في الفصل الخامس، أدخلنا في الاعتبار الخصائص العددية لمتغير عشوائي واحد - العزوم الأولية والمركزية لمختلف الطلبات. ومن بين هذه الخصائص، هناك اثنتان هما الأكثر أهمية: التوقع الرياضي والتشتت.

يمكن تقديم خصائص عددية مماثلة - اللحظات الأولية والمركزية لأوامر مختلفة - لنظام مكون من متغيرين عشوائيين.

اللحظة الأولية لترتيب النظام هي التوقع الرياضي للمنتج عن طريق:

. (8.6.1)

اللحظة المركزية لترتيب النظام هي التوقع الرياضي لمنتج القوى th وth للكميات المركزية المقابلة:

, (8.6.2)

دعونا نكتب الصيغ المستخدمة لحساب اللحظات مباشرة. للمتغيرات العشوائية المتقطعة

, (8.6.3)

, (8.6.4)

أين - احتمال أن يأخذ النظام القيم، وأن يمتد الجمع إلى جميع القيم الممكنة للمتغيرات العشوائية.

للمتغيرات العشوائية المستمرة:

, (8.6.5)

, (8.6.6)

أين هي كثافة التوزيع للنظام.

بالإضافة إلى و، التي تميز ترتيب اللحظة فيما يتعلق بالكميات الفردية، يتم أيضًا أخذ الترتيب الإجمالي للحظة في الاعتبار، وهو ما يساوي مجموع أسس و . وفقًا للترتيب الإجمالي، يتم تصنيف اللحظات إلى أولى وثانية وما إلى ذلك. ومن الناحية العملية، عادةً ما يتم استخدام اللحظات الأولى والثانية فقط.

تمثل اللحظات الأولية الأولى التوقعات الرياضية المعروفة بالفعل للكميات والمدرجة في النظام:

مجموعة التوقعات الرياضية هي سمة من سمات موقف النظام. هندسيًا، هذه هي إحداثيات نقطة المنتصف على المستوى الذي تنتشر حوله النقطة.

بالإضافة إلى اللحظات الأولية الأولى، يتم أيضًا استخدام اللحظات المركزية الثانية للنظام على نطاق واسع في الممارسة العملية. اثنان منهم يمثلان تشتت الكميات و معروفين لنا بالفعل:

توصيف تشتت نقطة عشوائية في اتجاه المحاور.

تلعب اللحظة المركزية المختلطة الثانية دورًا خاصًا كخاصية للنظام:

,

أولئك. التوقع الرياضي لمنتج الكميات المتمركزة.

ونظرًا لأن هذه اللحظة تلعب دورًا مهمًا في النظرية، فإننا نقدم لها تدوينًا خاصًا:

. (8.6.7)

تسمى الخاصية لحظة الارتباط (وإلا "لحظة الاتصال") للمتغيرات العشوائية.

بالنسبة للمتغيرات العشوائية المتقطعة، يتم التعبير عن لحظة الارتباط بواسطة الصيغة

, (8.6.8)

وللمستمرة - بالصيغة

. (8.6.9)

دعونا نتعرف على معنى هذه الخاصية والغرض منها.

لحظة الارتباط هي إحدى خصائص نظام المتغيرات العشوائية التي تصف، بالإضافة إلى تشتت المتغيرات، وكذلك الارتباط بينها. وللتحقق من ذلك، دعونا نثبت أن عزم الارتباط للمتغيرات العشوائية المستقلة يساوي الصفر.

سنقوم بإجراء البرهان للمتغيرات العشوائية المستمرة. لتكن كميات مستمرة مستقلة ذات كثافة توزيعية. وفي 8.5 أثبتنا ذلك بالنسبة للكميات المستقلة

. (8.6.10)

حيث هي كثافات التوزيع للقيم و على التوالي.

باستبدال التعبير (8.6.10) في الصيغة (8.6.9)، نرى أن التكامل (8.6.9) يتحول إلى حاصل ضرب تكاملين:

.

أساسي

لا يمثل شيئًا أكثر من اللحظة المركزية الأولى للكمية، وبالتالي فهو يساوي الصفر؛ ولنفس السبب فإن العامل الثاني هو أيضًا صفر؛ وبالتالي للمتغيرات العشوائية المستقلة.

وبالتالي، إذا كانت لحظة الارتباط بين متغيرين عشوائيين مختلفة عن الصفر، فهذه علامة على وجود الاعتماد بينهما.

من الصيغة (8.6.7) يتضح أن لحظة الارتباط لا تميز فقط اعتماد الكميات، ولكن أيضًا تشتتها. في الواقع، على سبيل المثال، إذا انحرفت إحدى الكميات قليلًا جدًا عن توقعاتها الرياضية (ليست عشوائية تقريبًا)، فستكون لحظة الارتباط صغيرة، بغض النظر عن مدى ارتباط الكميات ارتباطًا وثيقًا. ولذلك، لتوصيف العلاقة بين الكميات في صورتها النقية، ننتقل من اللحظة إلى الخاصية التي لا أبعاد لها

حيث هي الانحرافات المعيارية للقيم. وتسمى هذه الخاصية معامل ارتباط الكميات و. ومن الواضح أن معامل الارتباط يذهب إلى الصفر في وقت واحد مع لحظة الارتباط؛ ولذلك، بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستقلة فإن معامل الارتباط هو صفر.

تسمى المتغيرات العشوائية التي تكون لحظة الارتباط (وبالتالي معامل الارتباط) مساوية للصفر غير مرتبطة (أحيانًا "غير مرتبطة").

دعونا نكتشف ما إذا كان مفهوم المتغيرات العشوائية غير المترابطة يعادل مفهوم الاستقلال. لقد أثبتنا أعلاه أن متغيرين عشوائيين مستقلين غير مرتبطين دائمًا. ويبقى أن نرى: هل العكس صحيح، وهل استقلالها ينبع من عدم ارتباط الكميات؟ اتضح - لا. من الممكن بناء أمثلة على هذه المتغيرات العشوائية غير المترابطة ولكنها تابعة. إن مساواة معامل الارتباط بالصفر شرط ضروري ولكنه غير كاف لاستقلال المتغيرات العشوائية. ويعني استقلال المتغيرات العشوائية أنها غير مترابطة؛ على العكس من ذلك، فإن حقيقة أن الكميات غير مترابطة لا تعني بالضرورة أنها مستقلة. إن شرط استقلال المتغيرات العشوائية أكثر صرامة من شرط عدم الارتباط.

دعونا نرى هذا مع مثال. لنفكر في نظام من المتغيرات العشوائية الموزعة بكثافة موحدة داخل دائرة نصف قطرها مركز عند نقطة الأصل (الشكل 8.6.1).

يتم التعبير عن كثافة توزيع الكميات بالصيغة

من الشرط نجد .

من السهل أن نرى أن الكميات في هذا المثال تعتمد على بعضها البعض. في الواقع، من الواضح على الفور أنه إذا أخذت الكمية، على سبيل المثال، القيمة 0، فيمكن للكمية باحتمال متساو أن تأخذ جميع القيم من إلى؛ إذا اتخذت الكمية قيمة، فإن الكمية يمكن أن تأخذ قيمة واحدة فقط، تساوي تمامًا الصفر؛ بشكل عام، يعتمد نطاق القيم المحتملة على القيمة.

دعونا نرى ما إذا كانت هذه الكميات مترابطة. دعونا نحسب لحظة الارتباط. مع الأخذ في الاعتبار أنه لأسباب التناظر نحصل على:

. (8.6.12)

لحساب التكامل، نقوم بتقسيم مساحة التكامل (الدائرة) إلى أربعة قطاعات تقابل أربع زوايا إحداثية. في القطاعات والتكامل إيجابي، في القطاعات وهو سلبي؛ وفي القيمة المطلقة، تكون تكاملات هذه القطاعات متساوية؛ وبالتالي فإن التكامل (8.6.12) يساوي صفرًا، والكميات غير مرتبطة.

وهكذا نرى أن الطبيعة غير المترابطة للمتغيرات العشوائية لا تعني دائمًا استقلالها.

معامل الارتباط لا يميز أي اعتماد، ولكن فقط ما يسمى بالاعتماد الخطي. الاعتماد الاحتمالي الخطي للمتغيرات العشوائية هو أنه عندما يزيد متغير عشوائي واحد، يميل الآخر إلى الزيادة (أو النقصان) وفقا للقانون الخطي. يمكن أن يكون هذا الميل نحو الاعتماد الخطي أكثر أو أقل وضوحًا، ويقترب أكثر أو أقل من الاعتماد الوظيفي، أي أقرب اعتماد خطي. يصف معامل الارتباط درجة تقارب العلاقة الخطية بين المتغيرات العشوائية. إذا كانت المتغيرات العشوائية مرتبطة بعلاقة وظيفية خطية دقيقة:

ثم، وتؤخذ إشارة "الزائد" أو "الناقص" حسب ما إذا كان المعامل موجبًا أم سالبًا. في الحالة العامة، عندما تكون الكميات مرتبطة باعتماد احتمالي تعسفي، يمكن أن يكون لمعامل الارتباط قيمة ضمن الحدود التالية: يتغير نطاق التغيير فقط، ولا تتغير قيمته المتوسطة؛ وبطبيعة الحال، تبين أن الكميات غير مترابطة.

أرز. 8.6.2 الشكل 8.6.3

دعونا نعطي عدة أمثلة للمتغيرات العشوائية ذات الارتباط الإيجابي والسلبي.

1. يرتبط وزن الشخص وطوله بشكل إيجابي.

2. يرتبط الوقت المستغرق في ضبط الجهاز استعدادًا للتشغيل ووقت تشغيله الخالي من المشاكل بارتباط إيجابي (إذا تم قضاء الوقت بحكمة بالطبع). على العكس من ذلك، فإن الوقت المستغرق في التحضير وعدد الأخطاء المكتشفة أثناء تشغيل الجهاز يرتبطان بشكل سلبي.

3. عند إطلاق النار، ترتبط إحداثيات نقاط تأثير المقذوفات الفردية بعلاقة إيجابية (نظرًا لوجود أخطاء تصويب شائعة في جميع الطلقات، والتي تنحرف كل واحدة منها عن الهدف بالتساوي).

4. إطلاق طلقتين على الهدف؛ يتم تسجيل نقطة تأثير الطلقة الأولى، ويتم إدخال تصحيح في البصر يتناسب مع خطأ الطلقة الأولى مع الإشارة المعاكسة. سيتم ربط إحداثيات نقاط التأثير للطلقتين الأولى والثانية بشكل سلبي.

إذا كانت لدينا نتائج عدد من التجارب على نظام من المتغيرات العشوائية تحت تصرفنا، فيمكن بسهولة الحكم على وجود أو عدم وجود ارتباط كبير بينها من خلال التقريب الأول من خلال رسم بياني تظهر عليه جميع أزواج قيم المتغيرات العشوائية. يتم الحصول عليها من التجربة على شكل نقاط. على سبيل المثال، إذا كانت أزواج قيم الكمية المرصودة موجودة كما هو موضح في الشكل. 8.6.2 فهذا يدل على وجود ارتباط إيجابي واضح بين الكميات. ويلاحظ في الشكل 1 وجود علاقة إيجابية أكثر وضوحًا، قريبة من الاعتماد الوظيفي الخطي. 8.6.3. في التين. يوضح الشكل 8.6.4 حالة الارتباط السلبي الضعيف نسبيًا. وأخيرا، في الشكل. 8.6.5 يوضح حالة المتغيرات العشوائية غير المترابطة عمليا. من الناحية العملية، قبل فحص الارتباط بين المتغيرات العشوائية، من المفيد دائمًا رسم أزواج القيم المرصودة أولاً على الرسم البياني لإصدار حكم نوعي أول حول نوع الارتباط.

اللجنة الحكومية للعلوم والتكنولوجيا بجمهورية أذربيجان

مركز باكو للأبحاث والتدريب

طالب دراسات عليا في قسم جراحة الأطفال

AMU سميت على اسم N. ناريمانوف

موختاروفا إميل جاسان بشعة

لحظات الارتباط. معامل الارتباط

مقدمة

نظرية الاحتمالات هو علم رياضي يدرس الأنماط في الظواهر العشوائية.

ما المقصود بالظواهر العشوائية؟

في الدراسة العلمية للمشاكل الفيزيائية والتقنية، غالبا ما يواجه المرء ظواهر من نوع خاص، والتي تسمى عادة عشوائية. ظاهرة عشوائية- هذه ظاهرة أنه عندما يتم إعادة إنتاج نفس التجربة بشكل متكرر، فإنها تستمر بشكل مختلف إلى حد ما.

دعونا نعطي مثالا على ظاهرة عشوائية.

يتم وزن نفس الجسم عدة مرات على الميزان التحليلي: نتائج الوزن المتكرر تختلف بعض الشيء عن بعضها البعض. وترجع هذه الاختلافات إلى تأثير العوامل الثانوية المختلفة المصاحبة لعملية الوزن، مثل الاهتزازات العشوائية للمعدات، والأخطاء في قراءة الجهاز، وما إلى ذلك.

من الواضح أنه لا توجد ظاهرة فيزيائية واحدة في الطبيعة لا تتواجد فيها عناصر العشوائية بدرجة أو بأخرى. بغض النظر عن مدى دقة وتفصيل شروط التجربة، فمن المستحيل التأكد من تطابق النتائج بشكل كامل ودقيق عند تكرار التجربة.

الحوادث تصاحب حتما أي ظاهرة طبيعية. ومع ذلك، في عدد من المسائل العملية يمكن إهمال هذه العناصر العشوائية، معتبرا مخططها المبسط بدلا من ظاهرة حقيقية، أي. نموذج، وبافتراض أنه في ظل الظروف التجريبية المعطاة، تحدث هذه الظاهرة بطريقة محددة للغاية. في الوقت نفسه، من بين عدد لا يحصى من العوامل التي تؤثر على هذه الظاهرة، تم تحديد العوامل الأكثر أهمية والأساسية والحاسمة. يتم ببساطة إهمال تأثير العوامل الثانوية الأخرى. عند دراسة الأنماط في إطار نظرية معينة، يتم تضمين العوامل الرئيسية المؤثرة على ظاهرة معينة في المفاهيم أو التعريفات التي تعمل بها النظرية المعنية.

مثل أي علم يقوم بتطوير نظرية عامة لأي مجموعة من الظواهر، تحتوي نظرية الاحتمالات أيضًا على عدد من المفاهيم الأساسية التي تعتمد عليها. وبطبيعة الحال، لا يمكن تعريف جميع المفاهيم الأساسية بدقة، لأن تحديد مفهوم يعني اختزاله إلى مفاهيم أخرى أكثر شهرة. يجب أن تكون هذه العملية محدودة وتنتهي بالمفاهيم الأساسية التي يتم شرحها فقط.

أحد المفاهيم الأولى في نظرية الاحتمالات هو مفهوم الحدث.

تحت حدثيتم فهم أي حقيقة قد تحدث أو لا تحدث نتيجة للتجربة.

دعونا نعطي أمثلة على الأحداث.

أ- ولادة ولد أو بنت؛

ب - اختيار واحد أو آخر من الافتتاح في لعبة الشطرنج؛

ج - الانتماء إلى علامة زودياك أو أخرى.

بالنظر إلى الأحداث المذكورة أعلاه، نرى أن كل واحد منها لديه درجة معينة من الاحتمال: بعضها أكبر والبعض الآخر أقل. ومن أجل المقارنة الكمية بين الأحداث مع بعضها البعض حسب درجة احتماليتها، فمن الواضح أنه من الضروري ربط عدد معين بكل حدث، وكلما كان الحدث أكبر كلما كان الحدث أكثر احتمالا. ويسمى هذا الرقم احتمال وقوع حدث. وبالتالي، فإن احتمال وقوع حدث ما هو خاصية عددية لدرجة الاحتمال الموضوعي للحدث.

تؤخذ وحدة الاحتمال على أنها احتمالية حدث موثوق به تساوي 1، ويكون نطاق التغيرات في احتمالات أي أحداث هو رقم من 0 إلى 1.

يُشار إلى الاحتمال عادةً بالحرف P.

دعونا نلقي نظرة على مثال المشكلة الأبدية لهاملت شكسبير "أكون أو لا أكون؟" كيف يمكنك تحديد احتمالية وقوع حدث ما؟

من الواضح تمامًا أن الشخص والموضوع وأي ظاهرة أخرى يمكن أن يكون في إحدى الحالتين وليس أكثر: الحضور ("أن يكون") والغياب ("لا يكون"). أي أن هناك حدثين محتملين، ولكن يمكن أن يحدث حدث واحد فقط. وهذا يعني أن احتمال الوجود، على سبيل المثال، هو 1/2.

بالإضافة إلى مفهوم الحدث والاحتمال، أحد المفاهيم الرئيسية لنظرية الاحتمالات هو مفهوم المتغير العشوائي.

متغير عشوائي هي الكمية التي، نتيجة للتجربة، يمكن أن تأخذ قيمة أو أخرى، ولا يعرف مقدما أي منها.

يتم استدعاء المتغيرات العشوائية التي تأخذ فقط القيم المنفصلة عن بعضها البعض والتي يمكن إدراجها مسبقًا المتغيرات العشوائية المستمرة أو المنفصلة.

على سبيل المثال:

1. عدد المرضى الأحياء والمتوفين.

2. إجمالي عدد الأطفال من المرضى الذين دخلوا المستشفى بين عشية وضحاها.

تسمى المتغيرات العشوائية التي تملأ قيمها المحتملة فترة زمنية معينة بشكل مستمر المتغيرات العشوائية المستمرة

على سبيل المثال، خطأ في الوزن على الميزان التحليلي.

لاحظ أن نظرية الاحتمالات الحديثة تعمل في المقام الأول مع المتغيرات العشوائية، وليس الأحداث، التي اعتمدت عليها نظرية الاحتمالية "الكلاسيكية" بشكل أساسي.

لحظات الارتباط. معامل الارتباط.

لحظات الارتباط، معامل الارتباط - وهي خصائص عددية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمفهوم المتغير العشوائي الذي تم تقديمه أعلاه، أو بشكل أكثر دقة مع نظام المتغيرات العشوائية. ولذلك، للتعريف وتحديد معناها ودورها، لا بد من شرح مفهوم نظام المتغيرات العشوائية وبعض الخصائص الكامنة فيها.

يتم استدعاء اثنين أو أكثر من المتغيرات العشوائية التي تصف بعض الظواهر نظام أو مجمع من المتغيرات العشوائية.

نظام من عدة متغيرات عشوائية X، Y، Z، …، W يُشار إليه عادةً بـ (X، Y، Z، …، W).

على سبيل المثال، لا يتم وصف نقطة على المستوى بإحداثيات واحدة، بل بإحداثيتين، وفي الفضاء - حتى بثلاثة.

لا تقتصر خصائص النظام المكون من عدة متغيرات عشوائية على خصائص المتغيرات العشوائية الفردية المضمنة في النظام، ولكنها تشمل أيضًا الاتصالات المتبادلة (التبعيات) بين المتغيرات العشوائية. لذلك، عند دراسة نظام المتغيرات العشوائية، ينبغي الانتباه إلى طبيعة ودرجة الاعتماد. قد يكون هذا الاعتماد أكثر أو أقل وضوحا، أكثر أو أقل قريبة. وفي حالات أخرى، تكون المتغيرات العشوائية مستقلة عمليا.

يسمى المتغير العشوائي Y مستقلمن المتغير العشوائي X، إذا كان قانون توزيع المتغير العشوائي Y لا يعتمد على القيمة التي يأخذها المتغير X.

تجدر الإشارة إلى أن اعتماد واستقلال المتغيرات العشوائية هو دائمًا ظاهرة متبادلة: إذا كانت Y لا تعتمد على X، فإن القيمة X لا تعتمد على Y. وبأخذ ذلك في الاعتبار، يمكننا إعطاء التعريف التالي للاستقلال من المتغيرات العشوائية

تسمى المتغيرات العشوائية X و Y مستقلة إذا كان قانون التوزيع لكل منهما لا يعتمد على القيمة التي يأخذها الآخر. وبخلاف ذلك، يتم استدعاء الكميتين X وY متكل.

قانون التوزيع المتغير العشوائي هو أي علاقة تقيم علاقة بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها.

إن مفهوم "الاعتماد" على المتغيرات العشوائية، المستخدم في نظرية الاحتمالات، يختلف بعض الشيء عن مفهوم "الاعتماد" المعتاد على المتغيرات، والذي يستخدم في الرياضيات. وبالتالي، فإن عالم الرياضيات من خلال "الاعتماد" يعني نوعا واحدا فقط من الاعتماد - كامل، جامد، ما يسمى بالاعتماد الوظيفي. تسمى الكميتان X و Y معتمدتين وظيفيًا، إذا كنت تستطيع تحديد قيمة الأخرى بدقة، بمعرفة قيمة أحدهما.

في نظرية الاحتمالات، هناك نوع مختلف قليلاً من الاعتماد - الاعتماد الاحتمالي. إذا كانت القيمة Y مرتبطة بالقيمة X من خلال اعتماد احتمالي، فمن المستحيل، بمعرفة قيمة X، الإشارة بدقة إلى قيمة Y، ولكن يمكنك الإشارة إلى قانون التوزيع الخاص بها، اعتمادًا على القيمة التي تمتلكها القيمة X مأخوذ.

قد تكون العلاقة الاحتمالية قريبة إلى حد ما؛ وكلما زاد تقارب الاعتماد الاحتمالي، أصبح أقرب فأقرب إلى الاعتماد الوظيفي. وبالتالي، يمكن اعتبار الاعتماد الوظيفي حالة متطرفة ومحددة لأقرب الاعتماد الاحتمالي. الحالة المتطرفة الأخرى هي الاستقلال الكامل للمتغيرات العشوائية. وبين هاتين الحالتين المتطرفتين تكمن جميع تدرجات الاعتماد الاحتمالي - من الأقوى إلى الأضعف.

غالبًا ما يتم مواجهة الاعتماد الاحتمالي بين المتغيرات العشوائية في الممارسة العملية. إذا كان المتغيران العشوائيان X وY في علاقة احتمالية، فهذا لا يعني أنه مع تغير قيمة X، تتغير قيمة Y بطريقة محددة تمامًا؛ هذا يعني فقط أنه مع تغير قيمة X، فإن قيمة Y

يميل أيضًا إلى التغيير (زيادة أو نقصان مع زيادة X). ويلاحظ هذا الاتجاه فقط بعبارات عامة، وفي كل حالة على حدة، من الممكن حدوث انحرافات عنه.

أمثلة على الاعتماد الاحتمالي.

دعونا نختار مريضاً واحداً مصاباً بالتهاب الصفاق عشوائياً. المتغير العشوائي T هو الوقت من بداية المرض، المتغير العشوائي O هو مستوى الاضطرابات الاستتبابية. هناك علاقة واضحة بين هذه القيم، حيث أن قيمة T هي أحد أهم أسباب تحديد قيمة O.

في الوقت نفسه، هناك علاقة احتمالية أضعف بين المتغير العشوائي T والمتغير العشوائي M، مما يعكس الوفيات في مرض معين، لأن المتغير العشوائي، على الرغم من أنه يؤثر على المتغير العشوائي O، ليس هو المحدد الرئيسي.

علاوة على ذلك، إذا أخذنا في الاعتبار قيمة T وقيمة B (عمر الجراح)، فإن هذه القيم مستقلة عمليا.

لقد ناقشنا حتى الآن خصائص أنظمة المتغيرات العشوائية، مع إعطاء تفسير لفظي فقط. ولكن هناك خصائص عددية يتم من خلالها دراسة خصائص كل من المتغيرات العشوائية الفردية ونظام المتغيرات العشوائية.

لوصف نظام مكون من متغيرين عشوائيين، بالإضافة إلى التوقعات الرياضية وتباينات المكونات، يتم استخدام خصائص أخرى، والتي تشمل لحظة الارتباطو معامل الارتباط(مذكور بإيجاز في نهاية T.8.p.8.6) .

لحظة الارتباط(أو التغاير,أو لحظة الاتصال) متغيرين عشوائيين X و ي دعا مو. نتاج انحرافات هذه الكميات (انظر المساواة (5) البند 8.6):

النتيجة الطبيعية 1.بالنسبة إلى لحظة الارتباط r.v. X و يالمساواة التالية صالحة أيضًا:

,

حيث r.v المركزية المقابلة. X و ي (انظر البند 8.6).

في هذه الحالة: إذا
هو dsv ثنائي الأبعاد، ثم يتم حساب التباين بواسطة الصيغة

(8)
;

لو
هو n.s.v. ثنائي الأبعاد، ثم يتم حساب التباين بواسطة الصيغة

(9)

تم الحصول على الصيغتين (8) و(9) بناءً على الصيغتين (6) في البند 12.1. هناك صيغة حسابية

(10)

وهو مشتق من التعريف (9) وبناء على خصائص MO، في الواقع،

وبالتالي، يمكن إعادة كتابة الصيغتين (36) و(37) في النموذج

(11)
;

تعمل لحظة الارتباط على وصف العلاقة بين الكميات X و ي.

كما سيظهر أدناه، فإن لحظة الارتباط تساوي صفرًا Xو ي نكون مستقل؛

ولذلك، إذا كانت لحظة الارتباط لا تساوي الصفر، إذنXويهي المتغيرات العشوائية التابعة.

نظرية 12.1.لحظة الارتباط بين متغيرين عشوائيين مستقلينXوييساوي الصفر، أي. ل r.v المستقلة.Xوي,

دليل.لأن X و يالمتغيرات العشوائية المستقلة ثم انحرافاتها

و

تمستقلة أيضا. استخدام خصائص التوقع الرياضي (التوقع الرياضي لحاصل ضرب المتغيرات المستقلة يساوي حاصل ضرب التوقعات الرياضية للعوامل
,
، لهذا

تعليق.من هذه النظرية يترتب على ذلك أنه إذا
ثم ش. X و ي التابعة وفي مثل هذه الحالات r.v. X و يمُسَمًّى مترابطة. ومع ذلك، من حقيقة ذلك
لا يتبع الاستقلال r.v. X و ي.

في هذه الحالة (
سانت. X و يمُسَمًّى غير مرتبط,وهكذا يأتي من الاستقلال غير مترابطة; العبارة العكسية، بشكل عام، خاطئة (انظر المثال 2 أدناه).

دعونا ننظر في الخصائص الرئيسية للحظة الارتباط.

جخصائص التغاير:

1. التباين متماثل، أي.
.

وهذا يتبع مباشرة من الصيغة (38).

2. هناك مساواة: أي. تشتت r.v. هو تباينها مع نفسها.

هذه المساواة تتبع مباشرة من تعريف التشتت والمساواة (38)، على التوالي، ل

3. المساواة التالية صالحة:

هذه المساواة مستمدة من تعريف التباين والتباين المشترك لـ r.v.
و ، خصائص 2.

من خلال تعريف التشتت (مع الأخذ في الاعتبار مركزية r.v.
) لدينا

الآن، بناءً على (33) والخاصيتين 2 و3، حصلنا على الخاصية الأولى (مع علامة الجمع) 3.

وبالمثل، فإن الجزء الثاني من الخاصية 3 مشتق من المساواة

4. يترك
أرقام ثابتة،
ثم تكون المساواة صحيحة:

عادةً ما تسمى هذه الخصائص بخصائص التجانس والدورية من الدرجة الأولى في الوسائط.

دعونا نثبت المساواة الأولى، وسوف نستخدم خصائص m.o.
.

نظرية 12.2.قيمه مطلقهلحظة الارتباط بين متغيرين عشوائيين عشوائيينXويلا يتجاوز الوسط الهندسي لتبايناتها: أي.

دليل.لاحظ أنه بالنسبة للمركبات المستقلة r.v. ويستمر عدم المساواة (انظر النظرية 12.1). لذلك، دعونا ر.ف. X و ي متكل. دعونا نفكر في معيار r.v.
و
وحساب تشتت r.v.
مع الأخذ في الاعتبار الخاصية 3، لدينا: من ناحية
على الجانب الآخر

لذلك، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن
و - تطبيع (موحد) r.v.، ثم بالنسبة لهم mo.o. يساوي صفرًا، والتباين يساوي 1، وبالتالي باستخدام خاصية m.o.
نحن نحصل

وبالتالي، بناءً على حقيقة ذلك
نحن نحصل

ويترتب على ذلك أي.

=

وقد ثبت البيان.

ويترتب على تعريف وخصائص التغاير المشترك أنه يميز درجة اعتماد r.v وتشتتها حول نقطة ما
أبعاد التباين يساوي حاصل ضرب أبعاد المتغيرات العشوائية Xو ي. بمعنى آخر، يعتمد حجم لحظة الارتباط على وحدات قياس المتغيرات العشوائية. ولهذا السبب، لنفس الكميتين Xو ي, سيكون لحجم لحظة الارتباط قيم مختلفة اعتمادًا على الوحدات التي تم قياس القيم بها.

دعونا، على سبيل المثال، Xو ي تم قياسها بالسنتيمتر و
; إذا تم قياسها Xو ي بالملليمتر إذن
وهذه الخاصية الخاصة بعزم الارتباط هي من عيوب هذه الخاصية العددية، حيث أن المقارنة بين لحظات الارتباط للأنظمة المختلفة للمتغيرات العشوائية تصبح صعبة.

ومن أجل القضاء على هذا العيب، تم إدخال خاصية عددية جديدة - " معامل الارتباط».

معامل الارتباط
المتغيرات العشوائية
و تسمى نسبة لحظة الارتباط إلى منتج الانحرافات المعيارية لهذه الكميات:

(13)
.

منذ البعد
يساوي منتج أبعاد الكميات
و ,
له البعد من حيث الحجم
σ ذله البعد من حيث الحجم ، الذي - التي
هو مجرد رقم (أي " كمية بلا أبعاد"). وبالتالي فإن قيمة معامل الارتباط لا تعتمد على اختيار وحدات قياس r.v ميزةمعامل الارتباط قبل لحظة الارتباط.

في T.8. البند 8.3 قدمنا ​​هذا المفهوم تطبيعسانت.
الصيغة (18) وقد ثبت ذلك من الناحية النظرية
و
(انظر أيضًا النظرية 8.2). وهنا نثبت العبارة التالية.

نظرية 12.3.ل أي متغيرين عشوائيين
و المساواة صحيحة
.وبعبارة أخرى، معامل الارتباط
أي اثنين مع.الخامس.Xوييساوي لحظة الارتباط من تطبيع المقابلة لهاسانت.
و .

دليل.من خلال تعريف المتغيرات العشوائية الطبيعية
و

و
.

مع مراعاة خاصية التوقع الرياضي : والمساواة (40) نحصل عليها

وقد ثبت البيان.

دعونا نلقي نظرة على بعض الخصائص الشائعة لمعامل الارتباط.

خصائص معامل الارتباط:

1. معامل الارتباط بالقيمة المطلقة لا يتجاوز 1 أي.

تتبع هذه الخاصية مباشرة من الصيغة (41) - تعريف معامل الارتباط والنظرية 13.5. (انظر المساواة (٤٠)).

2. إذا كانت المتغيرات عشوائية
و مستقلة، معامل الارتباط الحالي هو صفر، أي.
.

هذه الخاصية هي نتيجة مباشرة للمساواة (40) والنظرية 13.4.

دعونا نصوغ الخاصية التالية كنظرية منفصلة.

نظرية 12.4.

إذا ر.ف.
و مترابطة من خلال الاعتماد الوظيفي الخطي، أي.
الذي - التي
حيث

و على العكس من ذلك، إذا
, الذي - التي سانت.
و مترابطة من خلال الاعتماد الوظيفي الخطي، أي. هناك ثوابت
وبحيث تتحقق المساواة

دليل.يترك
ثم استنادا إلى الخاصية 4 من التغاير، لدينا

ومنذ ذلك الحين، لذلك

لذلك،
. يتم الحصول على المساواة في اتجاه واحد. دعونا كذلك
، ثم

ينبغي النظر في حالتين: 1)
و 2)
لذلك، دعونا ننظر في الحالة الأولى. ثم حسب التعريف
وبالتالي من المساواة
، أين
. في حالتنا هذه
وبالتالي من المساواة (انظر إثبات النظرية 13.5.)

=
,

لقد حصلنا على ذلك
، وسائل
ثابت. لأن
ومنذ ذلك الحين
حقًا،

.

لذلك،

.

وبالمثل، تبين أن ل
يحدث (تحقق من ذلك بنفسك!)

,
.

بعض الاستنتاجات:

1. إذا
و المستقلون.v.، ثم

2. إذا كان r.v.
و ترتبط خطيا مع بعضها البعض، ثم
.

3. في حالات أخرى
:

في هذه الحالة يقولون أن r.v.
و مترابطة ترابط ايجابى،لو
في حالات
علاقة سلبية. الاقرب
لسبب واحد، هناك سبب إضافي للاعتقاد بأن r.v.
و ترتبط بعلاقة خطية.

لاحظ أن لحظات الارتباط والتشتت لنظام r.v. عادة ما تعطى مصفوفة الارتباط:

.

من الواضح أن محدد مصفوفة الارتباط يفي بما يلي:

كما ذكرنا سابقًا، إذا كان هناك متغيران عشوائيان يعتمدان، فيمكن أن يكونا متشابهين مترابطة، لذا غير مترابطة.وبعبارة أخرى، يمكن أن تكون لحظة الارتباط لكميتين تابعتين لا يساوي الصفرولكن ربما يساوي الصفر.

مثال 1.يتم إعطاء قانون توزيع r.v المنفصل بواسطة الجدول

أوجد معامل الارتباط

حل.إيجاد قوانين توزيع المكونات
و :

الآن دعونا نحسب m.o. عناصر:

يمكن العثور على هذه القيم على أساس جدول توزيع r.v.

على نفس المنوال،
تجدها بنفسك.

لنحسب تباينات المكونات ونستخدم الصيغة الحسابية:

دعونا إنشاء قانون التوزيع
، ومن ثم نجد
:

عند تجميع جدول قانون التوزيع، يجب عليك القيام بالخطوات التالية:

1) ترك معاني مختلفة فقط لجميع المنتجات الممكنة
.

2) لتحديد احتمالية قيمة معينة
، بحاجة ل

قم بجمع كافة الاحتمالات المقابلة الموجودة عند تقاطع الجدول الرئيسي والتي تفضل حدوث قيمة معينة.

في مثالنا، ر.ف. يأخذ ثلاث قيم مختلفة فقط
. هنا القيمة الأولى (
) يتوافق مع المنتج
من السطر الثاني و
من العمود الأول، لذا عند تقاطعهما يوجد رقم احتمال
بصورة مماثلة

والتي يتم الحصول عليها من مجموع الاحتمالات الموجودة عند تقاطعات الصف الأول والعمود الأول على التوالي (0.15؛ 0.40؛ 0.05) وقيمة واحدة
، والذي يقع عند تقاطع الصف الثاني والعمود الثاني، وأخيرا،
الذي يقع عند تقاطع الصف الثاني والعمود الثالث.

ومن طاولتنا نجد:

نجد لحظة الارتباط باستخدام الصيغة (38):

أوجد معامل الارتباط باستخدام الصيغة (41)

وبالتالي علاقة سلبية.

يمارس.قانون توزيع r.v المنفصلة نظرا للجدول

أوجد معامل الارتباط

دعونا نلقي نظرة على مثال حيث يوجد اثنان المتغيرات العشوائية التابعةيمكن ان يكون غير مترابطة.

مثال 2.متغير عشوائي ثنائي الأبعاد
) تعطى بواسطة وظيفة الكثافة

دعونا نثبت ذلك
و متكل , لكن غير مترابطة المتغيرات العشوائية.

حل.دعونا نستخدم كثافات التوزيع المحسوبة مسبقًا للمكونات
و :

منذ ذلك الحين
و الكميات التابعة. لإثبات غير مترابطة
و ، يكفي التأكد من ذلك

دعونا نجد لحظة الارتباط باستخدام الصيغة:

منذ الدالة التفاضلية
متناظرة حول المحور أوي، الذي - التي
بصورة مماثلة
بسبب التماثل
نسبة إلى المحور ثور. وبالتالي، إخراج عامل ثابت

التكامل الداخلي يساوي الصفر (التكامل فردي، وحدود التكامل متماثلة بالنسبة إلى الأصل)، وبالتالي،
، أي. المتغيرات العشوائية التابعة
و لا ترتبط مع بعضها البعض.

لذلك، من الارتباط بين متغيرين عشوائيين، يتبع اعتمادهما، ولكن من عدم الارتباط لا يزال من المستحيل استنتاج أن هذه المتغيرات مستقلة.

ومع ذلك، بالنسبة للمركبات r.v الموزعة بشكل طبيعي. مثل هذا الاستنتاج هو يستثنيأولئك. من غير مترابطة موزع طبيعياسانت. يتدفق بها استقلال.

الفقرة التالية مخصصة لهذه القضية.

التباين ومعامل الارتباط.

قد تكون هناك علاقة وظيفية أو عشوائية (احتمالية) بين المتغيرات العشوائية. ويتجلى الاعتماد العشوائي في أن قانون التوزيع الشرطي لمتغير عشوائي واحد يتغير تبعا للقيم التي يقبلها متغير عشوائي آخر. إحدى خصائص الاعتماد العشوائي لمتغيرين عشوائيين هي التغايرالمتغيرات العشوائية.

التغايرالمتغيرات العشوائية ( X,ي) هو رقم يساوي التوقع الرياضي لمنتج انحرافات المتغيرات العشوائية Xو يمن توقعاتك الرياضية:

في بعض الأحيان يسمى التغاير لحظة الارتباطأو اللحظة المركزية المختلطة الثانيةالمتغيرات العشوائية ( X,ي).

وباستخدام تعريف التوقع الرياضي نحصل على:

للتوزيع المنفصل

للتوزيع المستمر

في ي= Xالتغاير هو نفس التباين X.

يعتمد حجم لحظة الارتباط على وحدات قياس المتغيرات العشوائية. وهذا يجعل من الصعب مقارنة لحظات الارتباط للأنظمة المختلفة للمتغيرات العشوائية. وللتغلب على هذا العيب، تم إدخال خاصية عددية جديدة - معامل الارتباط، الذي

كمية بلا أبعاد.

ولحسابها، نستبدل انحرافات المتغيرات العشوائية عن التوقعات الرياضية بانحرافاتها الطبيعية، أي.

خصائص معامل الارتباط:

يترك ر –متغير بمعنى التحليل الرياضي. النظر في تباين المتغير العشوائي د(ص - تكس) كدالة للمتغير ر.

وفقا لخاصية التشتت. والمميز في هذه الحالة يجب أن يكون أقل من أو يساوي الصفر، أي.

من أين نحصل عليه؟

2. لا يتغير معامل الارتباط أثناء التحويلات الخطية للمتغيرات العشوائية: حيث , هي أرقام عشوائية.

3. إذا وفقط إذا كانت المتغيرات العشوائية Xو يترتبط خطيا، أي. هناك مثل هذه الأرقام أ، ب،ماذا .

إذا كان المميز المذكور في الفقرة 1 يساوي الصفر، وبالتالي بالنسبة لبعض القيمة . ولذلك فإن القيمة وبالنسبة للبعض معفالمساواة التي يجب إثباتها صحيحة.

4. إذا Xو يفهي مستقلة إحصائيا، ثم .

يتم التحقق من الخصائص 2.4 مباشرة.

4.5.2. الارتباط والاعتماد على نظام المتغيرات العشوائية.

شرط ضروري لاستقلال المتغيرات العشوائية Xو يهي المساواة مع الصفر في لحظة الارتباط (أو معامل الارتباط). ومع ذلك، فإن المساواة (أو) ليست سوى شرط ضروري، ولكن ليس كافيا للاستقلال.

مثال 1.

يوضح الشكل نقاطًا تقع على القطع المكافئ ، أ .

في هذا الصدد، تم تقديم مفهوم أضيق للمتغيرات العشوائية غير المرتبطة (إذا) أو المرتبطة (إذا). لهذا استقلال المتغيرات العشوائية يعني أيضًا عدم الارتباط() والعكس صحيح، علاقة () – مدمن.

في الحالة العامة، عندما تكون النقاط (X،Y) متناثرة حول الخط، كلما كانت القيمة أكبر. وهكذا، يتميز معامل الارتباط ليس أيالعلاقة بين Xو ي، أ درجة ضيق العلاقة الخطيةبينهم.

لذلك، على وجه الخصوص، حتى مع، أي. في ظل الغياب التام للعلاقة الخطية بين Xو ييمكن أن يوجد اعتماد وظيفي إحصائي وحتى غير خطي قوي (انظر المثال 1).

عندما تشير القيم إلى وجود علاقة إيجابية بين Xو يأي أن كلا المتغيرين لهما نفس الميل للزيادة أو النقصان. عندما يتحدثون عن ارتباط سلبي يعني الاتجاه المعاكس في التغيرات في المتغيرات العشوائية Xو ي، أي. أحدهما يزيد والآخر ينقص، أو العكس.

إذا كانت المتغيرات عشوائية Xو ييتم توزيعها بشكل طبيعي، فإن عدم ارتباطها يعني ضمنا استقلالها، منذ ذلك الحين

اذا ثم.

لحساب معامل الارتباط، نواصل المثال 2 من §4.1. دعونا نستخدم الصيغة

.

م(X× ي)=(-200)×(-100)×0.2 + (-200)×0×0.1 + (-200)×(100)×0.05 + 0×(-100)×0.05 + 0×0×0.25 + 0 ×100×0.02 + 200×(-100)×0.01 + 200×0×0.02 + 200×100×0.3 = 8800 دولار؛

; ;

.

مثال 2. يتم إعطاء قانون التوزيع لنظام مكون من متغيرين عشوائيين من خلال جدول التوزيع

X ي
-1	0,01	0,06	0,05	0,04
	0,04	0,24	0,15	0,07
	0,05	0,01	0,01	0,09

ابحث عن قوانين التوزيع أحادية البعد (الهامشي). Xو يوتوقعاتهم الرياضية وتبايناتهم ومعامل الارتباط بينهم Xو ي.

حل. احتمالات القيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل X، المضمنة في النظام، يتم تحديدها بواسطة الصيغة

, ل=1, 2, 3, 4.

لذلك، التوزيع أحادي البعد للكمية Xلديه النموذج التالي

التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية Xو ي:

م(X)=1,6; م(ي)=0,18.

تباينات المتغيرات العشوائية Xو ي:

د(X)=0,84; د(ي)=0,47.

معامل الارتباط بين Xو يتحسب بواسطة الصيغة

; ;

; ;

أسئلة الاختبار الذاتي.

1. تعريف متغير عشوائي متعدد المتغيرات ووظيفة التوزيع الاحتمالي.

2. ما يسمى بالتوزيع المشترك للمتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد ( X,ي)؟ كيف يتم كتابته؟

3. أما التوزيع المشترك المعروف للمتغير العشوائي ثنائي الأبعاد ( X,ي) العثور على التوزيعات الهامشية للمكونات Xو ي?

4. ما يسمى بالتوزيع المشروط للمكون Xكمية منفصلة ثنائية الأبعاد ( X,ي)?

5. ما يسمى التغاير؟

6. ما هو معامل الارتباط؟

7. تحديد خصائص معامل الارتباط.

8. ما هو معامل الارتباط للمتغيرات العشوائية؟ Xو ي = 1 – 2X?

9. ما هي القيمة التي يتحول إليها التباين بين متغيرين عشوائيين؟ Xو ي، لو X = ي?

10. هل مفهوما الاستقلال وعدم الارتباط متكافئان؟

مهام

4.1. ثلاثة أنواع من السيارات تباع في سوقين مختلفين بالمدينة ( أ، ب، ج).وفيما يلي بيانات عن عدد السيارات المباعة لهذا العام:

أوجد الاحتمالات التالية: ر(أ، أ)، ص(أ، ب)، ص(أ، ج)، ص(ب، أ)، ص(ب، ب)، ص(قبل الميلاد)، ص(أ)، ص(أ / أ)، ص(أ/أ). إنشاء جدول الاحتمالات المشتركة.

4.2. المصطافون في منتجع معين هم، كقاعدة عامة، رجال أعمال ( ب)أو أصحاب المهن الحرة ( ص)(المحامون والفنانون والأطباء وغيرهم). يريد مالك المنتجع تحديد ما إذا كان من المربح له إنتاج نوعين من الإعلانات بدلاً من نوع واحد. للقيام بذلك، أصدر تعليماته إلى قسم الإعلانات الخاص به بإعداد نوعين من الإعلانات - أحدهما لرجال الأعمال (النوع الأول)، والآخر للأشخاص من المهن الحرة (النوع الثاني). تم إعداد الإعلانات، وإرسال المواد إلى العملاء المحتملين، وتم استلام 800 طلب. وتم توزيعهم على النحو التالي.

أ). العثور على الاحتمالات ص(ب، أنا); ص(ب، الثاني); ص(أنا/ب).

كم مرة سمعت عبارات تقول أن ظاهرة ما مرتبطة بأخرى؟

"يرتبط النمو المرتفع بالتعليم الجيد والسعادة، وفقا لخبراء من خدمة استطلاع غالوب".

"سعر النفط يرتبط بأسعار الصرف."

"وجع العضلات بعد التمرين لا يرتبط بتضخم الألياف العضلية."

ويبدو أن مفهوم "الارتباط" أصبح مستخدما على نطاق واسع ليس فقط في العلوم، ولكن أيضا في الحياة اليومية. يعكس الارتباط درجة العلاقة الخطية بين ظاهرتين عشوائيتين. لذلك، عندما تبدأ أسعار النفط في الانخفاض، يبدأ سعر صرف الدولار مقابل الروبل في الارتفاع.

ومن كل ما سبق يمكننا أن نستنتج أنه عند وصف المتغيرات العشوائية ثنائية الأبعاد، فإن الخصائص المعروفة مثل التوقع الرياضي والتشتت والانحراف المعياري تكون في بعض الأحيان غير كافية. لذلك، غالبًا ما يتم استخدام خاصيتين مهمتين جدًا لوصفهما: التغايرو علاقة.

التغاير

التغاير$cov\left(X,\ Y\right)$ للمتغيرات العشوائية $X$ و$Y$ هو التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية $X-M\left(X\right)$ و$Y-M\left(Y) \right)$، أي:

$$cov\left(X,\ Y\right)=M\left(\left(X-M\left(X\right)\right)\left(Y-M\left(Y\right)\right)\right). $$

قد يكون من المناسب حساب التباين المشترك للمتغيرات العشوائية $X$ و$Y$ باستخدام الصيغة التالية:

$$cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\right)-M\left(X\right)M\left(Y\right),$$

والتي يمكن الحصول عليها من الصيغة الأولى باستخدام خصائص التوقع الرياضي. دعونا قائمة الرئيسية خصائص التغاير.

1 . تباين المتغير العشوائي مع نفسه هو تباينه.

$$cov\left(X,\ X\right)=D\left(X\right).$$

2 . التغاير متماثل.

$$cov\left(X,\ Y\right)=cov\left(Y,\ X\right).$$

3 . إذا كان المتغيران العشوائيان $X$ و$Y$ مستقلين، فإن:

$$cov\left(X,\ Y\right)=0.$$

4 . يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التغاير.

$$cov\left(cX,\ Y\right)=cov\left(X,\ cY\right)=c\cdot cov\left(X,\ Y\right).$$

5 . لن يتغير التباين إذا تمت إضافة قيمة ثابتة إلى أحد المتغيرات العشوائية (أو اثنين في وقت واحد):

$$cov\left(X+c,\ Y\right)=cov\left(X,\ Y+c\right)=cov\left(X+x,\ Y+c\right)=cov\left( X،\Y\يمين).$$

6 . $cov\left(aX+b,\ cY+d\right)=ac\cdot cov\left(X,\ Y\right)$.

7 . $\left|cov\left(X,\ Y\right)\right|\le \sqrt(D\left(X\right)D\left(Y\right))$.

8 . $\left|cov\left(X,\ Y\right)\right|=\sqrt(D\left(X\right)D\left(Y\right))\Leftrightarrow Y=aX+b$.

9 . إن تباين مجموع (الفرق) للمتغيرات العشوائية يساوي مجموع تبايناتها زائد (ناقص) ضعف التباين في هذه المتغيرات العشوائية:

$$D\left(X\pm Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)\pm 2cov\left(X,\ Y\right).$$

مثال 1 . يتم إعطاء جدول ارتباط للمتجه العشوائي $\left(X,\Y\right)$. احسب التباين $cov\left(X,\Y\right)$.

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline

\hline
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \\
\hline
0 & 0.05 & p_(22) & 0 \\
\hline
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \\
\hline
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \\
\hline
\end(صفيف)$

الأحداث $\left(X=x_i,\ Y=y_j\right)$ تشكل مجموعة كاملة من الأحداث، وبالتالي فإن مجموع كل الاحتمالات $p_(ij)$ المشار إليها في الجدول يجب أن يساوي 1. ثم $0,1 +0+0 ,2+0.05+p_(22)+0+0+0.2+0.05+0.1+0+0.1=1$، وبالتالي $p_(22)=0.2$.

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline
X\خط مائل عكسي Y & -6 & 0 & 3 \\
\hline
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \\
\hline
0 & 0,05 & 0,2 & 0 \\
\hline
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \\
\hline
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \\
\hline
\end(صفيف)$

باستخدام الصيغة $p_(i) =\sum _(j)p_(ij) $، نجد سلسلة التوزيع للمتغير العشوائي $X$.

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline
X & -2 & 0 & 1 & 7 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.25 & 0.25 & 0.2 \\
\hline
\end(صفيف)$

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=-2\cdot 0.3+0\cdot 0.25+1\cdot 0.25+7\cdot 0 ,2=1.05.$ $

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=0.3\cdot ( \left) (-2-1.05\يمين))^2+0.25\cdot (\left(0-1.05\right))^2+0.25\cdot (\left(1-1, 05\right))^2+$$

$$+\ 0.2\cdot (\left(7-1.05\right))^2=10.1475.$$

$$\سيجما \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(10.1475)\حوالي 3.186.$$

باستخدام الصيغة $q_(j) =\sum _(i)p_(ij) $، نجد سلسلة التوزيع للمتغير العشوائي $Y$.

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline
ص & -6 & 0 & 3 \\
\hline
p_i & 0.25 & 0.4 & 0.35 \\
\hline
\end(صفيف)$

$$M\left(Y\right)=\sum^n_(i=1)(y_ip_i)=-6\cdot 0.25+0\cdot 0.4+3\cdot 0.35=-0.45 .$$

$$D\left(Y\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(y_i-M\left(Y\right)\right))^2)=0.25\cdot ( \left) (-6+0.45\يمين))^2+0.4\cdot (\left(0+0.45\right))^2+0.35\cdot (\left(3+0, 45\right))^2=11.9475. $$

$$\sigma \left(Y\right)=\sqrt(D\left(Y\right))=\sqrt(11.9475)\حوالي 3.457.$$

بما أن $P\left(X=-2,\ Y=-6\right)=0.1\ne 0.3\cdot 0.25$، فإن المتغيرات العشوائية $X,\ Y$ تكون تابعة.

دعونا نحدد التباين المشترك $cov\ \left(X,\ Y\right)$ للمتغيرات العشوائية $X,\ Y$ بواسطة الصيغة $cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\ يمين)-M\ يسار(X\يمين)M\يسار(Y\يمين)$. التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية $X,\Y$ يساوي:

$$M\left(XY\right)=\sum_(i,\ j)(p_(ij)x_iy_j)=0.1\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-6\right) +0.2 \cdot \left(-2\right)\cdot 3+0.05\cdot 1\cdot 3+0.1\cdot 7\cdot \left(-6\right)+0.1\cdot 7\cdot 3=-1.95.$$

ثم $cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\right)-M\left(X\right)M\left(Y\right)=-1.95-1.05\cdot \left(- 0.45\right)=-1.4775.$ إذا كانت المتغيرات العشوائية مستقلة، فإن تباينها يساوي صفر. في حالتنا، $cov(X,Y)\ne 0$.

علاقة

معامل الارتباطالمتغيرات العشوائية $X$ و $Y$ تسمى بالرقم:

$$\rho \left(X,\ Y\right)=((cov\left(X,\ Y\right))\over (\sqrt(D\left(X\right)D\left(Y\right) )))).$$

دعونا قائمة الرئيسية خصائص معامل الارتباط.

1 . $\rho \left(X,\ X\right)=1$.

2 . $\rho \left(X,\ Y\right)=\rho \left(Y,\ X\right)$.

3 . $\rho \left(X,\ Y\right)=0$ للمتغيرات العشوائية المستقلة $X$ و$Y$.

4 . $\rho \left(aX+b,\ cY+d\right)=(sgn \left(ac\right)\rho \left(X,\ Y\right)\ )$، حيث $(sgn \left( ac\right)\ )$ هي علامة المنتج $ac$.

5 . $\left|\rho \left(X,\ Y\right)\right|\le 1$.

6 . $\left|\rho \left(X,\ Y\right)\right|=1\Leftrightarrow Y=aX+b$.

قيل سابقًا أن معامل الارتباط $\rho \left(X,\Y\right)$ يعكس درجة الاعتماد الخطي بين متغيرين عشوائيين $X$ و$Y$.

عندما $\rho \left(X,\ Y\right)>0$ يمكننا أن نستنتج أنه مع زيادة المتغير العشوائي $X$، يميل المتغير العشوائي $Y$ إلى الزيادة. وهذا ما يسمى الارتباط الإيجابي. على سبيل المثال، يرتبط طول الشخص ووزنه بشكل إيجابي.

عندما يكون $\rho \left(X,\Y\right)<0$ можно сделать вывод о том, что с ростом случайной величины $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к уменьшению. Это называется отрицательной корреляционной зависимостью. Например, температура и время сохранности продуктов питания связаны между собой отрицательной корреляционной зависимостью.

عندما يكون $\rho \left(X,\ Y\right)=0$، فإن المتغيرات العشوائية $X$ و$Y$ تسمى غير مرتبطة. ومن الجدير بالذكر أن الطبيعة غير المترابطة للمتغيرين العشوائيين $X$ و $Y$ لا تعني استقلالهما الإحصائي، بل تعني فقط عدم وجود علاقة خطية بينهما.

مثال 2 . دعنا نحدد معامل الارتباط $\rho \left(X,\ Y\right)$ للمتغير العشوائي ثنائي الأبعاد $\left(X,\ Y\right)$ من المثال 1.

معامل الارتباط للمتغيرات العشوائية $X,\Y$ يساوي $r_(XY) =(cov(X,Y)\over \sigma (X)\sigma (Y)) =(-1.4775\over 3.186\cdot 3.457) =-0.134.$ منذ $r_(XY)<0$, то с ростом $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к уменьшению (отрицательная корреляционная зависимость).