الجيوب الأنفية زاوية حادةα للمثلث قائم الزاوية هي النسبة عكسالساق إلى الوتر.
ويشار إليه على النحو التالي: الخطيئة α.

جيب التمامالزاوية الحادة α للمثلث القائم هي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر.
تم تعيينه على النحو التالي: cos α.

الظلالزاوية الحادة α هي النسبة الجانب الآخرإلى الساق المجاورة.
تم تعيينه على النحو التالي: tg α.

ظل التمامالزاوية الحادة α هي النسبة الساق المجاورةإلى العكس.
تم تعيينه على النحو التالي: ctg α.

يعتمد جيب الزاوية وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية فقط على حجم الزاوية.

قواعد:

الهويات المثلثية الأساسية في المثلث الأيمن:

(α - زاوية حادة مقابلة للساق ب والمجاورة للساق أ . جانب مع - الوتر. β - الزاوية الحادة الثانية).

ب الخطيئة α = - ج	جا 2 α + جتا 2 α = 1
أ كوس α = - ج	1 1 + ظا 2 α = -- كوس 2 α
ب تان α = - أ	1 1 + cotg 2 α = -- الخطيئة 2 ألفا
أ CTG α = - ب	1 1 1 + -- = -- تان 2 α الخطيئة 2 α
الخطيئة α تيراغرام α = -- كوس α

كلما زادت الزاوية الحادةالخطيئة α وزيادة تان α، وكوس α يتناقص.

لأي زاوية حادة α:

الخطيئة (90 درجة – α) = جتا α

كوس (90° - α) = الخطيئة α

مثال للشرح:

دعونا في المثلث الأيمن ABC
أب = 6،
قبل الميلاد = 3،
الزاوية أ = 30 درجة.

دعونا نكتشف جيب الزاوية A وجيب تمام الزاوية B.

حل .

1) أولاً، نجد قيمة الزاوية B. كل شيء بسيط هنا: بما أن مجموع الزوايا الحادة في المثلث القائم هو 90 درجة، فإن الزاوية B = 60 درجة:

ب = 90 درجة - 30 درجة = 60 درجة.

2) دعونا نحسب sin A. نحن نعرف ذلك الجيب يساوي النسبةالجانب المقابل للوتر. بالنسبة للزاوية A، الضلع المقابل هو الضلع BC. لذا:

ق31
الخطيئة أ = -- = - = -
أ ب 6 2

3) الآن دعونا نحسب cos B. نحن نعلم أن جيب التمام يساوي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر. بالنسبة للزاوية B، فإن الساق المجاورة لها هي نفس الضلع BC. هذا يعني أننا نحتاج مرة أخرى إلى تقسيم BC على AB - أي تنفيذ نفس الإجراءات عند حساب جيب الزاوية A:

ق31
كوس ب = -- = - = -
أ ب 6 2

والنتيجة هي:
الخطيئة أ = كوس ب = 1/2.

sin 30° = cos 60° = 1/2.

ويترتب على ذلك أنه في المثلث القائم يوجد جيب زاوية حادة واحدة يساوي جيب التمامزاوية حادة أخرى - والعكس صحيح. هذا هو بالضبط ما تعنيه الصيغتان:
الخطيئة (90 درجة – α) = جتا α
كوس (90° - α) = الخطيئة α

دعونا نتأكد من ذلك مرة أخرى:

1) دع α = 60 درجة. بالتعويض عن قيمة α في صيغة الجيب نحصل على:
الخطيئة (90 درجة - 60 درجة) = جتا 60 درجة.
sin 30° = cos 60°.

2) دع α = 30 درجة. بتعويض قيمة α في صيغة جيب التمام نحصل على:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(لمزيد من المعلومات حول علم المثلثات، راجع قسم الجبر)

أعتقد أنك تستحق أكثر من هذا. هذا هو مفتاحي في علم المثلثات:

• ارسم القبة والجدار والسقف
• الدوال المثلثيةليست أكثر من نسبة هذه الأشكال الثلاثة.

استعارة للجيب وجيب التمام: القبة

بدلًا من مجرد النظر إلى المثلثات نفسها، تخيلها وهي تعمل من خلال إيجاد بعضها مثال خاصمن الحياة.

تخيل أنك في وسط قبة وتريد تعليق شاشة جهاز عرض الأفلام. تشير بإصبعك إلى القبة بزاوية معينة "x"، ويجب أن تكون الشاشة معلقة من هذه النقطة.

الزاوية التي تشير إليها تحدد:

• جيب (x) = خطيئة (x) = ارتفاع الشاشة (من الأرض إلى نقطة تركيب القبة)
• جيب التمام(x) = cos(x) = المسافة منك إلى الشاشة (حسب الأرضية)
• الوتر، المسافة منك إلى أعلى الشاشة، هي نفسها دائمًا، تساوي نصف قطر القبة

هل تريد أن تكون الشاشة كبيرة قدر الإمكان؟ علقها فوقك مباشرة.

هل تريد أن تكون الشاشة معلقة بعيدًا عنك قدر الإمكان؟ علقها بشكل مستقيم وعمودي. سيكون ارتفاع الشاشة صفرًا في هذا الوضع وستتدلى بعيدًا، كما طلبت.

يتناسب الارتفاع والمسافة من الشاشة عكسيًا: كلما اقتربت الشاشة من التعليق، زاد ارتفاعها.

جيب التمام وجيب التمام هي النسب المئوية

للأسف، لم يشرح لي أحد خلال سنوات دراستي أن الدوال المثلثية جيب التمام وجيب التمام ليست أكثر من مجرد نسب مئوية. وتتراوح قيمها من +100% إلى 0 إلى -100%، أو من الحد الأقصى الموجب إلى الصفر إلى الحد الأقصى السلبي.

لنفترض أنني دفعت ضريبة قدرها 14 روبل. أنت لا تعرف كم هو. ولكن إذا قلت إنني دفعت ضريبة بنسبة 95%، فسوف تفهم أنني ببساطة تعرضت للخداع.

الارتفاع المطلق لا يعني أي شيء. ولكن إذا كانت قيمة الجيب هي 0.95، فأنا أفهم أن التلفزيون معلق تقريبًا أعلى قبة منزلك. قريبا جدا سوف يصل أقصى ارتفاعفي وسط القبة، ثم يبدأ في الانخفاض مرة أخرى.

فكيف يمكننا حساب هذه النسبة؟ الأمر بسيط جدًا: قم بتقسيم ارتفاع الشاشة الحالي على الحد الأقصى الممكن (نصف قطر القبة، والذي يُسمى أيضًا الوتر).

لهذا السببقيل لنا أن "جيب التمام = الضلع المقابل / الوتر". الأمر كله يتعلق بالحصول على الفائدة! من الأفضل تعريف الجيب على أنه "النسبة المئوية للارتفاع الحالي من الحد الأقصى الممكن". (يصبح جيب التمام سالبًا إذا كانت زاويتك تشير إلى "تحت الأرض". ويصبح جيب التمام سالبًا إذا كانت الزاوية تشير إلى نقطة القبة خلفك.)

دعونا نبسط الحسابات بافتراض أننا في المركز دائرة الوحدة(نصف القطر = 1). يمكننا تخطي عملية القسمة ونأخذ جيب الجيب مساويًا للارتفاع.

كل دائرة هي في الأساس وحدة واحدة، يتم تكبيرها أو تقليل حجمها الحجم الصحيح. لذا حدد اتصالات دائرة الوحدة وقم بتطبيق النتائج على حجم دائرتك المحددة.

التجربة: خذ أي زاوية وانظر ماذا نسبة مئويةالارتفاع إلى العرض يعرض:

الرسم البياني لنمو قيمة الجيب ليس مجرد خط مستقيم. تغطي الـ 45 درجة الأولى 70% من الارتفاع، لكن الدرجات العشر الأخيرة (من 80 درجة إلى 90 درجة) تغطي 2% فقط.

وهذا سيجعل الأمر أكثر وضوحًا بالنسبة لك: إذا مشيت في دائرة، فإنك ترتفع عموديًا تقريبًا عند درجة 0، ولكن مع اقترابك من قمة القبة، يتغير الارتفاع بشكل أقل فأقل.

الظل والقاطع. حائط

في أحد الأيام قام أحد الجيران ببناء جدار بجوار بعضها البعضإلى القبة الخاصة بك. بكيت وجهة نظرك من النافذة وسعر جيد لإعادة البيع!

ولكن هل من الممكن الفوز بطريقة أو بأخرى في هذه الحالة؟

بالطبع نعم. ماذا لو علقنا شاشة فيلم على حائط جارنا؟ استهدفت الزاوية (x) واحصل على:

• tan(x) = tan(x) = ارتفاع الشاشة على الحائط
• المسافة منك إلى الحائط: 1 (هذا هو نصف قطر القبة، والجدار لا يتحرك في أي مكان منك، أليس كذلك؟)
• secant(x) = sec(x) = "طول السلم" منك وأنت واقف في وسط القبة إلى أعلى الشاشة المعلقة

دعونا نوضح بعض النقاط المتعلقة بارتفاع الشاشة أو المماس.

• يبدأ عند 0، ويمكن أن يرتفع إلى ما لا نهاية. يمكنك تمديد الشاشة لأعلى وأعلى على الحائط لإنشاء لوحة لا نهاية لها لمشاهدة فيلمك المفضل! (لمثل هذا المبلغ الضخم، بالطبع، سيتعين عليك إنفاق الكثير من المال).
• الظل هو مجرد نسخة أكبر من الجيب! وبينما تتباطأ الزيادة في الجيب كلما تحركت نحو قمة القبة، يستمر المماس في النمو!

لدى Sekansu أيضًا ما يتباهى به:

• تبدأ الجلسة من الساعة 1 (السلم على الأرض، منك إلى الحائط) وتبدأ في الارتفاع من هناك
• القاطع دائمًا أطول من الظل. يجب أن يكون السلم المائل الذي تستخدمه لتعليق شاشتك أطول من الشاشة نفسها، أليس كذلك؟ (مع الأحجام غير الواقعية، عندما تكون الشاشة طويلة جدًا ويجب وضع السلم بشكل عمودي تقريبًا، تكون أحجامها هي نفسها تقريبًا. ولكن حتى في هذه الحالة سيكون القاطع أطول قليلاً).

تذكر أن القيم هي بالمائة. إذا قررت تعليق الشاشة بزاوية 50 درجة، فإن tan(50)=1.19. شاشتك أكبر بنسبة 19% من المسافة إلى الحائط (نصف قطر القبة).

(أدخل x=0 وتحقق من حدسك - tan(0) = 0 و sec(0) = 1.)

ظل التمام وقاطع التمام. سقف

بشكل لا يصدق، قرر جارك الآن بناء سقف فوق قبتك. (ما خطبه؟ يبدو أنه لا يريد أن تتجسس عليه وهو يتجول في الفناء عارياً...)

حسنًا، حان الوقت لبناء مخرج إلى السطح والتحدث مع جارك. اخترت زاوية الميل والبدء في البناء:

• المسافة الرأسية بين مخرج السقف والأرضية تكون دائمًا 1 (نصف قطر القبة)
• ظل التمام (x) = المهد (x) = المسافة بين قمة القبة ونقطة الخروج
• قاطع التمام (x) = csc(x) = طول المسار إلى السطح

يصف المماس والقاطع الجدار، بينما يصف المماس والقاطع السقف.

استنتاجاتنا البديهية هذه المرة تشبه الاستنتاجات السابقة:

• إذا أخذت الزاوية التي تساوي 0 درجة، فإن خروجك إلى السطح سيستمر إلى الأبد، لأنه لن يصل إلى السقف أبدًا. مشكلة.
• سيتم الحصول على أقصر "سلم" إلى السطح إذا قمت ببنائه بزاوية 90 درجة على الأرض. سيكون ظل التمام مساويًا لـ 0 (نحن لا نتحرك على طول السقف على الإطلاق، بل نخرج بشكل متعامد تمامًا)، وسيكون قاطع التمام مساويًا لـ 1 ("طول السلم" سيكون في حده الأدنى).

تصور الاتصالات

إذا تم رسم الحالات الثلاث في تركيبة قبة وجدار وسقف، فسينتج ما يلي:

حسنًا، لا يزال المثلث هو نفسه، وقد زاد حجمه ليصل إلى الحائط والسقف. لدينا جوانب رأسية (الجيب، الظل)، وجوانب أفقية (جيب التمام، ظل التمام) و"الوتر" (القاطع، قاطع التمام). (من خلال الأسهم يمكنك رؤية أين يصل كل عنصر. قاطع التمام هو المسافة الإجمالية منك إلى السقف).

القليل من السحر. جميع المثلثات تشترك في نفس المساواة:

من نظرية فيثاغورس (أ 2 + ب 2 = ج 2) نرى كيف ترتبط أضلاع كل مثلث. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تكون نسب "الارتفاع إلى العرض" هي نفسها لجميع المثلثات. (فقط تراجع عن الأمر مثلث كبيرإلى أقل. نعم، لقد تغير الحجم، ولكن نسب العرض إلى الارتفاع ستبقى كما هي).

بمعرفة أي جانب في كل مثلث يساوي 1 (نصف قطر القبة)، يمكننا بسهولة حساب أن "sin/cos = tan/1".

لقد حاولت دائمًا أن أتذكر هذه الحقائق من خلال التصور البسيط. في الصورة ترى بوضوح هذه التبعيات وتفهم من أين أتت. هذه التقنية كثيرة أفضل من الحفظالصيغ الجافة.

لا تنسى الزوايا الأخرى

ملاحظة... لا تتعثر في رسم بياني واحد، معتقدًا أن الظل دائمًا أقل من 1. إذا قمت بزيادة الزاوية، يمكنك الوصول إلى السقف دون الوصول إلى الحائط:

اتصالات فيثاغورس تعمل دائما، ولكن الأحجام النسبيةقد تكون مختلفة.

(ربما لاحظت أن نسب الجيب وجيب التمام تكون دائمًا الأصغر لأنها موجودة داخل القبة).

لتلخيص: ماذا نحتاج أن نتذكر؟

بالنسبة لمعظمنا، أود أن أقول أن هذا سيكون كافيا:

• يشرح علم المثلثات تشريح الكائنات الرياضية مثل الدوائر والفواصل الزمنية المتكررة
• يوضح تشبيه القبة/الجدار/السقف العلاقة بين الدوال المثلثية المختلفة
• تؤدي الدوال المثلثية إلى نسب مئوية، والتي نطبقها على البرنامج النصي الخاص بنا.

لا تحتاج إلى حفظ صيغ مثل 1 2 + cot 2 = csc 2 . فهي مناسبة فقط ل اختبارات غبية، حيث يتم تمرير معرفة الحقيقة على أنها فهم لها. خذ دقيقة من وقتك لترسم نصف دائرة على شكل قبة وجدار وسقف، وقم بتسمية العناصر، وستأتي إليك جميع الصيغ على الورق.

التطبيق: وظائف عكسية

أي دالة مثلثية تأخذ زاوية كمعلمة إدخال وترجع النتيجة كنسبة مئوية. الخطيئة (30) = 0.5. وهذا يعني أن الزاوية التي قياسها 30 درجة تشغل 50% من أقصى ارتفاع.

تتم كتابة الدالة المثلثية العكسية كـ sin -1 أو arcsin. وغالبًا ما يتم كتابته أيضًا في لغات مختلفةبرمجة.

إذا كان ارتفاعنا 25% من ارتفاع القبة، فما قياس الزاوية؟

في جدول النسب الخاص بنا، يمكنك العثور على نسبة يتم فيها قسمة القاطع على 1. على سبيل المثال، القاطع على 1 (الوتر إلى الأفقي) سيكون مساويًا لـ 1 مقسومًا على جيب التمام:

لنفترض أن القاطع لدينا هو 3.5، أي 350% من نصف قطر دائرة الوحدة. ما زاوية الميل على الحائط التي تتوافق معها هذه القيمة؟

ملحق: بعض الأمثلة

مثال: أوجد جيب الزاوية x.

مهمة مملة. دعونا نجعل الأمر المبتذل "العثور على الجيب" هو "ما هو الارتفاع كنسبة مئوية من الحد الأقصى (الوتر)؟"

أولاً، لاحظ أن المثلث قد تم تدويره. لا حرج في ذلك. للمثلث أيضًا ارتفاع، وهو موضح باللون الأخضر في الشكل.

ما هو الوتر يساوي؟ ومن خلال نظرية فيثاغورس نعلم أن:

3 2 + 4 2 = الوتر 2 25 = الوتر 2 5 = الوتر

بخير! الجيب هو النسبة المئوية للارتفاع من الضلع الأطول للمثلث، أو الوتر. في مثالنا، الجيب هو 3/5 أو 0.60.

وبطبيعة الحال، يمكننا أن نذهب بعدة طرق. الآن بعد أن علمنا أن جيب الجيب يساوي 0.60، يمكننا ببساطة إيجاد قوس جيب الجيب:

آسين (0.6) = 36.9

وهنا نهج آخر. لاحظ أن المثلث "يواجه الحائط"، لذا يمكننا استخدام الظل بدلًا من الجيب. الارتفاع هو 3، والمسافة إلى الجدار هي 4، وبالتالي فإن الظل هو ¾ أو 75٪. يمكننا استخدام ظل قوسي للانتقال من قيمة النسبة المئوية إلى الزاوية:

تان = 3/4 = 0.75 طن(0.75) = 36.9 مثال: هل ستسبح إلى الشاطئ؟

أنت في قارب ولديك ما يكفي من الوقود لقطع مسافة كيلومترين. أنت الآن على بعد 0.25 كم من الساحل. ما هي الزاوية القصوى للشاطئ التي يمكنك السباحة إليها حتى يكون لديك ما يكفي من الوقود؟ إضافة إلى بيان المشكلة: لدينا فقط جدول لقيم جيب التمام.

ماذا لدينا؟ الساحليمكن تمثيله على أنه "جدار" في مثلثنا الشهير، و"طول السلم" المتصل بالجدار هو أقصى مسافة ممكنة يقطعها القارب إلى الشاطئ (2 كم). يظهر قاطع.

أولا، عليك أن تذهب إلى النسب المئوية. لدينا 2 / 0.25 = 8، أي أننا نستطيع السباحة مسافة تساوي 8 أضعاف المسافة المباشرة إلى الشاطئ (أو إلى الحائط).

السؤال الذي يطرح نفسه: "ما هو القاطع للرقم 8؟" لكن لا يمكننا الإجابة عليه، حيث أنه ليس لدينا سوى جيب التمام القوسي.

نحن نستخدم تبعياتنا المشتقة مسبقًا لربط القاطع بجيب التمام: "sec/1 = 1/cos"

قاطع 8 يساوي جيب تمام ⅛. الزاوية التي جيب تمامها ⅛ تساوي acos(1/8) = 82.8. وهذه هي أكبر زاوية يمكننا تحملها على متن قارب بكمية محددة من الوقود.

ليس سيئا، أليس كذلك؟ لولا تشبيه القبة بالجدار والسقف، كنت سأضيع في مجموعة من الصيغ والحسابات. إن تصور المشكلة يبسط إلى حد كبير عملية البحث عن حل، ومن المثير للاهتمام أيضًا معرفة أي دالة مثلثية ستساعد في النهاية.

فكر عند حل كل مشكلة على النحو التالي: هل أنا مهتم بالقبة (sin/cos)، أو الجدار (tan/sec) أو السقف (مهد/csc)؟

وسوف يصبح علم المثلثات أكثر متعة. حسابات سهلة بالنسبة لك!

امتحان الدولة الموحدة لمدة 4؟ لن تنفجر من السعادة؟

السؤال كما يقولون مثير للاهتمام... من الممكن، من الممكن أن تنجح بـ 4! وفي نفس الوقت لا تنفجر... الشرط الأساسي هو ممارسة الرياضة بانتظام. هنا هو الإعداد الأساسي لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات. بكل أسرار وخفايا امتحان الدولة الموحدة الذي لن تقرأ عنه في الكتب المدرسية... ادرس هذا القسم وقرر المزيد من المهاممن مصادر مختلفة- وكل شيء سوف ينجح! من المفترض أن القسم الأساسي "A C يكفيك!" لا يسبب لك أي مشاكل. ولكن إذا فجأة... اتبع الروابط، لا تكن كسولاً!

وسنبدأ بموضوع عظيم ورهيب.

علم المثلثات

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

هذا الموضوع يسبب الكثير من المشاكل للطلاب. تعتبر واحدة من أشد. ما هي جيب التمام وجيب التمام؟ ما هي الظل وظل التمام؟ ماذا حدث دائرة الرقم? بمجرد طرح هذه الأسئلة غير المؤذية، يتحول لون الشخص إلى اللون الشاحب ويحاول تحويل مجرى الحديث... ولكن دون جدوى. هذا مفاهيم بسيطة. وهذا الموضوع ليس أصعب من غيره. كل ما عليك فعله هو أن تفهم بوضوح الإجابات على هذه الأسئلة بالذات منذ البداية. هذا مهم جدا. إذا فهمت، سوف تحب علم المثلثات. لذا،

ما هي جيب التمام وجيب التمام؟ ما هي الظل وظل التمام؟

لنبدأ بالعصور القديمة. لا تقلق، سنتعرف على علم المثلثات العشرين قرنا في حوالي 15 دقيقة، ودون أن نلاحظ ذلك، سنكرر قطعة من علم الهندسة من الصف الثامن.

لنرسم مثلثًا قائمًا بأضلاعه أ، ب، جوالزاوية X. ها هو.

دعني أذكرك أن الجوانب التي تشكل زاوية قائمة تسمى الأرجل. أ و ج- الساقين. هناك اثنان منهم. الجانب المتبقي يسمى الوتر. مع- الوتر.

مثلث ومثلث، مجرد التفكير! ماذا تفعل به؟ لكن القدماء عرفوا ماذا يفعلون! دعونا نكرر أفعالهم. دعونا قياس الجانب V. في الشكل، يتم رسم الخلايا بشكل خاص، كما في مهام امتحان الدولة الموحدةيحدث ذلك. جانب Vيساوي أربع خلايا. نعم. دعونا قياس الجانب أ.ثلاث خلايا.

الآن دعونا نقسم طول الجانب ألكل طول الجانب V. أو، كما يقولون أيضًا، دعونا نتخذ هذا الموقف أل V. أ/ت= 3/4.

على العكس من ذلك، يمكنك تقسيم Vعلى أ.نحصل على 4/3. يستطيع Vقسمة على مع.الوتر معمن المستحيل العد بالخلايا، لكنه يساوي 5. لقد حصلنا على ذلك جودة عالية= 4/5. باختصار، يمكنك تقسيم أطوال الجوانب على بعضها البعض والحصول على بعض الأرقام.

وماذا في ذلك؟ ما الفائدة في هذا نشاط مثير للاهتمام؟ لا شيء حتى الآن. تمرين لا معنى له، بصراحة.)

الآن دعونا نفعل هذا. دعونا نوسع المثلث. دعونا تمديد الجانبين في ومعولكن لكي يبقى المثلث مستطيلاً. ركن X، بطبيعة الحال، لا يتغير. لرؤية ذلك، قم بتمرير مؤشر الماوس فوق الصورة، أو المسها (إذا كان لديك جهاز لوحي). الأطراف أ، ب، جسوف يتحول إلى م، ن، كوبالطبع ستتغير أطوال الجوانب.

لكن علاقتهم ليست كذلك!

سلوك أ/تكان: أ/ت= 3/4، أصبح م / ن= 6/8 = 3/4. العلاقات مع الأطراف الأخرى ذات الصلة هي أيضا لن يتغير . يمكنك تغيير أطوال أضلاع المثلث القائم كما تريد، الزيادة أو النقصان، دون تغيير الزاوية x – العلاقة بين الأطراف المعنية لن تتغير . يمكنك التحقق من ذلك، أو يمكنك أن تأخذ كلمة الشعب القديم على محمل الجد.

ولكن هذا بالفعل مهم جدا! نسب الجوانب في المثلث القائم لا تعتمد بأي شكل من الأشكال على أطوال الجوانب (في نفس الزاوية). وهذا أمر مهم للغاية لدرجة أن العلاقة بين الطرفين اكتسبت اسمًا خاصًا بها. أسمائكم، إذا جاز التعبير.) قابلني.

ما هو جيب الزاوية x ؟ هذه هي نسبة الضلع المقابل للوتر:

سينكس = أ/ج

ما هو جيب تمام الزاوية x ؟ هذه هي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر:

معcom.osx= جودة عالية

ما هو الظل x ؟ هذه هي نسبة الجانب المقابل إلى المجاور:

تغكس =أ/ت

ما هو ظل التمام للزاوية x ؟ هذه هي نسبة الضلع المجاور إلى المقابل:

ctgx = v/a

انها بسيطة جدا. جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام هي بعض الأرقام. بلا أبعاد. مجرد أرقام. كل زاوية لها خاصتها.

لماذا أكرر كل شيء بشكل ممل؟ ثم ما هذا بحاجة إلى أن نتذكر. من المهم أن تتذكر. يمكن جعل الحفظ أسهل. هل عبارة "لنبدأ من بعيد..." مألوفة؟ لذا ابدأ من بعيد.

الجيوب الأنفيةالزاوية هي نسبة بعيدمن زاوية الساق إلى الوتر. جيب التمام– نسبة الجار إلى الوتر.

الظلالزاوية هي نسبة بعيدمن زاوية الساق إلى الزاوية القريبة. ظل التمام- والعكس صحيح.

إنه أسهل، أليس كذلك؟

حسنًا ، إذا كنت تتذكر أنه في الظل وظل التمام لا يوجد سوى أرجل ، وفي جيب التمام وجيب التمام يظهر الوتر ، فسيصبح كل شيء بسيطًا للغاية.

وتسمى أيضًا هذه العائلة المجيدة بأكملها - جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام الدوال المثلثية.

الآن سؤال للنظر فيه.

لماذا نقول جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام ركن؟نحن نتحدث عن العلاقة بين الطرفين، مثل... ما علاقتها بها؟ ركن؟

دعونا ننظر إلى الصورة الثانية. بالضبط نفس أول واحد.

حرك مؤشر الفأرة فوق الصورة. لقد غيرت الزاوية X. زاد عليه من س إلى س.لقد تغيرت كل العلاقات! سلوك أ/تكان 3/4، والنسبة المقابلة تلفزيونأصبح 6/4.

وجميع العلاقات الأخرى أصبحت مختلفة!

ولذلك فإن نسب الأضلاع لا تعتمد بأي شكل من الأشكال على أطوالها (عند زاوية واحدة x)، بل تعتمد بشكل حاد على هذه الزاوية ذاتها! ومنه فقط.لذلك، تشير مصطلحات جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام إلى ركن.الزاوية هنا هي الزاوية الرئيسية.

يجب أن يكون مفهوما بوضوح أن الزاوية مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بوظائفها المثلثية. كل زاوية لها جيب التمام وجيب التمام الخاص بها. وكل شخص تقريبًا لديه ظل التمام وظل التمام الخاص به.هذا مهم. من المعتقد أنه إذا أعطيت لنا زاوية، فإن جيبها وجيب تمامها وظلها وظل تمامها نحن نعلم ! والعكس صحيح. بمعلومية جيب الزاوية، أو أي دالة مثلثية أخرى، فهذا يعني أننا نعرف الزاوية.

هناك جداول خاصة حيث يتم وصف وظائفها المثلثية لكل زاوية. يطلق عليهم جداول براديس. تم تجميعها منذ وقت طويل جدا. عندما لم تكن هناك آلات حاسبة أو أجهزة كمبيوتر بعد.

بالطبع، من المستحيل تذكر الدوال المثلثية لجميع الزوايا. مطلوب منك أن تعرفهم فقط من زوايا قليلة، المزيد عن هذا لاحقًا. لكن التعويذة أنا أعرف الزاوية، مما يعني أنني أعرف دوالها المثلثية" -يعمل دائما!

لذلك قمنا بتكرار قطعة من الهندسة من الصف الثامن. هل نحتاجها لامتحان الدولة الموحدة؟ ضروري. هذه مشكلة نموذجية من امتحان الدولة الموحدة. لحل هذه المشكلة يكفي الصف الثامن. الصورة المعطاة:

الجميع. لا يوجد المزيد من البيانات. علينا إيجاد طول جانب الطائرة.

الخلايا لا تساعد كثيرًا، فالمثلث تم وضعه بشكل غير صحيح إلى حدٍ ما.... أعتقد عن قصد... من المعلومات يوجد طول الوتر. 8 خلايا. لسبب ما، أعطيت الزاوية.

هذا هو المكان الذي يجب أن تتذكر فيه على الفور علم المثلثات. هناك زاوية، مما يعني أننا نعرف جميع دوالها المثلثية. أي من الوظائف الأربع يجب أن نستخدمها؟ دعونا نرى، ماذا نعرف؟ نحن نعرف الوتر والزاوية، لكن علينا إيجادهما مجاورالقسطرة إلى هذه الزاوية! من الواضح أن جيب التمام يجب أن يوضع موضع التنفيذ! ها نحن. نحن نكتب ببساطة، من خلال تعريف جيب التمام (النسبة مجاورالساق إلى الوتر):

كوسC = قبل الميلاد/8

الزاوية C قياسها 60 درجة، وجيب تمامها هو 1/2. عليك أن تعرف هذا، دون أي الجداول! لذا:

1/2 = ق/8

ابتدائي معادلة خطية. مجهول - شمس. لمن نسي كيفية حل المعادلات اتبع الرابط وحل الباقي:

قبل الميلاد = 4

عندما أدرك القدماء أن كل زاوية لها مجموعتها الخاصة من الدوال المثلثية، كان لديهم سؤال معقول. هل يرتبط الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام بطريقة أو بأخرى ببعضها البعض؟بحيث معرفة وظيفة زاوية واحدة، يمكنك العثور على الآخرين؟ دون حساب الزاوية نفسها؟

لقد كانوا مضطربين للغاية ...)

العلاقة بين الدوال المثلثية لزاوية واحدة.

وبطبيعة الحال، الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لنفس الزاوية ترتبط ببعضها البعض. يتم إعطاء أي اتصال بين التعبيرات في الرياضيات عن طريق الصيغ. في علم المثلثات هناك عدد هائل من الصيغ. ولكن هنا سوف ننظر إلى أبسطها. تسمى هذه الصيغ: الهويات المثلثية الأساسية.وهنا هم:

أنت بحاجة إلى معرفة هذه الصيغ بدقة. بدونهم، لا يوجد شيء يمكن القيام به في علم المثلثات بشكل عام. ثلاث هويات مساعدة أخرى تتبع هذه الهويات الأساسية:

أحذرك على الفور من أن الصيغ الثلاث الأخيرة تسقط بسرعة من ذاكرتك. لسبب ما.) يمكنك بالطبع استخلاص هذه الصيغ منها الثلاثة الأولى. ولكن، في لحظة صعبة... أنت تفهم.)

في المهام القياسية، مثل تلك الموجودة أدناه، هناك طريقة للاستغناء عن هذه الصيغ المنسية. و تقليل الأخطاء بشكل كبيربسبب النسيان، وفي الحسابات أيضاً. هذه الممارسة موجودة في القسم 555، درس "العلاقات بين الدوال المثلثية ذات الزاوية نفسها".

في أي المهام وكيف يتم استخدام الهويات المثلثية الأساسية؟ المهمة الأكثر شيوعًا هي العثور على دالة زاوية ما إذا تم إعطاء أخرى. في امتحان الدولة الموحدة توجد مثل هذه المهمة من سنة إلى أخرى.) على سبيل المثال:

يجد قيمة سينكسإذا كانت x زاوية حادة و cosx=0.8.

المهمة تكاد تكون أولية. نحن نبحث عن صيغة تحتوي على الجيب وجيب التمام. هنا هي الصيغة:

خطيئة 2 س + جتا 2 س = 1

استبدل هنا الكمية المعروفةوهي 0.8 بدلاً من جيب التمام:

خطيئة 2 س + 0.8 2 = 1

حسنا، نحن نحسب كالعادة:

خطيئة 2 س + 0.64 = 1

خطيئة 2 × = 1 - 0.64

هذا كل شيء عمليا. لقد حسبنا مربع جيب الجيب، وكل ما تبقى هو استخراج الجذر التربيعي والإجابة جاهزة! جذر 0.36 هو 0.6.

المهمة تكاد تكون أولية. لكن كلمة "تقريبًا" موجودة لسبب ما... والحقيقة هي أن الإجابة sinx= - 0.6 مناسبة أيضًا... (-0.6) 2 ستكون أيضًا 0.36.

هناك إجابتان مختلفتان. وتحتاج إلى واحدة. والثاني غير صحيح. كيف تكون!؟ نعم كالعادة.) اقرأ المهمة بعناية. لسبب ما يقول:... إذا كانت x زاوية حادة..وفي المهام كل كلمة لها معنى نعم... هذه العبارة معلومات إضافية للحل.

الزاوية الحادة هي الزاوية التي قياسها أقل من 90 درجة. وفي مثل هذه الزوايا الجميعالدوال المثلثية - جيب التمام وجيب التمام والظل مع ظل التمام - إيجابي.أولئك. نحن ببساطة نتجاهل الإجابة السلبية هنا. لدينا الحق.

في الواقع، لا يحتاج طلاب الصف الثامن إلى مثل هذه التفاصيل الدقيقة. إنها تعمل فقط مع المثلثات القائمة، حيث يمكن أن تكون الزوايا حادة فقط. وهم لا يعلمون أيها السعداء أن هناك زوايا سالبة وزوايا قياسها 1000 درجة... وكل هذه الزوايا الرهيبة لها وظائفها المثلثية الخاصة بها، موجب وسالب...

ولكن بالنسبة لطلاب المدارس الثانوية، دون مراعاة العلامة - بأي حال من الأحوال. كثرة المعرفة تضاعف الأحزان، نعم...) ومن أجل القرار الصحيحيجب أن تحتوي المهمة على معلومات إضافية (إذا لزم الأمر). على سبيل المثال، يمكن تقديمه عن طريق الإدخال التالي:

أو بطريقة أخرى. سترى في الأمثلة أدناه.) لحل هذه الأمثلة عليك أن تعرفها في أي ربع يقع؟ زاوية محددة x وما هي إشارة الدالة المثلثية المطلوبة في هذا الربع.

تمت مناقشة أساسيات علم المثلثات في الدروس حول ماهية الدائرة المثلثية، وقياس الزوايا على هذه الدائرة، وقياس الراديان للزاوية. في بعض الأحيان تحتاج إلى معرفة جدول الجيب وجيب التمام للظلال وظل التمام.

لذلك دعونا نلاحظ الشيء الأكثر أهمية:

نصيحة عملية:

1. تذكر تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. سيكون مفيدا جدا.

2. نحن نفهم بوضوح: أن الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام مرتبطون بإحكام بالزوايا. نحن نعرف شيئًا واحدًا، مما يعني أننا نعرف شيئًا آخر.

3. نحن نفهم بوضوح: يرتبط جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة ببعضها البعض بشكل أساسي الهويات المثلثية. نحن نعرف دالة واحدة، مما يعني أنه يمكننا (إذا كانت لدينا المعلومات الإضافية اللازمة) حساب جميع الوظائف الأخرى.

الآن دعونا نقرر كالعادة. أولا، المهام في نطاق الصف الثامن. ولكن يمكن لطلاب المدارس الثانوية القيام بذلك أيضًا ...)

1. احسب قيمة tgA إذا كانت ctgA = 0.4.

2. β هي زاوية في المثلث القائم. أوجد قيمة tanβ إذا كانت sinβ = 12/13.

3. أوجد جيب الزاوية الحادة x إذا كان tgx = 4/3.

4. ابحث عن معنى العبارة:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. ابحث عن معنى العبارة:

(1-cosx)(1+cosx)، إذا كان sinx = 0.3

الإجابات (مفصولة بفواصل منقوطة، في حالة من الفوضى):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

هل نجحت؟ عظيم! يمكن لطلاب الصف الثامن بالفعل الحصول على درجات A.)

ألم ينجح كل شيء؟ المهام 2 و 3 ليست جيدة جدًا إلى حدٍ ما...؟ لا مشكلة! هناك خدعة واحدة جميلة ل مهام مماثلة. يمكن حل كل شيء عمليًا بدون صيغ على الإطلاق! حسنا، لذلك، دون أخطاء. تم وصف هذه التقنية في الدرس: "العلاقات بين الدوال المثلثية لزاوية واحدة" في القسم 555. يتم أيضًا التعامل مع جميع المهام الأخرى هناك.

كانت هذه مشاكل نوع امتحان الدولة الموحدة، ولكن في نسخة مجردة. امتحان الدولة الموحدة - خفيف). والآن نفس المهام تقريبا، ولكن في شكل كامل. لطلاب المدارس الثانوية المثقلين بالمعرفة.)

6. أوجد قيمة tanβ إذا كانت sinβ = 12/13 و

7. حدد sinx إذا كانت tgx = 4/3، وx تنتمي إلى الفاصل الزمني (- 540°؛ - 450°).

8. أوجد قيمة التعبير sinβ cosβ إذا كانت ctgβ = 1.

الإجابات (في حالة من الفوضى):

0,8; 0,5; -2,4.

هنا في المسألة 6 لم يتم تحديد الزاوية بشكل واضح جداً... لكن في المشكلة 8 لم يتم تحديدها على الإطلاق! وهذا عن قصد). معلومات إضافيةليس فقط مأخوذًا من المهمة، ولكن أيضًا من الرأس.) ولكن إذا قررت، فسيتم ضمان مهمة واحدة صحيحة!

ماذا لو لم تقرر؟ حسنًا... حسنًا، القسم 555 سيساعد هنا. هناك حلول لجميع هذه المهام موصوفة بالتفصيل، ومن الصعب عدم فهمها.

يوفر هذا الدرس فهمًا محدودًا للغاية للدوال المثلثية. ضمن الصف الثامن. وما زال لدى الكبار أسئلة..

على سبيل المثال، إذا كانت الزاوية X(أنظر إلى الصورة الثانية في هذه الصفحة) - أجعلها غبية!؟ المثلث سوف ينهار تماما! إذن ماذا يجب أن نفعل؟ لن يكون هناك ساق ولا وتر... لقد اختفى الجيب...

لو لم يجد القدماء طريقة للخروج من هذا الوضع، لما كان لدينا الآن هواتف محمولة أو تلفزيون أو كهرباء. نعم نعم! الأساس النظريكل هذه الأشياء بدون الدوال المثلثية صفر بدون عصا. ولكن الشعب القديم لم يخيب. كيف خرجوا هو في الدرس التالي.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

أحد مجالات الرياضيات التي يواجهها الطلاب أكثر من غيرهم هو علم المثلثات. ليس من المستغرب: من أجل إتقان هذا المجال من المعرفة بحرية، فأنت بحاجة إلى التفكير المكاني، والقدرة على العثور على الجيب، وجيب التمام، والظلال، وظل التمام باستخدام الصيغ، وتبسيط التعبيرات، وتكون قادرًا على استخدام الرقم pi في الحسابات. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تكون قادرًا على استخدام علم المثلثات عند إثبات النظريات، وهذا يتطلب إما ذاكرة رياضية متطورة أو القدرة على استخلاص سلاسل منطقية معقدة.

أصول علم المثلثات

يجب أن يبدأ التعرف على هذا العلم بتعريف جيب التمام وجيب التمام وظل الزاوية، ولكن عليك أولاً أن تفهم ما يفعله علم المثلثات بشكل عام.

تاريخيا، الموضوع الرئيسي للدراسة في هذا القسم العلوم الرياضيةكانت مثلثات قائمة. إن وجود زاوية قدرها 90 درجة يجعل من الممكن إجراء عمليات مختلفة تسمح بتحديد قيم جميع معلمات الشكل المعني باستخدام ضلعين وزاوية واحدة أو زاويتين وضلع واحد. في الماضي، لاحظ الناس هذا النمط وبدأوا في استخدامه بنشاط في تشييد المباني والملاحة وعلم الفلك وحتى في الفن.

المرحلة الأولية

في البداية، تحدث الناس عن العلاقة بين الزوايا والأضلاع فقط باستخدام مثال المثلثات القائمة. ثم تم اكتشاف صيغ خاصة مكنت من توسيع حدود الاستخدام فيها الحياة اليوميةهذا الفرع من الرياضيات.

تبدأ دراسة علم المثلثات في المدرسة اليوم بالمثلثات القائمة، وبعد ذلك يستخدم الطلاب المعرفة المكتسبة في الفيزياء وحل المشكلات المجردة. المعادلات المثلثية، العمل الذي يبدأ في المدرسة الثانوية.

علم المثلثات الكروية

لاحقًا، عندما وصل العلم إلى المستوى التالي من التطور، بدأ استخدام الصيغ ذات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام في الهندسة الكروية، حيث تنطبق قواعد مختلفة، ويكون مجموع زوايا المثلث دائمًا أكثر من 180 درجة. هذا القسملا يدرس في المدرسة، ولكن من الضروري معرفة وجوده على الأقل لأنه سطح الأرض، وسطح أي كوكب آخر يكون محدبًا، مما يعني أن أي علامات سطحية ستكون موجودة مساحة ثلاثية الأبعاد"على شكل قوس".

خذ الكرة الأرضية والخيط. قم بتوصيل الخيط بأي نقطتين على الكرة الأرضية بحيث يكون مشدودًا. يرجى ملاحظة - لقد اتخذ شكل قوس. وتتناول الهندسة الكروية مثل هذه الأشكال، والتي تستخدم في الجيوديسيا وعلم الفلك وغيرها من المجالات النظرية والتطبيقية.

المثلث الأيمن

بعد أن تعلمنا القليل عن طرق استخدام علم المثلثات، دعنا نعود إلى علم المثلثات الأساسي لفهم المزيد عن ماهية الجيب وجيب التمام والظل، وما هي الحسابات التي يمكن إجراؤها بمساعدتهم وما هي الصيغ التي يجب استخدامها.

الخطوة الأولى هي فهم المفاهيم المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية. أولًا، الوتر هو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها 90 درجة. إنها الأطول. ونتذكر أنه وفقا لنظرية فيثاغورس، فإنه القيمة العدديةيساوي جذر مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

على سبيل المثال، إذا كان طول الضلعين 3 و4 سنتيمترات على التوالي، فإن طول الوتر سيكون 5 سنتيمترات. وبالمناسبة، عرف قدماء المصريين عن ذلك منذ حوالي أربعة آلاف ونصف سنة.

ويسمى الجانبان المتبقيان، اللذان يشكلان زاوية قائمة، بالأرجل. بالإضافة إلى ذلك، علينا أن نتذكر أن مجموع قياسات زوايا المثلث في نظام الإحداثيات المستطيل يساوي 180 درجة.

تعريف

أخيرًا، مع الفهم العميق للأساس الهندسي، يمكن للمرء أن يلجأ إلى تعريف الجيب وجيب التمام والظل للزاوية.

جيب الزاوية هو نسبة الساق المقابلة (أي الجانب المقابل للزاوية المطلوبة) إلى الوتر. جيب تمام الزاوية هو نسبة الضلع المجاور إلى الوتر.

تذكر أنه لا يمكن أن يكون جيب الجيب أو جيب التمام أكثر من واحد! لماذا؟ نظرًا لأن الوتر هو الأطول افتراضيًا، بغض النظر عن طول الساق، فإنه سيكون أقصر من الوتر، مما يعني أن نسبتهما ستكون دائمًا أقل من واحد. وبالتالي، إذا حصلت في إجابتك على مسألة ما على جيب أو جيب التمام بقيمة أكبر من 1، فابحث عن خطأ في الحسابات أو الاستدلال. من الواضح أن هذه الإجابة غير صحيحة.

وأخيرًا، ظل الزاوية هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور. قسمة الجيب على جيب التمام سيعطي نفس النتيجة. انظر: حسب الصيغة، نقسم طول الضلع على الوتر، ثم نقسم على طول الضلع الثاني ونضرب في الوتر. وهكذا نحصل على نفس العلاقة كما في تعريف الظل.

وبالتالي فإن ظل التمام هو نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى الجانب المقابل. نحصل على نفس النتيجة بقسمة واحد على المماس.

إذن، لقد نظرنا إلى تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، ويمكننا الانتقال إلى الصيغ.

أبسط الصيغ

في علم المثلثات، لا يمكنك الاستغناء عن الصيغ - كيف يمكنك العثور على جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام بدونها؟ ولكن هذا هو بالضبط ما هو مطلوب عند حل المشاكل.

الصيغة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند البدء في دراسة علم المثلثات تنص على أن مجموع مربعات الجيب وجيب التمام للزاوية يساوي واحدًا. هذه الصيغةهو نتيجة مباشرة لنظرية فيثاغورس، ولكنه يوفر الوقت إذا كنت بحاجة إلى معرفة حجم الزاوية بدلا من الجانب.

لا يستطيع العديد من الطلاب تذكر الصيغة الثانية، والتي تحظى أيضًا بشعبية كبيرة عند حلها المهام المدرسية: مجموع واحد ومربع ظل الزاوية يساوي واحدًا مقسومًا على مربع جيب تمام الزاوية. ألق نظرة فاحصة: هذا هو نفس البيان كما في الصيغة الأولى، فقط طرفي الهوية مقسومان على مربع جيب التمام. وتبين أن عملية رياضية بسيطة تفعل ذلك الصيغة المثلثيةلا يمكن التعرف عليه تماما. تذكر: معرفة ما هي الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام وقواعد التحويل والعديد منها الصيغ الأساسيةيمكنك في أي وقت سحب المطلوب أكثر الصيغ المعقدةعلى قطعة من الورق.

صيغ الزوايا المزدوجة وإضافة الحجج

هناك صيغتان أخريان تحتاج إلى تعلمهما تتعلقان بقيم الجيب وجيب التمام لمجموع الزوايا والفرق بينها. يتم عرضها في الشكل أدناه. يرجى ملاحظة أنه في الحالة الأولى، يتم ضرب الجيب وجيب التمام في كل مرة، وفي الحالة الثانية، تتم إضافة المنتج الزوجي للجيب وجيب التمام.

توجد أيضًا صيغ مرتبطة بالوسيطات في النموذج زاوية مزدوجة. إنها مشتقة بالكامل من تلك السابقة - كممارسة، حاول الحصول عليها بنفسك عن طريق أخذ زاوية ألفا مساوية لزاوية بيتا.

أخيرًا، لاحظ أنه يمكن إعادة ترتيب صيغ الزاوية المزدوجة لتقليل قوة الجيب وجيب التمام والظل ألفا.

نظريات

النظريتان الرئيسيتان في علم المثلثات الأساسي هما نظرية الجيب ونظرية جيب التمام. بمساعدة هذه النظريات، يمكنك بسهولة فهم كيفية العثور على جيب التمام وجيب التمام والظل، وبالتالي مساحة الشكل، وحجم كل جانب، وما إلى ذلك.

تنص نظرية الجيب على أنه بقسمة طول كل ضلع في المثلث على الزاوية المقابلة له، نحصل على نفس العدد. علاوة على ذلك، فإن هذا العدد سيكون مساويا لنصفي قطر الدائرة المحددة، أي الدائرة التي تحتوي على جميع نقاط مثلث معين.

تعمل نظرية جيب التمام على تعميم نظرية فيثاغورس، وإسقاطها على أي مثلثات. اتضح أنه من مجموع مربعات الجانبين، قم بطرح منتجهم مضروبا في جيب التمام المزدوج للزاوية المجاورة - القيمة الناتجة ستكون مساوية لمربع الجانب الثالث. وهكذا، فإن نظرية فيثاغورس هي حالة خاصة من نظرية جيب التمام.

أخطاء لا مبالاة

حتى معرفة ما هو جيب التمام وجيب التمام والظل، فمن السهل ارتكاب خطأ بسبب شرود الذهن أو خطأ في أبسط الحسابات. لتجنب مثل هذه الأخطاء، دعونا نلقي نظرة على الأخطاء الأكثر شعبية.

أولاً، لا ينبغي عليك تحويل الكسور إلى أعداد عشرية حتى تحصل على النتيجة النهائية - يمكنك ترك الإجابة كما هي جزء مشترك، ما لم ينص على خلاف ذلك في الشروط. لا يمكن وصف هذا التحول بأنه خطأ، ولكن يجب أن نتذكر أنه في كل مرحلة من مراحل المشكلة قد تظهر جذور جديدة، والتي ينبغي تقليلها وفقًا لفكرة المؤلف. في هذه الحالة، سوف تضيع وقتك فيما لا لزوم له العمليات الحسابية. وينطبق هذا بشكل خاص على قيم مثل جذر ثلاثة أو جذر اثنين، لأنها موجودة في المشاكل في كل خطوة. وينطبق الشيء نفسه على تقريب الأرقام "القبيحة".

علاوة على ذلك، لاحظ أن نظرية جيب التمام تنطبق على أي مثلث، ولكن ليس نظرية فيثاغورس! إذا نسيت عن طريق الخطأ طرح حاصل ضرب الجانبين مضروبًا في جيب تمام الزاوية بينهما، فلن تحصل على نتيجة خاطئة تمامًا فحسب، بل ستظهر أيضًا نقصًا تامًا في فهم الموضوع. وهذا أسوأ من خطأ الإهمال.

ثالثًا، لا تخلط بين قيم الزوايا 30 و60 درجة للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. تذكر هذه القيم، لأن جيب الزاوية 30 درجة يساوي جيب التمام 60، والعكس صحيح. من السهل الخلط بينهم، ونتيجة لذلك سوف تحصل حتما على نتيجة خاطئة.

طلب

العديد من الطلاب ليسوا في عجلة من أمرهم لبدء دراسة علم المثلثات لأنهم لا يفهمون معناها العملي. ما هو الجيب وجيب التمام والظل بالنسبة للمهندس أو عالم الفلك؟ هذه هي المفاهيم التي بفضلها يمكنك حساب المسافة إليها النجوم البعيدة، التنبؤ بسقوط نيزك، إرسال مسبار بحثي إلى كوكب آخر. بدونها، من المستحيل بناء مبنى، تصميم سيارة، حساب الحمل على السطح أو مسار الجسم. وهذه ليست سوى أكثر أمثلة واضحة! بعد كل شيء، يتم استخدام علم المثلثات بشكل أو بآخر في كل مكان، من الموسيقى إلى الطب.

ختاماً

إذن أنت جيب التمام، وجيب التمام، والظل. يمكنك استخدامها في العمليات الحسابية وحل المشكلات المدرسية بنجاح.

بيت القصيد من علم المثلثات يعود إلى حقيقة أنه باستخدام المعلمات المعروفة للمثلث تحتاج إلى حساب المجهول. هناك ستة معلمات في المجموع: الطول ثلاثةالجوانب والأحجام ثلاث زوايا. والفرق الوحيد في المهام هو أنه يتم تقديم بيانات إدخال مختلفة.

أنت تعرف الآن كيفية العثور على جيب التمام وجيب التمام والظل بناءً على الأطوال المعروفة للساقين أو الوتر. وبما أن هذه المصطلحات لا تعني أكثر من نسبة، والنسبة عبارة عن كسر، الهدف الرئيسي مشكلة مثلثيةهو إيجاد جذور المعادلة العادية أو نظام المعادلات. وهنا سوف تساعدك الرياضيات المدرسية العادية.

في هذه المقالة سوف نوضح كيفية العطاء تعاريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية والرقم في علم المثلثات. سنتحدث هنا عن الملاحظات ونعطي أمثلة على الإدخالات ونقدم الرسوم التوضيحية. في الختام، دعونا نرسم توازيًا بين تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام في علم المثلثات والهندسة.

التنقل في الصفحة.

تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام

دعونا نرى كيف تتشكل فكرة الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام دورة المدرسةالرياضيات. في دروس الهندسة، يتم تقديم تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة في المثلث القائم. وبعد ذلك يتم دراسة علم المثلثات الذي يتحدث عن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران والعدد. دعونا نعرض كل هذه التعريفات ونعطي الأمثلة ونعطي التعليقات اللازمة.

زاوية حادة في مثلث قائم

من مقرر الهندسة، نعرف تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة في المثلث القائم. يتم تقديمها كنسبة جوانب المثلث الأيمن. دعونا نعطي صيغهم.

تعريف.

جيب الزاوية الحادة في المثلث القائمهي نسبة الضلع المقابل للوتر.

تعريف.

جيب تمام الزاوية الحادة في المثلث القائمهي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر.

تعريف.

ظل زاوية حادة في مثلث قائم– هذه هي نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور.

تعريف.

ظل التمام لزاوية حادة في مثلث قائم- هذه هي نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل.

يتم أيضًا تقديم تسميات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام - sin وcos وtg وctg، على التوالي.

على سبيل المثال، إذا كان ABC مثلثًا قائمًا بزاوية قائمة C، فإن جيب الزاوية الحادة A يساوي نسبة الضلع المقابل BC إلى الوتر AB، أي sin∠A=BC/AB.

تتيح لك هذه التعريفات حساب قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية حادة من الأطوال المعروفة لأضلاع المثلث القائم، وكذلك من القيم المعروفةأوجد أطوال الأضلاع الأخرى باستخدام جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام وطول أحد الجوانب. على سبيل المثال، إذا علمنا أنه في المثلث القائم، فإن الساق AC تساوي 3 والوتر AB يساوي 7، فيمكننا حساب قيمة جيب تمام الزاوية الحادة A بالتعريف: cos∠A=AC/ أ ب = 3/7.

زاوية الدوران

في علم المثلثات، بدأوا في النظر إلى الزاوية على نطاق أوسع - وقدموا مفهوم زاوية الدوران. لا يقتصر حجم زاوية الدوران، على عكس الزاوية الحادة، على 0 إلى 90 درجة؛ ويمكن التعبير عن زاوية الدوران بالدرجات (والراديان) بأي رقم حقيقي من −∞ إلى +∞.

في ضوء ذلك، لا يتم تقديم تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية حادة، ولكن لزاوية ذات حجم تعسفي - زاوية الدوران. يتم تقديمها من خلال إحداثيات x و y للنقطة A 1، والتي تذهب إليها ما يسمى بنقطة البداية A(1، 0) بعد دورانها بزاوية α حول النقطة O - بداية نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل ومركز دائرة الوحدة .

تعريف.

جيب زاوية الدورانα هو إحداثي النقطة A 1، أي sinα=y.

تعريف.

جيب تمام زاوية الدورانيُطلق على α محور النقطة A 1، أي cosα=x.

تعريف.

ظل زاوية الدورانα هي نسبة إحداثي النقطة A 1 إلى حدها الإحداثي، أي tanα=y/x.

تعريف.

ظل تمام زاوية الدورانα هي نسبة الإحداثيات الإحداثية للنقطة A 1 إلى إحداثيتها، أي ctgα=x/y.

يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زاوية α، حيث يمكننا دائمًا تحديد الإحداثيات الإحداثية والنقطة، والتي يتم الحصول عليها عن طريق تدوير نقطة البداية بالزاوية α. ولكن لم يتم تعريف الظل وظل التمام لأي زاوية. لم يتم تعريف الظل للزوايا α التي تذهب عندها نقطة البداية إلى نقطة بها صفر الإحداثي السيني (0، 1) أو (0، −1)، ويحدث هذا عند الزوايا 90°+180° k، k∈Z (π) /2+π·ك راد). في الواقع، في مثل هذه الزوايا من الدوران، فإن التعبير tgα=y/x ليس له معنى، لأنه يحتوي على القسمة على صفر. أما ظل التمام فهو غير محدد للزوايا α التي تذهب عندها نقطة البداية إلى النقطة ذات الإحداثي الصفري (1, 0) أو (−1, 0)، ويحدث ذلك للزوايا 180° k, k ∈Z (π · ك راد).

لذلك، يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زوايا دوران، ويتم تعريف الظل لجميع الزوايا باستثناء 90°+180°k، k∈Z (π/2+πk rad)، ويتم تعريف ظل التمام لجميع الزوايا باستثناء 180° ·k ، k∈Z (π·k راد).

تتضمن التعريفات التسميات المعروفة لدينا بالفعل sin وcos وtg وctg، كما أنها تستخدم لتعيين جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران (في بعض الأحيان يمكنك العثور على التسميات tan وcotالمقابلة للظل وظل التمام) . لذلك يمكن كتابة جيب زاوية دوران مقدارها 30 درجة بالشكل sin30°، وتتوافق الإدخالات tg(−24°17′) وctgα مع ظل زاوية الدوران −24 درجة 17 دقيقة وظل التمام لزاوية الدوران α . تذكر أنه عند كتابة قياس الراديان لزاوية ما، غالبًا ما يتم حذف التسمية "rad". على سبيل المثال، يُشار عادةً إلى جيب تمام زاوية الدوران البالغة ثلاثة باي راد بـ cos3·π.

في ختام هذه النقطة، تجدر الإشارة إلى أنه عند الحديث عن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران، غالبًا ما يتم حذف عبارة "زاوية الدوران" أو كلمة "الدوران". وهذا يعني أنه بدلاً من عبارة "جيب زاوية الدوران ألفا"، يتم عادةً استخدام عبارة "جيب زاوية ألفا" أو حتى أقصر "جيب ألفا". الأمر نفسه ينطبق على جيب التمام، الظل، وظل التمام.

سنقول أيضًا أن تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة في المثلث الأيمن تتوافق مع التعريفات المعطاة للتو للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية دوران تتراوح من 0 إلى 90 درجة. سوف نبرر هذا.

أرقام

تعريف.

جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لعددر هو الرقم يساوي جيبوجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران بوحدات الراديان t، على التوالي.

على سبيل المثال، جيب التمام للرقم 8 π حسب التعريف هو الرقم يساوي جيب التمامزاوية 8·π راد. وجيب تمام الزاوية هو 8 π راد يساوي واحدوبالتالي فإن جيب التمام للرقم 8·π يساوي 1.

هناك طريقة أخرى لتحديد جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأي رقم. وهو يتألف من حقيقة أن الجميع رقم حقيقييتم تعيين t لنقطة على دائرة الوحدة يكون مركزها في البداية نظام مستطيلالإحداثيات، ويتم تحديد الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام من خلال إحداثيات هذه النقطة. دعونا ننظر إلى هذا بمزيد من التفصيل.

دعونا نوضح كيف يتم إنشاء المراسلات بين الأعداد الحقيقية والنقاط الموجودة على الدائرة:

• يتم تعيين الرقم 0 كنقطة البداية A(1, 0);
• رقم إيجابييرتبط t بنقطة دائرة الوحدة التي سنصل إليها إذا تحركنا على طول الدائرة من نقطة البداية في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة و دعونا نسير على الطريقالطول ر؛
• رقم سلبييرتبط t بنقطة دائرة الوحدة، والتي سنصل إليها إذا تحركنا على طول الدائرة من نقطة البداية في اتجاه عقارب الساعة ومشينا في مسار بطول |t| .

ننتقل الآن إلى تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للرقم t. لنفترض أن الرقم t يتوافق مع نقطة على الدائرة A 1 (x, y) (على سبيل المثال، الرقم &pi/2; يتوافق مع النقطة A 1 (0, 1) ).

تعريف.

جيب الرقم t هو إحداثي النقطة على دائرة الوحدة المقابلة للرقم t، أي sint=y.

تعريف.

جيب تمام الرقميُسمى t بإحداثيات نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم t، أي التكلفة=x.

تعريف.

ظل الرقم t هي نسبة الإحداثي إلى الإحداثي الإحداثي لنقطة ما على دائرة الوحدة المقابلة للرقم t، أي tgt=y/x. في صيغة مكافئة أخرى، ظل الرقم t هو نسبة جيب هذا الرقم إلى جيب التمام، أي tgt=sint/cost.

تعريف.

ظل التمام للعدد t هي نسبة الإحداثي الإحداثي لنقطة على دائرة الوحدة المقابلة للرقم t، أي ctgt=x/y. صيغة أخرى هي: ظل الرقم t هو نسبة جيب تمام الرقم t إلى جيب الرقم t: ctgt=cost/sint.

ونلاحظ هنا أن التعريفات الواردة للتو تتفق مع التعريف الوارد في بداية هذه الفقرة. في الواقع، النقطة الموجودة على دائرة الوحدة المقابلة للرقم t تتزامن مع النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير نقطة البداية بزاوية t راديان.

لا يزال الأمر يستحق توضيح هذه النقطة. لنفترض أن لدينا مدخل sin3. كيف يمكننا أن نفهم ما إذا كنا نتحدث عن جيب الرقم 3 أو جيب زاوية الدوران البالغة 3 راديان؟ وهذا عادة ما يكون واضحا من السياق، في خلاف ذلكوهذا على الأرجح ليس ذا أهمية أساسية.

الدوال المثلثية للوسيطة الزاوية والرقمية

وبحسب البيانات في الفقرة السابقةالتعريفات، كل زاوية دوران α تتوافق تمامًا قيمة محددة sinα هي نفس قيمة cosα. بالإضافة إلى ذلك، جميع زوايا الدوران بخلاف 90°+180°k، k∈Z (π/2+πk rad) تتوافق مع قيم tgα، والقيم بخلاف 180°k، k∈Z (πk rad ) - القيم ​​من ctgα . لذلك فإن sinα وcosα وtanα وctgα هي وظائف الزاوية α. وبعبارة أخرى، هذه هي وظائف الوسيطة الزاوية.

وبالمثل، يمكننا التحدث عن دوال الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام حجة رقمية. في الواقع، كل رقم حقيقي t يتوافق مع قيمة محددة جدًا، بالإضافة إلى التكلفة. بالإضافة إلى ذلك، جميع الأرقام غير π/2+π·k، k∈Z تتوافق مع قيم tgt، والأرقام π·k، k∈Z - قيم ctgt.

يتم استدعاء وظائف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام الوظائف المثلثية الأساسية.

عادةً ما يكون واضحًا من السياق ما إذا كنا نتعامل مع الدوال المثلثية للوسيطة الزاوية أو الوسيطة العددية. بخلاف ذلك، يمكننا التفكير في المتغير المستقل كمقياس للزاوية (الوسيطة الزاوية) ووسيطة رقمية.

ومع ذلك، فإننا في المدرسة ندرس بشكل أساسي الدوال العددية، أي الدوال التي تكون وسيطاتها، بالإضافة إلى قيم الدالة المقابلة لها، أرقامًا. لذلك، إذا نحن نتحدث عنهفيما يتعلق بالدوال على وجه التحديد، فمن المستحسن اعتبار الدوال المثلثية كدوال للوسائط العددية.

العلاقة بين التعاريف من الهندسة وعلم المثلثات

إذا اعتبرنا زاوية الدوران α تتراوح من 0 إلى 90 درجة، فإن تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران في سياق علم المثلثات تتوافق تمامًا مع تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران الزاوية الحادة في المثلث القائم والتي تعطى في مقرر الهندسة. دعونا نبرر هذا.

دعونا نصورها بشكل مستطيل النظام الديكارتيإحداثيات دائرة وحدة أوكسي. لنضع علامة على نقطة البداية A(1, 0) . دعونا نديرها بزاوية α تتراوح من 0 إلى 90 درجة، نحصل على النقطة A 1 (x، y). دعونا نسقط العمود A 1 H من النقطة A 1 على محور الثور.

ومن السهل أن نرى ذلك في المثلث القائم الزاوية A 1 OH يساوي الزاويةالدوران α، طول الساق OH المجاورة لهذه الزاوية يساوي حدود النقطة A 1، أي |OH|=x، طول الساق A 1 H المقابلة للزاوية يساوي إحداثي النقطة A 1، أي |A 1 H|=y، وطول الوتر OA 1 يساوي واحدًا، لأنه نصف قطر دائرة الوحدة. بعد ذلك، بحكم التعريف من الهندسة، جيب الزاوية الحادة α في المثلث القائم A 1 OH يساوي نسبة الساق المقابلة إلى الوتر، أي sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= ص/1=ص. وبحسب تعريف علم المثلثات، فإن جيب زاوية الدوران α يساوي إحداثي النقطة A 1، أي sinα=y. يوضح هذا أن تحديد جيب الزاوية الحادة في المثلث القائم يعادل تحديد جيب زاوية الدوران α عندما تكون α من 0 إلى 90 درجة.

وبالمثل، يمكن إثبات أن تعريفات جيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة α تتوافق مع تعريفات جيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران α.

مراجع.

1. الهندسة. 7-9 درجات: الكتاب المدرسي للتعليم العام المؤسسات / [ل. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، S. B. Kadomtsev، إلخ.]. - الطبعة العشرين. م: التربية، 2010. - 384 ص: مريض. - ردمك 978-5-09-023915-8.
2. بوجوريلوف أ.ف.الهندسة: كتاب مدرسي. للصفوف 7-9. التعليم العام المؤسسات / أ.ف.بوجوريلوف. - الطبعة الثانية - م: التربية، 2001. - 224 ص: مريض. - ردمك 5-09-010803-X.
3. الجبر و وظائف أولية : درس تعليميلطلاب الصف التاسع مدرسة ثانوية/ E. S. Kochetkov، E. S. Kochetkova؛ حرره دكتور في العلوم الفيزيائية والرياضية O. N. Golovin - الطبعة الرابعة. م: التربية، 1969.
4. الجبر:كتاب مدرسي للصف التاسع. متوسط المدرسة / يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova؛ إد. S. A. Teleakovsky - M.: التعليم، 1990. - 272 ص: مريض - ISBN 5-09-002727-7
5. الجبروبداية التحليل: بروك. للصفوف 10-11. التعليم العام المؤسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، P. Dudnitsyn وآخرون؛ إد. أ.ن.كولموجوروف – الطبعة الرابعة عشرة – م: التعليم، 2004. – 384 صفحة: مريض – ISBN 5-09-013651-3.
6. موردكوفيتش أ.ج.الجبر وبدايات التحليل. الصف العاشر. في 2 ص. الجزء 1: البرنامج التعليمي ل المؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي)/ A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة الرابعة، إضافة. - م: منيموسين، 2007. - 424 ص: مريض. ردمك 978-5-346-00792-0.
7. الجبروبدأت التحليل الرياضي. الصف العاشر: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات: الأساسية والملف الشخصي. المستويات /[يو. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ تم تحريره بواسطة أ.ب. زيزتشينكو. - الطبعة الثالثة. - أولا: التعليم، 2010.- 368 ص: مريض- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. باشماكوف م.الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي. للصفوف 10-11. متوسط مدرسة - الطبعة الثالثة. - م: التربية، 1993. - 351 ص: مريض. -ردمك 5-09-004617-4.
9. غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.