الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.
جمع واستخدام المعلومات الشخصية
تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.
قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.
فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.
ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:
- عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.
كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:
- تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
- من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
- قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
- إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.
الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة
نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.
الاستثناءات:
- إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
- في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.
حماية المعلومات الشخصية
نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.
احترام خصوصيتك على مستوى الشركة
للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.
يتضمن التحضير للاختبار النهائي في الرياضيات قسمًا مهمًا - "اللوغاريتمات". يتم تضمين المهام من هذا الموضوع بالضرورة في امتحان الدولة الموحدة. تظهر تجربة السنوات الماضية أن المعادلات اللوغاريتمية تسببت في صعوبات للعديد من أطفال المدارس. لذلك، يجب على الطلاب ذوي مستويات التدريب المختلفة فهم كيفية العثور على الإجابة الصحيحة والتعامل معها بسرعة.
اجتياز اختبار الشهادة بنجاح باستخدام بوابة شكولكوفو التعليمية!
عند التحضير لامتحان الدولة الموحدة، يحتاج خريجو المدارس الثانوية إلى مصدر موثوق يوفر المعلومات الأكثر اكتمالا ودقة لحل مشاكل الاختبار بنجاح. ومع ذلك، فإن الكتاب المدرسي ليس في متناول اليد دائمًا، وغالبًا ما يستغرق البحث عن القواعد والصيغ اللازمة على الإنترنت وقتًا.
تتيح لك بوابة شكولكوفو التعليمية الاستعداد لامتحان الدولة الموحدة في أي مكان وفي أي وقت. يقدم موقعنا الطريقة الأكثر ملاءمة لتكرار واستيعاب كمية كبيرة من المعلومات حول اللوغاريتمات، وكذلك مع المجهول الواحد والعديد من المجهولات. ابدأ بالمعادلات السهلة. إذا تعاملت معهم دون صعوبة، انتقل إلى أكثر تعقيدا. إذا كانت لديك مشكلة في حل متباينة معينة، يمكنك إضافتها إلى المفضلة حتى تتمكن من العودة إليها لاحقًا.
يمكنك العثور على الصيغ اللازمة لإكمال المهمة، وتكرار الحالات الخاصة وطرق حساب جذر المعادلة اللوغاريتمية القياسية من خلال النظر في قسم "المساعدة النظرية". قام معلمو شكولكوفو بجمع وتنظيم وتقديم جميع المواد اللازمة للنجاح في أبسط أشكالها وأكثرها مفهومة.
من أجل التعامل بسهولة مع المهام بأي تعقيد، يمكنك على بوابتنا التعرف على حل بعض المعادلات اللوغاريتمية القياسية. للقيام بذلك، انتقل إلى قسم "الكتالوجات". لدينا عدد كبير من الأمثلة، بما في ذلك المعادلات ذات المستوى الشخصي لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات.
يمكن للطلاب من المدارس في جميع أنحاء روسيا استخدام بوابتنا. لبدء الدروس، ما عليك سوى التسجيل في النظام والبدء في حل المعادلات. لتوحيد النتائج ننصحك بالعودة إلى موقع شكولكوفو يومياً.
تعليمات
اكتب التعبير اللوغاريتمي المعطى. إذا كان التعبير يستخدم لوغاريتم 10، فسيتم اختصار تدوينه ويبدو كما يلي: lg b هو اللوغاريتم العشري. إذا كان اللوغاريتم يحتوي على الرقم e كأساس له، فاكتب التعبير: ln b – اللوغاريتم الطبيعي. ومن المفهوم أن نتيجة أي هي القوة التي يجب رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.
عند إيجاد مجموع دالتين، ما عليك سوى التمييز بينهما واحدة تلو الأخرى وإضافة النتائج: (u+v)" = u"+v";
عند إيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين من الضروري ضرب مشتقة الدالة الأولى في الثانية وإضافة مشتقة الدالة الثانية مضروبة في الدالة الأولى: (u*v)" = u"*v +v"*u;
من أجل العثور على مشتق حاصل قسمة دالتين، من الضروري طرح ناتج مشتقة المقسوم مضروبًا في دالة المقسوم عليه، حاصل ضرب مشتقة المقسوم عليه في دالة المقسوم عليه، وتقسيمه كل هذا بواسطة دالة المقسوم عليها مربعة. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
إذا تم إعطاء دالة معقدة، فمن الضروري ضرب مشتق الدالة الداخلية ومشتق الدالة الخارجية. دع y=u(v(x)) ثم y"(x)=y"(u)*v"(x).
باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها أعلاه، يمكنك التمييز بين أي وظيفة تقريبًا. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *س));
هناك أيضًا مشاكل تتعلق بحساب المشتق عند نقطة ما. افترض أن الدالة y=e^(x^2+6x+5) معطاة، فأنت بحاجة إلى إيجاد قيمة الدالة عند النقطة x=1.
1) أوجد مشتقة الدالة: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) احسب قيمة الدالة عند نقطة معينة y"(1)=8*e^0=8
فيديو حول الموضوع
نصائح مفيدة
تعلم جدول المشتقات الأولية. وهذا سيوفر الوقت بشكل كبير.
مصادر:
- مشتق من ثابت
إذًا، ما الفرق بين المعادلة غير العقلانية والمعادلة العقلانية؟ إذا كان المتغير المجهول تحت علامة الجذر التربيعي، فإن المعادلة تعتبر غير منطقية.
تعليمات
الطريقة الرئيسية لحل مثل هذه المعادلات هي طريقة بناء كلا الطرفين المعادلاتفي مربع. لكن. هذا أمر طبيعي، أول شيء عليك فعله هو التخلص من العلامة. هذه الطريقة ليست صعبة من الناحية الفنية، ولكنها قد تؤدي في بعض الأحيان إلى مشاكل. على سبيل المثال، المعادلة هي v(2x-5)=v(4x-7). بتربيع الطرفين تحصل على 2x-5=4x-7. إن حل مثل هذه المعادلة ليس بالأمر الصعب؛ س = 1. ولكن لن يتم إعطاء الرقم 1 المعادلات. لماذا؟ استبدل واحدًا في المعادلة بدلًا من قيمة x وسيحتوي الجانبان الأيمن والأيسر على تعبيرات لا معنى لها. هذه القيمة غير صالحة للجذر التربيعي. لذلك، 1 هو جذر خارجي، وبالتالي فإن هذه المعادلة ليس لها جذور.
إذن، يتم حل المعادلة غير النسبية باستخدام طريقة تربيع طرفيها. وبعد حل المعادلة، من الضروري قطع الجذور الدخيلة. للقيام بذلك، قم بالتعويض بالجذور الموجودة في المعادلة الأصلية.
النظر في واحد آخر.
2x+vx-3=0
وبالطبع يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نفس المعادلة السابقة. تحرك المركبات المعادلاتالتي ليس لها جذر تربيعي، إلى الجانب الأيمن ثم استخدم طريقة التربيع. حل المعادلة العقلانية الناتجة والجذور. ولكن أيضًا واحدة أخرى أكثر أناقة. أدخل متغيرا جديدا. vx=y. وبناء على ذلك، سوف تحصل على معادلة بالصيغة 2y2+y-3=0. أي معادلة تربيعية عادية. ابحث عن جذوره؛ y1=1 و y2=-3/2. التالي حل اثنين المعادلات vx=1; vx=-3/2. المعادلة الثانية ليس لها جذور؛ من الأولى نجد أن x=1. لا تنس التحقق من الجذور.
حل الهويات بسيط للغاية. للقيام بذلك، من الضروري إجراء تحولات متطابقة حتى يتم تحقيق الهدف المحدد. وهكذا، بمساعدة العمليات الحسابية البسيطة، سيتم حل المشكلة المطروحة.
سوف تحتاج
- - ورق؛
- - قلم.
تعليمات
أبسط هذه التحويلات هي الضربات الجبرية المختصرة (مثل مربع المجموع (الفرق)، فرق المربعات، المجموع (الفرق)، مكعب المجموع (الفرق)). بالإضافة إلى ذلك، هناك العديد من الصيغ المثلثية، والتي هي في الأساس نفس الهويات.
في الواقع، مربع مجموع حدين يساوي مربع الأول زائد ضعف ناتج الأول في الثاني وزائد مربع الثاني، أي (a+b)^2= (a+ ب)(أ+ب)=أ^2+آب +با+ب ^2=أ^2+2ab+ب^2.
بسّط كلا الأمرين
المبادئ العامة للحل
كرر من كتاب مدرسي عن التحليل الرياضي أو الرياضيات العليا ما هو التكامل المحدد. كما هو معروف، حل التكامل المحدد هو دالة مشتقتها سوف تعطي تكاملا. هذه الوظيفة تسمى المشتق العكسي. وعلى هذا المبدأ يتم بناء التكاملات الرئيسية.حدد حسب نوع التكامل وأي من تكاملات الجدول مناسب في هذه الحالة. ليس من الممكن دائمًا تحديد ذلك على الفور. في كثير من الأحيان، يصبح الشكل الجدولي ملحوظًا فقط بعد عدة تحويلات لتبسيط التكامل.
طريقة الاستبدال المتغيرة
إذا كان التكامل عبارة عن دالة مثلثية وسيطتها متعددة الحدود، فحاول استخدام طريقة تغيير المتغيرات. من أجل القيام بذلك، استبدل كثير الحدود في وسيطة التكامل بمتغير جديد. بناءً على العلاقة بين المتغيرات الجديدة والقديمة، حدد الحدود الجديدة للتكامل. من خلال التمييز بين هذا التعبير، ابحث عن التفاضل الجديد في . وبالتالي، سوف تحصل على شكل جديد من التكامل السابق، قريب أو حتى يتوافق مع بعض الجدول.حل التكاملات من النوع الثاني
إذا كان التكامل تكاملًا من النوع الثاني، وهو شكل متجه للتكامل، فستحتاج إلى استخدام قواعد الانتقال من هذه التكاملات إلى التكاملات العددية. إحدى هذه القواعد هي علاقة أوستروجرادسكي-غاوس. يسمح لنا هذا القانون بالانتقال من التدفق الدوار لوظيفة متجهة معينة إلى التكامل الثلاثي على مدى تباعد مجال متجه معين.استبدال حدود التكامل
بعد إيجاد المشتقة العكسية، من الضروري التعويض بحدود التكامل. أولًا، عوض بقيمة الحد الأعلى في التعبير الخاص بالمشتق العكسي. سوف تحصل على بعض الرقم. بعد ذلك، اطرح من الرقم الناتج رقمًا آخر تم الحصول عليه من الحد الأدنى إلى المشتق العكسي. إذا كانت إحدى حدود التكامل هي اللانهاية، فعند استبدالها في دالة المشتقة العكسية، فمن الضروري الذهاب إلى النهاية والعثور على ما يميل إليه التعبير.إذا كان التكامل ثنائي أو ثلاثي الأبعاد، فسيتعين عليك تمثيل حدود التكامل هندسيًا لفهم كيفية حساب التكامل. في الواقع، في حالة التكامل ثلاثي الأبعاد، على سبيل المثال، يمكن أن تكون حدود التكامل مستويات كاملة تحد من الحجم الجاري تكامله.
أمثلة:
\(\log_(2)(x) = 32\)
\(\log_3x=\log_39\)
\(\log_3((x^2-3))=\log_3((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2((x+1))+10=11 \lg((x+1))\)
كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية:
عند حل معادلة لوغاريتمية، يجب أن تسعى جاهدة لتحويلها إلى النموذج \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\)، ثم قم بالانتقال إلى \(f(x) )=ز(س) \).
\(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).
مثال:\(\log_2(x-2)=3\)
|
حل: |
أودز: |
مهم جدا!لا يمكن إجراء هذا الانتقال إلا إذا:
لقد كتبت للمعادلة الأصلية، وفي النهاية سوف تتحقق مما إذا كانت تلك التي تم العثور عليها مدرجة في DL. إذا لم يتم ذلك، فقد تظهر جذور إضافية، وهو ما يعني قرارا خاطئا.
الرقم (أو التعبير) الموجود على اليسار واليمين هو نفسه؛
اللوغاريتمات الموجودة على اليسار واليمين "نقية"، أي أنه لا ينبغي أن يكون هناك عمليات ضرب أو قسمة وما إلى ذلك. - اللوغاريتمات الفردية فقط على جانبي علامة المساواة.
على سبيل المثال:
لاحظ أنه يمكن حل المعادلتين 3 و4 بسهولة من خلال تطبيق خصائص اللوغاريتمات الضرورية.
مثال . حل المعادلة \(2\log_8x=\log_82.5+\log_810\)
حل :
|
لنكتب ODZ: \(x>0\). |
||
|
\(2\log_8x=\log_82.5+\log_810\) ODZ: \(x>0\) |
على اليسار أمام اللوغاريتم يوجد المعامل، وعلى اليمين هو مجموع اللوغاريتمات. هذا يزعجنا. لننقل الاثنين إلى الأس \(x\) وفقًا للخاصية: \(n \log_b(a)=\log_b(a^n)\). دعونا نمثل مجموع اللوغاريتمات كوغاريتم واحد وفقًا للخاصية: \(\log_ab+\log_ac=\log_a(bc)\) |
|
|
\(\log_8(x^2)=\log_825\) |
قمنا بتبسيط المعادلة إلى الصيغة \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) وكتبنا ODZ، مما يعني أنه يمكننا الانتقال إلى الصيغة \(f(x) =ز(س)\). |
|
|
حدث . نحن نحلها ونحصل على الجذور. |
||
|
\(x_1=5\) \(x_2=-5\) |
نتحقق مما إذا كانت الجذور مناسبة لـ ODZ. للقيام بذلك، في \(x>0\) بدلاً من \(x\) نستبدل \(5\) و\(-5\). يمكن إجراء هذه العملية عن طريق الفم. |
|
|
\(5>0\), \(-5>0\) |
المتباينة الأولى صحيحة، والثانية ليست كذلك. هذا يعني أن \(5\) هو جذر المعادلة، لكن \(-5\) ليس كذلك. نكتب الجواب. |
إجابة : \(5\)
مثال : حل المعادلة \(\log^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\)
حل :
|
لنكتب ODZ: \(x>0\). |
||
|
\(\log^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\) ODZ: \(x>0\) |
معادلة نموذجية تم حلها باستخدام . استبدل \(\log_2x\) بـ \(t\). |
|
|
\(ر=\log_2x\) |
||
|
لقد حصلنا على المعتاد. نحن نبحث عن جذوره. |
||
|
\(t_1=2\) \(t_2=1\) |
إجراء استبدال عكسي |
|
|
\(\log_2(x)=2\) \(\log_2(x)=1\) |
نحول الأطراف اليمنى، ونمثلها باللوغاريتمات: \(2=2 \cdot 1=2 \log_22=\log_24\) و \(1=\log_22\) |
|
|
\(\log_2(x)=\log_24\) \(\log_2(x)=\log_22 \) |
الآن معادلاتنا هي \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\)، ويمكننا الانتقال إلى \(f(x)=g(x)\). |
|
|
\(x_1=4\) \(x_2=2\) |
نتحقق من مراسلات جذور ODZ. للقيام بذلك، استبدل \(4\) و\(2\) في المتراجحة \(x>0\) بدلاً من \(x\). |
|
|
\(4>0\) \(2>0\) |
كلا عدم المساواة صحيح. هذا يعني أن كلا من \(4\) و\(2\) هما جذور المعادلة. |
إجابة : \(4\); \(2\).
بهذا الفيديو أبدأ سلسلة طويلة من الدروس حول المعادلات اللوغاريتمية. والآن أمامك ثلاثة أمثلة والتي على أساسها سنتعلم حل أبسط المسائل والتي تسمى - الكائنات الاوليه.
سجل 0.5 (3س - 1) = −3
سجل (س + 3) = 3 + 2 سجل 5
دعني أذكرك أن أبسط معادلة لوغاريتمية هي كما يلي:
سجل و (س) = ب
في هذه الحالة، من المهم أن يكون المتغير x موجودًا فقط داخل الوسيطة، أي في الدالة f (x) فقط. والرقمان a وb هما مجرد أرقام، وليسا بأي حال من الأحوال دوال تحتوي على المتغير x.
طرق الحل الأساسية
هناك طرق عديدة لحل مثل هذه الهياكل. على سبيل المثال، يقدم معظم المعلمين في المدرسة هذه الطريقة: التعبير فورًا عن الدالة f (x) باستخدام الصيغة F ( س) = أ ب . وهذا هو، عندما تصادف أبسط البناء، يمكنك الانتقال على الفور إلى الحل دون إجراءات وإنشاءات إضافية.
نعم بالطبع القرار سيكون صحيحا. ومع ذلك، فإن المشكلة في هذه الصيغة هي أن معظم الطلاب لا تفهمومن أين يأتي ولماذا نرفع حرف أ إلى حرف ب.
ونتيجة لذلك، كثيرا ما أرى أخطاء مزعجة للغاية عندما يتم، على سبيل المثال، تبديل هذه الحروف. يجب أن تكون هذه الصيغة مفهومة أو مكتظة، والطريقة الثانية تؤدي إلى أخطاء في أكثر اللحظات غير المناسبة والأكثر أهمية: أثناء الامتحانات والاختبارات وما إلى ذلك.
ولهذا السبب أقترح على جميع طلابي التخلي عن الصيغة المدرسية القياسية واستخدام الطريقة الثانية لحل المعادلات اللوغاريتمية، والتي، كما خمنت على الأرجح من الاسم، تسمى الشكل الكنسي.
فكرة الشكل القانوني بسيطة. دعونا نلقي نظرة على مشكلتنا مرة أخرى: على اليسار لدينا السجل a، ونعني بالحرف a رقمًا، وليس بأي حال من الأحوال دالة تحتوي على المتغير x. وبالتالي فإن هذه الرسالة تخضع لجميع القيود التي تفرض على أساس اللوغاريتم. يسمى:
1 ≠ أ > 0
من ناحية أخرى، من نفس المعادلة نرى أن اللوغاريتم يجب أن يكون مساوياً للرقم ب، ولا توجد قيود على هذا الحرف، لأنه يمكن أن يأخذ أي قيمة - إيجابية أو سلبية. كل هذا يتوقف على القيم التي تأخذها الدالة f(x).
وهنا نتذكر قاعدتنا الرائعة التي تنص على أن أي رقم b يمكن تمثيله لوغاريتم للأساس a لـ a أس b:
ب = سجل أ ب
كيف تتذكر هذه الصيغة؟ نعم، بسيط جدا. لنكتب البناء التالي:
ب = ب 1 = ب سجل أ
بالطبع، في هذه الحالة تنشأ جميع القيود التي كتبناها في البداية. الآن دعونا نستخدم الخاصية الأساسية للوغاريتم ونقدم المضاعف b كقوة a. نحن نحصل:
ب = ب 1 = ب سجل أ = سجل أ أ ب
ونتيجة لذلك، سيتم إعادة كتابة المعادلة الأصلية على النحو التالي:
سجل أ و (س) = سجل أ أ ب → و (س) = أ ب
هذا كل شئ. لم تعد الدالة الجديدة تحتوي على لوغاريتم ويمكن حلها باستخدام التقنيات الجبرية القياسية.
بالطبع، سوف يعترض شخص ما الآن: لماذا كان من الضروري التوصل إلى نوع من الصيغة الأساسية على الإطلاق، لماذا قم بإجراء خطوتين إضافيتين غير ضروريتين إذا كان من الممكن الانتقال على الفور من التصميم الأصلي إلى الصيغة النهائية؟ نعم، فقط لأن معظم الطلاب لا يفهمون من أين تأتي هذه الصيغة، ونتيجة لذلك، يرتكبون أخطاء بانتظام عند تطبيقها.
لكن هذا التسلسل من الإجراءات، الذي يتكون من ثلاث خطوات، يسمح لك بحل المعادلة اللوغاريتمية الأصلية، حتى لو كنت لا تفهم من أين تأتي الصيغة النهائية. بالمناسبة، هذا الإدخال يسمى الصيغة الأساسية:
سجل أ و (س) = سجل أ أ ب
تكمن ملاءمة الشكل القانوني أيضًا في حقيقة أنه يمكن استخدامه لحل فئة واسعة جدًا من المعادلات اللوغاريتمية، وليس فقط أبسط المعادلات التي نفكر فيها اليوم.
أمثلة على الحلول
الآن دعونا نلقي نظرة على أمثلة حقيقية. لذلك، دعونا نقرر:
سجل 0.5 (3س - 1) = −3
دعنا نعيد كتابتها هكذا:
سجل 0.5 (3س − 1) = سجل 0.5 0.5 −3
العديد من الطلاب في عجلة من أمرهم ويحاولون رفع الرقم 0.5 على الفور إلى القوة التي أتت إلينا من المشكلة الأصلية. في الواقع، عندما تكون مدربًا جيدًا على حل مثل هذه المشكلات، يمكنك تنفيذ هذه الخطوة على الفور.
ومع ذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة هذا الموضوع، فمن الأفضل عدم التسرع في أي مكان لتجنب ارتكاب الأخطاء الهجومية. إذن، لدينا الشكل القانوني. لدينا:
3س − 1 = 0.5 −3
لم تعد هذه معادلة لوغاريتمية، بل خطية بالنسبة للمتغير x. لحلها، دعونا نلقي نظرة أولًا على الرقم 0.5 أس −3. لاحظ أن 0.5 هو 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
تحويل جميع الكسور العشرية إلى كسور عادية عند حل معادلة لوغاريتمية.
نعيد الكتابة ونحصل على:
3س - 1 = 8
3س = 9
س = 3
هذا كل شيء، حصلنا على الجواب. تم حل المشكلة الأولى.
المهمة الثانية
لننتقل إلى المهمة الثانية:
وكما نرى فإن هذه المعادلة لم تعد هي الأبسط. فقط لأنه يوجد فرق على اليسار، وليس لوغاريتمًا واحدًا لقاعدة واحدة.
لذلك، نحن بحاجة إلى التخلص بطريقة أو بأخرى من هذا الاختلاف. في هذه الحالة، كل شيء بسيط جدا. دعونا نلقي نظرة فاحصة على القواعد: على اليسار يوجد الرقم الموجود تحت الجذر:
توصية عامة: في جميع المعادلات اللوغاريتمية، حاول التخلص من الجذور، أي من الإدخالات ذات الجذور والانتقال إلى دوال القوة، وذلك ببساطة لأن أسس هذه القوى يمكن إخراجها بسهولة من علامة اللوغاريتم، وفي النهاية، مثل هذا يؤدي الإدخال إلى تبسيط العمليات الحسابية وتسريعها بشكل كبير. دعنا نكتبها هكذا:
الآن دعونا نتذكر الخاصية الرائعة للوغاريتم: يمكن اشتقاق القوى من الوسيطة، وكذلك من القاعدة. وفي حالة الأسباب يحدث ما يلي:
سجل أ ك ب = 1/ك سجل ب
بمعنى آخر، يتم تقديم الرقم الذي كان في القوة الأساسية للأمام وفي نفس الوقت يتم عكسه، أي أنه يصبح رقمًا مقلوبًا. في حالتنا، كانت الدرجة الأساسية 1/2. لذلك يمكننا إخراجها على أنها 2/1. نحن نحصل:
5 2 سجل 5 x − سجل 5 x = 18
10 سجل 5 س - سجل 5 س = 18
يرجى ملاحظة: لا ينبغي بأي حال من الأحوال التخلص من اللوغاريتمات في هذه الخطوة. تذكر رياضيات الصف الرابع إلى الخامس وترتيب العمليات: يتم إجراء الضرب أولاً، وبعد ذلك فقط الجمع والطرح. في هذه الحالة نطرح أحد العناصر نفسها من 10 عناصر:
9 سجل 5 × = 18
سجل 5 × = 2
الآن تبدو المعادلة كما ينبغي. هذا هو البناء الأبسط، ونحله باستخدام الصيغة الأساسية:
سجل 5 س = سجل 5 5 2
س = 5 2
س = 25
هذا كل شئ. تم حل المشكلة الثانية.
المثال الثالث
لننتقل إلى المهمة الثالثة:
سجل (س + 3) = 3 + 2 سجل 5
دعني أذكرك بالصيغة التالية:
سجل ب = سجل 10 ب
إذا كنت مرتبكًا لسبب ما من خلال سجل التدوين b، فعند إجراء جميع الحسابات، يمكنك ببساطة كتابة السجل 10 b. يمكنك العمل مع اللوغاريتمات العشرية بنفس الطريقة كما هو الحال مع الآخرين: خذ الصلاحيات وأضف وتمثل أي أرقام في النموذج lg 10.
هذه هي الخصائص التي سنستخدمها الآن لحل المشكلة، لأنها ليست أبسط ما كتبناه في بداية درسنا.
أولاً، لاحظ أنه يمكن إضافة العامل 2 أمام lg 5 ويصبح قوة للأساس 5. بالإضافة إلى ذلك، يمكن أيضًا تمثيل الحد الحر 3 على هيئة لوغاريتم - وهذا من السهل جدًا ملاحظته من خلال تدويننا.
احكم بنفسك: يمكن تمثيل أي رقم على أنه سجل للأساس 10:
3 = سجل 10 10 3 = سجل 10 3
لنعد كتابة المشكلة الأصلية مع مراعاة التغييرات التي تم الحصول عليها:
سجل (س - 3) = سجل 1000 + سجل 25
سجل (س − 3) = سجل 1000 25
سجل (س - 3) = سجل 25000
أمامنا مرة أخرى الشكل القانوني، وقد حصلنا عليه دون المرور بمرحلة التحويل، أي أن أبسط معادلة لوغاريتمية لم تظهر في أي مكان.
هذا هو بالضبط ما تحدثت عنه في بداية الدرس. يتيح لك النموذج الأساسي حل فئة أوسع من المشكلات مقارنة بالصيغة المدرسية القياسية التي يقدمها معظم معلمي المدارس.
حسنًا، هذا كل شيء، لقد تخلصنا من إشارة اللوغاريتم العشري، وحصلنا على بناء خطي بسيط:
س + 3 = 25000
س = 24,997
الجميع! حلت المشكلة.
ملاحظة حول النطاق
وأود هنا أن أبدي ملاحظة هامة فيما يتعلق بنطاق التعريف. بالتأكيد سيكون هناك الآن طلاب ومعلمون سيقولون: "عندما نحل تعبيرات باللوغاريتمات، يجب أن نتذكر أن الوسيطة f (x) يجب أن تكون أكبر من الصفر!" وفي هذا الصدد يطرح سؤال منطقي: لماذا لم نشترط استيفاء هذا التفاوت في أي من المشاكل المطروحة؟
لا تقلق. في هذه الحالات، لن تظهر أي جذور إضافية. وهذه خدعة رائعة أخرى تسمح لك بتسريع الحل. اعلم فقط أنه إذا كان المتغير x موجودًا في المشكلة في مكان واحد فقط (أو بالأحرى، في وسيطة واحدة لوغاريتم واحد)، ولم يظهر المتغير x في أي مكان آخر في حالتنا، فاكتب مجال التعريف لا حاجةلأنه سيتم تنفيذه تلقائيًا.
احكم بنفسك: في المعادلة الأولى حصلنا على 3x − 1، أي أن الوسيطة يجب أن تساوي 8. وهذا يعني تلقائيًا أن 3x − 1 سيكون أكبر من الصفر.
وبنفس النجاح يمكننا أن نكتب أنه في الحالة الثانية يجب أن تكون x مساوية لـ 5 2، أي أنها بالتأكيد أكبر من الصفر. وفي الحالة الثالثة، حيث x + 3 = 25000، أي مرة أخرى، من الواضح أنها أكبر من الصفر. بمعنى آخر، يتم استيفاء النطاق تلقائيًا، ولكن فقط في حالة ظهور x فقط في وسيطة لوغاريتم واحد فقط.
هذا كل ما تحتاج إلى معرفته لحل أبسط المشاكل. ستسمح لك هذه القاعدة وحدها، إلى جانب قواعد التحويل، بحل فئة واسعة جدًا من المشكلات.
ولكن دعونا نكون صادقين: لفهم هذه التقنية أخيرًا، وتعلم كيفية تطبيق الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، لا يكفي مجرد مشاهدة درس فيديو واحد. لذلك، قم الآن بتنزيل خيارات الحلول المستقلة المرفقة بدرس الفيديو هذا وابدأ في حل واحد على الأقل من هذين العملين المستقلين.
سوف يأخذك حرفيا بضع دقائق. لكن تأثير هذا التدريب سيكون أعلى بكثير مما لو شاهدت درس الفيديو هذا ببساطة.
آمل أن يساعدك هذا الدرس على فهم المعادلات اللوغاريتمية. استخدم النموذج الأساسي، وقم بتبسيط التعبيرات باستخدام قواعد العمل مع اللوغاريتمات - ولن تخاف من أي مشاكل. هذا كل ما لدي لهذا اليوم.
مع مراعاة مجال التعريف
الآن دعونا نتحدث عن مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية، وكيف يؤثر ذلك على حل المعادلات اللوغاريتمية. النظر في بناء النموذج
سجل و (س) = ب
يسمى هذا التعبير الأبسط - فهو يحتوي على دالة واحدة فقط، والأرقام a و b مجرد أرقام، وليست بأي حال من الأحوال دالة تعتمد على المتغير x. يمكن حلها بكل بساطة. تحتاج فقط إلى استخدام الصيغة:
ب = سجل أ ب
هذه الصيغة هي إحدى الخصائص الأساسية للوغاريتم، وعند التعويض في التعبير الأصلي نحصل على ما يلي:
سجل أ و (س) = سجل أ أ ب
و (خ) = أ ب
هذه صيغة مألوفة من الكتب المدرسية. من المحتمل أن يكون لدى العديد من الطلاب سؤال: نظرًا لأن الوظيفة f (x) موجودة في التعبير الأصلي تحت علامة السجل، فقد تم فرض القيود التالية عليها:
و(خ) > 0
ينطبق هذا القيد بسبب عدم وجود لوغاريتم الأرقام السالبة. لذلك، ربما، نتيجة لهذا القيد، ينبغي تقديم التحقق من الإجابات؟ ربما يحتاجون إلى إدراجها في المصدر؟
لا، في أبسط المعادلات اللوغاريتمية، لا يلزم إجراء فحص إضافي. وهذا هو السبب. ألق نظرة على الصيغة النهائية لدينا:
و (خ) = أ ب
الحقيقة هي أن الرقم a أكبر من 0 بأي حال من الأحوال - وهذا المطلب يفرضه اللوغاريتم أيضًا. الرقم أ هو الأساس في هذه الحالة، لا يتم فرض أي قيود على الرقم ب. لكن هذا لا يهم، لأنه بغض النظر عن القوة التي نرفع إليها عددًا موجبًا، سنحصل على عدد موجب عند المخرج. وبالتالي، يتم استيفاء المتطلب f (x) > 0 تلقائيًا.
ما يستحق التحقق حقًا هو مجال الوظيفة الموجود أسفل علامة السجل. قد تكون هناك هياكل معقدة للغاية، ومن المؤكد أنك تحتاج إلى مراقبتها أثناء عملية الحل. دعونا نلقي نظرة.
المهمة الأولى:
الخطوة الأولى: تحويل الكسر الموجود على اليمين. نحن نحصل:
نتخلص من علامة اللوغاريتم ونحصل على المعادلة غير المنطقية المعتادة:
من الجذور التي تم الحصول عليها، فقط الأول يناسبنا، لأن الجذر الثاني أقل من الصفر. الإجابة الوحيدة ستكون الرقم 9. خلاص تم حل المشكلة. ليست هناك حاجة إلى فحوصات إضافية للتأكد من أن التعبير تحت علامة اللوغاريتم أكبر من 0، لأنه ليس أكبر من 0 فقط، ولكن حسب شرط المعادلة يساوي 2. لذلك فإن شرط "أكبر من صفر" "يتم رضاه تلقائيًا.
لننتقل إلى المهمة الثانية:
كل شيء هو نفسه هنا. نعيد كتابة البناء ونستبدل الثلاثي:
نتخلص من علامات اللوغاريتم ونحصل على معادلة غير منطقية:
نقوم بتربيع الجانبين مع مراعاة القيود ونحصل على:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
س 2 + 8س + 16 −4 + 6س + س 2 = 0
2س 2 + 14س + 12 = 0 |:2
× 2 + 7س + 6 = 0
نحل المعادلة الناتجة من خلال المميز:
د = 49 − 24 = 25
س 1 = −1
س 2 = −6
لكن x = −6 لا يناسبنا، لأننا إذا عوضنا بهذا الرقم في متباينتنا، نحصل على:
−6 + 4 = −2 < 0
في حالتنا، يجب أن يكون أكبر من 0، أو في الحالات القصوى، يساوي. لكن x = −1 يناسبنا:
−1 + 4 = 3 > 0
الإجابة الوحيدة في حالتنا ستكون x = −1. هذا هو الحل. دعنا نعود إلى بداية حساباتنا.
الدرس الرئيسي المستفاد من هذا الدرس هو أنك لا تحتاج إلى التحقق من القيود المفروضة على دالة في المعادلات اللوغاريتمية البسيطة. لأنه أثناء عملية الحل يتم استيفاء جميع القيود تلقائيًا.
ومع ذلك، هذا لا يعني بأي حال من الأحوال أنه يمكنك نسيان التحقق تمامًا. وفي عملية العمل على معادلة لوغاريتمية قد تتحول إلى معادلة غير عقلانية، والتي سيكون لها قيودها ومتطلباتها الخاصة بالجانب الأيمن، وهو ما رأيناه اليوم في مثالين مختلفين.
لا تتردد في حل مثل هذه المشاكل وكن حذرًا بشكل خاص إذا كان هناك جذر في الحجة.
المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المختلفة
نواصل دراسة المعادلات اللوغاريتمية وننظر إلى تقنيتين أكثر إثارة للاهتمام من المألوف من خلالهما حل الإنشاءات الأكثر تعقيدًا. لكن أولاً، دعونا نتذكر كيف يتم حل أبسط المشكلات:
سجل و (س) = ب
في هذا الإدخال، a و b عبارة عن أرقام، وفي الدالة f (x) يجب أن يكون المتغير x موجودًا، وهناك فقط، أي يجب أن يكون x في الوسيطة فقط. سنقوم بتحويل هذه المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الصورة الأساسية. للقيام بذلك، لاحظ ذلك
ب = سجل أ ب
علاوة على ذلك، فإن a b هي على وجه التحديد حجة. دعونا نعيد كتابة هذا التعبير على النحو التالي:
سجل أ و (س) = سجل أ أ ب
هذا هو بالضبط ما نحاول تحقيقه، بحيث يكون هناك لوغاريتم يرتكز على كل من اليسار واليمين. في هذه الحالة، يمكننا، مجازيًا، شطب علامات السجل، ومن وجهة نظر رياضية يمكننا القول أننا ببساطة نساوي بين الحجج:
و (خ) = أ ب
ونتيجة لذلك، سوف نحصل على تعبير جديد سيكون حله أسهل بكثير. دعونا نطبق هذه القاعدة على مشاكلنا اليوم.
إذن التصميم الأول :
أولًا، ألاحظ أن على اليمين يوجد كسر مقامه لوغاريتم. عندما ترى تعبيرًا مثل هذا، فمن الجيد أن تتذكر خاصية رائعة للوغاريتمات:
وهذا يعني ترجمته إلى اللغة الروسية أنه يمكن تمثيل أي لوغاريتم كحاصل لوغاريتمين مع أي أساس c. بالطبع 0< с ≠ 1.
إذن: هذه الصيغة لها حالة خاصة رائعة، عندما يكون المتغير c مساويًا للمتغير ب. في هذه الحالة نحصل على بناء مثل:
وهذا هو بالضبط البناء الذي نراه من العلامة الموجودة على اليمين في المعادلة. لنستبدل هذا البناء بـ log a b، نحصل على:
بمعنى آخر، بالمقارنة مع المهمة الأصلية، قمنا بتبديل الوسيطة وأساس اللوغاريتم. وبدلًا من ذلك، كان علينا عكس الكسر.
ونذكر أنه يمكن اشتقاق أي درجة من القاعدة وفقا للقاعدة التالية:
وبعبارة أخرى، يتم التعبير عن المعامل k، وهو قوة القاعدة، ككسر مقلوب. لنجعله كسرًا مقلوبًا:
لا يمكن ترك العامل الكسري في المقدمة، لأنه في هذه الحالة لن نتمكن من تمثيل هذا التدوين كشكل قانوني (بعد كل شيء، في الشكل الكنسي لا يوجد عامل إضافي قبل اللوغاريتم الثاني). لذلك، دعونا نضيف الكسر 1/4 إلى الوسيط كقوة:
الآن نحن نساوي بين الحجج التي أسسها متماثلة (وأساساتنا متماثلة بالفعل)، ونكتب:
س + 5 = 1
س = −4
هذا كل شئ. لقد حصلنا على إجابة المعادلة اللوغاريتمية الأولى. يرجى ملاحظة: في المشكلة الأصلية، يظهر المتغير x في سجل واحد فقط، ويظهر في الوسيط الخاص به. لذلك، ليست هناك حاجة للتحقق من المجال، ورقمنا x = −4 هو الجواب بالفعل.
والآن ننتقل إلى التعبير الثاني:
سجل 56 = سجل 2 سجل 2 7 − 3سجل (س + 4)
هنا، بالإضافة إلى اللوغاريتمات المعتادة، سيتعين علينا العمل مع السجل f (x). كيفية حل مثل هذه المعادلة؟ بالنسبة للطالب غير المستعد، قد يبدو أن هذه مهمة صعبة نوعًا ما، ولكن في الواقع يمكن حل كل شيء بطريقة أولية.
ألق نظرة فاحصة على المصطلح lg 2 log 2 7. ماذا يمكننا أن نقول عنه؟ أسس ووسائط log وlg هي نفسها، وهذا ينبغي أن يعطي بعض الأفكار. دعونا نتذكر مرة أخرى كيف يتم إخراج القوى من تحت علامة اللوغاريتم:
سجل أ ب ن = نسجل أ ب
بمعنى آخر، ما كان قوة b في الوسيطة يصبح عاملاً أمام السجل نفسه. دعونا نطبق هذه الصيغة على التعبير lg 2 log 2 7. لا تخف من lg 2 - هذا هو التعبير الأكثر شيوعًا. يمكنك إعادة كتابتها على النحو التالي:
جميع القواعد التي تنطبق على أي لوغاريتم آخر صالحة لذلك. على وجه الخصوص، يمكن إضافة العامل الموجود في المقدمة إلى درجة الوسيطة. دعنا نكتبها:
في كثير من الأحيان، لا يرى الطلاب هذا الإجراء مباشرة، لأنه ليس من الجيد إدخال سجل واحد تحت علامة آخر. في الواقع، لا يوجد شيء إجرامي في هذا الأمر. علاوة على ذلك، حصلنا على صيغة يسهل حسابها إذا كنت تتذكر قاعدة مهمة:
يمكن اعتبار هذه الصيغة كتعريف وكأحد خصائصها. على أية حال، إذا كنت تقوم بتحويل معادلة لوغاريتمية، فيجب أن تعرف هذه الصيغة تمامًا كما تعرف التمثيل اللوغاريتمي لأي رقم.
دعونا نعود إلى مهمتنا. نعيد كتابتها مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن الحد الأول على يمين علامة التساوي سيكون ببساطة مساويًا لـ lg 7. لدينا:
إل جي 56 = إل جي 7 - 3 إل جي (س + 4)
لنحرك lg 7 إلى اليسار، فنحصل على:
إل جي 56 - سجل 7 = −3lg (س + 4)
نطرح التعبيرات الموجودة على اليسار لأنها لها نفس الأساس:
إل جي (56/7) = −3إل جي (س + 4)
الآن دعونا نلقي نظرة فاحصة على المعادلة التي حصلنا عليها. إنه الشكل القانوني عمليا، ولكن هناك عامل −3 على اليمين. دعنا نضيفها إلى وسيطة lg الصحيحة:
سجل 8 = سجل (س + 4) −3
أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، لذلك نقوم بشطب علامات lg ومساواة الحجج:
(س + 4) −3 = 8
س + 4 = 0.5
هذا كل شئ! لقد حللنا المعادلة اللوغاريتمية الثانية. في هذه الحالة، لا يلزم إجراء فحوصات إضافية، لأنه في المشكلة الأصلية كانت x موجودة في وسيطة واحدة فقط.
اسمحوا لي أن أذكر النقاط الرئيسية في هذا الدرس مرة أخرى.
الصيغة الرئيسية التي يتم تدريسها في جميع الدروس في هذه الصفحة المخصصة لحل المعادلات اللوغاريتمية هي الصيغة الأساسية. ولا تخف من حقيقة أن معظم الكتب المدرسية تعلمك كيفية حل مثل هذه المشكلات بشكل مختلف. تعمل هذه الأداة بشكل فعال للغاية وتتيح لك حل فئة أكبر بكثير من المشكلات مقارنة بأبسط المشكلات التي درسناها في بداية درسنا.
بالإضافة إلى ذلك، لحل المعادلات اللوغاريتمية سيكون من المفيد معرفة الخصائص الأساسية. يسمى:
- صيغة الانتقال إلى قاعدة واحدة والحالة الخاصة عندما نقوم بعكس السجل (كان هذا مفيدًا جدًا لنا في المشكلة الأولى)؛
- صيغة لإضافة وطرح القوى من علامة اللوغاريتم. وهنا، يتعثر العديد من الطلاب ولا يرون أن الدرجة التي تم أخذها وتقديمها يمكن أن تحتوي في حد ذاتها على السجل f (x). لا حرج في ذلك. يمكننا إدخال سجل واحد حسب إشارة الآخر وفي نفس الوقت تبسيط حل المشكلة بشكل كبير، وهو ما نلاحظه في الحالة الثانية.
في الختام، أود أن أضيف أنه ليس من الضروري التحقق من مجال التعريف في كل حالة من هذه الحالات، لأنه في كل مكان يكون المتغير x موجودًا في علامة سجل واحدة فقط، وفي نفس الوقت موجود في حجته. ونتيجة لذلك، يتم استيفاء جميع متطلبات النطاق تلقائيًا.
مشاكل مع قاعدة متغيرة
سننظر اليوم إلى المعادلات اللوغاريتمية، والتي تبدو للعديد من الطلاب غير قياسية، إن لم تكن غير قابلة للحل تمامًا. نحن نتحدث عن تعبيرات لا تعتمد على الأرقام، بل على المتغيرات وحتى الوظائف. سوف نقوم بحل مثل هذه الإنشاءات باستخدام تقنيتنا القياسية، أي من خلال الشكل القانوني.
أولاً، دعونا نتذكر كيف يتم حل أبسط المسائل بناءً على الأعداد العادية. لذلك، يسمى أبسط البناء
سجل و (س) = ب
لحل مثل هذه المشاكل يمكننا استخدام الصيغة التالية:
ب = سجل أ ب
نعيد كتابة التعبير الأصلي ونحصل على:
سجل أ و (س) = سجل أ أ ب
ثم نساوي بين الحجج، أي نكتب:
و (خ) = أ ب
وهكذا نتخلص من علامة السجل ونحل المشكلة المعتادة. في هذه الحالة، الجذور التي تم الحصول عليها من الحل ستكون جذور المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. بالإضافة إلى ذلك، فإن السجل الذي يكون فيه كل من اليسار واليمين في نفس اللوغاريتم مع نفس الأساس يسمى على وجه التحديد بالشكل القانوني. إنه لمثل هذا السجل أننا سنحاول تقليل تصاميم اليوم. إذا هيا بنا.
المهمة الأولى:
السجل x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
استبدل 1 ب السجل x − 2 (x − 2) 1 . الدرجة التي نلاحظها في الوسيطة هي في الواقع الرقم b الذي يقع على يمين علامة المساواة. وبالتالي، دعونا نعيد كتابة تعبيرنا. نحن نحصل:
سجل x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = سجل x − 2 (x − 2)
ماذا نرى؟ أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، حتى نتمكن من مساواة الحجج بأمان. نحن نحصل:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
لكن الحل لا ينتهي عند هذا الحد، لأن هذه المعادلة لا تعادل المعادلة الأصلية. بعد كل شيء، يتكون البناء الناتج من وظائف محددة على خط الأعداد بأكمله، ولم يتم تعريف اللوغاريتمات الأصلية في كل مكان وليس دائمًا.
ولذلك، يجب علينا أن نكتب مجال التعريف بشكل منفصل. دعونا لا نقسم الشعر ونكتب أولاً جميع المتطلبات:
أولاً، يجب أن تكون وسيطة كل من اللوغاريتمات أكبر من 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
س − 2 > 0
ثانيًا، يجب ألا يكون الأساس أكبر من 0 فحسب، بل يجب أيضًا أن يكون مختلفًا عن 1:
س − 2 ≠ 1
ونتيجة لذلك نحصل على النظام:
ولكن لا تنزعج: عند معالجة المعادلات اللوغاريتمية، يمكن تبسيط هذا النظام بشكل كبير.
احكم بنفسك: من ناحية، مطلوب منا أن تكون الدالة التربيعية أكبر من الصفر، ومن ناحية أخرى، هذه الدالة التربيعية تعادل تعبيرًا خطيًا معينًا، وهو مطلوب أيضًا أن تكون أكبر من الصفر.
في هذه الحالة، إذا طلبنا ذلك x − 2 > 0، فسيتم تلبية المطلب 2x 2 − 13x + 18 > 0 تلقائيًا، لذلك يمكننا شطب المتراجحة التي تحتوي على الدالة التربيعية بأمان. وبالتالي، سيتم تقليل عدد التعبيرات الموجودة في نظامنا إلى ثلاثة.
بالطبع، بنفس النجاح، يمكننا شطب المتباينة الخطية، أي شطب x − 2 > 0 واشتراط 2x 2 − 13x + 18 > 0. لكنك ستوافق على أن حل أبسط المتباينة الخطية يكون أسرع بكثير وأبسط من المعادلة التربيعية، حتى بشرط أنه نتيجة لحل هذا النظام بأكمله نحصل على نفس الجذور.
بشكل عام، حاول تحسين الحسابات كلما أمكن ذلك. وفي حالة المعادلات اللوغاريتمية، شطب المتباينات الأكثر صعوبة.
دعونا نعيد كتابة نظامنا:
هنا نظام من ثلاثة تعبيرات، اثنان منها، في الواقع، تعاملنا معهما بالفعل. لنكتب المعادلة التربيعية بشكل منفصل ونحلها:
2س 2 − 14س + 20 = 0
س 2 − 7س + 10 = 0
أمامنا ثلاثية حدود من الدرجة الثانية مخفضة، ومن ثم يمكننا استخدام صيغ فيتا. نحن نحصل:
(س − 5)(س − 2) = 0
× 1 = 5
× 2 = 2
نعود الآن إلى نظامنا ونجد أن x = 2 لا تناسبنا، لأننا مطالبون بأن تكون x أكبر من 2.
لكن x = 5 يناسبنا تمامًا: الرقم 5 أكبر من 2، وفي نفس الوقت 5 لا يساوي 3. لذلك، فإن الحل الوحيد لهذا النظام سيكون x = 5.
كل شيء، تم حل المشكلة، بما في ذلك مراعاة ODZ. دعنا ننتقل إلى المعادلة الثانية. حسابات أكثر إثارة للاهتمام وغنية بالمعلومات تنتظرنا هنا:
الخطوة الأولى: مثل المرة السابقة، نأتي بهذا الأمر برمته إلى الشكل القانوني. وللقيام بذلك يمكننا كتابة الرقم 9 على النحو التالي:
ليس من الضروري أن تلمس القاعدة بالجذر، ولكن من الأفضل تحويل الوسيطة. دعنا ننتقل من الجذر إلى القوة باستخدام الأس العقلاني. دعنا نكتب:
اسمحوا لي ألا أعيد كتابة معادلتنا اللوغاريتمية الكبيرة بالكامل، ولكن سأعادل الوسيطتين على الفور:
س 3 + 10س 2 + 31س + 30 = س 3 + 9س 2 + 27س + 27
× 2 + 4س + 3 = 0
أمامنا ثلاثية حدود تربيعية مختزلة حديثًا، فلنستخدم صيغ فييتا ونكتب:
(س + 3)(س + 1) = 0
س 1 = −3
س 2 = −1
إذن، حصلنا على الجذور، لكن لم يضمن لنا أحد أنها ستناسب المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. بعد كل شيء، تفرض علامات السجل قيودًا إضافية (هنا كان يجب أن نكتب النظام، ولكن نظرًا للطبيعة المرهقة للهيكل بأكمله، قررت حساب مجال التعريف بشكل منفصل).
أولاً، تذكر أن الوسائط يجب أن تكون أكبر من 0، وهي:
هذه هي المتطلبات التي يفرضها نطاق التعريف.
نلاحظ على الفور أنه بما أننا نساوي التعبيرين الأولين للنظام مع بعضهما البعض، فيمكننا شطب أي منهما. لنحذف الأول لأنه يبدو أكثر تهديدًا من الثاني.
بالإضافة إلى ذلك، لاحظ أن حل المتباينتين الثانية والثالثة سيكون من نفس المجموعات (مكعب رقم ما أكبر من الصفر، إذا كان هذا الرقم نفسه أكبر من الصفر؛ وبالمثل، مع جذر الدرجة الثالثة - هذه المتباينات متشابهان تمامًا، حتى نتمكن من شطبهما).
لكن مع عدم المساواة الثالث، لن ينجح هذا. دعونا نتخلص من علامة الجذر الموجودة على اليسار من خلال رفع كلا الجزأين إلى مكعب. نحن نحصل:
لذلك نحصل على المتطلبات التالية:
− 2 ≠ س > −3
أي من جذورنا: x 1 = −3 أو x 2 = −1 يلبي هذه المتطلبات؟ من الواضح أن x = −1 فقط، لأن x = −3 لا تحقق المتباينة الأولى (نظرًا لأن متباينتنا صارمة). لذا، وبالعودة إلى مسألتنا، نحصل على جذر واحد: x = −1. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.
مرة أخرى، النقاط الرئيسية لهذه المهمة:
- لا تتردد في تطبيق وحل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام النموذج المتعارف عليه. الطلاب الذين يقومون بمثل هذا الترميز، بدلاً من الانتقال مباشرة من المشكلة الأصلية إلى بناء مثل log a f (x) = b، يرتكبون أخطاء أقل بكثير من أولئك الذين يندفعون إلى مكان ما، ويتخطون الخطوات المتوسطة للحسابات؛
- بمجرد ظهور قاعدة متغيرة في اللوغاريتم، تتوقف المشكلة عن أن تكون الأبسط. لذلك، عند حلها، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار مجال التعريف: يجب أن تكون الحجج أكبر من الصفر، ويجب ألا تكون القواعد أكبر من 0 فحسب، بل يجب أيضًا ألا تساوي 1.
يمكن تطبيق المتطلبات النهائية على الإجابات النهائية بطرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكنك حل نظام كامل يحتوي على جميع متطلبات مجال التعريف. من ناحية أخرى، يمكنك أولا حل المشكلة نفسها، ثم تذكر مجال التعريف، والعمل بشكل منفصل في شكل نظام وتطبيقه على الجذور التي تم الحصول عليها.
إن الطريقة التي تختارها عند حل معادلة لوغاريتمية معينة أمر متروك لك. وفي كل الأحوال فإن الجواب سيكون هو نفسه.