يقدم درس الفيديو "الوظيفة y = sinx وee Properties والرسم البياني" مادة مرئية حول هذا الموضوع بالإضافة إلى التعليقات عليه. أثناء العرض التوضيحي، يتم النظر بالتفصيل في نوع الوظيفة وخصائصها والسلوك على أجزاء مختلفة من المستوى الإحداثي وميزات الرسم البياني، كما يتم وصف مثال للحل الرسومي للمعادلات المثلثية التي تحتوي على جيب الجيب. بمساعدة درس فيديو، يكون من الأسهل على المعلم صياغة فهم الطالب لهذه الوظيفة وتعليمهم كيفية حل المشكلات بيانياً.
يستخدم درس الفيديو أدوات لتسهيل حفظ المعلومات التعليمية وفهمها. في عرض الرسوم البيانية وفي وصف حل المشكلات، يتم استخدام تأثيرات الرسوم المتحركة التي تساعد على فهم سلوك الوظيفة وعرض تقدم الحل بشكل تسلسلي. كما أن نطق المادة يكملها بتعليقات مهمة تحل محل شرح المعلم. وبالتالي، يمكن أيضًا استخدام هذه المادة كمساعدة بصرية. وكجزء مستقل من الدرس بدلاً من شرح المعلم لموضوع جديد.
يبدأ العرض التوضيحي بتقديم موضوع الدرس. يتم تقديم وظيفة الجيب، والتي تم تمييز وصفها في مربع الحفظ - s=sint، حيث يمكن أن تكون الوسيطة t أي رقم حقيقي. يبدأ وصف خصائص هذه الوظيفة بمجال التعريف. تجدر الإشارة إلى أن مجال تعريف الدالة هو المحور العددي الكامل للأعداد الحقيقية، أي D(f)=(- ∞;+∞). الخاصية الثانية هي غرابة دالة الجيب. يتم تذكير الطلاب بأن هذه الخاصية تمت دراستها في الصف التاسع، عندما لوحظ أنه بالنسبة للدالة الفردية تكون المساواة f(-x)=-f(x) موجودة. بالنسبة للجيب، يتم إثبات غرابة الدالة على دائرة الوحدة، مقسمة إلى أرباع. عند معرفة الإشارة التي تأخذها الدالة في أرباع مختلفة من المستوى الإحداثي، يُلاحظ أنه بالنسبة للوسيطات ذات الإشارات المعاكسة، باستخدام مثال النقطتين L(t) وN(-t)، يتم استيفاء شرط الشذوذ للجيب. وبالتالي فإن s=sint هي دالة فردية. وهذا يعني أن الرسم البياني للدالة متماثل بالنسبة إلى نقطة الأصل.
الخاصية الثالثة للجيب توضح فترات الزيادة والنقصان في الدوال. ويلاحظ أن هذه الدالة تزيد على القطعة، وتنقص على القطعة [π/2;π]. الخاصية موضحة في الشكل، الذي يوضح دائرة الوحدة، وعند التحرك من النقطة A عكس اتجاه عقارب الساعة، يزداد الإحداثي، أي أن قيمة الدالة تزيد إلى π/2. عند الانتقال من النقطة B إلى النقطة C، أي عندما تتغير الزاوية من π/2 إلى π، تنخفض القيمة الإحداثية. في الربع الثالث من الدائرة، عند الانتقال من النقطة C إلى النقطة D، ينخفض الإحداثي من 0 إلى -1، أي أن قيمة الجيب تنخفض. في الربع الأخير، عند الانتقال من النقطة D إلى النقطة A، تزيد القيمة الإحداثية من -1 إلى 0. وبالتالي، يمكننا استخلاص نتيجة عامة حول سلوك الوظيفة. تعرض الشاشة الخرج الذي يزداد على المقطع [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk]، يتناقص على الفاصل الزمني [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] لأي عدد صحيح k.
الخاصية الرابعة للجيب تأخذ في الاعتبار حدود الوظيفة. تجدر الإشارة إلى أن وظيفة sint محدودة من الأعلى والأسفل. يتم تذكير الطلاب بالمعلومات من جبر الصف التاسع عندما تم تعريفهم بمفهوم حدود الدالة. يتم عرض حالة الدالة المحددة من الأعلى على الشاشة، والتي يوجد لها رقم معين تنطبق عليه المتراجحة f(x)>=M عند أي نقطة من الدالة. نتذكر أيضًا حالة الدالة المحددة أدناه، حيث يكون عدد m أقل من كل نقطة من نقاط الدالة. بالنسبة إلى sint، يتم استيفاء الشرط -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.
الخاصية الخامسة تأخذ في الاعتبار أصغر وأكبر قيم الدالة. ويلاحظ تحقيق أصغر قيمة -1 عند كل نقطة t=-(π/2)+2πk، والقيمة الأكبر عند النقاط t=(π/2)+2πk.
واستنادا إلى الخصائص التي تم النظر فيها، يتم إنشاء رسم بياني لوظيفة سينت على القطعة. لبناء الدالة، يتم استخدام القيم الجدولية للجيب عند النقاط المقابلة. إحداثيات النقاط π/6، π/3، π/2، 2π/3، 5π/6، π محددة على المستوى الإحداثي. من خلال تحديد قيم الجدول للدالة عند هذه النقاط وربطها بخط سلس، نقوم ببناء رسم بياني.
لرسم رسم بياني للدالة على المقطع [-π;π]، يتم استخدام خاصية تناظر الدالة بالنسبة إلى الأصل. يوضح الشكل كيف يتم نقل الخط الذي تم الحصول عليه نتيجة للبناء بسلاسة بشكل متماثل بالنسبة إلى أصل الإحداثيات إلى المقطع [-π;0].
باستخدام خاصية دالة sint، المعبر عنها في صيغة الاختزال sin(x+2π) = sin x، يلاحظ أن كل 2π يتكرر الرسم البياني للجيب. وبالتالي، على الفاصل الزمني [π؛ 3π] سيكون الرسم البياني هو نفسه كما في [-π;π]. وبالتالي، فإن الرسم البياني لهذه الوظيفة يمثل الأجزاء المتكررة [-π;π] في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله. ويلاحظ بشكل منفصل أن مثل هذا الرسم البياني للدالة يسمى الجيوب الأنفية. تم أيضًا تقديم مفهوم الموجة الجيبية - جزء من الرسم البياني مبني على المقطع [-π;π]، وقوس جيبي مبني على المقطع . يتم عرض هذه الأجزاء مرة أخرى للحفظ.
ويلاحظ أن دالة sint هي دالة مستمرة على كامل مجال التعريف، وأيضا أن نطاق قيم الدالة يقع في مجموعة قيم المقطع [-1;1].
في نهاية درس الفيديو، سيتم النظر في حل رسومي للمعادلة sin x=x+π. من الواضح أن الحل الرسومي للمعادلة سيكون تقاطع الرسم البياني للدالة المعطاة بالتعبير الموجود على الجانب الأيسر والوظيفة المعطاة بالتعبير الموجود على الجانب الأيمن. لحل المشكلة، يتم إنشاء مستوى إحداثي، حيث يتم تحديد الشكل الجيبي المقابل y=sin x، ويتم إنشاء خط مستقيم يتوافق مع الرسم البياني للدالة y=x+π. تتقاطع الرسوم البيانية المبنية عند نقطة واحدة B(-π;0). ولذلك فإن x=-π سيكون الحل للمعادلة.
سيساعد درس الفيديو "Function y = sinx, ee Properties and graph" على زيادة فعالية درس الرياضيات التقليدي في المدرسة. يمكنك أيضًا استخدام المواد المرئية عند إجراء التعلم عن بعد. يمكن أن يساعد الدليل في إتقان الموضوع للطلاب الذين يحتاجون إلى دروس إضافية لفهم المادة بشكل أعمق.
فك تشفير النص:
موضوع درسنا هو "الدالة y = sin x وخصائصها ورسمها البياني".
في السابق، تعرفنا بالفعل على الدالة s = sin t، حيث tϵR (es تساوي sin te، حيث تنتمي te إلى مجموعة الأعداد الحقيقية). دعونا ندرس خصائص هذه الوظيفة:
الخصائص 1. مجال التعريف هو مجموعة الأعداد الحقيقية R (er)، أي D(f) = (- ; +) (de من ef يمثل الفاصل الزمني من ناقص اللانهاية إلى زائد اللانهاية).
الخاصية 2. الدالة s = sin t غريبة.
تعلمنا في دروس الصف التاسع أن الدالة y = f (x)، x ϵX (y تساوي ef x، حيث x تنتمي إلى المجموعة x كبيرة) تسمى غريبة إذا كانت لأي قيمة x من المجموعة × المساواة
f (- x) = - f (x) (eff من ناقص x يساوي ناقص ef من x).
وبما أن إحداثيات النقطتين L و N المتماثلتين حول محور الإحداثي السيني متقابلتان، فإن sin(- t) = -sint.
أي أن s = sin t هي دالة فردية والرسم البياني للدالة s = sin t متماثل بالنسبة إلى نقطة الأصل في نظام الإحداثيات المستطيل شروط الخدمة(تي أو إس).
لنفكر في الخاصية 3. على الفاصل الزمني [ 0؛ ] (من صفر إلى pi بمقدار اثنين) الدالة s = sin t تزيد وتنقص على المقطع [; ](من pi بمقدار اثنين إلى pi).
يظهر هذا بوضوح في الأشكال: عندما تتحرك نقطة على طول دائرة الأعداد من صفر إلى pi بمقدار اثنين (من النقطة A إلى B)، فإن الإحداثي يزيد تدريجيًا من 0 إلى 1، وعند الانتقال من pi بمقدار اثنين إلى pi (من النقطة B إلى C)، يتناقص الإحداثي تدريجيًا من 1 إلى 0.
عندما تتحرك نقطة على طول الربع الثالث (من النقطة C إلى النقطة D)، ينخفض إحداثي النقطة المتحركة من صفر إلى سالب واحد، وعند التحرك على طول الربع الرابع، يزداد الإحداثي من سالب واحد إلى صفر. لذلك، يمكننا استخلاص نتيجة عامة: الدالة s = sin t تزداد على الفترة
(من ناقص pi بمقدار اثنين زائد اثنين pi ka إلى pi بمقدار اثنين زائد اثنين pi ka)، وينخفض على المقطع [؛ (من باي في اثنين زائد اثنين بي كا إلى ثلاثة بي في اثنين زائد اثنين بي كا)، حيث
(كا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة).
خاصية 4. الدالة s = sint محدودة من الأعلى والأسفل.
من مقرر الصف التاسع، تذكر تعريف الحدود: تسمى الدالة y = f (x) محصورة من الأسفل إذا كانت جميع قيم الدالة لا تقل عن رقم معين م مبحيث يكون لأي قيمة x من مجال تعريف الوظيفة عدم المساواة f (x) ≥ م(ef من x أكبر من أو يساوي em). يقال أن الدالة y = f (x) محصورة من الأعلى إذا كانت جميع قيم الدالة ليست أكبر من رقم معين م، هذا يعني أن هناك رقمًا مبحيث يكون لأي قيمة x من مجال تعريف الدالة عدم المساواة f (x) ≥ م(تأثير من x أقل من أو يساوي em) تُسمى الدالة مُحدَّدة إذا كانت مُحدَّدة من الأسفل والأعلى.
دعنا نعود إلى وظيفتنا: الحدود تأتي من حقيقة أن عدم المساواة لأي te صحيح - 1 ≥ sint ≥ 1. (جيب te أكبر من أو يساوي سالب واحد، ولكن أقل من أو يساوي واحدًا).
الخاصية 5. أصغر قيمة للدالة تساوي سالب واحد وتصل الدالة إلى هذه القيمة عند أي نقطة على الشكل t = (te تساوي سالب pi بمقدار اثنين زائد ذروتين، وأكبر قيمة للدالة تساوي إلى واحد ويتم تحقيقه بواسطة الدالة عند أي نقطة من النموذج t = (te يساوي pi في اثنين زائد اثنين pi ka).
القيم الأكبر والأصغر للدالة s = sin t تشير إلى s أكثر. والحد الأقصى. .
باستخدام الخصائص التي تم الحصول عليها، سنقوم ببناء رسم بياني للدالة y = sin x (y يساوي جيب x)، لأننا معتادون على كتابة y = f (x) بدلاً من s = f (t).
للبدء، دعونا نختار مقياسًا: على طول المحور الإحداثي، لنأخذ خليتين كقطعة وحدة، وعلى طول محور الإحداثي السيني، خليتان تكونان باي بمقدار ثلاثة (بما أن ≈ 1). أولاً، لنقم بإنشاء رسم بياني للدالة y = sin x على القطعة. نحتاج إلى جدول قيم الدوال في هذا المقطع؛ لبنائه، سنستخدم جدول القيم لزاوية جيب التمام والجيب المقابلة:
وبالتالي، لبناء جدول قيم الوسيطات والوظائف، يجب أن تتذكر ذلك X(x) هذا الرقم يساوي الزاوية في الفترة من صفر إلى pi، و في(باليونانية) قيمة جيب هذه الزاوية.
لنضع علامة على هذه النقاط على المستوى الإحداثي. وفقا للخاصية 3 في هذا القطاع
[ 0; ] (من صفر إلى pi بمقدار اثنين) الدالة y = sin x تزيد وتنقص على المقطع [; ](من pi بمقدار اثنين إلى pi) وربط النقاط الناتجة بخط سلس، نحصل على جزء من الرسم البياني (الشكل 1).
باستخدام تماثل الرسم البياني للدالة الفردية بالنسبة إلى الأصل، نحصل على رسم بياني للدالة y = sin x بالفعل على المقطع
[-π; π ] (من ناقص باي إلى باي (الشكل 2)
تذكر أن sin(x + 2π)= sinx
(جيب x زائد اثنين pi يساوي جيب x). هذا يعني أنه عند النقطة x + 2π فإن الدالة y = sin x تأخذ نفس القيمة عند النقطة x. وبما أن (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x زائد اثنين pi ينتمي إلى القطعة من pi إلى ثلاثة pi)، إذا كان xϵ[-π; π ]، ثم على المقطع [π؛ 3π ] الرسم البياني للدالة يبدو تمامًا كما هو الحال في المقطع [-π; π]. وبالمثل، على المقاطع، ، [-3π؛ -π ] وهكذا، يبدو الرسم البياني للدالة y = sin x كما هو في المقطع
[-π; π].(الشكل 3)
الخط الذي يمثل الرسم البياني للدالة y = sin x يسمى موجة جيبية. يسمى جزء الموجة الجيبية الموضح في الشكل 2 بالموجة الجيبية، بينما في الشكل 1 يطلق عليه اسم الموجة الجيبية أو نصف الموجة.
باستخدام الرسم البياني الذي تم إنشاؤه، سنكتب العديد من خصائص هذه الوظيفة.
خاصية 6. الدالة y = sin x هي دالة مستمرة. وهذا يعني أن الرسم البياني للدالة مستمر، أي أنه لا يحتوي على قفزات أو ثقوب.
خاصية 7. نطاق قيم الدالة y = sin x هو المقطع [-1; 1] (من ناقص واحد إلى واحد) أو يمكن كتابته هكذا: (e من ef يساوي القطعة من ناقص واحد إلى واحد).
دعونا نلقي نظرة على مثال. حل المعادلة بيانياً sin x = x + π (sin x يساوي x plus pi).
حل. دعونا نبني الرسوم البيانية الوظيفية ص =خطيئة Xو ص = س + π.
الرسم البياني للدالة y = sin x هو شكل جيبي.
y = x + π هي دالة خطية، رسمها البياني عبارة عن خط مستقيم يمر عبر النقاط ذات الإحداثيات (0; π) و (- π ; 0).
تحتوي الرسوم البيانية المبنية على نقطة تقاطع واحدة - النقطة B(- π;0) (تكون بإحداثيات ناقص pi، صفر). هذا يعني أن هذه المعادلة لها جذر واحد فقط - حدود النقطة B - -π. إجابة: X = - π.
اكتشفنا أن سلوك الدوال المثلثية، والدوال ص = الخطيئة س بخاصة، على سطر الأعداد بأكمله (أو لجميع قيم الوسيطة X) يتم تحديده بالكامل من خلال سلوكه في الفاصل الزمني 0 < X < π / 2 .
لذلك، أولا وقبل كل شيء، سوف نرسم الدالة ص = الخطيئة س بالضبط في هذه الفترة.
لنقم بإنشاء جدول قيم وظيفتنا التالي؛
من خلال تحديد النقاط المقابلة على المستوى الإحداثي وربطها بخط ناعم، نحصل على المنحنى الموضح في الشكل
يمكن أيضًا إنشاء المنحنى الناتج هندسيًا، دون تجميع جدول قيم الوظائف ص = الخطيئة س .
1. قسّم الربع الأول من دائرة نصف قطرها 1 إلى 8 أجزاء متساوية. إحداثيات نقاط تقسيم الدائرة هي جيب الزوايا المقابلة.
2. الربع الأول من الدائرة يتوافق مع الزوايا من 0 إلى π / 2 . لذلك على المحور Xلنأخذ قطعة ونقسمها إلى 8 أجزاء متساوية.
3. لنرسم خطوطًا مستقيمة موازية للمحاور Xومن نقاط التقسيم نقوم ببناء خطوط متعامدة حتى تتقاطع مع الخطوط الأفقية.
4. قم بتوصيل نقاط التقاطع بخط ناعم.
الآن دعونا نلقي نظرة على الفاصل الزمني π /
2
<
X <
π
.
قيمة كل وسيطة Xمن هذا الفاصل الزمني يمكن تمثيلها ك
س = π / 2 + φ
أين 0 < φ < π / 2 . وفقا لصيغ التخفيض
الخطيئة( π / 2 + φ ) = كوس φ = الخطيئة( π / 2 - φ ).
نقاط المحور Xمع الإحداثيات π / 2 + φ و π / 2 - φ متناظرة مع بعضها البعض حول نقطة المحور Xمع الإحداثي السيني π / 2 ، والجيوب عند هذه النقاط هي نفسها. هذا يسمح لنا بالحصول على رسم بياني للوظيفة ص = الخطيئة س في الفاصل [ π / 2 , π ] ببساطة عن طريق عرض الرسم البياني لهذه الوظيفة بشكل متماثل في الفاصل الزمني بالنسبة للخط المستقيم X = π / 2 .
الآن باستخدام الخاصية وظيفة التكافؤ الغريب ص = الخطيئة س،
الخطيئة(- X) = - الخطيئة X,
من السهل رسم هذه الوظيفة في الفاصل الزمني [- π , 0].
الدالة y = sin x دورية بفترة 2π ؛. ولذلك، لبناء الرسم البياني الكامل لهذه الدالة، يكفي مواصلة المنحنى الموضح في الشكل إلى اليسار واليمين بشكل دوري مع فترة 2π .
ويسمى المنحنى الناتج الجيوب الأنفية . وهو يمثل الرسم البياني للوظيفة ص = الخطيئة س.
يوضح الشكل جيدًا جميع خصائص الوظيفة ص = الخطيئة س ، وهو ما أثبتناه سابقًا. دعونا نتذكر هذه الخصائص.
1) الوظيفة ص = الخطيئة س محددة لجميع القيم X ، إذن مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
2) الوظيفة ص = الخطيئة س محدود. جميع القيم التي يقبلها تتراوح بين -1 و 1، بما في ذلك هذين الرقمين. ونتيجة لذلك، يتم تحديد نطاق الاختلاف في هذه الوظيفة من خلال عدم المساواة -1 < في < 1. متى X = π / 2 + 2 كيلو π تأخذ الدالة القيم الأكبر تساوي 1، و ل x = - π / 2 + 2 كيلو π - أصغر القيم تساوي - 1.
3) الوظيفة ص = الخطيئة س غريبة (الموجة الجيبية متناظرة حول الأصل).
4) الوظيفة ص = الخطيئة س دورية مع الفترة 2 π .
5) في فترات 2N π < س < π + 2 ن π (ن هو أي عدد صحيح) وهو موجب، وعلى فترات π + 2 كيلو π < X < 2π + 2 كيلو π (k هو أي عدد صحيح) فهو سلبي. في س = ك π تذهب الدالة إلى الصفر. ولذلك فإن قيم الوسيطة x (0; ± π ; ±2 π ; ...) تسمى أصفار الدالة ص = الخطيئة س
6) على فترات - π / 2 + 2 ن π < X < π / 2 + 2 ن π وظيفة ذ = الخطيئة س يزيد بشكل رتيب، وعلى فترات π / 2 + 2 كيلو π < X < 3π / 2 + 2 كيلو π فهو يتناقص بشكل رتيب.
يجب أن تولي اهتماما خاصا لسلوك الوظيفة ص = الخطيئة س بالقرب من النقطة X = 0 .
على سبيل المثال، الخطيئة 0.012 ≈ 0.012؛ الخطيئة (-0.05) ≈ -0,05;
الخطيئة 2° = الخطيئة π 2 / 180 = خطيئة π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
وفي الوقت نفسه، تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة لأي قيم x
| خطيئة س| < | س | . (1)
في الواقع، ليكن نصف قطر الدائرة الموضحة في الشكل يساوي 1،
أ /
أوب = X.
ثم الخطيئة س= تيار متردد. لكن مكيف الهواء< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. ومن الواضح أن طول هذا القوس يساوي X، بما أن نصف قطر الدائرة هو 1. إذن، عند 0< X < π / 2
الخطيئة س< х.
وبالتالي، بسبب غرابة الوظيفة ص = الخطيئة س فمن السهل إظهار ذلك عندما - π / 2 < X < 0
| خطيئة س| < | س | .
واخيرا متى س = 0
| الخطيئة س | = | س |.
وهكذا ل| X | < π / 2 وقد ثبت عدم المساواة (١). في الواقع، هذا التفاوت ينطبق أيضًا على | س | > π / 2 يرجع ذلك إلى حقيقة أن | خطيئة X | < 1، أ π / 2 > 1
تمارين
1. وفقا للرسم البياني للوظيفة ص = الخطيئة س تحديد: أ) الخطيئة 2؛ ب) الخطيئة 4؛ ج) الخطيئة (-3).
2. وفقا للرسم البياني وظيفة ص = الخطيئة س
تحديد أي رقم من الفاصل الزمني
[ - π /
2 ,
π /
2
] لديه جيب يساوي: أ) 0.6؛ ب) -0.8.
3. وفقا للرسم البياني للوظيفة ص = الخطيئة س
تحديد الأرقام التي لها جيب،
يساوي 1/2.
4. ابحث تقريبًا (بدون استخدام الجداول): أ) الخطيئة 1°؛ ب) الخطيئة 0.03؛
ج) الخطيئة (-0.015)؛ د) الخطيئة (-2°30").
في هذا الدرس سوف نلقي نظرة تفصيلية على الدالة y = sin x وخصائصها الأساسية ورسمها البياني. في بداية الدرس سنقدم تعريف الدالة المثلثية y = sin t على الدائرة الإحداثية وننظر في الرسم البياني للدالة على الدائرة والخط. دعونا نظهر دورية هذه الوظيفة على الرسم البياني وننظر في الخصائص الرئيسية للوظيفة. في نهاية الدرس، سوف نحل عدة مسائل بسيطة باستخدام الرسم البياني للدالة وخصائصها.
الموضوع: الدوال المثلثية
الدرس: الدالة y=sinx، خصائصها الأساسية ورسمها البياني
عند النظر في دالة، من المهم ربط كل قيمة وسيطة بقيمة دالة واحدة. هذا قانون المراسلاتويسمى وظيفة.
دعونا نحدد قانون المراسلات لـ .
أي رقم حقيقي يتوافق مع نقطة واحدة على دائرة الوحدة. النقطة لها إحداثي واحد، وهو ما يسمى جيب الرقم (الشكل 1).
ترتبط كل قيمة وسيطة بقيمة دالة واحدة.
خصائص واضحة تتبع من تعريف الجيب.
ويبين الشكل ذلك 
لأن هو إحداثية نقطة على دائرة الوحدة.
النظر في الرسم البياني للوظيفة. دعونا نتذكر التفسير الهندسي للحجة. الحجة هي الزاوية المركزية، وتقاس بالراديان. على طول المحور، سنرسم الأعداد الحقيقية أو الزوايا بالراديان، على طول المحور القيم المقابلة للدالة.
على سبيل المثال، زاوية على دائرة الوحدة تقابل نقطة على الرسم البياني (الشكل 2)
لقد حصلنا على رسم بياني للدالة في المنطقة ولكن بمعرفة فترة الجيب، يمكننا تصوير الرسم البياني للدالة على كامل مجال التعريف (الشكل 3).
الفترة الرئيسية للدالة هي وهذا يعني أنه يمكن الحصول على الرسم البياني على مقطع ثم يستمر في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله.
النظر في خصائص الوظيفة:
1) نطاق التعريف:
2) نطاق القيم: 
3) الدالة الفردية:
4) أصغر فترة إيجابية:
5) إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني مع محور الإحداثي: 
6) إحداثيات نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور الإحداثي:
7) الفترات التي تأخذ فيها الدالة قيمًا موجبة:
8) الفترات التي تأخذ فيها الدالة قيمًا سالبة:
9) زيادة الفترات:
10) تناقص الفترات:
11) الحد الأدنى من النقاط: 
12) الحد الأدنى من الوظائف:
13) الحد الأقصى للنقاط: 
14) الحد الأقصى للوظائف:
لقد نظرنا إلى خصائص الوظيفة ورسمها البياني. سيتم استخدام الخصائص بشكل متكرر عند حل المشكلات.
مراجع
1. الجبر وبداية التحليل الصف العاشر (في جزأين). كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام (مستوى الملف الشخصي)، أد. ايه جي موردكوفيتش. -م: منيموسين، 2009.
2. الجبر وبداية التحليل الصف العاشر (في جزأين). كتاب المشكلات للمؤسسات التعليمية (المستوى الشخصي)، أد. ايه جي موردكوفيتش. -م: منيموسين، 2007.
3. فيلينكين إن.يا.، إيفاشيف-موساتوف أو.إس.، شفارتسبورد إس.آي. الجبر والتحليل الرياضي للصف العاشر (كتاب مدرسي لطلاب المدارس والفصول الدراسية مع دراسة متعمقة للرياضيات - م: بروسفيشتشيني، 1996).
4. جاليتسكي إم إل، موشكوفيتش إم إم، شفارتسبورد إس آي. دراسة معمقة للجبر والتحليل الرياضي.-م.: التربية، 1997.
5. مجموعة من المسائل في الرياضيات للمتقدمين إلى مؤسسات التعليم العالي (تحرير M.I. Skanavi - M.: المدرسة العليا، 1992).
6. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. محاكاة جبرية.-ك.: A.S.K.، 1997.
7. ساهاكيان إس إم، جولدمان إيه إم، دينيسوف دي في مشاكل في الجبر ومبادئ التحليل (دليل للطلاب في الصفوف 10-11 من مؤسسات التعليم العام - م: بروسفيشتشيني، 2003).
8. كارب أ.ب. مجموعة من المشاكل في الجبر ومبادئ التحليل: كتاب مدرسي. بدل للصفوف 10-11. مع العمق درس الرياضيات.-م: التعليم، 2006.
العمل في المنزل
الجبر وبداية التحليل الصف العاشر (في جزأين). كتاب المشكلات للمؤسسات التعليمية (المستوى الشخصي)، أد.
ايه جي موردكوفيتش. -م: منيموسين، 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
موارد الويب الإضافية
3. البوابة التعليمية للتحضير للامتحان ().
وظيفةذ = خطيئةس
الرسم البياني للوظيفة هو الجيوب الأنفية.
يُطلق على الجزء الكامل غير المتكرر من الموجة الجيبية اسم الموجة الجيبية.
نصف موجة جيبية تسمى نصف موجة جيبية (أو قوس).
خصائص الوظيفةذ =
خطيئةس:
3) هذه وظيفة غريبة. 4) هذه دالة مستمرة.
6) على الجزء [-π/2؛ π/2] تزداد الدالة على الفاصل الزمني [π/2; 3π/2] – يتناقص. 7) على فترات تأخذ الدالة قيمًا موجبة. 8) فترات زيادة الوظيفة: [-π/2 + 2πn؛ π/2 + 2πن]. 9) الحد الأدنى من نقاط الدالة: -π/2 + 2πn. |
لرسم دالة ذ= خطيئة سمن الملائم استخدام المقاييس التالية:
على ورقة بها مربع، نأخذ طول مربعين كوحدة قطعة.
على المحور سدعونا نقيس الطول π. في الوقت نفسه، للراحة، نقدم 3.14 في شكل 3 - أي بدون كسر. ثم على قطعة من الورق في الخلية π سيكون هناك 6 خلايا (ثلاث مرات خليتين). وستحصل كل خلية على اسمها الطبيعي (من الأول إلى السادس): π/6، π/3، π/2، 2π/3، 5π/6، π. هذه هي المعاني س.
على المحور الصادي نحدد الرقم 1، الذي يتضمن خليتين.
لنقم بإنشاء جدول قيم الوظائف باستخدام قيمنا س:
√3 | √3 |
بعد ذلك سوف نقوم بإنشاء جدول زمني. والنتيجة هي نصف موجة أعلى نقطة فيها هي (π/2; 1). هذا هو الرسم البياني للوظيفة ذ= خطيئة سعلى الجزء. دعونا نضيف نصف موجة متماثلة إلى الرسم البياني الذي تم إنشاؤه (متماثل بالنسبة إلى الأصل، أي على المقطع -π). قمة نصف الموجة هذه تقع تحت المحور السيني بإحداثيات (-1؛ -1). وستكون النتيجة موجة. هذا هو الرسم البياني للوظيفة ذ= خطيئة سعلى الجزء [-π؛ π].
يمكنك متابعة الموجة من خلال بنائها على القطعة [π; 3π]، [π؛ 5π]، [π؛ 7π]، الخ. في كل هذه المقاطع، سيبدو الرسم البياني للدالة كما هو الحال في القطعة [-π; π]. سوف تحصل على خط متموج مستمر مع موجات متطابقة.
وظيفةذ = كوسس.
الرسم البياني للدالة عبارة عن موجة جيبية (تسمى أحيانًا موجة جيب التمام).
خصائص الوظيفةذ = كوسس:
1) مجال تعريف الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية. 2) نطاق قيم الوظائف هو المقطع [-1؛ 1] 3) هذه دالة زوجية. 4) هذه دالة مستمرة. 5) إحداثيات نقاط التقاطع في الرسم البياني: 6) على المقطع تنخفض الدالة، على المقطع [π؛ 2π] - الزيادات. 7) على فترات [-π/2 + 2πn؛ تأخذ الدالة π/2 + 2πn] قيمًا موجبة. 8) زيادة الفواصل الزمنية: [-π + 2πn؛ 2πn]. 9) الحد الأدنى من نقاط الدالة: π + 2πn. 10) الوظيفة محدودة من فوق ومن تحت. أصغر قيمة للدالة هي -1، 11) هذه دالة دورية بدورة 2π (T = 2π) |
وظيفةذ = مف(س).
لنأخذ الوظيفة السابقة ذ=cos س. كما تعلمون بالفعل، فإن الرسم البياني لها هو موجة جيبية. إذا ضربنا جيب تمام هذه الوظيفة بعدد معين م، فسوف تتوسع الموجة من المحور س(أو سوف يتقلص، اعتمادا على قيمة م).
ستكون هذه الموجة الجديدة هي الرسم البياني للدالة y = mf(x)، حيث m هو أي رقم حقيقي.
وبالتالي، فإن الدالة y = mf(x) هي الوظيفة المألوفة y = f(x) مضروبة في m.
لوم< 1, то синусоида сжимается к оси سبواسطة المعاملم. لوم > 1، ثم يتم تمديد الجيوب الأنفية من المحورسبواسطة المعاملم.
عند إجراء التمدد أو الضغط، يمكنك أولاً رسم نصف موجة واحدة فقط من الموجة الجيبية، ثم إكمال الرسم البياني بأكمله.
وظيفةص= و(kx).
إذا كانت الوظيفة ص=مف(س) يؤدي إلى تمدد الجيوب الأنفية من المحور سأو ضغط نحو المحور سفإن الدالة y = f(kx) تؤدي إلى التمدد من المحور ذأو ضغط نحو المحور ذ.
علاوة على ذلك، k هو أي عدد حقيقي.
عند 0< ك< 1 синусоида растягивается от оси ذبواسطة المعاملك. لوk > 1، ثم يتم ضغط الجيب باتجاه المحورذبواسطة المعاملك.
عند رسم رسم بياني لهذه الدالة، يمكنك أولاً إنشاء نصف موجة من موجة جيبية، ثم استخدامها لإكمال الرسم البياني بأكمله.
وظيفةذ = tgس.
الرسم البياني الوظيفي ذ= تيراغرام سهو الظل.
يكفي إنشاء جزء من الرسم البياني في الفترة من 0 إلى π/2، وبعد ذلك يمكنك الاستمرار بشكل متماثل في الفترة من 0 إلى 3π/2.
خصائص الوظيفةذ = tgس:
وظيفةذ = ctgس
الرسم البياني الوظيفي ذ=ctg سوهو أيضًا مماسي (يُطلق عليه أحيانًا اسم المماس).
خصائص الوظيفةذ = ctgس:
درس وعرض حول موضوع: "الدالة y=sin(x). تعريفاتها وخصائصها"
مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.
الأدلة وأجهزة المحاكاة في متجر Integral عبر الإنترنت للصف العاشر من 1C
نحن نحل المشاكل في الهندسة. مهام البناء التفاعلية للصفوف 7-10
بيئة البرمجيات "1C: منشئ رياضي 6.1"
ما سوف ندرسه :
- خصائص الدالة Y=sin(X).
- الرسم البياني الوظيفي.
- كيفية بناء الرسم البياني وحجمه.
- أمثلة.
خصائص الجيب. ص = الخطيئة (X)
يا رفاق، لقد تعرفنا بالفعل على الدوال المثلثية للحجة العددية. هل تتذكرهم؟
دعونا نلقي نظرة فاحصة على الدالة Y=sin(X)
دعونا نكتب بعض خصائص هذه الوظيفة:
1) مجال التعريف هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
2) الدالة غريبة. دعونا نتذكر تعريف الدالة الفردية. تسمى الدالة فردية إذا كانت المساواة: y(-x)=-y(x). كما نتذكر من الصيغ الشبحية: الخطيئة(-x)=-الخطيئة(x). تم استيفاء التعريف، مما يعني أن Y=sin(X) هي دالة فردية.
3) الدالة Y=sin(X) تزداد على المقطع وتتناقص على المقطع [π/2; π]. عندما نتحرك على طول الربع الأول (عكس اتجاه عقارب الساعة)، يزداد الإحداثي، وعندما نتحرك خلال الربع الثاني، فإنه يتناقص.
4) الدالة Y=sin(X) محدودة من الأسفل ومن الأعلى. هذه الخاصية تأتي من حقيقة ذلك
-1 ≥ الخطيئة(X) ≥ 1
5) أصغر قيمة للدالة هي -1 (عند x = - π/2+ πk). أكبر قيمة للدالة هي 1 (عند x = π/2+ πk).
دعونا نستخدم الخصائص 1-5 لرسم الدالة Y=sin(X). سنقوم ببناء الرسم البياني الخاص بنا بشكل تسلسلي، مع تطبيق خصائصنا. لنبدأ في إنشاء رسم بياني للقطعة.
ينبغي إيلاء اهتمام خاص للمقياس. على المحور الإحداثي يكون أكثر ملاءمة لأخذ قطعة وحدة تساوي خليتين، وعلى محور الإحداثي المحوري يكون أكثر ملاءمة لأخذ قطعة وحدة (خليتين) تساوي π/3 (انظر الشكل).
_2.png)
رسم دالة الجيب x، y=sin(x)
لنحسب قيم الوظيفة في الجزء الخاص بنا:
_3.png)
دعونا نبني رسمًا بيانيًا باستخدام نقاطنا، مع مراعاة الخاصية الثالثة.
_4.png)
جدول التحويل لصيغ الأشباح
لنستخدم الخاصية الثانية، التي تنص على أن الدالة فردية، مما يعني أنها يمكن أن تنعكس بشكل متماثل بالنسبة إلى نقطة الأصل:
_5.png)
نحن نعلم أن الخطيئة (س+ 2π) = الخطيئة (س). وهذا يعني أنه على المقطع [- π؛ π] يبدو الرسم البياني كما هو في المقطع [π; 3π] أو [-3π؛ - π] وهكذا. كل ما علينا فعله هو إعادة رسم الرسم البياني في الشكل السابق بعناية على طول المحور السيني بأكمله.
_6.png)
الرسم البياني للدالة Y=sin(X) يسمى الجيوب الأنفية.
دعنا نكتب بعض الخصائص الإضافية وفقًا للرسم البياني الذي تم إنشاؤه:
6) الدالة Y=sin(X) تزداد على أي جزء من النموذج: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k هو عدد صحيح ويتناقص على أي جزء من النموذج: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk]، k – عدد صحيح.
7) الدالة Y=sin(X) هي دالة مستمرة. دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني للدالة ونتأكد من أن الدالة لا تحتوي على فواصل، وهذا يعني الاستمرارية.
8) نطاق القيم: الجزء [- 1؛ 1]. وهذا واضح أيضًا من الرسم البياني للوظيفة.
9) الدالة Y=sin(X) - الدالة الدورية. دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني مرة أخرى ونرى أن الدالة تأخذ نفس القيم على فترات زمنية معينة.
أمثلة على المشاكل مع الجيب
1. حل المعادلة sin(x)= x-π
الحل: لنقم ببناء رسمين بيانيين للدالة: y=sin(x) وy=x-π (انظر الشكل).
تتقاطع رسومنا البيانية عند نقطة واحدة A(π;0)، وهذه هي الإجابة: x = π
_7.png)
2. ارسم بيانيًا الدالة y=sin(π/6+x)-1
الحل: سيتم الحصول على الرسم البياني المطلوب عن طريق تحريك الرسم البياني للدالة y=sin(x) π/6 وحدات إلى اليسار ووحدة واحدة لأسفل.
_8.png)
الحل: لنرسم الدالة ونفكر في القطعة [π/2; 5π/4].
يوضح الرسم البياني للدالة أن القيم الأكبر والأصغر يتم تحقيقها في نهايات المقطع عند النقطتين π/2 و5π/4 على التوالي.
الإجابة: sin(π/2) = 1 – أكبر قيمة، sin(5π/4) = أصغر قيمة.
_9.png)
مشاكل جيبية لحل مستقل
- حل المعادلة: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- ارسم الدالة y=sin(π/3+x)-2
- ارسم الدالة y=sin(-2π/3+x)+1
- أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة y=sin(x) على القطعة
- أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة y=sin(x) على الفترة [- π/3; 5π/6]