نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي نصف ضلعها. كيفية العثور على نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث

خذ بعين الاعتبار دائرة منقوشة في مثلث (الشكل 302). تذكر أن مركزه O يقع عند تقاطع منصفات الزوايا الداخلية للمثلث. الأجزاء OA، OB، OC التي تربط O مع رؤوس المثلث ABC سوف تقسم المثلث إلى ثلاثة مثلثات:

أوب، بوس، الخدمية. ارتفاع كل من هذه المثلثات يساوي نصف القطر، وبالتالي سيتم التعبير عن مساحاتها على النحو التالي

مساحة المثلث S بأكمله تساوي مجموع هذه المناطق الثلاث:

أين هو نصف محيط المثلث. من هنا

نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي نسبة مساحة المثلث إلى نصف محيطه.

للحصول على صيغة لمحيط المثلث، نثبت الفرضية التالية.

نظرية أ: في أي مثلث، الضلع يساوي قطر الدائرة المحددة مضروبًا في جيب الزاوية المقابلة.

دليل. خذ بعين الاعتبار مثلثًا عشوائيًا ABC ودائرة محاطة حوله، ويُشار إلى نصف قطرها بالرمز R (الشكل 303). لتكن A الزاوية الحادة للمثلث. لنرسم نصف القطر OB وOS للدائرة ونسقط العمود OK من مركزها O إلى الجانب BC من المثلث. لاحظ أن الزاوية a للمثلث تقاس بنصف القوس BC، حيث تكون الزاوية BOC هي الزاوية المركزية. ومن هذا يتضح أن . لذلك، من المثلث القائم RNS نجد، أو، وهو ما نحتاج إلى إثباته.

الشكل المعطى. 303 والاستدلال يشير إلى حالة الزاوية الحادة في المثلث؛ سيكون من السهل إجراء البرهان في حالات الزوايا القائمة والمنفرجة (سيقوم القارئ بذلك بمفرده)، ولكن يمكنك استخدام نظرية الجيب (218.3). لأنه يجب أن يكون هناك حيث

نظرية الجيب مكتوبة أيضًا. استمارة

والمقارنة مع نموذج التدوين (218.3) يعطي ل

نصف قطر الدائرة المحددة يساوي نسبة حاصل ضرب أضلاع المثلث الثلاثة إلى مساحته الرباعية.

مهمة. ابحث عن أضلاع مثلث متساوي الساقين إذا كانت دائرته الداخلية ودائرته المحيطة بها أنصاف أقطار على التوالي

حل. لنكتب صيغًا تعبر عن أنصاف أقطار الدوائر المنقوشة والمحددة للمثلث:

بالنسبة للمثلث متساوي الساقين الذي له ضلع وقاعدة، يتم التعبير عن المساحة بالصيغة

أو بتبسيط الكسر بعامل غير الصفر، لدينا

مما يؤدي إلى معادلة تربيعية فيما يتعلق بـ

له حلان:

بالتعويض بدلًا من تعبيرها في أي من المعادلات لـ أو R، سنجد أخيرًا إجابتين لمشكلتنا:

تمارين

1. ارتفاع المثلث القائم الزاوية المرسوم من رأس الزاوية القائمة، وتقسيم الوتر بنسبة أوجد نسبة كل من الأضلاع إلى الوتر.

2. قاعدتا شبه منحرف متساوي الساقين والمحاطة بدائرة تساوي a وb. العثور على نصف قطر الدائرة.

3. دائرتان تتلامسان خارجيًا. ويميل مماسهما المشتركان على خط المراكز بزاوية مقدارها 30 درجة. طول القطعة المماسية بين نقطتي المماستين ١٠٨ سم، أوجد نصف قطر الدائرة.

4. أرجل المثلث القائم الزاوية تساوي أ و ب. أوجد مساحة المثلث الذي أضلاعه هي الارتفاع والوسيط للمثلث المعطى المرسوم من رأس الزاوية القائمة، وقطعة الوتر بين نقطتي تقاطعهما مع الوتر.

5. أضلاع المثلث هي 13، 14، 15. أوجد إسقاط كل منها على الاثنين الآخرين.

6. أضلاع المثلث وارتفاعاته معروفة.

7. ضلعا المثلث والوسيط معروفان. أوجد الضلع الثالث للمثلث.

8. بالنظر إلى ضلعي مثلث والزاوية a بينهما: أوجد نصف قطر الدوائر المحيطية والمحددة.

9. أضلاع المثلث أ، ب، ج معروفة. وما هي القطع التي تقسم إليها نقاط تماس الدائرة المنقوشة مع أضلاع المثلث؟

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
إذا شاركت في سحب على جوائز أو مسابقة أو عروض ترويجية مماثلة، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

كيفية العثور على نصف قطر الدائرة؟ هذا السؤال مناسب دائمًا لأطفال المدارس الذين يدرسون قياس التخطيط. أدناه سننظر في عدة أمثلة لكيفية التعامل مع هذه المهمة.

اعتمادًا على ظروف المشكلة، يمكنك العثور على نصف قطر الدائرة بهذا الشكل.

الصيغة 1: R = L / 2π، حيث L هو وπ ثابت يساوي 3.141...

الصيغة 2: R = √(S / π)، حيث S هي مساحة الدائرة.

الصيغة 1: R = B/2، حيث B هو الوتر.

الصيغة 2: R = M*B، حيث B هو الوتر، وM هو الوسيط المرسوم عليه.

كيفية العثور على نصف قطر الدائرة إذا كانت محاطة بمضلع منتظم

الصيغة: R = A / (2 * sin (360/(2*n)))، حيث A هو طول أحد أضلاع الشكل، وn هو عدد الأضلاع في هذا الشكل الهندسي.

كيفية العثور على نصف قطر الدائرة المنقوشة

تسمى دائرة منقوشة عندما تمس جميع جوانب المضلع. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

الصيغة 1: R = S / (P/2)، حيث - S وP هما مساحة الشكل ومحيطه، على التوالي.

الصيغة 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2)، حيث P هو المحيط، A هو طول أحد الضلعين، وهي الزاوية المقابلة لهذا الضلع.

كيفية العثور على نصف قطر الدائرة إذا كانت مدرجة في مثلث قائم الزاوية

فورمولا 1:

نصف قطر الدائرة المدرج في المعين

يمكن كتابة الدائرة بأي معين، متساوي الأضلاع وغير متساوي.

الصيغة 1: R = 2 * H، حيث H هو ارتفاع الشكل الهندسي.

الصيغة 2: R = S / (A*2)، حيث S هو و A هو طول ضلعه.

الصيغة 3: R = √((S * sin A)/4)، حيث S هي مساحة المعين، وsin A هو جيب الزاوية الحادة لهذا الشكل الهندسي.

الصيغة 4: R = B*G/(√(B² + G²)، حيث B وG هما أطوال أقطار الشكل الهندسي.

الصيغة 5: R = B*sin (A/2)، حيث B هي قطر المعين، وA هي الزاوية عند القمم التي تربط القطر.

نصف قطر الدائرة المدرج في المثلث

إذا أعطيت في بيان المشكلة أطوال جميع جوانب الشكل، فاحسب أولاً (P) ثم نصف المحيط (P):

P = A+B+C، حيث A، B، C هي أطوال أضلاع الشكل الهندسي.

الصيغة 1: R = √ ((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

وإذا كنت تعرف نفس الجوانب الثلاثة، فسيتم إعطاؤك واحدًا أيضًا، فيمكنك حساب نصف القطر المطلوب على النحو التالي.

الصيغة 2: ص = س * 2(أ + ب + ج)

الصيغة 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2)، حيث - n هو نصف محيط الشكل الهندسي.

الصيغة 4: R = (n - A) * tan (A/2)، حيث n هو نصف محيط المثلث، A هو أحد أضلاعه، وtg (A/2) هو ظل نصف الزاوية مقابل هذا الجانب.

وستساعدك الصيغة أدناه في العثور على نصف قطر الدائرة المدرج فيها

الصيغة 5: ر = أ * √3/6.

نصف قطر الدائرة المدرج في مثلث قائم الزاوية

إذا كانت المشكلة تعطي أطوال الساقين، وكذلك الوتر، فسيتم تحديد نصف قطر الدائرة المنقوشة على النحو التالي.

الصيغة 1: R = (A+B-C)/2، حيث A وB ساقان وC وتر.

في حالة حصولك على ساقين فقط، فقد حان الوقت لتذكر نظرية فيثاغورس من أجل العثور على الوتر واستخدام الصيغة المذكورة أعلاه.

ج = √(أ²+ب²).

نصف قطر الدائرة المدرج في مربع

الدائرة المدرجة في المربع تقسم جوانبها الأربعة إلى نصفين تمامًا عند نقاط الاتصال.

الصيغة 1: R = A/2، حيث A هو طول ضلع المربع.

الصيغة 2: R = S / (P/2)، حيث S وP هما مساحة ومحيط المربع، على التوالي.

أولا، دعونا نفهم الفرق بين الدائرة والدائرة. ولرؤية هذا الاختلاف، يكفي أن نفكر في ماهية كلا الرقمين. هذه هي عدد لا حصر له من النقاط على المستوى، وتقع على مسافة متساوية من نقطة مركزية واحدة. ولكن، إذا كانت الدائرة تتكون أيضًا من مساحة داخلية، فهي لا تنتمي إلى الدائرة. اتضح أن الدائرة عبارة عن دائرة تحدها (دائرة (ص))، وعدد لا يحصى من النقاط الموجودة داخل الدائرة.

بالنسبة لأي نقطة L تقع على الدائرة، تنطبق المساواة OL=R. (طول القطعة OL يساوي نصف قطر الدائرة).

القطعة التي تصل بين نقطتين على الدائرة هي وتر.

الوتر الذي يمر مباشرة بمركز الدائرة هو قطر الدائرةهذه الدائرة (د). يمكن حساب القطر باستخدام الصيغة: D=2R

محيطمحسوبة بالصيغة: C=2\pi R

مساحة الدائرة: S=\pi R^(2)

قوس الدائرةويسمى الجزء الذي يقع بين نقطتيه منه. تحدد هاتان النقطتان قوسين من الدائرة. يحتوي القرص المضغوط الوتر على قوسين: CMD وCLD. الحبال المتطابقة تقابل أقواسًا متساوية.

الزاوية المركزيةتسمى الزاوية التي تقع بين نصفي قطرين .

طول القوسيمكن العثور عليها باستخدام الصيغة:

استخدام مقياس الدرجة: القرص المضغوط = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
باستخدام قياس الراديان: CD = \alpha R

القطر المتعامد على الوتر يقسم الوتر والأقواس المنقبضة به إلى النصف.

إذا تقاطع الأوتار AB و CD للدائرة عند النقطة N، فإن منتجات شرائح الأوتار المفصولة بالنقطة N تكون متساوية مع بعضها البعض.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

مماس لدائرة

مماس لدائرةمن المعتاد تسمية خط مستقيم له نقطة مشتركة مع الدائرة.

إذا كان الخط يحتوي على نقطتين مشتركتين، فإنه يسمى قاطع.

إذا قمت برسم نصف القطر إلى نقطة المماس، فسيكون عموديًا على مماس الدائرة.

لنرسم مماسين من هذه النقطة إلى دائرتنا. اتضح أن شرائح الظل ستكون متساوية، وسيكون مركز الدائرة موجودا على منصف الزاوية مع قمة الرأس عند هذه النقطة.

أس = سي بي

والآن لنرسم مماسًا وقاطعًا للدائرة من النقطة التي لدينا. نحصل على أن مربع طول القطعة المماسية سيكون مساويًا لمنتج القطعة القاطعة بأكملها وجزءها الخارجي.

AC^(2) = CD \cdot BC

يمكننا أن نستنتج: منتج قطعة كاملة من القاطع الأول وجزءه الخارجي يساوي منتج قطعة كاملة من القاطع الثاني وجزءه الخارجي.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

زوايا في دائرة

إن قياسات درجات الزاوية المركزية والقوس الذي تقع عليه متساوية.

\زاوية COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

زاوية مكتوبةهي الزاوية التي رأسها على دائرة، وجوانبها تحتوي على أوتار.

ويمكنك حسابه بمعرفة حجم القوس، فهو يساوي نصف هذا القوس.

\زاوية AOB = 2 \زاوية ADB

بناءً على القطر، الزاوية المحيطية، الزاوية القائمة.

\زاوية CBD = \زاوية CED = \زاوية CAD = 90^ (\circ)

الزوايا المحيطية التي لها نفس القوس متطابقة.

الزوايا المحيطية المرتكزة على وتر واحد متطابقة أو مجموعها يساوي 180^ (\circ) .

\زاوية ADB + \زاوية AKB = 180^ (\circ)

\زاوية ADB = \زاوية AEB = \زاوية AFB

على نفس الدائرة توجد رؤوس المثلثات ذات الزوايا المتطابقة وقاعدة معينة.

الزاوية ذات الرأس داخل الدائرة وتقع بين وترين تساوي نصف مجموع القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة ضمن الزوايا المعطاة والرأسية.

\زاوية DMC = \زاوية ADM + \زاوية DAM = \frac(1)(2) \يسار (\cup DmC + \cup AlB \يمين)

الزاوية التي رأسها خارج الدائرة وتقع بين قاطعين تساوي نصف الفرق في القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة داخل الزاوية.

\زاوية M = \زاوية CBD - \زاوية ACB = \frac(1)(2) \يسار (\cup DmC - \cup AlB \يمين)

دائرة مكتوبة

دائرة مكتوبةهي دائرة مماسة لجوانب المضلع.

عند النقطة التي تتقاطع فيها منصفات زوايا المضلع يقع مركزه.

لا يجوز إدراج دائرة في كل مضلع.

تم العثور على مساحة المضلع الذي يحتوي على دائرة منقوشة بالصيغة:

س = العلاقات العامة،

p هو نصف محيط المضلع،

r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة.

ويترتب على ذلك أن نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي:

ص = \frac(S)(ع)

يكون مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة متماثلاً إذا كانت الدائرة مدرجة في شكل رباعي محدب. والعكس صحيح: تدخل الدائرة في شكل رباعي محدب إذا كان مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة متطابقًا.

أ ب + تيار مباشر = م + ق.م

من الممكن كتابة دائرة في أي من المثلثات. واحدة فقط . عند النقطة التي تتقاطع فيها منصفات الزوايا الداخلية للشكل، يقع مركز هذه الدائرة المنقوشة.

يتم حساب نصف قطر الدائرة المنقوشة بالصيغة:

ص = \frac(S)(ع) ,

حيث p = \frac(a + b + c)(2)

دائرة حولها

إذا مرت دائرة عبر كل قمة من مضلع، فعادة ما تسمى هذه الدائرة وصف حول المضلع.

عند نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة لجوانب هذا الشكل سيكون مركز الدائرة المقيدة.

يمكن العثور على نصف القطر عن طريق حسابه على أنه نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث المحدد بواسطة أي رؤوس ثلاثية للمضلع.

هناك الشرط التالي: لا يمكن وصف الدائرة حول شكل رباعي إلا إذا كان مجموع الزوايا المقابلة لها يساوي 180^( \circ) .

\الزاوية A + \الزاوية C = \الزاوية B + \الزاوية D = 180^ (\circ)

حول أي مثلث يمكنك وصف دائرة، واحدة فقط. سيكون مركز هذه الدائرة عند النقطة التي تتقاطع فيها المنصفات المتعامدة لجوانب المثلث.

يمكن حساب نصف قطر الدائرة المحددة باستخدام الصيغ:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

أ، ب، ج هي أطوال أضلاع المثلث،

S هي مساحة المثلث.

نظرية بطليموس

وأخيرا، النظر في نظرية بطليموس.

تنص نظرية بطليموس على أن حاصل ضرب الأقطار يساوي مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي الدائري.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD