እዚህ ለተከታታይ ውሱን ገደብ መኖሩን አጠቃላይ ምልክትን ግምት ውስጥ ማስገባት እንመክራለን. 
.
ፍቺ 3.5.
ተከታይ 
,
, ለዘፈቀደ ቁጥር መሰረታዊ ተብሎ ይጠራል 
እንደዚህ ያለ ቁጥር አለ 
ያ ለሁሉም ነው። 
እኩልነት ይይዛል 
.
የመሠረታዊ ቅደም ተከተል ፍቺ ብዙውን ጊዜ በሚከተለው ቅፅ ውስጥ በጥሩ ሁኔታ ጥቅም ላይ ይውላል.
ፍቺ 3.6.
ተከታይ 
የዘፈቀደ ቁጥር ከሆነ መሠረታዊ ነው 
እንደዚህ ያለ ቁጥር አለ 
ያ ለሁሉም ነው። 
እና ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር 
እኩልነት ይይዛል 
.
ቲዎረም 3.13 (Cauchy መስፈርት). አንድ ቅደም ተከተል እንዲሰበሰብ, አስፈላጊ እና በቂ መሠረታዊ ነው.
ማረጋገጫ። አስፈላጊነት.
ቅደም ተከተል ይሁን 
,
, ይሰበሰባል, ማለትም, አለ
. እንምረጥ 
. ከዚያ እንደዚህ ያለ ቁጥር አለ 
ያ ለሁሉም ነው። 
አለመመጣጠን ይይዛል; 
.
ፍቀድ 
እና 
, ከዚያም
=
,
ይህም ማለት ቅደም ተከተል መሠረታዊ ነው.
በቂነት።
ቅደም ተከተል ይሁን 
መሠረታዊ ነው. መሰባሰቡን እናረጋግጥ። ችግሩ እንደዚህ አይነት ቁጥር ለማግኘት ነው ሀ, ይህም ገደብ ነው.
ክርክሩን ወደ ብዙ ደረጃዎች እንከፋፍል።
ሀ) የቅደም ተከተል መሰረታዊ ባህሪው ወሰንነቱን እንደሚያመለክት እናረጋግጥ። እስቲ እናስብ ε =1, ከዚያ እንደዚህ ያለ ቁጥር አለ n 1 በሁሉም ሰው ፊት
n,
ኤም
≥
n 1
እኩልነት ይይዛል 
. በሁሉም ፊት n≥
n 1
ፍትሃዊ፡
.
ፍቀድ፣ ሀ፣ ከዚያ ለእያንዳንዱ ተፈጥሯዊ 
አለመመጣጠኑ ረክቷል 
, ያውና 
የተወሰነ.
ለ) ተፈጥሯዊ እንምረጥ n.
ስብስቡን አስቡበት 
- ቁጥራቸው ከተመረጠው ያነሰ ያልሆኑ የተከታታይ አባላት እሴቶች ስብስብ n. ሀ) ስብስቡ ውስጥ በተረጋገጠው X 1
የተወሰነ. እና ግልጽ ከሆኑ ኢንቨስትመንቶች 
እያንዳንዳቸው እነዚህ ስብስቦች የታሰሩ ናቸው.
ሐ) ሁለት አዳዲስ ቅደም ተከተሎችን ተመልከት. ለዚህም, ለእያንዳንዱ ስብስብ 
እንጥቀስ፡ 
,
. ለ) ከተሰጡት መክተቻዎች ውስጥ በቅደም ተከተል ይከተላል 
ይጨምራል ( 
), እና ቅደም ተከተል 
ይቀንሳል ( 
). ለዛ ነው 
, ማለትም, ቅደም ተከተሎች ነጠላ እና የተገደቡ ናቸው ስለዚህም አንድ ላይ ይሰበሰባሉ. ለሁሉም ተፈጥሮአዊ መሆኑንም ልብ ይበሉ nአለመመጣጠን ግልጽ ነው። 
.
መ) የእነዚህ ሁለት ቅደም ተከተሎች ልዩነት ወደ ዜሮ እንደሚሄድ እናረጋግጥ፡- 
. የመሠረታዊነት ሁኔታን እንጠቀም. ለዘፈቀደ ቁጥር 
እንደዚህ ያለ ቁጥር አለ 
ያ ለሁሉም ነው። ክ
≥
n ε
አለመመጣጠኑ ረክቷል 
. እነዚህ እኩልነቶች ወደዚያ እንድንደመድም ያስችሉናል
በ n≥
n ε
. ስለዚህም እ.ኤ.አ. 
.
ሠ) በከፊል በተረጋገጠው ሐ) ቅደም ተከተል 
ይሰበሰባል ፣ እንሂድ 
. ምክንያቱም 
እና, ከዚያም ከተመጣጣኝ አለመመጣጠን 
እና ከአቶ ለማ ወደ ሁለት ፖሊሶች ቀርቧል 
. በቂነት ተረጋግጧል. ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
3.9. ተከታይ ከፊል ገደቦች
ፍቺ 3.7.
ፍቀድ 
,
, አንዳንድ የቁጥር ቅደም ተከተል ነው እና መፍቀድ 
,
በጥብቅ እየጨመረ የመጣ የተፈጥሮ ቁጥሮች ቅደም ተከተል ነው። ከዚያም የቅጹ ቅደም ተከተል 
,
, የተከታታይ ተከታይ ተብሎ ይጠራል 
.
አንድ ቅደም ተከተል ገደብ ከሌለው, ይህ ለአንዳንድ ተከታይ ገደብ መኖሩን አይጨምርም.
ፍቺ 3.8. የአንድ ተከታታይ ከፊል ወሰን የአንዳንድ ተያያዥ ተከታይ ወሰን ነው።
ምሳሌ 3፡18.
ፍቀድ 
. ይህ ቅደም ተከተል ይለያያል (ክፍል 3.2 ይመልከቱ) ፣ ግን ተከታዮቹ 
እና 
በቅደም ተከተል ወደ 1 እና -1 መቀላቀል. ስለዚህ እነዚህ ቁጥሮች በቅደም ተከተል ከፊል ገደቦች ናቸው 
.
ቲዎረም 3.14.
ቅደም ተከተል ይሁን 
,
, ከቁጥሩ ጋር ይጣመራል ሀ.
ከዚያ ማንኛውም ተከታይ ወደ እሱ ይጣመራል። ሀ.
ማረጋገጫ።ፍቀድ 
,
, - የቅደም ተከተል ቅደም ተከተል 
,
. ምክንያቱም 
በጥብቅ እየጨመረ የመጣ የተፈጥሮ ቁጥሮች ቅደም ተከተል ነው, ከዚያ 
በሁሉም ሰው ፊት 
(ይህ በማነሳሳት ማረጋገጥ ቀላል ነው). እንምረጥ 
. በመገጣጠም ትርጓሜ 
ለ ሀለሁሉም 
እኩልነት ይረካል 
.ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
ችግር 3.14 ለተከታታይ ውህደት እያንዳንዱ ተከታዮቹ እንዲሰበሰቡ አስፈላጊ እና በቂ መሆኑን ያረጋግጡ።
ችግር 3.15.
ከሁኔታዎች ማረጋገጥ 
ሀ
እና
ሀ
የሚለውን ይከተላል 
ሀ.
ችግር 3.16. በትክክል አስር ከፊል ገደቦች ያለውን ተከታታይ ምሳሌ ስጥ።
ችግር 3.17. እያንዳንዱ እውነተኛ ቁጥር ከፊል ገደብ የሆነበትን ተከታታይ ምሳሌ ስጥ።
በተወሰነ ቅደም ተከተል ውስጥ ከፊል ገደቦች መኖር የሚለውን ጥያቄ እንመልከት.
ቲዮረም 3.15 (ቦልዛኖ-ዌየርስትራስ). እያንዳንዱ የተገደበ ቅደም ተከተል ተከታታይ ተከታይ ይዟል።
ማረጋገጫ።
በተከታታዩ ተፈጥሮ ውስንነት ምክንያት የሚከተሉትን ቁጥሮች ልንገልጽ እንችላለን 
ለማንም ሰው 
አለመመጣጠኑ ረክቷል 
. ክፍሉን ይከፋፍሉት 
በግማሽ. ከዚያ ቢያንስ አንድ ግማሽ ያልተገደበ የቅደም ተከተል ቃላት ብዛት ይይዛል። ይህ ቅደም ተከተል ገደብ የለሽ የቃላቶች ብዛት ስላለው እና ሁለት ግማሾችን ብቻ የያዘ በመሆኑ ይከተላል። ይህንን ግማሹን እንመርጣለን እና እንጠቁመው 
, ሁለቱም እንደዚያ ከሆኑ, ከዚያም አንዳቸውም.
በመቀጠል, አንድ ክፍል 
እንደገና ግማሹን እንከፋፍል እና ግማሹን ቁጥር የሌለውን የቅደም ተከተል ቃላቶችን እንምረጥ። በ እንጠቁመው 
. ይህን ሂደት በመቀጠል፣
- ኛ ደረጃ ክፍሉን እናገኛለን 
, ይህ ቅደም ተከተል የሌላቸው ብዙ ቃላትን የያዘ። እያንዳንዳቸው የተገነቡት ክፍሎች በቀድሞው ውስጥ ይገኛሉ. ክፍል ርዝመት 
እኩል ይሆናል 
ማለትም እየጨመረ ሲሄድ ወደ ዜሮ ይቀየራል። 
. የካንቶርን ሌማ በተሸፈኑ ክፍሎች ላይ መተግበር፣ ቅደም ተከተሎችን እናገኛለን 
እና 
ወደ አጠቃላይ ወሰን እንመለከተዋለን ሀ.
አሁን ወደ ማገናኛ እንገንባ ሀተከታይ. እንደ 
ማንኛውንም አባል ይምረጡ 
ውስጥ ተካትቷል። 
. እንደ 
እንዲህ ዓይነቱን ቅደም ተከተል አባል ይምረጡ 
በውስጡ የያዘው 
እና ቁጥር 
የትኛው የበለጠ ነው 
(እዚህ ክፍል ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል 
እጅግ በጣም ብዙ ቅደም ተከተሎችን ይዟል). በተመሳሳይ መጨቃጨቅ፣ ላይ
- ደረጃ እንደ 
እንዲህ ዓይነቱን ቅደም ተከተል አባል ይምረጡ 
በውስጡ የያዘው 
እና ቁጥር 
የትኛው የበለጠ ነው 
. እያንዲንደ የተገነቡት ክፍሌች እጅግ በጣም ብዙ የሆኑ ቅደም ተከተሎችን ያካተቱ መሆናቸውን እናስታውስ, ይህም የእንደዚህ አይነት ምርጫ የመምረጥ እድልን ይወስናል. ምክንያቱም 
, ኤ 
ከዚያም በለማ ወደ ሁለት ፖሊሶች 
.ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
የቅደም ተከተል ሁሉንም ከፊል ገደቦች ስብስብ በ 
. የተረጋገጠው የቦልዛኖ-ዌየርስትራስ ቲዎረም በሚከተለው መልኩ ሊስተካከል ይችላል።
እያንዳንዱ የታሰረ ቅደም ተከተል ስብስብ አለው 
ከፊል ገደቦች ባዶ አይደሉም።
በተጨማሪም ፣ ከቅደም ተከተል ወሰን ጀምሮ ፣በእኩልነት ወደ ወሰን ማለፍ በሚለው ጽንሰ-ሀሳብ ፣ ስብስቡ የታሰረ መሆኑን እናስተውላለን። 
. ስለዚህ ብዙ ናቸው። 
ትክክለኛ የላይኛው እና የታችኛው ጠርዝ አለው.
ፍቺ 3.9.
ፍቀድ 
,
, የታሰረ ቅደም ተከተል ነው, እና እናድርግ 
የሁሉም ከፊል ገደቦች ስብስብ ነው። እሴቶች 
,
በቅደም ተከተል የታችኛው እና የላይኛው ወሰኖች ይባላሉ 
.
ቁጥሮችን በቀጥታ ከዚህ ትርጉም አይከተልም። 
,
የብዙዎች ነው። 
ሆኖም ግን ፍትሃዊ
ቲዎረም 3.16. የአንድ የተወሰነ ቅደም ተከተል የላይኛው እና የታችኛው ገደቦች ከፊል ገደቦች ናቸው።
ማረጋገጫ።እንዲህ ያለ ተከታይ እንዳለ እናሳይ 
, ምንድን 
. ምክንያቱም 
<
ከዚያም ትክክለኛው የላይኛው ወሰን ፍቺ አለ። 
ከ 
,ለየተኛው 
. በመቀጠል, አለ 
, ለየተኛው 
, እና በአጠቃላይ, ለማንኛውም ሰው 
አደለም 
አለመመጣጠኖችን ማርካት;
.
ከእያንዳንዱ 
ከፊል ገደብ ነው, ከዚያም ማንኛውም ሰፈር 
እጅግ በጣም ብዙ ተከታታይ ቃላትን ይዟል 
. ስለዚህ ቁጥር አለ 
, ለየተኛው 
; ቁጥር አለ 
, ለየተኛው
እና 
.
አመክንዮውን በመቀጠል, ለሁሉም 
የሚለውን ግምት ውስጥ ያስገቡ 
, ሁኔታዎችን ማሟላት
እና 
.
ተከታዩ በዚህ መንገድ ተሠርቷል 
እኩል ያልሆኑትን ያሟላል።
እና በአቶ ለማ ወደ ሁለት ፖሊሶች ዝንባሌ አላቸው። 
.
በተመሳሳይ, አንድ ተከታይ ወደ የሚሰበሰብበት ተገንብቷል 
.ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
ከተረጋገጠው ንድፈ ሐሳብ, በተለይም, ምንም ዓይነት ቅደም ተከተል የለም, የሁሉም ከፊል ገደቦች ስብስብ የተገደበ ክፍተት ነው.
የቅደም ተከተል የላይኛው እና የታችኛውን ገደቦች በ 
እና 
በቅደም ተከተል. የእነዚህ መጠኖች ባህሪያት እንደ አንዱ, የሚከተለውን ጽንሰ-ሐሳብ እናረጋግጣለን.
ቲዎረም 3.17
.
ፍቀድ 
- የተወሰነ ቅደም ተከተል; 
;
. ከዚያ ለማንኛውም አዎንታዊ ቁጥር 
እያንዳንዳቸው እኩል ያልሆኑ 
እና 
የተከታታይ ውሱን ስብስብ ብቻ ያሟላል።
ማረጋገጫ።
ተቃራኒውን እናስብ። የቁጥሮች ስብስብ ይሁን 
እኩልነትን የሚያረካ ቅደም ተከተል አባላት 
፣ ያለማቋረጥ። እነዚህን ቁጥሮች በጥብቅ ወደ ሽቅብ ቅደም ተከተል እናስተካክላቸው፡- 
ከዚያም ተከታይ 
እኩል ያልሆኑትን ያሟላል። 
. በቦልዛኖ-ዌየርስትራስ ቲዎሬም መሰረት አንድ ሰው ከእሱ ጋር ተያያዥነት ያለው ተከታይ, ገደቡ ሊገለል ይችላል. 
የትኛው ይበልጣል 
. እንደሆነ ግልጽ ነው። 
, እና ይህ ከእውነታው ጋር ይቃረናል 
- የላይኛው ጫፍ. የተፈጠረው ተቃርኖ የንድፈ ሃሳቡን ያረጋግጣል።
ፍቺ ቅደም ተከተል (x n) ይባላል መሠረታዊ (Cauchy ቅደም ተከተል)፣ ለማንኛውም e > 0 ቁጥር ካለ ኤንለሁሉም ቁጥሮች n, ሁኔታውን ማርካት n>=ኤን, እና ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ገጽ(p=1,2,3...) እኩልነት እውነት ነው፡
|x n + p – x n |< e.
ቲዎረም. (አስቸጋሪ መስፈርት) . ቅደም ተከተል (x n) እንዲጣመር, አስፈላጊ እና በቂ መሠረታዊ ነው.
ማረጋገጫ.
1) አስፈላጊነት. ይሁን x n ሀ. የዘፈቀደ እናስተካክላለን e > 0. ቅደም ተከተል (x n) ወደ ገደቡ ስለሚቀላቀል ሀ, ከዚያም ከ e/2 ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ቁጥር አለ ኤንበሁሉም ሰው ፊት እንደዚህ n >= ኤን:
|x n – ሀ|< ሠ/2. (1)
ከሆነ ገጽማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር፣ ከዚያ ለሁሉም n>=N ይሆናል፡-
|x n + p – ሀ| < e/2. (2)
የሁለት ቁጥሮች ድምር ሞጁል ከሞዱሊዎቻቸው ድምር የማይበልጥ በመሆኑ፣ ከእኩልነት (1) እና (2) ለሁሉም n >= N እና ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር እናገኛለን። ገጽእኛ እናገኛለን:
|x n + p – x n | = | + |<= |x n + p – ሀ| + |x n – ሀ|< ሠ, Þ |x n + p – x n | < ሠ - ይህ ማለት ይህ መሠረታዊ ቅደም ተከተል ነው.
2) በቂነት. አሁን (x n) መሠረታዊ ቅደም ተከተል ይሁን። ለምሳሌ ለ e =1 n 1 እንዲህ ያሉ n > n 1 እና m > n 1 |x n - x m |< 1.
መጠገን m o > n 1 |x n - x አለን። ኤም o |< 1 и Þ |x n | < 1+ |xኤም o |
Ş |x n |<= M, где M=max{|x1|,…|xn1|,1+|xኤም o |) ለሁሉም nÎN፣ i.e. (x n) - የተወሰነ.
ይህ ማለት በቦልዛኖ-ዌየርስትራስ ቲዎሬም አንድ ተከታታይ ቅደም ተከተል አለ ( x n k) x n k -> ሀ. (x n) እንደሚሰበሰብ እናሳይ ሀ.
ለተሰጠው ሠ > 0፡
"ሠ > 0 $K (ሠ) О መ፡"k>ኬ(ሠ) Þ
|x n k - ሀ| < e;
በተጨማሪም፣ በ(x n) መሠረታዊ ተፈጥሮ ምክንያት፣ $n e = n (e): n k ,n > n e
Ş |x n – x n k |< e/2
እናስቀምጠው n e = max(n e, n k (e)) እና መጠገን n ko > nሠ. ከዚያም ለ n > n e እኛ አለን:
|x n – a|<= |x n – xn ko | + |x n ko – a|< e. А это и означает, что ሊም x n = ሀ #
15. በአንድ ነጥብ ላይ ያለውን የተግባር ገደብ ሁለት ትርጓሜዎች እና የእነሱ እኩልነት.
Def.1. (Cauchy እንዳለው)። ተግባር y=f(x) ይስጥ፡ X à Y እና ነጥብ ሀለስብስቡ X. ቁጥሩ ገደብ ነው ሀተብሎ ይጠራል የተግባር ገደብ y=f(x) ነጥብ ላይሀ ለማንኛውም ኢ > 0 ከሆነ መ > 0ን መግለጽ ይቻላል ለሁሉም xÎX እኩልነትን የሚያረካ 0< |x-ሀ| < d, выполняется |f(x) – ሀ| < e.
Def.2. (በሄይን መሰረት). ቁጥር ሀበነጥቡ ላይ የተግባር y=f(x) ገደብ ይባላል ሀለማንኛውም ቅደም ተከተል ከሆነ (x n )Ì X፣ x n ¹a "nОN፣ ወደ ሀ፣ የተግባር እሴቶች ቅደም ተከተል (f(x n)) ከቁጥሩ ጋር ይገናኛል። ሀ.
ቲዎረም. በካውቺ እና በሄይን መሠረት የአንድ ተግባር ወሰን መወሰን እኩል ናቸው።
ማረጋገጫ።በ Cauchy መሠረት A=lim f(x) የተግባሩ ገደብ ይሁን y=f(x)
እና (x n)Ì X፣ x n ¹a "nОN - ቅደም ተከተላቸው ወደ ሀ, x n à ሀ.
ሠ > 0 ከተሰጠ፣ d > 0 በ 0 ላይ እናገኛለን< |x-ሀ| < d, xÎX имеем |f(x) – ሀ| < e,
እና ከዚህ d ቁጥር n d =n(d) እናገኛለን ለ n>n d 0 አለን።< |x n -ሀ| < d.
ግን ከዚያ |f(x n) - ሀ| < e, т.е. доказано, что f(x n)à ሀ.
አሁን ቁጥሩ ይፍቀዱ ሀአሁን በሄይን መሰረት የተግባሩ ገደብ አለ, ግን ሀ Cauchy ገደብ አይደለም. ከዚያ e o > 0 አለ ለሁሉም nОN x n ОX አለ ፣
0 < |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= ኢ ኦ . ይህ ማለት ቅደም ተከተል (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, x n à" ተገኝቷል ማለት ነው. ሀለምሳሌ
ቅደም ተከተል (f(x n)) ወደ አይገናኝም። ሀ. #
በአንድ ነጥብ ላይ የአንድ ተግባር ወሰን ልዩነት። የተወሰነ ገደብ ያለው ተግባር አካባቢያዊ ወሰን። ዜሮ ገደብ ያለው ተግባር ምልክትን በአካባቢው ማቆየት.
ቲዎሪ 1. $ ከሆነ ሊም f(x) = b О አርለ x à, ከዚያ ይህ ገደብ ብቻ.
ማረጋገጫ: እንዲህ አይሁን።
ሊም f(x) = b 1 እና ሊም f(x) = b 2 ለ x à. b 1¹b 2
"(x n )О D(f)፣ x n à a፣ x n ¹ a Þ f(x n) à b 1 (በሄይን መሠረት ፍቺ)
"(x n )О D(f)፣ x n à a፣ x n ¹ a Þ f(x n) à b 2 (በሄይን መሠረት ፍቺ)
ለተወሰነ ቅደም ተከተል (x n) М ዲ (ረ)። x n ’ à a, x n ¹ a Þ
Þ f(x n ’) à b 1 እና f(x n’)à b 2. ከዚያም፣ በቲዎሬም በቅደም ተከተል ገደብ ልዩነት፣ b 1 = b 2። #
ዲፍ አንድ ተግባር f(x) በአካባቢው ለ x à a የተገደበ ነው ይባላል d > 0 እና M > 0 ቁጥሮች ካሉ ለ 0< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x)|<=M.
ቲዎረም 1 (ስለ አካባቢያዊ ወሰን). አንድ ተግባር f(x) በአንድ ነጥብ ሀ ላይ ገደብ ካለው፣ በአካባቢው ለ x à a የተገደበ ነው።
ማረጋገጫ፡- lim f(x) = A ለ x à a ካለ፡ ለምሳሌ፡ e=1 d>0 አለ ለ 0< |x-a| < d, xÎX, имеем |f(x)-A| < 1, а это значит,
|f(x)|<|A|+1=M. #
ቲዎረም 2 (በአካባቢው ምልክት ጥበቃ ላይ). ከሆነ ሊም f(x) = A ለ x à a እና A¹0፣ ከዚያ d>0 አለ።
0 < |x-a| < d, xÎX и A>0 f(x)>A/2 አለን እና 0 ላይ< |x-a| < d, xÎX и A<0 имеем
ረ(x)< a/2, т.е. (0 < |x-a| < d)L(xÎX) Þ |f(x)| >|A|/2.
ማረጋገጫ፡- e=|A|/2 እንውሰድ። ለ እንዲህ ያለ d>0 አለ
0 < |x-a| < d, xÎX имеем
አ-|አ|/2 ለ A> 0፣ ከግራ እኩልነት f(x)> A/2 እና ለ A እናገኛለን<0 из правого неравенства получаем f(x) < A/2. # መሸጎጫ መስፈርት 1) የ K.K. የቁጥሮች ቅደም ተከተል: ለቁጥሮች (እውነተኛ ወይም ውስብስብ) ቅደም ተከተል xn,n=1, 2,. . .፣ ገደብ ነበረው፣ ለማንም ሰው ቁጥር N እንዳለ ለሁሉም አስፈላጊ እና በቂ ነው። የቁጥር ቅደም ተከተል መገጣጠም መስፈርት የሙሉ ልኬት ነጥቦችን መጋጠሚያ መስፈርት ወደ አጠቃላይ ነው። ክፍተት. የነጥቦች ቅደም ተከተል (x p)ሙሉ መለኪያ ቦታ ይሰበሰባል እና ለማንም ካለ ብቻ ኤን፣እኩልነት ለሁሉም ሰው እንደሚይዝ 2) K.K. የ n ተለዋዋጮች ተግባራት ሕልውና ገደብ በ Xre-dimensional space ስብስብ ላይ ይገለጻል. አር.ኤንእና ቁጥራዊ (እውነተኛ ወይም ውስብስብ) እሴቶችን ይወስዳል ፣ ሀ -የአንድ ስብስብ X ገደብ ነጥብ (ወይም ምልክት, በዚህ ሁኔታ X ያልተገደበ ነው). ለሁሉም ሰው እንደዚህ ካለ ብቻ የተወሰነ ገደብ አለ ዩ=ዩ(ሀ) .
ነጥቦች አ፣ለማንኛውም እና እኩልነት የሚይዘው ይህ መመዘኛ ወደ አጠቃላይ አጠቃላይ ካርታዎች ያጠቃልላል፡ ፍቀድ ኤክስ-ቶፖሎጂካል , ሀ -ተቆጥሮ የሚቆይበት ወሰን ፣ ዋይ -ሙሉ መለኪያ ቦታ እና ረ - Xв ዋይገደብ እንዲኖር 3) ጥ.ለተግባር ቤተሰብ ወጥ የሆነ ውህደት። ፍቀድ ኤክስ-የተወሰነ ስብስብ ፣ ዋይ -ቶፖሎጂካል በገደብ ነጥቡ ላይ የመጀመሪያውን የመቁጠር አቅም የሚያረካ ቦታ, R የተሟላ መለኪያ ነው. ቦታ፣ ረ( x, y).
- የካርታ ስራ ስብስብ የካርታ ስራዎች ቤተሰብ ረ ( x, y),
ለቋሚ ስብስብ X ወደ H ካርታ መስራት፣ እንደዚህ አይነት ሰፈር ላለ ማንኛውም ሰው በXif ላይ ወጥ በሆነ መልኩ የተጣመረ ነው። ዩ=ዩ(y 0) ነጥቦች y 0ያ ለሁሉም ነው። በተለይም, ከሆነ ዋይ -የተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ እና 4) ኪ. ለተከታታይ ውህደት፡- የቁጥር ተከታታይ የሚሰበሰበው እንደዚህ ያለ ቁጥር ካለ ብቻ ነው። ኤን፣ለማንኛውም እና ለሁሉም እኩልነት አለመመጣጠን እንደሚይዝ ለብዙ ተከታታዮች, ተመሳሳይ የመገጣጠም መስፈርት ይባላል. Cauchy-Stolz መስፈርት. ለምሳሌ ፣ ለ በአራት ማዕዘን ከፊል ድምሮች ላይ ተጣምሯል እንደዚህ አይነት ነገር ለማግኘት ለማንኛውም ሰው አስፈላጊ እና በቂ ነው ኤን፣ከሁሉም እና ከሁሉም ጋር እነዚህ መመዘኛዎች በባናች ክፍተቶች ውስጥ ወደ ተከታታዩ አጠቃላይ ናቸው (የተዛማጅ ንጥረ ነገሮች ደንቦች ከፍፁም እሴት ይልቅ ይወሰዳሉ)። 5) ጥ. ለተከታታይ አንድ ወጥነት፡ በአንድ የተወሰነ ስብስብ X ላይ የተገለጹ እና የቁጥር እሴቶችን የሚወስዱ ተግባራት ይሁኑ። ለተከታታይ ቅደም ተከተል በስብስቡ ላይ ወጥ በሆነ መልኩ ተሰብስቧል ኤክስ፣ይህ ቁጥር ለሁሉም ሰው መኖሩን አስፈላጊ እና በቂ ነው ኤን፣ለጠቅላላው ይህ መመዘኛ ወደ በርካታ ተከታታይ ክፍሎችም ይዘልቃል፣ ወደ አሃዛዊ ተከታታይ ብቻ ሳይሆን፣ ቃሎቻቸው የ Banach spaces የሆኑ፣ ማለትም መቼ ነው እና ገጽ(x) የ X ስብስብ ካርታዎች ወደ አንድ የተወሰነ መንጋ ናቸው። 6) ተገቢ ያልሆኑ ውህደቶችን ለማገናኘት አንድ ተግባር በግማሽ ክፍተት ውስጥ ይገለጻል ፣ በላዩ ላይ የቁጥር እሴቶችን ይውሰዱ እና በማናቸውም ጊዜ (ሪማን ወይም ሊቤስጌ) መካከል ይዋሃዳሉ። ሀ፣ ሐ].
ስለዚህ ከተዋሃደ ፣የእኩልነት መጓደል ያለበትን ሁኔታ ለማርካት ለማንም ሰው መኖር አስፈላጊ እና በቂ ነው። መስፈርቱ የተቀረፀው ለሌሎች ዓይነቶች ተገቢ ያልሆኑ ውህዶች በተመሳሳይ መንገድ ነው ፣ እና እንዲሁም ተግባሩ f በብዙ ተለዋዋጮች ላይ በሚመረኮዝበት ጊዜ እና እሴቶቹ በባንች ቦታ ላይ ሲገኙ ለጉዳዩ አጠቃላይ ነው ። 7) K.K. ለተሳሳተ ውህደቶች ወጥ የሆነ ውህደት፡ ተግባሩን ይፍቀዱ( x, y).ለእያንዳንዱ ቋሚ የት ዋይ -በግማሽ ክፍተት ላይ የተገለጹ አንዳንድ ስብስቦች አሃዛዊ እሴቶችን ይወስዳሉ እና በማንኛውም የጊዜ ክፍተት ውስጥ ሊዋሃዱ ይችላሉ. ሀ፣ ሐ].
ስለዚህ በ Y ስብስብ ላይ አንድ ወጥ በሆነ መልኩ ይሰበሰባል ፣ ለማንኛቸውም ሁኔታዎችን ለማርካት እና ሁሉም እኩልነት የሚይዝ መኖሩ አስፈላጊ እና በቂ ነው ። ይህ መመዘኛ ወደ ሌሎች ዓይነቶች ተገቢ ያልሆኑ ውህዶች ፣ የበርካታ ተለዋዋጮች ተግባራት እና እሴቶቻቸው በባንች ቦታዎች ላይ ወደሚገኙ ተግባራት ይዘልቃል። በርቷል C a u c h u A.L., አልጀብሪክን መተንተን, P., 1821; ስቶልዝ ኦ., "ሒሳብ. An.", 1884, Bd 24, S. 154-71; Dieudonne J., የዘመናዊ ትንተና መሰረታዊ ነገሮች, ትራንስ. ከእንግሊዝኛ, ኤም., 1964; Il'in V.A., Poznya to E.G., የሂሳብ ትንተና መሰረታዊ ነገሮች, 3 ኛ እትም, ጥራዝ 1, ኤም., 1971, ጥራዝ 2, M., 1973; Kudryavtsev L. D., የሂሳብ ትንተና ኮርስ, ቲ. .
1 - 2, ኤም., 1981; 16] Nikolsky S.M., የሂሳብ ትንተና ኮርስ, 2 ኛ እትም, ጥራዝ 1-2, M., 1975; Whittaker E. - T., V a tson J. - N., የዘመናዊ ትንተና ኮርስ, ትራንስ. ከእንግሊዝኛ, 2 ኛ እትም, ክፍል 1, M., 1963. L. D. Kudryavtsev. የሂሳብ ኢንሳይክሎፔዲያ. - ኤም.: የሶቪየት ኢንሳይክሎፔዲያ. I. M. Vinogradov. ከ1977-1985 ዓ.ም. የአዎንታዊ ተከታታዮች መገጣጠም መስፈርት (Cauchy መስፈርት) በኦገስቲን ካውቺ የተቋቋመ የቁጥር ተከታታይ ውህደት ዋና መስፈርት ነው። አወንታዊ ተከታታዮች የሚሰበሰቡት የከፊል ድምሮቹ ቅደም ተከተል ከላይ ከተገደበ... Wikipedia የሚካሂሎቭ ኒኩዊስት የመረጋጋት መስፈርት በክፍት-loop ደረጃ ምላሽ የተዘጋውን የቁጥጥር ስርዓት መረጋጋትን ለመገመት አንዱ መንገድ ነው። የድግግሞሽ መረጋጋት መስፈርት አንዱ ነው. ይህንን መስፈርት በመጠቀም መረጋጋትን ለመገምገም ...... Wikipedia የሚካሂሎቭ ኒኩዊስት የመረጋጋት መስፈርት የዝግ ዑደት ቁጥጥር ስርዓትን በክፍት ግዛቱ ስፋት-ደረጃ ድግግሞሽ ምላሽ ለመመዘን አንዱ መንገድ ነው። አንዱ የፍሪኩዌንሲ መስፈርት ነው...... ዊኪፔዲያ Cauchy መስፈርት በሂሳብ ትንታኔ ውስጥ ተከታታይ መግለጫዎች ነው፡ የአንድ ተከታታይ መጋጠሚያ መስፈርት (መሠረታዊ ቅደም ተከተል ተመልከት) የሙሉ ቦታ ፍቺ የተመሰረተበት። የአዎንታዊ ምልክቶች መገጣጠም መስፈርት... ዊኪፔዲያ ተመሳሳይነት መመዘኛ ግምት ውስጥ ያለውን አካላዊ ክስተት የሚወስኑ በመለኪያ አካላዊ መለኪያዎች የተዋቀረ ልኬት የሌለው መጠን ነው። ለሁለት አካላዊ ክስተቶች እና ስርዓቶች የአንድ አይነት ተመሳሳይነት መመዘኛዎች እኩልነት አስፈላጊ ነው እና ... ... ዊኪፔዲያ የሚካሂሎቭ ኒኩዊስት የመረጋጋት መስፈርት በክፍት-loop ደረጃ ምላሽ የተዘጋውን የቁጥጥር ስርዓት መረጋጋትን ለመገመት አንዱ መንገድ ነው። የድግግሞሽ መረጋጋት መስፈርት አንዱ ነው. ይህንን መስፈርት በመጠቀም መረጋጋትን መገምገም በጣም ...... ዊኪፔዲያ ነው። - (ካ) በቀጣይ መካኒኮች ውስጥ ያለው ተመሳሳይነት መስፈርት ፣ የኪነቲክ ኢነርጂ እና የመካከለኛው መጨናነቅ ኃይል ሬሾን በመግለጽ። የመለጠጥ አካላት ንዝረትን እና የላስቲክ ፈሳሾችን ፍሰት በማጥናት ጥቅም ላይ ይውላል። የ Cauchy ቁጥር እንደሚከተለው ተገልጿል:, የት ... ... Wikipedia ይህ ቃል ሌሎች ትርጉሞች አሉት፣ የ Cauchy ምልክትን ይመልከቱ። የCauchy Maclaurin ውህደቱ ፈተና እየቀነሰ ላለው የአዎንታዊ ተከታታይ ቁጥር ውህደት ፈተና ነው። የማክላሪን ካውቺ ፈተና የተከታታዩን ወደ... ... ውክፔዲያ መገናኘቱን ማረጋገጥን ለመቀነስ ያስችላል። "Cauchy's test" የሚለው ቃል ከሚከተሉት አረፍተ ነገሮች አንዱን ሊያመለክት ይችላል፡ የካውቺ ራዲካል ፈተና የማክላሪን ዋና የ Cauchy ፈተና የካውቺ መስፈርት የካውቺን ቲዎረም ይመልከቱ ... ዊኪፔዲያ ተከታይ (xn)ያረካል አሻሚ ሁኔታ, ለማንኛውም አዎንታዊ ትክክለኛ ቁጥር ε ከሆነ > 0
የተፈጥሮ ቁጥር አለ N ε እንደዚህ የ Cauchy ሁኔታን የሚያረኩ ቅደም ተከተሎችም ይባላሉ መሰረታዊ ቅደም ተከተሎች. የ Cauchy ሁኔታ በሌላ መልኩ ሊቀርብ ይችላል. ም > n. ኤም ከሆነ< n
,
то поменяем n
и m
местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем: ከዚያ የ Cauchy ሁኔታ እንደሚከተለው ሊዘጋጅ ይችላል- ወጥነት ያረካል አሻሚ ሁኔታ, ለማንኛውም እንደዚህ ያለ የተፈጥሮ ቁጥር ካለ በካውቺ ሁኔታ ውስጥ የሚታየው ቁጥር በ ε ላይ ይወሰናል. ያም ማለት የእውነተኛ ተለዋዋጭ ε ተግባር ነው, ክልሉ የተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ ነው. ቁጥሩ እንዲሁ በቅጹ ሊጻፍ ይችላል ፣ እንደተለመደው ተግባራትን ለማመልከት ። ለተከታታይ ውህደት አሻሚ መስፈርት አንድ ቅደም ተከተል ገደብ ያለው ገደብ እንዲኖረው, አስፈላጊ እና በቂ ነው Cauchy ሁኔታን ያሟላ. ቅደም ተከተላቸው ወደ ውሱን ወሰን ሀ ይሰብስብ፡ ቅደም ተከተል እንደሚያሟላ እናሳይ . ይህንን ለማድረግ, ለማንኛቸውም, የሚከተሉት አለመመጣጠኖች የሚሟሉበት ተግባር መፈለግ አለብን: እንተካው በ . ከዚያ ለማንኛውም እኛ አለን- ፍላጎቱ ተረጋግጧል. ቅደም ተከተላቸው ይሟላል. ወደ ተወሰነ ቁጥር እንደሚጣመር እናረጋግጥ። ማስረጃውን በሦስት ክፍሎች እንከፍላለን. በመጀመሪያ ቅደም ተከተል የታሰረ መሆኑን እናረጋግጣለን. ከዚያ እኛ እንተገብራለን ፣ በዚህ መሠረት የታሰረ ቅደም ተከተል ወደ ውሱን ቁጥር የሚያገናኝ ተከታይ አለው። እና በመጨረሻም ፣ አጠቃላይ ቅደም ተከተል ወደዚህ ቁጥር እንደሚመጣ እናሳያለን። ቅደም ተከተል አጥጋቢው የተገደበ መሆኑን እናረጋግጥ. ይህንን ለማድረግ, በ Cauchy ሁኔታ ውስጥ, እናዘጋጃለን. ቀጥሎም የሚከተሉት እኩልነቶች የሚያዙበት ተፈጥሯዊ ቁጥር አለ፡ ማንኛውንም የተፈጥሮ ቁጥር እንውሰድ እና የተከታታዩን አባል እናስተካክላለን። ይህ በመረጃ ጠቋሚው ላይ ያልተመሠረተ ቋሚ ቁጥር መሆኑን ለማጉላት እናመልከተው. በ (2.1.1) ውስጥ እንተካለን እና ለውጦችን እናደርጋለን. ሲኖረን፡- የቦልዛኖ–ዌየርስትራስ ቲዎሬምን እንተገብረው። በዚህ ንድፈ ሃሳብ መሰረት፣ የታሰረ ቅደም ተከተል ወደ አንዳንድ ውሱን ቁጥር ሀ የሚገጣጠም ተከታይ አለው። እንዲህ ዓይነቱን ቅደም ተከተል እንጥቀስ. ከዚያም ሙሉው ቅደም ተከተል ከቁጥር ሀ ጋር እንደሚጣመር እናሳይ። እናስተካክል n. ከዚያ (2.3.1) የተወሰኑ የመጀመሪያ ቃላቶች የተገለሉበት ተከታታይነት ያለው አለመመጣጠን ነው። የመጀመሪያ ቃላቶች ውሱን ቁጥር በመገጣጠም ላይ ተጽዕኖ አያሳርፉም (የተወሰነ የቃላቶች ብዛት በቅደም ተከተል ውህደት ላይ ያለውን ተፅእኖ ይመልከቱ)። ስለዚህ, ለተቆራረጠ ቅደም ተከተል ገደብ አሁንም ሀ. በማመልከት ላይ ከእኩልነት ጋር የተዛመዱ ገደቦች ባህሪዎችእና ገደቦች አርቲሜቲክ ባህሪያት, ለ , ከ (2.3.1) እኛ አለን: ያም ማለት ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር አለ, ስለዚህ ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል ዋቢዎች፡- የካውቺ መመዘኛ የተከታታይ መገጣጠም በጣም አጠቃላይ የሆነውን የአንድ ተከታታይ ቁጥር መጋጠሚያ መስፈርትን ያመለክታል። Theorem 4 (Cauchy መስፈርት). ተከታታይ Y1 an እንዲገናኝ ለማንኛውም ቁጥር አስፈላጊ እና በቂ ነው e > O ቁጥር አለ N = N (e) ለማንኛውም n > N እኩልነት ለሁሉም ይሆናል በከፊል ድምርን በመጠቀም 5P +P እና Sn-\ ተከታታይ J2 nn> እኩልነት (1) በቅጹ ሊጻፍ ይችላል ከካውቺ መስፈርት የቁጥር ተከታታይ መገጣጠም አስፈላጊ የሆነውን መስፈርት ይከተላል። ቲዎረም 5. ተከታታይ ንጽጽር ለተከታታይ አዎንታዊ ቃላት ከተፈተነ D'Alembert's test Cauchy's test Cauchy's test for the convergence of the series of convergences, then assuming in theorem 4, we are itly that all holds it is a equity: of the arbitrarity of the arbitrarity of the arbitriness of the arbitriness of the arbitrarity. ቁጥር e > 0፣ ይህ ማለት ኮሎሪ ማለት ነው። ሊም ከዜሮ የተለየ ከሆነ ወይም ከሌለ፣ ተከታታይ ምሳሌ 1. የቁጥር ተከታታይ ይለያያሉ፣ ለምሳሌ 2. ተከታታዩ ስለሚለያይ። አስተያየት። ቲዎሬም 5 ለተከታታይ ውህደት አስፈላጊ ቅድመ ሁኔታን ያቀርባል ነገር ግን በቂ አይደለም, ማለትም ሁኔታ ሊም o " = 0 ለተለያዩ ተከታታይ ክፍሎችም ሊረካ ይችላል. ምሳሌ 3. ሃርሞኒክ ተከታታይ ተብሎ የሚጠራውን የቁጥር ተከታታይ እንመልከት. ለሃርሞኒክ ተከታታይ ፣ ለመገጣጠም አስፈላጊው ሁኔታ ረክቷል ፣ የ Cauchy መስፈርትን በመጠቀም ፣ ይህ ተከታታይ እንደሚለያይ እናሳያለን። p-n እናስቀምጠው. ከዚያ የተገኘው ልዩነት ለማንኛውም በዘፈቀደ ትልቅ ነው n. ለ e ^ 5 እና p = n አለመመጣጠን (1) አይይዝም. ስለዚህ, በካውቺ መስፈርት ምክንያት, የሃርሞኒክ ተከታታይነት ይለያያል. ጠቃሚ ማስታወሻ. በተወሰነ መልኩ፣ ተከታታይ የአንድ የተወሰነ ድምር አጠቃላይ ነው። ነገር ግን ከኋለኛው በተለየ መልኩ ቃላቶቹ ሊቧደኑ እና ሙሉ በሙሉ በዘፈቀደ ሊደራጁ ይችላሉ፣ ለዚህም ነው ድምር እንደምናውቀው የማይለወጥ፣ የዘፈቀደ ተከታታይ አባላት ጋር የሚደረጉ እርምጃዎች በጥንቃቄ መከናወን አለባቸው - መዘዙ ሁልጊዜ ላይሆን ይችላል። ሊገመት የሚችል መሆን. በተለዋዋጭ ተከታታይ (የመገናኘት አስፈላጊው መስፈርት ካልተሟላ) ጎረቤት ቡድኖችን በጥንድ እንመድባቸዋለን፣ ከዚያም ተከታታይ ተከታታይ እናገኛለን። ለማንኛውም ቁጥር እና አልፎ ተርፎም ይለያያል. በተለይም ውሎቹን በማስተካከል የተገኘው ተከታታይ ከዋናው ድምር ግማሽ ጋር ይገናኛል (ምሳሌ ከ § 9)። በእነዚህ ምሳሌዎች ውስጥ የተከታታዩ ቃላቶች የተለያዩ ምልክቶች መኖራቸው ጠቃሚ ነው. የአንዳንድ ተከታታይ አሃዛዊ ተከታታዮች ውህደት ወይም ልዩነት አስቀድሞ ከሚታወቅ ከሌሎች ተከታታይ ክፍሎች ጋር በማነፃፀር ውህደትን ወይም መለያየትን ለመመስረት የሚያስችሉ ምልክቶችን እናቅርብ። ቲዎረም 6 (የማነፃፀር ፈተና). ሁለት ተከታታዮች የማን ቃላቶች አንድ እና 6" አዎንታዊ እንደሆኑ ይስጥ። እኩልነት ለሁሉም ቁጥሮች n የሚይዝ ከሆነ ፣ ከተከታታዩ Y1 6n ውህደት የተከታታዩን ተከታታይ an እና ከተከታታዩ Y1 On ልዩነት የተከታታዩ Y1 6" ልዩነት ይከተላል። M የተከታታይ (1) እና (2) ከፊል ድምርን እናዘጋጅ ከንድፈ ሃሳቡ ሁኔታ (3) 5П ^ Sn ለሁሉም 1) ተከታታይ (2) እንደሚሰበሰብ አድርገን እንውሰድ፣ ማለትም የ nth ከፊል ድምር ገደብ አለው ብለን እናስብ። ስለዚህ የእነዚህ ተከታታይ ቃላቶች ሁሉ አወንታዊ ስለሆኑ ፣በእኩልነት (3) ምክንያት ፣ ስለሆነም ፣ ሁሉም ከፊል ድምሮች 5P ተከታታይ (1) የተገደቡ እና n ሲጨመሩ ይጨምራሉ ፣ ምክንያቱም። በዚህ ምክንያት የከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል የተጣመረ ነው ፣ ይህ ማለት የተከታታዩ መገጣጠም ማለት ነው ። 'የአሌምበርት ፈተና Cauchy's ፈተና Cauchy ለተከታታይ ውህደት ማለትም ተከታታይ bn diverges። አስተያየት። Theorem 6 በጉዳዩ ላይ የሚሰራው ^ bn አለመመጣጠን ለሁሉም n ሳይሆን ከተወሰነ ቁጥር A: ማለትም ለሁሉም n ^ Jfc በመጀመር ብቻ ነው ፣ ምክንያቱም የተከታታይ ውሱን የቃላት ብዛት መለወጥ ስለሚያስችል። የእሱን ውህደት አይጥስም. ምሳሌዎች። ለመገጣጠም የሚከተሉትን ተከታታዮች መርምር፡- እኛ አለን የቁጥር ተከታታዮች ከተሰባሰቡ በኋላ፣በንፅፅር የዋናው ተከታታዮች (4) እንዲሁ ይሰባሰባሉ።እኩልነት አለመመጣጠንን ያመለክታል ሃርሞኒክ ተከታታይ ስለሚለያይ (እንደ ተከታታዩ፣ ከዚያም በንፅፅር የመጀመሪያዎቹ ተከታታይ (4) 1. ቲዎረም 6 በአጠቃላይ እኩልነት አለመመጣጠን ላይ እንደጸና ይቆያል ምሳሌ 3. ተከታታይ 4ን ለመገጣጠም ፈትኑ የኃጢአትን x ^ x በመጠቀም ለሁሉም የሚጸና፣ ተከታታይ ስለሚሰበሰብ ከዚያም በማነጻጸር (() እዚህ A = y) ይህ ተከታታይ (5) እንዲሁ ይሰበሰባል፡- ውሱን ዜሮ ያልሆነ ገደብ ካለ፣ ተከታታይ (1) እና (2) በአንድ ጊዜ ይሰባሰባሉ ወይም ይለያያሉ። ማንኛውም ቁጥር e > O፣ ቁጥር N አለ ለሁሉም n > N እኩልነት አለዚያም ተከታታዩ (2) ከተጣመሩ ተከታታዩ ይሰበሰባል ነገር ግን በቲዎረም 6 መሠረት፣ ተከታታይ (1) እንዲሁ ይሆናል ተሰብስቦ። ተከታታዩ (2) ከተለያየ፣ ከዚያም ይለያያሉ እና ተከታታይ (ሠ በጣም ትንሽ ነው ተብሎ ይታሰባል)። n ለሁሉም ሰው ስለሆነ በቲዎረም 6 መሠረት ተከታታይ (1) ይለያያል። አስተያየት። የሌማው ሁኔታ በቅደም ተከተል сс, እና Lbn at እኩል ናቸው ወይም ተመሳሳይ ናቸው, በ I = 0, የተከታታይ (2) መገጣጠም የተከታታይ (1) ውህደትን ያመለክታል. የተገላቢጦሹ እውነት አይደለም። በL = +oo፣ የተከታታይ (1) መለያየት የተከታታይ (2) ልዩነትን ያመለክታል። የተገላቢጦሹ እውነት አይደለም። ምሳሌዎች። ለመገጣጠም የሚከተሉትን ተከታታይ የቁጥር ቁጥሮችን እንመርምር፡ 4 እስቲ ይህንን ተከታታዮች ከሃርሞኒክ ተከታታይ ጋር እናወዳድር።እኛ አለን የ harmonic series diverges ጀምሮ፣ ይህ ተከታታይ ደግሞ ይለያያል። ከዚያ የመጀመሪያዎቹ ተከታታይ ክፍሎች ይሰባሰባሉ። §5. የD'Alembert ፈተና oo Theorem 7 (D'Alembert's test)። አንድ ተከታታይ ይስጥ፣ ሁሉም አንድ > 0 ካለ፣ n =\ ገደብ ካለ፣ ተከታታዩ ይገናኛሉ፣ እና ተከታታዩ ይለያያሉ። ከዚያም ለማንኛውም ቁጥር ለምሳሌ e =, ቁጥር N አለ ይህም ለሁሉም n ^ N እኩልነት ይረካል.በተለይ, ለሁሉም ከየት ይኖረናል ከዚህ ልዩነት, በተከታታይ እሴቶቹን በመስጠት. N፣ የተከታታዩ ቃላቶች ከተከታታዩ ተጓዳኝ ቃላቶች አይበልጡም ይህም እንደ ተከታታይ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃላት ከዲኖሚነተር ያቀፈ ነው። በንፅፅር፣ ተከታታዩ ይሰበሰባል፣ ይህ ማለት ዋናው ተከታታዮች ደግሞ ከተወሰነ ቁጥር N ጀምሮ በጉዳዩ ላይ አለመመጣጠን ይረካዋል ወይም በዚህም ምክንያት ተለዋዋጭነት አስፈላጊ ስለሆነ - የመገጣጠም ምልክት። አስተያየት። ካለ ወይም ከሌለ፣ የD'Alembert ፈተና ስለ ተከታታዩ ውህደት ወይም ልዩነት መልስ አይሰጥም። ምሳሌዎች። የሚከተሉትን ተከታታዮች ለመገጣጠም ይመርምሩ፡ ለተከታታይ ተከታታይ የንጽጽር ፈተና አለን። ይህ ተከታታይ ልዩነት አለን. . Cauchy test Theorem 8 (Cauchy test). ተከታታዩ ይሰጥ። እንደዚህ ያለ ቁጥር q ይውሰዱ። ከተወሰነ ቁጥር N ጀምሮ, እኩልነት የሚይዝበት ገደብ ስላለ. በእውነቱ ፣ ከገደቡ እኩልነት ለማንኛውም ሐ ፣ ጨምሮ ፣ ቁጥር N አለ ፣ ከዚያ ጀምሮ እኩልነት ከየት A ወይም ፣ ተመሳሳይ ነው ፣ ከዚህ እናገኛለን ። ስለዚህ፣ ሁሉም የተከታታይ ቃላቶች፣ ጀምሮ፣ ከተያያዘው ተከታታይ £ 0π ከተዛማጅ ቃላቶች ያነሱ ናቸው።በንፅፅር፣ ተከታታዩ ይገናኛሉ፣ እና ስለዚህ ተከታታይ (1) እንዲሁ ይገናኛል። ይሁን። ከዚያም፣ ከተወሰነ ቁጥር N ጀምሮ፣ ለሁሉም n > N፣ አለመመጣጠን > 1 ይቆያል፣ ወይም በዚህ ምክንያት፣ ተከታታይ (1) ይለያያሉ። አስተያየት። A = 1 ከሆነ፣ ተከታታይ (I) ሊጣመር ወይም ሊለያይ ይችላል። ምሳሌዎች። ለመገጣጠም የሚከተሉትን ተከታታዮች ይመርምሩ፡ ኤል ተከታታይ ኮንቬርጅስ አለን። ^ m እዚህ ተከታታይ ይለያያሉ. ^
ተሸክሞ መሄድ 
ለሁሉም ሰው ሰፈር እንዲኖር አስፈላጊ እና በቂ ነው ዩ=ዩ(ሀ) እኩልነት ለሁሉም የሚይዝ የሚያጠቁ ነጥቦች 
እና ሁሉም እኩልነት ይሟላል
ከዚያ ቅደም ተከተል በተቀመጠው X ላይ አንድ አይነት በሆነ መልኩ ይሰበሰባል እና ለማንኛውም እንደዚህ ያለ ቁጥር ካለ ብቻ ኤን፣ለሁሉም እና ለሁሉም ቁጥሮች አለመመጣጠን ይይዛል
እኩልነት ረክቷል
እኩልነት ረክቷል 
በሌሎች መዝገበ-ቃላቶች ውስጥ "CACHY CRITERION" ምን እንደሆነ ይመልከቱ፡-
መጽሐፍት።
(1)
|x n - x m |< ε
при n >N ε, m > N ε.
;
.
እዚህ p የተፈጥሮ ቁጥር ነው።
(2)
ለ እና ለማንኛውም የተፈጥሮ p.የአንድ ተከታታይ ውህደት የ Cauchy መስፈርት ማረጋገጫ
የአስፈላጊነት ማረጋገጫ
.
ይህ ማለት ለማንኛውም የሚከተሉት አለመመጣጠን እንዲይዝ የተወሰነ ተግባር አለ ማለት ነው።
(1.1)
በ.
የቅደም ተከተል ገደብ ፍቺን ተመልከት።
በ.
የእኩልነት ባህሪያትን እንጠቀም እና (1.1):
.
የመጨረሻው እኩልነት ለ .
በ፣
የት .የብቃት ማረጋገጫ
(2.1.1)
በ.
;
;
;
;
.
ይህ የሚያሳየው ለ , የቅደም ተከተል ውሎች የተገደቡ ናቸው. ከ፣ ለ፣ የተወሰኑ የቃላት ብዛት ብቻ ስላለ፣ አጠቃላይ ቅደም ተከተል የተገደበ ነው።
.
ቅደም ተከተላቸው ስለሚያረካ፣ ለማንኛውም የሚከተሉት አለመመጣጠኖች የሚያዙበት የተወሰነ ተግባር አለ።
በ.
የ convergent ተከታይ ያለውን ቃል እንደ ቃል እንውሰድ እና ε ተካ 1
በ ε /2
:
(2.3.1)
በ.
በ.
ግልጽ የሆነውን እኩልነት እንጠቀም፡. ከዚያም
በ.
በ.
ይህ ማለት a ቁጥሩ የጠቅላላው ቅደም ተከተል ገደብ ነው (እና የእሱ ተከታይ ብቻ አይደለም.
ኦ.ቪ. ቤሶቭ. በሂሳብ ትንተና ላይ ትምህርቶች. ክፍል 1. ሞስኮ, 2004.