الدرس 1
موضوع: الصف الحادي عشر (التحضير لامتحان الدولة الموحدة)
تبسيط التعبيرات المثلثية.
حل المعادلات المثلثية البسيطة. (ساعاتين)
الأهداف:
- تنظيم وتعميم وتوسيع معارف الطلاب ومهاراتهم المتعلقة باستخدام صيغ علم المثلثات وحل المعادلات المثلثية البسيطة.
معدات الدرس:
هيكل الدرس:
- لحظة تنظيمية
- الاختبار على أجهزة الكمبيوتر المحمولة. مناقشة النتائج.
- تبسيط التعبيرات المثلثية
- حل المعادلات المثلثية البسيطة
- عمل مستقل.
- ملخص الدرس. شرح الواجب المنزلي.
1. اللحظة التنظيمية. (2 دقيقة.)
يحيي المعلم الحضور، ويعلن عن موضوع الدرس، ويذكرهم بأنه تم تكليفهم سابقًا بمهمة تكرار صيغ علم المثلثات، ويقوم بإعداد الطلاب للاختبار.
2. الاختبار. (15 دقيقة + 3 دقائق مناقشة)
الهدف هو اختبار المعرفة بالصيغ المثلثية والقدرة على تطبيقها. كل طالب لديه جهاز كمبيوتر محمول على مكتبه مع نسخة من الاختبار.
يمكن أن يكون هناك أي عدد من الخيارات، وسأقدم مثالا على واحد منهم:
أنا الخيار.
تبسيط التعبيرات:
أ) الهويات المثلثية الأساسية
1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;
ب) صيغ الجمع
3. الخطيئة 5x - الخطيئة 3x؛
ج) تحويل المنتج إلى مجموع
6.2sin8y cos3y؛
د) صيغ الزاوية المزدوجة
7.2sin5x cos5x؛
ه) صيغ نصف الزوايا
ه) صيغ الزوايا الثلاثية
ح) انخفاض في الدرجة
16. كوس 2 (3س/7)؛
يرى الطلاب إجاباتهم على الكمبيوتر المحمول بجوار كل صيغة.
يتم فحص العمل على الفور بواسطة الكمبيوتر. يتم عرض النتائج على شاشة كبيرة ليراها الجميع.
وأيضًا، بعد الانتهاء من العمل، تظهر الإجابات الصحيحة على أجهزة الكمبيوتر المحمولة الخاصة بالطلاب. يرى كل طالب مكان الخطأ وما هي الصيغ التي يحتاج إلى تكرارها.
3. تبسيط التعبيرات المثلثية. (25 دقيقة)
الهدف هو تكرار وممارسة وتعزيز استخدام الصيغ الأساسية لعلم المثلثات. حل المسائل B7 من امتحان الدولة الموحدة.
على في هذه المرحلةيُنصح بتقسيم الفصل إلى مجموعات من الأشخاص الأقوياء (يعملون بشكل مستقل مع الاختبارات اللاحقة) و الطلاب الضعفاءالذين يعملون مع المعلم.
مهمة للطلاب الأقوياء (معدة مسبقًا لـ أساس مطبوع). التركيز الرئيسي هو على صيغ التخفيض و زاوية مزدوجةوفقا لامتحان الدولة الموحدة 2011.
تبسيط التعبيرات (للطلاب الأقوياء):
وفي الوقت نفسه، يعمل المعلم مع الطلاب الضعفاء، ويناقش ويحل المهام على الشاشة تحت إملاء الطلاب.
احسب:
5) خطيئة (270 درجة - α) + جتا (270 درجة + α)
6) 
تبسيط:
لقد حان الوقت لمناقشة نتائج عمل المجموعة القوية.
تظهر الإجابات على الشاشة، وأيضًا باستخدام كاميرا الفيديو يتم عرض أعمال 5 طلاب مختلفين (مهمة واحدة لكل منهم).
المجموعة الضعيفة ترى الحال وطريقة الحل. المناقشة جاريةوالتحليل. استخدام الوسائل التقنيةيحدث بسرعة.
4. حل المعادلات المثلثية البسيطة. (30 دقيقة.)
الهدف هو تكرار وتنظيم وتعميم حل أبسط المعادلات المثلثية وكتابة جذورها. حل المشكلة B3.
أي معادلة مثلثية، مهما حلناها، تؤدي إلى أبسطها.
عند إكمال المهمة، يجب على الطلاب الانتباه إلى كتابة جذور معادلات الحالات الخاصة و منظر عاموعلى اختيار الجذور في المعادلة الأخيرة.
حل المعادلات:
اكتب أصغر جذر موجب كإجابتك.
5. العمل المستقل (10 دقائق)
الهدف هو اختبار المهارات المكتسبة وتحديد المشاكل والأخطاء وطرق التخلص منها.
يتم تقديم العمل متعدد المستويات لاختيار الطالب.
الخيار "3"
1) أوجد قيمة التعبير 
2) بسّط التعبير 1 - sin 2 3α - cos 2 3α
3) حل المعادلة 
خيار "4"
1) أوجد قيمة التعبير
2) حل المعادلة 
اكتب أصغر جذر موجب في إجابتك.
الخيار "5"
1) ابحث عن tanα إذا 
2) أوجد جذر المعادلة 
اكتب أصغر جذر موجب كإجابتك.
6. ملخص الدرس (5 دقائق)
يلخص المعلم ما تم تكراره وتعزيزه في الدرس الصيغ المثلثيةحل المعادلات المثلثية البسيطة.
يتم تعيين الواجبات المنزلية (معدة على أساس مطبوع مسبقًا) مع تفتيش من وقت لاخرفي الدرس القادم.
حل المعادلات:
9) 
10) 
في إجابتك، أشر إلى أصغر جذر موجب.
الدرس 2
موضوع: الصف الحادي عشر (التحضير لامتحان الدولة الموحدة)
طرق حل المعادلات المثلثية. اختيار الجذر. (ساعاتين)
الأهداف:
- تعميم وتنظيم المعرفة حول حل المعادلات المثلثية بمختلف أنواعها.
- تعزيز التنمية التفكير الرياضيلدى الطلاب القدرة على الملاحظة والمقارنة والتعميم والتصنيف.
- تشجيع الطلاب على التغلب على الصعوبات في هذه العملية نشاط عقلى، لضبط النفس، والتأمل في أنشطة الفرد.
معدات الدرس: KRMu، أجهزة كمبيوتر محمولة لكل طالب.
هيكل الدرس:
- لحظة تنظيمية
- مناقشة d/z والنفس. العمل من الدرس الأخير
- مراجعة طرق حل المعادلات المثلثية.
- حل المعادلات المثلثية
- اختيار الجذور في المعادلات المثلثية.
- عمل مستقل.
- ملخص الدرس. العمل في المنزل.
1. اللحظة التنظيمية (دقيقتان)
يحيي المعلم الجمهور ويعلن موضوع الدرس وخطة العمل.
2. أ) التحليل العمل في المنزل(5 دقائق.)
الهدف هو التحقق من التنفيذ. يتم عرض عمل واحد على الشاشة باستخدام كاميرا فيديو، ويتم جمع الباقي بشكل انتقائي لفحص المعلم.
ب) التحليل عمل مستقل(3 دقيقة.)
الهدف هو تحليل الأخطاء والإشارة إلى طرق التغلب عليها.
تظهر الإجابات والحلول على الشاشة، ويتم توزيع أعمالهم مسبقًا على الطلاب. يستمر التحليل بسرعة.
3. مراجعة طرق حل المعادلات المثلثية (5 دقائق)
الهدف هو تذكر طرق حل المعادلات المثلثية.
اسأل الطلاب عن طرق حل المعادلات المثلثية التي يعرفونها. التأكيد على أن هناك ما يسمى بالطرق الأساسية (المستخدمة بشكل متكرر):
- استبدال متغير,
- التخصيم,
- معادلات متجانسة,
وهناك الأساليب التطبيقية:
- باستخدام الصيغ لتحويل المجموع إلى منتج والمنتج إلى مجموع،
- وفقا للصيغ تخفيض في الدرجة,
- الاستبدال المثلثي العالمي
- مقدمة زاوية مساعدة,
- الضرب من قبل البعض وظيفة المثلثية.
تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه يمكن حل معادلة واحدة بطرق مختلفة.
4. حل المعادلات المثلثية (30 دقيقة)
الهدف هو تعميم وتوحيد المعرفة والمهارات حول هذا الموضوع، للتحضير لحل C1 من امتحان الدولة الموحدة.
أعتبر أنه من المستحسن حل المعادلات لكل طريقة مع الطلاب.
يقوم الطالب بإملاء الحل، ويقوم المعلم بكتابته على الجهاز اللوحي، ويتم عرض العملية برمتها على الشاشة. سيسمح لك ذلك باستدعاء المواد التي تمت تغطيتها سابقًا في ذاكرتك بسرعة وفعالية.
حل المعادلات:
1) استبدال المتغير 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0
2) التحليل 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0
3) معادلات متجانسةجا 2 س + 3 جتا 2 س - 2 جا 2س = 0
4) تحويل المجموع إلى منتج cos5x + cos7x = cos(π + 6x)
5) تحويل المنتج إلى مجموع 2sinx sin2x + cos3x = 0
6) تخفيض الدرجة sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5
7) الاستبدال المثلثي الشامل sinx + 5cosx + 5 = 0.
عند حل هذه المعادلة، تجدر الإشارة إلى أن استخدام هذه الطريقةيؤدي إلى تضييق نطاق التعريف، حيث يتم استبدال الجيب وجيب التمام بـ tg(x/2). لذلك، قبل كتابة الإجابة، تحتاج إلى التحقق مما إذا كانت الأرقام من المجموعة π + 2πn، n Z هي خيول هذه المعادلة.
8) إدخال زاوية مساعدة √3sinx + cosx - √2 = 0
9) الضرب ببعض المثلثات وظيفة كوإكس cos2x cos4x = 1/8.
5. اختيار جذور المعادلات المثلثية (20 دقيقة)
نظرا لأنه في ظروف المنافسة الشرسة عند دخول الجامعات، فإن حل الجزء الأول من الامتحان وحده لا يكفي، يجب على معظم الطلاب الانتباه إلى مهام الجزء الثاني (C1، C2، C3).
لذلك فإن الهدف من هذه المرحلة من الدرس هو تذكر المواد التي تمت دراستها مسبقًا والاستعداد لحل المشكلة C1 من امتحان الدولة الموحدة 2011.
يخرج المعادلات المثلثية، حيث من الضروري تحديد الجذور عند كتابة الإجابة. ويرجع ذلك إلى بعض القيود، على سبيل المثال: مقام الكسر ليس كذلك يساوي الصفر، التعبير تحت الجذر الزوجي غير سالب، والتعبير تحت علامة اللوغاريتم موجب، وما إلى ذلك.
تعتبر هذه المعادلات معادلات زيادة التعقيدو في نسخة من امتحان الدولة الموحدةموجودة في الجزء الثاني وهي C1.
حل المعادلة:
الكسر يساوي صفرًا إذاً 
باستخدام دائرة الوحدةدعونا نختار الجذور (انظر الشكل 1)
الصورة 1.
نحصل على x = π + 2πn, n Z
الإجابة: π + 2πn، n Z
يظهر على الشاشة اختيار الجذور على شكل دائرة في صورة ملونة.
يكون حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل مساويًا للصفر، ولا يفقد القوس معناه. ثم
باستخدام دائرة الوحدة نختار الجذور (انظر الشكل 2)
يهدف درس الفيديو "تبسيط التعبيرات المثلثية" إلى تطوير مهارات الطلاب في حل المشكلات المشاكل المثلثيةباستخدام الهويات المثلثية الأساسية. خلال درس الفيديو، تتم مناقشة أنواع المتطابقات المثلثية وأمثلة على حل المشكلات باستخدامها. التقديم المواد البصرية- يسهل على المعلم تحقيق أهداف الدرس. العرض الحي للمواد يعزز الحفظ نقاط مهمة. يتيح لك استخدام تأثيرات الرسوم المتحركة والتعليق الصوتي استبدال المعلم بالكامل في مرحلة شرح المادة. وبالتالي، باستخدام هذه الوسائل البصرية في دروس الرياضيات، يمكن للمعلم زيادة فعالية التدريس.
في بداية درس الفيديو يتم الإعلان عن موضوعه. ثم نتذكر المتطابقات المثلثية التي درسناها سابقًا. تعرض الشاشة المعادلات sin 2 t+cos 2 t=1، tg t=sin t/cos t، حيث t≠π/2+πk لـ kϵZ، ctg t=cos t/sin t، صحيحة لـ t≠πk، حيث kϵZ، tg t· ctg t=1، بالنسبة إلى t≠πk/2، حيث kϵZ، تسمى الهويات المثلثية الأساسية. ويلاحظ أن هذه المتطابقات غالبا ما تستخدم في حل المسائل حيث يكون من الضروري إثبات المساواة أو تبسيط التعبير.
أدناه نعتبر أمثلة على تطبيق هذه الهويات في حل المشكلات. أولا، يقترح النظر في حل مشاكل تبسيط التعبيرات. في المثال 1، من الضروري تبسيط التعبير cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. لحل المثال، ضعه أولاً بين قوسين المضاعف المشترككوس 2 ر. ونتيجة لهذا التحول بين قوسين، يتم الحصول على التعبير 1- cos 2 t، وقيمته من الهوية الرئيسية لعلم المثلثات تساوي sin 2 t. بعد تحويل التعبير، من الواضح أنه يمكن إخراج عامل مشترك آخر sin 2 t من الأقواس، وبعد ذلك يأخذ التعبير الشكل sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). من نفس الهوية الأساسية نستمد قيمة التعبير بين قوسين يساوي 1. ونتيجة للتبسيط، نحصل على cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.
في المثال 2، يجب تبسيط التعبير cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint). بما أن بسطي الكسرين يحتويان على تكلفة التعبير، فيمكن إخراجها من الأقواس كعامل مشترك. ثم يتم تقليل الكسور الموجودة بين قوسين إلى القاسم المشتركضرب (1- سينت)(1+ سينت). بعد جلب مصطلحات مماثلةيبقى البسط 2، والمقام 1 - الخطيئة 2 ر. يوجد على الجانب الأيمن من الشاشة تذكير بأساسيات علم المثلثات خطيئة الهوية 2 ر+كوس 2 ر=1. باستخدامه نجد مقام الكسر cos 2 t. بعد تقليل الكسر، نحصل على شكل مبسط للتعبير cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint)=2/cost.
بعد ذلك، سننظر في أمثلة إثباتات الهويات التي تستخدم المعرفة المكتسبة حول الهويات الأساسية لعلم المثلثات. في المثال 3، من الضروري إثبات الهوية (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. يعرض الجانب الأيمن من الشاشة ثلاث هويات ستكون مطلوبة للإثبات - tg t·ctg t=1، ctg t=cos t/sin t وtg t=sin t/cos t مع القيود. لإثبات الهوية، يتم فتح الأقواس أولاً، وبعد ذلك يتم تشكيل منتج يعكس تعبير الهوية المثلثية الرئيسية tg t·ctg t=1. ثم، وفقًا للهوية من تعريف ظل التمام، يتم تحويل ctg 2 t. ونتيجة للتحولات، يتم الحصول على التعبير 1-كوس 2 ر. وباستخدام الهوية الرئيسية نجد معنى التعبير. وبذلك ثبت أن (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.
في المثال 4، تحتاج إلى إيجاد قيمة التعبير tg 2 t+ctg 2 t إذا كان tg t+ctg t=6. لحساب التعبير، قم أولاً بتربيع الجانبين الأيمن والأيسر من المساواة (tg t+ctg t) 2 =6 2. يتم استدعاء صيغة الضرب المختصرة على الجانب الأيمن من الشاشة. بعد فتح الأقواس على الجانب الأيسر من التعبير، يتم تشكيل المجموع tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t، لتحويله يمكنك تطبيق إحدى المتطابقات المثلثية tg t·ctg t=1 ، والذي يتم تذكر شكله على الجانب الأيمن من الشاشة. بعد التحويل، يتم الحصول على المساواة tg 2 t+ctg 2 t=34. الجانب الأيسر من المساواة يتطابق مع شرط المشكلة، فالإجابة هي 34. تم حل المشكلة.
يوصى باستخدام درس الفيديو "تبسيط التعبيرات المثلثية" في اللغة التقليدية درس المدرسةالرياضيات. ستكون المادة مفيدة أيضًا للمعلم الذي ينفذها الدراسة عن بعد. من أجل تطوير المهارات في حل المسائل المثلثية.
فك تشفير النص:
"تبسيط التعبيرات المثلثية."
المساواة
1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (جيب مربع te زائد جيب تمام مربع te يساوي واحدًا)
2)tgt =، بالنسبة إلى t ≠ + πk، kϵZ (الظل te يساوي نسبة جيب te إلى جيب التمام te مع te لا يساوي pi بمقدار اثنين زائد pi ka، ka ينتمي إلى zet)
3)ctgt = ، من أجل t ≠ πk، kϵZ (ظل التمام te يساوي نسبة جيب التمام te إلى جيب te مع te لا يساوي pi ka، ka ينتمي إلى zet).
4) tgt ∙ ctgt = 1 لـ t ≠ , kϵZ (حاصل ضرب الظل te بواسطة ظل التمام te يساوي واحدًا عندما لا يكون te مساويًا للذروة ka، مقسومًا على اثنين، ka ينتمي إلى zet)
تسمى الهويات المثلثية الأساسية.
وغالبا ما تستخدم في تبسيط وإثبات التعبيرات المثلثية.
دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام هذه الصيغ لتبسيط التعبيرات المثلثية.
مثال 1. بسّط التعبير: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (التعبير أ جيب التمام تربيع te ناقص جيب التمام من الدرجة الرابعة te بالإضافة إلى جيب الزاوية من الدرجة الرابعة te).
حل. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 ر) = الخطيئة 2 ر 1= الخطيئة 2 ر
(نخرج العامل المشترك cosine Square te من الأقواس، بين قوسين نحصل على الفرق بين الوحدة وcosine te التربيعي، وهو ما يساوي مربع جيب التمام te بالمتطابقة الأولى. نحصل على مجموع جيب القوة الرابعة te من ناتج cosine Square te وsine Square te نقوم بإخراج العامل المشترك sine Square te خارج الأقواس، بين قوسين نحصل على مجموع مربعات جيب التمام والجيب، وهو في الأساس الهوية المثلثيةيساوي واحدا. ونتيجة لذلك، نحصل على مربع الجيب te).
مثال 2. تبسيط التعبير: + .
(التعبير يكون هو مجموع كسرين في بسط جيب التمام الأول te في المقام واحد ناقص جيب التمام te، في بسط جيب التمام الثاني te في مقام الثاني زائد جيب التمام te).
(دعونا نخرج العامل المشترك cosine te من الأقواس، ونضعه بين قوسين حتى يصل إلى مقام مشترك، وهو حاصل ضرب واحد ناقص sine te في واحد زائد sine te.
في البسط نحصل على: واحد زائد sine te زائد واحد ناقص sine te، نعطي متشابهات، البسط يساوي اثنين بعد إحضار المتشابهات.
في المقام، يمكنك تطبيق صيغة الضرب المختصرة (فرق المربعات) والحصول على الفرق بين الوحدة ومربع الجيب te، والذي حسب الهوية المثلثية الأساسية
يساوي مربع جيب التمام te. بعد التخفيض بواسطة cosine te نحصل على الإجابة النهائية: اثنان مقسومًا على cosine te).
دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام هذه الصيغ عند إثبات التعبيرات المثلثية.
مثال 3. أثبت الهوية (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (حاصل ضرب الفرق بين مربعي الظل te وsine te في مربع ظل التمام te يساوي مربع شرط تي).
دليل.
دعونا نتحول الجهه اليسرىالمساواة:
(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 ر = الخطيئة 2 ر
(دعونا نفتح الأقواس؛ من العلاقة التي تم الحصول عليها مسبقًا، من المعروف أن منتج مربعات الظل te في ظل التمام te يساوي واحدًا. تذكر أن ظل التمام te يساوي النسبة cosine te بواسطة sine te، وهو ما يعني أن مربع ظل التمام هو نسبة مربع جيب التمام te إلى مربع جيب التمام te.
بعد الاختزال بواسطة مربع جيب te نحصل على الفرق بين الوحدة وجيب التمام مربع te، وهو ما يساوي مربع جيب te). Q.E.D.
مثال 4. أوجد قيمة التعبير tg 2 t + ctg 2 t إذا كان tgt + ctgt = 6.
(مجموع مربعات الظل te وظل التمام te، إذا كان مجموع الظل وظل التمام ستة).
حل. (tgt + ctgt) 2 = 6 2
tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36
tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36
tg 2 t + ctg 2 t = 36-2
تيراغرام 2 ر + ك تغ 2 ر = 34
لنقم بتربيع طرفي المساواة الأصلية:
(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (مربع مجموع الظل te وظل التمام te يساوي ستة مربع). لنتذكر صيغة الضرب المختصرة: مربع مجموع كميتين يساوي مربعالأول زائد ضعف ناتج الأول والثاني زائد مربع الثاني. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 نحصل على tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (ظل الزاوية تربيع te زائد ضعف منتج ظل te في ظل التمام te زائد ظل التمام تربيع te يساوي ستة وثلاثون) .
بما أن حاصل ضرب الظل te وظل التمام te يساوي واحدًا، إذن tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (مجموع مربعات الظل te وظل التمام te واثنين يساوي ستة وثلاثين)،