ከመፍትሔዎች ጋር 10 አለመመጣጠን። የጊዜ ክፍተት ዘዴ: በጣም ቀላል የሆኑትን ጥብቅ አለመመጣጠን መፍታት

በስሩ ስር ያለ ተግባርን የሚያካትት ማንኛውም እኩልነት ይባላል ምክንያታዊ ያልሆነ. እንደዚህ ያሉ አለመመጣጠን ሁለት ዓይነቶች አሉ-

በመጀመሪያው ሁኔታ ሥሩ ያነሰ ተግባር g (x), በሁለተኛው - ተጨማሪ. g (x) ከሆነ - የማያቋርጥ, እኩልነት በጣም ቀላል ነው. እባክዎን ያስተውሉ: በውጫዊ ሁኔታ እነዚህ እኩልነት በጣም ተመሳሳይ ናቸው, ነገር ግን የመፍትሄ እቅዶቻቸው በመሠረቱ የተለያዩ ናቸው.

ዛሬ የመጀመሪያውን ዓይነት ምክንያታዊ ያልሆኑትን እኩልነት እንዴት መፍታት እንደሚቻል እንማራለን - በጣም ቀላል እና ለመረዳት የሚቻሉ ናቸው. የእኩልነት ምልክት ጥብቅ ወይም ጥብቅ ያልሆነ ሊሆን ይችላል. የሚከተለው መግለጫ ለእነሱ እውነት ነው.

ቲዎረም. ሁሉም ዓይነት ነገሮች ምክንያታዊ ያልሆነ እኩልነትዓይነት

ከእኩልነት ስርዓት ጋር ተመጣጣኝ;

ደካማ አይደለም? ይህ ሥርዓት ከየት እንደመጣ እንመልከት፡-

1. f (x) ≤ g 2 (x) - ሁሉም ነገር እዚህ ግልጽ ነው። ይህ የመጀመሪያው እኩልነት ካሬ ነው;
2. f(x) ≥ 0 ነው። የስር ODZ. ላስታውስህ፡ ሒሳብ ካሬ ሥርየሚኖረው ከ ብቻ ነው። አሉታዊ ያልሆነቁጥሮች;
3. g (x) ≥ 0 የሥሩ ክልል ነው። በስኩዌር እኩልነት, አሉታዊ ነገሮችን እናቃጥላለን. በውጤቱም, ሊኖር ይችላል ተጨማሪ ሥሮች. የ g(x) ≥ 0 አለመመጣጠን ያቋርጣቸዋል።

ብዙ ተማሪዎች በስርአቱ የመጀመሪያ እኩልነት ላይ “ይዘጋሉ” f (x) ≤ g 2 (x) - እና ሌሎቹን ሁለቱን ሙሉ በሙሉ ይረሳሉ። ውጤቱ ሊገመት የሚችል ነው: የተሳሳተ ውሳኔ, የጠፉ ነጥቦች.

ምክንያታዊ ያልሆነ እኩልነት በቂ ስለሆነ ውስብስብ ርዕስ, በአንድ ጊዜ 4 ምሳሌዎችን እንይ. ከመሠረታዊ እስከ በጣም ውስብስብ። ሁሉም ችግሮች የተወሰዱት ከ የመግቢያ ፈተናዎችበሞስኮ ስቴት ዩኒቨርሲቲ የተሰየመ M.V. Lomonosov.

የችግር አፈታት ምሳሌዎች

ተግባር አለመመጣጠን መፍታት;

ከእኛ በፊት ክላሲክ ነው ምክንያታዊ ያልሆነ እኩልነት: f(x) = 2x + 3; g (x) = 2 - ቋሚ. እና አለነ:

ከሦስቱ አለመመጣጠን ውስጥ ሁለቱ ብቻ በመፍትሔው መጨረሻ ላይ ቀርተዋል። ምክንያቱም አለመመጣጠን 2 ≥ 0 ሁልጊዜ ይይዛል. የቀሩትን አለመመጣጠን እንሻገር፡-

ስለዚህ, x ∈ [-1.5; 0.5]። ሁሉም ነጥቦች ጥላ ናቸው ምክንያቱም አለመመጣጠኑ ጥብቅ አይደለም.

ተግባር አለመመጣጠን መፍታት;

ንድፈ ሃሳቡን እንተገብራለን፡-

የመጀመሪያውን አለመመጣጠን እንፍታ. ይህንን ለማድረግ የልዩነቱን ካሬ እናሳያለን. እና አለነ:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0; 10)።

አሁን ሁለተኛውን እኩልነት እንፍታ. እዚያም ኳድራቲክ ሶስትዮሽ:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (-∞፤ 1]∪∪∪∪

ሚና ውስጥ $ b$ የት ሊሆን ይችላል? መደበኛ ቁጥር, እና ምናልባት የበለጠ ከባድ ነገር. ምሳሌዎች? አዎ እባክዎ:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ ኳድ ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) (x)))። \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ትርጉሙ ግልጽ ነው ብዬ አስባለሁ፡ ገላጭ ተግባር $((a)^(x))$ አለ፣ ከአንድ ነገር ጋር ይነጻጸራል፣ እና ከዚያም $x$ን ለማግኘት ይጠየቃል። በተለይ ክሊኒካዊ ጉዳዮች፣ ከተለዋዋጭ $x$ ይልቅ፣ አንዳንድ ተግባራትን $f በግራ(x \ቀኝ)$ ማስቀመጥ ይችላሉ እና በዚህም እኩልነትን ትንሽ ያወሳስባሉ። :)

እርግጥ ነው, በአንዳንድ ሁኔታዎች አለመመጣጠን የበለጠ ከባድ መስሎ ሊታይ ይችላል. ለምሳሌ:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

ወይም ይህ እንኳን:

በአጠቃላይ የእንደዚህ አይነት እኩልነት ውስብስብነት በጣም የተለየ ሊሆን ይችላል, ነገር ግን በመጨረሻ አሁንም ወደ ቀላል ግንባታ $ ((a) ^ (x)) \ gt b$ ይቀንሳሉ. እና እንደዚህ አይነት ግንባታን እንደምንም እናውጣለን (በተለይ ክሊኒካዊ ጉዳዮች, ምንም ወደ አእምሮ በማይመጣበት ጊዜ, ሎጋሪዝም ይረዳናል). ስለዚህ, አሁን እንደዚህ ያሉ ቀላል ግንባታዎችን እንዴት እንደሚፈቱ እናስተምራለን.

ቀላል ገላጭ አለመመጣጠን መፍታት

በጣም ቀላል የሆነን ነገር እንመልከት። ለምሳሌ ይህ፡-

\[((2)^(x)) \gt 4\]

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው በቀኝ በኩል ያለው ቁጥር እንደ ሁለት ኃይል እንደገና ሊጻፍ ይችላል: $ 4= ((2) ^ (2)) $. ስለዚህ የዋናው አለመመጣጠን በጣም ምቹ በሆነ ቅጽ እንደገና ሊፃፍ ይችላል-

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

እና አሁን $ x \gt 2$ መልሱን ለማግኘት እጆቼ በሃይሎች መሠረት ሁለቱን "ለመሻገር" ማሳከክ አለባቸው። ግን ማንኛውንም ነገር ከማቋረጣችን በፊት የሁለቱን ሀይሎች እናስታውስ፡-

\[((2)^(1)=2;\quad ((2)^(2)=4;\quad (2)^(3)=8;\quad ((2)^(2)^( 4))=16፤...\]

እንደምናየው ከ ትልቅ ቁጥርበአርቢው ውስጥ ነው, የውጤት ቁጥሩ ይበልጣል. "አመሰግናለሁ ካፕ!" - ከተማሪዎቹ አንዱ ይጮኻል። ከዚህ የተለየ ነው? በሚያሳዝን ሁኔታ, ይከሰታል. ለምሳሌ:

\[((\ግራ(\frac(1)(2)\ቀኝ)))^(1)=\frac(1)(2));\quad ((\ግራ(\frac(1)(2)) ቀኝ))^(2))=\frac(1)(4)፤\quad ((\ግራ(\frac(1)(2) \ቀኝ))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

ሁሉም ነገር እዚህም ምክንያታዊ ነው፡ ምን ተጨማሪ ዲግሪ, ብዙ ጊዜ ቁጥር 0.5 በራሱ ተባዝቷል (ማለትም በግማሽ ይከፈላል). ስለዚህ ፣ የቁጥሮች ቅደም ተከተል እየቀነሰ ነው ፣ እና በመጀመሪያው እና በሁለተኛው ቅደም ተከተል መካከል ያለው ልዩነት በመሠረቱ ላይ ብቻ ነው-

• የዲግሪው መሠረት $a \gt 1$ ከሆነ፣ $n$ አርቢው ሲጨምር፣ ቁጥሩ $((a)^(n))$ ይጨምራል።
• እና በተቃራኒው፣ $0 \lt a \lt 1$ ከሆነ፣ $n$ አርቢው ሲጨምር፣ ቁጥሩ $((a)^(n))$ ይቀንሳል።

እነዚህን እውነታዎች በማጠቃለል, አጠቃላይ ውሳኔው የተመሰረተበትን በጣም አስፈላጊ መግለጫ እናገኛለን ገላጭ አለመመጣጠን:

$a \gt 1$ ከሆነ፣ የ$((a)^(x)) \gt((a)^(n))$ እኩልነት ከ$x \gt n$ ጋር እኩል ነው። $0 \lt a \lt 1$ ከሆነ፣ የ$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ እኩልነት ከ$x \lt n$ ጋር እኩል ነው።

በሌላ አነጋገር, መሠረት ከሆነ ከአንድ በላይ, በቀላሉ ሊያስወግዱት ይችላሉ - የእኩልነት ምልክት አይለወጥም. እና መሰረቱ ከአንድ ያነሰ ከሆነ, ከዚያም ሊወገድ ይችላል, ግን በተመሳሳይ ጊዜ የእኩልነት ምልክቱን መቀየር አለብዎት.

እባኮትን $a=1$ እና $a\le 0$ አማራጮችን ያላጤንን መሆናችንን ልብ ይበሉ። ምክንያቱም በእነዚህ አጋጣሚዎች እርግጠኛ አለመሆን ይከሰታል. የቅጹን እኩልነት እንዴት እንደሚፈታ እንበል $((1)^(x)) \gt 3$? አንድ ለማንኛዉም ሃይል እንደገና አንድ ይሰጣል - በጭራሽ ሶስት ወይም ከዚያ በላይ አናገኝም። እነዚያ። ምንም መፍትሄዎች የሉም.

ጋር አሉታዊ ምክንያቶችአሁንም የበለጠ አስደሳች. ለምሳሌ፣ ይህንን እኩልነት አስቡበት፡-

\[((\ግራ(-2 \በቀኝ)))^(x)) \gt 4\]

በመጀመሪያ ሲታይ ሁሉም ነገር ቀላል ነው-

ቀኝ? ግን አይደለም! በ$x$ ምትክ አንድ ጥንድ እና አንድ ባልና ሚስት መተካት በቂ ነው። ያልተለመዱ ቁጥሮችመፍትሄው የተሳሳተ መሆኑን ለማረጋገጥ. ተመልከት:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x=4\ቀኝ ቀስት ((\ግራ(-2 \ቀኝ)))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\ቀኝ ቀስት ((\ ግራ(-2 \ቀኝ))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\ቀኝ ቀስት ((\ ግራ(-2 \ቀኝ))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\ ቀኝ ቀስት ((\ ግራ(-2 \ቀኝ))^(7)=-128 \lt 4. \\\መጨረሻ(align)\]

እንደሚመለከቱት, ምልክቶቹ ይለዋወጣሉ. ግን ተጨማሪ አለ ክፍልፋይ ኃይሎችእና ሌላ ቆርቆሮ. ለምሳሌ እንዴት $((\ግራ(-2 \ቀኝ)))^(\sqrt(7))$(ከሰባት ሃይል ሁለት ሲቀነስ) ለማስላት ያዝዛሉ? በጭራሽ!

ስለዚህ፣ ለትክክለኛነቱ፣ በሁሉም ገላጭ አለመመጣጠን (እና እኩልታዎች፣ በነገራችን ላይም) $1\ne a \gt 0$ ብለን እንገምታለን። እና ከዚያ ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው-

\[(((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\ቀኝ \በግራ[\ጀምር(align) & x \gt n\quad \ግራ(a \gt 1 \ቀኝ) ፣ \\ & x \lt n\quad \ግራ(0 \lt a \lt 1 \ ቀኝ)። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ) \\ቀኝ\]

በአጠቃላይ, ዋናውን ህግ አንድ ጊዜ አስታውስ-በአንድ ገላጭ እኩልታ ውስጥ ያለው መሠረት ከአንድ በላይ ከሆነ, በቀላሉ ማስወገድ ትችላለህ; እና መሰረቱ ከአንድ ያነሰ ከሆነ, ሊወገድም ይችላል, ነገር ግን የእኩልነት ምልክት ይለወጣል.

የመፍትሄዎች ምሳሌዎች

ስለዚህ፣ ጥቂት ቀላል ገላጭ አለመመጣጠኖችን እንመልከት፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0፣2)^(1+(((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)። \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በሁሉም ጉዳዮች ውስጥ ዋናው ተግባር ተመሳሳይ ነው: እኩል ያልሆኑትን ወደ ቀላሉ ቅጽ $ ((a) ^ (x)) \gt ((a) ^ (n)) $ ለመቀነስ. በእያንዳንዱ እኩልነት አሁን የምናደርገው ይህ ነው, እና በተመሳሳይ ጊዜ የዲግሪዎችን እና የአርቢ ተግባራትን ባህሪያት እንደግማለን. ስለዚህ እንሂድ!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

እዚህ ምን ማድረግ ይችላሉ? ደህና, በግራ በኩል እኛ ቀድሞውኑ አለን ገላጭ አገላለጽ- ምንም ነገር መለወጥ አያስፈልግም. ነገር ግን በቀኝ በኩል አንድ ዓይነት ቆሻሻ አለ-ክፍልፋይ እና ሌላው ቀርቶ በዲኖሚኔተር ውስጥ ሥር!

ሆኖም፣ ከክፍልፋዮች እና ሀይሎች ጋር ለመስራት ህጎቹን እናስታውስ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \frac(1)((((a)^(n))))=(((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k)))። \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ምን ማለት ነው? በመጀመሪያ ክፍልፋዩን ወደ ሃይል በመቀየር በቀላሉ እናስወግደዋለን አሉታዊ አመላካች. በሁለተኛ ደረጃ ፣ መለያው ሥር ስላለው ፣ ወደ ኃይል ቢቀይሩት ጥሩ ይሆናል - በዚህ ጊዜ ክፍልፋይ ገላጭ።

እነዚህን ድርጊቶች በቅደም ተከተል ወደ እኩልነት በቀኝ በኩል እንተገብራቸው እና ምን እንደሚፈጠር እንይ፡

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\ግራ(\sqrt(2)\ቀኝ))^(-1))=((\ግራ((2)^(\frac( 1)(3))) \ቀኝ))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \ግራ(-1 \ቀኝ))))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

አንድ ዲግሪን ወደ ሃይል ሲያሳድጉ የእነዚህ ዲግሪዎች ገላጭዎች እንደሚጨመሩ አይርሱ። እና በአጠቃላይ ፣ ከገለፃ እኩልታዎች እና እኩልነት ጋር ሲሰሩ ከስልጣኖች ጋር ለመስራት ቢያንስ ቀላሉ ህጎችን ማወቅ በጣም አስፈላጊ ነው-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=(((ሀ)^(x-y)); \\ & ((\ግራ(((a)^(x)) \ቀኝ))^(y))=((a)^(x\cdot y))። \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በእውነቱ፣ የመጨረሻው ደንብበቃ ተግባራዊ አድርገነዋል። ስለዚህ የእኛ የመጀመሪያ አለመመጣጠን እንደገና ይጻፋል በሚከተለው መንገድ:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\ቀኝ ቀስት ((2)^(x-1))\ le ((2)^(-- frac(1)(3)))\]

አሁን ሁለቱን በመሠረቱ ላይ እናስወግዳለን. ከ 2> 1 ጀምሮ፣ የእኩልነት ምልክቱ እንዳለ ይቆያል፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x-1 \ le -\frac(1)(3)\ቀኝ ቀስት x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\በግራ(-\infty;\frac(2)(3) \ቀኝ]።\\\መጨረሻ(align)\]

ያ ነው መፍትሄው! ዋናው ችግር በአጠቃላይ ገላጭ ተግባር ውስጥ አይደለም, ነገር ግን የዋናውን አገላለጽ ብቃት ባለው ለውጥ ውስጥ በጥንቃቄ እና በፍጥነት ወደ ቀላሉ ቅርጽ ማምጣት ያስፈልግዎታል.

ሁለተኛውን አለመመጣጠን እንመልከት፡-

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

ስለሆነ. የአስርዮሽ ክፍልፋዮች እዚህ ይጠብቁናል። ደጋግሜ እንደተናገርኩት፣ ከስልጣኖች ጋር ባሉ ማናቸውም አገላለጾች ውስጥ አስርዮሽዎችን ማስወገድ አለቦት - ብዙ ጊዜ ፈጣን እና ቀላል መፍትሄ ለማየት ብቸኛው መንገድ ይህ ነው። እዚህ እናስወግዳለን-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 0.1=\frac(1)(10)፤\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\ግራ(\frac(1)(10) \ ቀኝ)))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\ ቀኝ ቀስት ((\ግራ(\frac(1)(10) \ቀኝ))^(1-x)) \lt (\ግራ(\frac(1)(10) \ቀኝ))^(2))። \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እዚህ እንደገና በጣም ቀላሉ እኩልነት አለን, እና በ 1/10 መሠረት እንኳን, ማለትም. ከአንድ ያነሰ. ደህና ፣ መሠረቶቹን እናስወግዳለን ፣ በተመሳሳይ ጊዜ ምልክቱን ከ “ከትንሽ” ወደ “ተጨማሪ” እንለውጣለን እና እናገኛለን

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የመጨረሻውን መልስ ተቀብለናል: $ x \ በግራ \ (-\ infty ; - 1 \ ቀኝ)$. እባክዎን ያስተውሉ: መልሱ በትክክል ስብስብ ነው, እና በምንም መልኩ የ $ x \lt -1$ ቅፅ ግንባታ. ምክንያቱም በመደበኛነት, እንዲህ ዓይነቱ ግንባታ ጨርሶ አይደለም, ነገር ግን ከተለዋዋጭ $ x$ ጋር እኩል ያልሆነ. አዎ, በጣም ቀላል ነው, ግን መልሱ አይደለም!

ጠቃሚ ማስታወሻ. ይህ እኩልነት በሌላ መንገድ ሊፈታ ይችላል - ሁለቱንም ወገኖች ከአንድ በላይ ወደሆነ ኃይል በመቀነስ። ተመልከት:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\ቀኝ ቀስት ((\ግራ((((10)^(-1))\ቀኝ)))^(1-x)) lt ((\ ግራ(((10)^(-1)) \ቀኝ))^(2))\ቀኝ ቀስት ((10)^(-1\cdot \ግራ(1-x \ቀኝ)))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

ከእንደዚህ አይነት ለውጥ በኋላ, እንደገና ገላጭ እኩልነት እናገኛለን, ነገር ግን ከ 10> 1 መሠረት ጋር. እናገኛለን፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & -1\cdot \ግራ(1-x \ቀኝ) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \ lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እንደምታየው, መልሱ በትክክል አንድ አይነት ነበር. በተመሳሳይ ጊዜ, ምልክቱን ለመለወጥ እና በአጠቃላይ ማንኛውንም ደንቦችን ከማስታወስ እራሳችንን አድነናል. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

ሆኖም፣ ይህ እንዲያስፈራዎት አይፍቀዱ። በአመላካቾች ውስጥ ምንም ይሁን ምን, አለመመጣጠን የመፍታት ቴክኖሎጂ ራሱ ይቀራል. ስለዚህ በመጀመሪያ 16 = 2 4 መሆኑን እናስተውል. ይህንን እውነታ ከግምት ውስጥ በማስገባት የመጀመሪያውን አለመመጣጠን እንደገና እንፃፍ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((2)^((((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & (((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & (((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\መጨረሻ(align)\]

ሆሬ! የተለመደውን አግኝተናል ኳድራቲክ አለመመጣጠን! ምልክቱ በየትኛውም ቦታ አልተለወጠም, ምክንያቱም መሰረቱ ሁለት - ከአንድ በላይ የሆነ ቁጥር.

በቁጥር መስመር ላይ የአንድ ተግባር ዜሮዎች

የተግባር ምልክቶችን እናደራጃለን $f\ግራ(x \ቀኝ)=(((x)^(2))-7x+10$ - ግራፉም ቅርንጫፎቹን ከፍ አድርጎ የሚያሳይ ምሳሌ ይሆናል። "በጎኖቹ ላይ. ተግባሩ ከዜሮ በታች በሆነበት ክልል ላይ ፍላጎት አለን, ማለትም. $x\in \በግራ(2;5 \ቀኝ)$ ለዋናው ችግር መልስ ነው።

በመጨረሻም፣ ሌላ እኩልነትን አስቡበት፡-

\[((0፣2)^(1+(((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

እንደገና የአስርዮሽ ክፍልፋይ ያለው ገላጭ ተግባር እናያለን። ይህን ክፍልፋይ ወደ የጋራ ክፍልፋይ እንለውጠው፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\ቀኝ ቀስት \\ & \ ቀኝ ቀስት ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\ግራ((5)^(-1)) \ቀኝ))^(1+((x)^(2))) )=((5)^(-1\cdot \ግራ(1+((x)^(2)) \ቀኝ)))\መጨረሻ(align)\]

ውስጥ በዚህ ጉዳይ ላይየቀደመውን አስተያየት ተጠቀምን - ተጨማሪ መፍትሄችንን ለማቃለል መሰረቱን ወደ ቁጥር 5> 1 ቀንስነው። በቀኝ በኩል ተመሳሳይ ነገር እናድርግ፡-

\[\frac(1)(25)=((\ግራ(\frac(1)(5) \ቀኝ)))^(2))=(\ግራ((5)^(-1)) ቀኝ))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

ሁለቱንም ለውጦች ግምት ውስጥ በማስገባት የመጀመሪያውን አለመመጣጠን እንደገና እንፃፍ።

\[((0,2)^(1+(((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\ቀኝ ቀስት ((5)^(-1\cdot \ ግራ(1+) ((x)^(2)) \ቀኝ)))\ge ((5)^(-2))\]

በሁለቱም በኩል ያሉት መሠረቶች ተመሳሳይ እና ከአንድ በላይ ናቸው. በቀኝ እና በግራ ምንም ሌሎች ቃላቶች የሉም ፣ ስለሆነም በቀላሉ አምስቱን “እናቋርጣለን” እና በጣም ቀላል አገላለጽ እናገኛለን።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & -1\cdot \ግራ(1+((x)^(2)) \ቀኝ)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \ግራ| \cdot \ግራ(-1 \ቀኝ) \ቀኝ። \\ & ((x)^(2))\ le 1. \\\ መጨረሻ(align)\]

የበለጠ ጥንቃቄ ማድረግ ያለብዎት እዚህ ነው። ብዙ ተማሪዎች በቀላሉ የሁለቱም ወገኖች እኩልነት ስኩዌር ሥር ወስደህ እንደ $x\le 1\ Rightarrow x\ in \ in \ in \ in \ in \/(-\ infty ;-1 \ right]$) የሆነ ነገር መፃፍ ይወዳሉ በምንም አይነት ሁኔታ ይህ መደረግ የለበትም። የትክክለኛ ካሬ ሥሩ ሞጁል ስለሆነ እና በምንም መልኩ ኦሪጅናል ተለዋዋጭ፡-

\[\sqrt (((x)^(2)))=\ግራ| x\ቀኝ|\]

ሆኖም ከሞጁሎች ጋር መሥራት በጣም አስደሳች ተሞክሮ አይደለም ፣ አይደለም እንዴ? ስለዚህ አንሰራም። ይልቁንስ በቀላሉ ሁሉንም ቃላቶች ወደ ግራ እናንቀሳቅሳቸዋለን እና የእረፍት ዘዴን በመጠቀም የተለመደውን እኩልነት እንፈታለን-

$\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((x)^(2)) -1 \ le 0; \\ & \ግራ(x-1 \ቀኝ)\ግራ(x+1 \ቀኝ)\le 0 \\ & ((x)__(1)=1;\quad ((x)__(2)) = -1; \\ መጨረሻ (አሰላለፍ)$

የተገኙትን ነጥቦች እንደገና በቁጥር መስመር ላይ ምልክት እናደርጋለን እና ምልክቶቹን እንመለከታለን-

እባክዎን ያስተውሉ: ነጥቦቹ ጥላ ናቸው

ስላልወሰንን ጥብቅ አለመመጣጠን, በግራፉ ላይ ያሉት ሁሉም ነጥቦች ጥላ ናቸው. ስለዚህ መልሱ ይሆናል፡-$x\በግራ[-1;1 \ቀኝ]$ ክፍተት ሳይሆን ክፍል ነው።

በአጠቃላይ ፣ በገለፃ እኩል አለመመጣጠን ላይ ምንም የተወሳሰበ ነገር እንደሌለ ማስተዋል እፈልጋለሁ። ዛሬ ያደረግናቸው የሁሉም ለውጦች ትርጉም ወደ ቀላል ስልተ ቀመር ይወርዳል፡-

• ሁሉንም ዲግሪዎች የምንቀንስበትን መሠረት ይፈልጉ;
• የ$((a)^(x)) \gt (((a)^(n))$) ቅፅ አለመመጣጠን ለማግኘት ለውጦቹን በጥንቃቄ ያከናውኑ። እርግጥ ነው፣ ከተለዋዋጭዎቹ $x$ እና $n$ ብዙ ተጨማሪ ሊኖሩ ይችላሉ። ውስብስብ ተግባራት, ግን ትርጉሙ አይለወጥም;
• የዲግሪዎችን መሰረቶች ያቋርጡ. በዚህ አጋጣሚ፣ መሰረቱ $a \lt 1$ ከሆነ የእኩልነት ምልክቱ ሊቀየር ይችላል።

እንደ እውነቱ ከሆነ, ይህ ሁሉንም እንደዚህ ያሉ እኩልነቶችን ለመፍታት ሁለንተናዊ ስልተ ቀመር ነው. እና በዚህ ርዕስ ላይ የሚነግሩዎት ነገሮች ሁሉ ለውጡን የሚያቃልሉ እና የሚያፋጥኑ ልዩ ቴክኒኮች እና ዘዴዎች ብቻ ናቸው። አሁን ከእነዚህ ዘዴዎች ውስጥ አንዱን እንነጋገራለን. :)

ምክንያታዊነት ዘዴ

ሌላ የእኩልነት ስብስቦችን እንመልከት፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((\text( )\!\!\pi\!\! \!\! ጽሑፍ ( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\ግራ(2\sqrt(3))\ቀኝ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\ግራ(\frac(1)(3) \ቀኝ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\ግራ(\frac(1)(9))) \ቀኝ)) ^ (16-x)); \\ & ((\ግራ(3-2\sqrt(2)\ቀኝ))^(3x-((((x)^(2))))) \lt 1. \\\መጨረሻ(align)\]

ታዲያ ለእነሱ ምን ልዩ ነገር አለ? ብርሃን ናቸው። ምንም እንኳን ፣ አቁም! ቁጥሩ π ወደ የተወሰነ ኃይል ተነስቷል? ምን ከንቱ ነገር ነው?

ቁጥሩን $2\sqrt(3)-3$ ወደ ሃይል እንዴት ማሳደግ ይቻላል? ወይም $3-2\sqrt(2)$? የችግሮቹ ጸሃፊዎች ለስራ ከመቀመጡ በፊት ብዙ Hawthorn ጠጥተዋል. :)

በእውነቱ, በእነዚህ ተግባራት ውስጥ ምንም አስፈሪ ነገር የለም. ላስታውስህ፡ ገላጭ ተግባር የ$(((a)^(x))$ ቅጽ መግለጫ ሲሆን መሰረቱ $a$ የሆነበት አዎንታዊ ቁጥር፣ ከአንዱ በስተቀር። ቁጥሩ π አዎንታዊ ነው - አስቀድመን አውቀናል. $2\sqrt(3)-3$ እና $3-2\sqrt(2)$ ቁጥሮችም አዎንታዊ ናቸው - ይህ ከዜሮ ጋር ካነጻጸሯቸው ለማየት ቀላል ነው።

እነዚህ ሁሉ “አስፈሪ” እኩልነቶች የተፈቱት ከላይ ከተገለጹት ቀላል አይደሉም? እና በተመሳሳይ መንገድ ተፈትተዋል? አዎ፣ ፍፁም ትክክል ነው። ሆኖም ግን, የእነሱን ምሳሌ በመጠቀም, ጊዜን በእጅጉ የሚቆጥብ አንድ ዘዴን ግምት ውስጥ ማስገባት እፈልጋለሁ ገለልተኛ ሥራእና ፈተናዎች. ስለ ምክንያታዊነት ዘዴ እንነጋገራለን. ስለዚህ ትኩረት:

የ$((a)^(x)) \gt((a)^(n))$ የቅፅ ማንኛውም ገላጭ አለመመጣጠን ከ$\ግራ(x-n \ቀኝ)\cdot \ግራ(a-1 \) ጋር እኩል ነው። በቀኝ) \gt 0 $.

ያ አጠቃላይ ዘዴው ነው። :) ሌላ ዓይነት ጨዋታ ይኖራል ብለው አስበው ነበር? እንደዚህ ያለ ነገር የለም! ነገር ግን ይህ ቀላል ሃቅ፣ በጥሬው በአንድ መስመር የተፃፈ፣ ስራችንን በእጅጉ ያቀልልናል። ተመልከት:

\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) ((\ጽሑፍ ( )\!\!\pi\!\! !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \ቁልቁል \\ \ግራ(x+7-\ግራ(((x)^(2))) -3x+2 \ቀኝ) \\ ቀኝ)\cdot \ግራ(\ጽሑፍ()\!\!\pi\!\!\text( -1 \ቀኝ) \gt 0 \\\መጨረሻ(ማትሪክስ)\]

ስለዚህ ምንም ተጨማሪ ገላጭ ተግባራት የሉም! እና ምልክቱ ይለወጥ እንደሆነ ወይም እንዳልሆነ ማስታወስ የለብዎትም. ግን ይነሳል አዲስ ችግር: ከፋይ ማባዣው ምን ይደረግ \[\ግራ(\text()\!\!\pi\!\!\text( -1 \ right)\]? ስለ ምን እንደሆነ አናውቅም። ትክክለኛ ዋጋቁጥሮች π. ሆኖም ካፒቴኑ ግልፅ የሆነውን ነገር ፍንጭ የሰጠ ይመስላል።

\[\ጽሑፍ ( ) 1\gt 3-1=2\]

በአጠቃላይ የ π ትክክለኛ ዋጋ እኛን አይመለከትም - በማንኛውም ሁኔታ $\text ( ) $, ቲ.ኢ. ይህ አዎንታዊ ቋሚ ነው, እና ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች በእሱ መከፋፈል እንችላለን:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና \ግራ(x+7-\ግራ(((x)^(2))-3x+2 \ቀኝ) \ቀኝ)\cdot \ግራ(\ጽሑፍ()\!\! \pi\!\!\text() -1 \በቀኝ) \gt 0 \\ & x+7-\ግራ((((x)^(2))-3x+2 \ቀኝ) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \ ግራ| \cdot \ግራ(-1 \ቀኝ) \ቀኝ። \\ & ((x) ^ (2)) -4x-5 \ lt 0; \\ & \ግራ(x-5 \ቀኝ)\ግራ(x+1 \ቀኝ) \lt 0. \\\መጨረሻ(align)\]

እንደሚመለከቱት ፣ በአንድ የተወሰነ ጊዜ አንድ ሲቀነስ መከፋፈል ነበረብን - እና የእኩልነት ምልክት ተለወጠ። በመጨረሻ ፣ የቪዬታ ቲዎሬምን በመጠቀም አራት ማዕዘናዊ ትሪኖሚሎችን አስፋፍቻለሁ - ሥሮቹ ከ$((x)_(1)) = 5$ እና $((x)_(2)) = -1$ ጋር እኩል መሆናቸውን ግልፅ ነው። . ከዚያ ሁሉም ነገር ይወሰናል ክላሲካል ዘዴክፍተቶች፡-

የጊዜ ክፍተት ዘዴን በመጠቀም አለመመጣጠን መፍታት

የመጀመሪያው አለመመጣጠን ጥብቅ ስለሆነ ሁሉም ነጥቦች ይወገዳሉ. እኛ በአሉታዊ እሴቶች ክልል ላይ ፍላጎት አለን ፣ ስለዚህ መልሱ $ x \ በ \ በግራ (-1; 5 \ በቀኝ)$ ነው። መፍትሄው ያ ነው። :)

ወደሚቀጥለው ተግባር እንሂድ፡-

\[((\ግራ(2\sqrt(3)-3 \ቀኝ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

እዚህ ሁሉም ነገር በአጠቃላይ ቀላል ነው, ምክንያቱም በቀኝ በኩል አንድ ክፍል አለ. እና አንድ ሰው ወደ ዜሮ ሃይል የሚወጣው ማንኛውም ቁጥር መሆኑን እናስታውሳለን. ይህ ቁጥር ቢሆንም ምክንያታዊ ያልሆነ አገላለጽበግራ በኩል ግርጌ ቆሞ;

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((\ግራ(2\sqrt(3)-3 \ቀኝ))^((((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\ግራ(2) \sqrt(3)-3 \ቀኝ))^(0)); \\ & ((\ግራ(2\sqrt(3)-3 \ቀኝ))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\ግራ(2\sqrt(3))) \ቀኝ))^(0)); \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ደህና፣ ምክንያታዊ እናድርገው፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \ ግራ((((x)^(2))-2x-0 \ቀኝ)\cdot \ግራ(2\sqrt(3)-3-1 \ቀኝ) \lt 0; \\ & \ግራ((((x)^(2))) -2x-0 \\cdot \ግራ(2\sqrt(3)-4 \ቀኝ) \lt 0; \\ & \ግራ((((x)^(2)))-2x-0 \cdot 2\ left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\ end(align)\ ]

የቀረው ሁሉ ምልክቶቹን መለየት ነው. ፋክቱ $2 \ ግራ(\sqrt(3)-2 \ቀኝ)$ ተለዋዋጭ $x$ የለውም - ልክ ቋሚ ነው፣ እና ምልክቱን ማወቅ ያስፈልገናል። ይህንን ለማድረግ የሚከተለውን ልብ ይበሉ:

\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\\ታች \\ 2\ግራ(\sqrt(3)-2 \ቀኝ) \lt 2\cdot \ግራ(2) -2 \ቀኝ)=0 \\\ መጨረሻ(ማትሪክስ)\]

ሁለተኛው ምክንያት ቋሚ ብቻ ሳይሆን አሉታዊ ቋሚ ነው! እና በእሱ ሲከፋፈሉ የዋናው እኩልነት ምልክት ወደ ተቃራኒው ይለወጣል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \ ግራ(((x)^(2))) -2x-0 \ቀኝ\cdot 2\ግራ(\sqrt(3)-2 \ቀኝ) \lt 0; \\ & ((x)^ (2)) -2x-0 \ gt 0; \\ & x\ግራ(x-2 \ቀኝ) \gt 0. \\\ መጨረሻ(align)\]

አሁን ሁሉም ነገር ሙሉ በሙሉ ግልጽ ይሆናል. ሥሮች ኳድራቲክ ሶስትዮሽበቀኝ በኩል ቆሞ፡ $((x)_(1))=0$ እና $((x)__(2))=2$። በቁጥር መስመር ላይ ምልክት እናደርጋለን እና የ $ f\left(x \right)=x\ግራ(x-2 \ቀኝ)$: ምልክቶችን እንመለከታለን።

የጎን ክፍተቶችን ስንፈልግ ጉዳዩ

በመደመር ምልክት ምልክት የተደረገባቸውን ክፍተቶች እንፈልጋለን። የቀረው መልሱን መጻፍ ብቻ ነው።

ወደ ቀጣዩ ምሳሌ እንሂድ፡-

\[((\ግራ(\frac(1)(3)\ቀኝ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\ግራ(\frac(1)(9)) ቀኝ))^(16-x))\]

ደህና ፣ እዚህ ሁሉም ነገር ሙሉ በሙሉ ግልፅ ነው-መሠረቶች ተመሳሳይ ቁጥር ያላቸውን ኃይሎች ይይዛሉ። ስለዚህ ሁሉንም ነገር በአጭሩ እጽፋለሁ-

\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) \frac(1) (3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)((3)^((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \ታች \\ ((\ግራ(((3)^(-1)) \ቀኝ))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\ግራ(((3)^(-2))\ቀኝ))^(16-x)) \\\መጨረሻ(ማትሪክስ)\]

\[\ጀምር (አሰላለፍ) እና ((3)^(-1\cdot \ግራ(((x)^(2))+2x \ቀኝ))) \gt ((3)^(-2\cdot \) ግራ (16-x \ ቀኝ))); \\ & (((3)^(((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \ግራ((((x)^(2))) -2x-\ግራ(-32+2x \ቀኝ) \ቀኝ)\cdot \ግራ(3-1 \ቀኝ) \gt 0; \\ & -((x)^ (2)) -2x+32-2x \gt 0; \\ & -(((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \ ግራ| \cdot \ግራ(-1 \ቀኝ) \ቀኝ። \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \ግራ(x+8 \ቀኝ)\ግራ(x-4 \ቀኝ) \lt 0. \\\መጨረሻ(align)\]

እንደምታየው በለውጥ ሂደት ውስጥ ማባዛት ነበረብን አሉታዊ ቁጥር, ስለዚህ የእኩልነት ምልክት ተለውጧል. በመጨረሻ፣ ኳድራቲክ ትሪኖሚል ለማድረግ የቪዬታን ቲዎሬም እንደገና ተግባራዊ አድርጌ ነበር። በውጤቱም, መልሱ የሚከተለው ይሆናል: $ x \ በግራ \ በግራ (-8; 4 \u003e ቀኝ)$ - ማንም ሰው የቁጥር መስመርን በመሳል, ነጥቦቹን በማመልከት እና ምልክቶችን በመቁጠር ማረጋገጥ ይችላል. ይህ በእንዲህ እንዳለ፣ ከ “ስብስብ” ወደ መጨረሻው እኩልነት እንሸጋገራለን፡-

\[((\ግራ(3-2\sqrt(2)\ቀኝ)))^(3x-(((x)^(2)))) \lt 1\]

እንደምታየው, በመሠረቱ ላይ እንደገና አለ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር, እና በቀኝ በኩል አንድ እንደገና አለ. ስለዚህ፣ የእኛን ገላጭ አለመመጣጠን በሚከተለው መልኩ እንጽፋለን።

\[((\ግራ(3-2\sqrt(2)\ቀኝ)))^(3x-(((x)^(2))))) \lt ((\ግራ(3-2\sqrt(2))) ቀኝ))^(0))\]

ምክንያታዊነትን እንተገብራለን፡-

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & \ ግራ(3x-(((x)^(2))) -0 \ቀኝ)\cdot \ግራ(3-2\sqrt(2)-1 \ቀኝ) \lt 0; \\ & \ግራ(3x-(((x)^(2))-0 \ቀኝ)\cdot \ግራ(2-2\sqrt(2) \ቀኝ) \lt 0; \\ & \ግራ(3x-(((x)^(2))-0 \ቀኝ)\cdot 2\ግራ(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\ end(align)\ ]

ሆኖም፣ $1-\sqrt(2) \lt 0$፣ ከ$\sqrt(2) ጀምሮ 1,4... \gt 1$ መሆኑ በጣም ግልፅ ነው። ስለዚህ ፣ ሁለተኛው ምክንያት እንደገና አሉታዊ ቋሚ ነው ፣ በዚህም ሁለቱም የእኩልነት ጎኖች ሊከፋፈሉ ይችላሉ-

\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) \ግራ(3x-(((x)^(2))-0 \ቀኝ)\cdot 2\ግራ(1-\sqrt(2) \ቀኝ) \lt 0 \\ \ታች \\ \\ መጨረሻ(ማትሪክስ)\]

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 3x-((x)^ (2)) -0 \ gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \ ግራ| \cdot \ግራ(-1 \ቀኝ) \ቀኝ። \\ & ((x)^ (2)) -3x \lt 0; \\ & x\ግራ(x-3 \ቀኝ) \lt 0. \\\ መጨረሻ(align)\]

ወደ ሌላ መሠረት ውሰድ

ገላጭ እኩልነቶችን በሚፈታበት ጊዜ የተለየ ችግር "ትክክለኛ" መሠረት መፈለግ ነው. እንደ አለመታደል ሆኖ በአንድ ሥራ ላይ በመጀመሪያ እይታ ምን እንደ መሠረት መውሰድ እንዳለበት እና በዚህ መሠረት ደረጃ ምን ማድረግ እንዳለበት ሁል ጊዜ ግልፅ አይደለም ።

ግን አይጨነቁ: እዚህ ምንም አስማት ወይም "ሚስጥራዊ" ቴክኖሎጂ የለም. በሂሳብ ውስጥ ማንኛውም ችሎታ በአልጎሪዝም ሊደረግ የማይችል በተግባር በቀላሉ ሊዳብር ይችላል። ለዚህ ግን ችግሮችን መፍታት ይኖርብዎታል የተለያዩ ደረጃዎችችግሮች ። ለምሳሌ፣ እንደዚህ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\ግራ(\frac(1)(3) \ቀኝ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\ ግራ(0,16 \ቀኝ))^(1+2x))\cdot ((\ ግራ(6,25 \ቀኝ))^(x))\ge 1; \\ & ((\ ግራ(\frac(27)(\sqrt(3))\ቀኝ)))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

አስቸጋሪ? አስፈሪ? አስፋልት ላይ ዶሮ ከመምታት ይቀላል! እንሞክር። የመጀመሪያው አለመመጣጠን;

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

ደህና ፣ እዚህ ሁሉም ነገር ግልፅ ነው ብዬ አስባለሁ-

ሁሉንም ነገር ወደ ሁለት መሠረት በመቀነስ የመጀመሪያውን እኩልነት እንደገና እንጽፋለን-

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\ቀኝ ቀስት \ግራ(\frac(x)(2)) \frac(8)(x) \ቀኝ)\cdot \ግራ(2-1 \ቀኝ) \lt 0\]

አዎ፣ አዎ፣ በትክክል ሰምተሃል፡ ከላይ የተገለጸውን የምክንያታዊነት ዘዴ ብቻ ነው የተጠቀምኩት። አሁን በጥንቃቄ መስራት አለብን: ተሳክቶልናል ክፍልፋይ ምክንያታዊ አለመመጣጠን(ይህ በተከፋፈለው ውስጥ ተለዋዋጭ ያለው ነገር ነው), ስለዚህ አንድን ነገር ከዜሮ ጋር ከማመሳሰልዎ በፊት ሁሉንም ነገር ማምጣት ያስፈልግዎታል. የጋራእና የማያቋርጥ መንስኤን ያስወግዱ.

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \ግራ(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \ቀኝ)\cdot \ግራ(2-1 \ቀኝ) \lt 0; \\ & \ግራ(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \ቀኝ)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\ end(align)\]

አሁን እንጠቀማለን መደበኛ ዘዴክፍተቶች. የቁጥር ዜሮዎች፡- $x=\pm 4$። መለያው ወደ ዜሮ የሚሄደው $x=0$ ሲሆን ብቻ ነው። በአጠቃላይ በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ሊደረግባቸው የሚገቡ ሶስት ነጥቦች አሉ (የእኩልነት ምልክቱ ጥብቅ ስለሆነ ሁሉም ነጥቦች ተጣብቀዋል). እናገኛለን፡-

ተጨማሪ አስቸጋሪ ጉዳይ: ሶስት ሥሮች

እርስዎ እንደሚገምቱት, ጥላው በግራ በኩል ያለው አገላለጽ የሚወስድባቸውን ክፍተቶች ያመለክታል አሉታዊ እሴቶች. ስለዚህ፣ የመጨረሻው መልስ በአንድ ጊዜ ሁለት ክፍተቶችን ያካትታል፡-

የመጀመሪያው አለመመጣጠን ጥብቅ ስለነበር የክፍለ-ጊዜዎቹ ጫፎች በመልሱ ውስጥ አልተካተቱም። የዚህ መልስ ተጨማሪ ማረጋገጫ አያስፈልግም። በዚህ ረገድ, ገላጭ አለመመጣጠን ከሎጋሪዝም በጣም ቀላል ነው: ምንም ODZ, ምንም ገደቦች, ወዘተ.

ወደሚቀጥለው ተግባር እንሂድ፡-

\[((\ግራ(\frac(1)(3)\ቀኝ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

እዚህም ምንም ችግሮች የሉም፣ አስቀድመን $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ መሆኑን ስለምናውቅ አጠቃላይ እኩልነት በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ይችላል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና ((\ግራ(((3)^(-1))\ቀኝ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\ቀኝ ቀስት ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \ግራ(-\frac(3)(x)-\ግራ(2+x \ቀኝ) \ቀኝ)\cdot \ግራ(3-1 \ቀኝ)\ge 0; \\ & \ግራ(-\frac(3)(x)-2-x \ቀኝ)\cdot 2\ge 0;\quad \ ግራ| : \ ግራ(-2 \ቀኝ) \ቀኝ። \\ & \ frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac((((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\መጨረሻ(align)\]

እባክዎን ያስተውሉ-በሦስተኛው መስመር በጥቃቅን ነገሮች ላይ ጊዜ ላለማባከን ወሰንኩ እና ወዲያውኑ ሁሉንም ነገር በ (-2) ለመከፋፈል ወሰንኩ ። ሚኑል ወደ መጀመሪያው ቅንፍ ገባ (አሁን በሁሉም ቦታ ፕላስ አለ) እና ሁለቱ በቋሚ ምክንያት ተቀንሰዋል። በገለልተኛ እና በእውነተኛ ማሳያዎች ላይ በሚዘጋጁበት ጊዜ ማድረግ ያለብዎት ይህ ነው። ፈተናዎች- እያንዳንዱን ድርጊት እና ለውጥ መግለጽ አያስፈልግም.

በመቀጠል, የሚታወቀው የጊዜ ክፍተት ዘዴ ወደ ሥራው ይመጣል. የቁጥር ዜሮዎች፡ ግን የሉም። ምክንያቱም አድልዎ አሉታዊ ይሆናል. በተራው፣ አካፋው ወደ ዜሮ በ$x=0$ ብቻ ዳግም ተቀናብሯል - እንደ ውስጥ ባለፈዉ ጊዜ. ደህና፣ ከ$x=0$ በስተቀኝ ክፍልፋዩ እንደሚወስድ ግልጽ ነው። አዎንታዊ እሴቶች, እና በግራ በኩል አሉታዊ ናቸው. በአሉታዊ እሴቶች ላይ ፍላጎት ስላለን, የመጨረሻው መልስ: $ x \ በግራ (-\ infty; 0 \ ቀኝ)$ ነው.

\[((\ ግራ(0.16 \በቀኝ)))^(1+2x))\cdot ((\ግራ(6.25 \ቀኝ))^(x))\ge 1\]

በአስርዮሽ ክፍልፋዮች በገለፃ እኩልነት ምን ማድረግ አለቦት? ልክ ነው: አስወግዷቸው, ወደ ተራ ሰዎች ይቀይሯቸው. እዚህ እንተረጉማለን፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\ቀኝቀስት ((\ግራ(0.16 \ቀኝ)))^(1+2x)) =(\ ግራ(\frac(4)(25) \ቀኝ))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\ቀኝቀስት ((\ግራ(6.25 \ቀኝ)))^(x))=(\ግራ(\ frac(25) (4)\ቀኝ))^(x))። \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ስለዚህ በአርቢ ተግባራት መሠረቶች ውስጥ ምን አገኘን? እና ሁለት የተገላቢጦሽ ቁጥሮች አግኝተናል፡-

\[\frac(25)(4)=((\ግራ(\frac(4)(25) \ቀኝ)))^(-1))\ቀኝ ቀስት ((\ግራ(\frac(25)(4)) ቀኝ))^(x))=((\ግራ((\ግራ(\frac(4)(25) \ቀኝ)))^(-1)) \ቀኝ))^(x))=((\ ግራ(\frac(4)(25) \ቀኝ))^(-x))\]

ስለዚህ የመነሻው አለመመጣጠን በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ይችላል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና ((\ግራ(\frac(4)(25)\ቀኝ)))^(1+2x))\cdot ((\ግራ(\frac(4)(25)\ቀኝ)) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\ ግራ(\frac(4)(25) \ቀኝ))^(1+2x+\ግራ(-x \ቀኝ)))\ge ((\ግራ(\frac(4)(25))) \ቀኝ))^(0)); \\ & ((\ግራ(\frac(4)(25) \ቀኝ))^(x+1))\ge ((\ግራ(\frac(4)(25)\ቀኝ))^(0) ). \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እርግጥ ነው, ተመሳሳይ መሠረት ያላቸውን ኃይሎች ሲያባዙ, ገላጭዎቻቸው ይጨምራሉ, ይህም በሁለተኛው መስመር ላይ የተከሰተው ነው. በተጨማሪም, እኛ በቀኝ በኩል ያለውን ክፍል ወክለው, እንዲሁም መሠረት 4/25 ውስጥ ኃይል እንደ. የቀረው ነገር ምክንያታዊ ማድረግ ነው፡-

\[((\ግራ(\frac(4)(25)\ቀኝ)))^(x+1))\ge ((\ግራ(\frac(4)(25) \ቀኝ))^(0)) \ ቀኝ ቀስት \ ግራ(x+1-0 \ ቀኝ) \cdot \ግራ(\frac(4)(25)-1 \ቀኝ)\ge 0\]

ልብ ይበሉ $\frac (4) (25) -1=\frac(4-25)(25) \lt 0$፣ i.e. ሁለተኛው ምክንያት አሉታዊ ቋሚ ነው, እና በእሱ ሲከፋፈሉ, የእኩልነት ምልክቱ ይለወጣል.

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x+1-0\le 0\ ቀኝ ቀስት x\le -1; \\ & x\በግራ (-\ infty ;-1 \ ቀኝ)። \\\ መጨረሻ(align)\]

በመጨረሻ፣ ከአሁኑ “ስብስብ” የመጨረሻው አለመመጣጠን፡-

\[((\ግራ(\frac(27)\sqrt(3))\ቀኝ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

በመርህ ደረጃ, እዚህ ያለው የመፍትሄ ሃሳብ ግልጽ ነው-ሁሉም ነገር ገላጭ ተግባራት, በእኩልነት ውስጥ የተካተተ, ወደ "3" መሠረት መቀነስ አለበት. ግን ለዚህ ከሥሮች እና ከስልጣኖች ጋር ትንሽ መቆንጠጥ አለብዎት-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና \frac(27)(\sqrt(3)=\frac(((3)^(3))))(((3)^(\frac(1)(3))) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2)));\quad 81=((3)^(4))። \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እነዚህን እውነታዎች ከግምት ውስጥ በማስገባት የመጀመርያው እኩልነት በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ይችላል፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና ((\ግራ(((3)^(\frac(8)(3)))\ቀኝ))^(-x)) \lt ((\ግራ((3))) ^(2))\ቀኝ))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & (((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & (((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & (((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x))። \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ለስሌቶቹ 2 ኛ እና 3 ኛ መስመሮች ትኩረት ይስጡ-ከእኩልነት ጋር ማንኛውንም ነገር ከማድረግዎ በፊት ፣ ከትምህርቱ መጀመሪያ ጀምሮ ወደ ተነጋገርነው ቅጽ ማምጣትዎን ያረጋግጡ-$ ((a) ^ (x)) \ lt ((a)^(n))$. በግራ ወይም በቀኝ አንዳንድ የግራ እጆች፣ ተጨማሪ ቋሚዎች፣ ወዘተ እስካልዎት ድረስ፣ ምንም ዓይነት ምክንያታዊነት ወይም "መሻገር" ሊደረግ አይችልም! ይህንን ባለመረዳት ምክንያት ስፍር ቁጥር የሌላቸው ተግባራት በስህተት ተከናውነዋል ቀላል እውነታ. የአብነት እና የሎጋሪዝም አለመመጣጠንን መተንተን ስንጀምር እኔ ራሴ ከተማሪዎቼ ጋር ይህንን ችግር በተከታታይ እመለከተዋለሁ።

ግን ወደ ተግባራችን እንመለስ። በዚህ ጊዜ ያለምክንያታዊነት ለመስራት እንሞክር። እናስታውስ-የዲግሪው መሠረት ከአንድ በላይ ነው ፣ ስለሆነም ሶስት እጥፍ በቀላሉ ሊሻገሩ ይችላሉ - የእኩልነት ምልክቱ አይቀየርም። እናገኛለን፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & -\frac (8x) (3) \lt 4-4x; \\ & 4x- \ frac (8x) (3) \lt 4; \\ & \ frac (4x) (3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\ መጨረሻ(align)\]

ይኼው ነው. የመጨረሻ መልስ፡-$x\በግራ(-\infty;3 \ቀኝ)$

የተረጋጋ አገላለጽ መለየት እና ተለዋዋጭ መተካት

በማጠቃለያው፣ ላልዘጋጁ ተማሪዎች ቀድሞውንም አስቸጋሪ የሆኑትን አራት ተጨማሪ ገላጭ አለመመጣጠን እንዲፈታ ሀሳብ አቀርባለሁ። እነሱን ለመቋቋም ከዲግሪዎች ጋር ለመስራት ደንቦቹን ማስታወስ ያስፈልግዎታል. በተለይም መውጣቱ የተለመዱ ምክንያቶችከቅንፍ ውጪ።

ነገር ግን በጣም አስፈላጊው ነገር በትክክል በቅንፍ ውስጥ ምን ሊወሰድ እንደሚችል ለመረዳት መማር ነው. እንዲህ ዓይነቱ አገላለጽ የተረጋጋ ተብሎ ይጠራል - በአዲስ ተለዋዋጭ ሊገለጽ ይችላል እና ስለዚህ ገላጭ ተግባሩን ያስወግዳል. እንግዲያው ተግባራቶቹን እንመልከት፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & (((25)^(x+1.5))((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\ግራ(0.5 \በቀኝ)))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\መጨረሻ(align)\]

ከመጀመሪያው መስመር እንጀምር። ይህንን እኩልነት ለየብቻ እንፃፍ፡-

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

ልብ ይበሉ $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ ስለዚህ የቀኝ እጅ ጎን እንደገና ሊፃፍ ይችላል-

ከ$((5)^(x+1))$ በቀር ምንም ሌላ ገላጭ ተግባራት እንደሌሉ ልብ ይበሉ። እና በአጠቃላይ፣ ተለዋዋጭ $ x$ ሌላ ቦታ አይታይም፣ ስለዚህ አዲስ ተለዋዋጭ እናስተዋውቅ፡ $((5)^(x+1))=t$። የሚከተለውን ግንባታ እናገኛለን:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\ መጨረሻ(align)\]

ወደ መጀመሪያው ተለዋዋጭ ($t=((5)^(x+1))$) እንመለሳለን እና በተመሳሳይ ጊዜ 1=5 0 እናስታውስ። እና አለነ:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ያ ነው መፍትሄው! መልስ፡-$x\በግራ[-1+\infty \ቀኝ)$። ወደ ሁለተኛው እኩልነት እንሂድ፡-

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

እዚህ ሁሉም ነገር አንድ ነው. ልብ ይበሉ $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$። ከዚያም ግራ ጎንእንደገና መፃፍ ይቻላል፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \ ግራ| ((3)^(x))=t \ቀኝ። \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\ ቀኝ ቀስት ((3)^(x))\ge 9\ቀኝ ቀስት ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\ቀኝ ቀስት x\በግራ[2+\infty \በቀኝ)። \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ለትክክለኛ ሙከራዎች እና ገለልተኛ ስራዎች መፍትሄ ማዘጋጀት የሚያስፈልግዎ ይህ በግምት ነው.

ደህና፣ የበለጠ የተወሳሰበ ነገር እንሞክር። ለምሳሌ፣ አለመመጣጠን እዚህ አለ።

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

እዚህ ያለው ችግር ምንድን ነው? በመጀመሪያ ደረጃ በግራ በኩል ያሉት የአርቢ ተግባራት መሠረቶች የተለያዩ ናቸው 5 እና 25. ሆኖም 25 = 5 2, ስለዚህ የመጀመሪያው ቃል ሊለወጥ ይችላል.

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((25)^(x+1.5))=((\ግራ((5)^(2)) \ቀኝ))^(x+1.5))= ((5) ^ (2x+3)); \\ & (((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\መጨረሻ(align) )\]

እንደምታየው በመጀመሪያ ሁሉንም ነገር አመጣን ተመሳሳይ መሠረት, እና ከዚያም የመጀመሪያው ቃል በቀላሉ ወደ ሁለተኛው ሊቀንስ እንደሚችል አስተውለናል - አርቢውን ማስፋት ብቻ ያስፈልግዎታል. አሁን አዲስ ተለዋዋጭ በደህና ማስተዋወቅ ይችላሉ፡$((5)^(2x+2))=t$፣ እና አጠቃላይ እኩልነት በሚከተለው መልኩ እንደገና ይፃፋል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ &2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\ መጨረሻ(align)\]

እና እንደገና ፣ ምንም ችግሮች የሉም! የመጨረሻ መልስ፡-$x\በግራ[1+\infty \ቀኝ)$። በዛሬው ትምህርት ወደ መጨረሻው እኩልነት እንሂድ፡-

\[((\ግራ(0.5 \በቀኝ)))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

ትኩረት መስጠት ያለብዎት የመጀመሪያው ነገር ፣ በእርግጥ ፣ አስርዮሽበመጀመሪያው ዲግሪ መሠረት. እሱን ማስወገድ አስፈላጊ ነው ፣ እና በተመሳሳይ ጊዜ ሁሉንም ገላጭ ተግባራትን ወደ ተመሳሳይ መሠረት ያቅርቡ - “2” ቁጥር

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\ቀኝ ቀስት ((\ግራ(0.5 \ቀኝ))^(-4x- 8))= ((\ግራ((2)^(-1)) \ቀኝ))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\ቀኝ ቀስት ((16)^(x+1.5))=((\ግራ((2)^(4)) \ቀኝ))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & (((2)^(4x+8))((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\መጨረሻ(align)\]

በጣም ጥሩ, የመጀመሪያውን እርምጃ ወስደናል - ሁሉም ነገር ወደ ተመሳሳይ መሠረት መርቷል. አሁን መምረጥ ያስፈልግዎታል የተረጋጋ አገላለጽ. ልብ ይበሉ $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$። አዲስ ተለዋዋጭ $((2)^(4x+6))=t$ ካስተዋወቅን የዋናው አለመመጣጠን በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ይችላል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \ gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በተፈጥሮ፣ ጥያቄው ሊነሳ ይችላል፡ 256 = 2 8 መሆኑን እንዴት አወቅን? እንደ አለመታደል ሆኖ እዚህ የሁለት (እና በተመሳሳይ ጊዜ የሶስት እና የአምስት ኃይሎች) ኃይላትን ማወቅ ያስፈልግዎታል። ደህና፣ ወይም 256ን በ2 ይካፈሉ (መከፋፈል ይችላሉ፣ 256 ስለሆነ ሙሉ ቁጥር) ውጤቱን እስክናገኝ ድረስ. እንደዚህ ያለ ነገር ይመስላል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8))\መጨረሻ(align) )\]

ከሶስት ጋር ተመሳሳይ ነው (ቁጥር 9 ፣ 27 ፣ 81 እና 243 ዲግሪዎቹ ናቸው) እና በሰባት (ቁጥር 49 እና 343 እንዲሁ ማስታወስ ጥሩ ይሆናል)። ደህና፣ አምስቱ ማወቅ ያለብዎት “ቆንጆ” ዲግሪዎች አሏቸው፡-

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125። \\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በእርግጥ ከፈለጉ, እነዚህ ሁሉ ቁጥሮች እርስ በእርሳቸው በቀላሉ በማባዛት ወደ አእምሮዎ ሊመለሱ ይችላሉ. ሆኖም ፣ በርካታ ገላጭ እኩልነቶችን መፍታት ሲኖርብዎት እና እያንዳንዱ ቀጣዩ ከቀዳሚው የበለጠ ከባድ ነው ፣ ከዚያ ሊያስቡበት የሚፈልጉት የመጨረሻው ነገር የአንዳንድ ቁጥሮች ኃይሎች ነው። እናም በዚህ መልኩ, እነዚህ ችግሮች በ "ክላሲካል" አለመመጣጠን ዘዴው ከተፈቱት የበለጠ ውስብስብ ናቸው.

ከተቀበለ በኋላ የመጀመሪያ መረጃከተለዋዋጮች ጋር ስለ አለመመጣጠን ፣ ወደ መፍትሄቸው ጥያቄ እንሸጋገራለን ። የመስመራዊ አለመመጣጠን መፍትሄን በአንድ ተለዋዋጭ እና ሁሉንም የመፍታት ዘዴዎች በአልጎሪዝም እና ምሳሌዎች እንመረምራለን ። ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር ቀጥተኛ እኩልታዎች ብቻ ይታሰባሉ።

Yandex.RTB R-A-339285-1

የመስመር አለመመጣጠን ምንድነው?

በመጀመሪያ መስመራዊ እኩልታውን መግለፅ እና ማወቅ ያስፈልግዎታል መደበኛ እይታእና ከሌሎች እንዴት እንደሚለይ. ከትምህርት ቤት ኮርስ እኛ እኩልነት የሌላቸው ናቸው መሠረታዊ ልዩነት, ስለዚህ በርካታ ትርጓሜዎች አስፈላጊ ናቸው.

ፍቺ 1

ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር የመስመር አለመመጣጠን x የ a · x + b > 0 ቅጽ እኩልነት ነው፣ ማንኛውም የእኩልነት ምልክት ጥቅም ላይ ከዋለ > ይልቅ >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

ፍቺ 2

አለመመጣጠን a x< c или a · x >ሐ፣ በ x ተለዋዋጭ እና ሀ እና ሐ አንዳንድ ቁጥሮች ሲሆኑ ተጠርተዋል። የመስመር አለመመጣጠን ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር.

ቅንብሩ ከ 0 ጋር እኩል ሊሆን ስለመቻሉ ምንም ነገር ስላልተነገረ፣ ከዚያም የቅጹ 0 x> c እና 0 x ጥብቅ አለመመጣጠን< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

ልዩነታቸው፡-

• notation form a · x + b > 0 በመጀመሪያው፣ እና a · x > c - በሁለተኛው ውስጥ;
• የንጽጽር ተቀባይነት ከዜሮ ጋር እኩል ነው ፣ a ≠ 0 - በመጀመሪያው ፣ እና a = 0 - በሁለተኛው።

አ · x + b > 0 እና a · x > c እኩል ያልሆኑ ናቸው ተብሎ ይታመናል፣ ምክንያቱም አንድን ቃል ከአንድ ክፍል ወደ ሌላው በማስተላለፍ የተገኙ ናቸው። የ 0 x + 5> 0 አለመመጣጠን መፍታት መፍትሄ ወደሚያስፈልገው እውነታ ይመራል, እና ጉዳዩ a = 0 አይሰራም.

ፍቺ 3

በአንድ ተለዋዋጭ x ውስጥ ያሉት የመስመሮች እኩልነት የቅጹ እኩልነት አለመመጣጠን እንደሆነ ይታመናል a x + b< 0 , a · x + b >0፣ a x + b ≤ 0እና a x + b≥ 0ሀ እና b እውነተኛ ቁጥሮች ሲሆኑ። ከ x ይልቅ መደበኛ ቁጥር ሊኖር ይችላል.

በህጉ ላይ በመመስረት 4 x - 1> 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2 አለን።< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 ፣ - 0 ፣ 5 · y ≤ - 1 ፣ 2 ወደ መስመራዊ የሚቀነስ ይባላሉ።

የመስመር አለመመጣጠን እንዴት እንደሚፈታ

የአንደኛ ደረጃ አለመመጣጠን xን ለማግኘት እንደዚህ ያሉ እኩልነቶችን ለመፍታት ዋናው መንገድ ተመጣጣኝ ለውጦችን መጠቀም ነው።< p (≤ , >, ≥) , p ይህም የተወሰነ ቁጥር ነው, ለ ≠ 0 እና ቅጽ ሀ.< p (≤ , >፣ ≥) ለ a = 0።

በአንድ ተለዋዋጭ ውስጥ አለመመጣጠን ለመፍታት, የጊዜ ክፍተት ዘዴን መጠቀም ወይም በግራፊክ መወከል ይችላሉ. ማንኛቸውም ለየብቻ ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ.

ተመጣጣኝ ለውጦችን በመጠቀም

ቅጽ a x + b መስመራዊ አለመመጣጠን ለመፍታት< 0 (≤ , >, ≥), መተግበር አለበት ተመጣጣኝ ለውጦችአለመመጣጠን. ቅንጅቱ እኩል ሊሆንም ላይሆንም ይችላል። ከዜሮ ጋር እኩል ነው።. ሁለቱንም ጉዳዮች እንመልከታቸው። ለማወቅ, 3 ነጥቦችን የያዘውን እቅድ ማክበር አለብዎት: የሂደቱ ምንነት, አልጎሪዝም እና መፍትሄው ራሱ.

ፍቺ 4

የመስመር አለመመጣጠን ለመፍታት አልጎሪዝም a x + b< 0 (≤ , >፣ ≥) ለ ≠ 0

• ቁጥሩ b ወደ እኩልነት ወደ ቀኝ ይንቀሳቀሳል ሐ ተቃራኒ ምልክት, ይህም ተመጣጣኝ የሆነ x ላይ እንድንደርስ ያስችለናል< − b (≤ , > , ≥) ;
• ሁለቱም የእኩልነት ጎኖች ከ 0 ጋር በማይሆን ቁጥር ይከፈላሉ ። ከዚህም በላይ, a አዎንታዊ ሲሆን, ምልክቱ ይቀራል, a አሉታዊ ከሆነ, ወደ ተቃራኒው ይለወጣል.

ምሳሌዎችን ለመፍታት የዚህን ስልተ ቀመር አተገባበር እናስብ።

ምሳሌ 1

የቅጹ 3 x + 12 ≤ 0 አለመመጣጠን ይፍቱ።

መፍትሄ

ይህ የመስመር አለመመጣጠን a = 3 እና b = 12 አለው። ይህ ማለት የ x መጠን ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም ማለት ነው። ከላይ ያሉትን ስልተ ቀመሮች እንተገብረው እና እንፍታው።

12 ኛውን የጊዜ ልዩነት ወደ ሌላኛው ክፍል ማዛወር እና ከፊት ለፊት ያለውን ምልክት መቀየር አስፈላጊ ነው. ከዚያም ቅጽ 3 x ≤ - 12 እኩልነት እናገኛለን. ሁለቱንም ክፍሎች በ 3 መከፋፈል ያስፈልጋል. 3 አዎንታዊ ቁጥር ስለሆነ ምልክቱ አይለወጥም. ያንን (3 x): 3 ≤ (- 12): 3 እናገኛለን, ይህም ውጤቱን x ≤ - 4 ይሰጣል.

የቅርጽ x ≤ - 4 እኩልነት እኩል ነው። ማለትም, ለ 3 x + 12 ≤ 0 መፍትሄው ማንኛውም ነው እውነተኛ ቁጥርከ 4 ያነሰ ወይም እኩል የሆነ። መልሱ እንደ አለመመጣጠን ነው የተፃፈው x ≤ - 4፣ ወይም የቁጥር ክፍተትየቅጹ (-∞, - 4).

ከላይ የተገለጸው ስልተ ቀመር በሙሉ እንደሚከተለው ተጽፏል፡-

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ - 12; x ≤ - 4 .

መልስ፡- x ≤ - 4 ወይም (- ∞ ፣ - 4) ።

ምሳሌ 2

ለእኩልነት ሁሉንም መፍትሄዎች ያመልክቱ - 2, 7 · z > 0.

መፍትሄ

ከሁኔታው እንደምንረዳው የ A ለ z እኩል ነው - 2.7 ፣ እና b በግልጽ የለም ወይም ከዜሮ ጋር እኩል ነው። የአልጎሪዝምን የመጀመሪያ ደረጃ መጠቀም አይችሉም, ነገር ግን ወዲያውኑ ወደ ሁለተኛው ይሂዱ.

የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በቁጥር - 2, 7 እንከፍላለን. ቁጥሩ አሉታዊ ስለሆነ የእኩልነት ምልክትን መቀልበስ አስፈላጊ ነው. ማለትም፣ ያንን (-2፣ 7 z) : (- 2፣ 7) እናገኛለን።< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

ሙሉውን ስልተ ቀመር እንጽፋለን። አጭር ቅጽ:

- 2, 7 z > 0; ዝ< 0 .

መልስ፡-ዝ< 0 или (− ∞ , 0) .

ምሳሌ 3

አለመመጣጠን ይፍቱ - 5 x - 15 22 ≤ 0።

መፍትሄ

እንደ ሁኔታው, ከተለዋዋጭ x ጋር እኩል ያልሆነውን እኩልነት መፍታት አስፈላጊ መሆኑን እናያለን ለተለዋዋጭ x, እኩል ነው - 5, ከክፍልፋይ ጋር የሚዛመደው ከክፍልፋይ ጋር - 15 22. አልጎሪዝምን በመከተል እኩልነትን መፍታት አስፈላጊ ነው, ማለትም: ማንቀሳቀስ - 15 22 ወደ ሌላ ክፍል በተቃራኒው ምልክት, ሁለቱንም ክፍሎች በ - 5 ይከፋፍሉ, የእኩልነት ምልክትን ይቀይሩ.

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

ለቀኝ በኩል በመጨረሻው ሽግግር ወቅት ቁጥሩን በተለያዩ ምልክቶች የመከፋፈል ደንብ 15 22: - 5 = - 15 22: 5 ጥቅም ላይ ይውላል, ከዚያ በኋላ ክፍፍሉን እናከናውናለን. የጋራ ክፍልፋይወደ ተፈጥሯዊ ቁጥር - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

መልስ፡- x ≥ - 3 22 እና [ - 3 22 + ∞)።

ሀ = 0 በሚሆንበት ጊዜ ጉዳዩን እናስብ። መስመራዊ አገላለጽቅጽ a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

ሁሉም ነገር በእኩልነት ላይ ያለውን መፍትሄ በመወሰን ላይ የተመሰረተ ነው. ለማንኛውም የ x እሴት የቅጹን የቁጥር አለመመጣጠን እናገኛለን ለ< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

ሁሉንም ፍርዶች በአልጎሪዝም መልክ የመስመራዊ አለመመጣጠንን 0 x + b እንመለከታለን< 0 (≤ , > , ≥) :

ፍቺ 5

የቅጹ የቁጥር አለመመጣጠን ለ< 0 (≤ , >, ≥) እውነት ነው, ከዚያም ዋናው አለመመጣጠን ለየትኛውም ዋጋ መፍትሄ አለው, እና ዋናው አለመመጣጠን መፍትሄ በማይኖርበት ጊዜ ውሸት ነው.

ምሳሌ 4

እኩልነት 0 x + 7> 0 ይፍቱ።

መፍትሄ

ይህ መስመራዊ እኩልነት 0 x + 7 > 0 ማንኛውንም እሴት x ሊወስድ ይችላል። ከዚያ የቅጽ 7> 0 እኩልነት እናገኛለን። የመጨረሻው እኩልነት እንደ እውነት ይቆጠራል, ይህም ማለት ማንኛውም ቁጥር የእሱ መፍትሄ ሊሆን ይችላል.

መልስክፍተት (- ∞ ፣ + ∞)

ምሳሌ 5

0 x - 12, 7 ≥ 0 አለመመጣጠን ላይ መፍትሄ ይፈልጉ።

መፍትሄ

የማንኛውንም ቁጥር ተለዋዋጭ x ስንተካ፣ አለመመጣጠን ቅጹን - 12፣ 7 ≥ 0 እንደሚወስድ እናገኛለን። ትክክል አይደለም። ያም ማለት 0 x - 12, 7 ≥ 0 መፍትሄዎች የሉትም.

መልስ፡-ምንም መፍትሄዎች የሉም.

ሁለቱም ቅንጅቶች ከዜሮ ጋር እኩል በሚሆኑበት የመስመር ላይ አለመመጣጠን መፍታትን እናስብ።

ምሳሌ 6

ከ 0 x + 0 > 0 እና 0 x + 0 ≥ 0 የማይፈታውን እኩልነት ይወስኑ።

መፍትሄ

ከ x ይልቅ ማንኛውንም ቁጥር በምንተካበት ጊዜ፣ ቅጽ 0> 0 እና 0 ≥ 0 ሁለት አለመመጣጠኖችን እናገኛለን። የመጀመሪያው ትክክል አይደለም. ይህ ማለት 0 x + 0 > 0 መፍትሄ የለውም ነገር ግን 0 x + 0 ≥ 0 አለው ማለቂያ የሌለው ቁጥርመፍትሄዎች, ማለትም, ማንኛውም ቁጥር.

መልስ: እኩልነት 0 x + 0> 0 ምንም መፍትሄዎች የሉትም, ግን 0 x + 0 ≥ 0 መፍትሄዎች አሉት.

ይህ ዘዴ በ ውስጥ ተብራርቷል የትምህርት ቤት ኮርስሒሳብ. የጊዜ ክፍተት ዘዴ መፍታት ይችላል የተለያዩ ዓይነቶችእኩልነት, እንዲሁም መስመራዊ.

የክፍለ ጊዜው ዘዴ ለመስመራዊ አለመመጣጠን ጥቅም ላይ የሚውለው የ Coefficient x ዋጋ ከ0 ጋር እኩል ካልሆነ ነው። አለበለዚያ የተለየ ዘዴ በመጠቀም ማስላት ይኖርብዎታል.

ትርጉም 6

የጊዜ ክፍተት ዘዴው የሚከተለው ነው-

• ተግባሩን ማስተዋወቅ y = a · x + b;
• የትርጉም ጎራውን ወደ ክፍተቶች ለመከፋፈል ዜሮዎችን መፈለግ;
• በጊዜ ክፍተቶች ላይ ለጽንሰ-ሀሳቦቻቸው የምልክቶች ትርጉም.

መስመራዊ እኩልታዎችን ለመፍታት ስልተ ቀመር a x + b እንሰበስብ< 0 (≤ , >, ≥) ለ ≠ 0 የጊዜ ክፍተት ዘዴን በመጠቀም፡-

• የቅጹን እኩልነት ለመፍታት y = a · x + b የተግባሩን ዜሮዎች መፈለግ a · x + b = 0 . ≠ 0 ከሆነ, መፍትሄው አንድ ሥር ይሆናል, እሱም ስያሜውን x 0 ይወስዳል;
• የመጋጠሚያ መስመር ግንባታ የነጥብ ምስል ከመጋጠሚያ x 0 ጋር ፣ ጥብቅ አለመመጣጠን ነጥቡ በተሰበረ ፣ ጥብቅ ያልሆነ እኩልነት - በጥላ ጥላ;
• የተግባር ምልክቶችን መወሰን y = a · x + b በየተወሰነ ጊዜ;
• በማስተባበር መስመር ላይ ከምልክቶች> ወይም ≥ ጋር አለመመጣጠን መፍታት፣ በአዎንታዊው ልዩነት ላይ ጥላ መጨመር፣< или ≤ над отрицательным промежутком.

የጊዜ ክፍተት ዘዴን በመጠቀም የመስመር አለመመጣጠንን ለመፍታት በርካታ ምሳሌዎችን እንመልከት።

ምሳሌ 6

አለመመጣጠን ይፍቱ - 3 x + 12> 0።

መፍትሄ

ከስልተ ቀመር ይከተላል በመጀመሪያ የእኩልታውን ሥር ማግኘት ያስፈልግዎታል - 3 x + 12 = 0. ያንን እናገኛለን - 3 · x = - 12, x = 4. ነጥብ 4 ላይ ምልክት የምናደርግበት የማስተባበሪያ መስመር መሳል ያስፈልጋል። እኩልነት ጥብቅ ስለሆነ የተበሳ ይሆናል. ከዚህ በታች ያለውን ስዕል አስቡበት.

በጊዜ ክፍተቶች ላይ ምልክቶችን መወሰን ያስፈልጋል. በጊዜው (- ∞, 4) ላይ ለመወሰን, ተግባሩን y = - 3 x + 12 በ x = 3 ማስላት አስፈላጊ ነው. ከዚህ እናገኛለን - 3 3 + 12 = 3> 0። በክፍተቱ ላይ ያለው ምልክት አዎንታዊ ነው.

ምልክቱን ከክፍተቱ (4, +∞) እንወስናለን, ከዚያም ዋጋውን x = 5 ይተካዋል. እኛ - 3 5 + 12 = - 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

ልዩነትን በ> ምልክት እንፈታዋለን, እና ጥላው በአዎንታዊው ክፍተት ላይ ይከናወናል. ከዚህ በታች ያለውን ስዕል አስቡበት.

ከሥዕሉ ላይ የሚፈለገው መፍትሔ ቅጹ (-∞, 4) ወይም x እንዳለው ግልጽ ነው< 4 .

መልስ: (- ∞ ፣ 4) ወይም x< 4 .

በሥዕላዊ መግለጫ እንዴት እንደሚገለጽ ለመረዳት፣ ምሳሌ 4ን መመልከት ያስፈልግዎታል የመስመር አለመመጣጠን: 0.5 x - 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 እና 0፣ 5 x - 1 ≥ 0። የእነሱ መፍትሄዎች የ x እሴቶች ይሆናሉ< 2 , x ≤ 2 , x >2 እና x ≥ 2. ይህንን ለማድረግ, ግራፍ እንሳል መስመራዊ ተግባር y = 0.5 x - 1 ከዚህ በታች ተሰጥቷል።

እንደሆነ ግልጽ ነው።

ፍቺ 7

• እኩልነት 0, 5 x - 1 መፍታት< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• መፍትሄው 0, 5 x - 1 ≤ 0 ተግባሩ y = 0, 5 x - 1 ከ O x ያነሰ ወይም የሚገጣጠምበት ክፍተት እንደሆነ ይቆጠራል;
• መፍትሄው 0, 5 · x - 1> 0 እንደ ክፍተት ይቆጠራል, ተግባሩ ከ O x በላይ ይገኛል;
• መፍትሄው 0, 5 · x - 1 ≥ 0 ከ O x በላይ ያለው ግራፍ ወይም የሚገጣጠምበት የጊዜ ክፍተት ተደርጎ ይቆጠራል.

ትርጉም ግራፊክ መፍትሄአለመመጣጠን ክፍተቶችን መፈለግ ነው ፣ እሱም በግራፍ ላይ መገለጽ አለበት። በዚህ ሁኔታ, በግራ በኩል y = a · x + b, እና የቀኝ ጎን y = 0, እና ከ O x ጋር የሚገጣጠም ሆኖ እናገኘዋለን.

ትርጉም 8

የተግባሩ ግራፍ y = a x + b ተቀርጿል፡-

• እኩልነትን በሚፈታበት ጊዜ a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• እኩልነት ሲፈታ a · x + b ≤ 0 ፣ ክፍተቱ የሚወሰነው ግራፉ ከ O x ዘንግ በታች በሚታይበት ወይም በሚገጣጠምበት ቦታ ነው ።
• እኩልነት ሲፈታ a · x + b> 0 ፣ ክፍተቱ የሚወሰነው ግራፉ ከ O x በላይ በሚታይበት ቦታ ነው ።
• የ a · x + b ≥ 0 አለመመጣጠን ሲፈታ፣ ክፍተቱ የሚወሰነው ግራፉ ከ O x በላይ በሆነበት ወይም በሚገጣጠምበት ቦታ ነው።

ምሳሌ 7

ግራፍ በመጠቀም እኩልነት - 5 · x - 3> 0 ይፍቱ።

መፍትሄ

የመስመራዊ ተግባሩን ግራፍ መገንባት አስፈላጊ ነው - 5 · x - 3> 0. ይህ መስመር እየቀነሰ ነው ምክንያቱም የ x መጠን አሉታዊ ነው። የመገናኛውን ነጥብ ከ O x - 5 · x - 3> 0 ጋር ለመወሰን, ዋጋውን - 3 5 እናገኛለን. በሥዕላዊ መግለጫ እንየው።

ከ> ምልክቱ ጋር ያለውን ልዩነት መፍታት, ከዚያም ከ O x በላይ ያለውን ክፍተት ትኩረት መስጠት አለብዎት. አስፈላጊውን የአውሮፕላኑን ክፍል በቀይ እናደምቀው እና ያንን አግኝ

የሚፈለገው ክፍተት ክፍል ኦ x ቀይ ነው። ስለዚህ ክፍት ነው። የቁጥር ጨረር- ∞ , - 3 5 ለእኩልነት መፍትሄ ይሆናል. እንደ ሁኔታው ​​ከሆነ, ጥብቅ ያልሆነ እኩልነት ቢኖረን, የነጥብ ዋጋ - 3 5 ደግሞ ለእኩልነት መፍትሄ ይሆናል. እና ከኦ x ጋር ይገጣጠማል።

መልስ: - ∞ , - 3 5 ወይም x< - 3 5 .

የግራፊክ ዘዴመፍትሄው በግራ በኩል ከ y = 0 x + b, ማለትም y = b ጋር ሲዛመድ ጥቅም ላይ ይውላል. ከዚያ ቀጥታ መስመር ከ O x ጋር ትይዩ ይሆናል ወይም በ b = 0 የሚገጣጠም ይሆናል። እነዚህ ጉዳዮች እንደሚያሳዩት አለመመጣጠን ምንም መፍትሄዎች ላይኖረው ይችላል, ወይም መፍትሄው ማንኛውም ቁጥር ሊሆን ይችላል.

ምሳሌ 8

ከእኩልነት 0 x + 7 ይወስኑ< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

መፍትሄ

የ y = 0 x + 7 ውክልና y = 7 ነው, ከዚያም ይሰጣል አውሮፕላን አስተባባሪከ O x ጋር ትይዩ የሆነ ቀጥተኛ መስመር እና ከኦ x በላይ የሚገኝ። ስለዚህ 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

የተግባሩ ግራፍ y = 0 x + 0 እንደ y = 0 ይቆጠራል, ማለትም, ቀጥታ መስመር ከ O x ጋር ይጣጣማል. ይህ ማለት እኩልነት 0 x + 0 ≥ 0 ብዙ መፍትሄዎች አሉት.

መልስ: ሁለተኛው እኩልነት ለማንኛውም የ x እሴት መፍትሄ አለው.

ወደ መስመራዊ የሚቀንሱ አለመመጣጠን

የእኩልነት መጓደል መፍትሄ ወደ መፍትሄ ሊቀንስ ይችላል መስመራዊ እኩልታ, ወደ መስመራዊ የሚቀንስ እኩልነት ይባላሉ.

እነዚህ አለመመጣጠኖች በትምህርት ቤት ኮርስ ውስጥ ግምት ውስጥ ገብተዋል, ምክንያቱም ልዩነቶችን የመፍታት ልዩ ጉዳይ ስለነበሩ, ይህም ቅንፍ እንዲከፈት እና እንዲመጣ አድርጓል. ተመሳሳይ ቃላት. ለምሳሌ 5 - 2 x> 0, 7 (x - 1) + 3 ≤ 4 x - 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x እንደሆነ አስብ።

ከላይ የተገለጹት አለመመጣጠኖች ሁልጊዜ ወደ መስመራዊ እኩልነት ይቀንሳሉ. ከዚያም ቅንፎች ይከፈታሉ እና ተመሳሳይ ቃላት ተሰጥተው ከ ይተላለፋሉ የተለያዩ ክፍሎች, ምልክቱን ወደ ተቃራኒው መለወጥ.

እኩልነት 5 - 2 x> 0 ወደ መስመራዊ ሲቀንስ, እኛ እንወክላለን መልክ - 2 x + 5> 0, እና ሁለተኛውን ለመቀነስ 7 (x - 1) + 3 ≤ 4 x - 2 + x. ቅንፎችን መክፈት, ተመሳሳይ ቃላትን ማምጣት, ሁሉንም ውሎች ወደ ግራ በኩል ማንቀሳቀስ እና ተመሳሳይ ቃላትን ማምጣት አስፈላጊ ነው. ይህን ይመስላል።

7 x - 7 + 3 ≤ 4 x - 2 + x 7 x - 4 ≤ 5 x - 2 7 x - 4 - 5 x + 2 ≤ 0 2 x - 2 ≤ 0

ይህ መፍትሄውን ወደ መስመራዊ እኩልነት ያመራል.

ተመሳሳይ የመፍትሄ መርህ ስላላቸው እነዚህ እኩልነቶች እንደ መስመራዊ ይቆጠራሉ, ከዚያ በኋላ ወደ አንደኛ ደረጃ እኩልነት መቀነስ ይቻላል.

ይህንን አይነት አለመመጣጠን ለመፍታት ወደ መስመራዊነት መቀነስ አስፈላጊ ነው. በዚህ መንገድ መደረግ አለበት.

ትርጉም 9

• ክፍት ቅንፎች;
• ተለዋዋጮችን በግራ እና በቀኝ ቁጥሮች መሰብሰብ;
• ተመሳሳይ ቃላትን መስጠት;
• ሁለቱንም ወገኖች በ x ንፅፅር ይከፋፍሏቸው።

ምሳሌ 9

አለመመጣጠን ይፍቱ 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x - 3) + 1.

መፍትሄ

ቅንፎችን እንከፍተዋለን, ከዚያም የቅጹ 5 x + 15 + x ≤ 6 x - 18 + 1 እኩልነት እናገኛለን. ተመሳሳይ ቃላትን ከቀነስን በኋላ፣ 6 x + 15 ≤ 6 x - 17 አለን። ቃላቶቹን ከግራ ወደ ቀኝ ካንቀሳቀስን በኋላ 6 x + 15 - 6 x + 17 ≤ 0 እናገኛለን። ስለዚህ 0 x + 32 ≤ 0 በማስላት የተገኘው ቅጽ 32 ≤ 0 እኩልነት አልነበረውም። አለመመጣጠን ውሸት መሆኑን ማየት ይቻላል, ይህም ማለት በሁኔታዎች የተሰጠው አለመመጣጠን መፍትሄ የለውም.

መልስ: መፍትሄዎች የሉም.

ከዚህ በላይ የሚታየው ዓይነት ወደ መስመራዊ ወይም እኩልነት የሚቀነሱ ብዙ ሌሎች የእኩልነት ዓይነቶች መኖራቸውን ልብ ሊባል ይገባል። ለምሳሌ፣ 5 2 x - 1 ≥ 1 ነው። ገላጭ እኩልታ, ይህም ወደ መስመራዊ መፍትሄ 2 x - 1 ≥ 0 ይቀንሳል. የዚህ ዓይነቱን እኩልነት በሚፈታበት ጊዜ እነዚህ ጉዳዮች ግምት ውስጥ ይገባሉ.

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

ዋናዎቹ የእኩልነት ዓይነቶች ይቀርባሉ, ቤርኖሊ, ካውቺ - ቡኒያኮቭስኪ, ሚንኮቭስኪ, ቼቢሼቭ እኩል ያልሆኑትን ጨምሮ. በእነሱ ላይ የእኩልነት ባህሪያት እና ድርጊቶች ግምት ውስጥ ይገባሉ. እኩልነትን ለመፍታት መሰረታዊ ዘዴዎች ተሰጥተዋል.

ለመሠረታዊ እኩልነት ቀመሮች

ለአለም አቀፍ እኩልነት ቀመሮች

ሁለንተናዊ አለመመጣጠን በእነሱ ውስጥ ለተካተቱት መጠኖች ለማንኛውም እሴቶች ይረካሉ። ዋናዎቹ ሁለንተናዊ አለመመጣጠን ዓይነቶች ከዚህ በታች ተዘርዝረዋል።

1) | አ ለ | ≤ |ሀ| + |ለ| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |አ 1 | + |አ 2 | + ... + |a n |

2) |አ| + |ለ| ≥ | ሀ - ለ | ≥ | |አ| - |ለ| |

3)
እኩልነት የሚከሰተው 1 = a 2 = ... = a n ሲሆን ብቻ ነው.

4) የካውቺ-ቡኒያኮቭስኪ እኩልነት

እኩልነት የሚይዘው α a k = β b k ለሁሉም k = 1, 2, ..., n እና አንዳንድ α, β, |α| ከሆነ ብቻ ነው. + |β| > 0 .

5) የሚንኮቭስኪ እኩልነት፣ ለ p≥ 1

አጥጋቢ አለመመጣጠን ቀመሮች

አጥጋቢ አለመመጣጠን የሚረካው መቼ ነው። የተወሰኑ እሴቶችበውስጣቸው የተካተቱት መጠኖች.

1) የቤርኑሊ እኩልነት;
.
ተጨማሪ ውስጥ አጠቃላይ እይታ:
,
የት ፣ ተመሳሳይ ምልክት ቁጥሮች እና ከዚያ በላይ -1 : .
የበርኑሊ ለማ፡
.
"የእኩልነት ማረጋገጫዎች እና የበርኑሊ ሌማ" ይመልከቱ።

2)
ለ i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) የ Chebyshev እኩልነት
በ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n እና 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
በ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n እና b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) አጠቃላይ የ Chebyshev አለመመጣጠን
በ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n እና 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n እና k ተፈጥሯዊ
.
በ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n እና b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

የእኩልነት ባህሪያት

የእኩልነት ባህሪያት እነሱን በሚቀይሩበት ጊዜ የሚረኩ ህጎች ስብስብ ናቸው። ከታች ያሉት የእኩልነት ባህሪያት ናቸው. ቀደም ሲል የተወሰነ የጊዜ ክፍተት ንብረት በሆነው x i (i = 1, 2, 3, 4) ዋጋዎች ውስጥ የመጀመሪያዎቹ አለመመጣጠን ረክተዋል.

1) የጎኖቹ ቅደም ተከተል ሲቀየር, የእኩልነት ምልክት ወደ ተቃራኒው ይለወጣል.
x 1 ከሆነ< x 2 , то x 2 >x 1 .
x 1≤ x 2 ከሆነ፣ ከዚያ x 2 ≥ x 1።
x 1≥ x 2 ከሆነ፣ ከዚያ x 2≤ x 1።
x 1 > x 2 ከሆነ x 2< x 1 .

2) አንድ እኩልነት ከሁለት ደካማ እኩልነት ጋር እኩል ነው የተለየ ምልክት.
x 1 = x 2 ከሆነ x 1 ≤ x 2 እና x 1 ≥ x 2።
x 1 ≤ x 2 እና x 1 ≥ x 2 ከሆነ x 1 = x 2።

3) የመሸጋገሪያ ባህሪ
x 1 ከሆነ< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
x 1 ከሆነ< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
x 1≤ x 2 እና x 2 ከሆኑ< x 3 , то x 1 < x 3 .
x 1≤ x 2 እና x 2 ≤ x 3 ከሆነ x 1≤ x 3።

4) እኩል ያልሆነው በሁለቱም ጎኖች ላይ ተመሳሳይ ቁጥር መጨመር (መቀነስ) ይቻላል.
x 1 ከሆነ< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
x 1 ≤ x 2 ከሆነ፣ ከዚያ x 1 + A ≤ x 2+ A።
x 1 ≥ x 2 ከሆነ፣ ከዚያ x 1 + A ≥ x 2+ A።
x 1 > x 2 ከሆነ፣ ከዚያ x 1 + A > x 2 + A።

5) ከተመሳሳይ አቅጣጫ ምልክት ጋር ሁለት ወይም ከዚያ በላይ ልዩነቶች ካሉ ግራ እና ቀኝ ጎኖቻቸው ሊጨመሩ ይችላሉ.
x 1 ከሆነ< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
x 1 ከሆነ< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
x 1≤ x 2፣ x 3 ከሆነ< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
x 1≤ x 2፣ x 3 ≤ x 4፣ ከዚያ x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4።
ተመሳሳይ መግለጫዎች በምልክቶቹ ላይ ተፈጻሚ ይሆናሉ ≥፣ >።
የመጀመሪያዎቹ አለመመጣጠኖች ጥብቅ ያልሆኑ እኩልነት ምልክቶች እና ቢያንስ አንድ ጥብቅ እኩልነት ምልክቶች ከያዙ (ነገር ግን ሁሉም ምልክቶች አንድ አቅጣጫ አላቸው) ከዚያም ተጨማሪው ጥብቅ አለመመጣጠን ያስከትላል.

6) ሁለቱም የእኩልነት ጎኖች በአዎንታዊ ቁጥር ሊባዙ (መከፋፈል) ይችላሉ።
x 1 ከሆነ< x 2 и A >0፣ ከዚያ A x 1< A · x 2 .
x 1≤ x 2 እና A > 0 ከሆነ፣ ከዚያ A x 1≤ A x 2።
x 1≥ x 2 እና A > 0 ከሆነ፣ ከዚያ A x 1 ≥ A x 2።
x 1 > x 2 እና A > 0 ከሆነ፣ ከዚያ A · x 1 > A · x 2።

7) የእኩልነት ሁለቱም ጎኖች በአሉታዊ ቁጥር ሊባዙ (መከፋፈል) ይችላሉ። በዚህ ሁኔታ, የእኩልነት ምልክት ወደ ተቃራኒው ይለወጣል.
x 1 ከሆነ< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >አ x 2.
x 1≤ x 2 እና ኤ ከሆነ< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
x 1≥ x 2 እና ኤ ከሆነ< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
x 1> x 2 እና ኤ ከሆነ< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) ሁለት ወይም ከዚያ በላይ የሆኑ አለመመጣጠኖች ካሉ አዎንታዊ አባላት, ከተመሳሳይ አቅጣጫ ምልክት ጋር, ከዚያም ግራ እና ቀኝ ጎኖቻቸው እርስ በእርሳቸው ሊባዙ ይችላሉ.
x 1 ከሆነ< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ከዚያ x 1 x 3< x 2 · x 4 .
x 1 ከሆነ< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ከዚያ x 1 x 3< x 2 · x 4 .
x 1≤ x 2፣ x 3 ከሆነ< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ከዚያ x 1 x 3< x 2 · x 4 .
x 1≤ x 2፣ x 3 ≤ x 4፣ x 1፣ x 2፣ x 3፣ x 4> 0 ከሆነ x 1 x 3 ≤ x 2 x 4።
ተመሳሳይ መግለጫዎች በምልክቶቹ ላይ ተፈጻሚ ይሆናሉ ≥፣ >።
የመጀመሪያዎቹ አለመመጣጠኖች ጥብቅ ያልሆኑ እኩልነት ምልክቶች እና ቢያንስ አንድ ጥብቅ እኩልነት ምልክቶች ከያዙ (ነገር ግን ሁሉም ምልክቶች አንድ አቅጣጫ አላቸው) ከዚያም ማባዛት ጥብቅ አለመመጣጠን ያስከትላል.

9) f(x) በብቸኝነት የሚጨምር ተግባር ይሁን። ማለትም ለማንኛውም x 1> x 2፣ f(x 1) > f(x 2)። ከዚያም ይህ ተግባር በሁለቱም የእኩልነት ጎኖች ላይ ሊተገበር ይችላል, ይህም የእኩልነት ምልክት አይለውጥም.
x 1 ከሆነ< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
x 1≤ x 2 ከሆነ f(x 1) ≤ f(x 2)።
x 1 ≥ x 2 ከሆነ f(x 1) ≥ f(x 2)።
x 1 > x 2 ከሆነ፣ ከዚያም f(x 1) > f(x 2)።

10) f(x) በብቸኝነት የሚቀንስ ተግባር ይሁን፣ ያም ማለት ለማንኛውም x 1> x 2፣ f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
x 1 ከሆነ< x 2 , то f(x 1) >ረ (x 2)
x 1≤ x 2 ከሆነ f(x 1) ≥ f(x 2)።
x 1 ≥ x 2 ከሆነ f(x 1) ≤ f(x 2)።
x 1> x 2 ከሆነ f(x 1)< f(x 2) .

አለመመጣጠን የመፍታት ዘዴዎች

የጊዜ ክፍተት ዘዴን በመጠቀም አለመመጣጠን መፍታት

ክፍተቱ ዘዴ ተፈጻሚ የሚሆነው አለመመጣጠኑ አንድ ተለዋዋጭን የሚያካትት ከሆነ ነው፣ እሱም እንደ x የምንገልጸው፣ እና ቅጹ አለው፡-
ረ(x) > 0
የት f (x) - ቀጣይነት ያለው ተግባር፣ መኖር የመጨረሻ ቁጥርነጥቦችን መሰባበር ። የእኩልነት ምልክት ማንኛውም ሊሆን ይችላል: >, ≥,<, ≤ .

የጊዜ ክፍተት ዘዴው እንደሚከተለው ነው.

1) የ f(x) ተግባሩን ፍቺ ጎራ ይፈልጉ እና በቁጥር ዘንግ ላይ ባሉት ክፍተቶች ምልክት ያድርጉበት።

2) የ f(x) ተግባር መቋረጥ ነጥቦችን ያግኙ። ለምሳሌ፣ ይህ ክፍልፋይ ከሆነ፣ አካፋው ዜሮ የሚሆንባቸውን ነጥቦች እናገኛለን። እነዚህን ነጥቦች በቁጥር ዘንግ ላይ ምልክት እናደርጋለን.

3) እኩልታውን ይፍቱ
ረ(x) = 0
የዚህን እኩልታ ሥሮች በቁጥር ዘንግ ላይ ምልክት እናደርጋለን.

4) በውጤቱም, የቁጥር ዘንግ ወደ ክፍተቶች (ክፍልፋዮች) በነጥቦች ይከፈላል. በትርጉም ጎራ ውስጥ በተካተቱት በእያንዳንዱ ክፍተቶች ውስጥ ማንኛውንም ነጥብ እንመርጣለን እና በዚህ ጊዜ የተግባሩን ዋጋ እናሰላለን. ይህ ዋጋ ከዜሮ በላይ ከሆነ, ከክፍሉ በላይ የ "+" ምልክትን እናስቀምጣለን (ክፍተት). ይህ ዋጋ ከዜሮ ያነሰ ከሆነ, "-" የሚለውን ምልክት ከክፍሉ በላይ (ክፍተት) ላይ እናስቀምጣለን.

5) አለመመጣጠኑ ቅፅ ካለው፡ f(x) > 0፣ ከዚያ በ"+" ምልክት ያለውን ክፍተቶች ይምረጡ። ለእኩልነት መፍትሄው እነዚህን ክፍተቶች በማጣመር ነው, ድንበሮቻቸውን አያካትቱም.
አለመመጣጠኑ ቅፅ ካለው፡ f(x) ≥ 0፣ ከዚያም ወደ መፍትሄው በየትኛው f(x) = 0 ላይ ነጥቦችን እንጨምራለን ። ማለትም አንዳንድ ክፍተቶች የተዘጉ ድንበሮች ሊኖራቸው ይችላል (ድንበሩ የክፍለ ጊዜው ነው)። ሌላ ክፍል ሊኖረው ይችላል ክፍት ድንበሮች(ድንበሩ በጊዜ ክፍተት ውስጥ አይደለም).
በተመሳሳይ፣ አለመመጣጠኑ ቅጽ ካለው፡ f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
አለመመጣጠኑ ቅፅ ካለው፡ f(x) ≤ 0፣ ከዚያም ወደ መፍትሄው በየትኛው f(x) = 0 ላይ ነጥቦችን እንጨምራለን ።

ንብረቶቻቸውን በመጠቀም አለመመጣጠን መፍታት

ይህ ዘዴ ለማንኛውም ውስብስብነት እኩልነት ተፈጻሚ ይሆናል. አለመመጣጠንን የበለጠ ለማምጣት ንብረቶቹን (ከላይ የቀረቡትን) መተግበርን ያካትታል ቀላል እይታእና መፍትሄ ያግኙ. ይህ አንድ ብቻ ሳይሆን የእኩልነት ስርዓትን ሊያስከትል ይችላል. ይህ ሁለንተናዊ ዘዴ. ለማንኛውም እኩልነት ተፈጻሚ ይሆናል።

ዋቢዎች፡-
አይ.ኤን. ብሮንስታይን ፣ ኬ.ኤ. ሴመንድያቭ፣ የመሐንዲሶች እና የኮሌጅ ተማሪዎች የሂሳብ መጽሐፍ፣ “ላን”፣ 2009

ለምሳሌ፣ አለመመጣጠኑ \(x>5\) የሚለው አገላለጽ ነው።

የእኩልነት ዓይነቶች:

\(a \) እና \(b\) ቁጥሮች ከሆኑ ወይም , ከዚያም እኩልነት ይባላል የቁጥር. በእውነቱ ሁለት ቁጥሮችን ማወዳደር ብቻ ነው። እንደነዚህ ያሉት አለመመጣጠን የተከፋፈሉ ናቸው ታማኝእና ታማኝ ያልሆነ.

ለምሳሌ:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) ትክክል ያልሆነ የቁጥር ልዩነት ነው፣ ምክንያቱም \(17+3=20\) እና \(20\) ከ\(115\) ያነሰ (እና የማይበልጥ ወይም እኩል ያልሆነ) .

\(a \) እና \(b\) ተለዋዋጭ የያዙ መግለጫዎች ከሆኑ እኛ አለን። ከተለዋዋጭ ጋር አለመመጣጠን. እንደነዚህ ያሉት አለመመጣጠን እንደ ይዘቱ ወደ ዓይነቶች ይከፈላሉ-

\(2x+1\geq4(5-x)\)				ለመጀመሪያው ኃይል ብቻ ተለዋዋጭ
(3x^2-x+5>0\)				በሁለተኛው ኃይል (ካሬ) ውስጥ ተለዋዋጭ አለ, ነገር ግን ምንም ከፍተኛ ኃይሎች የሉም (ሦስተኛ, አራተኛ, ወዘተ.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... እናም ይቀጥላል.

ለእኩልነት መፍትሄው ምንድን ነው?

ከተለዋዋጭ ይልቅ ቁጥርን ወደ ኢ-እኩልነት ከቀየሩት ወደ ቁጥርነት ይቀየራል።

ለ x የተሰጠ ዋጋ የዋናውን እኩልነት ወደ እውነተኛ አሃዛዊነት ከለወጠው፣ ከዚያም ይባላል ለእኩልነት መፍትሄ. ካልሆነ ይህ ዋጋ መፍትሄ አይሆንም. እና ወደ አለመመጣጠን መፍታት- ሁሉንም መፍትሄዎች ማግኘት አለብዎት (ወይም ምንም እንደሌለ ያሳዩ).

ለምሳሌ,ቁጥሩን \(7\) ወደ መስመራዊ እኩልነት ከተተካ \(x+6>10\) ትክክለኛውን የቁጥር ልዩነት እናገኛለን፡ \(13>10\)። \(2\)ን ከተተካን ደግሞ ትክክል ያልሆነ የቁጥር አለመመጣጠን ይኖራል \(8>10\)። ማለትም \(7\) ለዋናው አለመመጣጠን መፍትሄ ነው፣ ግን \(2\) ግን አይደለም።

ሆኖም፣ የ \(x+6>10\) አለመመጣጠን ሌሎች መፍትሄዎች አሉት። በእርግጥም \(5\) እና \(12\) እና \(138\) ስንተካ ትክክለኛውን የቁጥር አለመመጣጠን እናገኛለን... እና ሁሉንም እንዴት ማግኘት እንችላለን። ሊሆኑ የሚችሉ መፍትሄዎች? ለዚህም እኛ ለጉዳያችን ይጠቀማሉ:

\(x+6>10\) \(|-6\)
(x>4\)

ማለትም ከአራት በላይ የሆነ ቁጥር ለእኛ ተስማሚ ነው። አሁን መልሱን መጻፍ ያስፈልግዎታል. የእኩልነት መፍትሄዎች ብዙውን ጊዜ በቁጥር ይፃፋሉ ፣ በተጨማሪም በቁጥር ዘንግ ላይ በጥላ ምልክት ምልክት ያድርጉባቸው። ለጉዳያችን፡-

መልስ፡- \(x\in(4+\infty)\)

የእኩልነት ምልክት መቼ ነው የሚለወጠው?

ተማሪዎች በእውነት ለመውደቃቸው "የሚወዱት" በእኩልነት ውስጥ አንድ ትልቅ ወጥመድ አለ፡-

ኢ-እኩልነትን በአሉታዊ ቁጥር ሲባዛ (ወይም ሲያካፍል) ይገለበጣል ("ተጨማሪ" በ "አነስ", "ብዙ ወይም እኩል" በ "ከዚያ ያነሰ ወይም እኩል", እና የመሳሰሉት)

ይህ ለምን እየሆነ ነው? ይህንን ለመረዳት ለውጦቹን እንመልከት የቁጥር አለመመጣጠን(3>1)። ትክክል ነው፣ ሶስት በእርግጥ ከአንድ ይበልጣል። በመጀመሪያ፣ በማንኛውም አዎንታዊ ቁጥር ለማባዛት እንሞክር፣ ለምሳሌ፣ ሁለት፡-

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

እንደምናየው, ከተባዛ በኋላ እኩልነት እውነት ነው. እና ምንም አይነት አዎንታዊ ቁጥር ብናባዛ ሁልጊዜም እናገኛለን እውነተኛ እኩልነት. አሁን በአሉታዊ ቁጥር ለማባዛት እንሞክር፣ ለምሳሌ ከሶስት ሲቀነስ፡-

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

ውጤቱ ትክክል ያልሆነ እኩልነት ነው, ምክንያቱም ዘጠኝ ሲቀነስ ከሶስት ሲቀነስ ያነሰ ነው! ያም ማለት እኩልነት እውነት እንዲሆን (እና ስለዚህ, በአሉታዊ ማባዛት መለወጥ "ህጋዊ" ነበር), የንፅፅር ምልክቱን እንደሚከተለው መቀልበስ ያስፈልግዎታል: (-9)<− 3\).
በመከፋፈል በተመሳሳይ መንገድ ይሠራል, እራስዎ ማረጋገጥ ይችላሉ.

ከላይ የተጻፈው ህግ ሁሉንም አይነት እኩል ያልሆኑትን ነው የሚመለከተው እንጂ የቁጥር ብቻ አይደለም።

ለምሳሌ: አለመመጣጠን ይፍቱ \(2(x+1) -1<7+8x\)
መፍትሄ፡-

(2x+2-1<7+8x\)	\(8x\) ወደ ግራ፣ እና \(2\) እና \(-1 \) ወደ ቀኝ እናንቀሳቅስ፣ ምልክቶቹን መቀየር ሳንረሳ
(2x-8x<7-2+1\)
(-6x<6\) \(|:(-6)\)	ከ"ከትንሽ" ወደ "የበለጠ" ለመቀየር ሳንዘነጋ የእኩልነትን ሁለቱንም ወገኖች በ \(-6\) እንከፋፍል።
	በዘንግ ላይ የቁጥር ክፍተት ምልክት እናድርግ። አለመመጣጠን ፣ስለዚህ እሴቱን \(-1 \) እራሱን “እናወጣለን” እና እንደ መልስ አንወስድም
	መልሱን እንደ ክፍተት እንፃፍ

መልስ፡- \(x\in(-1;\infty)\)

አለመመጣጠን እና የአካል ጉዳት

አለመመጣጠኖች፣ ልክ እንደ እኩልታዎች፣ ላይ ገደቦች ሊኖራቸው ይችላል፣ ማለትም፣ በ x እሴቶች ላይ። በዚህ መሠረት በ DZ መሠረት ተቀባይነት የሌላቸው እሴቶች ከመፍትሔዎቹ ክልል ውስጥ መወገድ አለባቸው።

ለምሳሌ: አለመመጣጠን ይፍቱ \(\sqrt(x+1)<3\)

መፍትሄ፡- በግራ በኩል ከ \(3\) በታች እንዲሆን ፣ አክራሪ አገላለጽ ከ \(9 \) ያነሰ መሆን እንዳለበት ግልፅ ነው (ከሁሉም ፣ ከ \ (9 \) \ (3 \) ብቻ \ (3 \))። እናገኛለን፡-

(x+1<9\) \(|-1\)
(x<8\)

ሁሉም? ከ\(8\) ያነሰ የ x ማንኛውም ዋጋ ይስማማናል? አይ! ምክንያቱም እንደ መስፈርቱ የሚስማማ የሚመስለውን ዋጋ \(-5\) ብንወስድ ለዋናው እኩልነት መፍትሄ አይሆንም ምክንያቱም የአሉታዊ ቁጥርን መነሻ ለማስላት ስለሚያደርገን።

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt (-4)<3\)

ስለዚህ, በ X ዋጋ ላይ ያሉትን ገደቦች ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን - በስሩ ስር አሉታዊ ቁጥር ሊኖር አይችልም. ስለዚህ፣ ለ x ሁለተኛው መስፈርት አለን።

(x+1\geq0\)
(x\geq-1\)

እና ለ x የመጨረሻ መፍትሄ፣ ሁለቱንም መስፈርቶች በአንድ ጊዜ ማሟላት አለበት፡ ከ \(8\) ያነሰ (መፍትሄ ለመሆን) እና ከ\(-1\) (በመርህ ደረጃ ተቀባይነት ያለው መሆን) መሆን አለበት። በቁጥር መስመር ላይ በማሴር፣ የመጨረሻውን መልስ አግኝተናል፡-

መልስ፡- \(\ግራ[-1;8\ቀኝ)\)