع شرح كامل؛ "ب" - بشكل مستقل، متبوعًا بالتحقق من بعضها البعض.

أوجد جيب التمام وجيب التمام وظل الزوايا A وB للمثلث ABC ذو الزاوية القائمة C، إذا: أ) BC = 8، AB = 17؛ ب) ب) = 21، أ = 20.

حل. أ) = . = ، وباستخدام نظرية فيثاغورس نجد AC = 15،

= ؛ ب) وباستخدام نظرية فيثاغورس نجد AB = 29، . . .

مدرس.والآن دعونا نعود إلى المسائل 4-6<Рисунок 1>. دعونا نناقش ما هو معروف في المسائل 4-6 وما الذي يجب العثور عليه؟

المهمة 4.ما هو معروف؟ ماذا تحتاج إلى العثور عليه؟

طلاب. BC = 7 وtan B = 3.5 معروفان. نحن بحاجة إلى العثور على مكيف الهواء.

مدرس. ما هو تيراغرام ب؟

طلاب. .

مدرس. نحن نعمل مع الصيغة. تتكون الصيغة من ثلاثة مكونات. قم بتسميتهم. ما هي المكونات المعروفة؟ أي مكون غير معروف؟ هل يمكنك العثور عليه؟ العثور عليه.

طلاب. AC = BC * Tg B = 7 * 3.5 = 24.5

مدرس. باستخدام هذا المثال، قم بحل المسألتين 5 و 6<Рисунок 1>. 1 طالب يعمل على لوحة مغلقة

مدرس.

1. أخبرني، هل تمكنت من العثور على المجهول المطلوب؟

2. ما هو ترتيب أفعالك؟

3. ربما هناك حلول أخرى؟

طلاب.1. نعم. بسهولة. باتباع المثال. المشكلة 5. الإجابة: 10. المشكلة 6. الإجابة: 2.5

2. أولا نستبدل جيب التمام وجيب التمام للزوايا المتناظرة بالتعريف بالنسب المقابلة، ثم نضع البيانات المعلومة بالنسب الناتجة، وبعد ذلك نجد المجهولات المجهولة.

مدرس. أيّ الاستنتاج العامهل يمكن القيام بذلك بعد حل المسائل 4-6؟ ما هي المسائل الجديدة التي تعلمنا حلها في المثلث القائم الزاوية؟ فكر وصياغة استنتاجك.

طلاب. إذا كنت تعرف في مثلث قائم الزاوية أحد أضلاعه ونسبة هذا الجانب إلى أحد الأضلاع الأخرى، أو أحد الأضلاع ونسبة أحد الأضلاع الأخرى إلى ضلع معروف (إما جيب التمام أو جيب التمام أو الظل)، فأنت يمكن العثور على هذا الجانب الثاني.

حل المشكلة.

حاول الآن حل هذه المشكلات 7-9<Рисунок 3>.

الشكل 3

طلاب. لا نعرف كيفية حلها.

مدرس. دعنا نعود إلى المشكلة 1<Рисунок 1>. دعونا نغير حالة المشكلة. افترض أن NK = 5، NM = 10. أوجد الزاوية M.

طلاب.الزاوية M تساوي 30 درجة، لأن الساق المقابلة للزاوية M تساوي نصف الوتر.

مدرس. وهذا يعني أنه إذا كان جيب الزاوية 0.5، فإن الزاوية تكون 30°. والآن دعونا نحل المسائل رقم 592 (أ،ج،د)

رقم 592. بناء زاوية أإذا: أ) ج) د) .

حل.

أ) على جانبي الزاوية القائمة سنضع قطعًا بطول 1 و 2 ونربط طرفي القطع. في المثلث الناتج، الزاوية المقابلة للضلع 1 هي الزاوية المطلوبة أ;

ج) 0.2 = . على أحد جانبي الزاوية القائمة من قمة رأسها نرسم قطعة طولها 1. أنشئ دائرة نصف قطرها 5 بحيث يكون مركزها في نهاية القطعة المقطوعة. ترتبط نقطة تقاطع الدائرة مع الجانب الثاني من الزاوية اليمنى بنهاية القطعة الموضوعة على الجانب الأول من الزاوية. في المثلث الناتج، الزاوية المجاورة للضلع الذي طوله 1 هي الزاوية أ; (الشريحة 4)

هـ) على أحد جانبي الزاوية القائمة من قمة رأسها نرسم قطعة طولها 1. أنشئ دائرة نصف قطرها 2 بحيث يكون مركزها في نهاية القطعة المقطوعة. ترتبط نقطة تقاطع الدائرة مع الجانب الثاني من الزاوية اليمنى بنهاية القطعة الموضوعة على الجانب الأول من الزاوية. في المثلث الناتج، الزاوية المقابلة للضلع الذي طوله 1 هي الزاوية المطلوبة أ(الشريحة 5)

لقد قمت ببناء الزوايا، مما يعني أنك وجدت الزوايا. ويمكن قياسها وعرضها في شكل جدول.

وبالمثل، يمكنك حل المسائل 7-9<Рисунок 3>

تلخيص

مدرس.الإجابة على الأسئلة:

1. ما هي جيب التمام وجيب التمام والظل للزاوية القائمة في المثلث الأيمن؟

2. يوجد 6 عناصر في المثلث القائم الزاوية. ما هي المشاكل الجديدة التي تعلمت حلها اليوم؟ ما هو ترتيب العمل الخاص بك؟ اختبر قدرتك على تنفيذ هذه الإجراءات بشكل صحيح (يتم توزيع البطاقات الفردية).

المحتويات التقريبية للبطاقات: 1. ب المثلث ABCالزاوية C هي خط مستقيم، BC = 2، أوجد AB. 2. في المثلث ABC، الزاوية C هي خط مستقيم، AC = 8، . ابحث عن أب. 3. في المثلث ABC، الزاوية C تساوي 90°، AC = 6، . ابحث عن الشمس.

يقارن الطلاب عملهم بالحلول الجاهزة على البطاقات المقابلة.

الواجبات المنزلية:السؤال 15 في الصفحة 159؛ رقم 591(ج،د)،592(ب،د،و) (الشريحة 6)

الأدب المستخدم

1. الهندسة. الصفوف 7-9: كتاب مدرسي. ل المنظمات التعليمية/ [ ل.س. أتاناسيان ، ف. بوتوزوف، س. كادومتسيف وآخرون]. – الطبعة الثانية. – م: التربية، 2014.

علم المثلثات - القسم العلوم الرياضية، الذي يستكشف الدوال المثلثية واستخدامها في الهندسة. بدأ تطور علم المثلثات في اليونان القديمة. خلال العصور الوسطى مساهمة مهمةوقد ساهم علماء من الشرق الأوسط والهند في تطوير هذا العلم.

هذه المقالة مخصصة ل المفاهيم الأساسيةوتعاريف علم المثلثات. ويناقش تعريفات الدوال المثلثية الأساسية: جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام. يتم شرح معناها وتوضيحها في سياق الهندسة.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

في البداية، تم التعبير عن تعريفات الدوال المثلثية التي تكون حجتها زاوية من حيث نسبة أضلاع المثلث القائم الزاوية.

تعريفات الدوال المثلثية

جيب الزاوية (sin α) هو نسبة الساق المقابلة لهذه الزاوية إلى الوتر.

جيب تمام الزاوية (cos α) - نسبة الساق المجاورة إلى الوتر.

زاوية الظل (t g α) - نسبة الجانب المقابل إلى الجانب المجاور.

زاوية ظل التمام (c t g α) - نسبة الجانب المجاور إلى الجانب الآخر.

هذه التعريفات معطاة للزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية!

دعونا نعطي مثالا.

في المثلث ABCمع الزاوية القائمة C جيب الزاوية A يساوي النسبةالساق BC إلى الوتر AB.

تتيح لك تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام حساب قيم هذه الوظائف من الأطوال المعروفة لأضلاع المثلث.

من المهم أن نتذكر!

نطاق قيم الجيب وجيب التمام هو من -1 إلى 1. وبعبارة أخرى، يأخذ الجيب وجيب التمام القيم من -1 إلى 1. نطاق قيم الظل وظل التمام هو خط الأعداد بأكمله، أي أن هذه الوظائف يمكن أن تأخذ أي قيم.

تنطبق التعريفات المذكورة أعلاه على الزوايا الحادة. في علم المثلثات، تم تقديم مفهوم زاوية الدوران، والتي لا تقتصر قيمتها، على عكس الزاوية الحادة، على 0 إلى 90 درجة. يتم التعبير عن زاوية الدوران بالدرجات أو الراديان بأي رقم حقيقي من - ∞ إلى + ∞.

في هذا السياق، يمكننا تحديد الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية ذات حجم تعسفي. دعونا نتخيل دائرة وحدة مركزها هو أصل نظام الإحداثيات الديكارتية.

يتم تدوير نقطة البداية A ذات الإحداثيات (1، 0) حول المركز دائرة الوحدةإلى زاوية ما α ويذهب إلى النقطة A 1 . يتم تقديم التعريف من حيث إحداثيات النقطة A 1 (x، y).

جيب (خطيئة) لزاوية الدوران

جيب زاوية الدوران α هو إحداثي النقطة A 1 (x, y). الخطيئة α = ذ

جيب التمام (cos) لزاوية الدوران

جيب التمام لزاوية الدوران α هو حدود النقطة A 1 (x، y). كوس α = س

الظل (tg) لزاوية الدوران

ظل زاوية الدوران α هو نسبة إحداثي النقطة A 1 (x، y) إلى الإحداثي المحوري. تي ز α = ص س

ظل التمام (ctg) لزاوية الدوران

ظل التمام لزاوية الدوران α هو نسبة حدود النقطة A 1 (x، y) إلى الإحداثي. ج تي ز α = س ص

يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زاوية دوران. وهذا أمر منطقي، لأنه يمكن تحديد الإحداثي والإحداثي للنقطة بعد الدوران بأي زاوية. الوضع مختلف مع الظل وظل التمام. يكون المماس غير محدد عندما تذهب نقطة ما بعد الدوران إلى نقطة ذات حدود صفرية (0، 1) و (0، - 1). في مثل هذه الحالات، التعبير عن الظل t g α = y x ببساطة لا معنى له، لأنه يحتوي على القسمة على صفر. الوضع مشابه مع ظل التمام. والفرق هو أن ظل التمام لا يتم تعريفه في الحالات التي يكون فيها إحداثي النقطة يساوي الصفر.

من المهم أن نتذكر!

يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زوايا α.

يتم تعريف الظل لجميع الزوايا باستثناء α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

يتم تعريف ظل التمام لجميع الزوايا باستثناء α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

عندما تقرر أمثلة عمليةلا تقل "جيب زاوية الدوران α". لقد تم ببساطة حذف عبارة "زاوية الدوران"، مما يعني أنه من الواضح بالفعل من السياق ما تتم مناقشته.

أرقام

ماذا عن تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لعدد، وليس زاوية الدوران؟

جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام لعدد

جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لعدد رهو رقم يساوي على التوالي جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام رراديان.

على سبيل المثال، جيب العدد 10 π يساوي جيب زاوية الدوران 10 π راد.

هناك طريقة أخرى لتحديد جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأي رقم. دعونا نلقي نظرة فاحصة على ذلك.

أي شخص رقم حقيقي رترتبط نقطة على دائرة الوحدة بالمركز عند أصل نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل. يتم تحديد الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام من خلال إحداثيات هذه النقطة.

نقطة البداية على الدائرة هي النقطة (أ) بإحداثيات (1، 0).

رقم إيجابي ر

رقم سلبي ريتوافق مع النقطة التي ستذهب إليها نقطة البداية إذا تحركت حول الدائرة عكس اتجاه عقارب الساعة و سوف تذهب في الطريقر.

الآن بعد أن تم إنشاء العلاقة بين الرقم ونقطة على الدائرة، ننتقل إلى تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

جيب (الخطيئة) من ر

جيب الرقم ر- إحداثية نقطة على دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. الخطيئة ر = ذ

جيب التمام (كوس) ر

جيب التمام لعدد ر- نهاية نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. كوس ر = س

الظل (tg) من ر

ظل الرقم ر- نسبة الإحداثيات إلى حدود نقطة ما على دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. t g t = y x = sin t cos t

تتوافق أحدث التعريفات مع التعريف الوارد في بداية هذه الفقرة ولا تتعارض معه. نقطة على دائرة المقابلة للرقم ر، يتزامن مع النقطة التي تذهب إليها نقطة البداية بعد الدوران بزاوية رراديان.

الدوال المثلثية للوسيطة الزاوية والرقمية

كل قيمة للزاوية α تقابل قيمة محددةجيب وجيب التمام لهذه الزاوية. تمامًا مثل جميع الزوايا α بخلاف α = 90 ° + 180 ° k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) تتوافق مع قيمة ظل معينة. يتم تعريف ظل التمام، كما هو مذكور أعلاه، لجميع α باستثناء α = 180° k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z).

يمكننا القول أن sin α، cos α، t g α، c t g α هي دوال للزاوية ألفا، أو دوال للوسيطة الزاوية.

وبالمثل، يمكننا التحدث عن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام كوظائف حجة رقمية. كل عدد حقيقي ريتوافق مع قيمة معينة لجيب أو جيب تمام الرقم ر. جميع الأرقام غير π 2 + π · k, k ∈ Z، تتوافق مع قيمة الظل. يتم تعريف ظل التمام، بالمثل، لجميع الأرقام باستثناء π · k، k ∈ Z.

الوظائف الأساسية لعلم المثلثات

جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام هي الوظائف المثلثية الأساسية.

عادةً ما يكون واضحًا من السياق أي وسيطة للدالة المثلثية (الوسيطة الزاوية أو الوسيطة الرقمية) التي نتعامل معها.

دعنا نعود إلى التعريفات المقدمة في البداية وزاوية ألفا، التي تقع في النطاق من 0 إلى 90 درجة. تعريفات المثلثيةجيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام متوافقة تماما مع تعريفات هندسية، وذلك باستخدام نسب العرض إلى الارتفاع للمثلث القائم الزاوية. دعونا نظهر ذلك.

خذ دائرة وحدة مركزها مستطيل النظام الديكارتيالإحداثيات لنقم بتدوير نقطة البداية A (1، 0) بزاوية تصل إلى 90 درجة ونرسم خطًا عموديًا على محور الإحداثي المحوري من النقطة الناتجة A 1 (x، y). في المثلث الأيمن الناتج، الزاوية A 1 O H تساوي زاوية الدوران α، طول الساق O H يساوي حدود النقطة A 1 (x، y). طول الساق المقابلة للزاوية يساوي إحداثي النقطة A 1 (x، y)، وطول الوتر يساوي واحدًا، لأنه نصف قطر دائرة الوحدة.

وفقا للتعريف من الهندسة، فإن جيب الزاوية α يساوي نسبة الجانب المقابل إلى الوتر.

الخطيئة α = أ 1 ح O أ 1 = ص 1 = ص

هذا يعني أن تحديد جيب الزاوية الحادة في المثلث القائم من خلال نسبة العرض إلى الارتفاع يعادل تحديد جيب زاوية الدوران α، مع وجود ألفا في النطاق من 0 إلى 90 درجة.

وبالمثل، يمكن إظهار تطابق التعريفات لجيب التمام والظل وظل التمام.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

في هذه المقالة سوف نوضح كيفية العطاء تعاريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية والرقم في علم المثلثات. سنتحدث هنا عن الملاحظات ونعطي أمثلة على الإدخالات ونقدم الرسوم التوضيحية. في الختام، دعونا نرسم توازيًا بين تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام في علم المثلثات والهندسة.

التنقل في الصفحة.

تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام

دعونا نرى كيف تتشكل فكرة الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام دورة المدرسةالرياضيات. في دروس الهندسة، يتم تقديم تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة في المثلث القائم. وبعد ذلك يتم دراسة علم المثلثات الذي يتحدث عن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران والعدد. دعونا نعرض كل هذه التعريفات ونعطي الأمثلة ونعطي التعليقات اللازمة.

زاوية حادة في مثلث قائم

من مقرر الهندسة، نعرف تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة في المثلث القائم. يتم إعطاؤها كنسبة لأضلاع المثلث القائم الزاوية. دعونا نعطي صيغهم.

تعريف.

جيب الزاوية الحادة في المثلث القائمهي نسبة الضلع المقابل للوتر.

تعريف.

جيب تمام الزاوية الحادة في المثلث القائمهي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر.

تعريف.

ظل زاوية حادة في مثلث قائم– هذه هي نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور.

تعريف.

ظل تمام الزاوية الحادة في المثلث القائم- هذه هي نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل.

يتم أيضًا تقديم تسميات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام - sin وcos وtg وctg، على التوالي.

على سبيل المثال، إذا كان ABC مثلثًا قائمًا بزاوية قائمة C، فإن جيب الزاوية الحادة A يساوي نسبة الضلع المقابل BC إلى الوتر AB، أي sin∠A=BC/AB.

تتيح لك هذه التعريفات حساب قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية حادة من الأطوال المعروفة لأضلاع المثلث القائم، وكذلك من القيم المعروفةأوجد أطوال الأضلاع الأخرى باستخدام جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام وطول أحد الجوانب. على سبيل المثال، إذا علمنا أنه في المثلث القائم، فإن الساق AC تساوي 3 والوتر AB يساوي 7، فيمكننا حساب قيمة جيب تمام الزاوية الحادة A بالتعريف: cos∠A=AC/ أ ب = 3/7.

زاوية الدوران

في علم المثلثات، بدأوا في النظر إلى الزاوية على نطاق أوسع - وقدموا مفهوم زاوية الدوران. لا يقتصر حجم زاوية الدوران، على عكس الزاوية الحادة، على 0 إلى 90 درجة؛ ويمكن التعبير عن زاوية الدوران بالدرجات (والراديان) بأي رقم حقيقي من −∞ إلى +∞.

في ضوء ذلك، لا يتم تقديم تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية حادة، ولكن لزاوية ذات حجم تعسفي - زاوية الدوران. يتم تقديمها من خلال إحداثيات x و y للنقطة A 1، والتي تذهب إليها ما يسمى بنقطة البداية A(1، 0) بعد دورانها بزاوية α حول النقطة O - بداية نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل ومركز دائرة الوحدة .

تعريف.

جيب زاوية الدورانα هو إحداثي النقطة A 1، أي sinα=y.

تعريف.

جيب تمام زاوية الدورانيُطلق على α محور النقطة A 1، أي cosα=x.

تعريف.

ظل زاوية الدورانα هي نسبة إحداثي النقطة A 1 إلى حدها الإحداثي، أي tanα=y/x.

تعريف.

ظل تمام زاوية الدورانα هي نسبة الإحداثيات الإحداثية للنقطة A 1 إلى إحداثيتها، أي ctgα=x/y.

يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زاوية α، حيث يمكننا دائمًا تحديد الإحداثيات الإحداثية والنقطة، والتي يتم الحصول عليها عن طريق تدوير نقطة البداية بالزاوية α. ولكن لم يتم تعريف الظل وظل التمام لأي زاوية. لم يتم تعريف الظل للزوايا α التي تذهب عندها نقطة البداية إلى نقطة بها صفر الإحداثي السيني (0، 1) أو (0، −1)، ويحدث هذا عند الزوايا 90°+180° k، k∈Z (π) /2+π·ك راد). في الواقع، عند زوايا الدوران هذه، فإن التعبير tgα=y/x ليس له معنى، لأنه يحتوي على القسمة على صفر. أما ظل التمام فهو غير محدد للزوايا α التي تذهب عندها نقطة البداية إلى النقطة ذات الإحداثي الصفري (1, 0) أو (−1, 0)، ويحدث ذلك للزوايا 180° k, k ∈Z (π · ك راد).

لذلك، يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زوايا دوران، ويتم تعريف الظل لجميع الزوايا باستثناء 90°+180°k، k∈Z (π/2+πk rad)، ويتم تعريف ظل التمام لجميع الزوايا باستثناء 180° ·k ، k∈Z (π·k راد).

تتضمن التعريفات التسميات المعروفة لدينا بالفعل sin وcos وtg وctg، كما أنها تستخدم لتعيين جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران (في بعض الأحيان يمكنك العثور على التسميات tan وcotالمقابلة للظل وظل التمام) . لذلك يمكن كتابة جيب زاوية دوران مقدارها 30 درجة بالشكل sin30°، وتتوافق الإدخالات tg(−24°17′) وctgα مع ظل زاوية الدوران −24 درجة 17 دقيقة وظل التمام لزاوية الدوران α . تذكر أنه عند كتابة قياس الراديان لزاوية ما، غالبًا ما يتم حذف التسمية "rad". على سبيل المثال، يُشار عادةً إلى جيب تمام زاوية الدوران البالغة ثلاثة باي راد بـ cos3·π.

في ختام هذه النقطة، تجدر الإشارة إلى أنه عند الحديث عن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران، غالبًا ما يتم حذف عبارة "زاوية الدوران" أو كلمة "الدوران". وهذا يعني أنه بدلاً من عبارة "جيب زاوية الدوران ألفا"، يتم عادةً استخدام عبارة "جيب زاوية ألفا" أو حتى أقصر "جيب ألفا". الأمر نفسه ينطبق على جيب التمام، الظل، وظل التمام.

سنقول أيضًا أن تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة في المثلث الأيمن تتوافق مع التعريفات المعطاة للتو للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية دوران تتراوح من 0 إلى 90 درجة. سوف نبرر هذا.

أرقام

تعريف.

جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لعددر هو الرقم يساوي جيبوجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران بوحدات الراديان t، على التوالي.

على سبيل المثال، جيب التمام للرقم 8 π حسب التعريف هو الرقم يساوي جيب التمامزاوية 8·π راد. وجيب تمام الزاوية هو 8 π راد يساوي واحدوبالتالي فإن جيب التمام للرقم 8·π يساوي 1.

هناك طريقة أخرى لتحديد جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأي رقم. وهو يتألف من حقيقة أن كل رقم حقيقي t يرتبط بنقطة على دائرة الوحدة مع المركز عند أصل نظام الإحداثيات المستطيل، ويتم تحديد الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام من خلال إحداثيات هذه النقطة. دعونا ننظر إلى هذا بمزيد من التفصيل.

دعونا نوضح كيف يتم إنشاء المراسلات بين الأعداد الحقيقية والنقاط الموجودة على الدائرة:

• يتم تعيين الرقم 0 كنقطة البداية A(1, 0);
• رقم إيجابييرتبط t بنقطة دائرة الوحدة التي سنصل إليها إذا تحركنا على طول الدائرة من نقطة البداية في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة و دعونا نسير على الطريقالطول ر؛
• رقم سلبييرتبط t بنقطة دائرة الوحدة، والتي سنصل إليها إذا تحركنا على طول الدائرة من نقطة البداية في اتجاه عقارب الساعة ومشينا في مسار بطول |t| .

ننتقل الآن إلى تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للرقم t. لنفترض أن الرقم t يتوافق مع نقطة على الدائرة A 1 (x, y) (على سبيل المثال، الرقم &pi/2; يتوافق مع النقطة A 1 (0, 1)).

تعريف.

جيب الرقم t هو إحداثي النقطة على دائرة الوحدة المقابلة للرقم t، أي sint=y.

تعريف.

جيب تمام الرقميُسمى t بإحداثيات نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم t، أي التكلفة=x.

تعريف.

ظل الرقم t هي نسبة الإحداثي إلى الإحداثي الإحداثي لنقطة ما على دائرة الوحدة المقابلة للرقم t، أي tgt=y/x. في صيغة مكافئة أخرى، ظل الرقم t هو نسبة جيب هذا الرقم إلى جيب التمام، أي tgt=sint/cost.

تعريف.

ظل التمام للعدد t هي نسبة الإحداثي الإحداثي لنقطة على دائرة الوحدة المقابلة للرقم t، أي ctgt=x/y. صيغة أخرى هي: ظل الرقم t هو نسبة جيب تمام الرقم t إلى جيب الرقم t: ctgt=cost/sint.

ونلاحظ هنا أن التعريفات الواردة للتو تتفق مع التعريف الوارد في بداية هذه الفقرة. في الواقع، النقطة الموجودة على دائرة الوحدة المقابلة للرقم t تتزامن مع النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير نقطة البداية بزاوية t راديان.

لا يزال الأمر يستحق توضيح هذه النقطة. لنفترض أن لدينا مدخل sin3. كيف يمكننا أن نفهم ما إذا كنا نتحدث عن جيب الرقم 3 أو جيب زاوية الدوران البالغة 3 راديان؟ وهذا عادة ما يكون واضحا من السياق، في خلاف ذلكوهذا على الأرجح ليس ذا أهمية أساسية.

الدوال المثلثية للوسيطة الزاوية والرقمية

وفقا لبيانات في الفقرة السابقةالتعاريف، كل زاوية دوران α تقابل قيمة محددة جيدًا sinα، بالإضافة إلى قيمة cosα. بالإضافة إلى ذلك، جميع زوايا الدوران بخلاف 90°+180°k، k∈Z (π/2+πk rad) تتوافق مع قيم tgα، والقيم بخلاف 180°k، k∈Z (πk rad ) - القيم ​​من ctgα . وبالتالي فإن sinα وcosα وtanα وctgα هي وظائف الزاوية α. وبعبارة أخرى، هذه هي وظائف الوسيطة الزاوية.

يمكننا أن نتحدث بالمثل عن وظائف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للوسيطة العددية. في الواقع، كل رقم حقيقي t يتوافق مع قيمة محددة جدًا، بالإضافة إلى التكلفة. بالإضافة إلى ذلك، جميع الأرقام غير π/2+π·k، k∈Z تتوافق مع قيم tgt، والأرقام π·k، k∈Z - قيم ctgt.

يتم استدعاء وظائف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام الدوال المثلثية الأساسية.

عادةً ما يكون واضحًا من السياق ما إذا كنا نتعامل مع الدوال المثلثية للوسيطة الزاوية أو الوسيطة العددية. بخلاف ذلك، يمكننا اعتبار المتغير المستقل قياسًا للزاوية ( حجة الزاوية)، ووسيطة رقمية.

ومع ذلك، في المدرسة يدرسون بشكل رئيسي وظائف رقمية، أي الوظائف التي تكون وسيطاتها، مثل قيم الوظائف المقابلة لها، أرقامًا. لذلك، إذا نحن نتحدث عنهفيما يتعلق بالدوال على وجه التحديد، فمن المستحسن اعتبار الدوال المثلثية كدوال للوسائط العددية.

العلاقة بين التعاريف من الهندسة وعلم المثلثات

إذا اعتبرنا زاوية الدوران α تتراوح من 0 إلى 90 درجة، فإن تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران في سياق علم المثلثات تتوافق تمامًا مع تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران الزاوية الحادة في المثلث القائم والتي تعطى في مقرر الهندسة. دعونا نبرر هذا.

دعونا نصور دائرة الوحدة في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل أوكسي. لنضع علامة على نقطة البداية A(1, 0) . دعونا نديرها بزاوية α تتراوح من 0 إلى 90 درجة، نحصل على النقطة A 1 (x، y). دعونا نسقط العمود A 1 H من النقطة A 1 على محور الثور.

من السهل أن نرى أنه في المثلث الأيمن، الزاوية A 1 OH تساوي زاوية الدوران α، وطول الساق OH المجاورة لهذه الزاوية يساوي حدود النقطة A 1، أي |OH |=x، طول الساق A 1 H المقابلة للزاوية يساوي إحداثي النقطة A 1، أي |A 1 H|=y، وطول الوتر OA 1 يساوي واحدًا، لأنه نصف قطر دائرة الوحدة. بعد ذلك، بحكم التعريف من الهندسة، جيب الزاوية الحادة α في المثلث القائم A 1 OH يساوي نسبة الساق المقابلة إلى الوتر، أي sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= ص/1=ص. وبحسب تعريف علم المثلثات، فإن جيب زاوية الدوران α يساوي إحداثي النقطة A 1، أي sinα=y. يوضح هذا أن تحديد جيب الزاوية الحادة في المثلث القائم يعادل تحديد جيب زاوية الدوران α عندما تكون α من 0 إلى 90 درجة.

وبالمثل، يمكن إثبات أن تعريفات جيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة α تتوافق مع تعريفات جيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران α.

مراجع.

1. الهندسة. 7-9 درجات: كتاب مدرسي للتعليم العام المؤسسات / [ل. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، S. B. Kadomtsev، إلخ.]. - الطبعة العشرين. م: التربية، 2010. - 384 ص: مريض. - ردمك 978-5-09-023915-8.
2. بوجوريلوف أ.ف.الهندسة: كتاب مدرسي. للصفوف 7-9. التعليم العام المؤسسات / أ.ف.بوجوريلوف. - الطبعة الثانية - م: التربية، 2001. - 224 ص: مريض. - ردمك 5-09-010803-X.
3. الجبر و وظائف أولية : درس تعليميلطلاب الصف التاسع مدرسة ثانوية/ E. S. Kochetkov، E. S. Kochetkova؛ حرره دكتور في العلوم الفيزيائية والرياضية O. N. Golovin - الطبعة الرابعة. م: التربية، 1969.
4. الجبر:كتاب مدرسي للصف التاسع. متوسط المدرسة / يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova؛ إد. S. A. Teleakovsky - M.: التعليم، 1990. - 272 ص: مريض - ISBN 5-09-002727-7
5. الجبروبداية التحليل: بروك. للصفوف 10-11. التعليم العام المؤسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، P. Dudnitsyn وآخرون؛ إد. أ.ن.كولموجوروف – الطبعة الرابعة عشرة – م: التعليم، 2004. – 384 صفحة: مريض – ISBN 5-09-013651-3.
6. موردكوفيتش أ.ج.الجبر وبدايات التحليل. الصف العاشر. في 2 ص. الجزء 1: البرنامج التعليمي ل المؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي)/ A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة الرابعة، إضافة. - م: منيموسين، 2007. - 424 ص: مريض. ردمك 978-5-346-00792-0.
7. الجبروبدأت التحليل الرياضي. الصف العاشر: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات: الأساسية والملف الشخصي. المستويات /[يو. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ تم تحريره بواسطة أ.ب. زيزتشينكو. - الطبعة الثالثة. - أولا: التعليم، 2010.- 368 ص: مريض- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. باشماكوف م.الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي. للصفوف 10-11. متوسط مدرسة - الطبعة الثالثة. - م: التربية، 1993. - 351 ص: مريض. -ردمك 5-09-004617-4.
9. غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.

أحد مجالات الرياضيات التي يواجهها الطلاب أكثر من غيرهم هو علم المثلثات. ليس من المستغرب: من أجل إتقان هذا المجال من المعرفة بحرية، فأنت بحاجة إلى التفكير المكاني، والقدرة على العثور على الجيب، وجيب التمام، والظلال، وظل التمام باستخدام الصيغ، وتبسيط التعبيرات، وتكون قادرًا على استخدام الرقم pi في الحسابات. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تكون قادرًا على استخدام علم المثلثات عند إثبات النظريات، وهذا يتطلب إما ذاكرة رياضية متطورة أو القدرة على استخلاص سلاسل منطقية معقدة.

أصول علم المثلثات

يجب أن يبدأ التعرف على هذا العلم بتعريف جيب التمام وجيب التمام وظل الزاوية، ولكن عليك أولاً أن تفهم ما يفعله علم المثلثات بشكل عام.

تاريخيًا، كان الهدف الرئيسي للدراسة في هذا الفرع من العلوم الرياضية هو المثلثات القائمة. إن وجود زاوية قدرها 90 درجة يجعل من الممكن إجراء عمليات مختلفة تسمح بتحديد قيم جميع معلمات الشكل المعني باستخدام ضلعين وزاوية واحدة أو زاويتين وضلع واحد. في الماضي، لاحظ الناس هذا النمط وبدأوا في استخدامه بنشاط في تشييد المباني والملاحة وعلم الفلك وحتى في الفن.

المرحلة الأولية

في البداية، تحدث الناس عن العلاقة بين الزوايا والأضلاع فقط باستخدام مثال المثلثات القائمة. ثم تم اكتشاف صيغ خاصة مكنت من توسيع حدود الاستخدام فيها الحياة اليوميةهذا الفرع من الرياضيات.

تبدأ دراسة علم المثلثات في المدرسة اليوم بالمثلثات القائمة، وبعد ذلك يستخدم الطلاب المعرفة المكتسبة في الفيزياء وحل المشكلات المجردة. المعادلات المثلثية، العمل الذي يبدأ في المدرسة الثانوية.

علم المثلثات الكروية

لاحقًا، عندما وصل العلم إلى المستوى التالي من التطور، بدأ استخدام الصيغ ذات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام في الهندسة الكروية، حيث تنطبق قواعد مختلفة، ويكون مجموع زوايا المثلث دائمًا أكثر من 180 درجة. هذا القسملا يدرس في المدرسة، ولكن من الضروري معرفة وجوده على الأقل لأنه سطح الأرض، وسطح أي كوكب آخر يكون محدبًا، مما يعني أن أي علامات سطحية ستكون موجودة مساحة ثلاثية الأبعاد"على شكل قوس".

خذ الكرة الأرضية والخيط. قم بتوصيل الخيط بأي نقطتين على الكرة الأرضية بحيث يكون مشدودًا. يرجى ملاحظة - لقد اتخذ شكل قوس. وتتناول الهندسة الكروية مثل هذه الأشكال، والتي تستخدم في الجيوديسيا وعلم الفلك وغيرها من المجالات النظرية والتطبيقية.

المثلث الأيمن

بعد أن تعلمنا القليل عن طرق استخدام علم المثلثات، دعنا نعود إلى علم المثلثات الأساسي لفهم المزيد عن ماهية الجيب وجيب التمام والظل، وما هي الحسابات التي يمكن إجراؤها بمساعدتهم وما هي الصيغ التي يجب استخدامها.

الخطوة الأولى هي فهم المفاهيم المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية. أولًا، الوتر هو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها 90 درجة. إنها الأطول. ونتذكر أنه وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن القيمة العدديةيساوي جذر مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

على سبيل المثال، إذا كان طول الضلعين 3 و4 سنتيمترات على التوالي، فإن طول الوتر سيكون 5 سنتيمترات. وبالمناسبة، عرف قدماء المصريين عن ذلك منذ حوالي أربعة آلاف ونصف سنة.

ويسمى الجانبان المتبقيان، اللذان يشكلان زاوية قائمة، بالأرجل. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن نتذكر أن مجموع زوايا المثلث يساوي نظام مستطيلالإحداثيات هي 180 درجة.

تعريف

أخيرًا، مع الفهم العميق للأساس الهندسي، يمكن للمرء أن يلجأ إلى تعريف الجيب وجيب التمام والظل للزاوية.

جيب الزاوية هو نسبة الساق المقابلة (أي الجانب المقابل للزاوية المطلوبة) إلى الوتر. جيب تمام الزاوية هو نسبة الضلع المجاور إلى الوتر.

تذكر أنه لا يمكن أن يكون جيب الجيب أو جيب التمام أكثر من واحد! لماذا؟ نظرًا لأن الوتر هو الأطول افتراضيًا، بغض النظر عن طول الساق، فإنه سيكون أقصر من الوتر، مما يعني أن نسبتهما ستكون دائمًا أقل من واحد. وبالتالي، إذا حصلت في إجابتك على مشكلة ما على جيب أو جيب التمام بقيمة أكبر من 1، فابحث عن خطأ في الحسابات أو الاستدلال. من الواضح أن هذه الإجابة غير صحيحة.

وأخيرًا، ظل الزاوية هو النسبة الجانب الآخرإلى المجاورة. قسمة الجيب على جيب التمام سيعطي نفس النتيجة. انظر: حسب الصيغة، نقسم طول الضلع على الوتر، ثم نقسم على طول الضلع الثاني ونضرب في الوتر. وهكذا نحصل على نفس العلاقة كما في تعريف الظل.

وبالتالي فإن ظل التمام هو نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى الجانب المقابل. نحصل على نفس النتيجة بقسمة واحد على المماس.

إذن، لقد نظرنا إلى تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، ويمكننا الانتقال إلى الصيغ.

أبسط الصيغ

في علم المثلثات، لا يمكنك الاستغناء عن الصيغ - كيف يمكنك العثور على جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام بدونها؟ ولكن هذا هو بالضبط ما هو مطلوب عند حل المشاكل.

الصيغة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند البدء في دراسة علم المثلثات تنص على أن مجموع مربعات الجيب وجيب التمام للزاوية يساوي واحدًا. هذه الصيغةهو نتيجة مباشرة لنظرية فيثاغورس، ولكنه يوفر الوقت إذا كنت بحاجة إلى معرفة حجم الزاوية بدلا من الجانب.

لا يستطيع العديد من الطلاب تذكر الصيغة الثانية، والتي تحظى أيضًا بشعبية كبيرة عند حلها المهام المدرسية: مجموع واحد ومربع ظل الزاوية يساوي واحدًا مقسومًا على مربع جيب تمام الزاوية. ألق نظرة فاحصة: هذا هو نفس البيان كما في الصيغة الأولى، فقط طرفي الهوية مقسومان على مربع جيب التمام. وتبين أن عملية رياضية بسيطة تفعل ذلك الصيغة المثلثيةلا يمكن التعرف عليه تماما. تذكر: معرفة ما هي الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام وقواعد التحويل والعديد منها الصيغ الأساسيةيمكنك في أي وقت سحب المطلوب أكثر الصيغ المعقدةعلى قطعة من الورق.

صيغ الزوايا المزدوجة وإضافة الحجج

هناك صيغتان أخريان تحتاج إلى تعلمهما تتعلقان بقيم الجيب وجيب التمام لمجموع الزوايا والفرق بينها. يتم عرضها في الشكل أدناه. يرجى ملاحظة أنه في الحالة الأولى، يتم ضرب الجيب وجيب التمام في كل مرة، وفي الحالة الثانية، تتم إضافة المنتج الزوجي للجيب وجيب التمام.

توجد أيضًا صيغ مرتبطة بالوسيطات في النموذج زاوية مزدوجة. إنها مشتقة بالكامل من سابقاتها - كتدريب حاول الحصول عليها بنفسك من خلال أخذ زاوية ألفا يساوي الزاويةبيتا.

أخيرًا، لاحظ أنه يمكن إعادة ترتيب صيغ الزاوية المزدوجة لتقليل قوة الجيب وجيب التمام والظل ألفا.

نظريات

النظريتان الرئيسيتان في علم المثلثات الأساسي هما نظرية الجيب ونظرية جيب التمام. بمساعدة هذه النظريات، يمكنك بسهولة فهم كيفية العثور على جيب التمام وجيب التمام والظل، وبالتالي مساحة الشكل وحجم كل جانب، وما إلى ذلك.

تنص نظرية الجيب على أنه بقسمة طول كل ضلع في المثلث على الزاوية المقابلة له، نحصل على نفس العدد. علاوة على ذلك، فإن هذا العدد سيكون مساويا لنصفي قطر الدائرة المحددة، أي الدائرة التي تحتوي على جميع نقاط مثلث معين.

تعمل نظرية جيب التمام على تعميم نظرية فيثاغورس، وإسقاطها على أي مثلثات. اتضح أنه من مجموع مربعات الجانبين، قم بطرح منتجهم مضروبا في جيب التمام المزدوج للزاوية المجاورة - القيمة الناتجة ستكون مساوية لمربع الجانب الثالث. وهكذا، فإن نظرية فيثاغورس هي حالة خاصة من نظرية جيب التمام.

أخطاء لا مبالاة

حتى معرفة ما هو جيب التمام وجيب التمام والظل، فمن السهل ارتكاب خطأ بسبب شرود الذهن أو خطأ في أبسط الحسابات. لتجنب مثل هذه الأخطاء، دعونا نلقي نظرة على الأخطاء الأكثر شعبية.

أولاً، لا ينبغي عليك تحويل الكسور إلى أعداد عشرية حتى تحصل على النتيجة النهائية - يمكنك ترك الإجابة كما هي جزء مشترك، ما لم ينص على خلاف ذلك في الشروط. لا يمكن وصف هذا التحول بأنه خطأ، ولكن يجب أن نتذكر أنه في كل مرحلة من مراحل المشكلة قد تظهر جذور جديدة، والتي ينبغي تقليلها وفقًا لفكرة المؤلف. في هذه الحالة، سوف تضيع وقتك فيما لا لزوم له العمليات الحسابية. وينطبق هذا بشكل خاص على قيم مثل جذر ثلاثة أو جذر اثنين، لأنها موجودة في المشاكل في كل خطوة. وينطبق الشيء نفسه على تقريب الأرقام "القبيحة".

علاوة على ذلك، لاحظ أن نظرية جيب التمام تنطبق على أي مثلث، ولكن ليس نظرية فيثاغورس! إذا نسيت عن طريق الخطأ طرح حاصل ضرب الجانبين مضروبًا في جيب تمام الزاوية بينهما، فلن تحصل على نتيجة خاطئة تمامًا فحسب، بل ستظهر أيضًا نقصًا تامًا في فهم الموضوع. وهذا أسوأ من خطأ الإهمال.

ثالثًا، لا تخلط بين قيم الزوايا 30 و60 درجة للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. تذكر هذه القيم، لأن جيب الزاوية يساوي 30 درجة يساوي جيب التمام 60، والعكس صحيح. من السهل الخلط بينهم، ونتيجة لذلك سوف تحصل حتما على نتيجة خاطئة.

طلب

العديد من الطلاب ليسوا في عجلة من أمرهم لبدء دراسة علم المثلثات لأنهم لا يفهمون معناها العملي. ما هو الجيب وجيب التمام والظل بالنسبة للمهندس أو عالم الفلك؟ هذه هي المفاهيم التي بفضلها يمكنك حساب المسافة إليها النجوم البعيدة، التنبؤ بسقوط نيزك، إرسال مسبار بحثي إلى كوكب آخر. بدونها، من المستحيل بناء مبنى، تصميم سيارة، حساب الحمل على السطح أو مسار الجسم. وهذه ليست سوى أكثر أمثلة واضحة! بعد كل شيء، يتم استخدام علم المثلثات بشكل أو بآخر في كل مكان، من الموسيقى إلى الطب.

ختاماً

إذن أنت جيب التمام، وجيب التمام، والظل. يمكنك استخدامها في العمليات الحسابية وحل المشكلات المدرسية بنجاح.

بيت القصيد من علم المثلثات يعود إلى حقيقة أنه باستخدام المعلمات المعروفة للمثلث تحتاج إلى حساب المجهول. هناك ستة معلمات في المجموع: الطول ثلاثةالجوانب والأحجام ثلاث زوايا. والفرق الوحيد في المهام هو أنه يتم تقديم بيانات إدخال مختلفة.

أنت تعرف الآن كيفية العثور على جيب التمام وجيب التمام والظل بناءً على الأطوال المعروفة للساقين أو الوتر. وبما أن هذه المصطلحات لا تعني أكثر من نسبة، والنسبة عبارة عن كسر، الهدف الرئيسي مشكلة مثلثيةهو إيجاد جذور المعادلة العادية أو نظام المعادلات. وهنا سوف تساعدك الرياضيات المدرسية العادية.